第3章静定梁和静定刚架的受力分析
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结构力学第三章静定结构受力分析
MA
0, FP
l 2
YB
l
0,YB
FP 2
()
Fy
0,YA
YB
0,YA
YB
Fp 2
()
例2: 求图示刚架的约束力 q
C
A
ql
l
l
l
B
A
ql
ql
C
XC
YC
FNAB
解:
Fy 0,YC 0
MA
0, ql
l 2
XC
l
0,
XC
1 2
ql()
弹性变形，而附属部分上的荷载可使其自身和基本部分均产生内力和 弹性变形。因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上 的荷载的传力路线来决定。
40k N
80k N·m
20k N/m
AB
CD
EF
G
H
2m 2m 2m 1m 2m 2m 1m
4m
2m
50构造关系图 40k N
C 20 A B 50
Fy 0,YA YB 2ql 0,YA ql() 3)取AB为隔离体
2)取AC为隔离体
Fy 0, YC YA ql 0
Fx 0, XB X A ql / 2()
l MC 0, X A l ql 2 YB l 0, X A ql / 2()
A
B
C D E FG
1m 1m 2m 2m 1m 1m
A C D E FG B
13 17
26 8
7 15 23 30
第三章3静定结构受力分析(平面刚架)
MA= qa2+2qa2-2aYB=0 (1)
2） 对中间铰C建立矩平衡方程 qa
MB=0.5qa2+2aXB -aYB=0 (2) 解方程(1)和(2)可得
a
XB=0.5qa YB=1.5qa 3） 再由整体平衡 X=0 解得 XA=-0.5qa Y=0 解得 YA=0.5qa
qa/X2 A YA
1/2qa2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
C
1/2qa2
A
a
a
qa2 q
B XqBa/2 YB
2 绘制弯矩图
注意：三铰刚架绘制弯矩图往往只须求一水平反力,然后由 支座作起！！
画三铰刚架弯矩图
CM
O M
M/2
M/2
a
C
A
B
a
a
Mo=m－2a×XB=0, 得 XB=M/2a
注意：
A
RA
B
XB
YB
1、三铰刚架仅半边有荷载，另半边为二力体，其反力沿两铰连线，
§3-3 静定平面刚架
一. 刚架的受力特点
梁
1 8
ql2
l
1 ql2 8
刚架
桁架
弯矩分布均匀 可利用空间大
§3-3 静定刚架受力分析
一. 刚架的受力特点 二. 刚架的支座反力计算
静定刚架的分类:
三铰刚架 (三铰结构)
简支刚架 悬臂刚架
单体刚架 (联合结构)
复合刚架 (主从结构)
1.单体刚架(联合结构)的支座反力(约束力)计算
三. 刚架指定截面内力计算
四.刚架的内力分析及内力图的绘制
①分段：根据荷载不连续点、结点分段。 ②定形：根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状。 ③求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值。
01-静定梁和超定结构知识点小结
第3章 静定梁和静定刚架（知识点小结）一、杆件内力分析方法1、内力分量轴力N F 是横截面上的应力沿截面法线方向的合力，一般以拉力为正，压力为负。
剪力S F 是横截面上的应力沿截面切线方向的合力，以绕截面处微段隔离体顺时针方向转动为正，反之为负。
弯矩M 是横截面上的应力对截面形心取矩的代数和，一般不规定正负号。
有时按习惯也可规定，在水平杆件中弯矩使杆件截面的下侧纤维受拉时为正，上侧受拉时为负。
2、截面法截面法是计算指定截面内力的基本方法，即沿指定截面假想将结构截开，切开后截面内力暴露为外力，取截面左侧（或右侧）作为隔离体，作隔离体受力图，建立平衡方程，从而可确定指定截面的内力。
由截面法可得截面上三个内力分量的运算规则如下：（1）轴力N F 等于截面左侧（或右侧）的所有外力（包括支座反力）沿截面法线方向的投影代数和；（2）剪力S F 等于截面左侧（或右侧）的所有外力（包括支座反力）沿截面切线方向的投影代数和；（3）弯矩M 等于截面左侧（或右侧）的所有外力（包括支座反力）对截面形心取矩的代数和。
3、内力图内力图表示结构上各截面的内力随横截面位置变化规律的图形，包括M 图、S F 图和N F 图。
内力图用平行于杆轴线方向的坐标表示横截面位置（又称基线），用垂直于杆轴线的坐标（又称竖标）表示相应截面的内力值。
轴力图、剪力图中，竖标正、负值分别画在杆件基线的两侧，要标明正负号；弯矩图画在杆件的受拉侧，不标正负。
内力图要画上竖标，标注某些控制截面处的竖标值，并写明图名和单位。
4、内力图的形状特征直杆段上内力图的形状特征归纳如表3-1所示。
熟练掌握内力图的这些形状特征，对于以后正确、迅速地绘制内力图、校核内力图是非常有帮助的。
5、区段叠加法作M图对承受横向荷载作用的任意结构中直杆段，都可采用区段叠加法作其弯矩图：先采用截面法求出该段两个杆端截面弯矩值并将其连以一虚线，然后以此虚线为基线，叠加相应简支梁在跨间相应荷载作用下的弯矩图，如图3-1所示。
《静定梁与静定刚架》课件
优化材料分布
根据刚架的受力特点，合理分布材 料，使材料得到充分利用，降低成 本。
注意事项
注意梁的挠度和侧弯
根据载荷大小和分布，合理选择截面尺寸和材料，以控制梁的挠度和侧弯在允许 范围内。
考虑施工条件限制
在设计和施工过程中，应充分考虑施工条件限制，如施工空间、吊装能力等。
