专题复习球与球体.doc

2016 年高考专题复习 -- 球与球体01.25典型例题 1——球的截面例 1 球面上有三点 A 、 B 、 C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中 AB 18 ， BC 24 、 AC 30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．【练习】过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦 AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为 60 ，若球半径为 R ，求弦 AB 的长度．典型例题 2——球面距离例 2 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（ ）．A ．有且只有一个B ．一个或无穷多个C ．无数个D ．以上均不正确例 3 球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 1，经过 3 个点的小圆的周长为 4 ，求这个球的半径．6例 4 A 、 B 是半径为 R 的球 O 的球面上两点，它们的球面距离为R ，求过 A 、 B 的平面中，与球心的最大距离是多少？2典型例题 3——其它问题例 5．自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA, MB,MC ，求 MA 2MB 2MC 2的值．例 6．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．典型例题 4——球与几何体的切、接问题例 7 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为 r 的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？例 8．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．例 9．把四个半径都是 1 的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．例 10．如图 1 所示，在棱长为 1 的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．作业 1. 正三棱锥的高为 1，底面边长为2 6，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．2.求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．3 在球心同侧有相距9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49cm2和 400 cm2．求球的表面积．【高考真题】1. （2010 四川理数）（11）半径为R的球O的直径AB垂直于平面，垂足为 B ， BCD 是平面内边长为 R 的正三角形，线段 AC 、 AD 分别与球面交于点 M，N，那么 M、N两点间的球面距离是（A）R arccos 17 （B）R arccos 18 w_w_w（C）1R （D）4 R25 25 3 15 2.（2010 湖北文数） 14. 圆柱形容器内盛有高度为 3cm的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是cm.3.（2009 全国卷Ⅰ文）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于 OA 的平面截球面得到圆 M ，若圆 M 的面积为 3 ，则球 O 的表面积等于 __________________.4.（2009 陕西卷文）如图球 O 的半径为 2，圆 O 1 是一小圆，1，A 、B 是圆 O 1 上两点，若 AO 1B = ，则 A,B O21.两点间的球面距离为AB5. （安徽卷理 16 文 16）已知 A, B, C, D 在同一个球面上 ,OAB 平面BCD, BC CD , 若 AB 6, AC2 13, AD8,则B,C 两点间的球面距离是6. （江西卷文 15）连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为 4 的 球的两条弦 AB 、CD 的长度分别等于 2 7 、4 3 ，每条弦的两端都在球 面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为 ．7.（辽宁卷理 14 文 14）在体积为 4 3 的球的表面上有 A ，B ，C 三点，AB =1，BC = ，A ，C 两点的球面距离为 3 ，则球心到平面的距2 3ABC离为 _________．8. （天津卷理 12）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为 4 3 ，则该正方体的表面积为 .9.（浙江卷理 14 文 15）如图，已知球 O 点面上四点 A 、D3 ，则球 B 、C 、 D ，DA 平面 ABC ，AB BC ，DA=AB=BC=O 点体积等于 ___________。

A2016 年高考专题复习 ----CB球与球体例 1 分析：求球的表面积的关键是求球的半径， 本题的条件涉及球的截面， ABC 是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半， 从而可由关系式 r 2 R 2 d 2 求出球半径 R ．解： ∵ AB 18， BC 24， AC 30，∴ AB 2 BC 2 AC 2 ， ABC 是以 AC 为斜边的直角三角形． ∴ ABC 的外接圆的半径为 15 ，即截面圆的半径 r 15 ，又球心到截面的距离为 d1R ，∴ R 2 (1R)2 152 ，得 R 10 3．22∴球的表面积为 S 4 R 24 (10 3) 2 1200说明：涉及到球的截面的问题， 总是使用关系式 r R 2 d 2 解题，我们可以通过两个量求第三个量， 也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．【练习】 由条件可抓住 A BCD 是正四面体， A 、 B 、 C 、 D 为球上四点，则球心在正四面体中心，设 AB a ，则截面 BCD 与球心的距离 d6 a R ， 过 点 B 、 C 、 D 的 截 面 圆半 径 r 3a ， 所 以33( 3a)2R2( 6a R)2得 a 2 6R ．333例 2 分析： 对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论．当三点不共线时，可以作一个大圆；当三点共线时，可作无数个大圆，故选 B例 3 分析：利用球的概念性质和球面距离的知识求解．设球的半径为 R ，小圆的半径为 r ，则 2 r 4 ，∴ r 2 ． 如图所示，设三点 A 、 B 、 C ， O 为球心，2 ．又∵ OA OB ，∴ AOB 是等AOBBOCCOA63边三角形，同样， BOC 、 COA 都是等边三角形，得 ABC 为等边三角形，边长等于球半径 R ． r 为 ABC 的外接圆半径， r3 AB 3 R ，R 3 r 2 3 ．3 3 3说明：本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题，除了考查常规的与多面体综合外， 还考查了球面距离， 几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点，是一道不可多得的好题．例 4分析： A 、 B 是球面上两点，球面距离为R ，转化为球心角2AOB，从而 AB 2R ，由关系式 r 2 R 2d 2 ，r 越小， d 越大， r 是2过 A 、 B 的球的截面圆的半径，所以 AB 为圆的直径， r 最小．解： ∵球面上 A 、 B 两点的球面的距离为2 R ． ∴ AOB ，2 ∴ AB2R ．当 AB 成为圆的直径时， r 取最小值，此时 r1AB2R ，22d 取最大值， dR2r22R ，即球心与过 A 、B 的截面圆距离2最大值为2R ．2说明：利用关系式 r 2 R 2 d 2 不仅可以知二求一， 而且可以借此分析截面的半径 r 与球心到截面的距离 d 之间的变化规律．此外本题还涉及到球面距离的使用，球面距离直接与两点的球心角 AOB 有关，而球心角 AOB 又直接与 AB 长度发生联系，这是使用或者求球面距离的一条基本线索．例 5．分析： 此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．解：以 MA, MB , MC 为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥MABC 补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径． MA 2MB 2MC 2=(2R)24R 2．说明：此题突出构造法的使用， 以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．例 6．分析： 首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系．解：设球的半径为 r ，正方体的棱长为 a ，它们的体积均为 V ，则由 4 r 3 V , r 3 3V ， r33V ，由 a 3V, 得 a3V ．4 43S 球 4 r 24 (3 3V )234 V 2 ． S 正方体 6a 2 6(3 V )2 63V 2 3 216V 2 ．4421634 V 2 3216V 2，即 S 球 S 正方体 ．例 7 分析：先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部分 ( 圆台 ) 的体积等于球的体积， 列式求解．解：如图作轴截面，设球未取出时水面高 PC h ，球取出后，水面高 PH x ∵ AC 3r ， PC 3r ，则以 AB 为底面直径的圆锥容积为 V 圆锥 1 AC 2 PC 1 ( 3r ) 2 3r 3 r 3 ，球取出后水面下降到 EF ，水体3131 1 积为 V 水 EH2 PH ( PH tan 30 ) 2 PH x3 ．3V 球，则1 3 4 r 3 9又 V 水V圆锥x 33 r 3 ， 解得 x 315r ．93例 8 分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系， 依靠体积分割的方法来解决的．解：如图，正四面体 ABCD 的中心为 O ， BCD 的中心为 O 1 ，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离．设OO 1 r ,OA R ，正四面体的一个面的面积为 S ．依题意得 V A BCD 1S(R r ) ，又13VA BCDR r4r 即 R 3r ．