曲线与曲面
第4章 曲线和曲面
2) 切矢量 对于三维参数曲线, 曲线上任一点的切矢量可用矢 量P′(t)表示, P′ (t)=［x′(t) y′(t) z′(t)］。 其大小反映了曲 线关于参数t在该点处的变化速度, 其方向趋于该点的 切线方向。 对于一般参数t, 若|dP/dt|≠0, 则有
d P /d t T d P/dt
P(0)=a0 P(1)=a3+a2+a1+a0 P′(0)=a1 P′(1)=3a3+2a2+a1
第 4 章 曲线和曲面
由上述方程组可求得 a0=P(0) a1=P′(0) a2=-3P(0)+3P(1)-2P′(0)-P′(1) a3=2P(0)-2P(1)+P′(0)+P′(1)
第 4 章 曲线和曲面
(3) 曲率连续, 用G2表示。
第 4 章 曲线和曲面
7. 有理参数曲线 有理参数曲线是基于齐次坐标(参见5.1.1节)的参数 曲线。 在齐次坐标空间定义的参数曲线可写成 P(t)=［X(t) Y(t) Z(t) W(t)］T 该齐次坐标空间的点映射到三维空间, 则有
X (t ) Y (t ) Z (t ) x (t ) , y (t ) , z (t ) W (t ) W (t ) W (t )
第 4 章 曲线和曲面
矢量积B=T·N,是一个与T和N垂直的矢量。 把平行于矢 量B的法线叫做曲线的副法线, B称为单位副法线矢量。 T、 N和B是三个互相垂直的单位矢量, 构成了曲线在该 点处的直角坐标系, 它在曲线给定点上决定了三个基本 方向。 通过曲线上这个给定点, 把由矢量T和N张成的
曲线曲面基本理论
在平面或空间中，给定一个起点和一个方向，如果有一个点按照这个方向以某种速度移动，并且这个速度随时间 变化，那么它所形成的轨迹就是一条曲线。曲线的表示方法有多种，其中最常用的是参数方程，即用时间参数表 示点的坐标。
曲线的参数方程
总结词
参数方程是一种表示曲线的方法，它通过引入一个或多个参数来表示曲线上点 的坐标。参数方程具有直观、易于理解的特点，并且可以方便地描述曲线的几 何性质。
曲线在曲面上的投影是指通过曲线的 所有点在曲面上的轨迹形成的新的几 何对象。
在几何建模、工程设计等领域中，投 影是常用的技术手段，用于将一个几 何对象映射到另一个几何对象上。
投影性质
投影保持了曲线的几何属性，如长度、 方向等，同时受到曲面形状和位置的 影响。
曲面在曲线上的投影
投影定义
01
曲面在曲线上的投影是指通过曲面上的一系列点在曲线上的轨
迹形成的新的几何对象。
投影性质
02
投影保持了曲面的几何属性，如面积、形状等，同时受到曲线
形状和位置的影响。
应用场景
03
在计算机图形学、动画制作等领域中，投影是常用的技术手段，
用于将一个几何对象映射到另一个几何对象上。
曲线与曲面之间的变换关系
变换定义
曲线与曲面之间的变换是指通过一系列的几何变换（如平移、旋 转、缩放等），将一个几何对象转换为另一个几何对象。
微分几何的曲线与曲面
微分几何的曲线与曲面
微分几何是数学中的一个分支，它研究的是曲线与曲面以及其在空间中的性质和变形。曲线与曲面是微分几何的基本概念，它们在几何学、物理学和工程学等领域中都具有重要的应用价值。
一、曲线
曲线是空间中一条连续的轨迹，可以用参数方程或者向量值函数表示。对于参数方程，通常使用参数t来表示曲线上的点的位置，而向量值函数则将参数t映射到空间中的点。
在微分几何中，我们通常关注曲线的切向量、弧长、曲率和挠率等性质。曲线的切向量表示曲线在某一点处的方向，它的大小与曲线在该点的速率有关。弧长表示曲线上两点之间的距离，它是曲线长度的度量。曲率是衡量曲线的弯曲程度的量，它描述了曲线在某点附近的几何性质。挠率则刻画了曲线弯曲的方向。
二、曲面
