8曲线与曲面—基本概念
曲面论复习(一)
1.1 简单曲面及参数表示 一 简单曲面 1 约当(Jordan)曲线: 平面上不自交的闭曲线。 2 初等区域：约当曲线把平面分成为两部分，有限的那部分区域 初等区域 叫初等区域。(约当曲线的内部) 3 简单曲面：平面上初等区域到三维空间的一一的、双方连续的 简单曲面 映射的像叫简单曲面。 二 （简单） 简单）曲面的参数方程 1 曲面的参数方程、 曲面的参数方程、曲纹坐标 设 G 是初等区域， G 中点的笛氏坐标是 (u,v) ,G 在空间的一一的 双方连续的像是曲面 S，S 上的点笛氏坐标为（x,y,z), 则 x,y,z 都是
r
r
r
r r r r ( ρ − r (u0 , v0 ), ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 )) = 0
切平面方程用行列式表示为：
。
x − x(u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 )
y − y (u0 , v0 ) z − z (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) = 0 yv (u0 , v0 )
是什么曲线?
θ -曲线：是垂直于 z 轴 的平面与旋转面的交线（纬线）
t - 曲线：是旋转面的母线（经线）
1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线 一 光滑曲面,正常点,正规坐标网 1 C k 类曲面: 如果曲面的分量函数有直到 k 阶的连续偏导数,则 称为 k 阶正则曲面或称为 C k 类曲面.
2
2 光滑曲面: C 类曲面叫做光滑曲面.以后假定讨论的曲面都是 光滑曲面. 3 正常点: 对曲面 S 上一点 P0 (u0 , v0 ) , 过 P0 的 u-曲线: r = r (u , v0 ) ,其切向量为 ru (u0 , v0 ) ； 过 P0 的 v-曲线: r = r (u0 , v) ,其切向量为 如果
曲线积分与曲面积分复习
第8章 曲线积分与曲面积分8.1 向量值函数在有向曲线上的积分 第二型曲线积分概念与形式恒力沿直线方向做功 →→→→⋅=⋅=l F l F w θcos ||||变力沿曲线运动⇒取微元 Qdy Pdx ds F dw +=⋅=→||，则⎰++=LQdy Pdx W 。
平面曲线⎰++LQdy Pdx ，空间曲线⎰+++LRdz Qdy Pdx ，性质⎰⎰-+=LL一、计算方法1．设参数，化定积分⎰Ldx y x P ),(＋dy y x Q ),(＝dt t y t y t x Q t x t y t x P t t })()](),([)()](),([{1⎰'+'2．平面闭曲线上积分－用格林公式⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ，其中L 是D 的取正向的边界曲线，D 为单连通区域，P ，Q 与L D ⋃上有连续一阶偏导数。
3．对于积分与路径无关的可自选路径 4．积分与路径无关),(),,(y x Q y x P 及偏导数于L D ⋃上连续。
下列四个命题等价 （1）⎰+CQdy Pdx ＝0，对D 内任意闭曲线C .（2）⎰+LQdy Pdx 积分与路径无关（3）存在),(y x u 使du ＝dy y x Q dx y x P ),(),(+BA LLu du Qdy Pdx |==+⇒⎰⎰（4）x Qy P∂∂=∂∂ 在D 内恒成立.常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径积分 二、例题1．基础题目，设参数，化定积分（1） 计算⎰-=Lydx xdyI ，:L 如图ABCDEA 解 （1）设参数法⎰∑⎰==Li L i51于1L 上 设t x cos =，t y sin =⎰⎰-=+=-02222)sin (cos 1ππdt t t ydx xdy L于2L 上 设t x cos =，t y sin 2=⎰⎰=⋅+⋅=-2)sin sin 2cos 2(cos 2ππdt t t t t ydx xdy L于3L 上 以x 为参数，xdxdy 2-=⎰⎰-=---=-22238)]2()2([3dx x x x ydx xdy L于4L 上 以y 诶参数 2-=x ，0=dx ⎰⎰-=-=-1224dy ydx xdy L 于5L 上 1-=y ，以x 为参数(0=dy ) ⎰⎰-=--=-022)1(5dx ydx xdy L综上231423+=-⎰πLydx xdy解（2）（用格林公式）)(224321S S S S dxdyydx xdy DL+++==-⎰⎰⎰231423222232212141412+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+⋅⋅+=πππ（2） 计算 ⎰++=Cdz x dy z dx y I 222。
