平面向量中的三角形四心问题教师版
平面向量与三角形四心问题老师
平面向量基本定理与三角形四心引理：已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆ =OD BC DC OB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SSOA OD +=++===∴ CB A S S S OD +-=OA ∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴ 0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆引理1.设O 为ABC ∆内一点，321,,λλλ均为正实数，321=++λλλ，则有3213λλλλ++=∆∆ABC AOB S S ，3211λλλλ++=∆∆ABC BOC S S ，3212λλλλ++=∆∆ABC AOC S S引理 2.设O 为ABC ∆内一点，S S S C B ,,分别表示ABC AOB AOC S S S ∆∆∆,,的面积，则AC SS AB S SAO C B +=一．知识梳理：基础知识定义 向量的数量积，若非零向量a , b 的夹角为θ，则a ，b 的数量积记作cos a b a b ，也称内积，其中|b |cos θ叫做b 在a 上的投影（注：投影可能为负值）.OA BCDOABC定义 若点P 是直线P 1P 2上异于p 1，p 2的一点，则存在唯一实数λ，使21PP P P λ=，λ叫P 分21P P 所成的比，若O 为平面内任意一点，则λλ++=121OP OP OP .由此可得若P 1，P ，P 2的坐标分别为(x 1, y 1), (x, y), (x 2, y 2)，则..1121212121y y y y x x x x y y y x x x --=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλλ定义 设F 是坐标平面内的一个图形，将F 上所有的点按照向量a =(h, k)的方向，平移|a |=22k h +个单位得到图形'F ，这一过程叫做平移。
三角形“四心”问题
三角形“四心”问题一、三角形的“重心”1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1三角形中线向量式：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2、重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
（3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即(x A +x B +x C 3,y A +y B +y C3).3、常见重心向量式：设O 是∆ABC 的重心，P 为平面内任意一点 ①OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ②PO⃗⃗⃗⃗⃗ =13(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ③若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心 ④若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心二、三角形的“垂心”1、垂心的定义：高的交点。
锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。
2、常见垂心向量式：O 是∆ABC 的垂心，则有以下结论： 1、OA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2、|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 3、动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC )，λ∈(0,+∞)，则动点P 的轨迹一定通过∆ABC 的垂心4、奔驰定理推论：S ∆BOC :S ∆COA :S ∆AOB =tanA:tanB:tanC ，tanA ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tanB ∙OB⃗⃗⃗⃗⃗ +tanC ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . 三、三角形的“内心”1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
运用平面向量判断三角形的四心公式
运用平面向量判断三角形的四心公式三角形是数学中一个基本的概念，它具有丰富的性质及应用。
三角形的四心公式是三角形重要的性质之一，利用平面向量的知识可以简单地求得。
下面将详细介绍此公式，并给出实际问题的应用。
首先，我们需要了解什么是三角形的四心。
在三角形ABC中，围绕着三角形有四个中心，分别是：重心G、垂心H、外心O、内心I，它们的特点如下：重心G：三角形三个顶点到相对边之间连线的交点。
在等边三角形中，重心就是其唯一的交点；垂心H：三角形的三个顶点落垂线的交点之一；外心O：三角形外接圆的圆心，即三角形三边的垂直平分线的交点之一；内心I：内切圆的圆心，即三角形三条边所在直线的垂直平分线的交点之一。
接下来，我们来推导三角形的四心公式。
设三角形ABC的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)。
那么，三角形的重心坐标可以表示为：G = (1/3)*(A+B+C) = (x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3垂心坐标不同于重心，但它们的横纵坐标可以表示为：tanA = |(y2-y1)/(x2-x1)|, tanB = |(y3-y2)/(x3-x2)|, tanC = |(y3-y1)/(x3-x1)|由于垂线斜率关于法线斜率取负倒数，所以垂线方程分别为：Hx = (y2-y1)/(x2-x1)*(y3-y2)/(x3-x2)*(y3-y1)/(x3-x1)*(y-y2)+x2；Hy = -(x2-x1)/(y2-y1)*(x3-x2)/(y3-y2)*(x3-x1)/(y3-y1)*(x-x2)+y2；外心坐标可以由三边中垂心的直线求出，考虑到三条中垂线相交于一点，所以求解直线交点即可。
该点重要的性质是与三角形顶点距离相等，于是有：OA = OB = OCOx = (a*x1+b*x2+c*x3)/(a+b+c), Oy =(a*y1+b*y2+c*y3)/(a+b+c) 其中，a = BC^2*(y1-y2)-AB^2*(y3-y2)+AC^2*(y3-y1) b = BC^2*(x2-x1)-AB^2*(x3-x1)+AC^2*(x3-x2) c = (y3-y2)*(x2-x1)-(y2-y1)*(x3-x2)最后，我们将探讨三角形的四心公式的实际应用。
平面向量中的三角形四心问题
平面向量中的三角形四心问题结论2：的重心是证明：的重心是所在平面内一点，则为若ABC G ABC G ABC ∆⇔=++⇔=-+-+-⇔++=∆⇔++=∆)()()()(31)(31P二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3：的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H ABC ∆⇔⋅=⋅=⋅∆H为三角形垂心故同理，有证明：H ABHC CB HA ACHB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00)(结论4：可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心是所在平面内一点，则为若3)()(H 22222222222222HAHC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⇔-+=-++=+∆⇔+=+=+∆三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。
用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。
结论5：命题成立证明：由外心定义可知的外心是所在平面内一点，则是若ABC O OC OB OA ABC O ∆⇔==∆结论6：的外心是（所在平面内一点，则是若ABC O AC OA OC CB OC OB BA OB OA ABC O ∆⇔⋅+=⋅+=⋅+∆)()()的外心为故故证明：ABC O OCOB OA OAOC OC OB OB OA OAOC OCOB OB OA OB OA OB OA BA OB OA ∆==⇒-=-=--=⋅+-=⋅+∴-=-+=⋅+)()())(()(Θ四、内心(incenter)三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。
即内切圆的圆心。
结论7：的内心是所在平面内一点，则为若ABC P CB CB CA BC BA AC AB ABC P ∆⇔>⎪⎪⎪⎭⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=∆)0(321λλλλ的内心为故的平分线上在同理可得，平分线上在即边夹角平分线上在为方向上的单位向量分别，证明：记ABC P C B P A P AC AB e e e e e e AC AB ∆∠∠∠++=⇒⎪⎫ ⎛++=,,)()(,21211121λλ结论8：的内心是所在平面内一点，则是若ABC P PC c PB b PA a ABC P ∆⇔=++∆0的内心是故是平分线同理可得其他的两条也的平分线是由角平分线定理，不共线，则与由于证明：不妨设ABC P ACB CD ab DB DA b ac b a DB DA PC b a c b a c b a c a PCPD ∆∠==+=++=++++⇒=++++⇒=++=,0,)()()()(b λλλλλ。
平面向量四心问题
平面向量四心问题部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑三角形的“四心”与平面向量一、重心问题三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上.例1 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过△ABC 的< ）b5E2RGbCAPＡ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心二、垂心问题三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上.例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P 是△ABC的A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心三、内心问题三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上.例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过△ABC的〔〕.A、重心B、垂心C、外心 D、内心四、外心问题三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上.例4 已知O是△ABC内的一点，若，则O是△ABC的〔〕.A．重心 B.垂心 C.外心 D.内心与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有：①设，则向量必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的内心。
②设，则向量必平分∠BAC的邻补角③设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过△ABC的垂心④△ABC中一定过的中点，通过△ABC的重心⑤点是△ABC的外心⑥点是△ABC的重心⑦点是△ABC的垂心⑧点是△ABC的内心(其中a、b、c为△ABC三边>⑨△ABC的外心、重心、垂心共线，即∥⑩设为△ABC所在平面内任意一点，G为△ABC的重心，，I为△ABC的内心，则有并且重心G<错误!，错误!）内心I<错误!，错误!）p1EanqFDPw例1：<2003年全国高考题）是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的< ）DXDiTa9E3d<A）外心 <B）内心<C）重心 <D）垂心例2：<2005年北京市东城区高三模拟题）为△ABC所在平面内一点，如果，则O必为△ABC的< ）RTCrpUDGiT<A）外心 <B）内心 <C）重心 <D）垂心例3：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足，则点O是三角形ABC的< ）<A）外心 <B）内心 <C）重心 <D）垂心申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
专题02 平面向量解析三角形的“四心”高一数学下学期同步讲义(人教A版2019必修第二册)
专题02 平面向量解析三角形的“四心”一．“四心”的概念介绍及平面向量表示1. 重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1.⇔=++O 是ABC ∆的重心.2. 垂心——高线的交点：高线与对应边垂直.⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.3. 内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等． 设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是ABC ∆的内心.O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心.4. 外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等．==⇔O 为ABC ∆的外心.二．考点讲解 考点一：三角形的重心例1：在ABC ∆中，已知 AB a =，BC b =，G 为ABC ∆的重心，用向量,a b 表示向量AG =______. 【答案】2133a b 【分析】利用平面向量的基本定理，结合重心性质即可得解.【详解】由重心的性质可知()111333BG BA BC b a =+=-， 所以11213333AG AB BG a b a a b =+=+-=+.故答案为：2133a b 【点睛】本题考查了重心的几何性质和平面向量基本定理，属于基础题.例2：若P 是ABC ∆内部一点，且满足2PA PB CB +=，则ABP ∆与ABC ∆的面积比为_______. 【答案】13【分析】利用向量的加法运算得出PA PB CP +=，取AB 的中点为O ，进而得出点P 为ABC ∆的重心，根据重心的性质即可得出答案.【详解】2PA PB CB PA PB CB BP CP +=⇒+=+= 取AB 的中点为O ，则2PA PB PO += 即2PO CP =，则点P 为ABC ∆的重心根据重心的性质可得，点P 到AB 的距离是点C 到AB 的距离的13则13ABP ABC S S ∆∆= 故答案为：13【点睛】本题主要考查了根据向量关系判断三角形的重心，属于常考题.考点二：三角形的垂心例3：已知点P 是ABC ∆所在平面内一点，且满足()()cos cos AB AC AP R AB BAC Cλλ=+∈，则直线AP 必经过ABC ∆的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】D【分析】两边同乘以向量BC ，利用向量的数量积运算可求得0AP BC ⋅=从而得到结论． 【详解】()cos cos AB AC AP R AB B AC C λλ⎛⎫⎪=+∈ ⎪⎝⎭两边同乘以向量BC ,得AP BC ∴⊥(1t ∈即点P 在BC 边的高线上，所以P 的轨迹过△ABC 的垂心， 故选D.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题． 考点三：三角形的内心例4：O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，[)0,μ∈+∞，则P 点的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 【分析】先根据||ABAB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC→方向上的单位向量，确定||||A A B A A C C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，再由AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭可得到AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，可得答案．