曲面是空间中的一个二维对象，它可以用参数方程、隐函数方程或者显函数方程表示。参数方程和向量值函数类似，将两个参数u和v 映射到空间中的点。隐函数方程将曲面表示为一个方程，其中的变量与坐标之间存在一定的关系。显函数方程则直接给出了曲面的形式。
曲面的法向量、切平面、曲率和高斯曲率等性质是微分几何中研究的重点。曲面的法向量垂直于曲面上每一点的切平面，它的方向和切平面的变化率有关。切平面是通过曲面上一点并与该点的切向量垂直
的平面。曲率是衡量曲面的弯曲程度的量，它描述了曲面在某点附近的几何性质。高斯曲率是刻画曲面弯曲方向的指标，它可以判断曲面上某点处的性质。
三、微分几何的应用
微分几何在几何学、物理学和工程学等领域中都有广泛的应用。在几何学中，微分几何可以研究曲线和曲面的性质，进而推导出一些几何定理和结论。在物理学中，微分几何可以描述空间中物体的运动轨迹和性质，以及引力场等物理现象。在工程学中，微分几何可以应用于地图绘制、计算机图形学和机械设计等领域，用来分析和描述实际问题的几何性质。
曲线与曲面
导平面
曲导线
曲导线
10
2. 柱状面的画法
11
➢7.5 锥状面
1. 锥状面的形成 一直母线沿一直导线和曲导线连续运动，同时始终平行于一
导平面，这样形成的曲面称为锥状面。 2. 锥状面的画法 （1） 画出一直导线和曲导线的两面投影； （2） 作出直母线的两面投影： （3） 作出该曲面上各素线的投影。
15
1.双曲抛物面的形成
直母线
直导线
直导线
导平面
16
2.双曲抛物面的画法
17
3.双曲抛物面的截交线
18
➢7.1 螺旋线
1. 圆柱螺旋线的形成
当一个动点沿着一直线等速移 动，而该直线同时绕与它平行的 一轴线等速旋转时，动点的轨迹 就是一根圆柱螺旋线。
1
2. 螺旋线的画法
2
➢7.2 正螺旋柱状面
1. 正螺旋柱状面的形成 正螺旋柱状面的两条曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运动的直
母线始终垂直于圆柱轴线。 2. 正螺旋柱状面的画法 （1） 画出两条曲导线（圆柱螺旋线）； （2） 作出直母线的两面投影； （3） 作出该曲面上各素线的投影。 3. 正螺旋柱状面的应用的例子
3
1．正螺旋柱状面的形成
4
2. 正 螺 旋 柱 状 面 的 画 法
5
3. 正螺旋柱状面应用的例子
螺旋扶手
曲面与曲线知识点总结
曲面与曲线知识点总结
一、曲线与曲面的基本概念
曲线是在平面上的点按照特定的规则所组成的图形，而曲面则是在三维空间内的点按照特
定的规则所组成的图形。在数学上，我们可以用函数来描述曲线和曲面，从而研究它们的
性质和特点。
1.1 曲线的性质
曲线可以是直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等不同类型的图形。我们可以通过曲线的方
程以及参数方程来描述它的形状和位置。曲线的长短、曲率、切线、法线等性质对于描述
曲线的形态和特点至关重要。
1.2 曲面的性质
曲面可以是球面、圆柱面、圆锥面、双曲面、抛物面等不同类型的图形。我们可以用二元
函数或者参数方程来描述曲面的形状和位置。曲面的曲率、切线、法线等性质是研究曲面
形态的重要工具。
1.3 直角坐标系和参数方程
在研究曲线和曲面的性质时，我们可以使用直角坐标系、参数方程和极坐标系等不同的数
学工具来描述它们的形态和位置关系。不同的描述方法可以帮助我们更好地理解曲线和曲
面的性质。
二、曲线的方程与性质
曲线方程是研究曲线性质的重要工具，通过曲线方程我们可以得到曲线的形状、位置、长度、曲率等重要信息。
2.1 一元曲线的方程
一元曲线的方程可以用直角坐标系的方程或者参数方程来表示。常见的一元曲线包括直线、圆和椭圆、抛物线、双曲线等。这些曲线都有各自的特点和性质，通过曲线方程我们可以