曲面与曲线知识点总结
曲面与曲线知识点总结一、曲线与曲面的基本概念曲线是在平面上的点按照特定的规则所组成的图形，而曲面则是在三维空间内的点按照特定的规则所组成的图形。
在数学上，我们可以用函数来描述曲线和曲面，从而研究它们的性质和特点。
1.1 曲线的性质曲线可以是直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等不同类型的图形。
我们可以通过曲线的方程以及参数方程来描述它的形状和位置。
曲线的长短、曲率、切线、法线等性质对于描述曲线的形态和特点至关重要。
1.2 曲面的性质曲面可以是球面、圆柱面、圆锥面、双曲面、抛物面等不同类型的图形。
我们可以用二元函数或者参数方程来描述曲面的形状和位置。
曲面的曲率、切线、法线等性质是研究曲面形态的重要工具。
1.3 直角坐标系和参数方程在研究曲线和曲面的性质时，我们可以使用直角坐标系、参数方程和极坐标系等不同的数学工具来描述它们的形态和位置关系。
不同的描述方法可以帮助我们更好地理解曲线和曲面的性质。
二、曲线的方程与性质曲线方程是研究曲线性质的重要工具，通过曲线方程我们可以得到曲线的形状、位置、长度、曲率等重要信息。
2.1 一元曲线的方程一元曲线的方程可以用直角坐标系的方程或者参数方程来表示。
常见的一元曲线包括直线、圆和椭圆、抛物线、双曲线等。
这些曲线都有各自的特点和性质，通过曲线方程我们可以了解它们的形状和位置关系。
2.2 二元曲线的方程二元曲线的方程可以用参数方程或者隐式方程来表示。
常见的二元曲线包括螺线、双曲线、阿基米德螺线等。
通过曲线方程我们可以了解二元曲线的性质和特点。
2.3 曲线的性质曲线的性质包括长度、曲率、切线、法线等重要内容。
通过曲线方程和导数的求解，我们可以求得曲线的长度、曲率和切线、法线等相关信息，从而了解曲线的形态和特点。
三、曲面的方程与性质曲面方程是研究曲面性质的重要工具，通过曲面方程我们可以得到曲面的形状、位置、曲率等重要信息。
3.1 一元曲面的方程一元曲面的方程可以用隐式方程或者参数方程来表示。
空间曲线与曲面的基本概念与性质
空间曲线与曲面的基本概念与性质空间曲线和曲面是微积分中的基本概念。
在数学中，空间曲线是通过空间中移动的点定义的对象，而曲面则是由空间中移动的曲线定义的对象。
一、空间曲线的基本概念空间曲线是通过空间中一条路径上的点定义的。
例如，考虑一条简单的曲线，如y = sin(x)，该曲线在二维平面上表示为点的集合。
然而，在三维空间中，我们可以考虑该曲线如何在不同的方向上弯曲，这就是空间曲线的概念。
空间曲线还可以用参数方程来表示，例如，对于一条平面上的曲线y = sin(x)，我们可以将其表示为 z = f(x, y) = sin(x) 的空间曲线，其中 z 表示曲线在第三个维度上的高度。
许多重要的数学对象和算法都依赖于空间曲线，例如微积分中的积分曲线、微分几何中的切向量和曲率等。
二、空间曲线的性质空间曲线有许多重要的性质，这些性质是微积分中的基本概念。
1. 方向性：空间曲线沿某个方向运动时有所不同，这是由于空间曲线的切向量在不同方向上的变化不同。
2. 曲率：空间曲线的曲率表示曲线在某一点处的弯曲程度。
曲线的曲率越大，说明该点处曲线的弯曲程度越大。
3. 弧长：空间曲线的弧长是曲线的长度。
计算曲线弧长可以方便计算曲线上的其他性质。
三、曲面的基本概念曲面是经过空间中一条路径上的所有点的集合定义的对象。
曲面可以通过约束曲线（例如，平面或抛物线）的运动来定义。
例如，考虑一个平面曲线 y = sin(x)，我们可以对其进行旋转来构建一个圆柱体的曲面。
类似的，我们可以通过旋转一个椭圆来构建一个椭球体的曲面。
曲面也可以用参数方程来表示，例如，对于一个平面曲线 y = sin(x)，我们可以将其表示为 z = f(x, y) = sin(x) 的曲面，其中 z 表示曲面在第三个维度上的高度。
四、曲面的性质曲面是微积分中的基本概念，具有许多重要的性质。
1. 切向量：曲面在某个点处的切向量是曲面在该点处切线的方向向量。
2. 法向量：曲面在某个点处的法向量是垂直于曲面切线的向量。
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
ds L ( L 表示曲线 L 的弧长 ) ．
L
积函数可用积分曲线方程作变换．
（ 6） 奇偶性与对称性 如果积分弧段 L (AB ) 关于 y 轴对称，
f (x, y)ds 存在，则
L( AB )
f ( x, y)ds
L ( AB )
0,
f ( x, y) 关于 x是奇函数 ,
2
f ( x, y)ds，f ( x, y) 关于 x是偶函数 .
