常微分方程重点
常微分方程知识点整理
常微分方程知识点整理常微分方程是数学中的一个重要分支，研究描述自然界中各种变化规律的微分方程。
在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。
本文将对常微分方程的基本概念、分类、求解方法等知识点进行整理。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数及其自变量的关系式。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f是已知的函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
1. 一阶常微分方程：一阶常微分方程是指方程中只涉及到一阶导数的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)。
其中f(x, y)是已知的函数，也可以是常数。
2. 高阶常微分方程：高阶常微分方程是指方程中涉及到二阶及以上导数的微分方程。
常见形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1))，其中n为方程的阶数，f是已知的函数。
二、常微分方程的分类根据方程的形式和性质，常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、齐次线性常微分方程等多种类型。
1. 线性常微分方程：线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是线性的微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = f(x)，其中a_n(x)、a_(n-1)(x)、...、a_1(x)、a_0(x)是已知的函数。
2. 非线性常微分方程：非线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是非线性的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知的非线性函数。
3. 齐次线性常微分方程：齐次线性常微分方程是指方程中没有常数项的线性常微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = 0。
第八章：常微分方程
第八章：常微分方程本章重点是微分方程求解．由于不同类型的方程对应有不同的、确定的解法，所以识别类型，应用相应的解法是关键．§8.1 一阶微分方程本节的重点是求一阶微分方程的通解或在给定初始条件下的特解．● 常考知识点精讲一、常微分方程的概念含有一元未知函数导数的方程称为常微分方程；方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶．若记自变量为x ，未知函数为()y y x =，则n 阶微分方程的一般形式是 ()(,,,,)0n F x y y y '=若函数()f x 在I 上存在n 阶导数，且满足方程()(,(),(),,())0n F x f x f x f x '≡ ，()x I ∈则称()f x 是微分方程()(,,,,)0n F x y y y '= 在I 上的一个解．含有与方程阶数相同个数的独立的任意常数的解称为方程的通解，不含任意常数的解称为方程的特解，由通解确定特解的条件称为定解条件．二、一阶微分方程的类型及其解法1．变量可分离的一阶微分方程形如：()()dyf xg y dx=或1122()()()()0M x N y dx M x N y dy +=的方程，称为变量可分离的微分方程． 解法：分离变量法． 2．一阶线性微分方程形如：()()y P x y Q x '+=的方程，叫一阶线性微分方程．解法：通解由公式()()[()]P x dx P x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰给出．3．全微分方程（数一） ⑴ 全微分方程及其解法如果一阶微分方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=满足Q Px y∂∂=∂∂，则称为全微分方程． 解法：通解由公式00(,)(,)xyx y P x y dx Q x y dy C +=⎰⎰给出．⑵ 积分因子如果条件Q Px y∂∂=∂∂不能满足，即方程不是全微分方程，这时若有一个适当的函数(,)u x y ，使方程(,)(,)(,)(,)0u x y P x y dx u x y Q x y dy ⋅+⋅=成为全微分方程，则称(,)u x y 是微分方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的积分因子．⑶ 求积分因子 求积分因子，一般说来不是一件容易的事，通常只要求掌握用观察法求积分因子就行了． ① 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有xdx ydy +的项，而其它项中都含有因式22x y +，则方程可能有积分因子221x y +．② 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有ydx xdy +的项，而其它项中都含有因式xy ，则方程可能有积分因子1xy． ③ 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有ydx xdy -的项，而其它项中都含有因式xy ，则方程可能有积分因子1xy． ④ 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有ydx xdy -的项，而其它项都只是含x （或y ）的微分表达式，则方程可能有积分因子21x （或21y）． ⑤ 当方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的左端含有ydx xdy -的项，而其它项中都含有因式22x y +（或22x y -），则方程可能有积分因子221x y +（或221x y -）．4．一阶齐次微分方程形如()yy f x'=的一阶微分方程，叫一阶齐次微分方程． 解法：设yu x=，将方程化为可分离变量方程． 5．贝努利方程（数一）形如()()(0,1)ny P x y Q x y n '+=≠的方程叫贝努利方程． 解法：令1nz y-=，将方程化为z 的一阶线性方程．6．可化为一阶齐次的微分方程形如111222()a x b y c y f a x b y c ++'=++且11220a b a b ≠的一阶微分方程叫可化为一阶齐次的微分方程． （当11220a b a b =时，读者自己考虑如何求解）[例1.1] 求下列方程的通解⑴ ()()0x y x x y y e e dx e e dy ++-++= ⑵sin cos x y y x e -'+= 解：⑴ 方程变形为 (1)(1)0y x x y e e dx e e dy -++= 这是可分离变量的微分方程，分离变量得(1)(1)x yx y e e dx dy e e -=+-上式两端求不定积分(1)(1)x yx y e e dx dy e e -=+-⎰⎰所以 ln(1)ln(1)ln x y e e c +=--+ 故原方程通解为 (1)(1)xye e c +-=；⑵ 方程是一阶线性微分方程，其通解为cos cos sin ()xdx xdxx y e e e dx c --⎰⎰=+⎰sin sin sin sin ()()xx x x e e e dx c e x c ---=+=+⎰．●● 常考题型及其解法与技巧一、变量可分离的方程变量可分离的方程()()dyf xg y dx=求通解的思路：①变量分离，将原方程化为()()dy f x dx g y =；②两端积分()()dyf x dxg y =⎰⎰，可得． [例8.1.1] 求微分方程sin cos ln 0x xdx y ydy -=的通解 解：将方程分离变量，得ln sin cos dy dxy y x x=等式两端分别求不定积分ln sin cos dy dxy y x x=⎰⎰即有 2ln ln ln tan ln cos tan dxy x c x x ==+⋅⎰所以方程通解为 t a nc x y e =．[例8.1.2] 求方程221dyx y xy dx=-+-满足初始条件(0)1y =的特解． 解：方程变形为2(1)(1)dyx y dx=-+ 分离变量得2(1)1dyx dx y=-+ 等式两端分别求不定积分2(1)1dyx dx y =-+⎰⎰即有 21arctan 2y x x c =-+ 由(0)1y =，可得4c π=，所以方程的特解为21tan()24y x x π=-+． 二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程求通解的一般思路就是利用通解公式完成．[例8.1.3] 求微分方程ln (ln )0x xdy y x dx +-=满足条件()1y e =的特解． 解：将方程化为11ln dy y dx x x x+=，这是一阶线性微分方程，其通解为 112ln ln 111[](ln )ln 2dx dx x x x x y e e dx c x c x x -⎰⎰=+=+⎰ 由()1y e =可得12c =．所以方程的特解为 11ln 22ln y x x=+[例8.1.4] 求微分方程2412dy y dx y xy+=-的通解． 解：此微分方程既不是齐次微分方程也不是变量可分离的微分方程．若以y 为未知函数也不是一阶线性微分方程．但注意到其特点，把它改写成以x 为未知函数的微分方程，即4221dx y xy dy y -=+，也就是422211dx y y x dy y y+=++． 这是以x 为未知函数的一阶线性微分方程，由通解公式得 22224511225[]15(1)yydydy y y y y cx ee dy c y y -++⎰⎰+=+=++⎰ 评注：在判定一个微分方程是否为一阶线性微分方程时，应注意适当选择变量作函数．三、通过变量代换求解的方程Ⅰ 齐次微分方程齐次微分方程()dy yf dx x=求通解的思路：①令y u x =，则原方程化为()xu f u u '=-（*）；②求方程（*）的通解；③将上通解中的u 用yx代换即得原方程的通解．[例8.1.5] 求微分方程22dy xy dx x y=-满足(0)1y =的特解． 解：方程是一阶齐次微分方程，令yu x=，则原方程变为 21du u u x dx u +=-，即321du u x dx u=-， （*） 求得方程（*）的通解为 212u cux e-=，即222x y cy e-=， 由于(0)1y =，所以，1c =，从而所求特解为222x y y e -=．Ⅱ 可化为齐次的微分方程 方程111222()a x b y c y f a x b y c ++'=++且11220a b a b ≠求通解的思路：①解方程组11122200a x b y c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩得x h y k =⎧⎨=⎩；②令x X h y Y k=+⎧⎨=+⎩，原方程变为1122()a X bY dY f dX a X b Y +=+ （*）；③求方程（*）的通解；④将上通解中的,X Y 分别用,x h y k --代换即得原方程的通解． [例8.1.6] 求微分方程13x y y x y ++'=--的通解．解：解方程组1030x y x y ++=⎧⎨--=⎩得1,2x y ==-令1,2x X y Y =+=-，则原方程变为dY X YdX X Y+=- （*） 令Y u X =，则dY duu X dX dX=+，方程（*）变为21111du u u X u dX u u++=-=-- （**） 可求得方程（**）的通解为21arctan ln(1)ln 2u u X c -+-= 所以方程（*）的通解为221arctan ln()2Y X Y c X -+= 因此原方程的通解为： 2221arctan ln(245)12y x y x y c x +-+-++=-． Ⅲ 贝努利方程贝努利方程()()(0,1)n y P x y Q x y n '+=≠求通解的思路：① 令1n z y -=，则原方程化为(1)()(1)()dz n P x z n Q x dx+-=- （*）；②求方程（*）的通解；③将上通解中的z 用1ny -代换即得原方程的通解．[例8.1.7] 求微分方程43sec tan y y x y x '-=的通解． 解：令3z y -=，所给方程化为一阶线性方程为：sec tan dzz x x dx +=- 新方程的通解为 c o s 1s i n()1sin cos cos x x z x c x x x=--+++ 因此原方程的通解为 3c o s 1s i n ()1sin cos cos x x y x c x x x-=--+++． [例8.1.8] 求方程2223(23)0dy x x y xy y dx--+=的通解． 解：若将x 看成自变量，y 看成因变量，则是不为我们熟习的基本类型．此时交换自变量与因变量的位置得2223230x x y xy dxy dy--+=，即22332()dx x x dy y y y -=- 这是贝努利方程，令1z x=，则上方程变为32123dz z dy y y y+=- 上方程为一阶线性微分方程，通解为()()[()]p y dyp y dyz e Q y e dy c -⎰⎰=+⎰12[3ln ]y c y y=--+ 所以原方程通解为23ln y y c x y=--+． 评注：在判定一个方程是否为贝努利方程时，应注意适当选择变量作函数． Ⅳ 其它情形 [例8.1.9] 求微分方程2221dy x y dx y x -+=-+的通解． 分析：此微分方程的形式类似于[例8.1.6]，但21021-=-，不是可化为一阶齐次的情形．解：作代换2x y u -=，则2dy du dx dx =-，于是方程化为 221du u dx u +-=-，即31du u dx u =- 这是变量可分离的方程，容易求得其通解为 1ln 3u u x c -=+ 用2u x y =-回代，得原方程的通解为 ln 2y x x y c ++-=．[例8.1.10] 求微分方程22()()0y xy dx x x y dy ++-=的通解．