山东省菏泽一中高一数学《概率的基本性质》复习提纲
人教版高中数学各单元概率点汇总教学提纲
人教版高中数学各单元概率点汇总教学提
纲
一、概率的基本概念和性质
- 概率的定义及其数值特征
- 必然事件、不可能事件和等可能事件
- 概率的加法定理和乘法定理
- 条件概率和独立事件的概率计算
二、排列与组合的概率应用
- 排列和组合的基本概念及计算方法
- 含有重复元素的排列和组合
- 排列与组合与概率的关系
三、随机事件与概率模型
- 随机事件的概念及其性质
- 样本空间、随机事件和事件间的关系
- 随机事件的运算及其性质
- 事件的对立事件和余事件
- 概率模型的建立及应用
四、离散型随机变量的概率分布律
- 随机变量的概念及分类
- 离散型随机变量及其概率分布律的计算
- 期望、方差和标准差的概念和计算
- 大数定律和中心极限定理简介
五、连续型随机变量的概率密度函数
- 连续型随机变量及其概率密度函数的性质和计算方法
- 连续型随机变量的分布函数、期望和方差计算
- 均匀分布、指数分布和正态分布的应用
六、二维随机变量及其分布律
- 二维随机变量的概念及其分布律的计算
- 边缘分布和条件分布
- 二维随机变量的独立性判定和相关性分析
- 二维离散型和连续型随机变量的期望和方差计算
以上为《人教版高中数学各单元概率点汇总教学提纲》的概要，包括了概率的基本概念和性质、排列与组合的概率应用、随机事件
与概率模型、离散型和连续型随机变量的概率分布律以及二维随机变量与分布律等内容。
这份提纲将帮助学生系统地学习和掌握数学中概率的相关知识，为高中数学教学提供一个清晰的框架和指导。
高一期末数学概率知识点
高一期末数学概率知识点概率是数学中一个重要的概念，也是我们日常生活中经常用到的一种推测或判断的方法。
在高一数学学科中，概率也是一个重要的知识点。
接下来，我将为大家总结高一期末数学概率知识点。
1. 事件与样本空间在概率的研究中，我们首先要确定一个随机试验，然后确定与该试验相关的事件和样本空间。
事件是指试验的某个结果，而样本空间是指试验的所有可能结果的集合。
例如，投掷一枚硬币，正面向上和反面向上分别是两个事件，样本空间为{"正面向上"，"反面向上"}。
2. 事件间的关系在概率中，我们经常会遇到事件的交集、并集和互斥等关系。
事件的交集是指两个或多个事件同时发生的情况；事件的并集是指两个或多个事件中至少有一个发生的情况；事件的互斥是指两个事件不能同时发生的情况。
3. 概率的计算在确定了样本空间和事件之后，我们可以通过计算概率来评估事件发生的可能性。
概率可以用分数、小数或百分数表示。
在数学中，概率的计算有多种方式，包括等可能事件、频率、古典概型等。
其中，等可能事件指的是每个事件发生的可能性相等；频率指的是通过实验多次得到某个事件发生的次数与总次数的比值；古典概型指的是指试验的每个结果发生的可能性相等。
4. 事件的独立性当两个事件的发生与否互不影响时，我们称这两个事件是独立事件。
例如，抛掷两个硬币，第一个硬币正面向上与否与第二个硬币正面向上与否互不影响。
5. 条件概率在概率中，我们还会遇到条件概率的计算。
条件概率指的是在已知某个条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率的计算需要用到乘法公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
6. 事件的互斥与对立互斥事件指的是两个事件不能同时发生；对立事件指的是两个事件至少有一个发生。
例如，掷一个骰子，事件A为“出现奇数点数”，事件B为“出现偶数点数”，这两个事件是互斥事件；事件A 的对立事件是“出现偶数点数”。
高中数学总复习之基础知识要点概率
高三数学总复习高考复习科目：数学 高中数学总复习（十一）复习内容：高中数学第十一章—概率 第十二章-概率与统计 复习范围：第十一章、第十二章I. 基础知识要点 一、概率.1. 概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值。
2。