切线的方向余弦是一个常量。 所以， 当积分曲线是直线时， 可能采用两类不同的曲线积分的
转换。
定理 4 （格林公式）
设 D 是由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P( x, y), Q (x, y) 及其一阶偏导数在 D 上连续，
则有
P(x, y)dx Q (x, y)d y
Q P dxdy
L
Dx x
设 L (AB ) 的平面曲线： 其参数方程： x
分别是 和 ，则
(t), y
(t) ，起点和终点对应的参数取值
Pdx Qdy
L ( AB)
{ P( (t ), (t)] (t) Q[( (t), (t )] (t )}dt
设 L (AB ) 的空间曲线 ：其参数方程： x (t), y (t ), z w(t ) ，起点和终点对应的
表示曲线的线密度。 定义 2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
（ 1）平面曲线 L( AB) 的积分：
P(x, y)dx Q( x, y)dy
L ( AB )
（ 2）空间曲线 L( AB) 的积分：
n
lim
(T ) 0
[ f ( k , k ) xk
k1
f ( k , k ) yk ]
一曲面的概念
一 曲面的概念1 简单曲面以及参数表示（1） 主要概念若尔当曲线，初等区域、简单曲曲面的参数表示、区纹坐标、坐标曲线、区纹坐标网。
（2） 主要公式曲面的参数方程：曲面S),(v x x μ=，),(v y μ=，),(v z μ=，G v ∈),(μ 曲面的向量参数表示：曲面S==),(v u r r),,({v u x ),,(v u y )},(v u z其中G v u ∈),(，u ，v 曲面上的点的曲纹坐标。
（3） 实例：圆柱面的参数表示),(z r θ={}z R ,cos θ=即,θμ=G z v ,=是一个长方形的区域：,20πθ<<.∞<<-∞z 坐标曲线是：-θ曲线（z=常数）即=),(0z r θ{}z R R 0,sin ,cos θθ.它是垂直于轴的平面和原柱面的交线，它们都是圆。
-z 曲线（θ是常数）即:{}z R R z r ,sin ,cos ),(000θθθ= 它是原柱面上的直母线。
球面的参数表示为：),(θφr r =,cos cos {φθR = }sin ,sin cos θφθR R ， G ∈),(θφ是一个长方形区域：22πθπ<<-；.20θφ<<即φ=u ，θ=v 。
坐标曲线是-ϕ曲线（θ=常数），即),(0θϕr =ϕθcos cos {0R ，ϕθsin cos 0R ，}sin 0θR 是球面上等纬度的圆——纬线，-θ曲线，（θ=常数），即==),(0θϕr ϕθ0cos cos {R ，}sin ,sin cos 0θθϕR 它是球面上过两极的半圆——纬线（子午线）。
2光滑曲面（1）主要概念k 阶正则曲面、光滑曲面、曲面的正常点、曲面的正规坐标网、曲面的特殊参数表示、曲面的切方向、曲面的切平面、曲面的法方向、曲面的法线、曲面的正侧。
（2）主要定理命题 1 曲面在正常点的邻域中可以有形式为),(y x z z =的特殊参数表示。
曲线积分与曲面积分的概念与计算
曲线积分与曲面积分的概念与计算在数学中，曲线积分和曲面积分是两个重要的概念，用于描述曲线和曲面上的各种物理量的计算。
本文将详细介绍这两个概念的定义以及计算方法。
1. 曲线积分的概念与计算曲线积分用于计算曲线上的矢量场或标量场沿曲线的积分值，常用于求解沿路径的功、电磁感应等问题。
曲线积分可以分为第一类和第二类，下面将分别介绍。
1.1 第一类曲线积分第一类曲线积分可以用于计算矢量场沿曲线的积分值，其计算公式如下：∮C F·ds其中，C表示曲线，F表示矢量场，ds表示曲线C上的一小段投影长度，F·ds表示矢量场F与ds的点积。
要计算第一类曲线积分，首先需要确定曲线C的参数方程，并对其进行参数化。
然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。
1.2 第二类曲线积分第二类曲线积分用于计算标量场沿曲线的积分值，其计算公式如下：∮C f ds其中，C表示曲线，f表示标量场，ds表示曲线C上的一小段投影长度。
要计算第二类曲线积分，同样需要确定曲线C的参数方程，并对其进行参数化。
然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。
2. 曲面积分的概念与计算曲面积分用于计算曲面上的矢量场或标量场通过曲面的通量或质量的计算。
曲面积分同样可以分为第一类和第二类，下面将一一介绍。
2.1 第一类曲面积分第一类曲面积分用于计算矢量场通过曲面的通量，其计算公式如下：∬S F·dS其中，S表示曲面，F表示矢量场，dS表示曲面S上的一小块面积，F·dS表示矢量场F与dS的点积。
要计算第一类曲面积分，首先需要确定曲面S的参数方程，并对其进行参数化。
然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。
2.2 第二类曲面积分第二类曲面积分用于计算标量场通过曲面的质量，其计算公式如下：∬S f dS其中，S表示曲面，f表示标量场，dS表示曲面S上的一小块面积。
解析几何中的曲线与曲面
解析几何中的曲线与曲面在数学的几何学中，曲线和曲面算是比较基本的概念。
它们分别是二维和三维空间中的图形，而在解析几何中，这两个概念被用于描述函数和方程。
本文将对解析几何中曲线和曲面的定义、性质、分类和应用进行介绍和分析。
一、曲线的定义和性质在二维空间中，曲线被定义为一条连续的、有限的、平面上的线段。
而在三维空间中，曲线也被定义为一条连续的、有限的、在空间中的线段。
曲线的性质通常包括弧长、曲率和切线等。
1、弧长弧长是曲线上两点之间的距离之和，也可以被认为是曲线的长度。
在二维和三维空间中，根据弧长的计算，曲线可以被分为直线和曲线两类。
弧长可以表示为：2、曲率曲率是描述曲线弯曲程度的参数。
简单地说，曲率越大，曲线越弯曲。
曲率可以用以下公式计算：其中，r为曲率半径。
3、切线切线是曲线在任意一点处的切线。
切线的方向和曲线在该点处的切线方向一致。
在二维空间中，曲线的切线可以用导数表示。
在三维空间中，曲线的切线可以用切向量表示。
二、曲线的分类在解析几何中，曲线按照其方程和性质可以被分为多种类型，包括直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等。
以下分别对这些类型进行介绍。
1、直线直线是最简单最基本的曲线，由无数个点组成。
直线的方程一般为y=ax+b或y=kx，其中a、b、k均为实数。
2、圆圆是平面内到给定点距离相等的所有点的集合。
图像是一个半径为r的圆心为(a,b)的圆。
圆的方程可以表示为(x-a)²+(y-b)²=r²。
3、椭圆椭圆是平面内到两个给定点距离之和为常数的所有点的集合。
图像呈现为一个狭长的圆形，由两个焦点确定。
椭圆的方程可以表示为(x/a)² + (y/b)² = 1。
4、抛物线抛物线是一种二次曲线，由平面上各点到定点距离与各点到定直线距离的差的平方成正比的轨迹。
抛物线图像特征是平面上一个开口朝上或朝下的弧形。
抛物线的方程可以表示为y=ax² + bx+c。
第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程
第3讲 空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节 曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱 面 4二次曲面第四节 空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章 空间解析几何与向量代数第三节 曲面及其方程一、 曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。
三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。
四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。
例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。
例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。
例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节 空间曲线及其方程一、 空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、 空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。
微分几何--第二章1曲面的概念1.3曲面上的曲线族和曲线网
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族. 设 A 0 ，则有 du B(u, v) 解之得
(2.14)
dv A(u, v) u (v, c)
F (u, v)
其中，c为待定常数； 每一个c对应曲面上一条曲线，所以（2.14）表示一族曲线。 特别地， 当B = 0或 A = 0 时，有 d u = 0或 d v = 0 ， 此时为坐标曲线(P60) u = c 或 v = c。 此时（2.14）表示坐标曲线的方程。
2、二阶微分方程
A(u, v)du2 2B(u, v)dudv C(u, v)dv2 0
若 [ B(u, v)]2 A(u, v)C (u, v) 0
方程表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。 设
du 2 du A 0 , 则 A( ) 2 B( ) C 0 dv dv 得 du B B 2 AC F1 (u, v)或F2 (u, v) dv A
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
1、一阶线性微分方程
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族.
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
分别解这两个一阶微分方程，可得两簇曲线，它们构成曲 面上的曲线网。
特别有 A C 0 时, dudv 0 , 它们表示坐标曲线,从而构成曲纹坐标网(P60)。
微分几何
主讲人：郭路军
第二章 曲面论
1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）
微分几何第二章曲面论2.1曲面的概念
2、二阶微分方程
2 2 A ( u , v ) du 2 B ( u , v ) dudv C ( u , v ) dv 0
2 若 [ B ( u , v )] A ( u , v ) C ( u , v ) 0
则表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。
du du 2 设 A 0, 则 A ( ) 2 B ( ) dudv C 0 dv dv
y z u u y z v v z x u u z x v v
设曲面上任一点 r (u,v) 的径矢为 R (u,v)
x ( u ,v ) Y y ( u ,v ) Z z ( u ,v ) 用坐标表示为 X x y u u x y v v
若用 z = z (x,y) 表示曲面，则有
{ x , y , z ( x , y )} 如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r
z z r { 1 , 0 , } { 1 , 0 , p } , r { 0 , 1 , } { 0 , 1 , q } x y x y
X x0 Y y0 Z z0 1 0 0 1 p0 q0 0
以下切方向几种表示通用：du : dv , (d) 和 r (t ) 。
( 由r t)r u
du dv r v dt dt
可以看出，切向量 r (t ) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点 有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数方向，且有 命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标 曲线的切向量 ru , rv 所确定的平面上。 这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
计算机图形学--第十讲 曲线的基本概念
12 曲线的基本概念Bézier 曲线5曲线与曲面的概述 4 3 6 B 样条曲线NURBS 曲线 常用的曲面在工程上经常遇到的曲线和曲面有两种：◆简单曲线和曲面函数方程或参数方程直接给出；◆自由曲线用二次混合曲线或三次曲线。
曲线曲面描述方法的发展： 1963曲线曲面1971线形状1972条曲线曲面1975方法1991何形状的唯一数学方法☐非参数表示：显式表示，坐标变量之间一一对应隐式表示☐非参数表示存在问题：不具有几何不变性，形状与坐标轴相关斜率无穷大非平面曲线、曲面难以用常系数的非参数化函数表示 不便于计算与编程参数表示：曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数示，曲线上一点的笛卡尔坐标：曲线上一点坐标的矢量表示：p对参数变量规格化：例子：直线段的参数表示曲面的参数表示空间曲面xyzP☐参数表示法的优点◆曲线的形状与坐标系无关。
◆容易确定曲线的边界。
参数规格化区间或为◆曲线的绘制简单。
当参数序列组成的连线就是方程代表的曲线。
◆易于变换。
对参数方程表示的曲线或曲面进行几何变换或投影变换，只需要对方程的系数变换即可◆易于处理斜率无穷大的情形。
◆易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算隐式表示的曲线称为隐式曲线 表示形式空间隐式曲线表示为联立方程组 注意参数表示与隐式表示的比较参数表示易于求值给定一个参数值，代入参数方程对应的参数曲线上的点；得到隐式曲线上的点则非常困难。
参数表示难于判断内外对于隐式曲线f(x线12 曲线的基本概念Bézier 曲线5曲线与曲面的概述 4 3 6 B 样条曲线NURBS 曲线 常用的曲面☐参数曲线的表示参数的、连续的、单值的函数：x=x(t), y=y(t), z=z(t), 0<=t<=1 ☐位置矢量p(t)=[x(t), y(t), z(t)]曲率：数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值.几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率。
曲面、曲线及其方程
03
曲面与曲线的联系
曲面与曲线的几何关系
曲面与曲线在三维空间中相互依存
01
曲面是由曲线在某些方向上无限延伸形成的，而曲线则可以看
作是曲面上的一个特定区域。
曲面与曲线的形状和变化
02
曲线的形状和变化可以影响其所在的曲面形状，反之亦然。
曲面与曲线的交线
03
曲面与另一个曲面或平面相交，交线是一条曲线；曲面与曲线
曲面、曲线及其方程
contents
目录
• 曲面及其方程 • 曲线及其方程 • 曲面与曲线的联系 • 曲线和曲面在几何和工程中的应用
01
曲面及其方程
曲面方程的基本概念
曲面方程的定义
曲面方程是描述曲面位置关系的数学表达式，通常 由代数方程表示。
曲面方程的形式
曲面方程的一般形式为 $F(x, y, z) = 0$，其中 $F$ 是一个多项式函数，$x, y, z$ 是空间坐标。
息。
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曲面方程的解
求解曲面方程可以得到曲面上点的坐标集合，即曲 面的几何形状。
几种常见的曲面
平面
平面是一个无限延展且没有弯曲的二维表面，其方程为 $Ax + By + Cz = D$。
球面
球面是一个三维表面，其方程为 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$，其中 $R$ 是球半径。
圆柱面
圆柱面是一个三维表面，其方程为 $x^2 + y^2 = R^2$（或 $y^2 + z^2 = R^2$）。
通过使用曲线和曲面，工程师可以更好地描述和设计物体的外
03
观，提高设计的准确性和美观性。
物理和科学计算中的应用
大学数学第四节 空间的曲面与曲线
(3) 截痕: 与 z z1 ( z1 c)的交线为椭圆： z
a2 c2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
z12
)
1
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及
的截痕
也为椭圆.
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
2019年11月25日星期一
Gx Hy Iz J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .
2019年11月25日星期一
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怎样了解三元方程 F(x, y, z) 0所表示的曲面的形状呢?
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2.单叶双曲面(Hyperboloid of One Sheet)
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1
( a,b,c 为正数)
平面 z z1 上的截痕为 椭圆.
平面 y y1上的截痕情况:
1) y1 b 时, 截痕为双曲线:
x2 a2
z c
2 2
1
y12 b2
b v)
上升的高度与转过的角度成正比．
即 : 0 0 , z : b0 b0 b , 2, 上升的高度 h 2b 螺距
2019年11月25日星期一
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曲线与曲面的参数方程
曲线与曲面的参数方程曲线和曲面是数学领域中的基本概念，它们的研究对于许多学科都有着重要的意义。
在数学中，我们经常会使用参数方程来描述曲线和曲面的性质和特征。
本文将探讨曲线与曲面的参数方程的概念、性质以及应用。
