4曲线与曲面
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当平面曲线所在的平面垂直于某一投影面时，它在该 投影面上的投影积聚为一直线，如图4-2所示。当平面曲线所 在的平面平行于某一投影面时，它在该投影面上的投影反映曲 线的实形，如图4-3所示。
根据平面的投影特点，圆和椭圆的投影一般是椭圆， 在特殊情况下也可能是圆或直线；抛物线或双曲线的投影一般 3/86
（1）其所在平面与投影面平行
其所在平面与投影面平行，圆在该投影面上的投影 反映圆的实形。
（2）其所在平面与投影面垂直
其所在平面与投影面垂直，圆在该投影面上的投 影积聚为一直线段，长度等于圆的直径。
（3）其所在平面与投影面倾斜
其所在平面与投影面倾斜，圆在该投影面上的投影
为椭圆。
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Wang chenggang
M1 ●
M● O
圆柱螺旋线
Wang chenggang
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Wang chenggang
13/86
4.2 曲 面
4.2.1曲面的形成与分类
1.曲面的形成和曲面投影的表示法
曲面是直线或曲线在一定约束条件下的运动轨迹。 运动的直线或曲线，称为曲线的母线，如图4-8所示的AB； 曲面上任一位置的母线称为素线。
Wang chenggang
曲线的 切线
5/86
2. 曲线的重影点
L M l(m)
Wang chenggang
6/86
3. 平面曲线的投影和实长
X1
a1
11 2131 41 51
61
71
VH1O1 b1
7/86
Wang chenggang
4.1.2 圆
圆是平面曲线，其所在平面与投影面的相对位置 不同，其投影也不同。
1. 圆的投影—椭圆 c"
a"(o" b")
Y
Xa
c O
b
d
Wang chenggang
d"
9/86
2. 作圆的两面投影
c1
41
a1
31 o1 11
4'(3') b1 21 d1
1' (2')
y2 y2 y1 y1
b 3
2
c
d
R
4 a1
Wang chenggang
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4.1.3 圆柱螺旋 线
Wang chenggang
3.曲线投影的画法 因为曲线是点运动的轨迹，所以只要画出曲线上一
系列点的投影，并将各点的同面投影顺次光滑地连接，即得 曲线的投影，如图4-3所示。
Wang chenggang
4/86
1. 曲线的割线，切线
曲线的 E 切线
曲线的 割线 C
K G1 F
GD
d g
e c
k
f g1
9' 11
5
1
'9
9 11
7
3
3
5
1
1
Wang chenggang
19/86
双曲抛物面的形成
直母线
直导线
直导线
Wang chenggang
导平面
20/86
双曲抛物面的画法
Wang chenggang
21/86
锥状面的形成
直导线
导平面
曲导线
Wang chenggang
22/86
锥状面的画法
Wang chenggang
按曲线上各点的相对位置不同，曲线又可以分为平 面曲线和空间曲线。凡曲线上所有的点都位于同一个平面内 的曲线叫为平面曲线，如圆、椭圆、抛物线等；凡曲线上任 2/86
Wang chenggang
2.曲线的投影 曲线的投影，一般情况下仍为曲线。一条曲线可以用 一个字母或曲线上的一些点的字母来标注；直线与曲线在空间 相切，它们的同面投影一般仍相切。曲线在投影上的切点就是 空间切点的投影，如图4-1所示。
母线运动时所受的约束，称为运动的约束条件。在 约束条件中，控制母线运动的直线或曲线称为导线；控制母 线运动的平面称为导平面。如图4-9所示，KL称为导线。
Wang chenggang
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Wang chenggang
15wk.baidu.com86
2.曲面的分类
根据不同的分类标准，曲面有许多不同的分类方法。
1）根据母线运动方式分类：
28/86
本章学习结束
Wang chenggang
29/86
感谢
Wang chenggang
30/86
谢谢，精品课件
资料搜集
Wang chenggang
31/86
曲面；
①回转面——由母线绕一轴线旋转而形成的
②非回转面——由母线根据其他约束条件运 动而形成的曲面。
2）根据母线的形状分类：
①直纹曲面——凡是可以由直母线运动而成的 曲面，如圆柱面、圆锥面、椭圆柱面、椭圆锥面、双曲抛物 面、锥状面和柱状面等；
②双曲曲面——只能由曲母线运动而成的曲面，
如球面、环面等。
23/86
柱状面的形成
曲导线
导平 面
曲导线
Wang chenggang
24/86
柱状面的画法
Wang chenggang
