第5章几何造型与自由曲线曲面
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《自由曲线与曲面》PPT课件
7.6 B样条曲线
• Gordon和Riesenfeld于1974年用B样条基函数代替了Bernstein基函数，构造了B样条 曲线。
• 比Bezier曲线更贴近控制多边形，曲线更光滑（很容易产生C2连续性），曲线的次数 可根据需要指定
• 增加了对曲线的局部修改功能，B样条曲线是分段组成的，所以控制多边形的顶点对曲 线的控制灵活而直观。
2.一阶导数
• 将式（7-12）求导，有
n
p' (t) Pi Cni [i t i1 (1 t)ni (n i) t i (1 t)ni1 ] i0 在闭区间〔0，1〕内，将t＝0和t＝1 代入上式，得到
p' (0) n (P1 P0 ) p' (1) n (Pn Pn1)
可以证明，二次Bezier曲线是一段抛物线。
3.三次Bezier曲线
• 当n＝3时，Bezier曲线的控制多边形有四个控制点P0、P1、P2和P3，Bezier曲线 是三次多项式。
3
p(t) Pi Bi,3 (t) (1 t)3 P0 3t(1 t)2 P1 3t 2 (1- t) P2 t3 P3 i0 (t3 3t 2 - 3t 1)P0 (3t 3 6t 2 3t)P1 (3t3 3t 2 ) P2 t3P3
• 通常单一的曲线段或曲面片难以表达复杂的形状，必须将一些曲线段连接成组合曲线， 或将一些曲面片连接成组合曲面，才能描述复杂的形状。
• 为了保证在连接点处平滑过渡，需要满足连续性条件。连续性条件有两种：参数连续 性和几何连续性。
•
参数连续性
• 零阶参数连续性，记作C0，指相 邻两个曲线段在交点处具有相同的 坐标。
菅光宾
数字媒体系
• 7.1 基本概念 • 7.4 Bezier曲线 • 7.5 Bezier曲面 • 7.6 B样条曲线 • 7.7 B样条曲面
自由曲线与曲面
主要内容
11.1 解析曲面 11.2 Bezier曲面 11.3 B样条曲面 11.4 NURBS曲面 11.5 曲面的其它表达 11.6 曲面求交算法
11.1 解析曲面（代数曲面）
代数曲面在造型系统中常见，但远远不能满足复 杂曲面造型的要求
适合构造简单曲面，不能构造自由曲面 不同类型曲面拼接连续性难以保证 不同曲面求交公式不一，程序实现量大 工程设计交互性差
通常样条曲面的求交算法采用离散逼近、迭代求精 与跟踪的方法，求交精度不高，计算量大，速度慢，对 共点、共线、共面难以处理，从而影响布尔运算的效率 和稳定性。
基本的求交算法：
由于计算机内浮点数有误差，求交计算必须引进容差。假定
容差为e，则点被看成是半径为e的球，线被看成是半径为e的圆管， 面被看成是厚度为2e的薄板。
c）然后固定指标i，以第一步求出的n＋1条截面曲线的控制顶 点阵列中的第i排即： di,j, j 0,1,, n 为“数据点”，以上一 步求出的跨界切矢曲线的第i个顶点为”端点切矢”，在节点矢 量V上应用曲线反算，分别求出m＋3条插值曲线即控制曲线的 B样条控制顶点di.j ,i 0,1,,m 2; j 0,1,,n 2 ，即为所求双
superquadric
superquadric曲面在商用 CAD系统应用相对较少，但 在动画软件中常用
superquadric toroids
(
x
)2/E2
(
y
)2/E2
E2/E1 a
(
z
)2/E1
1
rx
ry
rz
superquadric ellipsoids
(
x
)2/E2
(
y
E2/E1 )2/E2
11.1 解析曲面 11.2 Bezier曲面 11.3 B样条曲面 11.4 NURBS曲面 11.5 曲面的其它表达 11.6 曲面求交算法
11.1 解析曲面（代数曲面）
代数曲面在造型系统中常见，但远远不能满足复 杂曲面造型的要求
适合构造简单曲面，不能构造自由曲面 不同类型曲面拼接连续性难以保证 不同曲面求交公式不一，程序实现量大 工程设计交互性差
通常样条曲面的求交算法采用离散逼近、迭代求精 与跟踪的方法，求交精度不高，计算量大，速度慢，对 共点、共线、共面难以处理，从而影响布尔运算的效率 和稳定性。
基本的求交算法：
由于计算机内浮点数有误差，求交计算必须引进容差。假定
容差为e，则点被看成是半径为e的球，线被看成是半径为e的圆管， 面被看成是厚度为2e的薄板。
c）然后固定指标i，以第一步求出的n＋1条截面曲线的控制顶 点阵列中的第i排即： di,j, j 0,1,, n 为“数据点”，以上一 步求出的跨界切矢曲线的第i个顶点为”端点切矢”，在节点矢 量V上应用曲线反算，分别求出m＋3条插值曲线即控制曲线的 B样条控制顶点di.j ,i 0,1,,m 2; j 0,1,,n 2 ，即为所求双
superquadric
superquadric曲面在商用 CAD系统应用相对较少，但 在动画软件中常用
superquadric toroids
(
x
)2/E2
(
y
)2/E2
E2/E1 a
(
z
)2/E1
1
rx
ry
rz
superquadric ellipsoids
(
x
)2/E2
(
y
E2/E1 )2/E2
计算机图形学曲线和曲面
曲线构造方法
判断哪些是插值、哪些是逼近
曲线构造方法
插值法