分析：此方程不是我们在常考知识点中介绍的类型，可考虑作变量代换． 解：将方程改写成(1)(1)dy y xy dx x xy +=- 发现方程右端的分子分母中都含有xy 的一次式，这就启示我们，可考虑尝试变量代换xy u =，此时21()dy du x u dx x dx=⋅-，原方程变为 221(1)()(1)du u u x u x dx x u +⋅-=-，即221du u x dx u =- 这是可分离变量的方程．易求得其通解为 21ln ln u cx u+=所以原方程的通解为 1xy xc e y=．[例8.1.11] 求微分方程(1)yx dye xe dx-+=的通解． 分析：此方程不是我们在常考知识点中介绍的六种类型之一，可考虑作变量代换． 解：将方程改写成1x y dyxe dx+=- 方程的右端含有x y +，可考虑尝试变量代换u x y =+，此时1dy du dx dx=-，于是方程化为u duxe dx= 这是变量可分离的方程，易求得其通解为 212ue x c --=+ 从而原方程的通解为 ()2102x y ex c -+++=． 四、全微分方程全微分方程求通解可以利用公式求，也可以将方程化为0du =，从而得到通解(,)u x y c =．[例8.1.12] 求微分方程2322(2sin 3)(cos )0x y x y dx x x y y dy ++++=的通解．解：令2322(,)2sin 3,(,)cos P x y x y x y Q x y x x y y =+=++，则它们在整个平面上都有连续一阶偏导数，且22cos 3P Q x y x y x∂∂=+=∂∂，故方程是全微分方程，它的通解为0(,0)(,)xy P x dx Q x y dy c +=⎰⎰，即3231sin 3x y x y y c ++=．[例8.1.13] 求微分方程224(144)0xdx y x y y dy +++=的通解． 解：这不是全微分方程．将其改写成3224()0xdx ydy y x y dy +++= 方程有积分因子221(,)u x y x y =+，用它乘方程的两端得32240xdx ydy y dy x y++=+即有 2241[ln()]02d x y y ++= 所以原方程通解为2241ln()2x y y c ++=． [例8.1.14] 设()f x 有一阶连续导数，(0)1f =，又设2()(()2)0y xy dx f x xy dy +++=是全微分方程，求()f x 及该全微分方程的通解． 解：由题设知2(()2)()f x xy y xy x y∂∂+=+∂∂ 即 ()f x x '=，所以21()2f x x c =+ 又(0)1f =，从而1c =，故21()12f x x =+．代入原方程，得221()(21)02y xy dx x xy dy ++++=从而可得 221()02d xy x y y ++=所以原方程的通解为 2212xy x y y c ++=．五、一阶微分方程综合题型Ⅰ 由自变量的改变量与函数改变量的关式式确定的方程此类题的解题思路：① 由导数的定义，通过所给关系式，建立微分方程；②求解微分方程．[例8.1.15] 已知函数()y f x =在任意点x 处的增量()1yy x o x x∆=∆+∆+(0)x ∆→， (0)1y =，则(1)y =（A ）1- （B ） 0 （C ）1， （D ）2解：由于()1yy x o x x∆=∆+∆+，所以 ()1y y o x x x x∆∆=+∆+∆ 上是两端令0x ∆→可得1y y x'=+这是变量可分离的一阶微分方程，其通解为(1)y c x =+， 又因为(0)1y =，所以1c =，从而(1)2y =，故应选（D ）． [例8.1.16] 设()y y x =满足21()2x y x o x x x-∆=∆+∆-，且(0)0y =，则1()_____y x dx =⎰．解：由于21()2x y x o x x x-∆=∆+∆-，所以21()2y x o x x x x x∆-∆=+∆∆- 因此上式中令0x ∆→可得212x y x x-'=-，于是 22y x x C =-+又(0)0y =，从而0c =， 所以22y x x =-．故11122000()21(1)y x dx x x dx x dx =-=--⎰⎰⎰1sin 02202cos cos cos 4x tt tdt udu πππ-=-===⎰⎰．Ⅱ 积分方程求解积分方程的一般思路：①积分方程两端求导数，去掉方程中的积分号，然后化成微分方程；②对微分方程求解（一般情况下是求特解）． [例8.1.17] 已知()f x 满足0()()xf x x f x t dt =+-⎰，则()______f x =．解：由于0()()xf x x f x t dt =+-⎰，令x t u -=可得()()x f x x f u du =-⎰上式两端对x 求导得()1()f x f x '=+这是一阶线性微分方程，求得其通解为()1xf x ce =-， 由积分方程可得(0)0f =，从而1c =，故()f x =1xe -．[例8.1.18] 设()f t 连续，且2222()()[1]Df x y f t x dxdy x y +=++⎰⎰，其中 222:,0,0.(0)D x y t x y t +≤≥≥>，求()f x ．解：由于22222200()()()[1]cos [1]t Df x y f r f t x dxdy d r rdr x y r πθθ+=+=++⎰⎰⎰⎰ 2220cos ()cos ttd r dr d f r dr ππθθθθ=+⎰⎰⎰⎰3()3t t f r dr =+⎰ 所以 3()()3t t f t f r dr =+⎰上式两端求导可得：2()()f t t f t '=+，且(0)0f = 微分方程是一阶线性微分方程，可求得其通解为2()(22)t t t t f t e t e te e c ---=---+，由(0)0f =可得2c =，所以2()(222)x x x x f x e x e xe e ---=---+．Ⅲ 含分段函数的微分方程含分段函数的微分方程解题思路：①在分段函数定义域内的不同段上分别求微分方程的通解；②利用方程通解的连续性，确定不同段上对应的通解中的任意常数之间的关系；③写出微分方程的通解．[例8.1.19] 设有微分方程2()y p x y x '+=，其中1,1()1,1x p x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，求在(,)-∞+∞内的连续函数()y y x =，使其满足所给的微分方程，且满足条件(0)2y =．解：当1x ≤时，微分方程为2y y x '+=，这是一阶线性微分方程，该方程的通解为2211()[(22)]dx dx x xy e x e dx c e x x e c --⎰⎰=+=-++⎰当1x >时，微分方程为21y y x x'+=，这是一阶线性微分方程，该方程的通解为 11241211()()4dx dx xx y ex e dx c x c x -⎰⎰=+=+⎰ 由于方程的解在点1x =处连续，所以2111lim [(22)]lim x xx x e x x e c -+-→→-++=4211()4x c x + 从而12134c c e -=+所以原方程通解为23122,1113(),144x x x ce x y x ce x x --⎧-++≤⎪=⎨++>⎪⎩ 由于(0)2y =，所以0c =，所以满足条件的函数为2322,113,144x x x y x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩． Ⅳ 已知函数在一点可导，求函数表达式此类题解题思路：①利用导数的定义，建立所求函数的微分方程；②求解该微分方程． [例8.1.20] 已知()f x 在(,)-∞+∞内有定义，且对任意,x y 满足()()()y x f x y e f x e f y +=+又()f x 在0x =可导，(0)f e '=，求函数()f x ． 解：由()()()y x f x y e f x e f y +=+，可得(0)0f =()()()limx f x x f x f x x→+-'=0()()()l i m x x x e f x e f x f x x →+-=0(1)()[()(0)]l i mx x x e f x e f x f x→-+-=1()(0)()xx f x e f f x e +'=+=+所以建立函数的微分方程为1()()x f x f x e+'=+，且(0)0f =这是一阶线性微分方程，可求得其通解为 1()x x f x xece +=+由(0)0f =，可得0c =，所以1()x f x xe +=．§8.2 可降阶的高阶微分方程 本节重点是三种特殊类型的高阶微分方程的解法．● 常考知识点精讲一、形如()()n y f x =的可降解这类微分方程用降阶法只要积分n 次就得到方程的通解． [例2.1] 求微分方程x y xe '''=的通解．解： 1x x xy xe dx xe e c ''==-+⎰112()2x x x xy xe e c dx xe e c x c '=-+=-++⎰2121231(2)32x x x xy xe e c x c dx xe e c x c x c =-++=-+++⎰故微分方程的通解为2123132xxy xe e c x c x c =-+++． 二、不显含函数y 的二阶可降阶的方程 (,)y f x y '''=这类方程特点是不显含y ，若令y p '=，则dpy p dx'''==，于是所给方程可降为一阶方程，再按一阶微分方程的方法求解．三、不显含自变量x 的二阶可降阶的方程 (,)y f y y '''=这类方程特点是不显含x ，若令y p '=，则dp dy dp y p dy dx dy''=⨯=，于是所给方程可降为一阶方程，再按一阶微分方程的方法求解． [例2.2] 求微分方程21yy y '''+=的通解． 解：设y p '=，则dp dy dpy p dy dx dy''=⨯=，原方程化为 21dp ypp dy +=，即21pdp dy p y=- ⑴ 当1y p '=>时，211ln(1)ln ln 2p y c -=+，即2211()p c y -= 所以 211()dyc y dx=±+ ① 1y '>时 ，211()dy c y dx =+， 即211()dy dx c y =+21112ln(1())c y c y c x c ++=+所以 1212()12c x c c x c e e c y +-+-=②1y '<-时，211()dy c y dx =-+， 即211()dy dx c y =-+21112ln(1())c y c y c x c ++=-+所以 1212()12c x c c x c e e c y -+--+-=⑵ 当1y p '=<时，21pdp dy p y -=-，即221(1)21d p dyp y -=- 211ln(1)ln 2p c y -=，即2211()p c y -= 211()dyc y dx=±- ① 当01y <<时，211()dy c y dx =-，即211()dy dx c y =-所以 112sin()c y c x c =+ ② 当10y -<<时，211()dy c y dx =--，即211()dydx c y =--所以 112sin()c y c x c =-+．●● 常考题型及其解法与技巧一、方程()()n y f x =此类微分方程求通解一般思路：方程两端分别积分n 次，即得通解，注意每积分一次要加上一个任意常数． [例8.2.1] 求微分方程211y x'''=+的通解． 解：方程两边积分可得 12arctan 1dxy x c x ''==++⎰再积分得1arctan y xdx c x '=+⎰12arctan 1xx x dx c x x =-++⎰ 2121arctan ln(1)2x x x c x c =-+++继续积分一次，得方程通解为 2121(arctan ln(1))2y x x x c x c dx =-+++⎰222221222111arctan ln(1)221212c x x x x dx x x dx x c x x x =--++++++⎰⎰ 222123111arctan ln(1)(arctan )2222c x x x x x x x c x c =-++-+++． 二、方程(,)y f x y '''=此类微分方程求通解一般思路：①令p y '=，原方程变为(,)p f x p '= （*）；②求方程（*）的通解，不妨设为1(,)y P F x C '== （**）；③求出方程（**）的通解，即为原方程的通解．[例8.2.2] 求方程ln()y xy y x''''=的通解 解：方程不显含y ，令y p '=，于是所给方程化为 ln pxp p x'= （*） 方程（*）是齐次方程，令pu x=，则方程（*）变为 ln duu x u u dx+= （**） 方程（**）是变量可分离的微分方程，可求得其通解为 1ln 1u c x =+ 从而 11c xy xe +'=于是原方程的通解为111112211(1)c xc x y xedx c x e c c ++==-+⎰． [例8.2.3] 求微分方程22()0y x y '''+=满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==-的特解． 解：方程不显含y ，令y p '=，于是所给方程化为220p xp '+= （*）方程（*）是变量可分离的微分方程，可求得其通解为 211p x c =-由1(0)2y '=-，得12c =，即有 212y x '=- 所以 2212ln 2222dx x y c x x -==+-+⎰由(0)1y =可得21c =，故原方程的特解为 12ln1222x y x -=++．[例8.2.4] 0x →时，方程2(32)6x y xy '''+=与1xe -等价无穷小的解是____．解：方程不显含y ，令y p '=，于是所给方程化为2(32)6x p xp '+=， （*） 方程（*）是变量可分离的一阶微分方程，可求得通解为21(32)p c x =+，即21(32)y c x '=+ 所以原方程通解为 31122y c x c x c =++．又由33211211211000221lim lim lim(32)1x x x x c x c x c c x c x c c x c e x →→→++++===+-，可得 2110,2c c ==，故所求特解为312y x x =+． 