计算机图形学第8讲曲线曲面
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计算机图形学 曲线和曲面 算法
5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
Q(t ) = [x(t ) = t y ( t ) z ( t )] = T * M B * G B −1 3 − 3 3 −6 3 t 1 * − 3 3 0 0 0 1 1 P 1 P 0 2 * 0 P3 0 P4
G1 g1x G g 2x G = 2 = G3 g 3 x G4 g 4 x g1 y g2 y g3 y g4 y g1z g2z g3z g4z
Q(t ) = [x(t )
G1 g1 x G g 2x G = 2 = G 3 g 3 x G 4 g 4 x
y (t ) z (t )] = t 3
g1 y g2 y g3 y g4 y g1 z g2z g3z g4z
[
t2
m11 m t 1 21 m31 m41
]
m12 m22 m32 m42
m13 m23 m33 m43
m14 G1 m24 G2 m34 G3 m44 G4
5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
Q(t ) = T * M H * GH = T * M H * ( M HB * GB ) = T * ( M H * M HB ) * GB = T * M B * GB
M B = M H * M HB −1 3 − 3 3 −6 3 = − 3 3 0 0 0 1 1 0 0 0
如何确定曲线的约束条件
Q(t ) = [x(t ) y ( t ) z ( t )] = T * C
拆分 C = M * G
计算机图形学及cad技术讲义——曲线曲面基本理论
第三讲 曲线曲面基本理论1概述(a) 飞机 (b) 船舶 (c) 汽车图 1-1 曲线曲面造型应用曲线曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design, CAGD)和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机系统中如何用曲线曲面表示、设计、显示和分析物体模型。
它在航空航天、船舶、飞机、汽车等行业得到广泛应用(如图1-1所示)。
由Coons 、Bezier 等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础,经过三十多年的发展，曲线曲面造型现在已形成了以有理B 样条曲线曲面(Rational B-spline Surface)参数化特征设计和隐式代数曲线曲面(Implicit Algebraic Surface)表示为主体的两类方法，且以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)手段为几何理论体系。
1.1曲线曲面表示曲线曲面可以用三种形式进行表示，即显式、隐式和参数表示，三种形式表示如下。
显式表示：形如),(y x f z =的表达式。
对于一个平面曲线而言，显式表达式可写为)(x f y =。
在平面曲线方程中，一个x 值与一个y 值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线，例如，不能用显式方程表示一个圆。
隐式表示：形如0),,(=z y x f 的表达式。
如一个平面曲线方程，隐式表达式可写为0),(=y x f 。
隐式表示的优点是易于判断函数),(y x f 是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧。
参数表示：形如)(t f x =，)(t f y =，)(t f z =的表达式，其中t 为参数。
即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。
如平面曲线上任一点P 可表示为)](),([)(t y t x t P =，如图1-2(a)所示；空间曲线上任一三维点P 可表示为)](),(),([)(t z t y t x t P =，如图1-2(b)所示。
曲线曲面