了解它们的形状和位置关系。
2.2 二元曲线的方程
二元曲线的方程可以用参数方程或者隐式方程来表示。常见的二元曲线包括螺线、双曲线、阿基米德螺线等。通过曲线方程我们可以了解二元曲线的性质和特点。
2.3 曲线的性质
解析几何中的曲线与曲面方程性质
解析几何中的曲线与曲面方程性质在解析几何中，曲线和曲面是两个重要的概念。它们在数学中有着
广泛的应用，涉及到各个领域的问题。本文将探讨解析几何中的曲线
与曲面方程性质，包括曲线与曲面的定义、方程表示和性质。
一、曲线的定义与方程表示
曲线是平面上的点的集合，它是由一系列点按照特定的规律排列而成。曲线可以用方程表示，方程可以是显式方程或参数方程。显式方
程是指将变量的函数关系以解析的方式表达出来，参数方程则是将变
量表示为某一参数的函数。下面将分别介绍这两种表示方法。
1.1 显式方程表示
对于平面上的曲线，可以使用显式方程表示。一般地，曲线的显式
方程可以表示为：
F(x, y) = 0
其中，F(x, y)是一个关于变量x和y的函数。当F(x, y)等于0时，
表示曲线上的点。不同的函数F(x, y)对应不同的曲线形状，因此显式
方程可以很好地描述平面上的曲线。
例如，对于一条直线，其显式方程可以表示为：
ax + by + c = 0
其中，a、b、c为常数，代表直线的斜率和截距。通过合适的选择a、b、c的值，可以得到不同的直线。
1.2 参数方程表示
除了显式方程表示，曲线还可以使用参数方程来描述。参数方程可以将曲线上的点表示为参数的函数，通常用t来表示参数。
对于平面上的曲线，其参数方程可以表示为：
x = f(t)
y = g(t)
其中，f(t)和g(t)是关于参数t的函数。通过选择不同的函数f(t)和g(t)，可以得到不同形状的曲线。
例如，对于一条圆的参数方程可以表示为：
x = r*cos(t)
y = r*sin(t)
第5章曲线与曲面
2012.03.27
第一节 曲线
一. 曲线概述
常见曲线：圆、螺旋线 回转曲面：圆柱面、圆锥面、球面、平螺旋面
在建筑形体的内外表面，经常遇到各种曲 线与曲面，如建筑工程中常见的圆柱、壳体 屋盖、隧道的拱顶以及常见的设备管道等等。 了解和掌握曲线的形成和图示方法，对进一 步研究曲面以及曲面立体的投影特点和实际 应用有很大的帮助。
2）.属于曲线的点，其投影属于曲线的投影，即点与曲线 的从属关系为曲线投影的不变性。
反映实形
退化成直线
变了形的曲线
二.圆
（1）.圆的投影特点：
1.当圆垂直于某一段投影面时，它在该投影面上
的投影为一直线段；
2.当圆平行于某一投影面时，它在该投影面上的 投影反映实际形状；
3.当圆倾斜于某一投影面时，它在该投影面上的 投影为椭圆。
2.螺旋线的画法
圆柱螺旋线的直径、导程、旋 向是决定其形状的基本要素。 根据圆柱螺旋线的这些要素和 点的运动规律，即可画出它的 投影图（右图）。设圆柱螺旋 线的轴线垂直于H面，作直径 为D、导程为S的右旋圆柱螺旋 线的两面投影，其步骤如下： (1)由圆柱直径D和导程S作出 圆柱的两面投影。 (2)把圆柱的水平投影圆周和 正面投影高分成相同等份(通 常为12等份)。 (3)在水平投影上用数字沿螺 旋线方向顺次标出各等分点0、 l、2、…、12。 (4)由水平投影圆周上各等分 点向上作垂直线，与导程上相 应的各等分点所作的水平直线 相交，得螺旋线上各点的V面 投影1′、2′、3′、…、 12′。 (5)依次用光滑曲线连接各点， 即得到圆柱螺旋线的正面投 影——正弦曲线，其水平投影 重合于圆周上。
第13章 曲线与曲面
二、曲线的分类
平面曲线：曲线上所有的点都在同 一平面内的曲线。如圆、抛物线。 空间曲线：曲线任意连续的四个点不 在同一平面内 的曲线。如螺旋线。 规则曲线：点按一定规律运动形成的曲线。 如正弦曲线、圆、抛物线、螺旋线等