注意事项
• 注意载荷变化的影响：载荷的大小和分布可能会 发生变化，应在设计时充分考虑这些因素对梁的 影响。
静定刚架的应用实例
工业厂房
静定刚架在工业厂房中应用广泛，如厂房的柱、梁、支撑等 结构，能够承受较大的荷载，保证厂房的正常运行。
设备支撑
在大型设备或机械的支撑结构中，静定刚架也得到了广泛应 用，能够提供稳定可靠的支撑，确保设备的正常运行和使用 寿命。
静定梁与静定刚架的比较与选择
受力特点
静定梁和静定刚架在受力特点上有所不同。静定梁主要承受弯矩和剪力作用，而静定刚架 则主要承受轴力和弯矩作用。因此，在选择时需要根据实际需求和受力特点进行比较。
静定梁在受力时，其支座反力的 大小和方向可以通过截面的平衡
条件求出。
静定梁的内力计算
静定梁的内力计算可以通过截面的平衡条件进行，不需要引入未知数和求解方程组 。
静定梁的内力包括剪力和弯矩，可以通过截面的平衡条件求出剪力和弯矩的大小和 方向。
静定梁的内力计算可以通过手算或使用计算软件进行，手算需要掌握截面的平衡条 件和内力的计算方法。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
04
静定梁与静定刚架的应用实例
静定梁的应用实例
桥梁结构
静定梁广泛应用于桥梁设计中，如简 支梁桥、连续梁桥等，具有结构简单 、受力明确、施工方便等优点。
根据刚架的受力特点，合理分布材 料，使材料得到充分利用，降低成 本。
注意事项
注意梁的挠度和侧弯
根据载荷大小和分布，合理选择截面尺寸和材料，以控制梁的挠度和侧弯在允许 范围内。
考虑施工条件限制
在设计和施工过程中，应充分考虑施工条件限制，如施工空间、吊装能力等。
注意事项
• 注意载荷变化的影响：载荷的大小和分布可能会 发生变化，应在设计时充分考虑这些因素对梁的 影响。
静定刚架的应用实例
工业厂房
静定刚架在工业厂房中应用广泛，如厂房的柱、梁、支撑等 结构，能够承受较大的荷载，保证厂房的正常运行。
设备支撑
在大型设备或机械的支撑结构中，静定刚架也得到了广泛应 用，能够提供稳定可靠的支撑，确保设备的正常运行和使用 寿命。
静定梁与静定刚架的比较与选择
受力特点
静定梁和静定刚架在受力特点上有所不同。静定梁主要承受弯矩和剪力作用，而静定刚架 则主要承受轴力和弯矩作用。因此，在选择时需要根据实际需求和受力特点进行比较。
静定梁在受力时，其支座反力的 大小和方向可以通过截面的平衡
条件求出。
静定梁的内力计算
静定梁的内力计算可以通过截面的平衡条件进行，不需要引入未知数和求解方程组 。
静定梁的内力包括剪力和弯矩，可以通过截面的平衡条件求出剪力和弯矩的大小和 方向。
静定梁的内力计算可以通过手算或使用计算软件进行，手算需要掌握截面的平衡条 件和内力的计算方法。
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04
静定梁与静定刚架的应用实例
静定梁的应用实例
桥梁结构
静定梁广泛应用于桥梁设计中，如简 支梁桥、连续梁桥等，具有结构简单 、受力明确、施工方便等优点。
静定结构内力分析
FQ图
FP
自由端无外力偶则自由端截面无弯矩.
例3-4 不求支反力，直接作图示
A
梁弯矩图、剪力图.
FPl/2 FP
B
B FPl/2
l
铰接杆端无外力偶则该截面无弯矩. FP/2
l/2
FP
练习 ：不求支座反力，直接作弯矩图、剪力图。
3FPl
3FP
FPl
FP
l
l
2FP
l
FP
3FP
FPl
FP
FP
FPl
l
l
l
M图 FQ图
2ql 2
D FQDE
q
ql 2
11ql/4
E FQED
M D 0 2 q 2 4 q l 2 l l q 2 F Q E l 4 l D 0 FQED
11ql 4
F y 0F Q D F E Q E D 4 q 0 l
FQD E
5 4
2l
l
自由端有外力偶, 弯矩等于外力偶
练习: 不求支座反力，直接作弯矩图,剪力图
FPl
FP
M
l
l
l
M
l
M MБайду номын сангаас
M/l
2M
MM
l
l
练习: 不求支座反力，直接作弯矩图,剪力图
M
M
l
M
M
l
M
lM
M
l
5.叠加法作弯矩图
ql2/4
q
ql2/4
l
ql2/4
=
ql2/4
ql2/8 + q
ql2/8
3-2_2静定梁和静定平面刚架new
3kN
0
9kN FNDC FyD sin 3kN 3 1.8kN 5 Ft 0, FNCD FyD sin 2kN m4msin 0 FNCD 3kN FQCD 4kN MBE 4kNm(上拉) FQBE 4kN Fn 0, FQCD FyD cos 2kN m4mcos 0 F 0
3-2-3 静定刚架
16kN 47kN 73kN
M CE 12kN m(左拉) FQCE 6kN FNCE 0
M CA 30kN m(左拉) M CD 18kN m(上拉) M DC 96kN m(上拉) FQCD 47kN FQDC 73kN FQCA 10kN FNCD 16kN FNDC 16kN FNCA 47kN
联立求解, 得: FxC 29kN, FyC 4.75kN 由此可求得各支座反力：
FyA 0.25kN() FyB 4.75kN() FyD 29.0kN()
对复杂刚架，例如：
X
FP X
X X
可先假设C支座的未知反力为X, 在根据局部或整体的平衡 条件, 将各支座反力和铰联结中的相关约束力用X来表示。 由整体∑Fy=0, 得A支座的反力为: FP−X。
3. 在竖向荷载作用下:多跨静定梁中无轴力,附属梁向基本梁 只传递竖向分力.