t = 1: t = 0 .5 :
P (1) = A1 + A2 + A3 = P3
P ( 0.5) = A1 + 0.5 A2 + 0.25 A3 = P2
解以上三个联立方程：
A1 = P1
P3 = A1 + A 2 + A3 = P1 + A 2 + A3 ∴ A 2 = P3 − P1 − A3 P2 = A1 + 0 . 5 A 2 + 0 .25 A3
抛物样条曲线，顾名思义，就是选择抛物线这样一 种较为简单的二次曲线作为基本曲线，来拟合给定离 散型值点生成的曲线。 2、过三点定义一段抛物线 由于离散点的要求，首先要解决由给定点定义抛物 线问题。
P2
设有不在同一直线上的三 点：P1，P2，P3 ，现在要求 通过该给定的三点定义一条 抛物线。
P1
P3
p
i
= p i (t )
t
∈ [t
i0
, t i1 ]
这里讨论参数曲线两种意义上的连续性：参数连 续性和几何连续性。
Байду номын сангаас
（1）参数连续性 0阶参数连续性： 阶参数连续性： 记作C0连续性，是指曲线的几何位置连接，即第一 个曲线段在ti1处的x,y,z值与第二个曲线段在t(i+1)0 处的x,y,z值相等：
CAGD是综合了微分几何、代数几何、数值计算、 逼近论、拓扑学以及数控技术等的一门边缘性学科 。依据定义形状的几何信息可建立相应的曲线曲面 方程，即数学模型。并在计算机上通过计算和处理 程序，计算出曲线曲面上大量的点及其它信息。 实际上，在形状信息的计算机表示、分析与综合中 ，核心的问题是计算机表示，即需建立既适合于计算 机处理，又有效地满足形状表示与几何设计要求，同 时还便于进行形状信息传递和产品数据交换的形状描 述的数学方法。计算机处理曲线曲面的内容是很丰富 的，本章只讨论其中曲线曲面的表示与设计的基本方 法。
（4条消息）曲线曲面基本理论
（4条消息）曲线曲面基本理论一、曲线曲面基本理论计算机图形学三大块内容：光栅图形显示、几何造型技术、真实感图形显示。
光栅图形学是图形学的基础，有大量的思想和算法。
几何造型技术是一项研究在计算机中，如何表达物体模型形状的技术。
描述物体的三维模型有三种 :线框模型、曲面模型和实体模型线框模型用顶点和棱边来表示物体曲面模型只描述物体的表面和表面的连接关系，不描述物体内部的点的属性实体模型不但有物体的外观而且也有物体内点的描述。
二、曲线曲面基础1 、显示、隐式和参数表示曲线和曲面的表示方程有参数表示和非参数表示之分，非参数表示又分为显式表示和隐式表示。
对于一个平面曲线，显式表示一般形式是：y = f（x）。
在此方程中，一个x值与一个y值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线。
如果一个平面曲线方程，表示成 f（x，y）= 0 的形式，称之为隐式表示。
隐式表示的优点是易于判断一个点是否在曲线上。
2、显式或隐式表示存在的问题（1）与坐标轴相关（2）用隐函数表示不直观，作图不方便（3）用显函数表示存在多值性（4）会出现斜率为无穷大的情形3、参数方程为了克服以上问题，曲线曲面方程通常表示成参数的形式，假定用t表示参数，平面曲线上任一点P可表示为：p ( t ) = [ x ( t ), y ( t ) ]空间曲线上任一三维点P可表示为：p ( t ) = [ x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ]它等价于笛卡儿分量表示：p ( t ) = x ( t ) i + y ( t ) j + z ( t ) k这样，给定一个t值，就得到曲线上一点的坐标。
假设曲线段对应的参数区间为[a,b]，即a≤t≤b。
为方便期间，可以将区间[ a,b ]规范化成[ 0,1 ]，参数变换为：该形式把曲线上表示一个点的位置矢量的各个分量合写在一起当成一个整体，考虑的是曲线上点之间的相对位置关系而不是它们与所取坐标系之间的相对位置关系。
《曲线与曲面》PPT课件
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3
二、曲线的投影
画出曲线上一系列点的投影，可得到曲线的投影。为了准确 地表示曲线，一般应画出曲线上特Hale Waihona Puke 点的投影，以便控制好曲线 的形状。
曲线的投影性质：
