第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组

第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

第一节 矩阵的初等变换 初等行变换

()1()i j r r ↔对调两行，记作。

()20()i k r k ≠⨯以数乘以某一行的所有元素，记作。

()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。

初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。

扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价

A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。

等价关系的性质

（1）反身性

A~A

2 A ~B , B ~A;（）对称性若则

3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59）

行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。

行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0.

标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r

m n

E

O F O

O ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。

初等变换的性质

设A 与B 为m ×n 矩阵，那么

(1);r

A B m P PA B ⇔=存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ⇔=存在阶可逆矩阵，使

(3)P ;A B m P n Q AQ B ⇔=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质

设A 是一个m ×n 矩阵，则

（1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；

~;r

A B m P PA B ⇔=即存在阶可逆矩阵，使

（2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵；

即~;c

A B n Q AQ B ⇔=存在阶可逆矩阵，使

(3)~P ;A B m P n Q AQ B ⇔=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使

（4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵

1212

,,

,,l l P P P A PP P =使。

（5）~r

A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ） 初等变换的应用

（1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -−−−−→初等行变换

或1A E E A -⎛⎫⎛⎫−−−−

→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换。 （2）求

A -1

B ：A (,) ~ (,),r

A B E P 即

()1(|)|A B E A B -−−→行

，则P =A -1B 。或

1E A B BA -⎛⎫

⎛⎫−−−−

→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

初等列变换. 第二节 矩阵的秩

矩阵的秩

任何矩阵m n A ⨯，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，

行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。（非零行的行数即为矩阵的秩）

矩阵的秩 在矩阵A 中有一个不等于0的r 阶子式D ，且所有r + 1阶子式(如果存在的话)全等于0，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式。数r 称为矩阵A 的秩，记作R(A).规定零矩阵的秩，R(0)=0. 说明

1. 矩阵A m ×n ，则 R (A ) ≤min{m ,n };

2. R (A ) = R (A T );

3. R (A )≥r 的充分必要条件是至少有一个r 阶子式不为零;

4. R (A )≤r 的充分必要条件是所有r + 1 阶子式都为零. 满秩和满秩矩阵

矩阵()

ij m n

A a ⨯=，若()R A m =，称A 为行满秩矩阵；若

()R A n =，称A 为列满秩矩阵；,(),A n R A n A =若为阶方阵且则称为满秩矩阵。

()n A R A n =若阶方阵满秩，即0A ⇔

≠；1A -⇔必存在；A ⇔为非奇异阵；

,~.n n A E A E ⇔

必能化为单位阵即

矩阵秩的求法

定理1 矩阵A 经过有限次行(列)初等变换后其秩不变。即若A ～B ，则R (A )=R (B )。

矩阵A m ×n ，经过有限次初等行变换可变为行阶梯形，则非零行的行数就是A 的秩。（证明课本P ）

推论 ()()P Q R PAQ R A =若、可逆，则（课本P ） 矩阵秩的性质总结

(1)0()min{,}

m n R A m n ⨯≤≤

(2)()()T R A R A = ()()(3)~, A B R A R B =若则

()()P Q R PAQ R A =(4)若、可逆，则

(5)max{(),()}(,)()()

()(,)() 1.

R A R B R A B R A R B B b R A R A R A ≤≤+=≤≤+b 特别当为非零列向量时，有

(6)()()()R A B R A R B +≤+ (7)()min{(),()}.R AB R A R B ≤

(8),()().m n n l A B O R A R B n ⨯⨯=+≤若则

(9)AB=O A B=O 设，若为列满秩矩阵，则（矩阵乘法的消去率）。（课本P71）

第三节 线性方程组的解

线性方程组1111221121122222

1122n n n n m m mn n m

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩如果有解，则称其为相容的，否则称为

不相容

定理2 n 元齐次线性方程组 Ax =0

（1）R(A) = n ⇔Ax=0 有唯一解，零解 （2）R(A) < n ⇔Ax=0 有非零解. 定理3 n 元非齐次线性方程组Ax b =

（1） 无解的充分必要条件是(A)R(A,b)R <

（2） 有唯一解的充分必要条件是(A)R(A,b)n R ==

（3） 有无限多接的充分必要条件是(A)R(A,b)n R =<（证明课本P71）