静定平面刚架
• 刚架和桁架都是由直杆组成的结构。二者 的区别是：桁架中的结点全部都是铰结点， 刚架中的结点全部或部分是刚结点。
一. 刚架的受力特点
梁
1 2 ql l 8
桁架
1 2 ql 8
刚架
弯矩分布均匀 可利用空间大
二. 刚架的支座反力计算
集中力偶 作用点
dM ( x ) FQ ( x) dx
结构力学I-第三章 静定结构的受力分析(桁架、组合结构)
FNEC FNED 33.54 kN
Y 0 FNEC sin FNED sin FNEA sin 10 kN 0
联立解出
FNEC FNED 10 5 33.5 思考：能否更快呢？ FNEC 22.36 kN， FNED 11.18 kN
00:44
静定平面桁架
• 桁架的内力计算
由力矩平衡方程 ∑ ME = 0，可求CD杆内力。
FA×d - FNCD×h = 0
FNCD = FAd / h = M0E / h
F1 F2 F3 F4 F5
M0E FA
6d
M FB
若M0E > 0，则FNCD >0 (下弦杆受拉 )
M0E是什么？
00:44
I
II
静定平面桁架
I
II
• 桁架的内力计算
简支梁
悬臂梁
伸臂梁
刚架：受弯构件，由若干直杆联结而成的结构，其中全部或部份 结点为刚结点；
A
D
B
C
简支刚架
悬臂刚架
三铰刚架
00:44
回顾
• 结构内力图
M–AB (表0) 示结构上各截面内力值的图形：弯矩图、M剪BA (0)
力图、A端轴力图；
A
B
FNA横B 坐标 -- 截面位置；
内力图 - 弯矩
A
FA
FB
– 截面法
• 例1：试求图示桁架中杆EF、ED，CD，DG的内力。
解: ⑶ 求上弦杆EF内力，力矩法；
取 ED 和 CD 杆 的 交 点 D 为 矩 心 ， 先 求 EF 杆 的 水 平 分 力
FxEF，由力矩平衡方程∑MD = 0，
FA×2d - F1×d + FxEF×H = 0
Y 0 FNEC sin FNED sin FNEA sin 10 kN 0
联立解出
FNEC FNED 10 5 33.5 思考：能否更快呢？ FNEC 22.36 kN， FNED 11.18 kN
00:44
静定平面桁架
• 桁架的内力计算
由力矩平衡方程 ∑ ME = 0，可求CD杆内力。
FA×d - FNCD×h = 0
FNCD = FAd / h = M0E / h
F1 F2 F3 F4 F5
M0E FA
6d
M FB
若M0E > 0，则FNCD >0 (下弦杆受拉 )
M0E是什么？
00:44
I
II
静定平面桁架
I
II
• 桁架的内力计算
简支梁
悬臂梁
伸臂梁
刚架：受弯构件，由若干直杆联结而成的结构，其中全部或部份 结点为刚结点；
A
D
B
C
简支刚架
悬臂刚架
三铰刚架
00:44
回顾
• 结构内力图
M–AB (表0) 示结构上各截面内力值的图形：弯矩图、M剪BA (0)
力图、A端轴力图；
A
B
FNA横B 坐标 -- 截面位置；
内力图 - 弯矩
A
FA
FB
– 截面法
• 例1：试求图示桁架中杆EF、ED，CD，DG的内力。
解: ⑶ 求上弦杆EF内力，力矩法；
取 ED 和 CD 杆 的 交 点 D 为 矩 心 ， 先 求 EF 杆 的 水 平 分 力
FxEF，由力矩平衡方程∑MD = 0，
FA×2d - F1×d + FxEF×H = 0
静定结构的受力分析
出其弯矩值如下：
M A 0KN m
M B 17KN m
M C 26KN m
M E 30KN m
M
L F
23KN
m
M
R F
7KN
m
M G 0KN m
依次在M图上定出各控制点旳弯矩值，在AB、 BC、EF和FG各段以等直线连接。CE段有均 布荷载，须叠加上以CE为跨度旳简支梁在均 布荷载作用下旳弯矩图。经过计算D点旳弯矩 为36KN.m
❖ 选用隔离体
FNDB
A 5kN
FQDB MDB D2
D1
FQDA
5kN
MDA
B
FNDA
4kN
A FQDC 5kN
D3 FNDC MDC
5kN B
4kN
❖ 分别对隔离体应用平衡条件，可得内力如下：
FNDA FQDA
0 5kN
M DA 5kN m
左侧受拉
FNDB 4kN FQDB 5kN M DB 15kN m
B
43FP
A FP
4
FP.a
4
FP
4
FPa
弯矩图
F
E
剪力图
FE
-
FP
DC
Fpa
FP
2
2
+
C
D
Fpa
4
A B
BA
-
FP
4
内力计算旳关键在于: 正确区别基本部分和附
属部分. 熟练掌握单跨梁旳计算.