1.曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能 退化成直线；
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4
2.曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的 投影相切，而且切点的投影仍为切点；
直母线绕一条与它交叉的 直线 OO 旋转，这样形成的曲 面称为旋转单叶双曲面，直线 OO称为旋转轴。
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42
投影图上应画出旋转轴和若干条素线的投影、直母线两端点轨 迹的投影，以及素线的包络线。
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43
2. 单 叶 双 曲 回 转 面 的 画 法
精选ppt
44
旋转中母线上的每个点都在作圆周运动，其轨迹是纬圆。 母线上距轴线最近的点，其轨迹是最小的纬圆，叫喉圆。
曲导线曲导线cc是空间曲线是空间曲线称为切线面的称为切线面的脊线三切线面29工程中弯曲坡道两侧的边坡往往设计成切线面并且使切线面的所有切线与地面成同一角度这样设计成的切线面称为同坡曲30直母线直母线ll沿着两条交叉直导沿着两条交叉直导ababcdcd运动且始终平行于某一导运动且始终平行于某一导平面平面qq这样形成的曲面称为这样形成的曲面称为双曲抛物双曲抛物面面工程上也称双曲抛物面的投影图中只双曲抛物面的投影图中只需画出两条直导线和若干素线的投影需画出两条直导线和若干素线的投影而不必画出导平面
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34
五、锥状面
直母线 l 沿着一条直导线 EF 和一条曲导线ABC 运动，且始终 平行于导平面P（P 平行于两条导 线端点的连线AE 和CF ），这样 形成的曲面称为锥状面。
计算机图形学第8讲曲线曲面
P P(t )
t
t [0,1]
可以表示时间、角度等量
9
曲线的表示形式
如：直线方程的矢量表示
P(t) P0 0
t x x0 x1 x0
P1
P P0 ( P1 P0 )t
t [0,1] t [0,1]
x x0 ( x1 x0 )t y y0 ( y1 y0 )t
记为Cn
22
参数连续性与几何连续性
几何连续性
直观的、易于交互控制的连续性 0阶几何连续
称曲线P=P(
臵连续，即
记为：G0
t ) 在 t=t0 处0阶几何连续，如果它在 t0 处位
P( t 0 ) P( t 0 )
1阶几何连续
称曲线 P=P(t) 在 t = t0 处1阶几何连续，如果它在 t0处 GC0 ，并且切矢量方向连续，即
Frenet–Serret 公式
21
参数连续性与几何连续性
参数连续性
传统的、严格的连续性 曲线 P = P(t)在 t＝t0 处n阶参数连续，如果它在 t0 处n 阶左右导数存在，并且满足
d k P(t ) d k P(t ) , k 0,1,, n k k dt t t0 dt t t0
参数曲线基础 参数多项式曲线 三次Hermite曲线 Bezier曲线 Bezier曲面 OpenGL相关函数
26
参数多项式曲线
为什么采用参数多项式曲线？
表示最简单 理论和应用最成熟
n次多项式曲线
n x ( t ) x x t x t 0 1 n n y ( t ) y y t y t 0 1 n z (t ) z z t z t n 0 1 n
计算机图形学课件第八章-几何造型简介
可以预计，在这一发展道路上，将会不断出现新成果。
32
作业
1．几何造型有哪三种模型？各有什么特点？ 2．分析比较CSG法与B-rep法优缺点。
1973年在英国剑桥大学由I· C· Braid等建成了BUILD系统 1973年日本北海道大学公布了TIPS-1系统 1978年，Shape Data的ROMULUS系统问世 1980年 Evans和Sutherland开始将ROMULUS投放市场
目前市场上已有许多商品化的几何造型系统。
国外： AUTOCAD、CATIA、I - DEAS 、Pro/Engineer、
1
第八章 几何造型简介
8.1 概述 8.1.1 几何造型定义 几何造型是计算机及其图形
