(完整版)平面向量与三角形四心问题

平面向量基本定理与三角形四心

已知0是 ABC 内的一点，

BOC, AOC, AOB 的面积分别为 S A , S B , S C ,求证:

S A ?0A S B ?0B S C ?0C 0

0D

罟0B 誥0C

0D

S B0D S C0D S B0D S C0D S A

0A

S B0A

E OA

S B0A

S C0A

S B

S C

0D S B

S C

S A ?0A S B ?0B S C ?0C 0

推论o 是ABC 内的一点，且

x ?0A y ?0B z ?0c 0，则

S B0C : S C0A : S A0B X ： y ： z

如图2延长0A 与BC 边相交于点D 则

BD DC

S A BD S B0D S ABD S B0D

S ACD S C0D

S

ACD

S C0D

S C

S

鱼 0B 生 0C S B S C S

B

S C

0A

oA

S B

S B

S C

S B S C

0B

二0C

有此定理可得三角形四心向量式

O是ABC的重心

S BOC : S COA : S AOB 1：1：1 O A OB O C 0

是

S

ABC的内心

BOC :

S COA :S AOB

■

a:b:c a ?OA b?oB c?oC 0

0是ABC的外心

S BOC : S COA :S AOB sin 2A:sin 2B :sin 2C sin 2A?OA sin2B ?O B sin2C ?OC 0

O是ABC的垂心

S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B: tanC

tan A?OA tan B?OB tan C ?OC 0

tanA 竺,tanB

AD CD

DB

tan A: tanB DB: AD

S BOC : S COA DB: AD

S BOC : S COA tan A:tan B

同理得S COA : S AOB tan B :tanC, S BOC：S AOB tan A:tanC S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B : tanC

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统

证明：如图0为三角形的垂心,

X

一•知识梳理:

四心的概念介绍：

UUUT UUU UUU UL11T OP OA (AB AC),

A .重点

B .外心 C.内心 D .垂心 €( 0, +x )),则动点P 的轨迹一定通过厶AB

C 的(

)

A .内心

B .重心 C.外心

D .垂心

4.2三角形“四心”的相关向量问题

(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成

⑵ 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直； ⑶ 内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)

(4)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)

与"重心”有关的向量问题

1已知G 是△ ABC 所在平面上的一点，

A. 重点 B .外心 C.内心

2 : 1；

，角平分线上的任意点到角两边的距离相，外心到三角形各顶点的距离相等。

uuu ULUT UULT

若GA GB GC 0,则G 是厶ABC 的()

D .垂心

O

图⑵

2已知O 是平面上一定点， A, B, C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足

(0,

)，贝U P 的轨迹一定通过 △ ABC 的().

UJU UUU ULUT 【解析】由题意 AP (AB AC)，当

UUU UULT

(0, )时，由于 (AB AC)表示BC 边上

的中线所在直线的向量，所以动点

P 的轨迹一定通过 △ ABC 的重心，如图⑵

3 .0是厶ABC 所在平面内一点，动点P 满足匚J.'. - ■■

AC |AC|sinC

如图⑴.

解：作出如图的图形 AD 丄BC,由于|!g|sinB=|疋|sinC=AD •••解亦入（一）転岛（乔

丘）

|AB|sinB |AC|£inC

1^1

由加法法则知，P 在三角形的中线上 故动点P 的轨迹一定通过厶ABC 的重心 故选：B.

与“垂心”有关的向量问题

A .重点

B. 外心

C. 内心

D. 垂心

A .重点

B .外心

C.内心

D . 垂心

uur uuu uur

u ur uur un uu uuu

uuu 【解析】由PA PB PB PC ,得 PB (PA PC) 0 , 即卩 PB

CA uuu uuu uur uuu

3 P 是厶

ABC 所在平面上一点，若 PA PB

PB PC PA 丄BC •••• P 是厶ABC 的垂心•如图⑶.

uiu uun

0 ,所以PB 丄CA •同 理可证PC 丄AB , B

C 图⑶

4已知0是平面上一定点，A, B,

uii OP uui OA

uur AC

uuu -------

■uu AB cosB AC

cosC uu u AB , （0,）,则动点P 的轨迹一定通过

△

ABC

uuu 【解析】由题意AP

imr AC -

-AB cosB

AC

uu u AB cosC

PC PA ，则 P 是△ ABC 的（）