曲线曲面
曲线曲面基本理论
02
曲面理论
曲面的定义与表示
总结词
曲面是由三维空间中连续变化的点组成的几何体，可以用参数方程或显式方程表 示。
详细描述
曲面是几何学中的基本概念之一，它是由三维空间中连续变化的点组成的几何体 。曲面可以用参数方程或显式方程来表示，其中参数方程通常包含两个参数，而 显式方程则通过一个方程式表示曲面上所有点的坐标。
迹形成的新的保持了曲面的几何属性，如面积、形状等，同时受到曲线
形状和位置的影响。
应用场景
03
在计算机图形学、动画制作等领域中，投影是常用的技术手段，
用于将一个几何对象映射到另一个几何对象上。
曲线与曲面之间的变换关系
变换定义
曲线与曲面之间的变换是指通过一系列的几何变换（如平移、旋 转、缩放等），将一个几何对象转换为另一个几何对象。
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曲线曲面基本理论
目 录
• 曲线理论 • 曲面理论 • 曲线与曲面的关系 • 曲线曲面在几何图形中的应用 • 曲线曲面在物理中的应用
01
曲线理论
曲线的定义与表示
总结词
曲线的定义是指在一个平面或空间中，由一个点按照某种规律沿着确定的方向移动所形成的轨迹。曲线的表示方 法有多种，包括参数方程、直角坐标方程和极坐标方程等。
详细描述
参数方程的一般形式为 x=x(t), y=y(t), 其中 t 是参数。通过参数方程，我们可 以方便地描述曲线的形状和大小，例如曲线的长度、曲率、挠率等。此外，参 数方程还可以方便地表示曲线的旋转和对称性。
曲线的几何性质
要点一
总结词
曲线的几何性质是指曲线本身所具有的特性，包括曲线的 长度、曲率、挠率、渐近线等。这些性质可以通过参数方 程或直角坐标方程等表示方法方便地计算和描述。
图形学第6章曲线曲面
P(0) 2 2 1 P(1) 3 3 2 p(0) 0 0 1 p' (1) 1 0 0
1 P(0) P(1) 1 M h Gh 0 p(0) 0 p' (1)
x(t ) p(t ) y (t ) t n z (t )
a n t 1 a1 a0
cn T C b1 c1 b0 c0 bn
t [0,1]
将边界条件带入该矩阵方程，得
C Ms G
Q(0) P(1)
几何连续性
0阶几何连续性：与0阶参数连续性相同.是指曲线的几何位 置连接，即
p(1) Q(0)
1阶几何连续性：是指一阶导数在相邻段的交点处成比例， 则相邻曲线段在交点处切向量的大小不一定相等。
p (1) Q(0)
2阶几何连续性：是指在相邻段的交点处一阶、二阶导数均 成比例，则相邻曲线段在交点处曲率相等。
要设置足够的边界条件来得到所有系数的值。
描述参数曲线的边界条件有： 端点位置矢量、端点切线矢量、曲率等。对三次参数曲线， 用其端点矢量P(0),P(1).端点切线矢量
则三次Hermite样条曲线：
p (0), p(1)
p(t ) [t 3 t 2
ax b x t 1] cx d x
a y az a b b y bz 3 2 [t t t 1] T C c y cz c dy dz d
对上式求导，得
p(t ) [3 t 2 2t a b 1 0] c d
将边界条件代入，得
曲线与曲面的参数方程
曲线与曲面的参数方程曲线与曲面是数学中的基本概念，它们在几何学、物理学和工程学等领域中有着重要的应用。
本文将介绍曲线与曲面的参数方程，以及它们在实际问题中的应用。
一、曲线的参数方程曲线是平面或空间中的一条连续的线段，它可以用参数方程来表示。
参数方程是指将曲线上的点的坐标用参数表示，而不是直接用坐标表示。
对于二维平面曲线，参数方程通常形式为：x = f(t)y = g(t)其中，t为参数，f(t)和g(t)是与参数t有关的函数。
通过不同的参数t取值，可以得到曲线上的各个点，从而描述整个曲线。
举个例子，考虑单位圆的参数方程。
圆的方程为x² + y² = 1，而参数方程为：x = cos(t)y = sin(t)其中，参数t的取值范围为0到2π。
当t取0时，x = cos(0) = 1，y= sin(0) = 0，即得到圆的右端点；当t取π/2时，x = cos(π/2) = 0，y =sin(π/2) = 1，即得到圆的上端点；依此类推，当t取2π时，又得到圆的右端点，从而完成了整个圆的参数方程描述。
二、曲面的参数方程曲面是空间中的一片连续的平面区域，它可以用参数方程来表示。
参数方程是指将曲面上的点的坐标用参数表示，而不是直接用坐标表示。
对于三维空间中的曲面，参数方程通常形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，u和v为参数，f(u, v)、g(u, v)和h(u, v)是与参数u和v有关的函数。
通过不同的参数u和v的取值，可以得到曲面上的各个点，从而描述整个曲面。
举个例子，考虑球面的参数方程。
球面的方程为x² + y² + z² = r²，而参数方程为：x = r sinθ cosφy = r sinθ sinφz = r c osθ其中，r为球的半径，θ为极角，范围是0到π，φ为方位角，范围是0到2π。
计算机图形学曲线和曲面
曲线构造方法
判断哪些是插值、哪些是逼近
曲线构造方法
插值法
线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用 线形函数 ：y=ax+b，近似代替f(x)，称为的线性插值函 数。
插值法
抛物线插值(二次插值):
已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造 函数 ￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相 等。
曲线曲面概述
自由曲线和曲面发展过程
自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们 用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊 的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形 为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的 形状，则沿样条绘制曲线。
5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。 这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于 建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有 可能引起曲线形状复杂的变化。
因此，实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线，如： 二次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3
a3
1 0] a2 a1 a0
三次参数样条曲线
P(k) a3 0 a2 0 a1 0 a0 P(k 1) a3 1 a2 1 a1 1 a0 P '(k) 3a3t2 2a2t a1 a1 P '(k 1) 3a3 2a2 a1
P0 0 0 0 1 a3
[建筑制图官方课件] 曲线和曲面
![[建筑制图官方课件] 曲线和曲面](https://img.taocdn.com/s3/m/2f5f92d6b14e852458fb5795.png)
第六章曲线和曲面§6-1曲线§6-2曲面的形成§6-3回转面§6-4非回转直纹曲面§6-5平螺旋面曲线的投影特性曲线由点运动而形成，分为平面曲线和空间曲线两大类。
凡曲线上所有点都在同一平面上的，称为平面曲线。
凡曲线上四个连续的点不在同一平面上的，称为空间曲线。
⒈曲线的割线和切线与曲线相交于两个点的直线，称为曲线的割线。
如图所示，割线CD与曲线AB相交于K、G两点。
进行投射时，割线的投影cd必与曲线的投影ab 交于K、G 两点的投影k和g。
当割线CD 绕其中一交点K转动并始终与曲线AB接触时，另一交点G 便沿着曲线经G１逐渐接近点K，最后与点K重合。
此时割线CD 变为切线EF，与曲线AB相切于点K。
它们的投影也从割线cd变为切线ef，与ab 相切于点k。
⒉曲线的交点和重影点曲线本身、或曲线与直线、或两曲线在某一点处相交，其投影也在该交点的投影处相交。
圆柱螺旋线当一个动点M 沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它平行的一轴线O 等速旋转，动点的轨迹是一根圆柱螺旋线。
直线旋转时形成一个圆柱面，圆柱螺旋线是该圆柱面上的一根空间曲线。
当直线旋转一周，回到原来位置时，动点M 移到位置M 1，在该直线上移动的距离MM 1，称为螺旋线的导程，以Ph 标记。
只要给出圆柱的直径Φ 、螺旋线的导程Ph 以及动点移动的方向，就能确定该圆柱螺旋线的形状。
M ●M 1●导程圆柱螺旋线OO§6-2曲面的形成圆柱面的形成圆锥面的形成球面的形成曲面是由直线或曲线在一定约束条件下运动而形成。
这根运动的直线或曲线，称为曲面的母线。
母线运动时所受的约束，称为运动的约束条件。
由于母线的不同，或者约束条件的不同，形成不同的曲面。
只要给出曲面的母线和母线运动的约束条件，就可以确定该曲面。
§6-3 回转面某由直母线或曲母线绕一轴线旋转而形成的曲面，称为回转面。
圆柱面例【教材例6-2】给出圆柱面上点A 的V 投影a′，求作它的其余两投影。
曲面与曲线知识点总结
曲面与曲线知识点总结一、曲线与曲面的基本概念曲线是在平面上的点按照特定的规则所组成的图形，而曲面则是在三维空间内的点按照特定的规则所组成的图形。
在数学上，我们可以用函数来描述曲线和曲面，从而研究它们的性质和特点。
1.1 曲线的性质曲线可以是直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等不同类型的图形。
我们可以通过曲线的方程以及参数方程来描述它的形状和位置。
曲线的长短、曲率、切线、法线等性质对于描述曲线的形态和特点至关重要。
1.2 曲面的性质曲面可以是球面、圆柱面、圆锥面、双曲面、抛物面等不同类型的图形。
我们可以用二元函数或者参数方程来描述曲面的形状和位置。
曲面的曲率、切线、法线等性质是研究曲面形态的重要工具。
1.3 直角坐标系和参数方程在研究曲线和曲面的性质时，我们可以使用直角坐标系、参数方程和极坐标系等不同的数学工具来描述它们的形态和位置关系。
不同的描述方法可以帮助我们更好地理解曲线和曲面的性质。
二、曲线的方程与性质曲线方程是研究曲线性质的重要工具，通过曲线方程我们可以得到曲线的形状、位置、长度、曲率等重要信息。
2.1 一元曲线的方程一元曲线的方程可以用直角坐标系的方程或者参数方程来表示。
常见的一元曲线包括直线、圆和椭圆、抛物线、双曲线等。
这些曲线都有各自的特点和性质，通过曲线方程我们可以了解它们的形状和位置关系。
2.2 二元曲线的方程二元曲线的方程可以用参数方程或者隐式方程来表示。
常见的二元曲线包括螺线、双曲线、阿基米德螺线等。
通过曲线方程我们可以了解二元曲线的性质和特点。
2.3 曲线的性质曲线的性质包括长度、曲率、切线、法线等重要内容。
通过曲线方程和导数的求解，我们可以求得曲线的长度、曲率和切线、法线等相关信息，从而了解曲线的形态和特点。
三、曲面的方程与性质曲面方程是研究曲面性质的重要工具，通过曲面方程我们可以得到曲面的形状、位置、曲率等重要信息。
3.1 一元曲面的方程一元曲面的方程可以用隐式方程或者参数方程来表示。
曲线与曲面方程
曲线与曲面方程曲线和曲面方程是数学中重要的概念，在几何学和微积分等领域有着广泛的应用。
本文将介绍曲线和曲面的定义、方程表示以及一些常见的曲线和曲面方程。
一、曲线的定义与方程表示在数学中，曲线可以简单地理解为平面或者空间中的一条连续路径。
曲线可以曲折、弯曲，也可以是直线。
曲线方程的表示方法有多种，下面将介绍常见的几种方式。
1. 参数方程参数方程是曲线方程的一种表示方法，通过指定一个或多个参数来描述曲线上的点。
例如，一个二维平面上的曲线可以用参数 t 来表示：x = x(t), y = y(t)。
通过改变参数 t 的取值范围，可以得到曲线上的各个点。
2. 一般方程一般方程是将曲线上的点的坐标表示为自变量的方程。
例如，平面上的一般曲线方程可以写成 F(x, y) = 0 的形式，其中 F(x, y) 是一个多项式函数。
该方程表示了所有满足条件 F(x, y) = 0 的点构成的曲线。
3. 极坐标方程极坐标方程是一种用极坐标来表示曲线的方程。
在极坐标系中，点的位置由距离和角度来确定。
例如，极坐标方程r = f(θ) 可以表示一个极坐标下的曲线。
二、常见的曲线方程在数学中，有许多重要的曲线方程，这里将介绍几个常见的曲线。
1. 直线方程直线是最简单的曲线形式，其方程可以用一般方程表示为 Ax + By+ C = 0，其中 A、B、C 是常数。
2. 抛物线方程抛物线是一类曲线，其方程可以用一般方程表示为 y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是常数。
3. 椭圆方程椭圆是一个闭合曲线，其方程可以用一般方程表示为 (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中 (h, k) 是椭圆的中心坐标， a、b 分别是椭圆的长短半轴。
4. 双曲线方程双曲线也是一个开口的曲线，其方程可以用一般方程表示为 (x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中 (h, k) 是双曲线的中心坐标， a、b 分别是双曲线的长短半轴。
微分几何中的曲线与曲面
微分几何中的曲线与曲面微分几何是现代数学的重要分支之一，研究的对象是曲线和曲面。
曲线与曲面是微分几何的基础概念，本文将通过介绍曲线和曲面的定义、性质和应用等方面，探讨微分几何中的曲线与曲面。
一、曲线的定义与性质在微分几何中，曲线是指一条连续的路径，可以用数学模型来描述。
常用的曲线方程有参数方程、隐式方程和显式方程等形式。
1. 参数方程曲线的参数方程形式为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中t是参数，f(t)、g(t)和h(t)是关于t的函数，描述了曲线在坐标系中的运动轨迹。
参数方程形式的优点是能够较清晰地表示曲线的几何特性。
2. 隐式方程曲线的隐式方程形式为：F(x, y, z) = 0其中F是关于x、y、z的函数。
隐式方程描述了曲线上的点满足的方程，通过求解该方程可以确定曲线的位置。
隐式方程形式的优点是能够在一定程度上简化计算。
3. 显式方程曲线的显式方程形式为：z = f(x, y)其中f是关于x、y的二元函数。
显式方程描述了曲线在平面上的投影，可直观地展示曲线的形状和特征。
曲线的性质包括长度、弧长、切线、曲率等。
长度是曲线上两点之间的距离，弧长是曲线上一部分的长度。
切线是曲线某一点处与曲线相切的直线，切线的方向与曲线在该点的切向量方向一致。
曲率是描述曲线的弯曲程度的量，曲率越大，曲线越弯曲。
二、曲面的定义与性质曲面是三维空间中的二维对象，可以用数学模型来描述。
常用的曲面方程有参数方程和隐式方程等形式。
1. 参数方程曲面的参数方程形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中u和v是参数，描述了曲面在坐标系中的位置。
参数方程形式的优点是能够较清晰地表示曲面的几何特性。
2. 隐式方程曲面的隐式方程形式为：F(x, y, z) = 0其中F是关于x、y、z的函数。
隐式方程描述了曲面上的点满足的方程，通过求解该方程可以确定曲面的位置。
隐式方程形式的优点是能够在一定程度上简化计算。
曲面和曲线
5.2 曲线分析
1）曲线上的活动坐标架
设曲线为P(t)=[x(t), y(t), z(t)]，则：
切矢量：P’(t)（当t为弧长时是单位矢），单位切矢记为T。 法矢量：
过曲线上任意一点，以切矢为法线的平面称为法平面。 主法矢：当以弧长为参数时，切矢的导矢是一个与切矢垂直的矢量，其单位矢 称为主法矢，记为N。 副法矢（记为B）B=T×N
左旋右旋螺旋线示例
当导圆柱轴线直立时，右旋螺旋线的可 见部分自左向右升高（图a）；左旋螺旋线 则自右向左升高（图b）。
5.4 曲线的插值、逼近与拟合
插值：给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造 一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数 据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。 逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的 数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造 的曲线称为逼近曲线。 拟合：插值与逼近统称为拟合。
4）Bezier曲线的递推算法
计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但 使用de Casteljau（德 卡斯特里奥）提出的递推算法 则要简单得多，递推公式：
上式中：Pi0=Pi是定义Bezier曲线的控制点，P0n即 为曲线P(t)上具有参数t的点，(i+k)=n 。 几何递推：给定参数t∈[0,1]，就把定义域分成长 度为t:(1-t)的两段。依次对原始控制多边形每一边执行 同样的定比分割，所得分点就是第一级递推生成的中间 顶点Pi1(i=0,1,...,n-1)，对这些中间顶点构成的控制多边 形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点 Pi2(i=0,1,...,n-2)。重复进行下去，直到n级递推得到一 个中间顶点P0n即为所求曲线上的点P(t)。
2）Betnstein基函数的性质 ：
第四章曲线与曲面
圆柱表面取点
c' a'
素线法
(c") a"
(b' )
b"
b
a
c
圆柱面上线段的投影
a' 1' c' 2' b' b'' a'' 1'' c'' 2''
(b) 2 c
1
a
2.圆锥面
土木工程制图
圆锥由圆锥面和底面 组成。 圆锥面可看成是由直线 SA绕与它相交的轴线OO1 旋转形成的。 S称为锥顶，直线SA 称为母线。 圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。
4.3 回转面
土木工程制图
从控制条件上说，由母线绕一固定的轴线旋
转生成的曲面称为回转面，该固定轴线称为旋转
轴。例如圆柱面、圆锥面，只能由曲母线旋转生
成的称为旋转曲线面，例如球面、圆环面等。
土木工程制图
回转轴线
上底圆
喉圆
a) 立体图
转向轮廓线 素线 下底圆
纬圆
赤道圆
土木工程制图
b) 投影图
一、圆柱面
(b) 投影图
纬圆法
土木工程制图
s
s
S
(k)
k s
(k)
如何取圆的半径？
圆锥面上线段的投影
a' c' e' e" c"
d'
d"
b'
c d b
e
a
三. 球面 1.球面的投影图
圆球面：是由一圆母线以 它的直径为回转轴旋转而 成。
土木工程制图
空间几何中的曲线与曲面
空间几何中的曲线与曲面在空间几何中，曲线与曲面是两种重要的几何对象，它们在数学和物理学等领域中起着至关重要的作用。
本文将从定义、性质和应用等方面，探讨空间几何中的曲线与曲面。
一、曲线的定义与性质曲线是平面或空间中的一条连续有限点集。
在三维空间中，我们常见的曲线有直线、圆、椭圆等。
根据曲线的性质，可以将曲线分为开放曲线和闭合曲线两种。
开放曲线是指起点和终点不重合的曲线，例如直线。
闭合曲线是指起点和终点相重合的曲线，例如圆。
曲线的性质还包括曲率、切线、法线等。
曲线的曲率描述了曲线在某一点上的弯曲程度，切线是曲线在该点的切线方向，法线是曲线在该点的垂直于切线的方向。
二、曲线的应用曲线在现实生活中有着广泛的应用。
在物理学中，曲线被用于描述物体的运动轨迹。
例如，当我们研究一个抛体运动时，可以利用曲线来描述物体的运动轨迹，并通过曲线的方程来计算物体在不同时刻的位置和速度。
另外，在工程学和建筑学中，曲线也被广泛应用。
例如，在桥梁的设计中，曲线可用于描述桥梁的拱形结构，以提供更好的力学性能和美观性。
三、曲面的定义与性质曲面是空间中的一条连续无限点集，它可以由曲线沿某一方向无限延伸形成。
常见的曲面有球面、圆柱面、抛物面等。
曲面的性质包括曲率、切平面、法线等。
曲面的曲率描述了曲面在某一点上的弯曲程度，切平面是曲面在该点的切平面，法线是曲面在该点的垂直于切平面的方向。
四、曲面的应用曲面在科学研究和实际应用中也具有重要意义。
在物理学中，曲面被广泛应用于描述物体的形状和表面特性。
例如，在天文学中，天体的形状可以用曲面来描述，从而帮助我们研究它们的运动规律和属性。
另外，在工程学和设计领域，曲面也有广泛的应用。
例如，在造船工程中，曲面可以用于描述船体的外形，从而优化船体结构和流体力学性能。
总结空间几何中的曲线与曲面是空间中重要的几何对象，它们在数学和物理学等学科中具有广泛的应用价值。
通过对曲线与曲面的定义、性质和应用的讨论，我们可以更好地理解和应用空间几何中的曲线与曲面。
高中数学中的曲线与曲面的联系与解析
高中数学中的曲线与曲面的联系与解析数学是一门抽象而又实用的学科，它的应用范围广泛，其中曲线与曲面是数学中的重要概念。
在高中数学中，我们学习了曲线与曲面的基本性质和解析方法，它们之间存在着紧密的联系。
本文将从几何和代数两个方面来探讨高中数学中的曲线与曲面的联系与解析。
一、几何视角下的曲线与曲面在几何视角下，曲线与曲面是我们研究的对象。
曲线是一个平面上的点按照一定规律排列而成的集合，它可以是直线、圆、椭圆等等。
而曲面则是一个空间中的点按照一定规律排列而成的集合，它可以是平面、球面、柱面等等。
曲线与曲面之间存在着密切的联系。
例如，我们可以通过将一个平面上的曲线绕着某个轴旋转而得到一个曲面。
这种曲面叫做回转曲面，它的形状与原曲线有密切的关系。
又如，我们可以通过将一个平面上的曲线进行拉伸而得到一个曲面。
这种曲面叫做拉伸曲面，它的形状也与原曲线有密切的关系。
二、代数视角下的曲线与曲面在代数视角下，曲线与曲面是我们通过方程来描述的对象。
通过方程，我们可以用代数的方法来研究曲线与曲面的性质。
曲线的方程通常是一元方程，而曲面的方程通常是二元方程。
例如，一元二次方程y=ax^2+bx+c描述了平面上的抛物线，而二元二次方程z=ax^2+by^2+cz描述了三维空间中的椭球面。
通过解析方法，我们可以求解曲线与曲面的性质。
例如，我们可以通过求解曲线与坐标轴的交点来确定曲线的截距。
又如，我们可以通过求解曲面的方程来确定曲面的类型和性质。
三、曲线与曲面的应用曲线与曲面的研究不仅仅是为了满足数学的抽象需求，它们在现实生活中也有着广泛的应用。
在物理学中，曲线与曲面的研究是描述物体运动和力学性质的基础。
例如，通过研究抛物线的轨迹，我们可以了解抛体运动的规律。
又如，通过研究球面的几何性质，我们可以了解球体的体积和表面积。
在工程学中，曲线与曲面的研究是设计和制造工艺的基础。
例如，在建筑设计中，我们需要研究曲线的形状和曲面的结构，以确定建筑物的外形和内部空间。
第七章 曲线与曲面
4.2.3 双曲抛物
一直母线沿着两条相错的直导线运动， 一直母线沿着两条相错的直导线运动，并 始终与一导平面平行，即形成了双曲抛物面 始终与一导平面平行，即形成了双曲抛物面 。 双曲抛物面的相邻两素线为相错直线， 双曲抛物面的相邻两素线为相错直线， 所以是不可展曲面 所以是不可展曲面 。 双曲抛物面上有两个直素线族， 双曲抛物面上有两个直素线族，而且相应 地有两个导平面 这两个导平面的交线（ 轴 两个导平面。 地有两个导平面。这两个导平面的交线（OZ轴） 轴线。 即为该曲面的轴线 若两个导平面相互垂直， 即为该曲面的轴线。若两个导平面相互垂直， 则称为正双曲抛物面 否则称为斜双曲抛物面 正双曲抛物面， 斜双曲抛物面。 则称为正双曲抛物面，否则称为斜双曲抛物面。
§4 直线面
4.1 可展直线面 4.1.1 柱 面 一直母线沿曲导线运动且始终平行 于另一直导线而形成的曲面称为柱面 柱面。 于另一直导线而形成的曲面称为柱面。 柱面的相邻两素线为平行直线， 柱面的相邻两素线为平行直线，位 可展曲面。 于同一平面内，所以是可展曲面 于同一平面内，所以是可展曲面。
作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线， 作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线， 导线 必要时还要画出若干素线及其曲面的 面迹线。 若干素线及其曲面的H面迹线 必要时还要画出若干素线及其曲面的 面迹线
方法一： 方法一：利用平面上投影面平行线及最大 斜度线，确定长、 斜度线，确定长、短轴的方向与大小 。
方法二：利用投影变换法求椭圆长、 方法二：利用投影变换法求椭圆长、短轴
§３ 曲面概述
3.1 曲面的形成
曲面可以看作是一条线 直线或曲线） 可以看作是一条线（ 曲面可以看作是一条线（直线或曲线）在空 连续运动所形成的轨迹， 间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹 间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹， 或者说曲面是运动线所有位置的集合 。 如图所示曲面， 如图所示曲面， 是由AA 沿着曲线 是由 １沿着曲线 运动且在运动 ABC运动且在运动 中始终平行于直线 中始终平行于直线 MN所形成的。 所形成的。 所形成的 AA１称为母线。 称为母线。
解析几何中的曲线和曲面性质
解析几何中的曲线和曲面性质曲线和曲面是解析几何中的两个基本概念，它们对于几何图形的理解和探究都有着重要的作用。
在本文中，我们将对曲线和曲面的性质进行一些探讨和解析。
一、曲线的性质曲线是平面上的一条连续曲线，可以用一元函数方程、参数方程或者极坐标方程来表示。
下面，我们将对曲线的一些常见性质进行分析。
1. 曲线长度曲线长度是曲线上所有点的连续线段长度之和，也是曲线的重要性质之一。
对于参数方程为x=f(t), y=g(t)的曲线C，它的长度可以用定积分来计算，公式如下：L = ∫sdt =∫a↑b，[f′(t)2 + g′(t)2]1/2 dt2. 曲率曲率是反映曲线曲弯程度的量，是解析几何中的重要概念。
对于参数方程为x=f(t), y=g(t)的曲线C，在一点P处的曲率可以用以下公式表示：k = [f′(t)g′′(t) - f′′(t)g′(t)] / [(f′(t)2 + g′(t)2) 3/2]其中，t是以P为中心的弧长参数。
曲率越大，曲线就越曲。
3. 弧长测度弧长测度是曲线上任意一段弧的长度。
当曲线长度可积时，它的弧长测度可以通过定积分来计算。
4. 曲线的凹凸性曲线的凹凸性是指曲线弯曲方向的改变。
如果在曲线上任意一点，从该点往前看曲线弯曲的方向和从该点往后看曲线弯曲的方向相同，则该曲线是凸的。
相反，如果方向不同，则该曲线是凹的。
5. 曲线的对称性在解析几何中，曲线的对称性也是一个重要的性质。
如果将曲线沿着某些特定的线或点对称，得到的新曲线仍然和原曲线完全一致，那么这个曲线就是对称的。
常见的对称形式包括轴对称、中心对称和旋转对称等。
二、曲面的性质曲面是三维空间中的连续曲面，可以用一元函数方程、参数方程或者隐式方程来表示。
下面，我们将对曲面的一些常见性质进行分析。
1. 曲面的一般方程曲面可以用一元函数方程描述为z=f(x,y)，也可以用参数方程描述为x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)，或者用隐式方程描述为F(x,y,z)=0。
几种常见的曲面和曲线
几种常见的曲面和曲线曲面和曲线在数学中广泛应用，其种类也多种多样。
本文将介绍几种常见的曲面和曲线。
1.圆锥曲线圆锥曲线是由一个固定点（焦点）和一条固定直线（直母线）构成的曲线。
圆锥曲线包括圆、椭圆、抛物线和双曲线四种形式。
圆是一种特殊的圆锥曲线，其焦点和直母线相等。
椭圆是焦点离直母线较远的圆锥曲线，其形状类似于延伸的圆。
抛物线是焦点在直母线上方的圆锥曲线，其形状类似于一个开口向上的碗。
双曲线是焦点离直母线较近的圆锥曲线，其形状类似于两个对称的开口向外的碗。
2.球面球面是三维空间中的曲面，其所有点都与一个固定点相等距离，这个点称为球心。
球面是一种闭合的曲面，具有无限个可测量的点。
球面在地理学、天文学和物理学中经常使用。
3.椭球体椭球体是一种类似于球体的曲面，但其轴向不同，具有两个互相垂直的轴。
其中一个轴长，称为主轴，另一个轴短，称为次轴。
椭球体也是一种闭合的曲面。
椭球体在地理学、天文学和力学中经常使用。
4.螺旋线螺旋线是一种常见的曲线类型，在旋转体中可以看到。
螺旋线运动是动力学中的重要问题，许多物理现象都与螺旋线有关。
螺旋线可以分为两类，即右旋螺旋线和左旋螺旋线，其旋转方向与螺旋线旋转方向相同。
5.文森特曲线文森特曲线最初由法国数学家沃伦斯·文森特（Jules-Antoine Lissajous）发现。
它的形状是由两个矩形谐振器的运动生成的曲线，矩形谐振器是一种简单的物理系统，可以通过一个质点在两个定点之间来建模。
文森特曲线具有美丽的几何形状，其形状类似于椭圆、双曲线和菱形，因此在绘图、视觉特效和音乐可视化等领域中经常使用。
曲线曲面总结
曲线曲面总结引言曲线和曲面是数学中重要的概念，在多个领域得到广泛应用。
本文将对曲线和曲面的基本概念、性质和应用进行总结和讨论。
曲线的基本概念曲线是平面上的一个点的集合，其特点是在数学上可以通过参数方程或者函数方程进行描述。
曲线可以分为直线和曲线两类，直线是一种特殊的曲线，可以通过两点确定。
曲线的形状可以是直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等。
曲线的一些重要概念包括曲线的弧长、曲线的切线、曲率等。
曲线的性质曲线的性质主要包括长度、切线和曲率等。
曲线的长度是曲线弧线的长度，可以通过积分来计算。
曲线的切线是曲线某一点的切线方向，可以通过导数来计算。
曲线的曲率是衡量曲线弯曲程度的物理量，越弯曲的地方曲率越大。
曲线的性质对于曲线的实际应用有重要的影响。
曲面的基本概念曲面是三维空间中一组点的集合，可以用函数或参数方程进行描述。
曲面可以分为平面和曲面两类，平面是特殊的曲面，可以通过三个点或一个点和法向量确定。
曲面的形状可以是球面、柱面、锥面、椭球面、双曲面等。
曲面的一些重要概念包括曲面的面积、曲面的切平面、法向量等。
曲面的性质曲面的性质主要包括面积、法向量和曲率等。
曲面的面积是曲面上一部分的面积大小，可以通过积分来计算。
曲面的法向量是曲面上某一点的法向量方向，可以通过求偏导数来计算。
曲面的曲率是衡量曲面局部弯曲程度的物理量，曲率越大表示曲面弯曲得越厉害。
曲面的性质对于曲面的几何特征和物理特性具有重要的意义。
曲线和曲面的应用曲线和曲面在各个学科和领域中都有广泛应用。
在计算机图形学中，曲线和曲面用于表示和绘制复杂的图形和图像。
在物理学中，曲线和曲面用于描述物体的运动轨迹和形状变化。
在工程学中，曲线和曲面用于设计和制造各种产品的表面形状。
在统计学中，曲线和曲面用于拟合和分析数据模型。
曲线和曲面的应用涵盖了多个学科和行业，对于提升科学研究和实际应用都具有重要意义。
结论曲线和曲面是数学中重要的概念，具有广泛的应用。
本文对曲线和曲面的基本概念、性质和应用进行了总结和讨论。
解析几何中的曲线与曲面的性质
解析几何中的曲线与曲面的性质在解析几何中，曲线与曲面是重要的概念。
曲线是由一系列点组成的连续的曲线，而曲面是由一系列曲线组成的连续的曲面。
曲线与曲面的性质对于理解几何图形的特征和性质至关重要。
本文将从曲线和曲面的定义、性质和应用等方面进行探讨。
一、曲线的性质曲线的性质是指某一曲线所具备的特征和规律。
曲线的性质可以从不同的角度进行分类和描述。
下面将从几何性质和数学性质两个方面对曲线的性质进行探讨。
（1）几何性质在几何学中，曲线的性质主要包括弯曲程度、曲率、斜率和切线方程等。
曲线的弯曲程度可以通过曲率来描述，曲率越大则曲线越弯曲。
斜率则表示曲线上某一点的切线与水平线之间的夹角，可以用来判断曲线的斜率情况。
切线方程则是通过求解曲线上一点的切线斜率和切点坐标得到的一条直线方程，可以用来描述曲线在该点附近的几何特征。
（2）数学性质在数学中，曲线的性质主要包括方程、参数方程和极坐标方程等。
方程是指以曲线上的点满足某种关系的数学式子，可以用于描述曲线的几何特征。
参数方程是通过引入参数来表示曲线上的点，可以方便地表示曲线的形状和位置。
极坐标方程是以极坐标系中的点满足某种关系的数学式子，可以用来描述曲线在极坐标系中的几何特征。
二、曲面的性质曲面是由一系列曲线组成的连续的曲面。
曲面的性质可以从不同的角度进行分类和描述。
下面将从几何性质和数学性质两个方面对曲面的性质进行探讨。
（1）几何性质在几何学中，曲面的性质主要包括形状、曲率、切平面和法向量等。
曲面的形状可以通过曲率和曲率半径来描述，曲率越大则曲面越弯曲。
切平面是指曲面上的一个点与该点的切线所确定的平面，可以用于判断曲面的取向和切平面的性质。
法向量是指曲面上某一点的法线与该点的位置有关的向量，可以用来描述曲面在该点附近的几何特征。
（2）数学性质在数学中，曲面的性质主要包括方程、参数方程和隐函数方程等。
方程是指以曲面上的点满足某种关系的数学式子，可以用于描述曲面的几何特征。
空间解析几何中的曲线与曲面
空间解析几何中的曲线与曲面空间解析几何是研究空间中点、直线、曲线和曲面的位置和性质的数学分支。
其中，曲线与曲面是解析几何中的重要概念，它们在数学和工程学科中都有广泛的应用。
本文将从曲线与曲面的定义、性质以及应用角度出发，对空间解析几何中的曲线与曲面进行详细的探讨。
一、曲线的定义和性质曲线是一个一维的几何对象，由无数个连续的点组成。
在空间解析几何中，曲线可以用参数方程或者一般方程来表示。
参数方程是通过引入一个或多个参数，将曲线上的点的坐标表达为这些参数的函数，从而得到曲线的方程。
一般方程则是通过将曲线上的点的坐标表达为变量的代数方程，得到曲线的方程。
常见的曲线有直线、圆和椭圆等。
曲线的性质包括长度、曲率和弧长等。
长度是曲线上两点之间的距离，可以通过弧长公式进行计算。
曲率是曲线上某一点的弯曲程度，可以通过求曲线的曲率半径来衡量。
弧长是曲线上某一部分的长度，可以通过积分来计算。
这些性质在数学、物理和工程学科中都有广泛的应用。
二、曲面的定义和性质曲面是一个二维的几何对象，由无数个连续的点组成。
在空间解析几何中，曲面可以用一般方程或者参数方程来表示。
一般方程是通过将曲面上的点的坐标表达为变量的代数方程，得到曲面的方程。
参数方程是通过引入一个或多个参数，将曲面上的点的坐标表达为这些参数的函数，从而得到曲面的方程。
常见的曲面有平面、球面和柱面等。
曲面的性质包括方程、切平面和切线等。
方程是确定曲面上的点的代数关系，可以通过给定条件求解得到。
切平面是曲面上某一点的切线和曲面法线组成的平面，可以用于确定曲面上某点的切线方向。
切线是曲面上通过某一点的曲线，可以用于确定曲面上某点的切线方向。
这些性质在计算机图形学、工程建模和物理模拟等领域中具有重要的应用。
三、曲线与曲面的应用曲线与曲面在数学和工程学科中有广泛的应用。
在数学领域，曲线与曲面是微积分和线性代数的基础概念，它们被用于描述和解决各种数学问题。
在工程学科中，曲线与曲面是计算机图形学、工程建模和物理模拟等领域的核心概念，它们被用于进行几何建模、图像处理和仿真分析等工作。
空间解析几何中的曲线与曲面
空间解析几何中的曲线与曲面空间解析几何是数学中的一个重要分支，研究了空间中的曲线与曲面的性质、方程和几何关系。
曲线与曲面是空间几何中的基本要素，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将从曲线和曲面的定义、性质以及几何表达等方面来探讨空间解析几何中的曲线与曲面。
一、曲线的定义和性质在空间解析几何中，曲线是一个一维对象，由一组点组成。
曲线可以用参数方程或者直角坐标方程来表示。
比较常见的参数方程有：x = f(t)，y = g(t)，z = h(t)。
直角坐标方程则可以表示为：F(x, y, z) = 0。
曲线的性质有很多，其中最基本的性质包括长度、曲率和切线等。
曲线的长度可以用积分来求解，曲率则是描述曲线弯曲程度的一个量。
切线是曲线上任一点切线方向的直线。
二、曲面的定义和性质曲面是一个二维对象，由一组点组成。
曲面可以用参数方程或者直角坐标方程来表示。
常见的参数方程有：x = f(u, v)，y = g(u, v)，z = h(u, v)。
直角坐标方程可以表示为：F(x, y, z) = 0。
曲面的性质也有很多，比如曲面上的点的切平面、法线和曲率等。
切平面是曲面上任一点的切平面，其法线与曲面在该点的法线重合。
曲率则是描述曲面局部弯曲性质的一个量。
三、曲线与曲面的几何表达曲线与曲面的几何表达是描述其几何关系的一种方式。
对于曲线，可以通过与直线的关系进行描述，比如曲线与直线相交、平行或者垂直等。
对于曲面，可以通过与平面的关系进行描述，比如曲面与平面相交、平行或者垂直等。
此外，曲线与曲面还可以通过其几何性质进行表达。
比如曲线的弯曲程度可以用曲率来描述，曲面的局部弯曲性质可以用曲率来描述。
曲线与曲面还可以与其他几何体进行关联，比如与球面的交线或者与柱面的交线等。
结论空间解析几何中的曲线与曲面是数学中重要的研究对象。
曲线与曲面分别是一维和二维的几何要素，通过参数方程或者直角坐标方程可以对其进行准确的描述。
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n1
P(t) n (Pi1 Pi ) BEZi,n1(t)
i0
t [0,1]
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11
Bezier曲线
– 端点曲率
• 曲率公式
P(t) P(t) k(t) P(t) 3
k(t)
|t0
n 1• n
( P1
P0 ) (P2 P1 P0 3
P1)
k(t) |t1
Bezier 曲线与曲面
由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示 方法, 已不能满足用户的需求。1962年，法国雷诺汽车公司的 P.E.Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计 方法，并用这种方法完成了一种称为UNISURF的曲线和曲面 设计系统，1972年，该系统被投入了应用。Bezier方法将函数 逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用 作图工具一样得心应手。
0=1, 0!=1 曲线实例如右图所示。
P1 P0
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P2
P1
P3
P0
图3.1.8 三次Bezier曲线
P3
P2
3
Bezier基函数
• Bezier基函数的定义
– 如下n次多项式称为n次Bezier基函数
BEZi,n (t) Cni ti (1 t)ni
Cni
Байду номын сангаас
n! i!(n
i)!