工具表示描述物体形状，设计几 何形体，模拟物体动态处理过程 的一门综合技术。包括： 1、曲面造型：B样条曲面，Coons 2、实体造型 3、特征造型：面向制造全过程，实现CAD/CAM集成重要手段 三种造型关键是实体造型，后面重点讨论实体造型。
画、边、点之间的拓扑关系
16
8.3.2 边界表示（B-rep）法
2、形体边界表示法 （1）分层表示 将形体面、边、顶点的信息分别记录，建立层与层 之间的关系，其信息包括几何信息和拓扑信息。 （2）翼边结构 以边为核心来组织形体数据
（3）优缺点 优点：可直接用几何体面、边、点来定义数据， 方便图形绘制。 缺点：数据结构复杂，存储量大。
27
8.3.5 分解表示法（D-rep）
先讨论四叉树再讨论八叉树。 1、四叉树
四叉树处理图形基本思想：假定图形由N ×N个像素构成， 且 N＝ 2m。将图形四等分，划分后可能出现三种情况：
（1）图形不占区域：白色区域，不必再划分；
32
作业
1．几何造型有哪三种模型？各有什么特点？ 2．分析比较CSG法与B-rep法优缺点。
1973年在英国剑桥大学由I· C· Braid等建成了BUILD系统 1973年日本北海道大学公布了TIPS-1系统 1978年，Shape Data的ROMULUS系统问世 1980年 Evans和Sutherland开始将ROMULUS投放市场
目前市场上已有许多商品化的几何造型系统。
国外： AUTOCAD、CATIA、I - DEAS 、Pro/Engineer、
1
第八章 几何造型简介
8.1 概述 8.1.1 几何造型定义 几何造型是计算机及其图形
工具表示描述物体形状，设计几 何形体，模拟物体动态处理过程 的一门综合技术。包括： 1、曲面造型：B样条曲面，Coons 2、实体造型 3、特征造型：面向制造全过程，实现CAD/CAM集成重要手段 三种造型关键是实体造型，后面重点讨论实体造型。
画、边、点之间的拓扑关系
16
8.3.2 边界表示（B-rep）法
2、形体边界表示法 （1）分层表示 将形体面、边、顶点的信息分别记录，建立层与层 之间的关系，其信息包括几何信息和拓扑信息。 （2）翼边结构 以边为核心来组织形体数据
（3）优缺点 优点：可直接用几何体面、边、点来定义数据， 方便图形绘制。 缺点：数据结构复杂，存储量大。
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8.3.5 分解表示法（D-rep）
先讨论四叉树再讨论八叉树。 1、四叉树
四叉树处理图形基本思想：假定图形由N ×N个像素构成， 且 N＝ 2m。将图形四等分，划分后可能出现三种情况：
（1）图形不占区域：白色区域，不必再划分；
计算机图形学曲线和曲面造型ppt课件
形状复杂的曲线常采用若干段曲线组合而成，相邻的曲线段 间的连接则满足某种连续性条件。
• 如果参数曲线有n阶连续的导矢，则称该曲线为Cn或n阶连续。
一般来说，如果曲线连续的阶数越高，那么曲线就越光滑。 在几何上，C0，C1，C2依次表示曲线的位置、切线方向，曲 率连续。
• 对于组合曲线，整条曲线的参数连续性取决于公共连接点的
连续性。如果在公共连接点达到k阶参数连续，则称该曲线
具有Ck或k阶参数连续性。
| | dpk (u)
duk
u u0
dpk (u) duk
u
u
0
k 0,1,, n
12
y
y(u, v)
z z(u, v)
曲面的范围通常用两个参数u和v的变化区间的矩形区域 u1 u u2 , v1 v v2 给出。这种曲面通常叫做矩形域曲面。参数u和v的变化区间一般规范为0，1，
10
矢量方程式为 s s(u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v))
计算机图形学
第专题
曲线和曲面造型
1
一. 曲面造型的发展
• 曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何
设计 (Computer Aided Geometric Design,CAGD) 和计算机图形学(Computer Graphics)的一项重要 内容，主要研究在计算机图形系统中对曲面的表 示、设计、显示和分析。
多样性 特殊性 拓扑结构复杂性 一体化 集成化 网络化