线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用 线形函数 ：y=ax+b，近似代替f(x)，称为的线性插值函 数。
插值法
抛物线插值(二次插值):
已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造 函数 ￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相 等。
曲线曲面概述
自由曲线和曲面发展过程
自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们 用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊 的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形 为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的 形状，则沿样条绘制曲线。
5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。 这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于 建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有 可能引起曲线形状复杂的变化。
因此，实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线，如： 二次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3
a3
1 0] a2 a1 a0
三次参数样条曲线
P(k) a3 0 a2 0 a1 0 a0 P(k 1) a3 1 a2 1 a1 1 a0 P '(k) 3a3t2 2a2t a1 a1 P '(k 1) 3a3 2a2 a1
P0 0 0 0 1 a3
第五讲 几何造型与自由曲线曲面分析
叶子节点——体素或几何变换参数 中间节点——施加在其上的集合运算或几何变换定义
差
根节点——所构造的几何形体
优点：
数据结构简单、紧凑，数据管理方便； 实体构造无二义性；
并
操作方便，概念直观，可通过修改构造环节改变形体的形状；
容易实现参数化造型。
缺点：
形体的CSG树型结构
造型过程只能采用集合运算，一些局部修改功能，如拉伸、倒 圆等不能使用； 边界以及边界与实体的连接关系难以提取； 形体显示效率低，不利于图形显示。
继承联系：构成特征之间的层次关系。 超类特征：位于层次上级的特征； 亚类特征：位于层次下级的特征。 亚类特征可继承超类特征的属性和方法。 特征与特征实例之间的联系也属于继承关系。 从属联系：描述形状特征中各形状特征之间的依从和附属关系。 从属特征依赖于被从属的特征而存在，对被从属的形状特征作局部修饰。 邻接联系：反映形状特征之间的相互位置关系。 如阶梯轴：相邻两个轴段之间的关系就是邻接联系，其中每个相邻面的状态可共享。 引用联系：描述特征类之间作为关联属性而相互引用的联系。 引用联系主要存在于形状特征对精度特征、材料特征的引用。
主特征：用以构造零件的基本几何形体。 简单主特征：简单的几何形体。（如圆柱体、长方体、球体等） 宏特征：指具有相对固定的结构形状和加工方法的形状特征，其几何形状较复 杂，且不便于进一步细分为其他形状特征的组合。（如如盘类零件、轮类零件的 轮辐和轮毂等，基本上都是由宏特征及附加在其上的辅助特征构成） 辅特征：依附于主特征（也可是另一辅特征）之上的几何形状特征，是对主特征的
用计算机程序设计语言描述特征，设计时直接 调用特征库及程序文件，进行绘图和 建立产品信息模型。
5. 4 特征造型技术
八、特征造型零件信息模型实例：轴的零件信息模型
差
根节点——所构造的几何形体
优点：
数据结构简单、紧凑，数据管理方便； 实体构造无二义性；
并
操作方便，概念直观，可通过修改构造环节改变形体的形状；
容易实现参数化造型。
缺点：
形体的CSG树型结构
造型过程只能采用集合运算，一些局部修改功能，如拉伸、倒 圆等不能使用； 边界以及边界与实体的连接关系难以提取； 形体显示效率低，不利于图形显示。
继承联系：构成特征之间的层次关系。 超类特征：位于层次上级的特征； 亚类特征：位于层次下级的特征。 亚类特征可继承超类特征的属性和方法。 特征与特征实例之间的联系也属于继承关系。 从属联系：描述形状特征中各形状特征之间的依从和附属关系。 从属特征依赖于被从属的特征而存在，对被从属的形状特征作局部修饰。 邻接联系：反映形状特征之间的相互位置关系。 如阶梯轴：相邻两个轴段之间的关系就是邻接联系，其中每个相邻面的状态可共享。 引用联系：描述特征类之间作为关联属性而相互引用的联系。 引用联系主要存在于形状特征对精度特征、材料特征的引用。
主特征：用以构造零件的基本几何形体。 简单主特征：简单的几何形体。（如圆柱体、长方体、球体等） 宏特征：指具有相对固定的结构形状和加工方法的形状特征，其几何形状较复 杂，且不便于进一步细分为其他形状特征的组合。（如如盘类零件、轮类零件的 轮辐和轮毂等，基本上都是由宏特征及附加在其上的辅助特征构成） 辅特征：依附于主特征（也可是另一辅特征）之上的几何形状特征，是对主特征的