【详解】解：||AB AB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC →方向上的单位向量，∴||||A AB A AC C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，又AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，∴AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴向量AP →的方向与BAC ∠的角平分线一致∴P 点的轨迹一定经过ABC 的内心.故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的线性运算和向量的数乘，以及对三角形内心的理解，考查化简运算能力． 考点四：三角形的外心例5：在ABC ∆中，2AC =，6BC =，60ACB ∠=︒，点O 为ABC ∆所在平面上一点，满足OC mOA nOB =+（,m n ∈R 且1m n +≠）． （1）证明：11m nCO CA CB m n m n =++-+-；（2）若点O 为ABC ∆的重心，求m 、n 的值； （3）若点O 为ABC ∆的外心，求m 、n 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）1m =-，1n =-；（2）3757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【分析】（1）根据条件OC mOA nOB =+,结合向量的加法运算,化简即可证明. （2）根据重心的向量表示为0OA OB OC ++=,即可求得m 、n 的值. （3）根据点O 为ABC ∆的外心,求得21||2CO CB CB ⋅=,21||2CO CA CA ⋅=,CA CB ⋅,再根据已知分别求得CO CB ⋅,CO CA ⋅,结合平面向量基本定理即可求得m 、n 的值. 【详解】（1）CO mAO nBO =+()()m AC CO n BC CO =+++mAC mCO nBC nCO =+++即CO mAC mCO nBC nCO =+++ 所以CO mCO nCO mAC nBC --=+ 则()1m n CO mAC nBC --=+ 所以11m nCO CA CB m n m n =++-+-；（2）若点O 为ABC ∆的重心则0OA OB OC ++= 因为OC mOA nOB =+ 所以0mOA nOB OC --+= 则1m =-,1n =-（3）由O 是ABC 的外心 得21||182CO CB CB ⋅==,21||22CO CA CA ⋅==,6CA CB ⋅=, 所以,1111m n CO CB CA CB CB CB m n m n m n CO CA CA CA CB CAm n m n ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎪+-+-⎨⎪⋅=⋅+⋅⎪+-+-⎩即23321m n m n -=⎧⎨+=-⎩,解得3757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查了平面向量加法和减法的运算,三角形重心和外心的向量表示,对向量线性运算的化简要熟练掌握,属于中档题.三．课后作业1．在ABC ∆中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．重心 B ．内心C ．外心D ．垂心【答案】A【分析】设sin sin a B b A CH ==，则()mCP a b CH=+，再利用平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，即可得答案；【详解】如图，sin sin a B b A CH ==，∴()m OP OC a b CH =++，()mCP a b CH=+， 由平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，∴P 的轨迹一定通过ABC 的重心.故选：A.【点睛】本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用.2．已知点O 是ABC ∆所在平面上的一点，ABC 的三边为,,a b c ，若0a OA bOB c OC →→→→++=，则点O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B【分析】在AB ，AC 上分别取单位向量,AD AE →→，作AF AD AE →→→=+，则AF 平分BAC ∠，用,,OA AB AC →→→表示出,OB OC →→代入条件式，用,AB AC →→表示出AO→，则可证明A ，F ，O 三点共线，即AO 平分BAC ∠．【详解】在AB ，AC 上分别取点D ，E ，使得AB AD c →→=，AC AE b →→=，则||||1AD AE →→==．以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADFE ，如图，则四边形ADFE 是菱形，且AB AC AF AD AE c b→→→→→=+=+．AF ∴为BAC ∠的平分线．0aOA bOB cOC →→→→++=()()0a OA b OA AB c OA AC →→→→→→∴⋅+⋅++⋅+=，即()0a b c OA b AB c AC →→→→++++=，∴()b c bc AB AC bc AO AB AC AF a b c a b c a b c c b a b c→→→→→→=+=+=++++++++．A ∴，O ，F 三点共线，即O 在BAC ∠的平分线上．同理可得O 在其他两角的平分线上，O ∴是ABC 的内心．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内心的向量表示，向量的线性运算，属于中档题.3．点M ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，满足MA MB MC ++=0，|NA NB NC ==∣，且PA PB ⋅=PB PC PC PA ⋅=⋅，则M 、N 、P 依次是ABC ∆的（）A ．重心，外心，内心B ．重心，外心，垂心C ．外心，重心，内心D ．外心，重心，垂心【答案】B【分析】由三角形五心的性质即可判断出答案． 【详解】解：0MA MB MC ++=，∴MA MB MC +=-，设AB 的中点D ，则2MA MB MD +=，C ∴，M ，D 三点共线，即M 为ABC ∆的中线CD 上的点，且2MC MD =．M ∴为ABC 的重心．||||||NA NB NC ==， ||||||NA NB NC ∴==，N ∴为ABC 的外心；PA PB PB PC =，∴()0PB PA PC -=，即0PB CA =，PB AC ∴⊥， 同理可得：PA BC ⊥，PC AB ⊥，P ∴为ABC 的垂心；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题． 4．（多选）已知M 为ABC ∆的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．MA MB MC == B ．0MA MB MC ++= C ．1233CM CA CD =+ D ．2133BM BA BD =+ 【答案】BC【分析】由题可知M 是三边中线的交点，且在中线三等分点处，由此依次计算判断即可得出结果. 【详解】M 为△ABC 的重心，∴M 是三边中线的交点，且在中线三等分点处，对于A ，由于△ABC 为任意三角形，故中线不一定相等，则,,MA MB MC 不一定相等，故A 错误； 对于B ，D 为BC 的中点，2MB M MD C +∴=，2MA MD =-，0MA MB MC ++=∴，故B 正确；对于C ，()22123333CM CA AM CA AD CA CD CA CA CD =+=+=+-=+，故C 正确； 对于D ，()22123333BM BA BA BA B AM AD BD BA A BD +=+=+-==+，故D 错误. 故选：BC.5．ABC ∆中，3AB =，6AC =，G 为ABC ∆的重心，O 为ABC ∆的外心，则AO AG ⋅=______． 【答案】152【分析】根据三角形的外心的性质，得出212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，由三角形的重心的性质，得出1()3AO AG AO AB AC ⋅=⋅+，通过向量的数量积运算，即可求出AO AG ⋅的值. 【详解】解：因为G 为ABC 的重心，O 为ABC 的外心，所以212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，所以111()333AO AG AO AB AC AO AB AO AC ⋅=⋅+=⋅+⋅221166AB AC =+93615662=+=， 即152AO AG ⋅=. 故答案为:152．【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，考查三角形的重心和外心的向量表示，考查计算能力. 6．已知A ，B ，C 是平面内不共线的三点，O 为ABC ∆所在平面内一点，D 是AB 的中点，动点P 满足()()()122123OP OD OC R λλλ⎡⎤=-++∈⎣⎦，则点P 的轨迹一定过ABC ∆的______（填“内心”“外心”“垂心”或“重心”）. 【答案】重心【分析】根据已知条件判断,,P C D 三点共线，结合重心的定义，判断出P 的轨迹过三角形ABC 的重心. 【详解】∵点P 满足()()()122123OP OD OC λλλ⎡⎤=-++∈⎣⎦R ，且()()112212133λλ-++=， ∴P ，C ，D 三点共线.又D 是AB 的中点，∴CD 是边AB 上的中线，∴点P 的轨迹一定过ABC ∆的重心. 故答案为：重心【点睛】本小题主要考查三点共线的向量表示，考查三角形的重心的知识，属于基础题. 7．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG PQ λ=，将OG 用λ，OP ，OQ 表示； (2)设OP xOA =，OQ yOB =，证明：11x y+是定值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）寻找包含OG 的图形OPG ，利用向量的加法法则知OG OP PG +＝ ，再根据PG PQ λ=和PQ OQ OP -＝ 即可（2）根据（1）结合OP xOA =，OQ yOB =知：()()11OGOP OQ xOA yOB λλλλ-+-+＝＝ ，再根据G 是OAB 的重心知：()2211133233OG OM OA OB OA OB ⨯++＝＝＝ ，最后根据OA OB 、 不共线得到关于x y λ，， 的方程组即可求解 【详解】(1)解＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.(2)证明 一方面，由(1)，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x ＋λy ；① 另一方面，△G 是△OAB 的重心，△＝＝× (＋)＝＋.②而，不共线，△由①②，得解得△＋＝3(定值)．【点睛】本题考查了向量的加减法，三角形的重心的性质，平面向量的定值问题，属于基础题．。
第6章平面向量专题5 三角形四心问题-人教A版(2019)高中数学必修(第二册)
三角形四心问题三角形四心的向量形式设O 为△ABC 所在平面上一点,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,则 (1) O 为△ABC 的外心⇔|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a2sinA .(2)O 为△ABC 的重心⇔OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.(2) O 为△ABC 的垂心⇔OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (4)O 为△ABC 的内心⇔a OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +c OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.1、已知是的外心，，，则A ．10B ．9C ．8D ．6【答案】.【解答】解：如图，是的外心，且，，则 ． 故选：．2、已知△ABC 和点M 满足.若存在实数m 使得成立，则O ABC ∆||4AB =||2AC =()(AO AB AC +=)A O ABC ∆||4AB =||2AC =()AO AB AC AO AB AO AC +=+221111||||164102222AB AC =+=⨯+⨯=Am ＝__________.【答案】3【解析】由条件知是的重心，设是边的中点，则，而，所以，故选B.3、（多选）在给出的下列命题中，正确的是( )A. 设O A B C 、、、是同一平面上的四个点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈，则点A B C 、、必共线B.若向量a b 和是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的C ．已知平面向量OA OB OC 、、满足则为等腰三角形D.已知平面向量OA OB OC 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>|=|，且0OA OB OC ++=， 则ABC ∆是等边三角形【答案】ACD4．已知O 为ABC ∆的外心，1,,3cosA AO AB AC αβαβ==++若则的最大值为( )A ．13B ．12C ．23D ．34【分析】如图所示，以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,||||AB AC OA OB OA OC AO AB AC λ⎛⎫⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭ABC △(D 为BC 边的中点）．由外接圆的性质可得BOD COD BAC ∠=∠=∠．由1cos 3A =，不妨设外接圆的半径3R =．则3OA OB OC ===．可得B ，C ，O 的坐标，设(,)A m n ．则ABC ∆外接圆的方程为：22(1)9x y +-=．(*)利用向量相等AO AB AC αβ=+，可得())1m m m n n nαβαβ⎧-=-+⎪⎨-=--⎪⎩，又1αβ+≠时，否则CO CB α=，由图可知是不可能的．可化为)111m n βααβαβ⎧-=⎪+-⎪⎨-⎪=⎪+-⎩，代入(*)可得22228()()9(1)(1)βααβαβαβ---+=+-+-，化为18()932αβαβ+=+，利用重要不等式可得218()932()2αβαβ+++，化为28()18()90αβαβ+-++，即可解出．【解答】解：如图所示，以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系(D 为BC 边的中点）．由外接圆的性质可得BOD COD BAC ∠=∠=∠． 由1cos 3A =，不妨设外接圆的半径3R =．则3OA OB OC ===． 1cos 3OD COD OC ∠==， 1.OD DC∴==．(B ∴-，C ，(0,1)O ，(,)A m n ．则ABC ∆外接圆的方程为：22(1)9x y +-=．(*)AO AB AC αβ=+，(m ∴-，1)(,),)n m n m n αβ-=--+-，∴())1m m m n n n αβαβ⎧-=-+⎪⎨-=--⎪⎩，1αβ+≠时，否则CO CB α=，由图可知是不可能的．∴可化为11m n αβ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪+-⎩，代入(*)可得22228()()9(1)(1)βααβαβαβ---+=+-+-， 化为18()932αβαβ+=+，利用重要不等式可得218()932()2αβαβ+++，化为28()18()90αβαβ+-++， 解得34αβ+或32αβ+． 又1αβ+<，故32αβ+应舍去． ∴34αβ+， 故αβ+的最大值为34．故选：D ．【点评】本题考查了通过建立直角坐标系解决向量的有关运算、圆的标准方程、基本不等式的性质、一元二次不等式的解法、三角形的外接圆的性质、余弦函数等基础知识与基本技能方法，属于难题．5．在ABC ∆中，3AB =，5AC =，点N 满足2BN NC =，点O 为ABC ∆的外心，则AN AO 的值为( )A ．17B ．10C ．172D ．