一、曲线的参数方程曲线可以用参数方程来描述，参数方程是将曲线上的点与参数之间的关系表示出来。
假设曲线上的每个点都由参数 t 决定，那么曲线的参数方程可以写作：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z 分别表示曲线上的点的坐标，f(t)、g(t)、h(t) 是参数t 的函数。
通过改变参数t 的取值范围，我们可以得到曲线上的所有点。
例如，我们考虑一个简单的曲线，圆的参数方程可以写作：x = r*cos(t)y = r*sin(t)其中，r 表示圆的半径，t 的取值范围为 0 到2π。
通过改变 t 的值，我们可以获取圆上的任意一点的坐标。
二、曲面的参数方程类似于曲线，曲面也可以用参数方程来描述。
曲面的参数方程是将曲面上的点与两个参数之间的关系表示出来。
假设曲面上的每个点都由参数 u 和 v 决定，那么曲面的参数方程可以写作：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y、z 表示曲面上的点的坐标，f(u, v)、g(u, v)、h(u, v) 是参数 u 和 v 的函数。
例如，我们考虑一个简单的曲面，球面的参数方程可以写作：x = R*sin(u)*cos(v)y = R*sin(u)*sin(v)z = R*cos(u)其中，R 表示球的半径，参数 u 的取值范围为 0 到π，参数 v 的取值范围为 0 到2π。
通过改变 u 和 v 的值，我们可以获取球面上的任意一点的坐标。
三、曲线与曲面参数方程的应用曲线与曲面的参数方程在数学和物理等学科中都有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，参数方程可以用于生成曲线和曲面的图像。
通过控制参数的取值范围和函数的形式，我们可以绘制出各种各样的曲线和曲面。
空间曲线和空间曲面的基本概念和性质
空间曲线和空间曲面的基本概念和性质空间曲线和空间曲面是高等数学中重要的概念，它们在几何学和物理学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍空间曲线和空间曲面的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、空间曲线的基本概念空间曲线是指在三维空间中的一条曲线，可由参数方程、一般方程或向量方程来描述。
1. 参数方程空间曲线的参数方程给出了曲线上每一点的坐标与参数的关系。
一条参数方程为x = f(t)，y = g(t)，z = h(t)的曲线在三维空间中表示为(x, y, z) = (f(t), g(t), h(t))。
2. 一般方程空间曲线的一般方程为F(x, y, z) = 0。
例如，x^2 + y^2 + z^2 = 4表示一个球面。
3. 向量方程空间曲线的向量方程用向量表示曲线上任一点，用参数表示向量的方向。
例如，r(t) = ai + bj + ck表示一个向量r在三维空间中随参数t改变的轨迹。
二、空间曲线的性质空间曲线有着一些重要的性质，包括弧长、切向量和曲率等。
1. 曲线的弧长曲线的弧长是曲线上两点之间的路径长度。
利用参数方程，可以通过积分计算曲线的弧长。
2. 曲线的切向量曲线的切向量表示曲线在某点的切线方向，其方向是曲线在该点的切线方向，模为单位长度。
切向量与曲线的切线垂直。
3. 曲线的曲率曲线的曲率衡量了曲线的弯曲程度。
曲率的倒数称为曲率半径，表示曲线上某点处的曲线在该点的局部半径。
三、空间曲面的基本概念空间曲面是指在三维空间中的一个二维曲面，可由一般方程或参数方程来描述。
1. 参数方程空间曲面的参数方程给出了曲面上每一点的坐标与参数的关系。
一条参数方程为x = f(u, v)，y = g(u, v)，z = h(u, v)的曲面在三维空间中表示为(x, y, z) = (f(u, v), g(u, v), h(u, v))。
2. 一般方程空间曲面的一般方程为F(x, y, z) = 0。
微分几何第二章曲面论曲面的概念
VS
高斯曲率
设曲面$S$在点$P$处的两个主曲率分别为 $k_1, k_2$，则称$K = k_1k_2$为曲面在 点$P$处的高斯曲率。高斯曲率是曲面内蕴 几何量的重要代表，反映了曲面在一点处 的弯曲程度。
法截线和法截线族
法截线
设曲面$S$在点$P$处的法向量为 $mathbf{n}$，过点$P$且与法向量 $mathbf{n}$垂直的平面称为法截面。 法截面与曲面交于一条曲线，该曲线 称为法截线。
曲面性质
曲面具有连续性、光滑性、可定向性等性质。其中连续性指 曲面上任意两点都可以用一条连续曲线连接；光滑性指曲面 上任意一点都存在切线平面；可定向性指曲面存在连续的单 位法向量场。
曲面分类与举例
曲面分类
根据曲面的形状和性质，可以将曲面分为闭曲面、开曲面、紧致曲面、非紧致曲面等类 型。
举例
球面、环面、柱面、锥面等都是常见的曲面类型。例如，球面可以表示为 $mathbf{r}(theta, varphi) = (Rcosthetasinvarphi, Rsinthetasinvarphi,
法截线族
过曲面上一点的所有法截线构成的集 合称为该点的法截线族。法截线族在 微分几何中具有重要的研究价值，与 曲面的形状和性质密切相关。
04
曲面局部理论：可 展曲面与极小曲面
可展曲面定义及性质
定义
可展曲面是一类特殊的曲面，它可以在不改 变距离的情况下完全展开到一个平面上。也 就是说，它的高斯曲率为零。
02
第一基本形式与度 量性质
第一基本形式定义及性质
第一基本形式定义
第一基本形式是微分几何中曲面论的基本概念，用于描述曲面上的度量性质。它是一个二次微分形式，记作$I = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2$，其中$E, F, G$是曲面上的系数函数。
空间曲线与曲面的切线与法线的性质与计算
在空间曲线中，法线通常指的是与切线垂直的直线。对于参数方程表示的曲线，其法线方向可以通过切线方向的 叉积得到。具体地，可以选取另外两个不共线的向量与切线方向向量进行叉积运算，得到法线方向向量。
隐函数表示下计算方法
切线计算
对于隐函数表示的曲线 F(x,y,z)=0，其切 线方向可以通过求解隐函数的梯度得到 。具体地，切线方向向量为 grad F = (Fx, Fy, Fz)，其中 Fx、Fy、Fz 分别为 F 对 x、y、z 的偏导数。