用计算机程序设计语言描述特征，设计时直接 调用特征库及程序文件，进行绘图和 建立产品信息模型。
5. 4 特征造型技术
八、特征造型零件信息模型实例：轴的零件信息模型
Solidworks最新曲线曲面设计之进阶教程
第5章曲线曲面设计前言随着现代制造业对外观、功能、实用设计等角度的要求的提高，曲线曲面造型越来越被广大工业领域的产品设计所引用，这些行业主要包括电子产品外形设计行业、航空航天领域以及汽车零部件业等等。
在本章中以介绍曲线、曲面的基本功能为主，其中曲线部分主要介绍常用的几种曲线的生成方法。
在SolidWorks2006中，可以使用以下方法来生成3D曲线：投影曲线、组合曲线、螺旋线和涡状线、分割线、通过模型点的样条曲线、通过 XYZ 点的曲线等。
曲面是一种可用来生成实体特征的几何体。
本章主要介绍在曲面工具栏上常用到的曲面工具，以及对曲面的修改方法，如延伸曲面、剪裁、解除剪裁曲面、圆角曲面、填充曲面、移动/复制缝合曲面等。
在学习曲线造型之前，需要先掌握三维草图绘制的方法，它是生成曲线、曲面造型的基础。
目录第5章曲线曲面设计 (1)5.1三维草图概述 (1)5.1.1自定义坐标系 (1)5.1.2绘制步骤 (3)5.1.3三维草图 (6)5.2曲线造型 (10)5.2.1投影曲线 (10)5.2.2分割线 (13)5.2.3组合曲线 (17)5.2.4通过XYZ点的曲线 (19)5.2.5通过参考点的曲线 (22)5.2.6螺旋线和涡状线 (23)5.3曲面造型 (27)5.3.1平面区域 (28)5.3.2拉伸曲面 (30)5.3.3旋转曲面 (33)5.3.4扫描曲面 (35)5.3.5放样曲面 (40)5.3.6等距曲面 (44)5.3.7延展曲面 (46)5.4曲面编辑 (48)5.4.1缝合曲面 (48)5.4.2延伸曲面 (51)5.4.3剪裁曲面 (54)5.4.4移动／复制曲面 (57)5.4.5删除面 (62)5.4.6曲面切除 (64)5.5曲线与曲面实例 (66)5.6习题 (76)5.1三维草图概述SolidWorks2006中可以直接绘制三维草图，绘制的三维草图可以作为扫描路径、扫描引线、放样路径或放样的中心线等。
第5章几何建模与特征建模
二．数据结构（边界表示法数据结构）
实体建模采用表结构存储数据，其中棱线表和面表与曲面 造型有很大不同，从表中可以看出，棱线表记录的内容更加丰 富，可以从面表找到构成面的棱线，从棱线表中可以找到两个 构成的棱线的面。与曲面建模相比，实体模型不仅记录了全部 几何信息，而且记录了全部点、线、面、体的信息。
二．数据结构
三维线框模型采用表结构，在计算机内部存储物体的顶 点及棱线信息，请实体的几何信息和拓扑信息层次清楚的记 录在以边表、顶点表中。如下图所示的物体在计算机内部是 用18条边，12个顶点来表示的。
三．特点
1、优点 这种描述方法信息量少，计算速度快，对硬件要求低。数 据结构简单，所占的存储空间少，数据处理容易，绘图显示速 度快。 2、缺点 1）存在二异性，即使用一种数据表示的一种图形，有时也 可能看成另外一种图形。 2）由于没有面的信息，不能解决两个平面的交线问题。 3）由于缺少面的信息，不能消除隐藏线和隐藏面 4）由于没有面和体的信息，不能对立体图进行着色和特征 处理，不能进行物性计算。 5）构造的物体表面是无效的，没有方向性，不能进行数控 编程。
3)三维实体扫描体素： 实体扫描法是用 一个三维实体作为扫 描体，让它作为基体 在空间运动，运动可 以是沿某个曲线移 动，也可以是绕某个 轴的转动，或绕某一 个点的摆动。运动的 方式不同产生的结果 也就不同。
四．三维实体建模的计算机内部表示
1．边界表示法（B-Rep Boundary Representation
3）集合的交、并、差运算
4) 特点 （1）数据结构非常简单，每个基本体素不必再分，而是将 体素直接存储在数据结构中。 （2）对于物体结构的修改非常方便，只需要修改拼合的过 程或编辑基本体素。 （3）能够记录物体结构生成的过程。也便于修改 （4）记录的信息不是很详细，无法存储物体最终的详细信 息，如边界、顶点的信息等。 5）应用： 可以方便地实现对实体的局部修改 ，如下图
曲面和曲线
5.2 曲线分析
1）曲线上的活动坐标架
设曲线为P(t)=[x(t), y(t), z(t)]，则：
切矢量：P’(t)（当t为弧长时是单位矢），单位切矢记为T。 法矢量：
过曲线上任意一点，以切矢为法线的平面称为法平面。 主法矢：当以弧长为参数时，切矢的导矢是一个与切矢垂直的矢量，其单位矢 称为主法矢，记为N。 副法矢（记为B）B=T×N
左旋右旋螺旋线示例
当导圆柱轴线直立时，右旋螺旋线的可 见部分自左向右升高（图a）；左旋螺旋线 则自右向左升高（图b）。
5.4 曲线的插值、逼近与拟合
插值：给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造 一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数 据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。 逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的 数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造 的曲线称为逼近曲线。 拟合：插值与逼近统称为拟合。
4）Bezier曲线的递推算法
计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但 使用de Casteljau（德 卡斯特里奥）提出的递推算法 则要简单得多，递推公式：
上式中：Pi0=Pi是定义Bezier曲线的控制点，P0n即 为曲线P(t)上具有参数t的点，(i+k)=n 。 几何递推：给定参数t∈[0,1]，就把定义域分成长 度为t:(1-t)的两段。依次对原始控制多边形每一边执行 同样的定比分割，所得分点就是第一级递推生成的中间 顶点Pi1(i=0,1,...,n-1)，对这些中间顶点构成的控制多边 形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点 Pi2(i=0,1,...,n-2)。重复进行下去，直到n级递推得到一 个中间顶点P0n即为所求曲线上的点P(t)。
2）Betnstein基函数的性质 ：
自由曲线曲面造型技术
2、简单技术 (插值与拟合)
2.1曲 线 拟 合 问 题 的 提 法
已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所 有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。
y
+
+
+
+ + (xi +i,yi)
+
+
y=f(x) +
但人们并不安于现状，继续探索新的造型方法。相继 出现了自由变形造型、偏微分方程造型、能量法造型、 小波技术等。这些方法目前还处于深入研究阶段，有 望于21世纪得到广泛的应用。
插值(interpolation)、拟合（fitting)和
逼近（approximation)，一直是曲线曲面 造型基本的方法。
问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面 解决方案： •若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题； •若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象 整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。
函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作 为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同 的。 实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和 f之间的关系？
4)线性插值
等等
样条插值
比分段线性插值更光滑。
y
a
xi-1 xi
bx
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲
线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光
滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低
次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次 样条插值就是一个很好的例子。
第五章 catia 自由曲面计
5.2.4 偏移曲面
偏置曲面功能是将曲面沿着法向方向进行均匀或不均匀的偏置。偏置 操作的步骤如下。 （1）在【曲面操作】工具栏中单击【偏置曲面】按钮，系统弹出 【偏置曲面】工具栏。 （2）选择偏置母体 （3）拖动偏置曲面控制点，改变偏置距离。 （4）在对话框的【类型】选项区域列出了偏置的两种方向。简单是 均匀的偏置，整张曲面的偏置距离相同。 变量偏置是非均匀的偏置，可分别的对四个顶点的偏置距离进行调整。 （5）偏置可能产生误差，在对话框中【误差】复选框可设置偏置允 许误差。 【公差】微调按钮可设置曲面精度。 【阶次】微调按钮可设置曲面与母体之间U、V2个方向阶数差值。
（4）在对话框中的【产生类型】下拉列表框中选择可利用曲面的U或 V方向来绘制曲线，在模式的下拉列表框中有两种形式，一种是手动 另外一种是自动。 手动是用鼠标在曲面上选择一点，以确定等参数的曲线位置。单击选 择等参数曲线后，可拖动曲线的方向控制点，从而改变曲线的位置。 在控制点上单击鼠标右键，弹出【点控制】快捷菜单，选择【编辑】 选项可微调曲线的位置；选择【保持点】选项可在当前的曲线的控制 点的位置建立几何点。单击【反转参数】可切换曲线的U、V方向。 自动选项是自动的生成参数等距离的等参数曲线，在U、V方向，参 数的数值属于区间[0,1]即U为0是U向的一条边界线，U为1是另外一条 边界线，等参数间距表示曲线在某一方向上曲线之间的间距相等。用 户可在对话框中的U、V栏中设置U、V的数目。可拖动参数曲线上面 的控制点改变曲线的位置。
（8）点出第四点即可形成一曲面。 4．撷取曲面 【撷取曲面】命令可将原有曲面的某部分撷取下来。撷取操作方式如 下。 （1）单击工具按钮，接着单击欲撷取的曲面。在曲面上单击撷取区 域。 （2）决定起点与终点后，即可将此曲面一部分撷取出来，如图5-74 所示。