596【分析】作出边AB ，AC 的垂线，利用向量的运算将AN 用AB ，AC 表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．【解答】解：过O 作OS AB ⊥，OT AC ⊥垂足分别为S ，T 则S ，T 分别是AB ，AC 的中112()333AN AC CN AC AB AC AB AC =+=+-=+，所以1212()3333AO AN AO AB AC AB AO AC AO =+=+，12||||||||33AB AS AC AT =⨯+⨯， 1325353232=⨯⨯+⨯⨯， 596=． 故选：D ．【点评】本题考查向量的运算法则、向量数量积的几何意义，以及三角形的外心，属于基础题．6．ABC ∆中，||2AC =，||3BC =，3AC BC =，O 为该三角形的外心，则(BA AO = )A ．192B ．192-C ．72-D ．72【分析】设BA 的中点为D ，连接OD ，把所求转化为12- 2AB ；结合余弦定理即可得出结论．【解答】解：如图：设BA 的中点为D ，连接OD ，则OD AB ⊥；∴11()22BA AO BA AD DO BA AD BA DO BAAB =+=+==- 2AB ； ||2AC =，||3BC =，∴123cos 3cos 2AC BC C C =⨯⨯∠=⇒∠=， ∴2222cos 7AB AC BC AC BC C =+-∠=；∴72BA AO =-．故选：C ．【点评】本题考查向量的数量积以及余弦定理的应用，考查向量的三角形法则以及计算，考查计算能力，属于中档题目．7．已知O 是ABC ∆的外心，2AB =，3AC =，21x y +=，若AO x AB y AC =+，(0)xy ≠，则cos (BAC ∠= )A ．34B C ．14D 【分析】设出A ，C ，BAC α∠=，(2cos ,2sin )B αα，O 是ABC ∆的外心，所以O 的横坐标是32，利用21x y +=，若AO x AB y AC =+，(0)xy ≠，求出cos α，即可． 【解答】解：设(0,0)A ，(3,0)C ，BAC α∠=(2cos ,2sin )B ααO 是ABC ∆的外心，所以O 的横坐标是32， 因为若AO x AB y AC =+，(0)xy ≠，所以：23cos 32x y α=+ 因为21x y +=，所以33322x y +=，23cos 332x y x y α+=+32cos 2α=，即：3cos 4BAC ∠=． 故选：A ．【点评】本题考查三角形五心，向量的共线定理，考查计算能力，是中档题．8．在直角ABC ∆中，90A =︒，6AB =，8AC =，D 是ABC ∆的内心，则(BD = )A ．2134AB AC -+B ．2134AB AC - C ．2133AB AC -+D ．2133AB AC -【分析】如图所示，建立直角坐标系．10BC =．由直角三角形的内切圆的性质可得：四边形AEDF 为正方形，可得内切圆的半径681022r +-==．设BD mAB nAC =+，利用平面向量基本定理即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．10BC ==．由直角三角形的内切圆的性质可得：四边形AEDF 为正方形，∴内切圆的半径681022r +-==． (2,2)D ∴，(6,0)B ，(0,8)C ．设BD mAB nAC =+，则(4-，2)(6m =，0)(0n +，8)．46m ∴-=，28n =，解得23m =-，14n =．∴2134BD AB AC =-+，故选：A ．【点评】本题考查了向量线性运算性质、直角三角形的内切圆的性质、平面向量基本定理、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．已知ABC ∆，角ABC 的三边分别为a 、b 、c ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PA b PB c PC ++=，则P 点为三角形( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【分析】在AB ，AC 上分别取单位向量,AD AE ，作AF AD AE =+，则AF 平分BAC ∠，用,,PA AB AC 表示出,PB PC 代入条件式，用,AB AC 表示出AP ，则可证明A ，F ，P 三点共线，即AP 平分BAC ∠．【解答】解在AB ，AC 上分别取点D ，E ，使得AB AD c =，ACAE b=，则||||1AD AE ==． 以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADFE ，则四边形ADFE 是菱形，且AB ACAF AD AE c b=+=+． AF ∴为BAC ∠的平分线．0a PA b PB c PC ++=()()0a PA b PA AB c PA AC ∴++++=，即()0a b c PA bAB cAC ++++=，∴()b c bc AB AC bc AP AB AC AF a b c a b c a b c c b a b c=+=+=++++++++．A ∴，P ，F 三点共线，即P 在BAC ∠的平分线上．同理可得P 在其他两角的平分线上，P ∴是ABC ∆的内心．故选：B ．【点评】本题考查了三角形内心的向量表示，向量的线性运算，属于中档题．10．O 是非等边ABC ∆的外心，P 是平面ABC 内的一点且OA OB OC OP ++=，则P 是ABC ∆的( )A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心【分析】设AB 的中点为D ，根据题意可得OD AB ⊥．由题中向量的等式化简得2CP OA OB OD =+=，从而得到CP AB ⊥，即CP 在AB 边的高线上．同理可证出AP 在BC 边的高线上，故可得P 是三角形ABC 的垂心．【解答】解：在ABC ∆中，O 为外心，可得OA OB OC ==，平面内点P 满足OA OB OC OP ++=，∴OA OB OP OC CP +=-=，设AB 的中点为D ，则OD AB ⊥，2CP OD =，∴CP AB ⊥，可得CP 在AB 边的高线上．同理可证，AP 在BC 边的高线上，故P 是三角形ABC 两高线的交点，可得P 是三角形ABC 的垂心，故选：A ．【点评】本题给出三角形中的向量等式，判断点P 是三角形的哪一个心．着重考查了向量加法法则、三角形的外接圆性质和三角形“五心”的判断等知识点，属于中档题．11．已知P 在ABC ∆所在平面内，且PA PB PB PC PC PA ==，则点P 是ABC ∆的( )A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心【分析】根据PA PB PB PC =，移向并根据向量的数量积的运算法则，得到()0PB CA =，因此有PB CA ⊥，同理可得PA BC ⊥，PC AB ⊥，根据三角形五心的定义，即可求得结果【解答】解：PA PB PB PC =，∴()0PB CA =，PB CA ∴⊥，同理可得PA BC ⊥，PC AB ⊥，P ∴是ABC ∆的垂心．故选：D ．【点评】本小题主要考查向量的数量积的运算法则、三角形垂心等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题12．O 为ABC ∆平面内一定点，该平面内一动点P 满足{|(||sin ||sin )M P OP OA AB B AB AC C AC λ==++，0}λ>，则ABC ∆的( )一定属于集合M ．A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心【分析】由题意画出图形，根据正弦定理得出||sin ||sin AB B AC C =，代入关系式由向量的减法化简，得出AP 与AD 共线，由此得出点P 的轨迹，从而得出答案．【解答】解：ABC ∆中，由正弦定理得，||||sin sin AC AB B C =， 即||sin ||sin AB B AC C =，设||sin t AB B =，代入OP ，则()OP OA t AB AC λ=++，D ∴是BC 的中点，∴2AB AC AD +=，∴2OP OA t AD λ=+，且λ、t 都是常数，∴2AP t AD λ=，∴点P 的轨迹是直线AD ，ABC ∴∆的重心一定属于集合M ．故选：A ．【点评】本题考查了向量在平面图形中的应用以及正弦定理、向量的减法和共线的应用问题，是综合性题目．13．已知()h x 为ABC ∆内一点，若分别满足①||||||OA OB OC ==，②OA OB OB OC OC OA ==，③0OA OB OC ++=，④()0,,,,aOA bOB cOC a b c ABC A B C ++=∆其中为中角所对的边，则O 依次是ABC ∆的( )A ．内心、重心、垂心、外心B ．外心、垂心、重心、内心C ．外心、内心、重心、垂心D ．内心、垂心、外心、重心【分析】由平面向量的线性运算及平面向量数量积运算逐一检验即可得解．【解答】解：对于①因为①||||||OA OB OC ==，所以点O 到点A 、B 、C 的距离相等，即点O 为ABC ∆的外心，对于②因为OA OB OB OC =，所以()0OB OA OC -=，所以0OB CA =，即OB CA ⊥，同理OA BC ⊥，OC AB ⊥，即点O 为ABC ∆的垂心，对于③因为0OA OB OC ++=，所以()OA OB OC =-+，设D 为BC 的中点，则2OA OD =-，即点O 为ABC ∆的重心，对于④因为0aOA bOB cOC ++=，易得点O 为ABC ∆的内心，故选：B ．【点评】本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积运算，属中档题．14．平面内ABC ∆及一点O 满足,||||||||AO AB AO AC CO CA CO CB AB AC CA CB ==，则点O 是ABC ∆的( )A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心 【分析】利用表达式，转化推出O 所在的位置，得到结果即可．【解答】解：平面内ABC ∆及一点O 满足||||AO AB AO AC AB AC =，可得()0||||AB AC AO AB AC -=，所以O 在CAB ∠的平分线上， ||||CO CA CO CB CA CB =，可得：()0||||CA CB CO CA CB -=，所以O 在ACB ∠的平分线上， 则点O 是ABC ∆的内心．故选：C ．【点评】本题考查向量的综合应用，充分理解表达式的几何意义以及三角形的五心的特征，是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．15．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是ABC ∆的重心，点P 满足1(2)4OP OA OB OC =++，则PAB OAB S S ∆∆为( ) A ．32 B ．23 C ．2 D ．12【分析】作出图形：延长CO 交边AB 的中点于D ，根据O 是ABC ∆的重心，以及向量加法的平行四边形法则、向量数乘的几何意义和向量的数乘运算便可以得出14OP OC =，从而便可得到11,62OP CD DP CD ==，而13DO CD =，这样即可求出PAB OAB S S ∆∆的值． 【解答】解：如图，延长CO ，交AB 中点D ，O 是ABC ∆的重心，则：1111(2)(22)(2)4444OP OA OB OC OD OC OC OC OC =++=+=-+=； ∴11214436OP OC CD CD ===； ∴111362DP DO OP CD CD CD =+=+=，13DO CD =； ∴132123PAB OABCD S DP S DO CD ∆∆===． 故选：A ．【点评】考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，三角形重心的性质，以及向量的数乘运算，三角形的面积公式．16．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是ABC ∆的重心，动点P 满足111(2)322OP OA OB OC =++，则点P一定为三角形ABC 的( ) A ．AB 边中线的中点B．AB边中线的三等分点（非重心）C．重心D．AB边的中点【分析】根据O是三角形的重心，得到三条中线上对应的向量的模长之间的关系，根据向量加法的平行四边形法则，求出向量的和，根据共线的向量的加减，得到结果．【解答】解：设AB的中点是E，O是三角形ABC的重心，动点P满足111(2)322OP OA OB OC =++，∴1(2)3OP OE OC =+2OC EO=，∴11(4)333OP OE EO EO EO =+=⨯=，P∴在AB边的中线上，是中线的三等分点，不是重心．故选：B．【点评】本题考查三角形的重心，考查向量加法的平行四边形法则，考查故选向量的加减运算，是一个比较简单的综合题目，这种题目可以以选择或填空出现．17．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ==，则点O 是ABC ∆的 垂 心．【分析】由OA OB OB OC =得到()()0OB CA =，根据向量数量积为零可得OB AC ⊥，同理得到OA BC ⊥，所以点O 是ABC ∆的三条高的交点，从而根据垂心的定义可得结论．【解答】解：()()()()OA OB OB OC =，()()()()0OB OA OB OC -=，即()()())0OB OA OC -=，()()0OB CA =，∴()()OB CA ⊥．同理可得()()OA BC ⊥，()()OC AB ⊥．O ∴是三角形三条高线的交点．故答案为：垂【点评】本题考查向量的数量积及向量的运算，对学生有一定的能力要求，属于基础题．18．如图，在ABC ∆中，若3AB =，BC =，2AC =，且O 是ABC ∆的外心，则AO AC = 2 ．【分析】设外接圆半径为R ，则||||cos AO AC AO AC CAO =∠，故可将向量的数量积转化为【解答】解：设外接圆半径为R3,2AB BC AC ==，AO CO R ==2241cos 22R R OAC R R+-∠== 则1||||cos 22AO AC AO AC CAO R R=∠=⨯⨯= 故答案为：2【点评】本题主要考查向量在几何中的应用等基础知识，解答关键是利用向量数量积的几何意义．属于基础题19．设O 是ABC ∆的外心，满足13()24CO tCA t CB =+-，t R ∈，若||3AB =，则ABC ∆面积的最大值为 9 ．【分析】用平面向量基本定理，把面积转化为三角函数，由此即可求出面积最大值．【解答】解：由13()24CO tCA t CB =+-，得到31()42CO t CA CB CB =-+． 所以13()24CO CB t CA CB -=-． 如图，取CB 中点D ，再取BD 中点E ，则DO tEA =因为DO BC ⊥，所以EA BC ⊥则3sin AE B =，3cos BE B =，12cos BC B =．118sin cos 9sin 292ABC S AE BC B B B ∆===． 当4B π=时，三角形ABC 面积取最大值9． 故答案是：9．【点评】本题考查了向量共线定理、向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20．在ABC ∆中，3AB =，4AC =，5BC =，O 点是内心，且12AO AB BC λλ=+，则12λλ+= 56． 【分析】设内切圆半径为r ，由题意得：345122a b c r OE OF AE AF +-+-=======，从而表示出向量AO ，根据向量之间的加减关系，写出向量与要求两个向量之间的关系，得到两个系数的值，求和得到结果．【解答】解：设内切圆半径为r ， 由题意得：345122a b c r OE OF AE AF +-+-========， ∴1134AO AE AF AB AC =+=+ 11()34AB AB BC =++ 71124AB BC =+， ∴1712λ=，214λ=． 1256λλ∴+=． 故答案为：56．【点评】本题考查向量知识，考查平面向量基本定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．21．已知H 是ABC ∆的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142AH AB AC =+，则cos BAC ∠的值为 ． 【分析】先确定点H 的位置，再得到BC AC =，再向量的夹角公式，并运用了向量的坐标运算可求出．【解答】解：1142AH AB AC =+，令AE AC λ=，∴1142AH AB AE λ=+如图，点B ，H ，E 三点共线，则有，11142λ+=，∴23λ=． ∴1344AH AB AE =+，即3BH HE =．∴3()CH CB CE CH -=-，∴131()2444CH CB CE CB CA CF =+=+=（其中点F 为边AB 的中点），则有，边AB 上的中线与垂线重合，即CB CA =．3BH HE =且23AE AC =．由对称性可知，3AH HD =且23BD BC =．