讲义平面向量与三角形四心的交汇

讲义---平面向量与三角形四心的交汇

一、四心的概念介绍

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；

（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合

（1）⇔=++0OC OB

OA O 是ABC ∆的重心.

证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O

⇔=++⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33

321

321y y y y x x x x ⇔O 是ABC

∆的重心. 证法2：如图

++

02=+=OD OA

∴OD AO 2=

∴D O A 、、三点共线，且O 分AD

为2：1

∴O 是ABC ∆的重心

（2）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB

OA O 为ABC ∆的垂心.

证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC

OB OB OA

⊥⇔

同理BC OA ⊥，AB OC ⊥

⇔O 为ABC ∆的垂心

（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心

O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心.

证明：b

AC c AB 、

分别为

AC AB 、方向上的单位向量，

∴

b

c +平分BAC ∠,

(

λ=∴b

c +)，令c

b a bc

++=

λ

B C

D

∴c

b a bc

AO ++=

（b AC c AB +)

化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a

∴=++c b a

（4

==⇔O 为ABC ∆的外心。

三、典型例题：

例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，

[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

例2：（03

全国理4）

O

是平面上一定点，

C

B A 、、是平面上不共线的三个点，动点

P

满

足

+

+=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

例3

：1)

O

是平面上一定点，

C

B A 、、是平面上不共线的三个点，动点

P

满

足

+

+=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

2)已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足

(

)||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC C

λ=++,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )

A. 重心

B. 垂心

C. 外心

D. 内心

3)已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足

()2||cos ||cos OB OC AB AC

OP AB B AC C

λ+=

++, [0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )

A. 重心

B. 垂心

C. 外心

D. 内心

例4、已知向量123,,OP OP OP 满足条件1230OP OP OP ++=，123||||||1OP OP OP ===，求证：

123PP P △是正三角形．

例5、ABC ∆的外接圆的圆心为

O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数

m

= ．

例6、点

O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ==，则点O 是ABC ∆的（

）．

A ．三个内角的角平分线的交点

B ．三条边的垂直平分线的交点

C ．三条中线的交点

D ．三条高的交点

例7

在△ABC 内求一点P ，使

222AP BP CP ++最小．

例8已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足2

22222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，则O 为

△ABC 的

心．

例9．.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则O 点是△ABC 的( )

A. 外心

B. 内心

C. 重心

D. 垂心

例10 已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足2222||||||||OA BC OB CA +=+=22||||OC AB +，则O 点

是△ABC 的( )

A. 垂心

B. 重心

C. 内心

D. 外心

例11已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若()OA OB AB +⋅=()OB OC BC +⋅=()OC OA CA +⋅= 0，则

O 点是△ABC 的( )

A. 外心

B. 内心

C. 重心

D. 垂心

例12：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aOA bOB cOC ++= 0，则O 点是△ABC 的( )

A. 外心

B. 内心

C. 重心

D. 垂心

例13：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aPA bPB cPC

PO a b c

++=

++(其中P 是△ABC 所在平面内任意一

点)，则O 点是△ABC 的( )

A. 外心

B. 内心

C. 重心

D. 垂心

四、配套练习：

1．已知

ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P

，满足

=++PC PB PA ，若实数

λ

满足：

λ=+，则λ的值为（ ）