曲线
曲线
不规则曲线：只能用图形或近似的数学方 程式近似表示的曲线。如机翼曲线、分子 运动曲线。 N
b′
A
a′ 2′ m1′
t1 ′ 1′ m2′ t1 a 2 1 m1 m2 t2 ′
B
H
b
t2
二、扭曲面
扭曲面上任意相邻两素线彼此交叉，它是不可展曲面。扭曲面上的所有母线都 平行于一个定平面，称此平面为平行导面，同时给出一对导线，从而确定一扭曲面。 工程上常用的有柱状面、锥状面和双曲抛物面。 （1）柱状面 柱状面是由直母线沿不在同一平面上的两曲导线移动，并始终平行一导平面而形成。
A N B C D K E F M
c m d
n b
k
a e f
五、曲线的实长 工程上的曲线实长常采用近似图解法求得，作图时先将空间曲线 展成平面曲线，再展成直线。将空间曲线分成很多段，用直角三角形 法求出每一段的实长，将各段实长相加即近似得到空间曲线的实长。
§13－3
一、二次曲线方程
（1）二次曲线的一般方程: （2）圆锥曲线方程
§13－1 §13－2
第三章曲线与曲面
求曲面立体相贯线的步骤
（1）进行线面分析，判断曲面立体的形状、大小、相对位 置； （2）分析相贯线的形状； （3）分析曲面立体的哪个投影具有积聚性，相贯线的哪个 投影已知，哪个投影要求； （4）作出相贯线上的特殊点的投影； （5）根据需要作出若干一般位置点的投影； （6）光滑并顺序的连接各点作出相贯线，并判断可见性； （7）整理轮廓线。
截交线
平面与圆柱体截交 平面与圆锥体截交 平面与球体截交
平面与圆柱面截交
截平面P的 位置
截平面垂直于圆柱轴线 圆
截平面倾斜于圆柱轴线 椭圆
截平面平行于圆柱轴线 两条平行直线
截交线空间 形状
投影图
求圆柱体截交线
2'
5'（6'）
6"
3'（4'）
4"
7'（8）
1'
8"
4 86
1
2
75
3
2"
解题步骤：
2' c'd' 7' 8' 3'4' 5'6'
a'b 1'
2"
8 d"
4" "
6
"b
c "
7 5" 3" "
三维空间中的曲线与曲面
三维空间中的曲线与曲面
在数学中，我们经常遇到分析三维空间中的曲线与曲面。曲线与曲面是几何学中的重要概念，对于研究空间中的运动、形变和相互关系具有重要意义。本文将介绍三维空间中的曲线与曲面的定义、性质以及它们在实际生活中的应用。
1. 曲线的定义与性质
在三维空间中，曲线可以通过参数方程或者隐式方程来表示。参数方程的形式为：
x = f(t)
y = g(t)
z = h(t)
其中，变量 t 为参数，可以是实数。函数 f(t)，g(t) 和 h(t) 分别表示曲线在 x、y 和 z 轴上的坐标随参数 t 的变化情况。通过改变参数 t 的取值范围，可以得到曲线在空间中的不同部分。
曲线的性质主要包括长度、切线和曲率。曲线的长度可以通过导数运算和积分运算求得。切线是指曲线上某一点处的切线方向，它垂直于曲线的切线平面。曲率是曲线在某一点处弯曲程度的度量，表示为曲线的曲率半径的倒数。
2. 曲面的定义与性质
曲面可以由隐式方程或者参数方程来表示。隐式方程的形式为：
F(x, y, z) = 0
其中，函数 F(x, y, z) 定义了曲面在三维空间中的形状。参数方程的
形式为：
x = f(u, v)
y = g(u, v)
z = h(u, v)
其中，变量 u 和 v 是曲面上的参数，函数 f(u, v)，g(u, v) 和 h(u, v)
分别表示曲面上的点在x、y 和z 轴上的坐标随参数u、v 的变化情况。
曲面的性质主要包括方程、切平面和法向量。曲面的方程描述了曲
面上的所有点满足的数学关系。切平面是曲面上某一点处的切平面，
4第四章曲线与曲面