建立如图所示的平面直角坐标系，则有，(0,0)D ，(2,0)B ，(1,0)C ，设(0,4)A t ，(0,)H t ∴，0t >．由BC CA =可得，212t =．2cos 16BA BCBAC BA BC ∠===．．【点评】本题运用了向量的坐标法来求解，运算量小了，过程更为清晰．22．在锐角ABC ∆中，H 为垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos AHB ∠= ． 【分析】利用H 为ABC ∆的垂心，可得0HA BC =⇒HA HC HA HB =；同理HC HA HC HB =；再利用已知条件3450HA HB HC ++=，化为22345390HA HA HB HA HC HA HA HB ++=+=与22345840HA HB HB HB HC HA HB HB ++=+=；即可求得答案．【解答】解：H 是ABC ∆的垂心，所以0HA BC =，即0()HA HC HB HA HC HA HB =-=-，所以HA HC HA HB =；同理HC HA HC HB =；因为3450HA HB HC ++=，所以22345390HA HA HB HA HC HA HA HB ++=+=；所以23HA HA HB =-，即2cos 3||||HA AHB HA HB ∠=-①；同理22345840HA HB HB HB HC HA HB HB ++=+=；22HB HA HB =-，即2cos 2||||HB AHB HA HB ∠=-②， 联立①②得：21cos 6AHB ∠=，于是cos||||HA HB AHB HA HB ∠==-=故答案为：．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，考查平面向量数量积的应用，考查转化思想与运算能力，属于难题．23．锐角ABC ∆中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边．点G 为ABC ∆的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围为 4[5， ． 【分析】根据余弦定理求出2222cos ()25a b c a b C ab b a+-==+，根据三角形是锐角三角形求出：b a ∈，求出cos C 的范围即可． 【解答】解：如图示：，连接CG ，并延长交AB 于D ，由G 是三角形的重心，得D 是AB 的中点，AG BG ⊥，1122DG AB c ∴==， 由重心的性质得3CD DG =，即3322CD AB c ==， 由余弦定理得：2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-∠，2222cos BC BD CD BD CD BDC =+-∠，ADC BDC π∠+∠=，AD BD =，2222222225AC BC a b AD CD c ∴+=+=+=， 则2222cos ()25a b c a b C ab b a+-==+， ABC ∆是锐角三角形，222a b c ∴+>，222b c a +>，222a c b +>，将2225a b c +=代入得：b a ∈，∴4cos 5C <故答案为：4[5．【点评】本题考查了余弦定理的应用，考查三角形的重心以及直角三角形的性质，是一道中档题．24．已知点G 为ABC ∆的重心，过点G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM xAB AN y AC ==，求11x y+的值． 【分析】由G 为三角形的重心则1()3AG AB AC =+，结合,AM xAB AN y AC ==，我们根据M ，G ，N 三点共线，易得到x ，y 的关系式，整理后即可得到11x y+的值． 【解答】解：根据题意G 为三角形的重心，1()3AG AB AC =+， 111()()333MG AG AM AB AC xAB x AB AC =-=+-=-+， GN AN AG y AC AG =-=-1()3yAC AB AC =-+ 11()33y AC AB =--， 由于MG 与GN 共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得MG GN λ=， 即1111()[()]3333x AB AC y AC AB λ-+=--， 即113311()33x y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴11331133xy -=--即30x y xy +-=两边同除以xy 整理得113x y+=． 【点评】本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，及三角形的重心，其中根据MG 与GN 共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得MG GN λ=，进而得到x ，y 的关系式，是解答本题的关键．。
平面向量与三角形四心问题
平面向量根本定理与三角形四心O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 那么图1 =OD BC DC OB +BCBDOC 图2推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，那么 有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心 O 是ABC ∆的内心 O 是ABC ∆的外心 O 是ABC ∆的垂心证明：如图O为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = 同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan :=∆∆ 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一“四心〞的相关向量问题一．知识梳理： 四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点〔内切圆的圆心〕，角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4) 外心：中垂线的交点〔外接圆的圆心〕，外心到三角形各顶点的距离相等。
与“重心〞有关的向量问题1 G 是ABC △所在平面上的一点，假设0GA GB GC ++=，那么G 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心 如图⑴.A'GCAB2O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，那么P 的轨迹一定通过ABC △的( ).A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意()AP AB AC λ=+，当(0)λ∈+∞，时，由于()AB AC λ+表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵. 3 .O是△ABC所在平面内一点，动点P满足〔λ∈〔0，+∞〕〕，那么动点P 的轨图⑴ 图⑵MPCBA迹一定通过△ABC 的〔 〕A ．内心B ．重心C ．外心D ．垂心 解：作出如图的图形AD ⊥BC ，由于sinB=sinC=AD ，由加法法那么知，P 在三角形的中线上 故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心 应选：B ．与“垂心〞有关的向量问题3 P 是ABC △所在平面上一点，假设PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，那么P 是ABC △的( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0PB PA PC ⋅-=，即0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.4O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，那么动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭， 图⑶ 图⑷由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭， 即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB BAC C⋅⋅+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷.5假设H 为ABC △所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB +=+=+那么点H 是ABC △的( )A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心 证明: 2222HA HB CA BC -=-得()0HA HB CA CB BA +--•= 即()0HC HC BA +•=AB HC ∴⊥同理,AC HB BC HA ⊥⊥， 故H 是△ABC 的垂心与“内心〞有关的向量问题6I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．假设0aIA bIB cIC ++=，那么I 是ABC △的( )．A ．重点 B ．外心 C ．内心 D ．垂心【解析】∵IB IA AB =+，IC IA AC =+，那么由题意得()0a b c IA bAB c AC ++++=，图⑸图∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+ ⎪++⎝⎭．∵AB AB 与AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，∴AI 与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠．同理可证：BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸.7O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足=OP OA +λ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+AC AC AB AB ，(0)λ∈+∞，，那么动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，∴当(0)λ∈+∞，时，AP 表示BAC ∠的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹. 8假设O在△ABC所在的平面内：=，那么O 是△ABC 的〔 〕A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心 解：∵向量的模等于1，因而向量是单位向量 ∴向量、和等都是单位向量∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形，可得AO 在∠BAC 的平分线上同理可得OB 平分∠ABC ，OA 平分∠ACB ， ∴O 是△ABC 的内心． 应选：C ．与“外心〞有关的向量问题8O 是ABC △所在平面上一点，假设222OA OB OC ==，那么O 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心【解析】假设222OA OB OC ==，那么222OA OB OC ==，∴OA OB OC ==，那么O 是ABC △的外心，如图⑺。
平面向量中三角形“四心”与应用
平面向量种三角形“四心”与应用一．重要结论1.重心：三角形三条中线的交点，重心为O →→→→=++⇔0OC OB OA 证明：G 是ABC ∆所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明:作图如右，图中GEGC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））重心性质1．P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB P A PG ++=.证明：CG PC BG PB AG P A PG +=+=+=⇒)()(3PC PB P A CG BG AG PG +++++=∵G 是△ABC 的重心∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB P A PG ++=3，由此可得)(31PC PB P A PG ++=.（反之亦然（证略））重心性质2.如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N两点，且AM xAB = ，AN y AC = ，则113x y+=.证明：点G 是ABC ∆的重心，知GA GB GC ++=O ，得()()AG AB AG AC AG -+-+-=O ，有1()3AG AB AC =+ .又M ，N ，G 三点共线（A不在直线MN 上），于是存在,λμ，使得(1)AG AM AN λμλμ=++=且，有AG xAB y AC λμ=+ =1()3AB AC +，得113x y λμλμ+=⎧⎪⎨==⎪⎩，于是得113x y +=2．外心：三角形三条中垂线的交点.外心O →→→==⇔OC OB OA 222OCOB OA ==⇔→→→→→→→→→=⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇔0CA OA OC BC OC OB AB OB OA 外心性质：如图，O 为ABC ∆的外心，证明：1.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.2.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.3.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明：结合三角形中线向量公式及极化恒等式即可完成证明.附：如图，直角三角形ABC 中，2||→→→=⋅AB AC AB .3．内心.三角形三条角平分线的交点.内心为O 0=⋅+⋅+⋅⇔→→→→→→OC AB OB CA OA BC 内心性质.O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足ACAC ABAB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心解：ABAB AB 的单位向量设AB 与AC方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.4．垂心：三角形三条高线的交点.垂心为O →→→→→→⋅=⋅=⋅⇔OAOC OC OB OB OA 垂心性质.点H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心.由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心.（反之亦然（证略））二．典例分析1．若O 在△ABC 所在的平面内，a ，b ，c 是△ABC 的三边，满足以下条件0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，则O 是△ABC 的（）A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心解析：,OB OA AB OC OA AC =+=+ 且0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，()0a b c OA b AB c AC ∴++⋅+⋅+⋅=，化简得bc AB AC AO a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+⎪++⎝⎭，设AB AC AP AB AC =+ ，又AB AB与AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，AP ∴平分BAC ∠，又,AO AP共线，故AO 平分BAC ∠，同理可得BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，故O 是△ABC 的内心.故选：C.2．在ABC 中，向量AB 与AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，且2||||BA BC BA BC ⋅=，则ABC为（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形解析：∵0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，∴BAC ∠的角平分线垂直于BC ，根据等腰三角形三线合一定理得到ABC为等腰三角形，又∵2||||BA BC BA BC ⋅= ，∴=45ABC ∠︒，则ABC 为等腰直角三角形，故选：D.3．已知D 是ABC 内部（不含边界）一点，若::5:4:3ABD BCD CAD S S S =△△△，AD xAB y AC =+，则x y +=（）A ．23B ．34C ．712D ．1解析：如图，连接AD 并延长交BC 与点M,设点B 到直线AD 的距离为B d ,点C 到直线AD 的距离为C d ,因为::5:4:3ABD BCD CAD S S S =△△△，所以设5,4,3ABD BCD CAD S k S k S k ===△△△，因为AM 与向量AD 共线，设AM AD xAB y AC ==+ λλλ,BM BC = μ,AM AB BM ∴=+AB BC =+ μ()(1),AB AC AB AB AC =+-=-+ μμμ所以1x y λμλμ=-⎧⎨=⎩，即11x y μμλλλ-+=+=，AM AD DM AD AD +==λ()()()B C B C AD DM d d AD d d +⨯+=⨯+111()53432221153222B B c B C C AD d AD d d d k k k k k AD d AD d ⨯+⨯+⨯+++===+⨯+⨯,所以123x y +==λ故选：A4．已知点P 是ABC 所在平面内的动点，且满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++⎪ ⎪⎝⎭(0)λ>，射线AP 与边BC 交于点D ，若23BAC π∠=，||1AD = ，则||BC 的最小值为（）AB ．2C．D．解析：AB AB 表示与AB 共线的单位向量，AC AC表示与AC共线的单位向量，所以点P 在BAC ∠的平分线上，即AD 为BAC ∠的角平分线，在ABD △中，3BAD π∠=，||1AD = ，利用正弦定理知：2sin sin 3sin AD BD B Bπ=⨯=同理，在ACD △中，2sin sin 3sin AD CD C Cπ=⨯=，1122sin sin 2sin sin BC BD CD B C B C ⎫=+==+⎝⎭，其中3B C π+=，分析可知当6B C π==时，BC取得最小值，即min 12sin 6BC π=⨯=5．已知点O 是锐角ABC 的外心，8AB =，12AC =，3A π=，若AO x AB y AC =+ ，则69x y +=（）A ．6B ．5C ．4D ．3解析：如图所示，过点O 分别作⊥OD AB ，OE AC ⊥，垂足分别为D ，E ；则D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∴221183222AO AB AB ⋅==⨯= ，2211127222AO AC AC ⋅==⨯= ；又3A π=，∴812cos 483AB AC π⋅=⨯⨯= ，∵AO x AB y AC =+ ，∴2AO AB xAB y AC AB ⋅=+⋅ ，2AO AC xAC AB y AC ⋅=⋅+ ，化为326448x y =+①，7248144x y =+②，联立①②解得16x =，49y =；∴695x y +=．故选：B6．已知ABC 外接圆圆心为O ，G 为ABC 所在平面内一点，且0GA GB GC ++=．若AB AC += 52AO，则sin BOG ∠=（）A ．12B ．14C．4D解析：取BC 的中点D ，连接AD ，由0GA GB GC ++=，知G 为ABC 的重心，则G 在AD 上，所以12()33AG AB AC AD =+= ，而24()55AO AB AC AD =+=，所以A ，G ，O ，D 四点共线，所以AB AC =，即AD BC ⊥，不妨令5AD =，则4AO BO ==，1OD =．所以sin sin 4BD BOG BOD BO ∠=∠==．故选：C ．7．设H 是ABC ∆的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos ABC ∠=______.解析：H 是ABC ∆的垂心⇔::tan :tan :tan BHC CHA AHB S S S A B C∆∆∆=⇔tan tan tan 0A HAB HBC HC∙∙∙++=由题设得tan tan tan345A B Cλ===.再由tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，得λ=，tan 5B =.故cos 21ABC ∠=.故答案为:218．已知点O 为三角形ABC 所在平面内的一点，且满足1OA OB OC ===，3450OA OB OC ++=，则AB AC ⋅= ___．解析：∵1OA OB OC === ，3450OA OB OC ++= ，∴345OA OB OC +=-，两边同时平方可得，9162425OA OB ++⋅= ，∴0OA OB ⋅=，∵3455OC OA OB =--，则()()AB AC OB OA OC OA ⋅=-⋅- ()8455OB OA OA OB ⎛⎫=-⋅-- ⎪⎝⎭2284845555OB OA OB OA OB OA =-⋅-++⋅ 48400555=-++=，故答案为45．。
(完整版)平面向量与三角形四心问题
平面向量基本定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
平面向量中的三角形四心问题教师版
平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。
本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。
在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。
一、重心（barycenter)三角形重心是三角形三边中线的交点。
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
结论1：是三角形的重心所在平面内一点，则为若G GC GB GA ABC G ⇔=++∆0的重心为故上在中线同理可得上在中线这表明，，则中点为证明：设ABC G CF BE G AD G GD GA GCGB GA GC GB GA GCGB GD D BC ∆=-∴+=-⇔=+++=,,202结论2：的重心是证明：的重心是所在平面内一点，则为若ABC G GC GB GA PC PG PB PG PA PG PC PB PA PG ABC G PC PB PA PG ABC ∆⇔=++⇔=-+-+-⇔++=∆⇔++=∆00)()()()(31)(31P二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3：的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H HAHC HC HB HB HA ABC ∆⇔⋅=⋅=⋅∆H 为三角形垂心故同理，有证明：H ABHC CB HA ACHB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00)(结论4：可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心是所在平面内一点，则为若3)()(H 22222222222222HAHC HC HB HB HA HAHC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⇔-+=-++=+∆⇔+=+=+∆三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。
平面向量三角形四心(有详解)
平面向量与三角形“四心”的应用问题三角形的外心，内心，重心及垂心，在高考中的考查是比较棘手的问题，先课程教材中所加的内容，更加引起我们的重视，尤其与平面向量结合在一起，那就更加难于掌握了。
本文拟对与三角形的“四心”相关的平面向量问题加以归纳，供学习时参考．1 课本原题例１、已知向量123,,OP OP OP 满足条件1230OP OP OP ++=，123||||||1OP OP OP ===，求证：123PP P △是正三角形．分析 对于本题中的条件123||||||1OP OP OP ===，容易想到，点O 是123PP P △的外心，而另一个条件1230OP OP OP ++=表明，点O 是123PP P △的重心． 故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形．在1951年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的．显然，本题中的条件123||||||1OP OP OP ===可改为123||||||OP OP OP ==．2 高考原题例２、O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ()[0,).||||AB ACOP OA AB AC λλ=++⋅∈+∞则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）．A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析 已知等式即()||||AB AC AP AB AC λ=+，设,||||AB ACAE AF AB AC ==，显然,AE AF 都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故AP 为ABC ∠的平分线，选B ．例３、ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数m = ．分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观．解法如下，由已知，有向量等式0AH BC =，将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有()()0OH OA OC OB --=，将已知代入，有[()]()0m OA OB OC OA OC OB ++--=，即22()(1)0m OC OB m OA BC -+-=，由O 是外心，得(1)0m OA BC -=，由于ABC ∆是任意三角形，则OA BC 不恒为０，故只有1m =恒成立．或者，过点O 作OM BC ⊥与M ，则M 是BC 的中点，有1()2OM OB OC =+；H 是垂心，则AH BC ⊥，故AH 与OM 共线，设AH kOM =，则()2kOH OA AH OA OB OC =+=++，又()OH m OA OB OC =++，故可得(1)()()022k k m OA m OB m OC -+-+-=，有102km m -=-=，得1m =．根据已知式子()OH m OA OB OC =++中的OA OB OC ++部分，很容易想到三角形的重心坐标公式，设三角形的重心为G ，O 是平面内任一点，均有3OA OB OCOG ++=，由题意，题目显然叙述的是一个一般的结论，先作图使问题直观化，如图１，由图上观察，很容易猜想到2HG GO =，至少有两个产生猜想的诱因，其一是，,BF OT 均与三角形的边AC 垂直，则//BF OT ；其二，点G 是三角形的中线BT 的三等分点．此时，会先猜想BHG TOG △∽△，但现在缺少一个关键的条件，即2BH OT =，这样由两个三角形的两边长对应成比例，同时，夹角对应相等可得相似．当然，在考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明．本题结论是关于三角形的欧拉定理，即设O 、G 、H 分别是△ABC 的外心、重心和垂心，则O 、G 、H 三点共线，且OG∶GH＝1∶2，利用向量表示就是3OH OG =．例４、点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ==，则点O 是ABC ∆的（ ）．A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点BC图１分析移项后不难得出，0OB CA OC AB OA CB ===，点O 是ABC ∆的垂心，选D ．3 推广应用题例５ 在△ABC 内求一点P ，使222AP BP CP ++最小．分析 如图２，构造向量解决．取,CA a CB b ==为基向量，设CP x =，有,AP x a BP x b =-=-．于是，22222222211()()3[()]()33AP BP CP x a x b x x a b a b a b ++=-+-+=-+++-+．当1()3x a b =+时，222AP BP CP ++最小，此时，即1()3OP OA OB OC =++，则点P 为△ABC的重心．例６已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，则O 为△ABC 的 心．分析 将2222||()2BC OC OB OC OB OC OB =-=+-，22||,||CA AB 也类似展开代入，已知等式与例４的条件一样．也可移项后，分解因式合并化简，O 为垂心．例７ 已知O 为△ABC 的外心，求证：sin sin sin 0OA BOC OB AOC OC AOB ++=． 分析 构造坐标系证明．如图３，以A 为坐标原点，B 在x 轴的正半轴，C 在x 轴的上方．2012AOB S x y =△，直线BC 的方程是32323()0y x x x y x y +--=，由于点A 与点O 必在直线BC 的同侧，且230x y -<，因此有033020230x y x y x y x y -+-<，得302303201()2BOC S x y x y x y x y =+--△．直线AC 的方程是330y x x y -=，由于点(1,0)与点O 必在直线AC 的同侧，且图２AB33100y x ⨯-⨯>，因此有03300x y x y ->，得03301()2AOC S x y x y =-△． 于是，容易验证，BOC AOC AOB OA S OB S OC S ⨯+⨯+⨯=△△△，又1||||sin 2BOC S OB OC BOC =△， 1||||sin 2BOA S OB OA AOB =△，1||||sin 2AOC S OA OC AOC =△，又||||||OA OB OC ==，则所证成立．。
5.4平面向量与三角形的“四心”问题
三角形“四心”的向量特征：
（1）垂心：三角形三边上的高交于一点H，这一点叫三角形的垂心。 A
HA BC=HB AC=HC AB=0 HA HB=HA HC=HB HC
uuu r uuu r uu u r uu u r AB AC 变形： （1） OP OA ( uuu uuu ), (0, ) r r AB sin B AC sin C
Ｃ
uuu r uuu r uu u r uu u r AB AC （2） OP OA ( uuu r sin C uuu r sin B), (0, ) AB AC uuu r uuu r uu u r uu u r AB AC (3)OP OA ( uuu uuu ), (0, ) r r AB cos B AC cos C uuu r uuu r uu u r uuu r AB AC （4） PB PC ( uuu uuu ), (0, ) r r AB cos B AC cos C
AI bc a b c | AB | | AC |
AB AC ) (A，B，C所对的边分别是a,b.c) (
aIA bIB cIC 0
F c
I
Da
E
b
SIBC IA SIAC IB SIAB IC 0
B
C
例1. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，
AB AC 动点P满足 OP = OA +λ ( + ), λ ∈[0,+∞). |AB| |AC|
平面向量与三角形的四心(解析版)