4V O BCD 4r S34内切球的表面积 4 r21 内切球的体积r 3 1所以3．外接球的表面积4 R 29 ．427外接球的体积R 33说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的， 为正四面体高的四等分点， 即定有内切球的半径 r 1h ( h 为正四面体的高 ) ，且外接球的半径 R 3r ．4例 9．分析： 关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和 2．解：四球心组成棱长为 2 的正四面体的四个顶点， 则正四面体的高 h2 2 (23 ) 2 2 63 3. 而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径 1，且三个球心到桌面的距离都为 1，故第四个球的最高点与桌面的距离为 2 2 6．3例 10．分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面， 而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面 ，得如图 2 的截面图，在图 2 中，观 察 R 与 r 和棱长间的关系即可．解：如图 2，球心 O 1 和 O 2 在 AC 上，过 O 1 ， O 2 分别作 AD,BC 的垂线交于E,F ．则由 AB 1, AC 3 得 AO 1 3r , CO 2 3R ．r R 3( r R)3 ，R r3 3 2 3 ．（1）设两球体积之和为 V ，3 1图 24 ( R 33) 4 ()(2Rr r 2 )33=4 3 3( R r ) 23rR4 3 3 ( 33) 2 3R( 33 R)3 23 2 22=43 3 3R23(323) R ( 32 3 ) 23 2当 R 33时，V 有最小值． 当 R r33时，体积之和有最小值．44作业 解：如图，球 O 是正三棱锥 P ABC 的内切球， O 到正三棱锥四 个面的距离都是球的半径 R ． PH 是正三棱锥的高， 即 PH．1 E是BC 边中点，H 在 AE 上，ABC 的边长为26， ∴HE3 2 62 ． ∴ PE 36可 以 得 到S PAB S PACS PBC1BC PE 3 2 ．S ABC3(2 6) 2 6 324 由等体积法， V P ABC VO PAB V O PAC VO PBCV O ABC∴ 16311 3 2 R 3 16 3 R 得： R 2 2 33 6 2 ，3333∴ 球4 24(6 2)28(5 2 6) ．∴ 球4 R 3 4 (62) 3．SRV3 3说明：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径 R 来求出 R ，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．2. 分析： 首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．解：如图，等边 SAB 为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形 C 1CDD 1 ，截球面得球的大圆圆 O 1 ．设球的半径 OO 1 R ，则它的外切圆柱的高为 2R ，底面半径为 R ； OB O 1O cot 303R ， SO OB tan 60 3R 3 3R， ∴ V 球 4 R 3，13V 柱R 2 2R 2 R 3，V 锥( 3R)2 3R 3 R 3，3∴ V 球∶V 柱∶V 锥 4∶6∶9．3. 分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径．解：如图为球的轴截面，由球的截面性质知， AO 1 // BO 2 ，且若 O 1、 O 2 分别为两截面圆的圆心，则 OO 1 AO 1 ，OO 2 BO 2 ．设球的半径为 R ．∵ O 2 B 249 ，∴ O 2B 7(cm)同 理 O 1 A 2 400 ， ∴ O 1A 20(cm) 设 OO 1 xcm ， 则OO 2 ( x 9)cm ．在 Rt OO 1 A 中，R 2 x 2 202 ；在 Rt OO 2 B 中，R 2 ( x 9) 2 72 ， ∴ x 2 20 72 ( x 9) 2 ， 解 得 x 15 ， ∴R 2 x 2 202 252 ，∴ R 25∴ S 球4 R 2 2500 (cm 2 ) ．∴球的表面积为 2500 cm 2 ．【高考真题】 1. 解析：由已知， AB ＝2R , BC ＝R , 故 tan ∠BAC ＝ 12cos ∠BAC ＝ 2 5 连结 OM ，则△ OAM 为等腰三角形5AM ＝2AOcos ∠ BAC ＝ 4 5R ，同理＝4 5 R ，且∥ 而AC5AN5MN CD w_w_w.A＝ 5 R , CD ＝R 故 MN ：CD ＝AN : AC w_ MN ＝ 4R ，5连结 OM 、ON ，有 OM ＝ON ＝RONMDBC于是 cos ∠MON ＝ OM2ON 2 MN 217 2OM gON25 17答案：所以 M 、N 两点间的球面距离是 R arccosA25 w_w_w.2. 【答案】 4 【解析】设球半径为 r ，则由 3V 球 V 水V 柱可得33 2 2, 解得 r=4.4 rr 8 r 6r33. 【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。