第四章曲线与曲面§4.1 曲线的基本概念
§4.2 空间曲线
§4.3 曲面的形成与分类§4.4 直线面
§4.5 曲线面
§4.1 曲线的基本概念
一、曲线的形成和分类
曲线可分为两类： 若曲线上所有的点都在同一平面内称为平面曲线，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等。
若曲线上任意四个连续点不在同一平面内称为空间曲线，如螺旋线等。
曲线可看作是点在连续运动时描绘的轨迹，也可以看作是平面与曲面或两曲面相交形成 。
二、平面曲线投影的一般性质
（1）平面曲线的投影在一般情况下仍为平面曲线，平面曲线上点的投影必定在平面曲线的同面投影上。
（2）平面曲线所在平面垂直投影面时,曲线在该投影面上的投影为一直线。
（3）平面曲线所在平面平行投影时，曲线在该投影面上的投影反映实形。
三、圆的投影
1.铅垂面上圆的投影
圆所在的平面为一铅垂面，因此圆的水平投影重影为一直线，长度即为圆的直经D；它的正面投影为一椭圆，其长轴为圆的铅垂直经CD的投影
c′d′，长度即为圆的直经D；短轴为圆的水平直经AB的投影a′b′，长度等于ABcosβ=Dcosβ，作图时短轴长度可根据投影关系作出。求出椭圆长短轴后，即可作出椭圆。
2.处于一般位置时圆的投影作图
方法一：
用换面法作图
已知圆的直径为D，
圆心O在平面MNKL上，
先作圆的水平投影，则
保留四边形水平投影，
将正面投影变换成垂直
面，即以V1代替V面，
则在V1/H体系中圆处于
垂直面，可根据圆在垂
直面上的作图方法作出
其投影。
圆的正面投影也可
类似的作出。
方法二：最大斜度线法
投影面上椭圆的长轴位于过圆心O 的与该投影面平行的直线投影上。水平投影中椭圆的长轴位于水平线AB的水平投影ab上，正面投影中椭圆的长轴位于正平线EF的正面投影e′f′上，长轴的大小等于圆的直经，可直接作出。
几种常见的曲面和曲线
几种常见的曲面和曲线
曲面和曲线在数学中广泛应用，其种类也多种多样。本文将介绍几种常见的曲面和曲线。
1.圆锥曲线
圆锥曲线是由一个固定点（焦点）和一条固定直线（直母线）构成的曲线。圆锥曲线
包括圆、椭圆、抛物线和双曲线四种形式。
圆是一种特殊的圆锥曲线，其焦点和直母线相等。椭圆是焦点离直母线较远的圆锥曲线，其形状类似于延伸的圆。抛物线是焦点在直母线上方的圆锥曲线，其形状类似于一个
开口向上的碗。双曲线是焦点离直母线较近的圆锥曲线，其形状类似于两个对称的开口向
外的碗。
2.球面
球面是三维空间中的曲面，其所有点都与一个固定点相等距离，这个点称为球心。球
面是一种闭合的曲面，具有无限个可测量的点。球面在地理学、天文学和物理学中经常使用。
3.椭球体
椭球体是一种类似于球体的曲面，但其轴向不同，具有两个互相垂直的轴。其中一个
轴长，称为主轴，另一个轴短，称为次轴。椭球体也是一种闭合的曲面。椭球体在地理学、天文学和力学中经常使用。
4.螺旋线
螺旋线是一种常见的曲线类型，在旋转体中可以看到。螺旋线运动是动力学中的重要
问题，许多物理现象都与螺旋线有关。螺旋线可以分为两类，即右旋螺旋线和左旋螺旋线，其旋转方向与螺旋线旋转方向相同。
5.文森特曲线
文森特曲线最初由法国数学家沃伦斯·文森特（Jules-Antoine Lissajous）发现。它的形状是由两个矩形谐振器的运动生成的曲线，矩形谐振器是一种简单的物理系统，可以
通过一个质点在两个定点之间来建模。
文森特曲线具有美丽的几何形状，其形状类似于椭圆、双曲线和菱形，因此在绘图、
第五章曲线与曲面
锥状面的形成
直导线
导平面
曲导线
锥状面的画法
双曲抛物面 1．双曲抛物面的形成