三、方程(,)y f y y '''=此类微分方程求通解一般思路：①令p y '=，原方程变为(,)dppf y p dy= （*）；②求方程（*）的通解，不妨设为1(,)y P F y C '== （**）；③求出方程（**）的通解，即为原方程的通解．[例8.2.5] 设函数()y x 在区间[0,)+∞上有连续导数，并且满足关系式 0()12()()()xy x x x t y t y t dt '=-++-⎰求()y x ．解：对所给方程变形()12()()2()()xxy x x x y t y t dt ty t y t dt ''=-++-⎰⎰方程两端对x 求导得()12()()xy x y t y t dt ''=+⎰继续求导得()2()()y x y x y x '''=，(0)1,(0)1y y '=-= 微分方程不显含自变量x ，令p y '=，方程可化为 2dpppy dy= 这是变量可分离的微分方程，求得通解为21p y c =+，即21y y c '=+ 由(0)1,(0)1y y '=-=可得，10c =，从而2y y '=，所以21y x c =-+． 再由(0)1y =-，得21c =，故函数11y x =-+为所求特解．§8.3 高阶线性微分方程本节重点是高阶线性微分方程解的结构定理、二阶线性常系数齐次微分方程、二阶线性常系数非齐次微分方程．● 常考知识点精讲一、线性微分方程的概念形如()(1)(2)12()()()()n n n n y p x y p x y p x y f x --++++= 的微分方程称为n 阶线性微分方程．当()(1,2,3,)i p x i n = 都是常数时，又称方程为n 阶线性常系数微分方程．若方程右端的函数()f x 恒为零，则方程称为n 阶线性齐次微分方程，否则称为n 阶线性非齐次微分方程．二、线性微分方程解的结构定理1：设12,y y 是n 阶线性齐次微分方程()(1)(2)12()()()0n n n n y p x y p x y p x y --++++=的两个解，则1122y c y c y =+也是该方程的解，这里12,c c 是任意常数． 定理2：设12,,,n y y y 是n 阶线性齐次微分方程()(1)(2)12()()()0n n n n y p x y p x y p x y --++++=的n 个线性无关的解，则1122n n y c y c y c y =+++ 是该方程的通解，这里12,,n c c c 是任意常数．定理3：如果1y 是方程()(1)(2)121()()()()n n n n y p x y p x y p x y f x --++++= 的解，2y 是方程()(1)(2)122()()()()n n n n y p x y p x y p x y f x --++++= 的解，则12y y +是方程 ()(1)(2)1212()()()()()n n n n y p x y p x y p x y f x f x --++++=+ 的解．定理4：设*y 是非齐次线性方程()(1)(2)12()()()()n n n n y p x y p x y p x y f x --++++= 的一个特解，1122n n c y c y c y +++ 是该非齐次方程对应的齐次方程的通解，则该非齐次方程的通解为*1122n n y c y c y c y y =++++[例3.1] 设1()y x ，2()y x 为二阶线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的两个特解，则由1()y x ，2()y x 能构成该方程的通解，其充分条件是（A ）1221()()()()0y x y x y x y x ''-= （B ）1221()()()()0y x y x y x y x ''-≠ （C ）1221()()()()0y x y x y x y x ''+= （D ）1221()()()()0y x y x y x y x ''+≠ 解：1()y x ，2()y x 能构成线性齐次方程()()0y p x y q x y '''++=通解的条件是二者线性无关，即12()()y x k y x ≠（常数），所以12()[]0()y x y x '≠，即1221()()()()0y x y x y x y x ''-≠，故应选（B ）． 三、常系数齐次线性微分方程1．二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程的形式为：0y py qy '''++=，其中,p q 为常数，其特征方程为 20p q λλ++=方程通解为：⑴ 特征方程有两个相异的实根12,λλ时，通解形式为1212()xxy x C e C eλλ=+⑵ 特征方程有两个相同的实根12λλ=时，通解形式为 212()()xy x C C x eλ=+⑶ 特征方程有一对共轭复根i αβ±时，通解形式为 12()(cos sin )x y x e C x C x αββ=+ 2．n 阶常系数齐次线性方程此种方程的一般形式为：()(1)(2)120n n n n y p y p y p y --++++= ，其中(1,2,)i p i n = 为常数，相应的特征方程为：1110n n n n p p p λλλ--+++= 特征根与通解的关系为：⑴ 若12,,n λλλ 是n 个互异实根，则方程通解为 1212()n x xxn y x C e C eC e λλλ=+++⑵ 若0λλ=为特征方程的()k k n ≤重实根，则方程通解中含有： 0112()xk k C C x C x eλ-+++⑶ 若i αβ±为特征方程的k 重共轭复根，则方程通解中含有111212[()cos ()sin ]x k k k k e C C x C x x D D x D x x αββ--+++++++四、二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数非齐次线性线性方程一般形式为()y py qy f x '''++=其中,p q 是常数根据线性微分方程解的结构，该方程的通解为对应齐次方程的通解加上自身的一个特解．其对应齐次方程的通解上面已讨论过了，现在只要求出该方程的一个特解问题就解决了． 下面介绍求特解*y 的待定系数法：⑴ 若()()x m f x P x e α=其中()m P x 为x 的m 次多项式，则待定特解*y 形式为 *()kxm y x Q x eα=其中()m Q x 是与()m P x 同次的多项式，调节系数0,12k ααα⎧⎪=⎨⎪⎩当不是特征方程的特征根，当是特征方程的单特征根，当是特征方程的二重特征根将*()k x m y x Q x e α=代入方程()y py qy f x '''++=，就可以求出()m Q x ．⑵ ()[()cos ()sin ]x n m f x e P x x Q x x αββ=+，其中()n P x ，()m Q x 分别为x 的n 次，m 次多项式，则有*[()cos ()sin ]k x l l y x e M x x N x x αββ=+其中{}max ,l m n =，()l M x ，()l N x 是两个待定的l 次多项式，调节系数 0,1i k i αβαβ+⎧=⎨+⎩当不是特征方程特征根时，当是特征方程特征根时[例3.2] 求下列方程的一个特解⑴x e x y x y x y 3)(9)(6)(-=+'+'' ⑵sin x y y e x ''+= 解：⑴ 特征方程为2690λλ++=，特征根为123λλ==-．由于方程的非齐次项形如()()x m f x P x e α=，设待定特解为*23xy Ax e-=，代入原方程得332xx Ae e --=，从而12A =． 故方程的一个特解为2312x y x e -=⑵ 特征方程为210λ+=，特征根为12i λ=±．由于方程的非齐次项形如()[()cos ()sin ]x n m f x e P x x Q x x αββ=+，其中1,1αβ==，0m n ==，因此1i i αβ±=±不是特征根，所以原方程有形*()(sin cos )xy x B x A x e =+形式的特解，代入原方程得[(2)cos (2)sin ]sin xxxe B A x B A x e e x ++-=所以 22052115A B A B A B ⎧=-⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩，故原方程的一个特解为*12()(sin cos )55x y x x x e =-． 五、欧拉方程（仅适用数一）形如()1(1)2(2)121()n n n n n n n n x y p x y p x y p xy p y f x -----'+++++= 的方程为欧拉方程．这个方程可以通过变换tx e =化为以t 为自变量的常系数线性方程，求出后代回原来的变量即得欧拉方程的解．●● 常考题型及其解法与技巧一、线性微分方程解的结构定理[例8.3.1] 设线性无关的函数123(),(),()y x y x y x 都是二阶线性非齐次方程()y p x y '''++()()q x y f x =的解，12,c c 是任意常数，则该非齐次方程的通解为（A ）11223c y c y y ++ （B ） 112212()c y c y c c y +-+ （C ）1122123(1)c y c y c c y +--- （D ） 1122123(1)c y c y c c y ++-- 解：（A ）中因为12,y y 不是该二阶线性非齐次方程对应的齐次方程的解，所以（A ）被排除； （B ）中1122123113223()()()cy c y c c y c y y c y y +-+=-+-它仅是对应齐次方程的通解，故（B ）被排除；（C ）中11221231132233(1)()()c y c y c c y c y y c y y y +---=+++-的3y -不是该非齐次方程的特解，113223()()c y y c y y +++也不是对应的齐次方程的通解，故仍排除，由排除法可得应选（D ）．事实上，11221231132233(1)()()c y c y c c y c y y c y y y ++--=-+-+，由解的结构定理可知，它是该非齐次方程的特解．[例8.3.2] 已知221233,3,3x y y x y x e ==+=++都是微分方程22(2)(2)(22)66x x y x y x y x '''---+-=-的解，则该方程的通解为______ 解：根据解的结构定理方程的通解为121232112()()3x y C y y C y y y C x C e =-+-+=++．[例8.3.3] 已知微分方程(21)"(42)'80x y x y y ++--=有多项式形式的特解和形如mxe (m为常数)的特解，求该方程通解． 解：设mxy e=是方程的解，代入原方程得：2[(21)(42)8]0mx m x x m e ++--=所以22240280m m m m ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，从而2m =-，因此2x y e -=是方程的一个解；又设2012(),(0)n n n P x a a x a x a x a =+++≠ 是方程的解，代入原方程得223(21)(232(1))n x a a x n n x -++⨯+-+112(42)(2)n n x a a x na x --++ 20128()0n n a a x a x a x -+++=所以(48)0n n a -=，由于0n a ≠，从而2n =．设2012()Q x a a x a x =++是方程的解，代入原方程可得2212012(21)2(42)(2)8()0x a x a a x a a x a x ++-+-++=所以10a =，204a a =，因此可取2()41Q x x =+为方程的一个解． 根据解的解构定理，原方程的通解为2212(14)x y C e C x -=++． [例8.3.4] 设二阶常系数线性微分方程"'x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1),x x y e x e =++试确定,,αβγ并求通解． 解：由于2(1),xx y e x e =++是方程"'x y y y e αβγ++=的一个解，将其代入原方程可得222(43)(22)()xx x x x xx xx xee x e e e x e e e x e eαβγ++++++++=所以 4203210αβαβγαβ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩321αβγ=-⎧⎪⇒=⎨⎪=-⎩．原方程变为"3'21xy y y e -+=-，所以通解为 212xx y c e c e=++2(1)x x e x e ++．二、高阶常系数线性齐次方程[例8.3.5] 求微分方程20y ky y '''++=的通解，其中k 为实常数． 解：所给微分方程的特征方程2210k λλ++=的两个特征根为221,224412k k k k λ-±-==-±-当1k >时，方程通解为22(1)(1)12k k xk k xy c ec e -+----=+；当1k =时，方程通解为12()kx y c c x e -=+； 当1k <时，方程通解为2212(cos 1sin 1)kxy ec k x c k x -=-+-．[例8.3.6] 设函数()y y x =满足440,(0)0,(0)1y y y y y ''''++===，则()_____y x dx +∞=⎰．解：特征方程为2440λλ++=，特征根为122λλ==-，所以方程的通解为 212()x y c c x e -=+设()y x 是方程440y y y '''++=解，显然有lim ()0,lim ()0x x y x y x →+∞→+∞'==所以()4()4()0y x dx y x dx y x dx +∞+∞+∞'''++=⎰⎰⎰，即(0)4(0)4()0y y y x dx +∞'--+=⎰，故1()4y x dx +∞=⎰． [例8.3.7] 求微分方程(4)340y y y ''--=的通解．