圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题(教师版)

3

2

心率为(

)

A .

2

B.

3

C . 2 3

解：由已知可得抛物线的准线为直线

方程为

圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题

【高考要求】

1 •熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。

2 .掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略；

3•灵活运用教学中的一些重要的思想方法(如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨 论思想、等价转化的思想学)解决问题。

【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决： (1) 结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；

(2) 不等式(组)求解法：禾U 用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的离心率 (a,b,c )适合的不等式(组)，通过解不等式组得出离心率的变化范围；

(3 )函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来 表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。

(4) 利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的 构思； (5) 结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个 共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：

① 通过参数B 简明地表示曲线上点的坐标；

② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题； (6) 构造一个二次方程，利用判别式 厶_0。 2.解题时所使用的数学思想方法。

(1) 数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是 其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出 来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。

(2) 转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、 求曲线交点问题与解方程组之间的转化, 实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。

(3) 函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中 的一元二次函数知识等。

(4) 分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨 论等。 【题型分析】

x y

1.已知双曲线G ： —2…2 -1 (a 0,b

0)的左、右焦点分别为

a b

G 与抛物线C 2的交点P 满足PF 2 一 F 1F 2，则双曲线G 的离

F |、F 2，抛物线C 2的顶点在原点,

准线与双曲线 C 1的左准线重合，若双曲线

好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率

【解析】对于A a,0

，则直线方程为x ・y-a =0，直线与两渐近线的交点为B ，C ，

2 2

5. （08陕西理）双曲线 务—占=1（ a>0，b>0）的左、右焦点分别是

a 2 b

2

b 2 b , 由双曲线可知 P （c,-），二（-）2

a a 4a 2

2 —

b

2 —

---- :c ，二 b 2a =

2=2，二 e -1二2， e 二 3 .

c a

2

X y

2•椭圆一2-几一2 =1 ( a b 0) a b

的两个焦点分别为 F 、F 2，以F 1、F 2为边作正三角形，若椭圆恰

A .

3

1

B . 3-1

C . 4( 2 - 3)

D .

解析：设点P 为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图, 由平面几何知识可得|PF 2|:| PF 1 |:|F 1F 2h1

： 3:2，

c

所以由椭圆的定义及e 得:

a

2c

e = 一

IF 1F 2I

2a

|PF i | |PF 2| - 3 1

变式提醒：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出离心率

e 二3 1.

2 2

x y

3. （ 09浙江理）过双曲线 「

2

=

1 （a 0,b 0）的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线

a b

—1—

的两条渐近线的交点分别为 B,C .若AB BC ，则双曲线的离心率是

（）

A .

2 B .

3

c.

5

D .

10

a 2

ab

a 2

"ab-

2a 2b

2a 2b

,C （

兀，

—訂），

BC

=（益

，

—応），A 升

>a +b' a + b ； 因此2AB 二B6 4a 2號e 二5 .答案：C ab ab

2 2

x y

4. （09江西理）过椭圆—■ 2 = 1（ a b 0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点 P ，

a b

F 2为右焦点,

若 F 1PF 2

=60 ，则椭圆的离心率为（）A .

2

B . 3

1 c . 2

1 D .

3

【解析】因为 Pg —a

—），再由N RPF 2 = 60有 玄 =2a,从而可得

a

=3，故选

3

F |， F 2，过F 1作倾斜角为30