XX
空间曲线与曲面的切
线与法线的性质与计
算
汇报人：XX
2024-01-30
REPORTING
• 曲线与曲面基本概念 • 切线与法线定义及性质 • 空间曲线切线与法线计算 • 曲面切线与法线计算 • 切线与法线在几何中的应用 • 总结与展望
目录
XX
PART 01
曲线与曲面基本概念
REPORTING
XX
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REPORTING对于隐函源自表示的曲面$x^2+y^2-z=0$，在点$(1,1,2)$处的梯度向量为${2,2,1}$，因此切线方向垂直于该向量，法线方向与该向量平行。
XX
PART 05
切线与法线在几何中的应 用
REPORTING
曲线曲面交点问题
01
切线与法线用于求解曲线或曲面之间的交点，通过 联立方程求解。
02
在计算机图形学中，交点检测是碰撞检测、光线追 踪等算法的基础。
03
对于复杂曲线或曲面，可能需要采用数值方法逼近 求解交点。
最小距离和最大距离问题
01 切线与法线可用于求解点到曲线或曲面的最小距 离和最大距离。
空间中的曲线与曲面的切线
空间中的曲线与曲面的切线曲线与曲面的切线在空间中具有重要的几何性质。
它们描述了曲线或曲面上某一点的局部特征，并且在解决几何问题时起到了重要的作用。
本文将介绍曲线与曲面的概念、切线的定义和性质，并且以具体的例子说明切线的应用。
一、曲线与曲面的概念在空间中，曲线是由一系列点按照特定的规律连接而成的，它是二维几何对象。
曲面则是由一系列曲线以一定方式排列而成的，它是三维几何对象。
曲线和曲面是几何学中的基本概念，我们常常遇到各种各样的曲线和曲面，如直线、圆、椭圆等。
二、曲线的切线1. 切线的定义对于曲线上的一点P，沿曲线可以找到一些相近的点，当这些点趋于P点时，连接它们的直线逐渐趋近于一条特殊的直线，即切线。
切线可以通过两个点之间的斜率来描述，斜率表示了曲线在该点处的斜率或倾斜程度。
2. 切线的性质（1）切线与曲线相切于一点。
（2）切线与曲线的交点处，切线与曲线的切点重合，切线和曲线共享这个点。
（3）切线的斜率等于曲线在该点的导数。
三、曲面的切平面1. 切平面的定义对于曲面上的一点P，可以找到一些相近的点，当这些点趋于P点时，连接它们的平面逐渐趋近于一平面，即切平面。
切平面是曲面在该点处的局部表现。
2. 切平面的性质（1）切平面与曲面相切于一点。
（2）切平面与曲面的交线处，切平面与曲面的切线重合，切平面和曲面共享这条交线。
（3）切平面与曲面的法向量垂直。
四、切线的应用实例切线在几何学和物理学中被广泛应用，下面以两个实例来说明切线的应用。
1. 曲线的切线在计算斜率和求导数中起到重要作用。
例如，对于函数y=f(x)，在某个点x=a处求切线的斜率，可以通过计算函数在该点的导数f'(a)来得到。
2. 曲面的切平面在求解曲面上某点的切线方向和法向量方向上起到关键作用。
例如，对于球体，切平面与球体表面的交线处即为球体上的切线，切平面的法向量垂直于球体表面。
在工程设计、数学建模和科学研究中，我们经常需要求解曲线与曲面的切线，以获得局部特征信息或解决问题。
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通过每个点的分段三次多项式曲线方程：
x(t) axt3 bxt 2 cxt dx y(t) ayt3 byt 2 cyt d y
t [0,1]
z(t) azt3 bzt 2 czt dz
20
三次样条的参数方程
P(t)=at3+bt2+ct+d
其中p(t)是三次参数曲线上任意一点的位置向量，a,b,c,d是待定系数
d k P(t) dt k
t t0
d k P(t) dt k
, k tt0
0,1,n
记号 C n
13
几何连续性
直观的、易于交互控制的连续性
0阶几何连续
称曲线P=P(t)在 t t0 处0阶几何连续，如果它在 t0 处位置连续，即
P(t0 ) P(t0 ) 记为 GC0
1阶几何连续
称曲线P=P(t)在 t t0 处1阶几何连续，如果它在该 处 GC0 ,并且切矢量方向连续
表示最简单 理论和应用最成熟
定义--n次多项式曲线
x(t) x0 x1 t xn tn
y(t
)
y0
y1
t
yn
tn
z(t)
z0
z1
t
zn
tn
t [0,1]
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三次样条
三次多项式在灵活性和计算速度之间提供了一个合理的 折中方案。与更高次的多项式相比，三次样条只需要较少的 计算且存储较稳定；与低次多项式相比，三次样条又具有更 多的灵活性。（事实上，大多数形状表示与设计都是采用三 次多项式来实现的）
2
概 述-工业产品形状
工业产品的形状大致可分为： 1. 由初等解析曲线曲面组成 2. 由自由曲线曲面组成
初等解析曲面包括平面、圆柱面、圆锥面、球面等表 面，如大多数机械零件的表面；
自由曲线曲面就是以复杂方式自由地变化的曲线曲面， 如飞机、汽车、轮船等具有复杂外形产品的表面。
如何由离散点来近似地决定曲线和曲面，即通过测量或实验 得到一系列有序点列，根据这些点列构造出一条光滑曲线， 以直观地反映出实验特性、变化规律和趋势等，是工程中必 须解决的问题
自由曲线与曲面（基本概念）
东华大学 机械工程学院
1
概 述-分类
工程应用中曲线和曲面的分类
1. 最终生成的曲线或曲面通过所有给定型值点， 比如抛物样条曲线和三次参数样条曲线，这样 的曲线用于插值放样。
2. 最终生成的曲线或曲面不一定通过给定的型值 点，而只是比较好地接近这些点，这类曲线或 曲面比较适合于外形设计。
3
研究内容
研究内容
对几何外形信息的计算机表示 对几何外形信息的分析与综合 对几何外形信息的控制与显示
4
概述
从形状表示与设计的角度来看 （1）丰富的表达能力：表达两类曲线曲面 （2）易于实现光滑连接 （3）形状易于预测、控制和修改 （4）几何意义直观，设计不必考虑其数学表达
5
自由曲线曲面的发展过程
2 -2 1 1
TMh =(t3 t2 t 1) 3 -3 -2 -1
0 01 0 1 00 0
Hermite基函数的各分量：
H0(t)= 2t3-3t2+1