等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个,且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是n 1,如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率nm P(A)=.3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥,那么事件A+B 发生(即A 、B 中有一个发生）的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A ）+P(B),推广：)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21+++=+++ .②对立事件:两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．叫对立事件。
例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌"与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生.注意：i.对立事件的概率和等于1:1)A P(A )A P(P(A)=+=+。
ii 。
互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件。
③相互独立事件：事件A （或B)是否发生对事件B(或A ）发生的概互斥对立率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件。
如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P （A)·P （B)。
由此，当两个事件同时发生的概率P （AB ）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件。
例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A ：“抽到老K”；B ：“抽到红牌”则 A 应与B 互为独立事件[看上去A 与B 有关系很有可能不是独立事件，但261P(B)P(A),215226P(B),131524P(A)=⋅====.又事件AB 表示“既抽到老K 对抽到红牌”即“抽到红桃老K 或方块老K”有261522B)P(A ==⋅，因此有)B P(A P(B)P(A)⋅=⋅。
3.1.3概率的基本性质
概率的几个基本性质
1.概率 1.概率P(A)的取值范围 概率 的取值范围 （1）对于任一事件 有 0≤P(A)≤1. ）对于任一事件A,有 （2）必然事件的概率是1. 必然事件的概率是1. （3）不可能事件的概率是0. 不可能事件的概率是0. （4）若A ⊆ 则 p(A) ≤P(B) B,
思考：掷一枚骰子,事件C ={出现 出现1 思考：掷一枚骰子,事件C1={出现1点}，事件 ={出现 出现3 则事件C C3={出现3点}则事件C1∪C3 发生的频率 与事件C 和事件C 与事件C1和事件C3发生的频率之间有什 么关系? 么关系?
3. 抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件 为出现奇数， 抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数 为出现奇数， 事件B为出现 为出现2点 已知P（ ） 事件 为出现 点，已知 （A）=1/2，P（B）=1/6， ， （ ） ， 求出现奇数点或2点的概率 点的概率。 求出现奇数点或 点的概率。 4. 某射手在一次射击训练中，射中 环、8环、7环 某射手在一次射击训练中，射中10环 环 环 的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射 的概率分别为 ， ， ， ， 击中： 击中： 环或9环的概率 （1）射中 环或 环的概率； ）射中10环或 环的概率； （2）少于 环的概率 ）少于7环的概率 5.已知盒子中有散落的棋子 粒，其中 粒是黑子， 9粒是白子， 已知盒子中有散落的棋子15粒 其中6粒是黑子 粒是黑子， 粒是白子 粒是白子， 已知盒子中有散落的棋子 已知从中取出2粒都是黑子的概率是 粒都是黑子的概率是1/7，从中取出2粒都是白子 已知从中取出 粒都是黑子的概率是 ，从中取出 粒都是白子 的概率是12/35，现从中任意取出 粒恰好是同一色的概率是多少？ 粒恰好是同一色的概率是多少？ 的概率是 ，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少