25/86
平螺旋面的形成
Wang chenggang
26/86
平螺旋面的画法
Wang chenggang
27/86
正螺旋面应用的例子
螺旋扶手
Wang chenggang
螺旋楼梯
直母线沿着两根曲导线移动，井始终平行于一
个导平面而形成柱状面。 4.2.6平螺旋面
直母线—端沿圆柱螺旋线运动，另一端沿圆柱
轴线运动，且始终与与水平面平行，这样形成的曲面称 18/86
为平螺旋面。
Wang chenggang
9' 5' 1' 7' 11 3'
'
单叶双曲回转面的画法
3' 5'
177''
单叶双曲回转面是由直母线绕着与它交叉的 轴线旋转而成的。
Wang chenggang
17/86
4.2.3双曲抛物面
直母线沿着两条交错的直导线移动，并且始终
平行于一个导平面，这样形成的曲面叫双曲抛物面。 4.2.4锥状面
直母线沿一根直导线和一根曲导线移动，并始
终平行于一个导平面形成的曲面称为锥状面。 4.2.5柱状面
16/86
同一个曲面可能Wan由g chen几ggang种不同的运动形式形成。如图
3）根据曲面能否展成平面分类：
面；
①可展曲面：能展开成平面的曲面，如柱面、锥
②不可展曲面：不能展开成平面的曲面，如椭圆 面、椭圆抛物面、曲线回转面。
4.2.2单叶一双般曲只回有转直面纹曲面才有可展曲面与不可展曲面之分， 双曲曲面都是不可展曲面。
当一个动点M沿着一直线等速移动，而该直线同 时绕与其平行的一轴线OO旋转时，点M的轨迹就是一个圆 柱螺旋线。
直线旋转时形成的圆柱面称为螺旋线的导圆柱， 导圆柱的半径称为螺旋线半径。
直线旋转一周时，动点M移动到M1位置，MM1之间的 距离，称为螺旋线的导程。
Wang chenggang
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O
导程
第4章 曲线与曲面
4.1 曲线 4.2 曲面
Wang chenggang
1/86
4.1 曲 线4.1.1 概
述 1.曲线的形成和分类
曲线可以看作是连续改变方向的一个动点的运动轨 迹；也可看作是平面与曲面或曲面与曲面的交线。
按点的运动是否有规律，曲线可分为规则曲线和不 规则曲线两种。规则曲线如圆、椭圆、螺旋线等；不规则曲 线如地形图上的等高线等。通常研究的是规则曲线。
根据平面的投影特点，圆和椭圆的投影一般是椭圆， 在特殊情况下也可能是圆或直线；抛物线或双曲线的投影一般 3/86
（1）其所在平面与投影面平行
其所在平面与投影面平行，圆在该投影面上的投影 反映圆的实形。
（2）其所在平面与投影面垂直
其所在平面与投影面垂直，圆在该投影面上的投 影积聚为一直线段，长度等于圆的直径。
（3）其所在平面与投影面倾斜
其所在平面与投影面倾斜，圆在该投影面上的投影
为椭圆。
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M● O
圆柱螺旋线
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4.2 曲 面
4.2.1曲面的形成与分类
1.曲面的形成和曲面投影的表示法
曲面是直线或曲线在一定约束条件下的运动轨迹。 运动的直线或曲线，称为曲线的母线，如图4-8所示的AB； 曲面上任一位置的母线称为素线。
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曲线的 切线
5/86
2. 曲线的重影点
L M l(m)
Wang chenggang
6/86
3. 平面曲线的投影和实长
X1
a1
11 2131 41 51
61
71
VH1O1 b1
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4.1.2 圆
圆是平面曲线，其所在平面与投影面的相对位置 不同，其投影也不同。
1. 圆的投影—椭圆 c"
a"(o" b")
Y
Xa
c O
b
d
Wang chenggang
d"
9/86
2. 作圆的两面投影
c1
41
a1
31 o1 11
4'(3') b1 21 d1
1' (2')
y2 y2 y1 y1
b 3
2
c
d
R
4 a1
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4.1.3 圆柱螺旋 线
Wang chenggang
3.曲线投影的画法 因为曲线是点运动的轨迹，所以只要画出曲线上一
系列点的投影，并将各点的同面投影顺次光滑地连接，即得 曲线的投影，如图4-3所示。
Wang chenggang
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1. 曲线的割线，切线
曲线的 E 切线
曲线的 割线 C
K G1 F
GD
d g
e c
k
f g1
9' 11
5
1
'9
9 11
7
3
3
5
1
