三角形“四心” 与向量的完美结合(精.选)

三角形的“四心”与向量的完美结合

三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一． 知识点总结

1）O 是ABC ∆的重心⇔=++; 若O 是ABC ∆的重心，则

ABC AOB AOC BOC S 31

S S S ∆∆∆∆=

==

故0OC OB OA =++;

1()3

PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r

⇔G 为ABC ∆的重心. 2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;

若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，

则

C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆

故0OC C tan OB B tan OA A tan =++

3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或2

2

2

==) 若O 是ABC ∆的外心

则

C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：

故C 2sin B 2sin A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ∆的充要条件是

(

=-

⋅=-

⋅=-

⋅

引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内

心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则

c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆

故 C sin B sin A sin c b a =++=++或;

||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r

ABC ∆的内心;

向量()(0)||||

AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r

u

u u r u u u r 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； 二． 范例

(一)．将平面向量与三角形内心结合考查

例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(

AC

AB

OA OP +

+=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的

轨迹一定通过ABC ∆的（ ）

（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为

AB

AB 是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r 与AC u u u

r 方向上

的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.

点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先

AB

是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它

的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。 (二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”

例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））

例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得. 即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即

则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理

所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.

点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。 (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”

例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.

A

C

B

1

e 2

e P

C

证明 作图如右，图中GE GC GB =+

连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线. 将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，

得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））

例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(3

1

++=.

证明 +=+=+=⇒)()(3+++++= ∵G 是△ABC 的重心

∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3

由此可得)(31

++=.（反之亦然（证略））

例6若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r

，则O 是ABC ∆ 的（ ）

A ．内心

B ．外心

C ．垂心

D ．重心

解析：由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 得OB OC OA +=-u u u r u u u r u u u r

，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=u u u r u u u r u u u r ，由平行四边形性质知12

OE OD =u u u r u u u r

，2OA OE =，同理可

证其

它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为2

1

λ=

。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。 (四)．将平面向量与三角形外心结合考查

例7若O 为ABC ∆内一点，OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r

，则O 是ABC ∆ 的（ ）

A ．内心

B ．外心

C ．垂心

D ．重心 解析：由向量模的定义知O 到ABC ∆的三顶点距离相等。故O 是ABC ∆ 的外心 ，选B 。 点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查

例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1， 求证 △P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题） 证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =2

1-， 同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =2

1

-

， ∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形.

反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |.