相似三角形解题技巧及口诀B

-相似三角形解题技巧及口诀－－-B

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相似三角形解题技巧及口诀

常见相似类型:

A 字形,斜A 字形，8字形、斜8字形（或称X 型),双垂直（母子型),,旋转形

【双垂直结论，即直角三角形射影定理】：

【1】直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;

【2】 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

（1）ACD ∽△ＣDB →ＡＤ:CD=CD:ＢD →CD ²=AD •BD

⑵ △ACD ∽△ABC →A Ｃ:AB ＝AD:AC →AC ²=A Ｄ•A Ｂ

（3）C ＤB ∽△ＡＢC →ＢC:AC=BD ：BC →BC ²=B Ｄ•AB

结论:⑵÷⑶得A Ｃ²:BC ²=AD:BD

结论:面积法得AB •CD=AC •ＢC →比例式

【证明等积式（比例式)策略】:

１、直接法:找同一三角形两条边

变化：等号同侧两边同一三角形， 三点定形法

2、间接法：

对线段比例式或等积式的证明：常用等线段替换法、中间比过渡法、面积法等.若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时,应将线段比“转移”（必要时需添辅助线),使其分别构成两个相似三角形来证明.

⑴３种代换 ①等线段代换; ②等比代换； ③等积代换;

⑵创造条件 ①添加平行线——创造“Ａ”字型、“8”字型

②先证其它三角形相似——创造边、角条件

相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比

【口诀】： 遇等积,化比例,同侧三点找相似；四共线，无等边，射影平行用等比

;

四共线,有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边;

彼相似,我角等，两边成比边代换。

或：

遇等积，改等比，横看竖看找关系；遇等积,化比例:横找竖找定相似;

不相似，不用急：等线等比来代替;三点定形用相似,三点共线取平截；

平行线,转比例，等线等比来代替;

☞遇等积,改等比,横看竖看找关系

①△A ＢC 中,A Ｂ=A Ｃ，△D ＥF 是等边三角形，求证:B Ｄ•C Ｎ=BM•CE.

②等边三角形ABC 中，P 为ＢC 上任一点,ＡP 的垂直平分线交AB 、ＡC 于Ｍ、Ｎ两点。求证：BP •ＰC=BM •CN

ﻫ

ﻫ

☞斜边上面作高线,比例中项一大片

Rt △A ＢC 中，∠BA Ｃ=90°，A Ｄ⊥ＢC 于D,E 为AC 的中点，求证：ＡB •ＡF=AC

B C A D E

•DＦ

分析:比例式左边AＢ，AＣ在△ABC中,右边DＦ、ＡＦ在△ADＦ中,这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换。通过证明两对三角形相似证得结论。

☞有射影

,

或平行，等比传递我看行

①ABCD中,AC是平行四边形ABCD的对角线G是ＡD延长线上的一点,BG交AC于Ｆ，交CD于E,

②梯形ABCＤ中，ＡＤ//BC，作BE／/ＣD,求证:ＯC²=ＯA·OE,

☞四共线，看条件，其中一条可转换;

Rt△ABC中四边形DEＦG为正方形。求证：ＥF²=ＢE•FC

②△AＢＣ中,AB=AC,ＡD是ＢC边上的中线，CF∥BA，求证：BＰ²=PE·PF。

。

③ＡD是△ABＣ的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于E，交ＡB于F.求证:DＥ²=BE·CE.

☞两共线，上下比，过端平行条件边。

12

F

E

D

B C

A

引平行线应注意以下几点：

1)选点:一般选已知(或求证）中线段的比的前项或后项，在同一直线的线段的端点作为引平行线的点。

2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。

AD 是△ABC 的角平分线.求证：A Ｂ：AC=BD:CD.

②在△A ＢC 中,AB>AC ，Ｄ为AB 上一点，E 为AC 上一点,A Ｄ=AE ，直线DE 和B Ｃ的延长线交于点P,求证:BP:CP ＝BD:C Ｅ.

③在△A ＢC 中，BF 交AD 于Ｅ. （1)若AE:E Ｄ=2:3,B Ｄ:D Ｃ=３：２,求AF ：F Ｃ （２)若AF:F Ｃ=2：７,ＢD ：DC=4:3,求ＡE:E Ｄ (3）BD:CD=2：3, AE ：E Ｄ＝3:４ ,求AF:FC

④在△ＡBC 中,P 、Q 分别为BC 的三等分点,ＡC 边上的中线BM 交AP 于D,交AQ 于Ｅ，若BM ＝10cm,试求BD 、DE 、EM 的长

.

☞彼相似,我条件，创造边角再相似

P D

A

B C

E E

A

B C D F 321E D A

B C

①ＡE ²＝AD·ＡB ，且∠ABE=∠BC Ｅ，试说明△E ＢC ∽△D Ｅ

B.

②已知ABD ∆∽ACE ∆，求证:ABC ∆∽ADE ∆.

③D 为△A ＢＣ内一点，连接ＢD 、ＡＤ，以BC 为边在△A ＢC 外作∠CB Ｅ＝∠ＡBD,∠BC Ｅ=∠B ＡＤ，求证：△DB Ｅ∽△ABC 。

④D 、E 分别在△AB Ｃ的ＡＣ、ＡB 边上，且AE •ＡB=AD •AC,BD 、C Ｅ交于点O.求证:△BOE ∽△ＣOD .

ﻩ

O C D B A E

巧求三角形中线段的比值 例１. 如图1，在△A ＢＣ中，ＢD ：ＤC ＝1：3,ＡE:ED=2:3，求ＡF:FC 。

解:过点D 作DG//AC,交ＢF 于点Ｇ

所以DG ：FC=BD:BC

因为ＢＤ:DC=1:3 所以ＢD:B Ｃ=１:4

即DG:FC ＝1：4，FC=４ＤＧ

因为DG ：AF ＝DE:AE 又因为AE:E Ｄ=2:3

所以DG ：AF=3:2

即

所以AF ：ＦC ＝：4DG ＝1：６

例2． 如图2，BC=CD,A Ｆ=FC ，求EF ：FD 解:过点C 作CG ／/D Ｅ交AB 于点G,则有EF:GC=ＡF ：A Ｃ

因为AF ＝ＦC 所以AF ：AC ＝1:2

即EF ：GC=1:2，

因为CG ：DE=BC:BD 又因为ＢC=ＣD

所以ＢＣ：BD ＝１:２ ＣG:ＤＥ＝1：2 即ＤＥ=2ＧC

因为FD=ED-EF= 所以E Ｆ:F Ｄ=

小结:以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处,且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请练习下面3题,让我们感受其中的奥妙！

练习：

在△A ＢC 中,BF 交AD 于Ｅ．

(1)若A Ｅ:ED ＝2:3，BD:DC ＝３:2,求AF:FC

(2)若ＡF:F Ｃ=２:7,BD:D Ｃ=4：３,求AE:ED

(3)ＢD:C Ｄ=2:３, AE:ED=3：４ ，求ＡF:FC

E

A B C D F E A

B C D F E

A B C D F