例：试求铰D旳位置，使正负弯矩峰值相等。
q
A
D
B
l-x
x
l
C l
❖ 先求得支座反力为 q(l x)
M A 0KN m
M B 17KN m
M C 26KN m
M E 30KN m
M
L F
23KN
m
M
R F
7KN
m
M G 0KN m
依次在M图上定出各控制点旳弯矩值，在AB、 BC、EF和FG各段以等直线连接。CE段有均 布荷载，须叠加上以CE为跨度旳简支梁在均 布荷载作用下旳弯矩图。经过计算D点旳弯矩 为36KN.m
❖ 选用隔离体
FNDB
A 5kN
FQDB MDB D2
D1
FQDA
5kN
MDA
B
FNDA
4kN
A FQDC 5kN
D3 FNDC MDC
5kN B
4kN
❖ 分别对隔离体应用平衡条件，可得内力如下：
FNDA FQDA
0 5kN
M DA 5kN m
左侧受拉
FNDB 4kN FQDB 5kN M DB 15kN m
B
43FP
A FP
4
FP.a
4
FP
4
FPa
弯矩图
F
E
剪力图
FE
-
FP
DC
Fpa
FP
2
2
+
C
D
Fpa
4
A B
BA
-
FP
4
内力计算旳关键在于: 正确区别基本部分和附
属部分. 熟练掌握单跨梁旳计算.
例：试求铰D旳位置，使正负弯矩峰值相等。
q
A
D
B
l-x
x
l
C l
❖ 先求得支座反力为 q(l x)
第三章：静定梁和静定刚架
二.多跨静定梁 多跨静定梁
第三章 静定梁与静定钢架 二.多跨静定梁 多跨静定梁 基本部分--能独立 基本部分--能独立 1.多跨静定梁的组成 承载的部分。 1.多跨静定梁的组成 承载的部分。 附属部分--不能独 附属部分--不能独 立承载的部分。 立承载的部分。
基、附关系层叠图
练习:区分基本部分和附属部分并画出关系图 练习 区分基本部分和附属部分并画出关系图 第三章 静定梁与静定钢架
ql 2 / 2
Q=0的截面为抛 Q=0的截面为抛 物线的顶点. 物线的顶点.
ql / 2
ql
2
M图 Q图
第三章 静定梁与静定钢架
例: 作内力图
ql 2 / 2
M图 Q图
第三章 静定梁与静定钢架
1.无荷载分布段(q=0),Q图为水平线,M图为斜直线. 1.无荷载分布段 无荷载分布段(q=0),Q图为水平线 图为斜直线 图为水平线,M图为斜直线. 2.均布荷载段(q=常数),Q图为斜直线,M图为抛物线, 2.均布荷载段 常数 图为斜直线 图为抛物线 均布荷载段(q=常数),Q图为斜直线,M图为抛物线, 且凸向与荷载指向相同. 且凸向与荷载指向相同. 3.集中力作用处,Q图有突变,且突变量等于力值; M 3.集中力作用处 图有突变 且突变量等于力值; 集中力作用处,Q图有突变, 图有尖点,且指向与荷载相同. 图有尖点,且指向与荷载相同.
P
1 Pl 4 1 Pl 4
P 1 Pl
4
l/2
q
l/2
l/2
1 2 ql 4
l/2
l/2
ql 1 ql 2 4
l/2
l/2
l 静定梁与静定钢架
§3-2 静定刚架受力分析
一. 刚架的受力特点
结构力学第3章静定梁与静定刚架(f)
§3-2 多跨静定梁
例3-4 试作图a所示多跨静定梁的内力图，并求出各支座反力。
解：不算反力 先作弯矩图
1）绘AB、GH段弯矩图，与悬臂梁相同； 2）GE间无外力，弯矩图为直线，MF=0，可绘出； 同理可绘出CE段； 3）BC段弯矩图用叠加法画。
§3-2 多跨静定梁
由弯矩与剪力的微分关系画剪力图
由若干根梁用铰相联，并用若干支座与基础相联而组成的静定结构。
分析多跨静定梁的一般步骤
对如图所示的多跨静定梁，应先从附属部分CE开始分析：将 支座C 的支反力求出后，进行附属部分的内力分析、画内力图， 然后将支座 C 的反力反向加在基本部分AC 的C 端作为荷载，再 进行基本部分的内力分析和画内力图，将两部分的弯矩图和剪力 图分别相连即得整个梁的弯矩图和剪力图 。
弯矩图为直线：其斜率为剪力。图形从基线顺时针转，
剪力为正，反之为负。 弯矩图为曲线：根据杆端平衡条件求剪力，如图c。
剪力图作出后即可求支座反力 取如图e的隔离体可求支座 c— 的反力 弯矩—剪力 支座反力
§3-3 静定平面刚架
常见静定刚架的型式
悬臂刚 架
简支刚 架
三铰刚 架
§3-3 静定平面刚架
R FSR F E SD 8kN
FSR F 12kN
FSR B 0
§3-1 单跨静定梁
用截面法计算 控制截面弯矩。
MC 0
M A 20kN 1m 20kN m
M D 20kN 2m 58kN 1m 18kN m M E 20kN 3m 58kN 2m 30kN 1m 26kN m M F 12kN 2m 16kN m 10kN m 18kN m
第3章_静定结构的内力分析
第3章
静定结构受力分析
一、静定单跨梁的类型
（1）简支梁；
（2）悬臂梁； （3）伸臂梁
二、杆件截面内力及正负号规定 1、轴力：沿杆件轴线方向的截面内力，拉力为正、压力为负。 2、剪力：相切于横截面的内力，顺转为正，反之为负。
3、弯矩：截面内力对截面形心的力矩，下部受拉为正、反之 为负。 ＋ ＋ M M Q Q ＋ N N － － M M Q Q － N N
C 60
B
叠加法绘制直杆弯矩图 一、简支梁弯矩图的叠加方法
MA
A
q L
MB
B
MA
MAB中 1 qL2 MB 8
若MA、MB在杆的两侧，怎么画？
MA MB q
A
MA
MAB中
B MB
＋
A 1 qL2 8
B
MAB中= （ MA ＋ MB）/2
MA A
P a b
MB B MA M Pab L MB
L
M怎么计算？
C A 3.75kN 2m
D
4m
B
2m 0.25kN
ND左 = －10kN
求截面C、D左、D右的内力。 解：1、求支座反力 2、C截面的内力 取C截面以左为对象：
QD左 = 3.75－2×2 =－0.25kN MD左 = 3.75×6－2×2×5
=2.5kNm
4、D右截面的内力 取D右截面以右为对象：
三、内力图的校核
除一般校核平衡条件和荷载、内力微分关系外，重点是校核 刚结点处的平衡条件，即∑X = 0 ， ∑Y = 0，∑M = 0