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双曲抛物面的形成
直母线
直导线
直导线
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导平面
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双曲抛物面的画法
Wang chenggang
21/86
锥状面的形成
直导线
导平面
曲导线
Wang chenggang
22/86
锥状面的画法
Wang chenggang
按曲线上各点的相对位置不同，曲线又可以分为平 面曲线和空间曲线。凡曲线上所有的点都位于同一个平面内 的曲线叫为平面曲线，如圆、椭圆、抛物线等；凡曲线上任 2/86
Wang chenggang
2.曲线的投影 曲线的投影，一般情况下仍为曲线。一条曲线可以用 一个字母或曲线上的一些点的字母来标注；直线与曲线在空间 相切，它们的同面投影一般仍相切。曲线在投影上的切点就是 空间切点的投影，如图4-1所示。
母线运动时所受的约束，称为运动的约束条件。在 约束条件中，控制母线运动的直线或曲线称为导线；控制母 线运动的平面称为导平面。如图4-9所示，KL称为导线。
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2.曲面的分类
根据不同的分类标准，曲面有许多不同的分类方法。
1）根据母线运动方式分类：
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感谢
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资料搜集
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曲面；
①回转面——由母线绕一轴线旋转而形成的
②非回转面——由母线根据其他约束条件运 动而形成的曲面。
2）根据母线的形状分类：
①直纹曲面——凡是可以由直母线运动而成的 曲面，如圆柱面、圆锥面、椭圆柱面、椭圆锥面、双曲抛物 面、锥状面和柱状面等；
②双曲曲面——只能由曲母线运动而成的曲面，
如球面、环面等。
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柱状面的形成
曲导线
导平 面
曲导线
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柱状面的画法
Wang chenggang
25/86
平螺旋面的形成
Wang chenggang
26/86
平螺旋面的画法
Wang chenggang
27/86
正螺旋面应用的例子
螺旋扶手
Wang chenggang
螺旋楼梯
直母线沿着两根曲导线移动，井始终平行于一
个导平面而形成柱状面。 4.2.6平螺旋面
直母线—端沿圆柱螺旋线运动，另一端沿圆柱
轴线运动，且始终与与水平面平行，这样形成的曲面称 18/86
为平螺旋面。
Wang chenggang
9' 5' 1' 7' 11 3'
'
单叶双曲回转面的画法
3' 5'
177''
单叶双曲回转面是由直母线绕着与它交叉的 轴线旋转而成的。
Wang chenggang
17/86
4.2.3双曲抛物面
直母线沿着两条交错的直导线移动，并且始终
平行于一个导平面，这样形成的曲面叫双曲抛物面。 4.2.4锥状面
直母线沿一根直导线和一根曲导线移动，并始
终平行于一个导平面形成的曲面称为锥状面。 4.2.5柱状面
16/86
同一个曲面可能Wan由g chen几ggang种不同的运动形式形成。如图
3）根据曲面能否展成平面分类：
面；
①可展曲面：能展开成平面的曲面，如柱面、锥
②不可展曲面：不能展开成平面的曲面，如椭圆 面、椭圆抛物面、曲线回转面。
4.2.2单叶一双般曲只回有转直面纹曲面才有可展曲面与不可展曲面之分， 双曲曲面都是不可展曲面。
当一个动点M沿着一直线等速移动，而该直线同 时绕与其平行的一轴线OO旋转时，点M的轨迹就是一个圆 柱螺旋线。
直线旋转时形成的圆柱面称为螺旋线的导圆柱， 导圆柱的半径称为螺旋线半径。
直线旋转一周时，动点M移动到M1位置，MM1之间的 距离，称为螺旋线的导程。
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O
导程
第4章 曲线与曲面
4.1 曲线 4.2 曲面
Wang chenggang
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4.1 曲 线4.1.1 概
述 1.曲线的形成和分类
曲线可以看作是连续改变方向的一个动点的运动轨 迹；也可看作是平面与曲面或曲面与曲面的交线。
按点的运动是否有规律，曲线可分为规则曲线和不 规则曲线两种。规则曲线如圆、椭圆、螺旋线等；不规则曲 线如地形图上的等高线等。通常研究的是规则曲线。