平面向量与三角形的四心
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专题9：平面向量与三角形的四心
三角形的四心：
1. 外心：
2. 内心：
3. 垂心：
4. 重心：
例1. O 是ABC ∆所在平面上一点，且OA OB OC ==，则O 是ABC ∆的（ ）
A. 内心
B. 外心
C. 垂心
D. 重心
例2. O 是平面上一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 (),0AB
AC
OP OA AB AC λλ=++>，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）
A. 内心
B. 外心
C. 垂心
D. 重心
例3. 点P 是ABC ∆所在平面上一点，若PA PB ⋅=PC PB ⋅=PA PC ⋅，则点P 是
ABC ∆的（ ）
A. 内心
B. 外心
C. 垂心
D. 重心
例4. 证明：点P 是ABC ∆所在平面上一点，有
G 是ABC ∆的重心⇔1()3
PG PA PB PC =++
针对训练：
1. O ，P 两点在ABC ∆所在平面内，且(OP OA)(AB AC)0-⋅-=，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）
A. 内心
B. 外心
C. 垂心
D. 重心
2. 已知A,B,C 是平面上不共线的三点，O 是ABC ∆的重心，动点P 满足
111(OA OB 2OC)322
OP =++，则点P 一定为ABC ∆的（ ） A. AB 边中线的中点 B. AB 边中线的三等分点（非重心）
C. 重心
D. AB 边的中点
3. 在同一个平面上有ABC ∆及一点O 满足关系式：
222222OA BC OB CA OC AB +=+=+，则点O 一定为ABC ∆的（ ）
A. 内心
B. 外心
C. 垂心
D. 重心
4.已知O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三点，动点P 满足： ()OP OA AB AC λ=++，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）
A. 内心
B. 外心
C. 垂心
D. 重心
5. 在ABC ∆所在平面上的一动点M 满足22
2AM BC AC AB ⋅=-，则动点M 的轨迹必过ABC ∆的________________(内心，垂心，外心，重心)。
6. 已知A,B,C,D 是平面上四个不共线的点，若0)()2(=-⋅-+，则ABC ∆的形状是（ ）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等边三角形