一直母线沿两交叉直导线连续运动，同时始终平行于一导 平面，其运动轨迹称为双曲抛物面。 2．双曲抛物面的画法 （1） 画出两条直导线的两面投影； （2） 作出直母线的两面投影： （3） 作出该曲面上各素线的投影及素线的包络线。 3．双曲抛物面的截交线
（二） 曲线的分类
1、按点的运动有无规律，曲线可分为规则曲线 （如圆锥曲线、螺旋线等）和不规则曲线。 2、按曲线上点的分布可分为两类： 1）平面曲线 曲线上所有点都在同
一平面上，如二次曲线、渐伸线等； 2）空间曲线 曲线上任一连续四个点
不在同一平面上，如螺旋线等。
（三） 曲线的投影
一般情况下，曲线至少需要两个投影才能确 定出它在空间的形状和位置。
4）曲线切线的投影仍为其投影的切线
（三） 曲线的投影 反映实形
退化成直线
变了形的曲线
（四）圆的投影
圆是最简单的平面曲线 根据圆所在平面相对于投影面的位置不同，
其正投影有如下三种情况（这里仅讨论其Ｖ和Ｈ两 面投影）：
（1） 圆所在平面为投影面平行面
（2） 圆所在平面为投影面垂直面
（3） 圆所在平面为一般位置平面
柱状面的形成
曲导线
导平面
曲导线
柱状面的画法
解析几何中的曲线与曲面的性质
解析几何中的曲线与曲面的性质在解析几何中，曲线与曲面是重要的概念。曲线是由一系列点组成
的连续的曲线，而曲面是由一系列曲线组成的连续的曲面。曲线与曲
面的性质对于理解几何图形的特征和性质至关重要。本文将从曲线和
曲面的定义、性质和应用等方面进行探讨。
一、曲线的性质
曲线的性质是指某一曲线所具备的特征和规律。曲线的性质可以从
不同的角度进行分类和描述。下面将从几何性质和数学性质两个方面
对曲线的性质进行探讨。
（1）几何性质
在几何学中，曲线的性质主要包括弯曲程度、曲率、斜率和切线方
程等。曲线的弯曲程度可以通过曲率来描述，曲率越大则曲线越弯曲。斜率则表示曲线上某一点的切线与水平线之间的夹角，可以用来判断
曲线的斜率情况。切线方程则是通过求解曲线上一点的切线斜率和切
点坐标得到的一条直线方程，可以用来描述曲线在该点附近的几何特征。
（2）数学性质
在数学中，曲线的性质主要包括方程、参数方程和极坐标方程等。
方程是指以曲线上的点满足某种关系的数学式子，可以用于描述曲线
的几何特征。参数方程是通过引入参数来表示曲线上的点，可以方便
地表示曲线的形状和位置。极坐标方程是以极坐标系中的点满足某种
关系的数学式子，可以用来描述曲线在极坐标系中的几何特征。
二、曲面的性质
曲面是由一系列曲线组成的连续的曲面。曲面的性质可以从不同的
角度进行分类和描述。下面将从几何性质和数学性质两个方面对曲面
的性质进行探讨。
（1）几何性质
在几何学中，曲面的性质主要包括形状、曲率、切平面和法向量等。曲面的形状可以通过曲率和曲率半径来描述，曲率越大则曲面越弯曲。切平面是指曲面上的一个点与该点的切线所确定的平面，可以用于判
空间解析几何中的曲线与曲面
空间解析几何中的曲线与曲面空间解析几何是研究空间中点、直线、曲线和曲面的位置和性质的
数学分支。其中，曲线与曲面是解析几何中的重要概念，它们在数学
和工程学科中都有广泛的应用。本文将从曲线与曲面的定义、性质以
及应用角度出发，对空间解析几何中的曲线与曲面进行详细的探讨。
一、曲线的定义和性质
曲线是一个一维的几何对象，由无数个连续的点组成。在空间解析
几何中，曲线可以用参数方程或者一般方程来表示。参数方程是通过
引入一个或多个参数，将曲线上的点的坐标表达为这些参数的函数，
从而得到曲线的方程。一般方程则是通过将曲线上的点的坐标表达为
变量的代数方程，得到曲线的方程。常见的曲线有直线、圆和椭圆等。
曲线的性质包括长度、曲率和弧长等。长度是曲线上两点之间的距离，可以通过弧长公式进行计算。曲率是曲线上某一点的弯曲程度，
可以通过求曲线的曲率半径来衡量。弧长是曲线上某一部分的长度，
可以通过积分来计算。这些性质在数学、物理和工程学科中都有广泛