计算机图形学-自由曲线与曲面
t [0,1]
参数方程的矢量和矩阵表示
矢量表示：
p(t ) at bt ct d
3 2
t 0,1
矩阵表示：
p(t ) t
3
t
2
a b t 1 t 0,1 c d
参数表示的优点
1)点动成线（t可看为时间，曲线是点随时间而动 的轨迹）；有更大的自由度控制曲线曲面的形 状； 2)可对参数曲线曲面的方程直接进行几何变换，而 不需要对曲线曲面的每个数据点进行几何变换 3)可以处理斜率无穷大的情况； 4)代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，对 变量个数不限，便于将低维空间中的曲线曲面 扩展到高维空间中；
通常，用基函数和控制点信 息来决定一条曲线
参数三次样条曲线几何形式可以简化表示为：
p(t)=F1(t) p0+ F2(t) p1+ F3(t) p’0+ F4(t) p’1
表示该曲线：两点的坐标及其一阶导数+调和函数， t 的取值范围：[0，1]
7.3 三次Hermite样条
定义：假定型值点Pk和Pk+1之间的曲线段为 p(t),t∈[0,1]，给定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，则 满足下列条件的三次参数曲线为三次Hermite样 条曲线：
跨入计算机殿堂的入门篇
计算机图形学 施智平
shizhiping@
第七章
我们需要曲线曲面?
Geri
Geri’s model
Geri’s game
3D艺术的神话 PIXAR经典动画短片回顾
Bezier曲线和B样条曲线
Bezier曲面和B样条曲面
自由曲线-自由曲面设计
若令 d k x
n
a
j 0
m
k 0
i k
Si ,
d
k 0
n
i yk xk Ti；则可得方程组： k
j
S i j Ti
这里有m+1个方程，可以解出m+1个系数未知数 a0,a1,…am，代入定义即可求出多项式F(x)逼近已知 的n个型值点；
一组实验数据： x 0 10 20 30 40
多项式拟合最小二乘法
设已知型值点为(xi,yi)(i=1,2,…n)，现构造一个 m(m<n-1)次多项式函数y=F(x)逼近这些型值点； 逼近的好坏可用各点偏差的加权平方和来衡量：
(a0 , a1 ,..., am ) d k [ F ( xk ) yk ]2
k 0 n
F ( x) a j x j 使得偏 令F(x)为一个m次多项式，
j 0
m
差平方和 达到极小；
最小二乘法解决逼近问题
根据求极值问题的方法可知，使 (a j ) 达到极小的 a j (j=0,1…,m)必须满足下列方程组：
n m i 2 d k a j xkj y k xk 0 ai k 0 j 0
i 0,1,..... m
1972年，德布尔(de Boor)给出了B样条的标准计算 方法；
1974年，通用汽车公司的戈登(Gordon)和里森费尔 德(Riesenfeld)在B样条理论的基础上，提出了B样 条曲线、曲面；
1975年，美国的佛斯普里尔(Versprill)提出了有理B 样条方法； 80年代后期，美国的皮格尔(Piegl)和蒂勒(Tiller)将 有理B样条发展成非均匀有理B样条(NURBS)方法；
自由曲线和曲面 图形学 孔令德 计算机图形学基础教程 大学课件98页PPT文档
Hermite曲线段定义：给定曲线段的两个端点P i 和 P i+1和两端点处的一阶导数Ri和Ri+1构造而成。
下面用已知条件求出Hermite曲线段的参数方程
11
通常用三次参数方程描述空间一条自由曲 线：
x(t) y(t)
axt3 ayt3
bxt2 byt2
cxt cyt
dx dy
，t∈[0,1]
z(t) azt3 bzt2 czt dz
其中，t为参数，且0<=t<=1时，t=0对应曲线段的起点，t ＝1时，对应曲线段的终点。
以直线为例：已知直线的起点坐标P1（x1，y1） 和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程：
yy1yx22 xy11(xx1)
9
直线的隐函数方程表示为：
f(x)yy1y x2 2 x y1 1(xx1)0
直线的参数方程表示为：
yxyx11
(x2 (y2
d
t∈〔0,1〕；
13
7.1.3 拟合和逼近
• 型值点 指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述曲线或 曲面几何形状的数据点。
• 控制点
指用来控制或调整曲线(面）形状的特殊点（不一定在曲线上）
• 插值点 求给定型值点之间曲线（面）上的点 要求建立的曲线与曲面数学模型，严格通过已知的每一
自由曲线曲面——
无法用标准方程描述的曲线曲 面，通常由一系列实测数据点 确定。如汽车的外形曲线曲面、 等高线等。
3
图7-1 汽车的曲面
4
7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
下面用已知条件求出Hermite曲线段的参数方程
11
通常用三次参数方程描述空间一条自由曲 线：
x(t) y(t)
axt3 ayt3
bxt2 byt2
cxt cyt
dx dy
，t∈[0,1]
z(t) azt3 bzt2 czt dz
其中，t为参数，且0<=t<=1时，t=0对应曲线段的起点，t ＝1时，对应曲线段的终点。