三维数据采样技术 及硬件设备完善
曲 基于网格细分 面 的离散造型 造 型 曲面变形 研 究 曲面重建 的 开 曲面简化 拓 创 曲面转换 新
• 如果参数曲线有n阶连续的导矢，则称该曲线为Cn或n阶连续。
一般来说，如果曲线连续的阶数越高，那么曲线就越光滑。 在几何上，C0，C1，C2依次表示曲线的位置、切线方向，曲 率连续。
• 对于组合曲线，整条曲线的参数连续性取决于公共连接点的
连续性。如果在公共连接点达到k阶参数连续，则称该曲线
具有Ck或k阶参数连续性。
| | dpk (u)
duk
u u0
dpk (u) duk
u
u
0
k 0,1,, n
12
y
y(u, v)
z z(u, v)
曲面的范围通常用两个参数u和v的变化区间的矩形区域 u1 u u2 , v1 v v2 给出。这种曲面通常叫做矩形域曲面。参数u和v的变化区间一般规范为0，1，
10
矢量方程式为 s s(u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v))
计算机图形学
第专题
曲线和曲面造型
1
一. 曲面造型的发展
• 曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何
设计 (Computer Aided Geometric Design,CAGD) 和计算机图形学(Computer Graphics)的一项重要 内容，主要研究在计算机图形系统中对曲面的表 示、设计、显示和分析。
多样性 特殊性 拓扑结构复杂性 一体化 集成化 网络化
三维数据采样技术 及硬件设备完善
曲 基于网格细分 面 的离散造型 造 型 曲面变形 研 究 曲面重建 的 开 曲面简化 拓 创 曲面转换 新
计算机图形学ppt课件第八章自由曲线曲面
u
u
u
u
§8.1 曲线和曲面的表示
所以 c'(u) [x'(u), y'(u), z'(u)] 矢函数的导矢也 是一个矢函数，因此也有方向和模。u当 0 ,c(u)/ u 就转变为切线矢量，故又称导矢为切矢 。
• 曲线的自然参数方程 设在空间曲线c(u)上任取一点M0(x0,y0,z0)作为计 算弧长起点，曲线上其他点M(x,y,z)到M0的弧长s 作为曲线方程的参数，这样的方程称为曲线的自然 参数方程，弧长则称为自然参数。
• Bezier曲线矩阵表示
➢ 三次Bezier曲线
P1
P2
C(u) (1 u)3 p0 3u(1 u)2 p1 3u2 (1 u) p2 u3 p3
1 3 3 1P0
C(u)
[u3,u2 ,u,1]
3Leabharlann 630P1
P(u)
3 3
1
0
0 0
0 0
P2 P3
P0
P3
图8.3 三次Bezier曲线
• 性质
1、端点
P0,0 S(0,0), P0,m S(0,1)
2、边界曲线Pn,0 S(1,0), Pn,m S(1,1)
S(0,v)， S(u,0)， S(1,v)， S(u,1)为四条Bezier 曲线
3、端点的切平面
4、端点的法线方向
5、凸包性
6、几何不变性
7、变差递减性
§8.3 贝叶斯（Bezier）曲面
当u为常数时，上式变成单参数v的矢函数，它是曲面上的空 间曲线，称它为v线，同理v为常数时，则称为u线。
将矢函数S(u,v)对u求导，得切矢量
S u
自由曲线和曲面 图形学 孔令德 计算机图形学基础教程 大学课件98页PPT文档
Hermite曲线段定义：给定曲线段的两个端点P i 和 P i+1和两端点处的一阶导数Ri和Ri+1构造而成。
下面用已知条件求出Hermite曲线段的参数方程
11
通常用三次参数方程描述空间一条自由曲 线：
x(t) y(t)
axt3 ayt3
bxt2 byt2
cxt cyt
dx dy
，t∈[0,1]
z(t) azt3 bzt2 czt dz
其中，t为参数，且0<=t<=1时，t=0对应曲线段的起点，t ＝1时，对应曲线段的终点。
以直线为例：已知直线的起点坐标P1（x1，y1） 和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程：
yy1yx22 xy11(xx1)
9
直线的隐函数方程表示为：
f(x)yy1y x2 2 x y1 1(xx1)0
直线的参数方程表示为：
yxyx11
(x2 (y2