的应用。
二、曲面的定义和性质
曲面是一个二维的几何对象，由无数个连续的点组成。在空间解析
几何中，曲面可以用一般方程或者参数方程来表示。一般方程是通过
将曲面上的点的坐标表达为变量的代数方程，得到曲面的方程。参数
方程是通过引入一个或多个参数，将曲面上的点的坐标表达为这些参
数的函数，从而得到曲面的方程。常见的曲面有平面、球面和柱面等。
曲面的性质包括方程、切平面和切线等。方程是确定曲面上的点的
代数关系，可以通过给定条件求解得到。切平面是曲面上某一点的切
线和曲面法线组成的平面，可以用于确定曲面上某点的切线方向。切
空间几何中的曲线与曲面
空间几何中的曲线与曲面
空间几何是研究物体在三维空间中的形状、位置和运动的数学学科。在空间几
何中，曲线和曲面是两个重要的概念。曲线是一条连续的曲线，而曲面是一个连续的曲面。
一、曲线
曲线是空间中的一个重要概念，它可以用于描述物体的轮廓、路径和形状。在
空间几何中，曲线可以用参数方程或者向量函数来表示。
1. 参数方程表示曲线
参数方程是一种描述曲线的方法，它通过引入一个参数，将曲线上的每个点表
示为参数的函数。例如，对于一个平面上的曲线，可以使用参数方程：x = f(t)
y = g(t)
其中，x和y是曲线上的点的坐标，f(t)和g(t)是关于参数t的函数。通过改变
参数t的取值范围，可以得到曲线上的不同点。
2. 向量函数表示曲线
向量函数是另一种描述曲线的方法，它使用向量来表示曲线上的每个点。例如，对于一个平面上的曲线，可以使用向量函数：
r(t) = (x(t), y(t))
其中，r(t)是曲线上的点的位置向量，x(t)和y(t)是关于参数t的函数。通过改变参数t的取值范围，可以得到曲线上的不同点。
二、曲面
曲面是空间中的一个重要概念，它可以用于描述物体的外形、表面和形状。在空间几何中，曲面可以用参数方程或者隐式方程来表示。
1. 参数方程表示曲面
参数方程是一种描述曲面的方法，它通过引入两个参数，将曲面上的每个点表示为参数的函数。例如，对于一个三维空间中的曲面，可以使用参数方程：x = f(u, v)
y = g(u, v)
z = h(u, v)
其中，x、y和z是曲面上的点的坐标，f(u, v)、g(u, v)和h(u, v)是关于参数u和v的函数。通过改变参数u和v的取值范围，可以得到曲面上的不同点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章曲线与曲面
Chapter 4 Curve and Curved Surface
建筑工程中常会遇到由曲线、曲面与平面围成的曲面体。如圆柱、壳体屋盖、隧道的拱顶以及常见的设备管道等等，它们的几何形状都是曲面体，如图4-1所示。在制图、施工和加工中应熟悉它们的特性。本章将介绍常用的一些曲线、曲面及其投影。
图4-1 悉尼歌剧院
第一节 曲线
[Curve]
一、曲线的投影特性[Characteristics of Curve Projection]
（一） 曲线的形成
曲线可以看作是一个动点在连续运动中不断改变方向所形成的轨迹，如图4-2(a)；也
可以是平面与曲面相交的交线，如图4-2(b )；或两曲面相交形成的交线，如图4-2(c )。
（二） 曲线的分类
（1） 平面曲线——曲线上所有点都在同一平面上，如：圆、椭圆、抛物线、双曲线、 及任一曲面与平面的交线。
（2） 空间曲线——曲线上任意连续的四个点不在同一平面上，如：螺旋线或曲面与曲 面的交线。
（三） 曲线的投影特性
曲线上的点，其投影必落在该曲线的同面投影之上,见图4-2(a )中，曲线上M 点，其投影m 落在曲线的投影l 上。
曲线的投影一般仍为曲线。在对曲线L 进行投影时，通过曲线的光线形成一个光曲面，该光曲面与投影面的交线必为一曲线，见图4-3(a )。