解：所给微分方程的特征方程为42340λλ--= 特征根1,22λ=±，3,4i λ=±，故方程的通解为221234cos sin x x y c e c e c x c x -=+++三、二阶常系数线性非齐次方程二阶常系数线性非齐次方程求通解的一般方法：①先求出对应齐次方程的通解Y ；②求出方程的一个特解*y ，则通解*y Y y =+． [例8.3.8] 求微分方程32xy y y xe '''-+=的通解解：相应的齐次方程的特征方程为2320λλ-+=，特征根为121,2λλ==，故对应齐次方程的通解为212x x Y c e c e =+设*()x y x ax b e =+是原方程的一个特解，代入原方程得 (22)x x ax a b e xe -+-=于是21,20a a b -=-=，即12a =-，1b =-，故*1(1)2xy x x e =-+． 所以原方程的通解为 2121(1)2x x xy c e c e x x e =+-+．[例8.3.9] 求微分方程44ax y y y e '''++=的通解，其中a 为实数．分析：方程为非齐次方程，当a 取不同值时，方程的特解形式可能不同，应加以讨论． 解：相应的齐次方程的特征方程为2440λλ++=，特征根为122λλ==-，故对应齐次方程的通解为212()x Y c c x e -=+当2a ≠-时，设*ax y Ae =是原方程的一个特解，代入原方程得 2(44)ax ax A a a e e ++= 于是21(2)A a =+，故*21(2)ax y e a =+，所以原方程的通解为 21221()(2)xaxy c c x e e a -=+++ 当2a =-时，设*22xy Bx e -=是原方程的一个特解，代入原方程得222xx Be e --=于是12B =，故*2212x y x e -=，所以原方程的通解为 222121()2xx y c c x e x e --=++[例8.3.10] 求方程2sin y a y x ''+=的通解，其中常数0a >．分析：方程为非齐次方程，当a 取不同值时，方程的特解形式可能不同，应加以讨论． 解：相应的齐次方程的特征方程为220a λ+=，特征根为1,2ai λ=±，故对应齐次方程的通解为12cos sin Y c ax c ax =+当1a ≠时，设*sin cos y A x B x =+是原方程的一个特解，代入原方程得 22(1)sin (1)cos sin A a x B a x x -+-=于是211A a =-，0B =，故*21sin 1y x a =-，所以原方程的通解为 1221cos sin sin 1y c ax c ax x a =++- 当1a =时，设*sin cos y Ax x Bx x =+是原方程的一个特解，代入原方程得 2cos 2sin sin A x B x x -=于是10,2A B ==-，故*1cos 2y x x =-，所以原方程的通解为 121cos sin cos 2y c ax c ax x x =+-．[例8.3.11] 求微分方程cos y y x x ''+=+的通解分析：右端的函数是两项的和，因此方程特解是y y x ''+=和cos y y x ''+=相应特解的和． 解：相应的齐次方程的特征方程为210λ+=，特征根为1,2i λ=±，故对应齐次方程的通解为12cos sin Y c x c x =+设方程y y x ''+=的特解为*1y ax b =+，代入方程得ax b x +=于是1,0a b ==，故*1y x =；设方程cos y y x ''+=的特解为*2sin cos y mx x nx x =+，代入方程得2cos 2sin cos m x n x x -=于是1,02m n ==，故*21sin 2y x x =． 綜上可得***121sin 2y y y x x x =+=+是原方程的一个特解，所以原方程通解为121cos sin sin 2y c x c x x x x =+++．四、欧拉方程欧拉方程求通解的思路：①令tx e =将自变量由x 换成t ，得到一个关于y 与t 的微分方程，新的微分方程为常系数线性方程；②求新方程的通解；③上通解中将t 用ln x 代回，得原方程的通解．[例8.3.12] 设0x >，微分方程2222x y xy y x '''-+=+的通解为____．解：这是欧拉方程．设tx e =，记dD dt=，则2,(1)xy Dy x y D D y ''==-，从而原方程变为2322t D y Dy y e -+=+ （*）它对应的特征方程为2320r r -+=，特征根为121,2r r ==，于是方程（*）对应的齐次方程的通解为212t t Y c e c e =+设*t y Ate B =+是方程（*）的特解，代入（*）得 22ttAe B e -+=+于是1,1A B =-=，故*1t y te =-+，所以方程（*）的通解为2121t t t y c e c e te =+-+故原方程的通解为 212ln 1y c x c x x x =+-+．五、常系数线性微分方程反问题Ⅰ 已知常系数齐次线性微分方程特解，求微分方程解此类题一般思路：①由给出的特解确定出特征根；②由特征根导出特征方程；③由特征方程导出常系数线性齐次方程[例8.3.13] 设12(sin cos )x y e c x c x =+（12,c c 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次方程的通解，则该方程为______．解：由已知条件可得，函数sin xe x ，cos xe x 是所求二阶常系数线性齐次方程的特解，从而1i ±是方程对应的特征方程的特征根，因此方程的特征方程为2(1)10λ-+=． 故所求二阶常系数线性齐次方程为 220y y y '''-+=．[例8.3.14] 以四个函数1()x y x e =，2()2x y x xe =，3()3cos3y x x =，4()4sin3y x x =为解的四阶常系数线性齐次方程是_____．解：由于所给四个函数线性无关且明显分为两组1()xy x e =、2()2x y x xe =；3()3cos3y x x =、4()4sin3y x x =．于是所求微分方程的特征方程的特征根为1,21λ=，3,43i λ=±，从而方程的特征方程为22(1)(9)0λλ-+=，即4322101890λλλλ-+-+=．故所求四阶常系数线性齐次方程是(4)(3)2101890y y y y y '''-+-+=． Ⅱ 已知线性方程的通解，求微分方程[例8.3.15] 以2212()x y C C x x e -=++（其中12,C C 为任意常数）为通解的二阶线性微分方程为____． 解：建立方程组22122212222122()(2222)(444482)x xx y C C x x e y C C x x C x ey C C x x C x e ---⎧=++⎪'=---++⎨⎪''=++--+⎩，由此可得 222(2)x y y C x e -'+=+ （1） 224(482)x y y C x e -''-=--+ （2）所以4(1)(2)+得2442x y y y e -'''++=这就是所求的二阶线性微分方程．六、高阶线性微分方程综合题[例8.3.16] 设()f u 有连续的二阶导数，且(sin )xz f e y =满足方程22222x z ze z x y∂∂+=∂∂，求()f u ．解：令 sin xu e y =，则()sin (),cos ()x x zzf u e y uf u e yf u x y∂∂'''===∂∂； 222()()z f u u f u u x ∂'''=+∂， 2222()()cos x z uf u f u e y y∂'''=-+∂． 所以：22222()xz z f u e x y∂∂''+=∂∂，由已知条件得：22()()x x f u e f u e ''=，即()()f u f u ''=，从而12()uuf u c e c e-=+．[例8.3.17] 作变换tan t x =把微分方程2422cos 2cos (1sin cos )tan d y dyx x x x y x dx dx+-+=变换成y 关于t 的微分方程，并求原微分方程的通解．解：2(sec )dy dy dt dy x dx dt dx dt =⨯=，2224222sec tan sec d y dy d y x x x dx dt dt=+ 所以原方程变为222d y dyy t dt dt++=．解之得12()2t y c c t e t -=++- 故原方程的通解为tan 12(tan )tan 2x y c c x e x -=++-． [例8.3.18] 设连续函数()f x 满足关系式0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰，求()f x ．解：这是含“变上限定积分”的方程，首先去掉被积函数中的参变量得 0()sin ()()xxf x x x f t dt tf t dt =-+⎰⎰ （1）（1）式两端对x 求导得 0()cos ()xf x x f t dt '=-⎰（2）（2）式两端对x 求导得()sin ()f x x f x ''=-- （3） 由（1）、（2）可得(0)0,(0)1f f '==可求得方程（3）的通解为12()cos sin cos 2xf x C x C x x =++ 由(0)0,(0)1f f '==可得1210,2C C ==，从而1()sin cos 22xf x x x =+．[例8.3.19] 设()f x 具有二阶连续导数，(0)0,(0)1f f '==，且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=是全微分方程，求()f x 及此全微分方程的通解． 解：微分方程是全微分方程的充要条件是2[()()][()]xy x y f x y f x x y y x∂∂'+-=+∂∂， 即2()()f x f x x ''+=， 求得其通解212()cos sin 2f x c x c x x =++-． 再由初始条件(0)0,(0)1f f '==定得2()2cos sin 2f x x x x =++-．于是原方程成为22[(2cos sin )2](2sin cos 2)0xy x x y y dx x x x x y dy -+++-+++=可求得此方程的通解为2212(2sin cos )2x y xy x x y c ++-+=．§8.4 微分方程的应用● 常考知识点精讲一、微分方程的应用1．几何上的应用在一定的已知条件下求曲线的微分方程．而这些已知条件往往涉及到与导数密切相关的曲线切线、法线、曲率、弧长及曲线所围面积等概念与性质． 2．力学上应用主要利用牛顿第二定律建立微分方程来求质点的运动规律或运动速度． 3．其它应用利用一些基本定理或由变化率问题引出的微分方程．二、用微分方程解决实际问题的步骤一是根据相关条件，建立微分方程，与此同时，一般还要找出相应的初始条件；二是判定微分方程的类型，求解微分方程．●● 常考题型及其解法与技巧一、几何上的应用Ⅰ 导数几何意义的应用[例8.4.1] 若一条曲线上任一点(,)M x y 处的切线斜率为2()xyx y +，且过点1(,1)2，求此曲线方程．又当x 取何值时 ，切线的斜率为14． 解：所求曲线方程为下列定解问题的解21,()1()2dy xy y dx x y ==+ 令xv y=，方程可化为 21dv v ydy v+= （*） 可求得方程（*）的通解为2121v yv c e +=从而原方程的通解为2432xyy xy Ce+=，由1()12y =，得2c e =，故所求曲线方程为24322xy y xy e e+=。
高中数学常微分方程知识点总结
高中数学常微分方程知识点总结微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了变量之间的关系以及它们的变化率。
在高中数学课程中，学生们需要学习常微分方程的知识，并且利用这些知识解决实际问题。
本文将对高中数学中常微分方程的主要知识点进行总结。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是包含未知函数的泛函方程，其一般形式为：dy/dx = f(x, y)。
其中，y是未知函数，f(x, y) 是已知的函数。
常微分方程的解是能够满足该方程的函数。
二、常微分方程的分类常微分方程可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
1.一阶常微分方程一阶常微分方程是指未知函数的导数最高次数为一的微分方程，其一般形式为：dy/dx = f(x, y)。
一阶常微分方程的解可以通过分离变量、齐次方程、一阶线性方程等方法求解。
2.高阶常微分方程高阶常微分方程是指未知函数的导数最高次数大于一的微分方程。
高阶常微分方程的求解可以通过转换为一阶方程组、特解叠加法、特征方程等方法求解。
三、常微分方程的解法1.分离变量法对于一阶常微分方程，若可以将未知函数y和自变量x分离，则可以将方程化简为两个变量的乘积形式，从而可以通过分离变量的方式求解出y的表达式。
2.齐次方程法对于一阶常微分方程，若可以将未知函数y和自变量x在方程中通过同一个变量替换成比值的形式，则可以将方程化简为一个纯含有未知函数y的方程，从而可以通过变量代换解出y的表达式。
3.线性方程法对于一阶常微分方程，若可以将方程化简为形如dy/dx + P(x)y =Q(x)的线性方程，则可以通过积分因子或待定系数法等方法求解出未知函数y的表达式。
4.特解叠加法对于高阶常微分方程，可以通过叠加一般解和特解的方式求解出方程的解。
一般解是该方程的任意解，特解是方程的一个特殊解。
5.特征方程法对于高阶常微分方程，可以通过求解该方程的特征方程得到方程的特解形式。
特征方程是该方程对应的齐次方程的根的特征方程，通过求解特征方程的根可以得到方程的特解形式。
《常微分方程》知识点
《常微分方程》知识点常微分方程，又称ODE（Ordinary Differential Equation），是研究未知函数的导数与自变量之间的关系的数学学科。
常微分方程在科学和工程领域中有着广泛的应用，涉及到许多重要的数学原理和方法。
下面将介绍常微分方程的一些重要知识点。
1.基本概念-常微分方程的定义：常微分方程是描述未知函数在其中一区域上的导数与自变量之间的关系的方程。
-方程的阶数：常微分方程中最高阶导数的阶数称为方程的阶数。
-解和解集：满足常微分方程的未知函数称为方程的解，所有满足方程的解的集合称为方程的解集。