概率论复习提纲范文
概率论复习提纲范文概率论是一门研究随机事件发生的可能性的数学分析方法。
它在各个领域中都有广泛的应用，包括统计学、经济学、物理学等。
本文将为您提供概率论的复习提纲，包括概率基本原理、随机变量与概率分布、大数定律与中心极限定理等重要内容。
一、概率基本原理1.随机试验和样本空间a.随机试验的定义和特点b.样本空间的概念和表示方法2.概率的定义和性质a.概率的基本定义和公理b.集合的概率运算法则c.条件概率和乘法公式d.全概率公式和贝叶斯公式二、随机变量与概率分布1.随机变量的定义和分类a.随机变量的基本定义b.随机变量的分类：离散和连续随机变量2.离散随机变量a.概率质量函数的定义和性质b.分布函数的定义和性质c.数学期望和方差的计算3.连续随机变量a.概率密度函数的定义和性质b.分布函数的定义和性质c.数学期望和方差的计算4.常见概率分布a.伯努利分布和二项分布b.泊松分布和指数分布c.正态分布和标准正态分布三、大数定律与中心极限定理1.大数定律a.辛钦大数定律的概念和证明b.切比雪夫大数定律的概念和证明2.中心极限定理a.中心极限定理的基本概念和特点b.林德贝格-莱维中心极限定理的概念和证明c.中心极限定理的应用四、统计推断与参数估计1.统计推断的基本概念a.参数估计和假设检验b.置信区间和假设检验法则2.参数估计a.点估计的基本概念和性质b.最大似然估计和矩估计3.假设检验a.原假设和备择假设的概念b.显著性水平和拒绝域的确定c.正态总体均值的参数检验五、贝叶斯统计与贝叶斯估计1.贝叶斯统计的基本概念a.条件概率和贝叶斯定理b.先验概率和后验概率2.贝叶斯估计a.贝叶斯估计的基本原理和方法b.贝叶斯估计的优点和应用六、随机过程与马尔可夫链1.随机过程的定义和特点a.随机过程的基本定义b.随机过程的分类和性质2.马尔可夫链a.马尔可夫链的基本定义和性质b.平稳分布和转移概率矩阵的计算c.马尔可夫链的应用以上是概率论的复习提纲，主要包括概率基本原理、随机变量与概率分布、大数定律与中心极限定理、统计推断与参数估计、贝叶斯统计与贝叶斯估计、随机过程与马尔可夫链等重要内容。
高一数学必修三概率复习总结
知识点：
1、 概率的意义 2、事件的关系和运算 3、概率的性质 4、古典概型 5、几何概型
概率的意义
概率是一个确定的数，与每次试验无 关。是用来度量事件发生可能性大小 的量。
注意：频率与概率联系与区别
频率本身是随机的，在试验前不能确 定。做同样次数的重复试验得到事件 的频率会不同。
频率是概率的近似值，概率是频率的 稳定值。
例5.甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等 一个小时后即离去设二人在这段 时间内的各时刻到达是等可能的 ，且二人互不影响。求二人能会 面的概率。
解： 以 X , Y 分别表示甲乙二人到
达的时刻，于是 0 X 5, 0 Y 5.
即 点 M 落在图中
的阴影部分。所有的 点构成一个正方形， 即有无穷多个结果。 由于每人在任一时刻 到达都是等可能的， 所以落在正方形内各 点是等可能的。
几何概型
1）几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件) 有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
2）在几何概型中,事件A的概率 的计算公式如下:
A)
构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
1、甲乙两人下棋，两人下成和棋
的概率是1/2，乙胜的概率是1/3，
解: 我们用a、b分别记八个队中的两个强队.
令C=“a队与b队分在同一组”，
则 C =“a队与b队不在同一组”.
