平面向量中的三角形四心问题教师版

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平面向量中的三角形四心问题

向量是高中数学中引入的重要概念,是解决几何问题的重要

工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在给出结论及证明结论的过程中,可以体现数学的对称性与推论的相互关系。

一、重心(barycenter)

三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与

重心到对边中点的距离之比为2:1。

结论1:

是三角形的重心

所在平面内一点,则为若G GC GB GA ABC G ⇔=++∆0

的重心

为故上

在中线同理可得上

在中线这表明,,则中点为证明:设ABC G CF BE G AD G GD GA GC

GB GA GC GB GA GC

GB GD D BC ∆=-∴+=-⇔=+++=,,

202

结论2:

的重心

是证明:的重心

是所在平面内一点,则为若ABC G GC GB GA PC PG PB PG PA PG PC PB PA PG ABC G PC PB PA PG ABC ∆⇔=++⇔=-+-+-⇔++=∆⇔++=∆0

0)()()()(3

1)(3

1P

二、垂心(orthocenter)

三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

结论3:

的垂心是所在平面内一点,则为若ABC H HA HC HC HB HB HA ABC ∆⇔⋅=⋅=⋅∆H 为三角形垂心

故同理,有证明:H AB

HC CB HA AC

HB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00

)(

结论4:

可知命题成立由结论同理可证得,得,证明:由的垂心

是所在平面内一点,则为若3)()(H 222222222

22222HA

HC HC HB HB HA HA

HC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⇔-+=-++=+∆⇔+=+=+∆三、外心(circumcenter)

三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。

结论5:

命题成立

证明:由外心定义可知的外心是所在平面内一点,则

是若ABC O OC OB OA ABC O ∆⇔==∆

结论6:

的外心

是(所在平面内一点,则

是若ABC O AC OA OC CB OC OB BA OB OA ABC O ∆⇔⋅+=⋅+=⋅+∆)()() 的外心为故故证明:ABC O OC

OB OA OA

OC OC OB OB OA OA

OC AC OA OC OC

OB CB OC OB OB OA OB OA OB OA BA OB OA ∆==⇒-=-=--=⋅+-=⋅+∴-=-+=⋅+)()())(()(

四、内心(incenter)

三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心,即内切圆的圆心。

结论7:

的内心

是所在平面内一点,则

为若ABC P CB CB CA CA OC BC BC BA BA OB AC AC AB AB OA OP ABC P ∆⇔>⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=∆)0(321λλλλ

的内心

为故的平分线上

在同理可得,平分线上

在即边夹角平分线上在由平行四边形法则知,为方向上的单位向量分别,证明:记ABC P C B P A P AC AB e e e e AP AC AB OA OP e e AC AB ∆∠∠∠++=⇒⎪⎫ ⎛++=,,)()(,2121112

1λλ 结论8:

的内心

是所在平面内一点,则是若ABC P PC c PB b PA a ABC P ∆⇔=++∆0

的内心是故是平分线

同理可得其他的两条也的平分线

是由角平分线定理,不共线,则

与由于证明:不妨设ABC P ACB CD a

b DB DA DB b DA a

c b a DB DA PC DB b DA a PC c b a PC c DB PD b DA PD a PC c PB PA a PC PD ∆∠==+=++=++++⇒=++++⇒=++=0

,0,0

)()(0)()(0b λλλλλ

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