2.常微分方程的分类-分离变量法：适用于可以通过变量分离的常微分方程，将所有含有未知函数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，然后两边同时积分求解。
-齐次方程：适用于可以化为齐次方程的常微分方程，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。
-线性齐次方程：适用于可以化为线性齐次方程的常微分方程，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。
-非齐次方程：适用于非齐次方程的常微分方程，可以通过对应的齐次方程的解和特解的叠加，得到非齐次方程的解。
-可降阶的方程：这类方程具有特殊的形式，通过进行变量的代换，可以将高阶常微分方程转化为一阶或者低阶的方程，然后求解。
3.常微分方程的解法-解析解：指通过直接计算得到的解析表达式，能够准确地求得方程的解。
-数值解：指通过数值计算的方法，例如欧拉法、龙格-库塔法等，近似求解方程的解。
4.常用的一阶常微分方程- 可分离变量的方程：形如dy/dx = f(x)g(y)，通过将变量分离，然后积分求解得到解析解。
- 齐次方程：形如dy/dx = f(y/x)，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。
- 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。
大二常微分方程知识点
大二常微分方程知识点常微分方程是数学中非常重要的一个分支，它研究的是指导自然界中各种现象变化规律的方程。
在大二学习阶段，我们需要掌握一些常微分方程的基本知识点，接下来将逐一介绍。
1. 常微分方程的定义及基本概念常微分方程是指包含一个未知函数及其导数的方程，并且仅涉及一个自变量。
常微分方程的解是未知函数的函数表达式，它满足方程本身以及初值条件。
常微分方程一般可以分为初值问题和边值问题。
初值问题是指在给定某一时刻的初值条件下，求解方程的解；而边值问题是在给定一定边界条件下，求解方程的解。
2. 一阶常微分方程一阶常微分方程是指方程中最高导数的阶数为一的常微分方程。
它可以分为可分离变量的一阶常微分方程、线性一阶常微分方程和齐次线性一阶常微分方程等。
可分离变量的一阶常微分方程可以通过对方程两边进行变量分离，然后进行积分求解。
线性一阶常微分方程可以通过求解其特征方程，得到通解。
如果已知特解，可以通过通解加上特解得到特定解。
齐次线性一阶常微分方程则可以转化为线性一阶常微分方程，并且其特征方程只有一个解。
3. 高阶常微分方程高阶常微分方程是指方程中最高导数的阶数大于一的常微分方程。
它可以分为常系数线性高阶常微分方程和非齐次线性高阶常微分方程等。
常系数线性高阶常微分方程可以通过求解其特征方程，得到通解。
如果已知特解，可以通过通解加上特解得到特定解。
非齐次线性高阶常微分方程则可以转化为常系数线性高阶常微分方程，并且其特征方程有多个解。
4. 常微分方程的解法技巧在解常微分方程时，我们可以借助一些常见的解法技巧，如变量分离法、齐次方程法、常数变易法、欧拉方程等。
变量分离法是指通过将方程中的变量分离，然后进行积分求解。
齐次方程法适用于齐次的高阶常微分方程，在此方法中，我们需要进行代换，将齐次方程转化为一阶常微分方程。
常数变易法适用于非齐次的高阶常微分方程，我们通过猜测特解的形式，并代入方程，再确定常数的值。
欧拉方程是针对常系数线性高阶常微分方程的解法，其中特解形式为 e^rx。
《常微分方程》知识点整理
《常微分方程》知识点整理
一、定义与特点
常微分方程(ordinary differential equation)是数学中描述物理、
化学、生物等过程的重要工具，它描述物体状态及其变化的模型，可以用
来研究物体的动力、动力学、物理现象等问题。
它可以从几何角度、分析
角度以及物理角度这三个角度来看待，它是一个研究条件下物体状态和变
化的数学方程。
常微分方程有以下几个特点：
1.常微分方程是一类特殊的未知函数问题，它由一个函数及它的一阶
或多阶导数组成。
2.未知函数有可能是多元函数，也可能是单元函数，可以是实函数也
可以是复函数。
3.常微分方程的形式因微分函数种类而各异，有非线性方程、线性方程、常系数方程、变系数方程等类型。
4.常微分方程的解可以是定状态的、非定状态的、稳定的或不稳定的，它可以有解或得不到解。
5.常微分方程具有很深的理论性，可用来求解物理、化学、力学等问题，可以修正原来结论，使现象更加接近实际情况。
二、种类
1.线性常微分方程：线性微分方程是常微分方程中最简单的类型，它
的特点是多重未知函数的阶和系数形式都是定值，而不依赖于其他函数，
它的解可以直接用几何方法求解（比如可以用函数级数的展开形式求解）。
2.二次可积常微分方程：这类方程中。
大一常微分方程一知识点总结
大一常微分方程一知识点总结本文档旨在总结大一常微分方程一课程中的主要知识点，帮助同学们复和回顾相关内容。
1. 什么是微分方程微分方程是一个含有未知函数及其导数的方程。
它通常用于描述自然现象中包含变化速率的问题，如物理、工程和经济等领域。
2. 常见的常微分方程类型常微分方程可以分为以下几类：- 一阶常微分方程：只涉及一阶导数的方程。
常见的一阶方程包括分离变量方程、线性方程和齐次方程等。
- 二阶常微分方程：涉及二阶导数的方程。
常见的二阶方程包括常系数二阶齐次方程和非齐次方程等。
3. 常微分方程的解法常微分方程的解法主要有以下几种：- 分离变量法：将方程的未知函数与其导数分开，将方程变为两个可积的方程，再进行求解。
- 变量替换法：通过合适的变量替换，将原方程转化为可以更容易求解的形式。
- 齐次方程的解法：通过适当的变量替换，使得方程变为可以分离变量的形式，然后利用分离变量法求解。
- 常系数二阶齐次方程的解法：通过对方程进行特征根分析，得到方程的通解。
- 非齐次方程的解法：通过求解对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解，得到非齐次方程的通解。
4. 常微分方程的应用常微分方程在各个领域都有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：- 物理学：常微分方程可以用于描述物理系统的运动规律，如牛顿运动定律、电路中的电流变化等。
- 工程学：常微分方程可以用于描述工程问题中的变化和变化率，如电路中的电压变化、机械系统的振动等。
- 经济学：常微分方程可以用于描述经济系统中的变化和变化率，如经济增长模型、人口增长模型等。
以上是对大一常微分方程一课程的主要知识点的简要总结，希望能够为同学们的学习提供一些帮助和参考。
高数大一知识点常微分方程
高数大一知识点常微分方程高数大一知识点：常微分方程常微分方程（Ordinary Differential Equation，简称ODE）是数学中的一个重要分支，研究函数的导数与自变量之间的关系。
在高数大一的学习中，常微分方程是一个重要的知识点。
本文将简要介绍常微分方程的定义、分类和解法，并给出一些常见的示例。
一、常微分方程的定义常微分方程是用函数与其导数构成的等式来描述未知函数的性质的数学方程。
一般形式为：f(x, y, y', y'', ..., y⁽ⁿ⁾) = 0其中，x为自变量，y为未知函数，y⁽ⁿ⁾表示y的n阶导数。
二、常微分方程的分类常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
1. 一阶常微分方程一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)其中，f(x, y)为已知函数。
一阶常微分方程的解可以表示为y = Φ(x, C)，其中Φ(x, C)是一族包含常数C的函数。
2. 高阶常微分方程高阶常微分方程是指方程中包含未知函数的高阶导数的方程。
高阶常微分方程可以通过一系列变换化为一阶常微分方程。
三、常微分方程的解法常微分方程的解法有很多种方法，这里介绍两种常用的方法：分离变量法和常数变易法。
1. 分离变量法对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，可以通过分离变量将y的项移到一边，x的项移到另一边，然后两边同时积分得到通解。
2. 常数变易法对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，可以通过引入一个未知函数u(x)，将方程转化为关于u和x的一阶常微分方程，再通过求导和代换等操作，求得y关于x的通解。
四、常微分方程的示例1. 一阶常微分方程示例：dy/dx = x^2 - y先整理方程，得到dy + y = x^2通过分离变量法可得∫1/y dy = ∫x^2 dx解得ln|y| = x^3/3 + C1最终的通解为y = Ce^(x^3/3)，其中C为常数。
常微分方程的大致知识点
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常微分方程的大致知识点
（一）初等积分法
1、线素场与等倾线
2、可分离变量方程
3、齐次方程（一般含有x
y y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程
5令 6781方法：特征方程
单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+=
单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+=
重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+=
重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=
2、常系数非齐次)()(x f y D L =
方法：三部曲。
第一步求0)(=y D L 的通解Y
第二步求)()(x f y D L =的特解*y
第三步求)()(x f y D L =的通解*y Y y +=
如何求*y ？
当
f 当f 当f 1当0,021><λλ，鞍点，图像
当0,021<<λλ，稳定结点，图像
当0,021>>λλ，不稳定结点，图像
第二种情况：相异复根，βαλ+=1i ，βαλ-=2i
当0=α，中心，图像
当0<α，稳定焦点，图像
当0>α，不稳定焦点，图像
第三种情况：相同实根，λλλ==21
当c b ,同时为0时，如果0>λ，不稳定临界结点，图像 如果0<λ，稳定临界结点，图像
当c b ,不同时为0时，如果0>λ，不稳定退化结点，图像
23。
常微分方程主要内容
常微分方程主要内容
摘要：
1.常微分方程的概述
2.常微分方程的主要内容
3.常微分方程的应用
4.学习常微分方程的方法和技巧
正文：
一、常微分方程的概述
常微分方程是微分方程的一个分支，主要研究变量随时间变化的规律。
它在数学、物理、化学、生物学等领域有着广泛的应用，是解决许多实际问题的关键工具。
二、常微分方程的主要内容
1.基本概念：常微分方程涉及的基本概念包括导数、微分、积分等，这些概念是理解常微分方程的基础。
2.基本定理：常微分方程的基本定理包括解的存在唯一性定理、解的延展定理等，这些定理是研究常微分方程的关键。
3.解法：常微分方程的解法包括初等基分法、线性微分方程组解法、n 阶线性微分方程解法等，这些解法是求解常微分方程的具体方法。
4.特殊类型：常微分方程中的特殊类型包括线性微分方程、非线性微分方程、隐式微分方程、显式微分方程等，这些特殊类型需要特殊的处理方法。
三、常微分方程的应用
常微分方程在实际应用中具有广泛的应用，包括数值计算、微分方程建模等。
例如，在物理学中，常微分方程可以用来描述物体的运动规律；在生物学中，常微分方程可以用来描述生物种群的演化规律等。
四、学习常微分方程的方法和技巧
学习常微分方程需要掌握一定的数学基础，包括微积分、线性代数等。
此外，学习常微分方程还需要掌握一些基本的数学分析方法，如极限、连续、导数、微分等。
在解决常微分方程问题时，需要灵活运用这些方法和技巧，以求得问题的解决。
总之，常微分方程是数学中的一个重要分支，它在实际应用中具有广泛的应用。
常微分方程考研知识点总结
常微分方程考研知识点总结一、常微分方程的基本概念1.1 常微分方程的定义常微分方程是描述自变量是一元函数的未知函数的导数与自身、自变量及未知函数的关系的方程。
一般形式为F(x, y, y', y'', ...) = 0。
1.2 常微分方程的类型常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程只含有未知函数及其一阶导数，高阶常微分方程含有未知函数及其高阶导数。
1.3 常微分方程的解常微分方程的解是使得方程成立的函数。
解分为通解和特解。
通解是对所有满足方程的解函数的一般描述，而特解是通解的一个具体实例。
1.4 常微分方程的初值问题常微分方程的初值问题是指在给定的初值情况下求常微分方程的解。
初值问题的解是满足给定初值条件的特解。
二、常微分方程的解法2.1 可分离变量法对于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程，若f(x)和g(y)可以分离，则可通过对方程两边积分的方式求解。
2.2 线性微分方程线性微分方程是指形如y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)的形式，其中p(x)、q(x)、r(x)为已知函数，y为未知函数。
线性微分方程的求解通过研究它的齐次方程和非齐次方程来进行。
2.3 全微分方程全微分方程是指形如M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0的形式，其中M(x, y)和N(x, y)为定义在某个区域内的函数。
对于全微分方程，可以通过判断其恰当性来进行求解。
2.4 变换形式对于某些复杂的微分方程，可以通过变量代换、特征变换等方法将其化为比较简单的形式进行求解。
2.5 积分因子法对于线性微分方程，可以通过寻找合适的积分因子来将其转化为恰当微分方程，进而进行求解。
2.6 叠加原理对于非齐次线性微分方程，可以通过将其通解与特解相加得到其通解。
三、常微分方程的应用3.1 物理问题常微分方程在物理学中有着广泛的应用。
常微分方程知识点
第一章 绪论什么是线性微分方程：形如)()()()(y 1)1(1)(x f y x a y x a y x a n n n n =+'+++--Λ的微分方程，即y 及y 的各阶导数都是一次有理整式，即不含y 及y 的各阶导数的乘积的微分方程叫：线性微分方程。
