讲义平面向量与三角形四心的交汇
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讲义---平面向量与三角形四心的交汇
一、四心的概念介绍
(1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直;
(3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等; (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合
(1)⇔=++0OC OB
OA O 是ABC ∆的重心.
证法1:设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O
⇔=++⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33
321
321y y y y x x x x ⇔O 是ABC
∆的重心. 证法2:如图
++
02=+=OD OA
∴OD AO 2=
∴D O A 、、三点共线,且O 分AD
为2:1
∴O 是ABC ∆的重心
(2)⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB
OA O 为ABC ∆的垂心.
证明:如图所示O 是三角形ABC 的垂心,BE 垂直AC ,AD 垂直BC , D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC
OB OB OA
⊥⇔
同理BC OA ⊥,AB OC ⊥
⇔O 为ABC ∆的垂心
(3)设a ,b ,c 是三角形的三条边长,O 是∆ABC 的内心
O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心.
证明:b
AC c AB 、
分别为
AC AB 、方向上的单位向量,
∴
b
c +平分BAC ∠,
(
λ=∴b
c +),令c
b a bc
++=
λ
B C
D
∴c
b a bc
AO ++=
(b AC c AB +)
化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a
∴=++c b a
(4
==⇔O 为ABC ∆的外心。
三、典型例题:
例1:O 是平面上一定点,C B A 、、是平面上不共线的三个点,动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ,
[)+∞∈,0λ ,则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )
A .外心
B .内心
C .重心
D .垂心
例2:(03
全国理4)
O
是平面上一定点,
C
B A 、、是平面上不共线的三个点,动点
P
满
足
+
+=λ,[)+∞∈,0λ ,则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )
A .外心
B .内心
C .重心
D .垂心
例3
:1)
O
是平面上一定点,
C
B A 、、是平面上不共线的三个点,动点
P
满
足
+
+=λ,[)+∞∈,0λ ,则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )
A .外心
B .内心
C .重心
D .垂心
2)已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足
(
)||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC C
λ=++,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A. 重心
B. 垂心
C. 外心
D. 内心
3)已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足
()2||cos ||cos OB OC AB AC
OP AB B AC C
λ+=
++, [0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A. 重心
B. 垂心
C. 外心
D. 内心
例4、已知向量123,,OP OP OP 满足条件1230OP OP OP ++=,123||||||1OP OP OP ===,求证:
123PP P △是正三角形.
例5、ABC ∆的外接圆的圆心为
O ,两条边上的高的交点为H ,()OH m OA OB OC =++,则实数
m
= .
例6、点
O 是三角形ABC 所在平面内的一点,满足OA OB OB OC OC OA ==,则点O 是ABC ∆的(
).
A .三个内角的角平分线的交点
B .三条边的垂直平分线的交点
C .三条中线的交点
D .三条高的交点
例7
在△ABC 内求一点P ,使
222AP BP CP ++最小.
例8已知O 为△ABC 所在平面内一点,满足2
22222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+,则O 为
△ABC 的
心.
例9..已知O 是△ABC 所在平面上的一点,若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅,则O 点是△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
例10 已知O 为△ABC 所在平面内一点,满足2222||||||||OA BC OB CA +=+=22||||OC AB +,则O 点
是△ABC 的( )
A. 垂心
B. 重心
C. 内心
D. 外心
例11已知O 是△ABC 所在平面上的一点,若()OA OB AB +⋅=()OB OC BC +⋅=()OC OA CA +⋅= 0,则
O 点是△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
例12:已知O 是△ABC 所在平面上的一点,若aOA bOB cOC ++= 0,则O 点是△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
例13:已知O 是△ABC 所在平面上的一点,若aPA bPB cPC
PO a b c
++=
++(其中P 是△ABC 所在平面内任意一
点),则O 点是△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
四、配套练习:
1.已知
ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P
,满足
=++PC PB PA ,若实数
λ
满足:
λ=+,则λ的值为( )