专题十 平面向量与三角形的四心三角形四心的向量式三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0．(2)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A⇔sin 2A ·OA →＋sin 2B ·OB →＋sin 2C ·OC →＝0． (3)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0⇔ sin A ·OA →＋sin B ·OB →＋sin C ·OC →＝0．(4)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →⇔ tan A ·OA →＋tan B ·OB →＋tan C ·OC →＝0．关于四心的概念及性质：(1)重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点．性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数．即G 为△ABC 的重心，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33．④重心到三角形3个顶点距离的平方和最小．(2)垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点．性质：锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外．(3)内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)．性质：①三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r ． ②2=S r a b c ++，特别地，在Rt △ABC 中，∠C =90°，=2a b c r +-． (4)外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)．性质：外心到三角形各顶点的距离相等．考点一 三角形四心的判断【例题选讲】[例1] (1) 已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( )A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心 C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点答案 C 解析 取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →，∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]，∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →]＝2(1－λ)3OD →＋1＋2λ3OC →，而2(1－λ)3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线，∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．(2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________．答案 内心 解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心．(3)在△ABC 中，设AC →2－AB →2＝2AM →·BC →，那么动点M 的轨迹必经过△ABC 的( )A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心答案 C 解析 设BC 边中点为D ，∵AC →2－AB →2＝2 AM →·BC →，∴(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝2 AM →·BC →，即AD →·BC →＝AM →·BC →，∴MD →·BC →＝0，则MD →⊥BC →，即MD ⊥BC ，∴MD 为BC 的垂直平分线，∴动点M 的轨迹必经过△ABC 的外心，故选C ．(4)已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B＋AC →|AC →|cos C)，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．重心 B ．垂心 C ．外心 D ．内心答案 B 解析 因为OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，所以AP →＝OP →－OA →＝λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C)，所以BC →·AP →＝BC →·λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C)＝λ(－|BC →|＋|BC →|)＝0，所以BC →⊥AP →，所以点P 在BC 的高线上，即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心．(5)已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，若分别满足下列四个条件：①aOA bOB cOC ++=0，②tan tan tan A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=0，③sin 2sin 2sin 2A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=0，④OA OB OC ++=0则点O 分别为ABC ∆的( )A ．外心、内心、垂心、重心B ．内心、外心、垂心、重心C ．垂心、内心、重心、外心D ．内心、垂心、外心、重心答案 D(6)下列叙述正确的是________． ①1()3PG PA PB PC G =++⇔为ABC ∆的重心． ②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心．③||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为ABC ∆的外心．④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA O +⋅=+⋅=+⋅=⇔为ABC ∆的内心．答案 ①② 解析 ①G 为ABC ∆的重心⇔GA GB GC ++=0⇔PA PG PB PG PC PG -+-+-=0⇔1()3PG PA PB PC =++，①正确；②由PA PB PB PC ⋅=⋅⇔()0PA PC PB -⋅=⇔0CA PB AC ⋅=⇔⊥PB ，同理AB PC ⊥，BC PA ⊥，②正确；③||||||AB PC BC PA CA PB ++=0⇔||||()AB PC BC PC CA ++||()CA PC CB ++=0(||||||)||||AB BC CA PC BC CA CA CB ⇔++++=0．||||||||BC CA CA CB =，∴ ||BC CA ||CA CB +与角C 的平分线平行，P ∴必然落在角C 的角平分线上，③错误；④()OA OB AB +⋅=(OB 222)()0||||||OC BC OC OA CA OA OB OC OA OB OC O +⋅=+⋅=⇔==⇔==⇔为ABC ∆的外心，④错误．∴正确的叙述是①②．故答案为：①②．【对点训练】1．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心1．答案 C 解析 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．2．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足2OB OC OP AP λ+=+，且1λ≠，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心2．答案 C 解析 设BC 的中点为M ．由已知原式可化为2PA OB OP OC OP λ=-+-．即2PA PB λ= 2PC PM +=，所以PM PA λ=，所以P ，A ，M 三点共线．所以P 点在边BC 的中线AM 上．故P 点 的轨迹一定过ABC ∆的重心．3．已知O 是△ABC 所在平面上的一定点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB |sin B ＋AC →|AC |sin C ，λ∈(0，＋∞)， 则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心3．答案 C 解析 ∵|AB |sin B ＝|AC |sin C ，设它们等于t ，∴OP →＝OA →＋λ·1t(AB →＋AC →)，设BC 的中点为D ， 则AB →＋AC →＝2AD →，λ·1t(AB →＋AC →)表示与AD →共线的向量AP →，而点D 是BC 的中点，即AD 是△ABC 的中线，∴点P 的轨迹一定通过三角形的重心．故选C ．4．O 为ABC ∆所在平面内一点，A ，B ，C 为ABC ∆的角，若sin sin sin A OA B OB C OC O ⋅+⋅+⋅=，则点O 为ABC ∆的( )A ．垂心B ．外心C ．内心D ．重心4．答案 C 解析 由正弦定理得2sin 2sin 2sin 0R AOA R BOB R COC ++=，即0aOA bOB cOC ++=， 由上式可得()()cOC aOA bOB a OC CA b OC CB =--=-+-+，所以()a b c OC aCA bCB ++=--=ab - ()||||CA CB CA CB +，所以OC 与C ∠的平分线共线，即O 在C ∠的平分线上，同理可证，O 也在A ∠，B ∠的 平分线上，故O 是ABC ∆的内心．5．在ABC ∆中，3AB =，2AC =，1324AD AB AC =+，则直线AD 通过ABC ∆的( ) A ．垂心 B ．外心 C ．内心 D ．重心 5．答案 C 解析3AB =，2AC =，13||22AB ∴=，33||42AC =．即133||||242AB AC ==，设12AE AB =， 34AF AC =，则||||AE AF =，∴1324AD AB AC AE AF =+=+．由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF 为菱形．AD ∴为菱形的对角线，AD ∴平分EAF ∠．∴直线AD 通过ABC ∆的内心．故选C ． 6．已知ABC ∆所在的平面上的动点M 满足||||AP AB AC AC AB =+，则直线AP 一定经过ABC ∆的( )A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心6．答案 C 解析||||AP AB AC AC AB =+∴11||||()||||AP AB AC AC AB AC AB =+，∴根据平行四边 形法则知11||||AC AB AC AB +表示的向量在三角形角A 的平分线上，而向量AP 与11||||AC AB AC AB +共线，P ∴点的轨迹过ABC ∆的内心，故选C ．7．设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，P 是ABC ∆所在平面上的一点，c PA PB PA PC b⋅=⋅ +22b c c a c PA PB PC PB b a a--=⋅+，则点P 是ABC ∆的( ) A ．重心 B ．外心 C ．内心 D ．垂心7．答案 C 解析 因为22c b c c a c PA PB PA PC PA PB PC PB b b a a--⋅=⋅+=⋅+，所以2PA PB PA ⋅-= ()c PA PC PA b ⋅-，2()c PA PB PB PB PC PB a ⋅-=⋅-，所以c PA AB PA AC b ⋅=⋅，c BA PB PB BC a⋅=⋅，所以||cos ||cos c PA c PAB PA b PAC b ⋅∠=∠，||cos ||cos c PB c PBA PB a PBC a⋅∠=∠，所以PAB PAC ∠=∠，PBA PBC ∠=∠，所以AP 是BAC ∠的平分线，BP 是ABC ∠的平分线，所以点P 是ABC ∆的内心，故选C ．8．已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是ABC △的( )．A ．重点B ．外心C ．内心D ．垂心8．答案 B 解析9．P 是△ABC 所在平面内一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则P 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心9．答案 D 解析 由P A →·PB →＝PB →·PC →，可得PB →·(P A →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，∴PB →⊥CA →，同理可证PC →⊥AB →，P A →⊥BC →．∴P 是△ABC 的垂心．10．若H 为ABC △所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB +=+=+则点H 是ABC △的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心10．答案 D 解析11．已知O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足22||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+，则点(O )A ．在AB 边的高所在的直线上 B ．在C ∠平分线所在的直线上C ．在AB 边的中线所在的直线上D ．是ABC ∆的外心11．答案 A 解析 取AB 的中点D ，则22||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+，∴2()||BA OA OB BC ⋅+=-+2||AC ，∴2(2)BA OD AB CD ⋅=⋅-，∴20BA OC =，∴BA OC ⊥，∴点O 在AB 边的高所在的直线上，故选A ．12．已知O 为ABC ∆所在平面内一点，且满足222222OA BC OB CA OC AB +=+=+，则O 点的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心12．答案 D 解析BC OC OB =-，CA OA OC =-、AB OB OA =-，∴由22222OA BC OB CA OC +=+=2AB +，得222222()()()OA OC OB OB OA OC OC OB OA +-=+-=+-，∴OB OC OA OC OA OB ⋅=⋅=⋅， 即()()()OC OB OA OA OC OB OB OC OA ⋅-=⋅-=⋅-，∴OC AB OA BC OB AC ⋅=⋅=⋅，则OC AB ⊥， OA BC ⊥，OB AC ⊥．O ∴是ABC ∆的垂心．故选D ． 13．已知O ，N ，P 在所在ABC ∆的平面内，且||||||, OA OB OC NA NB NC ==++=0，且PA PB ⋅=PB PC ⋅=PA PC ⋅，则O ，N ，P 分别是ABC ∆的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心13．答案 C14．点O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上ABC ∆的三个顶点，以下命题正确的是________．（把你认为正确的序号全部写上）．①②③④⑤①动点P 满足OP OA PB PC =++，则ABC ∆的重心一定在满足条件的P 点集合中；②动点P 满足()(0)||||AB AC OP OA AB AC λλ=++>，则ABC ∆的内心一定在满足条件的P 点集合中； ③动点P 满足()(0)||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC Cλλ=++>，则ABC ∆的重心一定在满足条件的P 点集合中；④动点P 满足()(0)||cos ||cos AB AC OP OA AB B AC C λλ=++>，则ABC ∆的垂心一定在满足条件的P 点集合中；⑤动点P 满足()(0)2||cos ||cos OB OC AB AC OP AB B AC C λλ+=++>，则ABC ∆的外心一定在满足条件的P 点集合中．14．答案 ①②③④⑤ 解析 对于①，动点P 满足OP OA PB PC =++，∴AP PB PC =+，则点P 是ABC ∆的心，故①正确；对于②，动点P 满足()(0)||||AB AC OP OA AB AC λλ=++>，∴(||AB AP AB λ=+ )||AC AC (0)λ>，又||||AB AC AB AC +在BAC ∠的平分线上，∴AP 与BAC ∠的平分线所在向量共线，ABC ∴∆的内心在满足条件的P 点集合中，②正确；对于③，动点P 满足()||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC C λ=++ (0)λ>，∴()||sin ||sin AB AC AP AB B AC Cλ=+，(0)λ>，过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，则||sin AB B = ||sin AC C AD =，()AP AB AC AD λ=+，向量AB AC +与BC 边的中线共线，因此ABC ∆的重心一定在满足条件的P 点集合中，③正确；对于④，动点P 满足()(0)||cos ||cos AB AC OP OA AB B AC C λλ=++>， (AP λ=∴)(0)||cos ||cos AB AC AB B AC C λ+>，∴()(||||cos ||cos AB AC AP BC BC BC AB B AC Cλλ=+=- ||)0BC =，∴AP BC ⊥，ABC ∴∆的垂心一定在满足条件的P 点集合中，④正确；对于⑤，动点P 满 足OP =()(0)2||cos ||cos OB OC AB AC AB B AC C λλ+++>，设2OB OC OE +=，则(||cos AB EP AB Bλ=+ )||cos AC AC C，由④知()0||cos ||cos AB AC BC AB B AC C +=，∴0EP BC =，∴EP BC ⊥，P ∴点的轨迹为 过E 的BC 的垂线，即BC 的中垂线；ABC ∴∆的外心一定在满足条件的P 点集合，⑤正确．