利用基函数表达的三次Hermite样条曲线方程：
H1(t)= -2t3+3t2
P(t)=P0H0(t)+P1H1(t)+p0’H2(t)+p1’H3(t)
H2(t)= t3-2t2+t
H0(t)和H1(t)专门控制端点的函数值对曲线的影响，同 端点的导数值无关；
H3(t)= t3-t2
H2(t)和H3(t)专门控制端点的一阶导数对曲线形状的影 响，同点的函数值无关；
23
参数多项式曲线
矢量表示形式
x(t) x0
P(t
)
y(t)
y0
z(t) z0
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三次参数曲线-Hermite样条曲线
ax ay az P(t)=(t3 t2 t 1) bx by bz
cx cy cz dx dy dz
a
=(t3 t2 t 1) b
c d
=TC
2 -2 1 1 P0
C= =M G 3 -3 -2 -1 P1 0 0 1 0 p0’
hh
1 0 0 0 p1’
记为 GC1
P(t0 ) P(t0 ) 0为任一常数
14
2阶几何连续
2阶几何连续
称曲线P=P(t)在 t t0处2阶几何连续，如果它在 t0处
（1） GC1
（2）副法矢量方向连续 B(t0 ) B(t0 )
（3）曲率连续
k(t0 ) k(t0 )
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参数表示的好处
1. 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状； 2. 易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算； 3. 被描述的自由曲线的形状本质上与坐标系的选取无关； 4. 规格化的参数变量t[0,1], 使其相应的几何分量是有界的，不必用其他
p(t)=p1+(p2-p1)t=(1,2)+[(4,3)-(1,2)]t
P(t)=(1,2)+(3,1)t
X(t)=x1+(x2-x1)t=1+3t
Y(t)=y1+(y2-y1)t=2+t
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=3
10
参数曲线---圆
第1象限单位圆： 1）y=(1-x2)-1/2 2) x=cosθ, y=sin θ 3)x=(I-t2)/(1+t2)
加权和形式
x1 y1
xn yn
1 t
记为
C
T
z1 zn t n
P(t) C T P0 t P1t n Pn t [0,1]
t [0,1]
24
参数多项式曲线
矩阵表示
矩阵分解
C G•M P(t) C •T G • M •T t [0,1]
几何矩阵
G G0 G1 Gn
边界
插值
点点通过型值点
插值算法：线性插值、抛物样条插值、Hermite插值
逼近
提供的是存在误差的实验数据
最小二乘法、回归分析
提供的是构造曲线的轮廓线用的控制点
Bezier曲线、B样条曲线等
光顺 拟合
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参数多项式曲线
为什么采用参数多项式曲线
的参数去定义边界； 5. 参数方程中，变量完全分离，而且对变量的个数不限，从而方便用户
把低维空间中的曲线、曲面扩展到高维空间； 6. 设计或表示形状更直观，许多参数表示的基函数如Bernstein基和B样
条函数，有明显的几何意义；
16
曲线曲面拟合方法
已知条件的表示方法
一系列有序的离散数据点
型值点 控制点
8
参数曲线基础
参数表示
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
参数的含义
t [a,b]
时间，距离，角度，比例等等
规范参数区间[0，1]
9
参数曲线---直线
参数矢量表示形式
例子：直线段的参数表示
P P(t) P0 t(P1 P0) (1 t)P0 tP1 t [0,1]
EXAMPLE: 已知直线段的端点坐标分别是p1(1,2), p2(4,3), 该直线段的参数表达式为
描述参数曲线的条件有端点位置向量、端点切线向 量及曲率等。对于三次参数曲线，可以用其端点向 量P(0),P(1)和端点切向量P’(0)和P’(1)表示。
（简记p0,p1,p0’,p1’）
计算得 a=2p0-2p1+p0’+p1’ b=-3p0+3p1-2p0’-p1’ c=p0’ d=p0
P(t)=(2t3-3t2+1)p0+(-2t3+3t2)p1+(t3-2t2+t)p0’+(t3-t2)p1’
y=2t/(1+t2)
11
曲线的连续性
设计一条复杂曲线时，常常通过多段曲线组合 而成， 这需要解决曲线段之间如何实现光滑连 接的问题。 曲线间连接的光滑度的度量：函数的可微性， 几何连续性
12
函数的可微性
曲线P = P(t)在 t t0处n阶参数连续，如果它 在 t0 处n阶左右导数存在，并且满足
控制顶点 Gi 基矩阵M
M •T 确定了一组基函数
25
6
曲线的表示形式
非参数表示
显式表示
隐式表示
y f (x)
z
g
(
x)
f (x, y, z) 0 g(x, y, z) 0
显示方程不能表示封闭或多值曲线（如椭圆）
7
非参数表示法的缺点
1. 与坐标轴相关； 2. 会出现斜率无穷大的情况； 3. 对于非平面曲线或曲面，难以用常系数 的非参数化函数表示； 4. 不便于计算机编程；
目标：美观，且物理性能最佳
1963年，美国波音飞机公司，Ferguson双三次曲 面片 1964~1967年，美国MIT，Coons双三次曲面片 1971年，法国雷诺汽车公司，Bezier曲线曲面 1974年，美国通用汽车公司，Cordon和 Riesenfeld, Forrest, B样条曲线曲面 1975年，美国Syracuse大学，Versprille有理B样条 80年代，Piegl和Tiller, NURBS方法
Mh是Hermite矩阵（边界约束），通常为常数；Gh 是Hermite几何向量
则p(t)=TMhGh
22
Hermite样条曲线
p(t)=TMhGh 式中，只要给定Gh，就可以求出p(t)
对于不同的初始条件Gh 是不同的，但T和Mh都是相同的. 因此可将TMh称为Hermite基函数（也称调和函数）