a队与b队不在同一组，只能分成两种情况：
a队在第一组，b队在第二组，此时有C
3 6
·C
3 3
＝C
3 6
种分法；a队在第二组，b队在第一组，此
高一数学概率的基本性质
A，B是互斥（事件）
2、某人对靶射击一次，观察命中环数 A =“命中偶数环” B =“命中奇数环” C =“命中 0 数环”
A，B是互斥 事件
A，B是对立事件
3、某检查员从一批产品中抽取8件进行检查，观察 其中的次品数 记：A =“次品数少于5件” ; B = “次品数恰有2件”
C = “次品数多于3件” ; D = “次品数至少有1件” 试写出下列事件的基本事件组成：
3.1.3.2 概率的基本性质
事件 的关系 和运算
概率的 几个基 本性质
3.1.3 概率的基本性质
一、 事件的关系和运算
事件 关系
事件 运算
3.事件的并 (或和) 4.事件的交 (或积) 5.事件的互斥 6.对立事件
1、投掷一枚硬币，考察正面还是反面朝上。 A={正面朝上} ，B={反面朝上}
A，B是对立事件
3.1.3 概率的基本性质
二、概率的几个基本性质
（2）、当事件A与事件B互斥时，A∪B的频率 fn(A∪B)= fn(A)+ fn(B)
由此得到概率的加法公式： 如果事件A与事件B互斥，则 P（A∪B）=P（A）+P（B）
3.1.3 概率的基本性质
二、概率的几个基本性质
（3）、特别地，当事件A与事件B是对立事件时，有 P（A）=1- P（B）
A∪ B ， A ∩C, B∩ C ;
A∪B = A ( A,B 中至少有一个发生）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A∩C= “有4件次品”
B∩C =
3.1.3 概率的基本性质
二、概率的几个基本性质
（1）、对于任何事件的概率的范围是： 0≤P（A）≤1
其中不可能事件的概率是P（A）=0 必然事件的概率是P（A）=1
高一数学概率的基本性质
事件 的关系 和运算
概率的 几个基 本性质
3.1.3 概率的基本性质
一、 事件的关系和运算
事件 关系
事件 运算
3.事件的并 (或和) 4.事件的交 (或积) 5.事件的互斥 6.对立事件
1、投掷一枚硬币，考察正面还是反面朝上。 A={正面朝上} ，B={反面朝上}
A，B是对立事件
A∩C= “有4件次品”
B∩C =
3.1.3 概率的基本性质
二、概率的几个基本性质
（1）、对于任何事件的概率的范围是： 0≤P（A）≤1
其中不可能事件的概率是P（A）=0 必然事件的概率是P（A）=1
不可能事件与必然事件是一般事件的特殊情况
3.1.3 概率的基本性质
二、概率的几个基本性质
（2）、当事件A与事件B互斥时，A∪B的频率 fn(A∪B)= fn(A)+ fn(B)
求P（A∪B）
解法一： 因为P（A）=3/6=1/2，P（B）=3/6=1/2 所以P（A∪B）= P（A）+ P（B）=1
3、某检查员从一批产品中抽取8件进行检查，观察 其中的次品数 记：A =“次品数少于5件” ; B = “次品数恰有2件”
C = “次品数多于3件” ; D = “次品数至少有1件” 试写出下列事件的基本事件组成：
A∪ B ， A ∩C, B∩ C ;
A∪B = A ( A,B 中至少有一个发生）
A，B是互斥（事件）
2、某人对靶射击一次，观察命中环数 A =“命中偶数环” B =“命中奇数环” C =“命中 0 数环”
A，B是互斥 事件
A，Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对立事件
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【课程标准单元目标】
1、通过自然界和人类社会中的大量实际问题引出必然现象和随
机现象，为进一步的深入学习和研究随机事件的概率积累素
材。
2、了解随机事件发生频率的稳定性与概率的意义以及频率与概
率的区别。
3、初步学会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率。
4、通过实例了解互斥事件、对立事件的加法和实际意义，能够
根据互斥事件和对立事件的定义辨别一些事件是否是互斥、
是否对立。
5、培养用一分为二、对立统一的辩证唯物主义观点分析问题和
认识世界的能力。
【《课程考纲》解读】
1、在具体情景中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳
定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的联系与区
别。
2、通过实例，了解概率和两个互斥事件的概率的加法公式以
及对事件的概率公式，并能简单进行应用。