例1：作图示刚架的弯矩图。 2kN/m C A B 5m 4m
16
4
C
B MCB = 0 MBC = 2×4×2 =16kNm（上拉） MBA = 2×4×2 = 16kNm（右拉） MAB =2×4×2 = 16kNm（右拉）
静定结构受力分析
一、静定单跨梁的类型
（1）简支梁；
（2）悬臂梁； （3）伸臂梁
二、杆件截面内力及正负号规定 1、轴力：沿杆件轴线方向的截面内力，拉力为正、压力为负。 2、剪力：相切于横截面的内力，顺转为正，反之为负。
3、弯矩：截面内力对截面形心的力矩，下部受拉为正、反之 为负。 ＋ ＋ M M Q Q ＋ N N － － M M Q Q － N N
C 60
B
叠加法绘制直杆弯矩图 一、简支梁弯矩图的叠加方法
MA
A
q L
MB
B
MA
MAB中 1 qL2 MB 8
若MA、MB在杆的两侧，怎么画？
MA MB q
A
MA
MAB中
B MB
＋
A 1 qL2 8
B
MAB中= （ MA ＋ MB）/2
MA A
P a b
MB B MA M Pab L MB
L
M怎么计算？
C A 3.75kN 2m
D
4m
B
2m 0.25kN
ND左 = －10kN
求截面C、D左、D右的内力。 解：1、求支座反力 2、C截面的内力 取C截面以左为对象：
QD左 = 3.75－2×2 =－0.25kN MD左 = 3.75×6－2×2×5
=2.5kNm
4、D右截面的内力 取D右截面以右为对象：
三、内力图的校核
除一般校核平衡条件和荷载、内力微分关系外，重点是校核 刚结点处的平衡条件，即∑X = 0 ， ∑Y = 0，∑M = 0
例1：作图示刚架的弯矩图。 2kN/m C A B 5m 4m
16
4
C
B MCB = 0 MBC = 2×4×2 =16kNm（上拉） MBA = 2×4×2 = 16kNm（右拉） MAB =2×4×2 = 16kNm（右拉）
第三章 静定梁与静定刚架
§3-1 单跨静定梁1 反力的求解简支梁伸臂梁悬臂梁 三个支座反力，可由三个平衡方程求解2 截面法求内力轴力（N）—截面一侧所有外力沿杆轴方向投影的代数 和。
以拉为正，压为负。
N+N剪力（Q）—截面一侧所有外力沿垂直杆轴方向投影的 代数和。
使隔离体顺时针转为正，逆时针转为负。
Q+Q弯矩（M）—截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数 和。
弯矩图画在杆件的受拉侧！！！截面法—将指定截面切开，取截面任一侧部 分为隔离体，利用平衡条件求得内力。
P1 A由∑X=0 得 HA 由∑MB=0 得 VAP2K由∑Y=0 得 VBBP1HA VA A K QM N步骤：先求反力，再求指定截面的内力。
隔离体与周围约束要全部截断，用相应的约束力代替。
约束力要符合约束力的性质： 链杆： 轴力受弯杆件：轴力、剪力、弯矩 只画隔离体本身所受的荷载与截断约束处的约束力。
未知力假设为正方向，已知外力按实际方向画出。
任 意 截 面{轴力=截面一侧所有轴线方向力的代数和 剪力=截面一侧所有垂直轴线方向力的代数和 弯矩=截面一侧所有力对截面取矩的代数和例：求M、 Q、 N值。
A FP1=10kN C2m 2m FP2=5kNB解：1) 求支反力FxA FP1=10kN FP2=5kN FyBFyA∑Fx=0 ∑MA=0 ∑Fy=0FxA=-5kN （ ） FyB =5kN （ ） FyA =5kN （ ）2）取隔离体，求C左截面内力左部分为隔离体 MCL LA5kN 5kNCNCLQC∑ FX = 0 ∑ FY = 0 ∑MX = 0L N C = 5 KN L Q C = 5 KN L M C = 10 KN ⋅ m3）取隔离体，求C右截面内力 右部分为隔离体 NCRMCRCRB5kNQC∑ FX = 0 ∑ FY = 04）画内力图 M图10kN⋅ mR NC = 0 R Q C = −5 KN R M C = 10 KN ⋅ m∑MX=0Q N5kN5kNAaPb lBPb lPab lPa lq AlBql 2ql 82ql 2a m lm Aa l bBm lb m lm l内力图-表示结构上各 截面内力数值的图形 P 横坐标--截面的位置 A 纵坐标--内力的数值a l bPbB弯矩图—必须绘在 杆件受拉的一侧， 不须标正负号。
结构力学
一、梁的弯曲内力
1.横截面上存在两种内力: 剪力FS: 相切于横截面的内力系的合力,作用线通过形心; 弯矩M: 垂直于横截面的内力系的合力偶,矩心为横截面形心;
a
A
F m B m
截面法：切、代、平
b
FA
l
FB
取左半边梁:
FS
A C
M
F B
M
C
0 : M FAb 0 0 : FA FS 0
ql 2
l
6.分段叠加法作弯矩图
q
A
1 2 ql 16
B
1 ql 8
C
q
l/2
q
l/2
1 2 ql 16
l/2
q
1 2 ql 16
q
1 2 ql 16
1 2 ql 16
l/2
练习: 分段叠加法作弯矩图
q
A B
l
C
1 2 ql 4
q
1 ql 2
ql
l l l
例 求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
P
x dx
q(x) Q
p(x)
q(x)
px
Q+dQ N+dN M+dM
N M dx
dN p(x) dx dQ q(x) dx dM Q dx d 2M q(x) 2 d x
（1）在无荷区段q(x)＝０，剪力图为水平直线，弯矩图为 斜直线。 （2）在q(x)＝常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛 物线。其凹下去的曲线象锅底一样兜住q(x)的箭头。（或接 住载荷雨） （3）集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点； 集中力偶作用点两侧，弯矩值突变、剪力值无变化。
《结构力学》第三章 静定梁和静定刚架.