,t [0,1]
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4
Bezier基函数
• Bezier基函数的性质
– 正性
BEZi,n (t) 0 ,t [0,1]
– 权性
n
BEZi,n (t) 1
i0
,t [0,1]
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5
Bezier基函数
– 对称性
BEZi,n (t) BEZni,n (1 t)
– 降阶公式
三切线定理
计 算 Bezier 曲 线 上 的 点 ， 可 用 Bezier 曲 线 方 程 ， 但 使 用 de
Casteljau提出的递推算法则要简单的多。
如图3.1.10所示，设
、 、 P0
P02
P2
是一条抛物线上顺序三个不同
的点。过 P0 和 P2 点的两切线交于
P点1 ,在
P点02 的切线交
n 1• n
( Pn 1
Pn2 ) (Pn Pn Pn1 3
Pn 1 )
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Bezier曲线
– 仿射不变性
• 表达式 • 几何属性：形状，曲率等等
n
A[P(t)] A{ Pi BEZi,n (t)}
i0
n
( A Pi ) BEZi,n (t)
i0
t [0,1]
5/10/2020
5/10/2020
16
Bezier曲线
• 三次Bezier曲线的矩阵表示
BEZ 0,3 (t )
P(t)
3 i0
Pi
BEZi,3(t)
[
P0
,
P1
,
P2
,
P3
]
BEZ1,3
(t
)
BEZ 2,3(t)
BEZ
3,3
(t
)
GBEZ
•
C30 (1 C31t(1
t)3 t)2
C32tC2 (331t3
n
P(t) Pi BEZi,n (t) t [0,1]
i0
– 控制顶点 – 控制多边形
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9
Bezier曲线
• Bezier曲线的性质
– 端点位置 P(t) |t0 P0 P(t) |t1 Pn
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Bezier曲线
– 端点切矢量
P(t) |t0 P1 P0 P(t) |t1 Pn Pn1
P01 (1 t)P0 tP1 P11 (1 t)P1 tP2 P02 (1 t)P01 tP11
t从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二 条边，它们是两条一次Bezier曲线。将一、二式代入第三式得：
P02 (1 t)2 P0 2t(1 t)P1 t 2P2
当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一 条二次Bezier曲线。并且表明：这二次Bezier曲线P20可以定义 为分别由前两个顶点（P0，P1）和后两个顶点（P1，P2）决定 的一次Bezier曲线的线性组合。
t
)
GBEZ
•
1 0 0 0
3 3 0 0
3 6 3 0
1 1
3
t
3t2
1
t
3
5/10/2020 GBEZ • M BEZ • T
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Bezier曲线线性运算
• De Casteljau算法
– 问题
给定参数 t ，计算 P(t )
P(t)
P(t )
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t
t
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德卡斯特里奥算法
P0 P1
和 于 P2 P1
P01
和P11 ，则如下比例成立：
P0P01 P1P11 P01P02 P01P1 P11P2 P02 P11
这是所谓抛物线的三切线定理。
P1 P11
P01
P02
P2
P0
Bezier曲线上的点
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图3.1.10 抛物线三切线定理
19
线性组合
当P0，P2固定，引入参数t，令上述比值为t:(1-t)，即有：
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7
Bezier基函数
– 积分
1
BEZ
0
i,n
(t
)
1 n 1
– 最大值
• 在t=i/n处取得最大值
– 线性无关性
•
BEZi,n
(t)
n i0
是n次多项式空间的一组基
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8
Bezier曲线
• Bezier曲线的定义
– n次多项式曲线P（t）称为n次Bezier曲线
13
Bezier曲线
– 凸包性
• 凸集 • 凹集 • 点集的凸包
– 包含这些点的最小凸集
• Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内
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Bezier曲线
– 直线再生性
– 平面曲线的保凸性 – 平面曲线的变差缩减性
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Bezier曲线
– 拟局部性
– 形状的易控性
BEZi,n (t) (1 t)BEZi,n1(t) tBEZi1,n1(t)
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6
Bezier基函数
– 升阶公式
BEZi,n (t)
i 1 ni
BEZ i 1,n 1 (t )
n 1 i n 1
BEZ i ,n 1 (t )
– 导数
BEZi,n (t) n(BEZi1,n1(t) tBEZi,n1(t))
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1
Bezier曲线的定义和性质
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2
Bezier曲线定义
给 定 空 间 n+1 个 点 的 位 置 矢 量 Pi （ i=0 ， 1 ， 2 ， … ， n ） ， 则 Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是：
其 中 ， Pi 构 成 该 Bezier 曲 线 的 特 征 多 边 形 ， Bi,n(t) 是 n 次 Bernstein基函数：