第二章 一阶微分方程的初等解法§ 2.1 变量分离方程1、形式：)()(y x f dxdy ϕ= 做题步骤：① 0)(≠y ϕ 可将方程改写为：dx x f y dy )()(=ϕ，这样对两边积分：⎰⎰+=c dx x f y dy )()(ϕ，得出方程的通解，但c 要保证积分式有意义 ② 0)(=y ϕ时，求出0y y = 也是方程的解2、y x P dxdy )(=得dx x P ce y ⎰=)( (2.4) 而0=y 也是方程的解，而若(2.4)允许c=0，则y=0也在(2.4)中，故(2.4)是原方程的通解，其中c=0。
3、齐次方程：)(xy g dx dy = (2.5) 做变量变换x y u =，即ux y =，则u dx du x dx dy +=，整理后为：x u u g dx du -=)(，即为变量分离方程。
同时要注意：将一个方程转化为齐次方程求解时，两个方程是否同解（c 的范围是否相同）4、222111c y b x a c y b x a dx dy ++++= (2.13) 做题步骤：①k c c b b a a ===212121（常数），通解：c kx y += (c 为任意常数) ② 212121c c k b b a a ≠==，令y b x a u 22+=，有212222c u c ku b a dx dy b a dx du ++++=+=，为变量分离方程 ③ 2121b b a a ≠，如果没有常数21c c 、，则很容易变成齐次方程做，（体会：）让分子分母都为零，则为两条曲线⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a (2.14)，两条曲线相交的交点为),(βα，而没有那两个常数时方程为都过原点的形式，因此过原点的这两直线可视为原坐标系平移后原直线在新坐标系下的坐标，令⎩⎨⎧-=-=βαy Y x X ，(2.14) 变为⎩⎨⎧=+=+002211Y b X a Y b X a ，从而 (2.13) 变为)(2211X Y g Y b X a Y b X a dX dY =++=，§ 2.2 线性微分方程与常数变易法1、)()(x Q y x P dxdy += (2.28) 做题步骤：① 考虑y x P dxdy )(=，求出它的通解为：⎰=dx x P ce y )(；② 常数变易变为：⎰=dx x P e x c y )()((2.29) ③ 求微分得：⎰+⎰=dx x P dx x P e x P x c e dxx dc dx dy )()()()()( (2.30) ，④ 将(2.29)和(2.30)代入(2.28)，得到： ⎰=-dx x P e x Q dx x dc )()()(，⑤ 积分后得到⎰'+⎰=-c dx e x Q x c dx x P )()()(，于是得到方程(2.28)的通解为： ))(()()(⎰'+⎰⎰=-c dx e x Q e y dx x P dx x P2、伯努利微分方程n y x Q y x P dxdy )()(+= 做题步骤：① 两边同除以n y ，得到)()(1x Q x P y dx dy yn n +=--，② 设n y z -=1，得dx dy y n dx dz n --=)1( ③ 于是原方程变为：)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -+-=，即为线性微分方程 § 2.3 恰当微分方程与积分因子1、恰当方程形式：0),(),(=+dy y x N dx y x M （M 、N 在已知区域上连续且具有一阶连续偏导数）推理过程：① 若已知此微分方程是恰当方程能推出什么？先设原函数为),(y x u yx u y N x y u y M ∂∂∂=∂∂∂∂∂=∂∂22、 由条件得：yx u x y u ∂∂∂=∂∂∂22即x N y M ∂∂=∂∂ ② 那么反过来若由它俩相等能否推出方程是恰当方程？ 从x u M ∂∂=出发，两边同时求积分：⎰⎰∂∂==x u Mdx u +c ，但c 若是常数那么？则应为：⎰⎰+=∂∂=)(y Mdx dx x u u ϕ ③ 对u 关于y 求偏导：),()(y x N y Mdx y y u ='+∂∂=∂∂⎰ϕ，如何证明等式左边等于右边（方程有意义），即右边也与x 无关即只与y 有关？ 对右边关于x 求偏导0=∂∂-∂∂=∂∂∂∂-∂∂⎰y M x N dx y M x x N （因为证充分，则y M x N ∂∂=∂∂为已知）④ 两端积分：dy Mdx y N y ⎰⎰∂∂-=)()(ϕ，于是⎰⎰⎰∂∂-+=)(dy y M N Mdx u 做题步骤：① 先设u(x,y)，② 证明xN y M ∂∂=∂∂，③ 从M 出发对方程两端同时求积分得)(),(),(y dx y x M y x u ϕ+=⎰，④ 对u 求偏导：),()(y x N y Mdx y y u ='+∂∂=∂∂⎰ϕ，⑤ 两边积分得dy dx y M N y ⎰⎰∂∂-=)()(ϕ，⑥ 得⎰⎰⎰∂∂-+=dy dx y M N Mdx u )(。
《常微分方程》知识点整理
《常微分方程》复习资料1．（变量分离方程）形如()()dyf x y dxϕ=（1.1）的方程，称为变量分离方程，这里(),()f x y ϕ分别是,x y 的连续函数． 解法：（1）分离变量，当()0y ϕ≠时，将（1.1）写成()()dyf x dx y ϕ=，这样变量就“分离”了； （2）两边积分得()()dyf x dx c y ϕ=⎰⎰+（1.2），由（1.2）所确定的函数(,)y x c ϕ=就为（1.1）的解． 注：若存在0y ，使0()0y ϕ=，则0y y =也是（1.1）的解，可能它不包含在方程（1.2）的通解中，必须予以补上． 2．（齐次方程）形如(dy yg dx x=的方程称为齐次方程，这里是u 的连续函数． ()g u 解法：（1）作变量代换（引入新变量）y u x =，方程化为()du g u u dx x -=，（这里由于dy dux u dx dx=+）；（2）解以上的分离变量方程；（3）变量还原．3．（一阶线性微分方程与常数变异法）一阶线性微分方程()()()0dya xb x yc x dx++=在的区间上可写成()0a x ≠()()dyP x y Q x dx =+（3.1），这里假设在考虑的区间上是(),()P x Q x x 的连续函数．若，则（3.1）变为()0Q x =()dyP x y dx=（3.2），（3.2）称为一阶齐次线性方程．若()0Q x ≠，则（3.1）称为一阶非齐次线性方程． 解法：（1）解对应的齐次方程()dyP x y dx=，得对应齐次方程解()p x y ce dx ⎰=，为任意常数；c （2）常数变异法求解（将常数变为c x 的待定函数，使它为（3.1）的解）：令为（3.1）的解，则()c x ()()p x dxy c x e ⎰=()()()()()p ⎰⎰p x dx p x dy dc x e c x x e dx dx =+dx ，代入（3.1）得()()()p x dx dc dxx Q x e -⎰=)，积分得；()p x dx c ⎰=+ ()()c x Q x e -⎰（3）故（3.1）的通解为()()(()p x dxp x dxy e Q x e dx -⎰⎰c=+⎰ ． 4．（伯努利方程）形如()()n dyP x y Q x y dx=+的方程，称为伯努利方程，这里为(),()P x Q x x 的连续函数． 解法：（1）引入变量变换，方程变为1nz y -=(1)()(1)()dz n P x z n Q x dx=-+-；（2）求以上线性方程的通解； （3）变量还原．5．（可解出的方程）形如y (,)dyy f x dx=(5.1)的方程，这里假设(,)f x y '有连续的偏导数． 解法：（1）引进参数dyp dx=，则方程（5.1）变为(,)y f x p =（5.2）； （2）将（5.2）两边对x 求导，并以dy p dx =代入，得f f pp x p x∂∂∂=+∂∂∂（5.3），这是关于变量,x p 的一阶微分方程；（3）（i ）若求得（5.3）的通解形式为(,)p x c ϕ=，将它代入（5.2），即得原方程（5.1）的通解(,(,))y f x x c ϕ=，为任意常数；c（ii ）若求得（5.3）的通解形式为(,)x p c ψ=，则得（5.1）的参数形式的通解为(,)((,),)x p c y f p c p ψψ=⎧⎨=⎩，其中p 是参数，是任意常数；c （iii ）若求得（5.3）的通解形式为，则得（5.1）的参数形式的通解为(,,)0x p c Φ=(,,)0(,)x p c y f x p Φ=⎧⎨=⎩，其中p 是参数，是任意常数．c 6．（可解出x 的方程）形如(,)dyx f y dx=(6.1)的方程，这里假设(,)f y y '有连续的偏导数． 解法：（1）引进参数dyp dx=，则方程（6.1）变为(,)x f y p =（6.2）； （2）将（6.2）两边对y 求导，并以1dx dy p=代入，得1f f pp y p y ∂∂∂=+∂∂∂（6.3），这是关于变量,y p 的一阶微分方程；（3）若求得（6.3）的通解形式为，则得（6.1）的参数形式的通解为(,,)0y p c Φ=(,)(,,)0x f y p y p c =⎧⎨Φ=⎩，其中p 是参数，是任意常数．c 7．（不显含的方程）形如y (,)0dyF x dx=的方程，这里假设(,)F x y '有连续的偏导数． 解法：（1）设dyp dx=，则方程变为； (,)0F x p =（2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t (,)0F x p =()()x t p t ϕψ=⎧⎨=⎩，（关键一步也是最困难一步）； （3）把()x t ϕ=，()p t ψ=代入dy ，并两边积分得pdx =()()y t t dt ψϕ'c =+⎰；（4）通解为()()()x t y t t dt ϕψϕ=⎧⎪⎨'=+⎪⎩⎰c ．8．（不显含x 的方程）形如(,)0dyF y dx=的方程，这里假设(,)F y y '有连续的偏导数．解法：（1）设dyp dx=，则方程变为；(,)0F y p =（2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t (,)0F y p =()()y t p t ϕψ=⎧⎨=⎩，（关键一步也是最困难一步）；（3）把()y t ϕ=，()p t ψ=代入dy dx p =，并两边积分得()()t x dt c t ϕψ'=+⎰； （4）通解为()()()t x dt c t y t ϕψϕ'⎧=+⎪⎨⎪=⎩⎰． 9．（型可降阶高阶方程）特点：不显含未知函数()(1)(,,,,)0(1)k n n F x y y y k -=≥ y 及．(1),,k y y -' 解法：令()()k yz x =，则(1)k y z +'=，．代入原方程，得．若能求得，()()n n y z -=k ()(,(),(),,())0n k F x z x z x z x -'= ()z x将()()k yz x =()yf =连续积分次，可得通解．k , 10．（型可降阶高阶方程）特点：右端不显含自变量()(1)(,,)n k y y y -n x ．解法：设，则()y 222,(dp dy dP d p dP y P y P P dy dx dy dy dy'''''===+ y p '=2,) ，代入原方程得到新函数的()P y (1n -阶方程，求得其解为1()(,,,)n 1P y y C C ϕ-== dy dx，原方程通解为11(,,,)n n dyx C y C C ϕ-=+⎰ ．11．（恰当导数方程）特点：左端恰为某一函数对(1)(,,,,)n x y y y -'Φ x 的导数，即(1)(,,,,)0n dx y y y dx-'Φ= ． 解法：类似于全微分方程可降低一阶(1)(,,,,)n x y y y C -'Φ ='，再设法求解这个方程．12．（齐次方程）特点：（k 次齐次函数）．()()(,,,,)(,,,,)n k n x ty ty ty t F x y y y '= F zdx解法：可通过变换y e =⎰将其降阶，得新未知函数．因为()z x 2()(1),(),,(,,,)zdxzdxzdxn n y ze y z z e yz z z e -⎰⎰⎰'''''==+=Φ (1)(,,,,)0n f x z z z -'，代入原方程并消去，得新函数的阶方程k z e ⎰dx ()z x (n -1)= ．13．（存在唯一性定理）考虑初值问题00(,)()dyf x y dxy x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（13.1），其中(,)f x y 在矩形区域00:,R x x a y y b -≤-≤上连续，并且对满足Lipschitz 条件：即存在，使对所有(,y 0L >12(,)),x y x y R ∈常成立121(,)(,)2f x y f x y L y y -≤-，则初值问题（13.1）在区间0x x -≤h 上的解存在且唯一，这里(,)min(,h a =(,)x y R M Max f x y ∈=bM．初值问题（13.1）等价于积分方程00(,)xx y y f t y =+⎰dt ，构造Picard 逐步逼近函数列}{00001()()()(,())xn nn x x y x x y f ϕϕϕξϕ-=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰dx ξ 00x x x ≤≤+h ，n ．1,= 2,14．（包络的求法）曲线族（14.1）的包络包含在下列两方程(,,)0x y c Φ=(,,)0(,,)0c x y c x y c Φ=⎧⎨'Φ=⎩消去参数而得到的曲线之中．曲线c (,)0F x y =(,)0F x y =称为（14.1）的c -判别曲线．15．（奇解的直接计算法）方程(,,)0dyF 15.1）的奇解包含在由方程组⎨去参数x y dx =（消(,,)0(,,)0c F x y p F x y p =⎧'=⎩p 而之得到的曲线(,Φ=中，此曲线称为（15.1）的)0x y p -别曲线，这里(,F 判,)x y p 0=是,,x y p 的连续可微函数． 注：p -判别曲线是否为方程的奇解，尚需进一步讨论． 16．（克莱罗方程）形如dy dy y xf dxdx ⎛⎫=+ ⎝⎭⎪（16.1）的方程，称为克莱罗方程，这里． ()0f p ''≠解法：令dy p dx =，得．