故正确的 命题是①②③④⑤．考点二 三角形四心的应用【例题选讲】[例2] (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，重心为G ，若aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则A ＝__________．答案 π6解析 由G 为△ABC 的重心知GA →＋GB →＋GC →＝0，则GC →＝－GA →－GB →，因此a GA →＋b GB →＋ 33c (－GA →－GB →)＝⎝⎛⎭⎫a －33c GA →＋⎝⎛⎭⎫b －33c GB →＝0，又GA →，GB →不共线，所以a －33c ＝b －33c ＝0，即a ＝b ＝33c ．由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22×33c 2＝32，又0<A <π，所以A ＝π6． (2)在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，AC ＝3，设O 是△ABC 的内心．若AO →＝pAB →＋qAC →，则p q＝________． 答案 32 解析 如图，O 为△ABC 的内心，D 为AC 中点，则O 在线段BD 上，cos ∠DAO ＝12||AC →||AO →＝32|AO →|，根据余弦定理cos ∠BAC ＝4＋9－42×2×3＝34；由AO →＝pAB →＋qAC →得AO →·AB →＝pAB →2＋qAB →·AC →，所以||AO ，→||AB ，→cos ∠BAO ＝pAB →2＋q ||AB →||AC →cos ∠BAC ，所以3＝4p ＋92q ①；同理AO →·AC →＝pAB →·AC →＋qAC →2，所以可以得到92＝92p ＋9q ②．①②联立可求得p ＝37，q ＝27，所以p q ＝32．(3)已知在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝6，AC ＝2，点O 为△ABC 的外心，若AO →＝xAB →＋yAC →，则有序实数对(x ，y )为( )A ．⎝⎛⎭⎫45，35B ．⎝⎛⎭⎫35，45C ．⎝⎛⎭⎫－45，35D ．⎝⎛⎭⎫－35，45 答案 A 解析 取AB 的中点M 和AC 的中点N ，连接OM ，ON ，则OM →⊥AB →，ON →⊥AC →，OM →＝AM→－AO →＝12AB →－(xAB →＋yAC →)＝⎝⎛⎭⎫12－x AB →－yAC →，ON →＝AN →－AO →＝12AC →－(xAB →＋yAC →)＝⎝⎛⎭⎫12－y AC →－xAB →．由OM →⊥AB →，得⎝⎛⎭⎫12－x AB →2－yAC →·AB →＝0，①，由ON →⊥AC →，得⎝⎛⎭⎫12－y AC →2－xAC →·AB →＝0，②，又因为BC →2＝(AC →－AB →)2＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2，所以AC →·AB →＝AC →2＋AB →2－BC →22＝－12，③，把③代入①、②得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＋y ＝0，4＋x －8y ＝0，解得x ＝45，y ＝35．故实数对(x ，y )为⎝⎛⎭⎫45，35． (4)在△ABC 中，O 是△ABC 的垂心，点P 满足：3OP →＝12OA →＋12OB →＋2OC →，则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比是________．答案 23 解析 如图，设AB 的中点为M ，设12OA →＋12OB →＝ON →，则N 是AB 的中点，点N 与M 重合，故由3OP →＝12OA →＋12OB →＋2OC →，可得2OP →＝OM →－OP →＋2OC →，即2OP →－2OC →＝OM →－OP →，也即PM →＝2CP →，由向量的共线定理可得C 、P 、M 共线，且MP ＝23MC ，所以结合图形可得△ABP 的面积与△ABC 的面积之比是23． (5)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是ABC ∆的外心、垂心，且M 为BC 中点，则( )A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=-C ．24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-答案 D 解析 如图所示的Rt ABC ∆，其中角B 为直角，则垂心H 与B 重合，O 为ABC ∆的外心，OA OC ∴=，即O 为斜边AC 的中点，又M 为BC 中点，∴2AH OM =，M 为BC 中点，∴ AB AC +22()2(2)4224AM AH HM OM HM OM HM HM MO ==+=+=+=-．故选D ． A B (H )CM O【对点训练】1．在△ABC 中，O 为△ABC 的重心，AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°，则AO →·AC →＝________．1．答案 4 解析 设BC 边中点为D ，则AO →＝23AD →，AD →＝12(AB →＋AC →)，∴ AO →·AC →＝13(AB →＋AC →)·AC →＝13(3×2×cos 60°＋32)＝4．2．设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA ＋sin B ·GB ＋sin C ·GC ＝0，则B 的大小为________．2．答案 60° 解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0．又GB →，GC →不共线，∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sin C ．根据正弦定理知b ＝a ＝c ，∴三角形ABC 是等边三角形，则角B ＝60°．秒杀 ∵G 为△ABC 的重心，∴OA →＋OB →＋OC →＝0，又∵sin A ·GA ＋sin B ·GB ＋sin C ·GC ＝0，∴sin A ＝sin B ＝sin C ，∴三角形ABC 是等边三角形，则角B ＝60°．3．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，重心为G ，若2sin A ·GA →＋3sin B ·GB →＋3sin C ·GC →＝0，则cos B ＝________．3．答案 112解析 设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，由正弦定理得2a ·GA →＋3b ·GB →＋3c ·GC →＝0， 则2a ·GA →＋3b ·GB →＝－3c ·GC →＝－3c (－GA →－GB →)，即(2a －3c ) GA →＋(3b －3c ) GB →＝0．又GA →，GB →不共线，所以⎩⎨⎧2a －3c ＝0，3b －3c ＝0，由此得2a ＝3b ＝3c ，所以a ＝32b ，c ＝33b ，于是由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝112． 秒杀 ∵G 为△ABC 的重心，∴OA →＋OB →＋OC →＝0，又∵2sin A ·GA →＋3sin B ·GB →＋3sin C ·GC →＝0，∴2sin A ＝3sin B ＝3sin C ，∴2a ＝3b ＝3c ，所以a ＝32b ，c ＝33b ，于是由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝112． 4．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________．4．答案 5 解析 如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．∵AB ＝1，∠ABC ＝60°，∴A ⎝⎛⎭⎫12，32．设C (a ，0)．∵AC →·AB →＝－1，∴⎝⎛⎭⎫a －12，－32·⎝⎛⎭⎫－12，－32＝ －12⎝⎛⎭⎫a －12＋34＝－1，解得a ＝4．∵O 是△ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ，∴BO →＝23BD →＝23×12(BA → ＋BC →)＝13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12，32＋(4，0)＝⎝⎛⎭⎫32，36．∴BO →·AC →＝⎝⎛⎭⎫32，36·⎝⎛⎭⎫72，－32＝5． 5．过△ABC 重心O 的直线PQ 交AC 于点P ，交BC 于点Q ，PC →＝34AC →，QC →＝nBC →，则n 的值为____． 5．答案 35 解析 因为O 是重心，所以OA →＋OB →＋OC →＝0，即OA →＝－OB →－OC →，PC →＝34AC →⇒OC →－OP →＝34(OC →－OA →)⇒OP →＝34OA →＋14OC →＝－34OB →－12OC →，QC →＝nBC →⇒OC →－OQ →＝n (OC →－OB →)⇒OQ →＝nOB →＋(1－n ) OC →，因为P ，O ，Q 三点共线，所以OP →∥OQ →，所以－34(1－n )＝－12n ，解得n ＝35．6．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．56．答案 B 解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心．连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点．∴AM →＝23AD →．又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3，故选B ．7．已知O 是△ABC 内一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC ＝60˚，则△OBC 的面积为( )A ．33B ．3C ．32D ．237．答案 A 解析 ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 是△ABC 的重心，于是S △OBC ＝13S △ABC ．∵AB →·AC →＝2，∴ |AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝2，∵∠BAC ＝60˚，∴|AB →|·|AC →|＝4．又S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC ＝3，∴△OBC 的面积为33，故选A ． 8．已知在△ABC 中，点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，点P 是OC 上异于端点的任意一点，且OP →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．8．答案 (－2，0) 解析 依题意，设OP →＝λOC → (0<λ<1)，由OA →＋OB →＋OC →＝0，知OC →＝－(OA →＋OB →)，所以OP →＝－λOA →－λOB →，由平面向量基本定理可知，m ＋n ＝－2λ，所以m ＋n ∈(－2，0)．9．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋OC ＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°9．答案 B 解析 由OA →＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 的重心，又O 为△ABC 外接圆的圆心，∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°．10．已知O 是△ABC 的外心，|AB →|＝4，|AC →|＝2，则AO →·(AB →＋AC →)＝( )A ．10B ．9C ．8D ．610．答案 A 解析 作OS ⊥AB ，OT ⊥AC ∵O 为△ABC 的外接圆圆心．∴S 、T 为AB ，AC 的中点，且AS →·SO →＝0，AT →·TO →＝0，AO →＝AS →＋SO →，AO →＝AT →＋TO →，∴AO →·(AB →＋AC →)＝AO →·AB →＋AO →·AC →＝(AS →＋SO →)·AB →＋(AT→＋TO →)·AC →＝AS →·AB →＋SO →·AB →＋AT →·AC →＋TO →·AC →＝12AB →·AB →＋12AC →·AC →＝12|AB →|2＋12|AC →|2＝8＋2＝10．故选A ． 优解：不妨设∠A ＝90°，建立如图所示平面直角坐标系．设B (4，0)，C (0，2)，则O 为BC 的中点O (2，1)，∴AB →＋AC →＝2AO →，∴AO →·(AB →＋AC →)＝2|AO →|2＝2(4＋1)＝10．故选A ．11．若点P 是△ABC 的外心，且P A →＋PB →＋λPC →＝0，∠ACB ＝120°，则实数λ的值为( )A ．12B ．－12C ．－1D ．1 11．答案 C 解析 设AB 的中点为D ，则P A →＋PB →＝2PD →．因为P A →＋PB →＋λPC →＝0，所以2PD →＋λPC →＝0，所以向量PD →，PC →共线．又P 是△ABC 的外心，所以P A ＝PB ，所以PD ⊥AB ，所以CD ⊥AB ．因为∠ACB ＝120°，所以∠APB ＝120°，所以四边形APBC 是菱形，从而P A →＋PB →＝2PD →＝PC →，所以2PD →＋λPC→＝PC →＋λPC →＝0，所以λ＝－1，故选C ．12．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若OA →＋AB →＋OC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →等于( )A ．32B ．3C ．3D ．23 12．答案 C 解析 ∵OA →＋AB →＋OC →＝0，∴OB →＝－OC →，故点O 是BC 的中点，且△ABC 为直角三角形，又△ABC 的外接圆的半径为1，|OA →|＝|AB →|，∴BC ＝2，AB ＝1，CA ＝3，∠BCA ＝30°，∴CA →·CB →＝|CA→||CB →|·cos 30°＝3×2×32＝3． 13．若△ABC 的面积为3，AB →·AC →＝2，则△ABC 外接圆面积的最小值为( )A ．πB ．4π3C ．2πD ．8π313．答案 B 解析 设△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由题意可得12bc sin A ＝3，bc cos A ＝2，∴tan A ＝3．又A ∈(0，π)，∴A ＝π3．∴bc cos π3＝2，即bc ＝4．由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥bc ＝4，即a ≥2．又由正弦定理得a sin A＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)，∴2R sin A ＝a ≥2，即3R ≥2，∴R 2≥43，∴三角形外接圆面积的最小值为4π3． 14．已知O 为锐角△ABC 的外心，|AB →|＝3，|AC →|＝23，若AO →＝xAB →＋yAC →，且9x ＋12y ＝8，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OA →·OC →，则( )A ．I 2<I 1<I 3B ．I 3<I 2<I 1C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 3<I 114．解析：选D 如图，分别取AB ，AC 的中点，为D ，E ，并连接OD ，OE ，根据条件有OD ⊥AB ，OE⊥AC ，∴AO →·AB →＝12|AB ―→|2＝92，AO →·AC →＝12|AC ―→|2＝6，∴AO →·AB →＝(xAB →＋yAC →)·AB →＝9x ＋63y ·cos ∠BAC ＝92，①，AO →·AC →＝(xAB →＋yAC →)·AC →＝63x cos ∠BAC＋12y ＝6，②，又9x ＋12y ＝8，③，∴由①②③解得cos ∠BAC ＝33－78．