返19回
§3—4 少求或不求反力绘制弯矩图
弯矩图的绘制，以后应用很广，它是本课最 重要的基本功之一。
静定刚架常常可少求或不求反力绘制弯矩图。
例如：1. 悬臂部分及简支梁部分，弯矩图可先绘出。
2. 充分利用弯矩图的形状特征(直线、零值)。
3.刚结点处的力矩平衡条件。
4. 用叠加法作弯矩图。
5. 平行于杆轴的力及外力偶产生的弯矩为常数。 6. 与杆轴重合的力不产生弯矩等。
满足投影平衡条件。
0 24kN C 0
22kN
24kN 22kN （返1b8 回）
例题 3—6 作三铰刚架的内力图
→HA VA↑ 26.7 20 6.7
解（：1）求反力
←HB
↑VB
由（∑2Y由）=V刚0A求VH作得架=AA杆=弯整1=30H体端矩0Bk8平4=弯图N6衡↑矩.，66，以，7kV∑D3NMB0C（=kBN杆1=→0o↑为k可←N例得↑）
M图: 通常检查刚结点处是否满足力矩的平衡条件。
例如取结点C为隔离体（图a），有：
∑MC=48－192+144=0 满足这一平衡条件。
48kN·m
C
192kN·m
Q(N)图：可取刚架任何一部分为隔
离体，检查∑X=0 和 ∑Y=0 是否满足。 144kN·m （a）
例如取结点C为隔离体（图b）， 有: ∑X=24－24=0 ∑Y=22－22=0
dQ q(x) dx
dM Q dx
d2M dx2
q(x)
据此，得直梁内力图的形状特征
梁上情况 q=0
q=常数
q↓ q↑
P 作用处
m 铰或
作用处 自由端 (无m）
水平线
第3章 静定梁和静定刚架的受力分析
通过前述简支梁弯矩图的叠加法来绘制。
34
《 第3章 静定梁和静定刚架的受力分析 》
- 34/147页 -
（d）M图
将一个直杆段隔离体上的受力通过简支梁等 效后，利用叠加法绘制其弯矩图的方法，称为 区段叠加法。
区段叠加法的具体作法：
（1）作出杆段两端截面的弯矩竖标，并将
这两个竖标的顶点用虚线相连；
3）弯矩图上某点的曲率等于该点的横向荷载的 集度，但正负号相反。
4）轴力图上某点的斜率等于该点轴向均布荷 载的集度 ，但正负号相反。
18
《 第3章 静定梁和静定刚架的受力分析 》
- 18/147页 -
因此： 若剪力等于0，M 图平行于杆轴； 若剪力为常数，则 M 图为斜直线； 若剪力为x 的一次函数，即为均布荷载时，M 图 为抛物线。
内力图的含义？需彻底弄清，以免与后面的 影响线混淆概念。
u 弯矩图--习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标 正负号
u 轴力和剪力图--可绘在杆件的任一侧，但需 标明正负号
作内力图：1. 由内力方程式画出图形;
2. 利用微分关系画出图形；
3. 区段叠加法。
《 第3章 静定梁和静定刚架的受力分析 》
- 16/147页 -
(3) 力——即作受力图，这是该方法最关键的一
步。既要包括全部已知力，也要标出
未知力。
(4) 平——利用平衡方程，计算隔离体上的未知力。
6
《 第3章 静定梁和静定刚架的受力分析 》
- 6/147页 -
1. 隔离体 作隔离体应注意下列几点：
（1）隔离体与其余部分的联系要全部切断， 代之以相应的约束力；
（3）对于各控制截面之间的直杆段，在基线 上叠加该杆段作为简支梁时由杆间荷载产生的 M图 (注意，竖标垂直于原杆轴)。
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3)杆BE
q
X 0
M BE
QBE
N BE q 4a sin 0 3 N BE 4 qa 2.4 qa 5 Y 0 QBE q 4a cos 0 4 QBE 4 qa 3.2 qa 5 MB 0 M BE q 4a 2a 0 M BE 8 qa 2
B l/2
由整体平衡：
F
FyB ql 8
x
0
3 FxA ql () 8
l/2
M
C
0
FxB
(2) 作M图 AD杆：
MDA＝ql2/16 (右拉) M中＝ql2/16 (右拉)
2/16 ql D
ql2/16
C
q 3ql/8 ql2/16
E
A ql/8
M图
B ql/8
ql/8
(3) 作Q、N图 很容易作出剪力图和轴力图如下图示。
2m
解：(1)支座反力 X A 80kN, YA 20kN, DY 60kN
40 kN B C D
M BA
NBA 160 kN· m QBA B
B
160
20 kN/m
4m
4m
60kN
20 kN/m
40 A M图
80kN
20kN
A 2m
80
A
20
2m
(2)求杆端力并画杆单元弯矩图。
因此，静定多跨梁的内力分析应先“附属”后
“基本”，即先次后主。
多跨静定梁的两种基本组成型式
【例】
先附属，后基本 中间铰处有集中力 处理到基本部分上
例题3－3 用叠加法作弯矩图
结点平衡求 支座反力
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第四，平——利用隔离体平衡条件，直接计算截面的内力。
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3.1 单跨静定梁
A FAx
FAy
C MC FNC
FQC
MC FQC
B
FNC
C
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1) 任意截面的轴力等于该截面一侧所有外力沿杆轴切线方向的
投影代数和。
2) 任意截面的剪力等于该截面一侧所有外力沿杆轴法线方向的
FP
FPa B
FP
2FPa
A
a M=FPaa C
D a
A
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M图
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C
D
B FP
FQ图
3.1 单跨静定梁
2. 内力图的特征
2) 特殊情况之一——杆端无横向荷载(可有轴向荷载)作用(AB段)： M =0，FQ =0。
3) 特殊情况之二——纯弯曲(BC段)：M图为水平线，FQ =0。
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3.1 单跨静定梁
3.1.3 用区段叠加法绘直杆的弯矩图
1. 记住简单直梁在一些单一荷载作用下的弯矩图
●要求根据材料力学课程所介绍的方法，计算、绘制并熟记常见 几个最基本的弯矩图形。
●弯矩图绘在杆件受拉一侧，不标注正负号。
●可借用柔绳比拟的方法，定性地理解前面7个简支梁弯矩图的 轮廓图，即这些弯矩图就像一根两端绷紧的橡皮筋受图示力作用后的 形状。