若曲线是一平面曲线，且它所在平面为投影面垂直面时，则曲线在所垂直的投影上的投影为一直线，且位于平面的积聚投影上，见图4-3(b )；其他二投影仍为曲线。
若曲线是一平面曲线，且它所在平面为投影面平行面时，则该曲线在所平行的投影面上的投影为曲线的实形，见图4-3(c )，其它二投影均为直线且平行于投影轴。
空间曲线，在三个投影面上的投影仍为曲线。
二、 圆的投影 [Projection of Circle ]
圆是平面曲线之一，其投影由于圆面与投影面相对位置不同有三种情况：
（1） 圆面平行于某一投影面时，则圆在该投影面上的投影为圆（实形）；另外两个投 影积聚为一直线段（长度等于圆的直径），且平行于投影轴。
（2） 圆面垂直于某一投影面时，则圆在该投影面上的投影积聚为一倾斜于投影轴的直 线段（长度等于圆的直径）；另外两个投影为椭圆。
（3） 圆面倾斜于投影面时，投影为椭圆（椭圆长轴等于圆的直径）。
如图4-4(a ) 所示，圆属于正垂面 P ，因此，正面投影为一直线，水平投影为一椭圆。 其投影图作法如下：
（1） 定OX 轴及圆心的V 、H 投影 o ′、o ，见图4-4 (b )。
（2） 作圆的V 面投影，即过 o ′ 作c ′d ′与OX 轴的夹角为
，取c ′
d ′
=Ф（直径）。
（3） 作圆的H 面投影椭圆。先作椭圆的长、短轴，即过o 作长轴ab ⊥OX ，ab=Ф；过 o 作短轴cd ‖OX ，长度由c ′d ′ 对正确定，如图4-4 (c )。
（4） 以o ′为圆心、c ′d ′为直径作半圆，并在半圆上取两点e 1、f 1与c ′d ′的距离为y ；过
e 1、
f 1分别作c ′d ′的垂线，交c ′d ′于e ′、f ′两点，如图4-4 (c )。
（5） 画一直线ef ‖OX ，且距cd 的距离等于y ；与由e ′、f ′两点向H 面所引投影连线 相交于e 、f 两点。找到相应对称点e*、f*两点。
（6） 光滑连接各点，画出椭圆。
三、圆柱螺旋线 [Cylindrical Helix]
（一） 圆柱螺旋线的形成：圆柱面上一动点沿着圆柱轴线方向作等速直线运动，同时 该动点绕着圆柱轴线作匀速圆周运动，则该动点在圆柱面上的轨迹曲线就是一圆柱螺旋线。见图4-5(a )。该圆柱称为导圆柱。形成圆柱螺旋线必须具备三个要素：
（1） 导圆柱（直径：d ）；
（2） 导程（S ）——动点回转一周，沿轴线方向移动的距离；
（3） 旋向——分右旋、左旋两种旋向。以大拇指指向动点沿着轴线前进的方向，握紧柱面的四指方向表示动点绕轴线的回转方向。若符合右手规则时称为右旋，见图4-5(a)；若符合左手规则时称为左旋，见图4-5(b)；
（二） 圆柱螺旋线的投影作法
（1） 根据导圆柱的直径d和导程S画出导圆柱的H、V面投影（图中导圆柱轴线垂直H面），见图4-6(a)所示；
（2） 将H面投影的圆等分为n等分（图中为12等分），注上各等分点的顺序号1、2、······、13；画右旋时，见图4-6(b)所示，按逆时针方向顺序标注；画左旋时，见图4-6(c)所示，按顺时针方向顺序标注；
（3） 将V面投影的导程作与圆相同的n等分（图中为12等分），过各等分点自下而上顺序编号1、2、 (13)
（4） 由H面投影上各等分点向上分别引铅垂线，与V面投影的各同名等分点1、2、······、13的水平引出线相交于1′、2′、······、13′，即为螺旋线上的点的V面投影；
（5） 顺序将1′、2′、······、13′各点光滑连接即得螺旋线V面投影。若柱面不存在，则整条螺旋线都可见，如图中所示；若柱面存在，则位于后半柱面上的螺旋线不可见。
（6） 螺旋线的H面投影与导圆柱重合，为一个圆。