d
t∈〔0,1〕；
13
7.1.3 拟合和逼近
• 型值点 指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述曲线或 曲面几何形状的数据点。
• 控制点
指用来控制或调整曲线(面）形状的特殊点（不一定在曲线上）
• 插值点 求给定型值点之间曲线（面）上的点 要求建立的曲线与曲面数学模型，严格通过已知的每一
自由曲线曲面——
无法用标准方程描述的曲线曲 面，通常由一系列实测数据点 确定。如汽车的外形曲线曲面、 等高线等。
3
图7-1 汽车的曲面
4
7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
下面用已知条件求出Hermite曲线段的参数方程
11
通常用三次参数方程描述空间一条自由曲 线：
x(t) y(t)
axt3 ayt3
bxt2 byt2
cxt cyt
dx dy
，t∈[0,1]
z(t) azt3 bzt2 czt dz
其中，t为参数，且0<=t<=1时，t=0对应曲线段的起点，t ＝1时，对应曲线段的终点。
以直线为例：已知直线的起点坐标P1（x1，y1） 和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程：
yy1yx22 xy11(xx1)
9
直线的隐函数方程表示为：
f(x)yy1y x2 2 x y1 1(xx1)0
直线的参数方程表示为：
yxyx11
(x2 (y2
d
t∈〔0,1〕；
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7.1.3 拟合和逼近
• 型值点 指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述曲线或 曲面几何形状的数据点。
• 控制点
指用来控制或调整曲线(面）形状的特殊点（不一定在曲线上）
• 插值点 求给定型值点之间曲线（面）上的点 要求建立的曲线与曲面数学模型，严格通过已知的每一
自由曲线曲面——
无法用标准方程描述的曲线曲 面，通常由一系列实测数据点 确定。如汽车的外形曲线曲面、 等高线等。
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图7-1 汽车的曲面
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7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
计算机图形学第8讲B样条曲线
计算机图形学
B样条基底的计算
• 3阶B样条基底
计算机图形学
B样条基底的计算
• 3阶B样条基底
计算机图形学
B样条基底的支撑区间
计算机图形学
B样条基底的支撑区间
计算机图形学
B样条基底的性质
局部支撑性
0
Ni,k
(t)
0
以k＝4，n=4为例
t [ti , tik ) otherwise
t0, t1 , t2, t3, t4, t5 , t6, t7, t8
算机图形学
B样条曲线的性质
– 变差缩减性 设平面内 n+1 个控制顶点 构成B样条曲线 P(t) 的 特征多边形。在该平面内的任意一条直线与 P(t) 的交点个数不多于该直线和特征多边形的交点 个数。
– 几何不变性 B样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。
计算机图形学
B样条曲线的性质
– 仿射不变性
义在区间 [ti ,tik ) 上那部分曲线的形状，对曲线的其
余部分不发生影响。
计算机图形学
B样条曲线的性质
– 连续性 P(t)在r重节点处的连续阶不低于 k-1-r。
– 凸包性
Pk个(t)点在区Pi间k1(,ti ,ti,1P)i,
k 1 i n上的部分位于
的凸包 Ci内，整条曲线
则位于各凸包 Ci 的并集之内。
• 曲线n+1个控制点需要n+1个B样条基Ni,k (t)底需要
n+k+1个节点 t0,t1,, tik
B样条的注意点
• 控制多边形的顶点数=B样条基底函数的个数 • B样条基底函数的个数和阶数k是独立概念 • 控制多边形的顶点个数n不能确定B样条基底阶数k • 需要定义节点矢量T • 设控制多边形顶点数为n+1，B样条基底阶数为k
