高等数学期末试题含答案完整版

高等数学期末试题含答

案

HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

高等数学检测试题

一 .选择题 （每题4分，共20分） 1. =⎰-dx x 1

1（ ）

A. 2

B. 1

C. 0

D. -1

（B ）

2，极限242

(,)(0,0)2lim x y x y x y →=+ A ，0 B ，1 C,0.5 D ，不存在

（D ）

3.积分=-⎰dx x 11

( ) A.c x x +--1ln B. c x x +--)1ln (2 C.c x x +-+1ln D. -c x x +-+)1ln (2

（D ）

4.设f(x)的导数在x=a 处连续，又x a

()lim 2f x x a →'=-，则 （ ） A.x=a 是f(x)的极小值点 B.x=a 是f(x)的极大值点

C.(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点

D.x=a 不是f(x)的极值点

(A)

5.已知F(x)的一阶导数(x)F'在Ｒ上连续，且0F(0)=，

则⎰=0 x

(t)dt x F'd （ ） A. (x)dx xF'- B. (x)dx xF'

C. (x)dx]xF'[F(x)+-

D. (x)]dx xF'[F(x)+-

（D ）

二．填空：（每题4分，共20分）

1. 若D 是平面区域(){}e y x y x ≤≤≤≤1 ,10|,，则二重积分=

⎰⎰dxdy y x D （ 21 ）

2、2

lim()01

x x ax b x →∞--=+，则a = 1 ，b = -1 ； 3．设由方程0=-xyz e z 确定的隐函数

()=∂∂=x z y x f z 则 ,,（ ()1-z x z ） 4，设{}222(,)|D x y x y a =+≤（a ＞0

，常数），若23D

π=，则a= (-1) 5 数列极限

lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππ

ππ .

三．解答题 （每题5分，共20分）

1. 设)(x f 在[a ，b ]上连续，且],[)()()(b a x dt t f t x x F x

a ∈-=⎰，试求出)(x F '' 解：

2. 求不定积分=+⎰

dx x x 1

59 3．求极限4020sin 1lim 2

x tdt t x x ⎰+→（5分） 解：21sin 21lim 42sin 1lim sin 1lim 224032404020

2=+=⋅+=+→→→⎰x

x x x x x x x tdt t x x x x -------（5分） 4．求表面积为a 2而体积为最大的长方体的体积

解 设长方体的三棱的长为x y z 则问题就是在条件

2(xyyzxz )a 2

下求函数Vxyz 的最大值

构成辅助函数

F (x y z )xyz λ(2xy 2yz 2xz a 2)

解方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++==++==++=22220)(2),,(0)(2),,(0)(2),,(a xz yz xy x y xy z y x F z x xz z y x F z y yz z y x F z y x λλλ 得

a z y x 66=== 这是唯一可能的极值点 因为由问题本身可知最大值一定存在

所以最大值就在这个可能的值点处取得 此时

3

366a V = 四．计算题．（共20分）

1．求由曲线x x e y e y -==,与直线1=x 所围成的平面图形面积及这个平面图形绕x 轴旋

转所成旋转体体积．（10分）

解：曲线x e y =与x e y -=的交点为（0，1），曲线x e y =与x

e y -=和直线1=x 的交点分别为（1，e ）和（1，1-e ）,所围平面图形如图阴影部分， 取x 为积分变量，其变化范围为[0，1]，所求面积为

dx e e S x x )(10--=⎰-----

2(|)(110-+=+=--e e e e x x ）------------- 所求旋转体体积为

))210102dx e dx e V x x -⎰⎰-=ππ--- 2(2|)2121(221022-+=+=--e e e e x x ππ）-

2.计算 ⎰∞

+- 1 101x x dx （10分） 解：⎰∞

+- 1 101x x dx ⎰-=1 0 104t 1dt t ⎰-=1 0 105t

1)d(t 51 五．证明题：（共20分）

1．．

试证：⎰⎰π

π=2

020)(cos )(sin dx x f dx x f （8分） 证明：

令x=u -2π则⎰⎰⎰⎰==-=20202

002)(cos )(cos )(cos )(sin ππ

ππdx x f du u f du u f dx x f

2．设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰π

dx x x f .证明：

在()π,0内方程f(x)=0至少存在两个根。（12分）

（提示：设⎰=

x

dx x f x F 0

)()(） 证：构造辅助函数：π≤≤=⎰x dt t f x F x

0,)()(0。其满足在],0[π上连续，在),0(π上可导。)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F