2011年辽宁高考数学试题及答案经典word版(理科)

2011年辽宁高考数学试题及答案经典word版(理科)2011年辽宁省数学考试（理科）1.a 为正实数，i 为虚数单位，2=+iia ，则=a （ ） A ．2 B 32 D ．1 2.已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若1,N C M M N ⋂=∅⋃=则（ ）A ．MB ．NC ．ID ．∅3.已知F 是抛物线y 2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,=3AF BF +,则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A ．34B ．1C ．54D ．744.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinAsinB+bcos 2A=a ⋅2则)(=abA ．3B ．22C 3D 25.从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）=（ ）A ．18B ．14C ．25D ．126.执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是（ ）A ．8B ．5C ．3D ．27.设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ=（ ）A ．79- B ．19- C ．19 D ．798.如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确．．．的是（ ） A ．AC⊥SB B ．AB∥平面SCD C ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角9.设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是（ ）A ．1[-，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞)D ．[0，+∞)10.若a ,b ,c 均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c a ，则||c b a -+的最大值为（ ）A ．12-B ．1C ．2D ．211.函数)(x f 的定义域为R ,2)1(=-f ，对任意R ∈x ,2)(>'x f ,则42)(+>x x f 的解集为（ ）A ．（1-，1）B ．（1-，+∞）C ．（∞-，1-）D ．（∞-，+∞）12.已知球的直径SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB=3, 30=∠=∠BSC ASC ,则棱锥S —ABC 的体积为A ．33B ．32C ．3D ．1 （ ）18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=12 PD．（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．19．（ 12分）某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成n 小块地,在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲,另外n 小块地种植品种乙．（I ）假设n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为X,求X 的分布列和数学期望； （II ）试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表： 品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x 为样本平均数．20．（12分）如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1，C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．（I）设12e ,求BC与AD的比值；（II）当e变化时,是否存在直线l,使得BO∥AN,并说明理由．21．（12分）已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=．（I ）讨论)(x f 的单调性;（II ）设0>a ，证明：当a x 10<<时，)1()1(x af x a f ->+； （III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ，B 两点,线段AB 中点的横坐标为x 0,证明:f '（x 0）＜0．22．（10分）如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC=ED ． （I ）证明:CD//AB ；（II ）延长CD 到F,延长DC 到G,使得EF=EG ，证明：A,B,G,F 四点共圆． 23．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x （ϕ为参数）,曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ,ϕ为参数）,在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l ：θ=α与C 1,C 2各有一个交点.当α=0时,这两个交点间的距离为2,当α=2π时,这两个交点重合． （I ）分别说明C 1,C 2是什么曲线,并求出a 与b 的值； （II ）设当α=4π时,l 与C 1，C 2的交点分别为A 1,B 1,当α=4π-时,l 与C 1，C 2的交点为A 2,B 2,求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．24．（10分）已知函数)(x f =|x-2||-x-5|．（I ）证明：3-≤)(x f ≤3; （II ）求不等式)(x f ≥x 28-x+15的解集．IMNF xAyCBNDM14-O参考答案一、选择题1—5 BACDB 6—10 CADDB 11—12 BC 13．2 14．0.254 15．331.正确答案B提示: 21()12,1a i aiai+-+==-+=即23a=，又a为正实数，3a∴=2.正确答案A提示；根据 N=MI∅画出韦恩图，然后明确.M N作出满足条件的韦恩（Venn）图，易知M N M=3.正确答案C提示一本题考查抛物线定义的应用，考查学生的等价转换能力，利用转化思想得到AM BN AF+=+BF是解题的关键.提示二利用梯形的中位线的性质进行过渡求解中点C的横坐标.提示三如图，由抛物线的定义知，AM BN AF+=+33,,2BF CD==所以中点C的横坐标为315244-=.4.正确答案D提示一此题考查解三角形，考查学生目标意识能力，清晰正弦定理是解题的前提.提示二利用正弦定理将已知表达式中的边转化为角是解题的关键. 