3、互斥事件的概率加法公式是概率论中的最基本的一个公
式，利用它解题体现了化整为零，化难为易的思想，对立
事件作为互斥事件的特殊情况，对于帮助学生逆向思考，
迂回前进求取概率有特殊的作用。
通过学习，体会数学思
维的严密性与灵活性，培养清晰有条理的思维表达能力，
提高分析问题解决问题的能力。
4、概率的实际应用是常见考题，正确理解概率的意义是求
解问题的基础。
【《课标》本节课学习要求】
1、通过实例，理解事件之间的关系与运算，会判断事件的
互斥与对立。
2、通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式，会用公
式解决简单问题。
【标准分解】
1、理解事件之间的关系与运算，会判断互斥与对立事件。
2、了解概率互斥事件的概率加法公式，会用公式解决简单的问
【教学目标】
根据课程标准，依据教材内容和学生情况，确定本课时的教学目标1、学生从实例中发现事件之间的关系，并类比集合的知识理解事
件之间的关系，在解决问题的过程中会判断事件的互斥与对立。
2、引导学生类比频率的性质得出概率的性质，通过实例了解概率
的加法公式，并在解决问题过程中明确解题思路与步骤。
探究过程
一、事件的关系与运算
在掷骰子试验中，我们可以定义许多事件：
C1＝｛出现1点｝，C2＝｛出现2点｝，C3＝｛出现3点｝，C4＝｛出现4点｝，
C5＝｛出现5点｝，C6＝｛出现6点｝，D1＝｛出现的点数不大于1｝，
D2＝｛出现的点数大于3｝，D3＝｛出现的点数小于5｝，E＝｛出现的点数小于7｝，F＝｛出现的点数大于6｝，G＝｛出现的点数为偶数｝，H＝｛出现的点数为奇数｝…... 问题1：若事件C1＝｛出现1点｝发生，事件H＝｛出现的点数为奇数｝一定发生吗？
问题2：在上述事件中还有哪些事件与事件C1具有包含关系？
问题3：事件C1＝｛出现1点｝与事件D1＝｛出现的 点数不大于1｝有何关系?
问题4：结合上述探究过程，请同学们用自己的语言尝试给出事件包含关系与事件相等的概念。
问题5: 请类比集合的知识用Venn 图表示事件的包含与相等关系？试着画出来。
问题6: 类比集合，下列符号分别表示什么事件？尝试用Venn 图来表示事件的运算
A ∪
B B A
请找出上述事件中的321c c c ，G D 3,H G 的并事件和
4132D D H G C C ，，的交事件。
问题7：观察上述的交事件有什么不同？
问题8：上述事件中还有哪些是互斥事件？推广：如果事件A 1，A 2，…，An 中的任何两个都互斥，就称事件A 1，A 2，…，An 彼此互斥，从集合角度看，n 个事件彼此互斥是指各个事件所含结果的集合彼此不相交．
问题9：G ∪H 的并事件，与C1∪C4的并事件又有什么不同？
问题10：请找出还有哪些事件是对立事件，它与集合中的什么运算相对应？
巩固练习
判断下列事件是互斥还是对立
1、某人对靶射击一次， A ={中靶} ，B={没中靶} 事件A 与B
2、某人对靶射击一次， A =“命中偶数环” B =“命中奇数环” C =“没中靶 ”
事件A与B
3、某射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环．
事件A与事件C；事件B与事件C；事件C与事件D
问题11：结合上述习题，试着总结互斥事件与对立事件有何区别和联系？
二、概率的性质
1、在每次试验中，必然事件一定发生，它的频率为1，它的概率为多少
2、在每次试验中，不可能事件的频率为0，它的概率为多少?
3、任何事件的频率总是小于或等于试验的次数，所以频率在0到1之间，它的概率范围是多少?
思考1：1）如果事件A与事件B互斥，则事件A∪B发生的频数与事件A、B发生的频数有什么关系？
2）fn(A∪B)与fn(A)、fn(B)有什么关系？
3）进一步得到P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？
思考2：如果事件A与事件B互为对立事件，则P(A∪B)的值为多少？P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？由此可得什么结论？
例题如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A)的概率是1/4，取到方块(事件B)的概率是1/4. 求：
(1)取到红色牌(事件C)的概率;
(2)取到黑色牌(事件D)的概率.
练习：甲、乙两人下棋，和棋的概率为0.5，乙胜的概率为0.3，求:（1）甲胜的概率；（2）乙不输的概率。
课外拓展：
1、P（A∪B）=P（A）+P(B)，A与B一定互斥吗？
2、P（A）+P(B)=1，A与B一定对立吗？
3、若A与B不互斥，如何求P（A∪B）的概率？。