由余弦定理得，BC ＝9＋12－2×3×23×33－78＝15＋3212．∴BC >AC >AB ．在△ABC 中，由大边对大角得，∠BAC >∠ABC >∠ACB ，∴∠BOC >∠AOC >∠AOB ，∵|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，且余弦函数在(0，π)上为减函数，∴OB →·OC →<OA →·OC →<OA →·OB →，即I 2<I 3<I 1．15．已知O 是△ABC 的外心，∠C ＝45°，则OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[－2，1)C ．[－2，－1]D ．(1，2]15．答案 B 解析 由题意∠C ＝45°，所以∠AOB ＝90°，以OA ，OB 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，不妨设A (1,0)，B (0,1)，则C 在圆O 的优弧AB 上，设C (cos α，sin α)，则α∈⎝⎛⎭⎫π2，2π，显然OC →＝cos αOA →＋sin αOB →，即m ＝cos α，n ＝sin α，m ＋n ＝cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4，由于α∈⎝⎛⎭⎫π2，2π，所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎫3π4，9π4， sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4∈⎣⎡⎭⎫－1，22，所以m ＋n ∈[－2，1)，故选B ． 16．已知点G 是△ABC 的外心，GA →，GB →，GC →是三个单位向量，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，△ABC 的顶 点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，如图所示，点O 是坐标原点，则|OA →|的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．416．答案 B 解析 因为点G 是△ABC 的外心，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，所以点G 是BC 的中点，△ABC是直角三角形，且∠BAC 是直角．又GA →，GB →，GC →是三个单位向量，所以BC ＝2，又△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，在Rt △BOC 中，OG 是斜边BC 上的中线，则|OG |＝12|BC |＝1，所以点G 的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧．又|GA →|＝1，所以当OA 经过BC 的中点G 时，|OA ―→|取得最大值，且最大值为2|GA →|＝2．17．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O 为△ABC 的外接圆的圆心，A ＝π3，且AO →＝λAB →＋μAC →，则λμ的最大值为________．17．答案 19解析 ∵△ABC 是锐角三角形，∴O 在△ABC 的内部，∴0<λ<1,0<μ<1．由AO →＝λ(OB →－OA →)＋μ(OC →－OA →)，得(1－λ－μ)AO →＝λOB →＋μOC →，两边平方后得，(1－λ－μ)2AO →2＝(λOB →＋μOC →)2＝λ2OB →2＋μ2OC →2＋2λμOB →·OC →，∵A ＝π3，∴∠BOC ＝2π3，又|AO →|＝|BO →|＝|CO →|．∴(1－λ－μ)2＝λ2＋μ2－λμ，∴1＋3λμ＝2(λ＋μ)，∵0<λ<1,0<μ<1，∴1＋3λμ≥4λμ，设λμ＝t ，∴3t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥1(舍)或t ≤13，即λμ≤13⇒λμ≤19，∴λμ的最大值是19．18．已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则||P A →＋PB →＋2PC →的最大值为( )A ．23B ．33C ．43D ．53 18．答案 D 解析 设△ABC 的外接圆的圆心为O ，则圆的半径为332×12＝3，OA →＋OB →＋OC →＝0，故P A →＋PB →＋2PC →＝4PO →＋OC →．又||4PO →＋OC →2＝51＋8PO →·OC →≤51＋24＝75，故||P A →＋PB →＋2PC →≤53，当PO →，OC →同向共线时取最大值．19．已知O 是锐角三角形ABC ∆的外接圆的圆心，且A θ∠=，若cos cos 2sin sin B CAB AC mAO C B+=，则m ＝( ) A ．sin θ B ．cos θ C ．tan θ D ．不能确定 19．答案 A 解析 设外接圆半径为R ，则：cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B +=可化为：cos ()sin BOB OA C⋅-+ cos ()2sin COC OA m AO B⋅-=⋅ (*)．易知OA 与OB 的夹角为2C ∠，OC 与OA 的夹角为2B ∠，OA 与OA 的夹角为0，||||||OA OB OC R ===．则对(*)式左右分别与OA 作数量积，可得：cos sin B OA OB C ⋅⋅-cos sin BC 222cos cos 2sin sin C C OA OC OA OA mOA B B ⋅+⋅⋅-⋅=-．即cos sin B C⋅2R 22cos (cos21)(cos21)2sin C C R B mR B -+⋅-=-．2sin cos (2sin cos )2C B B C m ∴-+-=-，sin cos sin cos C B B C m ∴+=，即sin()B C m +=．因为sin A = sin[()]sin()B C B C π-+=+且A θ∠=，所以，sin sin m A θ==，故选A ．20．在ABC ∆中，5BC =，G ，O 分别为ABC ∆的重心和外心，且5OG BC ⋅=，则ABC ∆的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述三种情况都有可能20．答案 B 解析 在ABC ∆中，G ，O 分别为ABC ∆的重心和外心，取BC 的中点为D ，连接AD 、OD 、GD ，如图：则OD BC ⊥，13GD AD =，OG OD DG =+，1()2AD AB AC =+，由5OG BC =，则()OD DG BC DG BC +=1()56AB AC BC =-+=，即1()()56AB AC AC AB -+-=，则2230AC AB -=-，又5BC =，则有222226||||||||||5AB AC BC AC BC =+>+，由余弦定理可得cos 0C <，即有C 为钝角．则三角形ABC 为钝角三角形．故选B ．21．在ABC ∆中，3AB =，BC =2AC =，若点O 为ABC ∆的内心，则AO AC ⋅的值为( )A ．2B ．73C ．3D ．5-21．答案 D 解析3AB =，BC =2AC =由O 为ABC ∆的内心可知，AO 平分A ，设圆O 交AC与D ，由余弦定理可得4971cos 2322CAB +-∠==⨯⨯60CAB ∴∠=︒，sin CAB ∴∠=，1232ABC S ∆∴=⨯⨯=，内切圆的半径为r ，则根据内切圆的半径公式222s r a b c ===++，=，∴在三角形AOD 中，22AO r ==，∴622510AO AC ==-+， 故选D ．22．设O 是△ABC 的内心，AB ＝c ，AC ＝b ，若AO →＝λ1AB →＋λ2AC →，则( )A ．λ1λ2＝b cB ．λ21λ22＝b cC ．λ1λ2＝c 2b 2D ．λ21λ22＝c b22．答案 A 解析 设AM →＝λ1AB →，AN →＝λ2AC →．因为O 是△ABC 的内心，所以AO 平分∠BAC ，所以平行四边形AMON 为菱形，且λ1>0，λ2>0，由|AM →|＝|AN →|，得|λ1AB →|＝|λ2AC →|，即λ1c ＝λ2b ，亦即λ1λ2＝b c ，故选A ．23．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB →＋yOC →，其中x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( )A ．1063B ．1463C ．43D ．6223．答案 B 解析 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 的面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7．设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763．故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC＝1463． 24．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形24．答案 A 解析 AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为平行于AB →，AC →的单位向量，由平行四边形法则可知AB →|AB →|＋AC →|AC →|为∠BAC 的平分线．因为⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC ．又AB →|AB →|·AC→|AC →|＝AB →|AB →|AC →|AC →|·cos ∠BAC ＝12，所以cos ∠BAC ＝12，又0<∠BAC <π，故∠BAC ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．25．ABC ∆外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数m 的值( )A ．12 B ．2 C ．1 D ．3425．答案 C 解析 如图，OH AH AO =-，()OH m OA OB OC =++，∴()AH AO m OA OB OC -=++，∴(1)()AH m OA m OB OC =-++，取BC 边的中点D ，连接OD ，则OD BC ⊥，∴2OB OC OD +=，0OD BC ⋅=．又AH BC ⊥，∴0AH BC ⋅=．∴(1)2AH BC m OA BC mOD BC ⋅=-⋅+⋅，(1)m OA BC ∴-⋅ 0=，又OA BC ⋅不恒为0，∴必有10m -=，解得1m =．故选C ．。
平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(四大题型)(课件)高一数学新教材(人教A版2019必修第二册)
5
又 = 12 + 2 = 3，∴ = 9 ，
1
2
5
9
5
9
∵ = + = + ，∴ = = +
5
5
5
∴ + = 9 + 18 = 6．
5
，∴
18
5
5
= ， = 18，
9
典型例题
题型三：外心定理
【典例3-1】（2024·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）已知点 O是△ABC的外心，AB＝4，AC
2
1
则 × 4 × = × 6 × 4 × 2 + 16 ，得3 + 4 = 2②，
4
1
4
1
11
①②联立解得 = 9， = 6，所以 + = 9 + 6 = 18．故选：C．
典型例题
题型三：外心定理
【变式3-1】（2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考阶段练习）已知点 O是△ABC
，
+ ��
sin
= || ( + ) = 2|| ，
所以点在三角形的中线 上，则动点P的轨迹一定经过△ 的重心．故选：D．
典型例题
题型二：内心定理
【典例2-1】（2024·高一课时练习）已知点O是边长为 6的等边△ABC的内心，
则 + ⋅ + ＝
1
2
1
1
1
+ 3 ⋅ = 2 ⋅ + 3 2 = 30；
所以 2 = 45，由 = 30 2可得 = 2 10，即2 = 40；
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平面向量中的三角形四心问题
向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要
工具。
本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。
在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。
一、重心（barycenter)
三角形重心是三角形三边中线的交点。
重心到顶点的距离与
重心到对边中点的距离之比为2：1。
结论1：
是三角形的重心
所在平面内一点，则为若G GC GB GA ABC G ⇔=++∆0
的重心
为故上
在中线同理可得上
在中线这表明，，则中点为证明：设ABC G CF BE G AD G GD GA GC
GB GA GC GB GA GC
GB GD D BC ∆=-∴+=-⇔=+++=,,
202
结论2：
的重心
是证明：的重心
是所在平面内一点，则为若ABC G GC GB GA PC PG PB PG PA PG PC PB PA PG ABC G PC PB PA PG ABC ∆⇔=++⇔=-+-+-⇔++=∆⇔++=∆0
0)()()()(3
1)(3
1P
二、垂心(orthocenter)
三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3：
的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H HA HC HC HB HB HA ABC ∆⇔⋅=⋅=⋅∆H 为三角形垂心
故同理，有证明：H AB
HC CB HA AC
HB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00
)(
结论4：
可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心
是所在平面内一点，则为若3)()(H 222222222
22222HA
HC HC HB HB HA HA
HC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⇔-+=-++=+∆⇔+=+=+∆三、外心(circumcenter)
三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。
用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。
结论5：
命题成立
证明：由外心定义可知的外心是所在平面内一点，则
是若ABC O OC OB OA ABC O ∆⇔==∆
结论6：
的外心
是（所在平面内一点，则
是若ABC O AC OA OC CB OC OB BA OB OA ABC O ∆⇔⋅+=⋅+=⋅+∆)()() 的外心为故故证明：ABC O OC
OB OA OA
OC OC OB OB OA OA
OC AC OA OC OC
OB CB OC OB OB OA OB OA OB OA BA OB OA ∆==⇒-=-=--=⋅+-=⋅+∴-=-+=⋅+)()())(()(
四、内心(incenter)
三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心,即内切圆的圆心。
结论7：
的内心
是所在平面内一点，则
为若ABC P CB CB CA CA OC BC BC BA BA OB AC AC AB AB OA OP ABC P ∆⇔>⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=⎪⎫ ⎛++=∆)0(321λλλλ
的内心
为故的平分线上
在同理可得，平分线上
在即边夹角平分线上在由平行四边形法则知，为方向上的单位向量分别，证明：记ABC P C B P A P AC AB e e e e AP AC AB OA OP e e AC AB ∆∠∠∠++=⇒⎪⎫ ⎛++=,,)()(,2121112
1λλ 结论8：
的内心
是所在平面内一点，则是若ABC P PC c PB b PA a ABC P ∆⇔=++∆0
的内心是故是平分线
同理可得其他的两条也的平分线
是由角平分线定理，不共线，则
与由于证明：不妨设ABC P ACB CD a
b DB DA DB b DA a
c b a DB DA PC DB b DA a PC c b a PC c DB PD b DA PD a PC c PB PA a PC PD ∆∠==+=++=++++⇒=++++⇒=++=0
,0,0
)()(0)()(0b λλλλλ。