以直线为例：已知直线的起点坐标P1（x1，y1） 和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程：
yy1yx22 xy11(xx1)
9
直线的隐函数方程表示为：
f(x)yy1y x2 2 x y1 1(xx1)0
直线的参数方程表示为：
yxyx11
(x2 (y2
d
t∈〔0,1〕；
13
7.1.3 拟合和逼近
• 型值点 指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述曲线或 曲面几何形状的数据点。
• 控制点
指用来控制或调整曲线(面）形状的特殊点（不一定在曲线上）
• 插值点 求给定型值点之间曲线（面）上的点 要求建立的曲线与曲面数学模型，严格通过已知的每一
自由曲线曲面——
无法用标准方程描述的曲线曲 面，通常由一系列实测数据点 确定。如汽车的外形曲线曲面、 等高线等。
3
图7-1 汽车的曲面
4
7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
UG曲面造型
图5-22 利用【通过曲线网格】创建后车灯过渡曲面 图5-23 缝合片体 图5-24 利用【截型体】创建侧车窗过渡曲面
8.缝合、修剪、补片，最后完成的车体模型如图5-25所示。
图5-25 完成的车体模型
5.2曲面编辑 5.2.1移动定义点
该命令用于移动曲面上的点，可以在U或V方向上，或者在一定区 域定义一个点，并对所定义的点进行移动。单击【编辑曲面】工具 栏中的 按钮，弹出如图5-26所示的【移动定义点】对话框。
该命令用于改变编辑曲面的阶次。对于多片体曲面和封闭 性曲面，只能增加阶次，而并不改变片体的数量和曲面的形状。 增加阶次曲面的阶次时，不改变曲面的形状，但会增加曲面的 极点数；降低阶次曲面的阶次会试图保留曲面的形状，但只能 用于单片体曲面。单击【编辑曲面】工具栏中的 按钮，弹 出如图5-36所示的【更改阶次】对话框。
简单的曲面，有最少的补片数量。
5.1.6 通过曲线网格
图5-11所示为【通过曲线网格】对话框的应用，其创建步骤如下。
1．在图5-12下，选取主曲线1后，单击鼠标中键进行主曲线1的选
取。
2．在图5-12下，选取主曲线2后，单击鼠标中键进行主曲线2的选
取。
3．在图5-12下，再次单击鼠标中键，进行选取交叉曲线。选取交叉
5.2.4等参数修剪/分割
用于在U或V等参数方向，采用百分比参数方法来对指定的B曲面进行修剪或分割。当百分比在0～100之间时为修剪曲面，小 于0或大于100时为延伸曲面。单击【编辑曲面】工具栏中的 按钮，弹出如图5-34所示的【修剪/分割】对话框。
图5-34 【修剪/分割】对话框
5.2.5片体边界
的点数至少少1，否则系统报错。 四、【列阶次】
曲面列方向的阶次。所指定的列方向的阶数必须比列方向 的点数至少少1，否则系统报错。 五、【文件中的点】
8.缝合、修剪、补片，最后完成的车体模型如图5-25所示。
图5-25 完成的车体模型
5.2曲面编辑 5.2.1移动定义点
该命令用于移动曲面上的点，可以在U或V方向上，或者在一定区 域定义一个点，并对所定义的点进行移动。单击【编辑曲面】工具 栏中的 按钮，弹出如图5-26所示的【移动定义点】对话框。
该命令用于改变编辑曲面的阶次。对于多片体曲面和封闭 性曲面，只能增加阶次，而并不改变片体的数量和曲面的形状。 增加阶次曲面的阶次时，不改变曲面的形状，但会增加曲面的 极点数；降低阶次曲面的阶次会试图保留曲面的形状，但只能 用于单片体曲面。单击【编辑曲面】工具栏中的 按钮，弹 出如图5-36所示的【更改阶次】对话框。
简单的曲面，有最少的补片数量。
5.1.6 通过曲线网格
图5-11所示为【通过曲线网格】对话框的应用，其创建步骤如下。
1．在图5-12下，选取主曲线1后，单击鼠标中键进行主曲线1的选
取。
2．在图5-12下，选取主曲线2后，单击鼠标中键进行主曲线2的选
取。
3．在图5-12下，再次单击鼠标中键，进行选取交叉曲线。选取交叉
5.2.4等参数修剪/分割
用于在U或V等参数方向，采用百分比参数方法来对指定的B曲面进行修剪或分割。当百分比在0～100之间时为修剪曲面，小 于0或大于100时为延伸曲面。单击【编辑曲面】工具栏中的 按钮，弹出如图5-34所示的【修剪/分割】对话框。
图5-34 【修剪/分割】对话框
5.2.5片体边界
的点数至少少1，否则系统报错。 四、【列阶次】
曲面列方向的阶次。所指定的列方向的阶数必须比列方向 的点数至少少1，否则系统报错。 五、【文件中的点】
第五讲 几何造型与自由曲线曲面
管理特征：与零件管理有关的信息集合；（包括题栏信息，如零件名、设计者、设计 日期等；零件材料，未注粗糙度等信息）
方位特征：针对箱体类零件提出的特征，即箱体类零件各表面的方位信息的集合；（如方位标识、方位外法 线与各坐标平面的夹角等）
尺寸链特征：针对工艺特征模型提出特征，即反映轴向尺寸链信息的集合； 装配特征：与零部件装配有关的信息集合。（如零部件的配合关系、装配关系等）
形体显示效率低，不利于图形显示。
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5. 3 实体造型技术
3. 倒圆和拉伸（形体的局部处理(chǔlǐ)） 倒圆：用光滑的圆弧表面取代形体上的棱边及棱角。 拉伸：将形体的某个表面或表面的一部分拉起，使原形体得以延伸的处理 (chǔlǐ)方法。
拉伸(lā
精品PPT
倒圆角
5. 3 实体造型技术
缺点： 数据结构复杂； 修改操作不方便。
实体造型系统中一般采用CSG与B-Rep混合表示 法，即用CSG模型表示实体几何造型的过程和设计参 数，用Brep模型维护详细的几何信息和存储、管理、 运算以及显示输出等操作。
在基于CSG模型的造型过程中，可将形状特征、参 数化设计引入造型过程的体素定义、几何变换及最终的模 型中；
精品PPT
5. 2 表示形体的模型
三、实体模型：由具有一定(yīdìng)拓扑关系的形体表面定义形体。表面之 间通过环、边、点建立联系，表面的方向由围绕表面的环的绕向决定，表 面法失总是指向形体之外。
与表面模型的区别： 实体模型中构成形体的表面之间具有一定的拓扑关系，根据表面的方向可以判断形体在表面 的哪一侧。
特点：每条边只能有两个相邻面。
非正则形体：维数不一致的边界所定 义的形体称为非正则形体。
特点：具有悬边或悬面。
方位特征：针对箱体类零件提出的特征，即箱体类零件各表面的方位信息的集合；（如方位标识、方位外法 线与各坐标平面的夹角等）
尺寸链特征：针对工艺特征模型提出特征，即反映轴向尺寸链信息的集合； 装配特征：与零部件装配有关的信息集合。（如零部件的配合关系、装配关系等）
形体显示效率低，不利于图形显示。
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5. 3 实体造型技术
3. 倒圆和拉伸（形体的局部处理(chǔlǐ)） 倒圆：用光滑的圆弧表面取代形体上的棱边及棱角。 拉伸：将形体的某个表面或表面的一部分拉起，使原形体得以延伸的处理 (chǔlǐ)方法。
拉伸(lā
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倒圆角
5. 3 实体造型技术
缺点： 数据结构复杂； 修改操作不方便。
实体造型系统中一般采用CSG与B-Rep混合表示 法，即用CSG模型表示实体几何造型的过程和设计参 数，用Brep模型维护详细的几何信息和存储、管理、 运算以及显示输出等操作。
在基于CSG模型的造型过程中，可将形状特征、参 数化设计引入造型过程的体素定义、几何变换及最终的模 型中；
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5. 2 表示形体的模型
三、实体模型：由具有一定(yīdìng)拓扑关系的形体表面定义形体。表面之 间通过环、边、点建立联系，表面的方向由围绕表面的环的绕向决定，表 面法失总是指向形体之外。
与表面模型的区别： 实体模型中构成形体的表面之间具有一定的拓扑关系，根据表面的方向可以判断形体在表面 的哪一侧。
特点：每条边只能有两个相邻面。
非正则形体：维数不一致的边界所定 义的形体称为非正则形体。
特点：具有悬边或悬面。
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11
体
由封闭表面围成的三维几何空间
正则形体
所有边只能有两个相邻面
非正则形体
一边具有多个相邻面 » 存在悬边、悬面
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12
外壳
从观察方向上能看到的形体的最大外轮廓线
体素
能用有限个尺寸参数定位和定型的形体 一般指常见的、可用于组合成复杂形体的简单实体
由边的起点和终点两个端点定界
曲线边
由一系列所谓的型值点或控制点来定义
具有方向性
由起点沿边线指向终点
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9
环
由有序、有向边组成的封闭边界
相邻边共享一个端点 各条边不能自交
外环
确定面的最大外边界的环 外环仅一个 其边按逆时针走向
内环
确定面中内孔或凸台边界的环 可有可无，也可多个 其边按顺时针走向
线框模型
用顶点和边来表示形体，即以形体边界上的一组轮廓线构造一个线 框
结构简单、便于理解 形体具有不确定性，模型中没有形体的表面信息，真实感不强
表面模型
将有向棱边围成的部分定义为形体的表面，用面的集合来定义形体
增加了面的信息及面的连接信息，可进行面的求交、消隐、渲染等处理 模型中所有面不一定都形成一个封闭边界，各个面的侧向没有明确定义，
仍然不能有效表示形体
实体模型
用面的集合来表示形体，唯一确定一个实体
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 包含了实体的全部几何信息 包含了面、边、点之间的拓扑信息
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线框、表面、实体模型的对比分析
模型表示
线框 模型
二维线框 模型
三维线框 模型
数据结构 点和边
应用范围 画二维线框图
（工程图）
画二维、三维线框图
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4.1.1 几何造型技术概述
几何造型技术
利用计算机以及图形处理技术来构造物体的几何形 状，模拟物体静态、动态处理过程的技术
就是计算机中如何表达物体几何形状的技术
几何造型系统