两边对()y xp f p =+x 求导，并以dyp dx=代入，即得()dp dp p x p f p dx dx '=++，经化简，得[()]0．dpx f p dx '+= 如果0dp dx=，则得到p c =．于是，方程（16.1）的通解为：()y cx f c =+．如果，它与等式()0x f p '+=()y xp f p =+联立，则得到方程（16.1）的以p 为参数的解：()0()x f p y xp f p '+=⎧⎨=+⎩或()0()x f c y xc f c '+==+⎧⎨⎩其中为参数．消去参数c p 便得方程的一个解． 17．（函数向量组线性相关与无关）设12(),(),,()m x t x t x t a t b ≤≤是一组定义在区间[,上的函数列向量，如果存在一组不全为0的常数，使得对所有，有恒等式]a b c 12,,m c c c 1122()()()0m m c x t c x t x t +++ =， 则称12(),(),,()m x t x t x t 在区间[,上线性相关；否则就称这组向量函数在区间[,上线性无关．]a b ]a b 18．（Wronsky 行列式）设有n 个定义在a t 上的向量函数b ≤≤nn 11121212221212()()()()()()(),(),,()()()()n n n n n x t x t x t x t x t x x t x t x t t x t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢===⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣ ⎦ ，由这n 个向量函数所构成的行列式111212122212[(),(12()()()()()()),()()()()()n n n n n nn x t x t x t x t x t x t W x x t W t t x t x t x t x t ≡称为这个向量函数所构成的Wronsky 行列式．n 如果向量函数12(),(),,()n x t x t x t 在a t 上线性相关，则它们的Wronsky 行列式． b ≤≤()0,t W t a b ≡≤≤19．（基解矩阵的计算公式）（1）如果矩阵具有个线性无关的特征向量，它们相应的特征值为A n 12,,,n v v v 12,,,n λλ λ（不必互不相同），那么矩阵是常系数线性微分方程组12tte λλ12(),,,],n tn v v e v λΦ=-∞<< [t e x +∞x Ax '=的一个基解矩阵； （2）矩阵的特征值、特征根出现复根时（略）； A （3）矩阵的特征根有重根时（略）．A 20．（常系数齐线性方程）考虑方程111[]0n n n n n d x d xL x a a x dt dt--=+++= （20.1），其中为常数，称（20.1）为阶常系数齐线性方程．12,,n a a a n 解法：（1）求（20.1）特征方程的特征根12,,,k λλλ ；（2）计算方程（20.1）相应的解：（i ）对每一个实单根k λ，方程有解k teλ；（ii ）对每一个重实根1m >k λ，方程有个解：m 21,,,,k k k tttm e te t e te k tλλλ- λ；（iii ）对每一个重数是1的共轭复数i αβ±，方程有两个解：cos ,sin tte t e ααt ββ； （iv ）对每一个重数是的共轭复数1m >i αβ±，方程有个解：2m 11cos ,cos ,,cos ;sin ,sin ,,sin t t m t ttm te t te t t e t e t te t te tααααααββββββ-- ；（3）根据（2）中的（i ）、（ii ）、（iii ）、（iv ）情形，写出方程（20.1）的基本解组及通解．21．（常系数非齐次线性方程）()y py qy f x '''++=二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程，通解结构0y py qy '''++=y Y y =+．设非齐次方程特解()x y Q x e λ=代入原方程 2()(2)()()()()m Q x p Q x p q Q x P x λλλ'''+++++=（1）若λ不是特征方程的根，，可设20p q λλ++≠()()m Q x Q x =，()xm y Q x e λ=；（2）若λ是特征方程的单根，，2020p q λλ++=p λ+≠，可设()()m Q x xQ x =，()xm y xQ x e λ=； （3）若λ是特征方程的重根，，2020p q λλ++=p λ+=，可设，2()()m Q x x Q x =2()xm y x Q x e λ=． ()k x综上讨论，设y m x e Q x λ=，． 012k λλλ⎧⎪=⎨⎪⎩不是根是单根是重根。
常微分方程的大致知识点
常微分方程的大致知识点一、基本概念1. 微分方程：包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为dy/dx = f(x, y)。
2.隐式解：由微分方程定义的函数关系，即常微分方程的解。
3.解的阶：微分方程解中导数的最高阶数。
4.初值问题：给定微分方程解及其导数在其中一点的初始条件，求解在该点上的特定解。
二、分类根据微分方程中未知函数的阶数、系数是否包含自变量，以及方程是否含有非线性项，常微分方程可以分为以下几类：1.一阶微分方程：- 可分离变量方程：dy/dx = g(x)/h(y)，通过变量分离可将方程化为两个变量的乘积。
- 齐次方程：dy/dx = f(x, y)，通过变量代换将方程化为变量分离方程。
- 一阶线性方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)，通过积分因子法求解。
- Bernoulli方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n，通过变换化为线性方程求解。
2.二阶微分方程：- 齐次线性方程：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，通过特征方程求解。
- 非齐次线性方程：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，通过待定系数法和特解法求解。
- 常系数线性方程：d^2y/dx^2 + a dy/dx + by = f(x)，通过特征方程和特解法求解。
三、解法1.变量分离法：一阶微分方程中的可分离变量方程通过将未知函数与自变量的微分分离，然后两边同时积分得到解。
2.变量代换法：一阶微分方程中的齐次方程通过将未知函数表示为新的变量，从而将方程化为分离变量方程。
3.积分因子法：一阶线性方程通过找到一个适当的函数作为积分因子，然后将方程乘以积分因子，从而使得方程左侧成为一个全微分。
4.特征方程法：二阶齐次线性方程通过设解为指数函数的形式，通过特征方程求解。
5.待定系数法：二阶非齐次线性方程通过假设特解为其中一形式的函数，然后解出系数。
第九讲常微分方程知识点
第九讲常微分方程知识点常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是用来描述系统变化的数学模型，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
常微分方程的基本形式为：\[\frac{{dy}}{{dx}}=f(x,y)\]其中，y是未知函数，x是自变量，f(x,y)是已知函数。
常微分方程可以分为一阶和二阶微分方程，下面将对一阶和二阶微分方程进行介绍。
一阶微分方程：一阶微分方程是指未知函数的导数仅包含一阶导数的微分方程。
一般形式如下：\[\frac{{dy}}{{dx}}=f(x,y)\]其中f(x,y)为已知函数。
解一阶微分方程的方法有几种，如可分离变量法、齐次方程法、线性方程法等。
可分离变量法是最常见的解一阶微分方程的方法。
首先，将方程中的dy和dx分开，并移项得到：\[dy=f(x,y)dx\]然后，将dy与dx移到等号两侧，并将x和y分别提取到一侧得：\[\int\frac{{dy}}{{f(x,y)}}=\int dx+C\]其中C为常数。
然后，对两边分别求不定积分，并将等式两边的常数合并得到最终的解。
齐次方程法是解决形如\[\frac{{dy}}{{dx}}=f(x,y)\]的方程的方法。
其基本思路是将方程转化为\[\frac{{dy}}{{dx}}=\phi(\frac{{y}}{{x}})\]的形式，其中\(\phi(u)=f(1,u)\)。
解这个齐次方程后，再通过变量替换将解转化为原方程的解。
线性方程法是解决形如\[\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=Q(x)\]的方程的方法。
线性方程法的基本思路是将方程中的非线性部分转化为线性的部分，然后利用已知的线性微分方程的解的性质得到方程的解。
一般情况下，可以利用积分因子法将方程转化为线性方程。
二阶微分方程：二阶微分方程是指未知函数的导数包含了一阶和二阶导数的微分方程。
一般形式如下：\[\frac{{d^2 y}}{{dx^2}}=f(x,y,\frac{{dy}}{{dx}})\]其中f(x,y,y')为已知函数。
常微分方程知识点总结
常微分方程知识点总结1. 常微分方程的定义：常微分方程是指包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为：dy/dx=f(x,y)。
其中，y为未知函数，x为自变量，f为已知函数。
2.常微分方程的分类：常微分方程可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程包含未知函数的一阶导数，高阶常微分方程则包含未知函数的高阶导数。
3.一阶常微分方程的解法：一阶常微分方程的解法有几种常见的方法。
一种是分离变量法，即将方程两边进行变量分离，然后进行积分。
另一种是齐次方程法，将方程进行变量替换后化为齐次方程，然后进行求解。
还有一种是线性方程法，将方程化为线性方程，然后进行求解。
4.高阶常微分方程的解法：对于高阶常微分方程，常用的方法是特征根法。
通过求解其特征方程得到特征根，然后根据特征根的个数和重数，确定齐次线性微分方程的通解形式。
再根据待定系数法确定非齐次线性微分方程的一个特解，进而得到非齐次线性微分方程的通解。
5.常微分方程的初值问题：常微分方程的初值问题指的是给定一个初始条件，求解满足该条件的函数。
在求解过程中，需要将初始条件代入方程，得到特定的常数，从而确定唯一的解。
6.常微分方程的数值解法：对于一些难以求解的常微分方程，可以采用数值解法进行求解。
常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法、亚当斯法等。
这些方法通过将微分方程转化为差分方程，然后进行迭代计算，逼近微分方程的解。
7.常微分方程的稳定性分析：稳定性分析是研究常微分方程解的长期行为。
可以通过线性化理论、相图等方法进行稳定性分析。
线性化理论通过线性化方程，判断非线性常微分方程解的稳定性。
相图是一种可视化的方法，通过绘制解的轨迹图，观察解的长期行为。
8.常微分方程的应用：常微分方程在各个领域都有广泛的应用。
在物理学中，常微分方程可以描述运动学问题、电路问题等。
在工程学中，可以应用于控制系统、电力系统等。
在生物学中，可以用于建立生物模型、研究生物过程等。
总结起来，常微分方程是数学中的一门重要学科，研究的是包含未知函数及其导数的方程。
常微分方程相关知识点大一
常微分方程相关知识点大一常微分方程是数学中的一个重要分支，是描述自然界中各种现象的数学模型。
在大一的学习中，常微分方程也是数学课程中的重点内容之一。
本文将介绍常微分方程的相关知识点，帮助大一学生更好地理解和掌握这一部分内容。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。
通常表示为dy/dx=f(x)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x)是已知的函数。
常微分方程的解是满足方程的函数，可以通过积分等数学方法求解。
二、常微分方程的分类常微分方程可以分为几个主要的类型，常见的有一阶线性方程、一阶可分离变量方程、二阶线性齐次方程等。
1. 一阶线性方程一阶线性方程的一般形式为dy/dx+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)都是已知的函数。
求解一阶线性方程可以通过积分因子法、变量代换法等方法。
2. 一阶可分离变量方程一阶可分离变量方程的一般形式为dy/dx=g(x)/h(y)，其中g(x)和h(y)都是已知的函数。
求解可分离变量方程可以通过分离变量、分别积分等方法。
3. 二阶线性齐次方程二阶线性齐次方程的一般形式为d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=0，其中p(x)和q(x)都是已知的函数。
求解二阶线性齐次方程可以通过特征方程、常数变易法等方法。
三、常微分方程的初值问题初值问题是指在方程中给出了未知函数在某一点的值和导数的值，求解该点附近的解。
对于一阶常微分方程，初值问题可以通过直接代入初值，得到特定的解。
对于高阶方程，可以通过降阶等方法求解出整个解。
四、常微分方程的应用领域常微分方程是数学中的一种工具，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
常微分方程可以描述弹簧振子、电路等自然界中的现象，通过求解方程可以得到系统的运动规律，为科学研究和工程设计提供理论支持。
五、常微分方程的数值解法对于一些复杂的微分方程，无法通过解析方法求得解析解。
这时可以利用数值解法来求得近似解。
常微分方程重点1
常微分方程重点第一章 初等积分法1、什么是微分方程：联系自变量，未知函数以及它们导数的关系式。
2、微分方程的分类''(,)f x y ⎧=⎪⎨⎪⎩显式方程：y 隐式方程：F(x,y,y ）=0。
3、解的分类1212,,...(,,,...)n n n n C C y x C C ϕ⎧⎪=⎨⎪⎩通解：阶常微分方程的含有个任意常数C 的解使C 。
特解：给通解中的任意常数以定值所得到的解。