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3.1 单跨静定梁
2. 内力图的特征
(1) 在均布荷载区段：q=常数
FQ是x的一次式，FQ图是斜直线。
M是x的二次式，M图是二次抛物线，且其突出方向与荷载指向相 同。
(2) 无荷载区段：q＝0
1) 一般情况下(CD段)：M图为斜线，FQ图为水平线。
●当杆端有外力偶作用时，可将表示力偶的圆弧箭头顺其原
指向绘于杆端外侧，则箭尾一侧受拉。
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3.1 单跨静定梁
简单直梁在单一荷载作用下的弯矩图
FP
A
C
B
FP/2
l/2 FP l/4 l/2
FP/2
A M/l
M/2 C
FQC C
B FBy
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3.1 单跨静定梁
第一，切——设想将杆件沿指定截面切开。
第二，取——取截面任一侧部分为隔离体。
第三，力——这是该方法最关键的一步。一是勿忘在隔离体 上保留原有的全部外力（包括支反力）；二是必须在切割面上添 加要求的未知内力。所求的轴力和剪力，按正方向添加（轴力以 拉力为正，剪力以绕隔离体顺时针方向转动者为正）；而所求的 弯矩，其方向可任意假设，只需注意在计算后判断其实际方向， 并在绘弯矩图时，绘在杆件受拉一侧。
FP
2FPa
A
a M=FPaa C
a
A
M图
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C
D
B FP
FQ图
3.1 单跨静定梁
2. 内力图的特征
(4) 在集中力偶作用处： 剪力图无变化。 弯矩图有突变(该处左右两边的弯矩图形的切线相互平行，即 切线的斜率相同)，突变值等于该集中力偶值。
1. 荷载与内力之间的微分关系
d FQ dx
q
dM dx
FQ
d2 M d x2
q
M FN
FQ
以上微分关系的几何意义是：
q
M +dM
x
FN +dFN
y
FQ +dFQ
dx
剪力图在某点的切线斜率等于该点的荷载集度，但两者的正 负号相反。弯矩在某点的切线斜率等于该点的剪力。弯矩在某点 的曲率与该点的荷载集度成正比。
第3章 静定梁和静定刚架的受力分析
● 本章教学的基本要求：灵活运用隔离体平衡法（截面法）
计算指定截面的内力；熟练掌握静定梁和静定平面刚架内力 图的作法；了解空间刚架内力图绘制的方法。
● 本章教学内容的重点：绘制静定梁和静定平面刚架的内
力图，这是本课程最重要的基本功之一。
● 本章教学内容的难点：用隔离体平衡法计算任一指定截
计算指定截面内力的基本方法是隔离体平衡法
FAx
A
C
B
FAy
FAx
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A FAy
MC
FNC C
FQC
MC FNC
FQC C
隔离体平衡法（截面法）
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B FBy
3.1 单跨静定梁
“切、取、力、平”
A FAx
FAy
C MC FNC
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MC FNC
面的内力；用区段叠加法绘弯矩图；根据弯矩图和所受荷载 绘出剪力图和轴力图。
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第3章 静定梁和静定刚架的受力分析
● 本章内容简介:
3.1 单跨静定梁 3.2 多跨静定梁 3.3 静定平面刚架 3.4* 静定空间刚架
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投影代数和。 3) 任意截面的弯矩等于该截面一侧所有外力对某点（例如该截
面形心）的力矩代数和。
【注意】如果截面内力计算结果为正（或负），则表示该指定截
面内力的实际方向与所假设的方向相同（或相反）。
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3.1 单跨静定梁
3.1.2 内力图的特征
FP A
FPa B a M=FPaa C
FP
2FPa
D a
M图
C
D
A
B
FP
FQ图
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3.1 单跨静定梁
2. 内力图的特征
(3) 在集中荷载作用处： 剪力有突变，其突变值等于该集中荷载值。弯矩图有尖角，尖角 突出方向与荷载指向相同。
FP
FPa B
FP
FPa B
FP
2FPa
A
a M=FPaa C
D a
A
M图
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C
D
B FP
FQ图
3.1 单跨静定梁
2. 内力图的特征
(5) M图的最大值发生在FQ图中FQ =0点处。
利用内力图的上述特征，可不列出梁的内力方程，而只须算 出一些表示内力图特征的截面(称为控制截面)的内力值，就能迅 速地绘出梁的内力图。
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3.1 单跨静定梁
单跨静定梁的内力分析和内力图的绘制，是多跨梁和刚架受 力分析的基础，是本课程最重要的基本功之一。
常见的单跨静定梁
A
B
B
A
B
A
B
A
a) 简支梁
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b)简支斜梁
c) 悬臂梁
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d) 伸臂梁
3.1 单跨静定梁
3.1.1 用隔离体平衡法计算指定截面内力
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3.1 单跨静定梁
A FAx
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C MC FNC
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MC FQC
B
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1) 任意截面的轴力等于该截面一侧所有外力沿杆轴切线方向的
投影代数和。
2) 任意截面的剪力等于该截面一侧所有外力沿杆轴法线方向的