能够定义、描述、生成几何模型并能够进行交互编辑处理 的系统
通过对点、线、面、体等几何元素的数学描述，经 过平移、旋转、变化等几何变换和并、交、差等集 合运算，产生实际的或想象的物体模型
长方体 圆柱体 圆锥体 球体 棱柱体 圆环体 某一轮廓线沿某条空间参数曲线做平移扫描或回转扫描运动所
形成的形体
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拓扑信息
用以说明各个几何元素之间的关系
包含性
点、边、面的关系 » 面与顶点 » 面与边 » 边与顶点
相邻性
面与面 点与点 边与边 点与面 点与边 边与面
形体在计算机内通常采用六层拓扑结构来定义
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点
是几何中最基本的几何元素
是边的端点，不允许出现在边的内部，不能孤 立地存在于物体内、物体外或面内；顶点是面 和边界中两条不共线线段的交点
端点 交点 切点
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8
边
是两个或多个相邻面之间的交界
直线边
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4.1.3 实体造型技术
基本几何形体（体素）的创建 实体造型的方法
扫描法 构造实体几何法——形体的集合运算 单元分解法 边界表示法 混合模式法 倒圆及拉伸
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基本几何形体（体素）的创建
长方体、圆柱体、圆锥、球、棱柱、圆环等
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4.1.2 几何形体的表达
描述形体的信息
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几何元素（形体）的基本概念
是指那些结构简单的、独立构成或通过简单组合而 成的形体
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几何造型的功能
形体定义输入，即把形体从用户格式转换成计算机 要求的格式
存储形式和信息的管理 对形体进行平移、变比例、旋转等几何变换的控制
应用布尔运算等操作及其交互手段对形体进行局部 或整体修改
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第一篇 CAD基础
第4章 几何造型与自由曲线曲面
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4.1 几何造型技术 4.2 特征造型技术 4.3 自由曲线曲面理论
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4.1 几何造型技术
4.1.1 几何造型技术概述 4.1.2 几何形体的表达 4.1.3 实体造型技术
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扫描法
将一个二维图形沿某一运动轨迹移动构造三维 实体的方法
平行扫 带锥角平扫 带错切扫描 自由扫 旋转扫
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构造实体几何法——形体的集合运算
复杂形体可由简单形体通过各种变换处理和组 合而成
通过描述基本几何体素和他们的集合运算，将 简单形体组合成一个复杂形体
局限性
无法观察参数的 变化，不可能产 生有实际意义的
形体
不能表示实体、 图形会有二义性
表面模型
点、边和面/参数 方程
艺术图形、形体表面的显 示、数控加工
不能表示实体
实体模型
点、边、面、体和 相关信息
物理性质计算、有限元分 析、干涉检查、用集合运
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只能产生正则形 体，抽象形体的
层次较低
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集合运算又称为布尔运算
并
两个体素加在一起
交
两个体素的公共部分
差
从一个体素中减去另一个体素后的剩余部分
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基本几何元素间的关系
点V1、V2、V3、V6、V5、V8、V1定义外壳 点V1、 V2、V3、V4、v1定义前面外环 点V9、 V10、V11、V12、V9定义前面内环 外环和内环定义前面F1 点v1、V2定义边E1
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几何形体的计算机内部表达
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面
形体表面或表面的一部分 单连通区域，可以是平面或曲面 由一个外环、若干内环组成
一个面必须且只能有一个外环，但可以没有内环
具有方向性
外法矢方向作为正方向
由组成面的外环的有向边按照右手规则来确定
面的分类
平面（矩形面、圆面） 规则面（二次曲面、圆柱面） 自由曲面（参数曲面）