提示三2sin sin cos 2,a A Bb A a +=由正弦定理可得：22sin sin sin cos 2,A B B A A +=sin 2B A∴=,即2b a=5.正确答案B提示一 此题考查古典概率，考查学生识别事件的能力，清晰事件的计算公式是解题的前提.提示二 准确计算出()()P A P AB 、是解题的关键. 提示三222232225541(),()1010C C C P A P AB C C +====,()1()()4P AB P B A P A ∴==. 6.正确答案C 提示一 本题考查流程图，考查学生的识图能力.清晰框图的流程过程是解题的前提.提示二 抓住流程图的限制条件k n <是解题的关键.提示三 初始值1,0,1,1,p s t k ====循环开始，第一次: 1,1,1,2,p s t k ==== 第二次:2,1,2,3,p s t k ====第三次:3,2,3,4,p s t k ====此时，k n <不成立，跳出循环，输出3p =. 7.正确答案A提示一 此题考查三角函数求值，考查学生划归能力，清晰两角和的公式和二倍角公式是解题的前提.提示二 利用平方技巧过渡是解题的关键. 提示三 由1sin(),43πθ+=得221cos ,223θθ+=即2sin cos θθ+=两边平方，得21sin 2,9θ+=7sin 29θ∴=-. 8.正确答案D提示一 此题考查立体几何的位置关系和角的判断，考查学生的空间形象能力.清晰线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理和线面角、异面直线所成的角的定义是解题的前提. 提示二 采用逐一判断的方法进行分析. 提示三,,,SD ABCD AC ABCD SD AC ABCD⊥⊂∴⊥面面又为正方形，,,AC BD SD BD D ∴⊥⋂=又,.AC SBD AC SB ∴⊥⊥面故A 对； ,,AB CD CD CDS AB CDS AB SCD⊂∴∥面在面外，∥面,故B 对；设,AC BD O ⋂=由上面的分析知，ASO CSO ∠∠与分别是,SA SBD SC SBD 与面与面所成的角，易知ASO CSO ∠∠与相等，故C 对；选D. 9.正确答案D提示一 此题考查分段函数的性质，考查学生转化能力，清晰分段函数的性质是解题的前提.提示二 判断函数在定义域上的单调性是解题的关键. 提示三 易知，()f x R 在上是减函数，由122,0,xx -==得所以x 的取值范围是[)0+∞，. 10.正确答案B提示一 此题考查向量模的最值.考查学生运算能力.清晰数量积的运算是解题的前提.提示二 利用将||c b a -+平方的技巧进行转化是解题的关键. 提示三2)()()1()0,a c b c a b a b c ca b c -⋅-=⋅-+⋅+=-+⋅≤（()1;a b c ∴+⋅≥ 222222()2()2()32()a b c a b a b c c a b c a b c a b c +-=+-+⋅+=++-+⋅=-+⋅321≤-=.11.正确答案B提示一 此题考查不等式的解法，考查学生构造能力，通过42)(+>x x f 构造函数()()(24)h x f x x =-+是解题的前提. 提示二 利用求1C1D A SD A BC导判断函数()()(24)h x f x x =-+单调性是解题的关键.提示三设''()()(24),()()2h x f x x h x f x =-+=-则0>,故()h x R 在上单调递增，又(1)(1)20h f -=--=所以当1x >-时，()0h x >，即()24f x x >+.12.正确答案C提示一 此题考查棱锥的体积，考查学生的画图能力和空间想象能力.利用题设条件准确画出图形是解题的前提.提示二 明确三棱锥的底面面积和高是解题的关键. 提示三 如图，过AB 作与直径SC 垂直的球的截面， 交SC 于点D ，在Rt SAC ∆中，cos30=23sin 30=3SA SC AD SA =⋅=⋅，，同理3,BD ABD=∆故为正三角形.1331333360=432434ABDS ABC SV ∆-==⨯⨯=13.正确答案 2提示一 此题考查双曲线的离心率，考查学生基本知识掌握情况，清晰双曲线的几何性质是解题的前提.提示二 利用点在曲线上和焦距得到方程组是解题的关键. 提示三22491a b -=与224ab +=联立，求得1a =，所以2ce a ==.14.正确答案0.254提示一 此题考查回归方程，考查学生的基础知识掌握情况，清晰归回方程的含义是解题的前提.提示二 利用321.0254.0ˆ+=x y求解“年饮食支出平均增加量”是解题的关键.提示三 家庭收入每增加1万元，对应的回归直线方程中的x 增加1，相应的ˆy的值增加0.254，即年饮食支出平均增加0.254万元.15.正确答案 23提示一 此题考查几何体的三视图，考查学生的分析解决 问题能力和空间形象能力，清晰三视图的观察方法是解题 的前提.提示二 根据俯视图和左视图得到几何体的性质是 解题的关键.提示三如图，设底面边长为a ，则侧棱长也为a ，2323a ⋅=，故38,2a a ==.左视图与矩形11DCC D 相同，11332DCC D S a a =⋅=四边形16.3提示一 此题考查函数解析式，考查学生视图能力，清晰A ωϕ、、的含义是解题的前提.提示二 利用函数图象得到周期，利用点308π（，）代入解析式确定ϕ，利用（0,1）代入解析式确定A ，进而明确函数的解析式，然后求()24f π.提示三 由图知，3=-==22882T T πππω∴∴，，,()tan(2),f x A x ϕ∴=+将308π（，）代入得，3tan(2+=08A πϕ⨯）即3tan()0,4πϕ+=又ϕ2π<，=4πϕ∴.()sin(2).4f x A x π∴=+又(0)1,tan1, 1.()tan(2)tan 3.4242443f A A f πππππ=∴=∴=∴=⨯+==17．解：（I ）设等差数列{}na 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}na 的通项公式为2.nan =- ………………5分 （II ）设数列1{}2nn n a n S -的前项和为，即2111,122nn n a a S a S -=+++=故，12.2242n nnS a a a =+++所以，当1n >时，1211111222211121()2422121(1)22n n n n n nn n n nS a a a a a a n n------=+++--=-+++--=--- =.2n n所以1.2n n n S -=综上，数列11{}.22n n n n a nn S --=的前项和12分18．解：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D —xyz.（I ）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）. 则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQ DC PQ ===-所以0,0.PQ DQ PQ DC ⋅=⋅= 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC.故PQ ⊥平面DCQ.又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ. …………6分 （II ）依题意有B （1，0，1），(1,0,0),(1,2,1).CB BP ==-- 设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0,0,20.0,n CB x x y z n BP ⎧⋅==⎧⎪⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩即因此可取(0,1,2).n =--设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.m BP m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可取15(1,1,1).cos ,m m n =<>=所以故二面角Q —BP —C 的余弦值为155-………………12分19．解：（I ）X 可能的取值为0，1，2，3，4，且481344482244483144484811(0),708(1),3518(2),358(3),3511(4).70P X C C C P X C C C P X C C C P X C P X C ===============即X 的分布列为……………4分X 的数学期望为181881()01234 2.7035353570E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………………6分（II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲 ……8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙………………10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.20．解：（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a+=+=>>设直线:(||)l x tt a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得2222(),().a b A t a t B t a t b a-- 4分当13,,,22A Be b a y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知222||3||:||.2||4B A y b BC AD y a === …6分（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即2222,b a a t a t a b t t a--=- 解得222221.ab e t a a b e-=-=---因为2212||,01,1, 1.2e t a e e e-<<<<<<又所以解得所以当202e <≤时,不存在直线l,使得BO//AN ；当212e <<时,存在直线l 使得BO//AN. 12分21．解：（I ）()(0,),f x +∞的定义域为 1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a x x+-'=-+-=- （i ）若0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在单调增加.（ii ）若10,()0,a f x x a'>==则由得且当11(0,),()0,,()0.x f x x f x a a ''∈>><时当时所以1()(0,)f x a 在单调增加，在1(,)a+∞单调减少.…4分（II ）设函数11()()(),g x f x f x a a =+--则3222()ln(1)ln(1)2,2()2.111g x ax ax ax a a a x g x a ax ax a x=+---'=+-=+--当10,()0,(0)0,()0x g x g g x a '<<>=>时而所以.故当10x a <<时，11()().f x f x a a+>- 8分（III ）由（I ）可得，当0,()a y f x ≤=时函数的图像与x 轴至多有一个交点， 故a >，从而()f x 的最大值为11(),()0.f f a a>且不妨设1212121(,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a<<<<<则由（II ）得111211()()()0.f x f x f x a a a-=+->= 从而1221021,.2x x xx x a a+>-=>于是由（I ）知，0()0.f x '< ………………12分 22．解：（I ）因为EC=ED ，所以∠EDC=∠ECD.因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.故∠ECD=∠EBA ，所以CD//AB. …………5分（II ）由（I ）知，AE=BE ，因为EF=FG ，故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC.连结AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE=∠GBE ，又CD//AB ，∠EDC=∠ECD ，所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180°.故A ，B ，G ，F 四点共圆 …………10分23．解：（I ）C 1是圆，C 2是椭圆.当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.当2πα=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以b=1. （II ）C 1，C 2的普通方程分别为22221 1.9x x y y +=+=和当4πα=时,射线l 与C 1交点A 1的横坐标为22x =，与C 2交点B 1的横坐标为 31010x '= 当4πα=-时,射线l 与C 1,C 2的两个交点A 2,B 2分别与A 1,B 1关于x 轴对称,因此,四边形A 1A 2B 2B 1为梯形故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2.25x x x x ''+-=……10分 24．（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25,327 3.x x <<-<-<时所以3() 3.f x -≤≤ 5分（II ）由（I ）可知， 当22,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；当225,()815{|535}x f x x x x x <<≥-+-≤<时的解集为当25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.2()815{|536}.f x x x x x ≥-+-≤≤的解集为10分。