2009年重庆高考试题(理科)(数学)

2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题卷（理工农医类）

本试卷满分150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷

考生注意： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+

如果事件A B ，相互独立，那么 ()()()P A B P A P B =

如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率

()(1)(01,2)k k

n k n n P k C P P k n -=-=，，，

以R 为半径的球体积：3

4π3

V R =

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线1y x =+与圆2

2

1x y +=的位置关系为（ ） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离

2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5i

z

=（ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i --

D ．2i -+

3．2

82()x x

+的展开式中4

x 的系数是（ ） A ．16

B ．70

C ．560

D ．1120

4．已知1,6,()2==-=a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A ．

6

π B ．

4

π C ．

3

π D ．

2

π 5．不等式2

313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．(,1][4,)-∞-+∞

B ．(,2][5,)-∞-+∞

C ．[1,2]

D ．(,1][2,)-∞+∞

6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）

A ．

891 B ．2591 C ．4891 D ．6091

7．设ABC ∆的三个内角,,A B C ，向量(3sin ,sin )A B =m ，(cos ,3cos )B A =n ，若1cos()A B =++m n ，则C =（ ）

A ．

6

π B ．

3

π C ．

23

π D ．

56

π

8．已知2

2lim(

)21

x x ax b x →∞--=+，其中,a b R ∈，则a b -的值为（ ） A ．-6

B ．2-

C ．2

D ．6

9．已知二面角l αβ--的大小为0

50，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是0

25的直线的条数为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

10．已知以4T =为周期的函数21,(1,1]

()12,(1,3]

m x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。若方程

3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）

A ．158

(

,)33

B ．15

(

,7)3

C ．48(,)33

D ．4(,7)3

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上．

11．若{}

3A x R x =∈<，{

}

21x

B x R =∈>，则A B = ．

12．若1

()21

x f x a =

+-是奇函数，则a = ． 13．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．

14．设12a =，121n n a a +=

+，21

n n n a b a +=-，*

n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ．

15．已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若

双曲线上存在一点P 使

1221sin sin PF F a

PF F c

=，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）

设函数2()sin(

)2cos 1468

x x

f x ππ

π=--+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期．

（Ⅱ）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4

[0,]3

x ∈时

()y g x =的最大值．

17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）

某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为

23和1

2

，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中： （Ⅰ）两种大树各成活1株的概率； （Ⅱ）成活的株数ξ的分布列与期望．

18．（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）

设函数2

()(0)f x ax bx k k =++>在0x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=．

（Ⅰ）求,a b 的值；

（Ⅱ）若函数()()

x e g x f x =，讨论()g x 的单调性．