4、初值问题：00(,)()dy f x y dx y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩(也叫柯西问题)例1：求下列方程满足所给初始条件的解：2'2(1)20(0)1x y xy y ⎧-+=⎨=⎩5、变量可分离方程：()*(),()()()()0dy f x y dx M x N y dx P x Q y dy ϕ⎧=⎪⎨⎪+=⎩或例2：求解方程(1)2211y dy dx x -=- (2)22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 6、齐次方程：()dy y f dx x = (类似于11111****()()****dy a x b y c d a b f f dx a x b y c d a b ηξηξξη+++=⇒=+++) （变量代换）例3：求解1-3dy x y dx x y -+=+ 7、一阶线性微分方程：()*()dy p x y q x dx =+（采用常数变易法） ()()()0, y=c*e ()0, y=(()*)*e p x dx p x dx p x dx q x q x q x e c -⎧⎰=⎪⎨⎰⎰⎪≠+⎩⎰ 定积分形式：000()()0(()*)s s x x p d p s ds x x y q s e ds y e ττ-⎰⎰=+⎰例4：21*2(2)2(0)2dy y x dx x x ⎧=+-⎪-⎨⎪=⎩例5：（证明题）设函数f(t)在[0,]+∞上连续且有界，试证明：方程()dx x f t dt+=的所 有解解在[0,]+∞上有界。
常微分方程知识点
常微分方程知识点常微分方程是微积分的一个重要分支，是描述物理、生物、经济等各类现象的一种数学模型。
常微分方程描述了未知函数与其导数之间的关系，在实际问题中具有广泛的应用。
下面将介绍常微分方程的基本概念、解的存在唯一性、一阶常微分方程和高阶常微分方程等知识点。
1.基本概念：常微分方程描述的是函数与其导数之间的关系。
常微分方程可以分为初值问题和边值问题。
初值问题是给定了函数在特定点的初始值和导数，要求求解函数在整个定义域上的表达式；边值问题是给定了函数在两个点的值，要求求解函数在这两个点之间的表达式。
2.解的存在唯一性：对于一阶常微分方程的初值问题，如果方程的右端函数在整个定义域上连续且满足利普希茨条件，那么方程存在唯一解。
其中利普希茨条件是指有一个正数L，使得对于任意t和s，满足，f(t)-f(s)，≤L，t-s。
3.一阶常微分方程：一阶常微分方程描述的是未知函数y与其一阶导数y'之间的关系。
一阶常微分方程的一般形式为dy/dt = f(t, y)，其中f(t, y)是已知函数。
一阶常微分方程的解可以通过分离变量、线性方程、齐次方程和恰当方程等方法求解。
4.高阶常微分方程：高阶常微分方程描述的是未知函数与其高阶导数之间的关系。
高阶常微分方程的一般形式为d^n y/dt^n = F(t, y, y', ..., y^n-1)，其中F(t, y, y', ..., y^n-1)是已知函数。
高阶常微分方程的解可以通过代数法、特征方程和待定系数法等方法求解。
5.变量分离方法：当一阶常微分方程的右端可以写成g(y)·h(t)的形式时，可以使用变量分离方法求解。
将方程改写为1/g(y) dy = h(t) dt，然后对两边分别积分得到∫1/g(y) dy = ∫h(t) dt，从而求得y的表达式。
6.线性方程方法：当一阶常微分方程可以写成y'+p(t)y=q(t)的形式时，可以使用线性方程方法求解。
常微分方程常考知识点总结
常微分方程常考知识点总结一、基本概念。
1. 常微分方程的定义。
- 含有一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的等式称为常微分方程。
例如：y' + 2y = 0，这里y = y(x)是未知函数，x是自变量，y'是y对x的一阶导数。
2. 阶数。
- 方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。
如y''+3y' - 2y = x是二阶常微分方程，因为方程中未知函数y的最高阶导数是二阶导数y''。
3. 解、通解、特解。
- 解：如果函数y = φ(x)代入常微分方程后，使方程成为恒等式，那么y=φ(x)就称为该常微分方程的解。
- 通解：如果常微分方程的解中含有独立的任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称为通解。
例如，对于一阶常微分方程y'=y，其通解为y = Ce^x（C为任意常数）。
- 特解：在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为特解。
比如在y = Ce^x中，当C = 1时，y = e^x就是一个特解。
二、一阶常微分方程。
1. 可分离变量方程。
- 形式为g(y)dy = f(x)dx的方程称为可分离变量方程。
- 求解方法：将方程两边同时积分，即∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，得到方程的通解。
例如，对于方程y'=(y)/(x)，可化为(dy)/(y)=(dx)/(x)，积分得lny=lnx+C，即y = Cx （C≠0）。
2. 齐次方程。
- 形式为y'=φ((y)/(x))的方程称为齐次方程。
- 求解方法：令u = (y)/(x)，则y = ux，y'=u + xu'，原方程化为u+xu'=φ(u)，这是一个可分离变量方程，按照可分离变量方程的方法求解。
例如，对于方程y'=(y)/(x)+tan(y)/(x)，令u=(y)/(x)，方程化为u + xu'=u+tan u，即xu'=tan u，然后分离变量求解。
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常微分方程重点
第一章 初等积分法
1、什么是微分方程：联系自变量，未知函数以及它们导数的关系式。
2、微分方程的分类''(,)f x y ⎧=⎪⎨⎪⎩显式方程：y 隐式方程：F(x,y,y ）=0。
3、解的分类1212,,...(,,,...)n n n n C C y x C C ϕ⎧⎪=⎨⎪⎩
通解：阶常微分方程的含有个任意常数C 的解使C 。
特解：给通解中的任意常数以定值所得到的解。
4、初值问题：00
(,)()dy f x y dx y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩(也叫柯西问题)
例1：求下列方程满足所给初始条件的解：
2'2(1)20(0)1
x y xy y ⎧-+=⎨=⎩
5、变量可分离方程：()*(),()()()()0
dy f x y dx M x N y dx P x Q y dy ϕ⎧=⎪⎨⎪+=⎩或
例2：求解方程
(1)dy dx = (2)22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 6、齐次方程：()dy y f dx x
= (类似于11111****()()****dy a x b y c d a b f f dx a x b y c d a b ηξηξξη+++=⇒=+++) （变量代换）
例3：求解1-3
dy x y dx x y -+=+ 7、一阶线性微分方程：()*()dy p x y q x dx
=+（采用常数变易法） ()()()()0, y=c*e ()0, y=(()*)*e p x dx p x dx p x dx q x q x q x e c -⎧⎰=⎪⎨⎰⎰⎪≠+⎩
⎰ 定积分形式：000()()0(()*)s s x x p d p s ds x x y q s e ds y e ττ-⎰⎰=+⎰
例4：21*2(2)2(0)2
dy y x dx x x ⎧=+-⎪-⎨⎪=⎩
例5：（证明题）设函数f(t)在[0,]+∞上连续且有界，试证明：方程
()dx x f t dt
+=的所 有解解在[0,]+∞上有界。
8、全微分方程：(,)(,)0M x y dx N x y dy += 0000000(,)(,)0()()x y,(,)(,)0,()0(,)(,)0-=(),-=g(),x y x y x y x y x y x y f x dx g y dx M x y dx N x y dy M N Mdx Ndy y x y x M x y dx N x y dy M N y x x f x M N N M N y x y x y M ⎧+=∂∂⎪=+=⎨∂∂⎪+=⎩∂∂⎧⎪∂∂⎰⎪∂∂⎪≠⎨∂∂∂∂⎪∂∂⎰⎩⎰⎰⎰⎰⎰先后先后，与有关，得积分因子u(x)=e 与y 有关，-得积分因子v(y)=e ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
例6：求解方程3
2
22(2)()03y xy x y dx x y dy ++++= 9、一阶隐式微分方程：'''''()(),(,)0()()()()(),(,)0()()()x t x t y F x y y t t dt c y t y t y t x F y y t x dt c y t t ϕϕψϕψϕϕϕψψ⎧=⎧=⎧⎪⎪=⇒⇒⎨⎨=+=⎪⎩⎪⎩⎪⎨=⎧=⎧⎪⎪=⇒⇒⎨⎨⎪=+=⎩⎪⎪⎩⎩
⎰⎰不显含不显含 (参数表示法)
克莱罗方程：''()y xy y ϕ=+
通解：()y cx c ϕ=+
特解：'(),0()y cx c c x c ϕϕ=+⎧⎨=+⎩
消去得特解（基解） 例7：求解下列方程（1）''2y xy y =+
(2)'y = （3
第二章 基本定理
1、奇解与包络线
,c
c ϕϕ⎧⎨⎩（x,y,c ）=0消去得特解（x,y,c ）=0(类似于 克莱罗方程) 例8：求233dy y dx
=的奇解 第三章 一阶线性微分方程组
1、1112221212(,,,...,)(,,,...,)......(,,,...,)n n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx
⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎩ ⇒ 00(,)()dy F x Y dx Y x Y ⎧=⎪⎨⎪=⎩(其中12n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ) 2、一阶线性微分方程：()()dY A x Y F x dx
=+ 其中11121112 ()() ,() ()n n n nn n a a a f x A x F x a a a f x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
K M M M M K
3、线性相关，线性无关
线性相关：121122,,...,()()...()0n n n C C C C Y x C Y x C Y x ⎧⎪+++=⎨⎪⎩
（1）存在不全为零的常数使（2）W(x)=0
其中1111()...()() ()...()n n nn y x y x W x y x y x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
M M
线性无关：存在一点0x 使0W
≠（x ）0 4、齐次线性方程必存在基本解组（恰好为n 个线性无关的解向量）
²²11
(),...,(),(),...,()n n Y x Y x Y x Y x ⎧⎪⎨⎪⎩等价 5、常系数线性微分方程（二元） ()dY AY F x dx
=+ 解题方法： 0A E T λλλ-=⇒得，求的特征向量
单根：
得解为121122()...()n x x x n n x t C e T C e T C e T y t λλλ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦
重根：011200j j j k j R R λλλ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩
（A-E ）R （A-E ）R （A-E ）R
例9、求解方程组123
213312dy y y dx dy y y dx
dy y y dx ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩
第四章 n 阶线性微分方程
1、()(1)'11()(1)'11()...()(),()...()0,n n n n n n n n y a x y a x y a y f x y a x y
a x y a y ----⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩非齐次齐次 郎斯基行列式：12'''12(1)(1)(1)12() () .... ()
() () .... ()
() () () ....()
n n n n n n x x x x x x W x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ---=M M M
刘维尔公式：0()0()()x x p t dtt W x W x e -⎰=
例10：（证明题）对于二阶线性非其次方程'''()()0y p x y q x y ++=,已知有一个非零特 解1y ,试证明它的通解为()*1121
1p x dx y C y Cy e dx y -⎰=+⎰
2、（1）()()x m f x P x e α= α不是特征根，²()x m Y Q x e α=（x ）
α是k 重根，²()k x m Y x Q x e α=（x ）
(2)二次：'''x y py qy e α++=
α不是特征根,²()x Y
x Ae α= α是k 重根,²()k x Y
x Ax e α=
例11：求方程'''2566102y y y x x -+=-+的通解（建议把165P 页的例1，例2，例3， 例4都做一下）
3、特解的假设形式（选择题）
(1)(2)()[()cos ()sin ]x m m f x e P x x P x x αββ=+
(1)(2)1(1)(2)1[cos sin ][cos sin ]
x m m k x m m i y e Q x Q x i y x e Q x Q x αααβββαβββ⎧±=+⎪⎨±=+⎪⎩不是特根，是k 重根，
考试类型：填空题5个，选择题5个，计算题
6个（第一章4个，第三章1个，第四章1个）
祝大家考试顺利。