FP
FPa B
FP
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A
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D a
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3.1 单跨静定梁
2. 内力图的特征
2) 特殊情况之一——杆端无横向荷载(可有轴向荷载)作用(AB段)： M =0，FQ =0。
3) 特殊情况之二——纯弯曲(BC段)：M图为水平线，FQ =0。
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3.1.3 用区段叠加法绘直杆的弯矩图
1. 记住简单直梁在一些单一荷载作用下的弯矩图
●要求根据材料力学课程所介绍的方法，计算、绘制并熟记常见 几个最基本的弯矩图形。
●弯矩图绘在杆件受拉一侧，不标注正负号。
●可借用柔绳比拟的方法，定性地理解前面7个简支梁弯矩图的 轮廓图，即这些弯矩图就像一根两端绷紧的橡皮筋受图示力作用后的 形状。
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3.1 单跨静定梁
2. 内力图的特征
(1) 在均布荷载区段：q=常数
FQ是x的一次式，FQ图是斜直线。
M是x的二次式，M图是二次抛物线，且其突出方向与荷载指向相 同。
(2) 无荷载区段：q＝0
1) 一般情况下(CD段)：M图为斜线，FQ图为水平线。
●当杆端有外力偶作用时，可将表示力偶的圆弧箭头顺其原
指向绘于杆端外侧，则箭尾一侧受拉。
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简单直梁在单一荷载作用下的弯矩图
FP
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FP/2
l/2 FP l/4 l/2
FP/2
A M/l
M/2 C
FQC C
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3.1 单跨静定梁
第一，切——设想将杆件沿指定截面切开。
第二，取——取截面任一侧部分为隔离体。
第三，力——这是该方法最关键的一步。一是勿忘在隔离体 上保留原有的全部外力（包括支反力）；二是必须在切割面上添 加要求的未知内力。所求的轴力和剪力，按正方向添加（轴力以 拉力为正，剪力以绕隔离体顺时针方向转动者为正）；而所求的 弯矩，其方向可任意假设，只需注意在计算后判断其实际方向， 并在绘弯矩图时，绘在杆件受拉一侧。
FP
2FPa
A
a M=FPaa C
a
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M图
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3.1 单跨静定梁
2. 内力图的特征
(4) 在集中力偶作用处： 剪力图无变化。 弯矩图有突变(该处左右两边的弯矩图形的切线相互平行，即 切线的斜率相同)，突变值等于该集中力偶值。
1. 荷载与内力之间的微分关系
d FQ dx
q
dM dx
FQ
d2 M d x2
q
M FN
FQ
以上微分关系的几何意义是：
q
M +dM
x
FN +dFN
y
FQ +dFQ
dx
剪力图在某点的切线斜率等于该点的荷载集度，但两者的正 负号相反。弯矩在某点的切线斜率等于该点的剪力。弯矩在某点 的曲率与该点的荷载集度成正比。
第3章 静定梁和静定刚架的受力分析
● 本章教学的基本要求：灵活运用隔离体平衡法（截面法）
计算指定截面的内力；熟练掌握静定梁和静定平面刚架内力 图的作法；了解空间刚架内力图绘制的方法。
● 本章教学内容的重点：绘制静定梁和静定平面刚架的内
力图，这是本课程最重要的基本功之一。
● 本章教学内容的难点：用隔离体平衡法计算任一指定截
计算指定截面内力的基本方法是隔离体平衡法
FAx
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“切、取、力、平”
A FAx
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第3章 静定梁和静定刚架的受力分析
● 本章内容简介:
3.1 单跨静定梁 3.2 多跨静定梁 3.3 静定平面刚架 3.4* 静定空间刚架
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投影代数和。 3) 任意截面的弯矩等于该截面一侧所有外力对某点（例如该截
面形心）的力矩代数和。
【注意】如果截面内力计算结果为正（或负），则表示该指定截
面内力的实际方向与所假设的方向相同（或相反）。
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3.1.2 内力图的特征
FP A
FPa B a M=FPaa C
FP
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D a
M图
C
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FP
FQ图
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2. 内力图的特征
(3) 在集中荷载作用处： 剪力有突变，其突变值等于该集中荷载值。弯矩图有尖角，尖角 突出方向与荷载指向相同。
FP
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FP
FPa B
FP
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2. 内力图的特征
(5) M图的最大值发生在FQ图中FQ =0点处。
利用内力图的上述特征，可不列出梁的内力方程，而只须算 出一些表示内力图特征的截面(称为控制截面)的内力值，就能迅 速地绘出梁的内力图。
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单跨静定梁的内力分析和内力图的绘制，是多跨梁和刚架受 力分析的基础，是本课程最重要的基本功之一。
常见的单跨静定梁
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d) 伸臂梁
3.1 单跨静定梁
3.1.1 用隔离体平衡法计算指定截面内力