高等数学 含参变量的积分

记作
(x)
f (x, y) d y
①
x 称为参变量, 上式称为含参变量的积分.
含参积分的性质 — 连续性, 可积性, 可微性 :
定理1.(连续性) 若 f (x, y) 在矩形域 R [a,b][, ]
上连续, 则由 ① 确定的含参积分在[a, b]上连续.
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重积分
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y y (x)
D
y (x)
oa
bx
也是参变量 x 的函数 , 其定义域为 [ a , b ] .
利用前面的定理可推出这种含参积分的性质.
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定理4.(连续性) 若 f (x, y) 在区域
D :{(x, y) (x) y (x), a x b}
a
D f (x, y) d x d y
推论: 在定理2 的条件下, 累次积分可交换求积顺序,
即
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定理3. (可微性) 若 f (x, y) 及其偏导数 fx (x, y) 都在
矩形域
R
[a,b][, ]上连续, 则(x)
f
(x, y) d y
(x y在[0,1][a,b]上连续)
0a
b
dy
1 xy dx
a0
b a
x y
y 1
1
1 0
d
y
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b 1 d y ln b 1
a y 1
a 1
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例2. 求 I
1 0
ln(1 1
x
x)
2
d
x.
解: 考虑含参变量 t 的积分所确定的函数
lim f (x, y) d y lim f (x, y) d y
xx0
xx0
同理可证, 若 f (x, y) 在矩形域 R [a,b][, ]上连
续, 则含参变量的积分
b
( y) a f (x, y) d x
也在[, ]上连续.
由连续性定理易得下述可积性定理:
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上连续, 其中(x), (x) 为[a,b]上的连续函数, 则函数
(x)
(x) f (x, y) d y ( x)
在 [a,b]上连续.
证: 令 y (x) t[ (x) (x)], t [0, 1], 则
1
(x) 0 f (x,
)
由于被积函数在矩形域[a,b][0, 1]上连续, 由定理1知,
4
因此得
I ln 2
8
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二、积分限含参变量的积分
在实际问题中, 常遇到积分限含参变量的情形, 例如,
设 f (x, y) 为定义在区域
(x) y (x)
D: axb
上的连续函数, 则
(x)
(x) f (x, y) d y ( x)
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定理2. (可积性) 若 f (x, y) 在矩形域 R [a,b][, ]
上连续, 则(x) f (x, y) d y 在[a,b]上可积,且
D f (x, y) d x d y 同样, ( y) b f (x, y) d x 在[, ]上可积,且
上述积分确定的函数(x) 在 [a,b]上连续.
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(t)
1 0
ln(1 t x) 1 x2
d
x.
显然,
ln(1 t x) 1 x2
在[0,1]
[0,1]上连续,
(0)
0,
源自文库
(1)
I
,
由于
(t)
1 0
(1
x
2
x )(1
t
x)
d
x
1 1 t2
1
0
x 1 x2
1
t
x
2
t 1 t x
d
x
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1 1 t
x a x
f
(x,
y) d
x
d
y
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x
a g(x) d x
f
(x,
y)
f
(a,
y) d
y
(x) (a)
因上式左边的变上限积分可导, 因此右边 ( x) 可微，且有
(x) g(x) fx (x, y) d y
此定理说明, 被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续
在[a,b]上可微 ,且
(x) d dx
f (x, y) d y
fx (x, y) d y
证: 令 g(x) fx (x, y) d y, 则g(x) 是[a,b]上的连续
函数, 故当x [a,b] 时,
x g(x)d x
a
x
a
fx (x, y) d
y
d x
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(x x) (x)
[
f
(
x
x,
y)
f (x, y)]d y
f (x x, y) f (x, y) d y
这说明(x) 在[a,b]上连续.
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定理1 表明, 定义在闭矩形域上的连续函数, 其极限运
算与积分运算的顺序是可交换的.即对任意 x0 [a,b],
时, 求导与求积运算是可以交换顺序的 .
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例1. 求 I 1 xb xa d x (0 a b). 0 ln x
解: 由被积函数的特点想到积分:
b a
xy d
y
xy ln x
b a
xb xa ln x
I
1
dx
b xy d y
*第五节
第九章
含参变量的积分
一、被积函数含参变量的积分 二、积分限含参变量的积分
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一、被积函数含参变量的积分
设 f (x, y) 是矩形域 R [a,b][, ]上的连续函数,
则积分
f (x, y) d y 确定了一个定义在[a, b]上的函数,
2
1 2
ln(1
x2
)
t
arctan
x
ln(1
t
x)
1
0
1 1 t
2
1 2
ln
2
4
t
ln(1
t)
故
I (1) (0)
1 0
1 1 t
2
1 ln 2
2
4
t
ln(1
t)
d t
1 ln 2arctan t 1 ln(1 t 2 ) 1
2
08
0
1 0
ln(1 1
t) t2
d
t
ln 2 I
证: 由于 f (x, y) 在闭区域R上连续, 所以一致连续, 即
任给 0,存在 0, 对R内任意两点 (x1, y1), (x2, y2 ),
只要
x1 x2 , y1 y2
就有
f (x1, y1) f (x2 , y2 )
因此, 任给 0, 存在 0, 当x 时, 就有