B样条基底的计算
• 3阶B样条基底
计算机图形学
B样条基底的计算
• 3阶B样条基底
计算机图形学
B样条基底的支撑区间
计算机图形学
B样条基底的支撑区间
计算机图形学
B样条基底的性质
局部支撑性
0
Ni,k
(t)
0
以k＝4，n=4为例
t [ti , tik ) otherwise
t0, t1 , t2, t3, t4, t5 , t6, t7, t8
算机图形学
B样条曲线的性质
– 变差缩减性 设平面内 n+1 个控制顶点 构成B样条曲线 P(t) 的 特征多边形。在该平面内的任意一条直线与 P(t) 的交点个数不多于该直线和特征多边形的交点 个数。
– 几何不变性 B样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。
计算机图形学
B样条曲线的性质
– 仿射不变性
义在区间 [ti ,tik ) 上那部分曲线的形状，对曲线的其
余部分不发生影响。
计算机图形学
B样条曲线的性质
– 连续性 P(t)在r重节点处的连续阶不低于 k-1-r。
– 凸包性
Pk个(t)点在区Pi间k1(,ti ,ti,1P)i,
k 1 i n上的部分位于
的凸包 Ci内，整条曲线
则位于各凸包 Ci 的并集之内。
• 曲线n+1个控制点需要n+1个B样条基Ni,k (t)底需要
n+k+1个节点 t0,t1,, tik
B样条的注意点
• 控制多边形的顶点数=B样条基底函数的个数 • B样条基底函数的个数和阶数k是独立概念 • 控制多边形的顶点个数n不能确定B样条基底阶数k • 需要定义节点矢量T • 设控制多边形顶点数为n+1，B样条基底阶数为k
曲线曲面基本理论
• 曲线曲面的参数化 – 给定一个具体的单参数的矢函数，并据此给出一个 具体的参数曲线曲面方程。 • 既决定了所表示曲线曲面的形状； • 也决定了该曲线曲面上的点与其参数域内的点 (即参数值)之间的一种对应关系。
• 在曲线曲面理论中，所要考察的在于两个方面： – 曲线曲面的整体，而不是组成这个整体的各个分量； – 曲线曲面上点之间的相对位置关系，而不是它们与 所取坐标系之间的相对位置关系。
– 由于在许多参数形式之前就存在相应的非参数形式 (如：三次样条曲线有三次样条函数，Bézier曲线有 Bernstein基函数等)，所以，这种对应关系与替换绝 非是等价的。
• 而对于非参数形式下的隐方程，则可转换成等价的参数 形式，只需把所含各坐标都分别表示成某一参数的函数， 使它们适合于该隐式方程。
– 统一性：能统一表示各种形状及处理各种情况，包
括各种特殊情况。即：既能表示自由型曲线曲面，
又能表示初等解析 具有丰富的表达能力与灵活地响应的能力。
– 易于实现连接，且在许多场合要求的光滑连接。
– 易于实现对形状的控制，既具有整体控制的能力，
又具有局部控制的能力。具有较大的控制的灵活性。
– 曲面上pu×pv=0的点是曲面上的一种奇点。
– 这种奇点与曲线上一阶导矢为零矢量的奇点不同：
• 前者有可能因两非零导矢平行或退化边引起， 就可由重新参数化(参数变换)消除；
• 后者由曲线的重新参数化可能消除不了。
A
10
☆图形表示问题 ☆参数化表示 ● 曲线参数化
◘ 参数化方法 ◘ 对应关系 ◘ 参数化性质
☆离散点表示
曲线的参数化：性质
• 曲线上的点是参数u的矢函数。
– 曲线对参数u求导数等于其各分量对参数u求导，其 结果为一矢量，称为导矢；一阶导矢称为切矢。
• 在曲线曲面理论中，所要考察的在于两个方面： – 曲线曲面的整体，而不是组成这个整体的各个分量； – 曲线曲面上点之间的相对位置关系，而不是它们与 所取坐标系之间的相对位置关系。
– 由于在许多参数形式之前就存在相应的非参数形式 (如：三次样条曲线有三次样条函数，Bézier曲线有 Bernstein基函数等)，所以，这种对应关系与替换绝 非是等价的。
• 而对于非参数形式下的隐方程，则可转换成等价的参数 形式，只需把所含各坐标都分别表示成某一参数的函数， 使它们适合于该隐式方程。
– 统一性：能统一表示各种形状及处理各种情况，包
括各种特殊情况。即：既能表示自由型曲线曲面，
又能表示初等解析 具有丰富的表达能力与灵活地响应的能力。
– 易于实现连接，且在许多场合要求的光滑连接。
– 易于实现对形状的控制，既具有整体控制的能力，
又具有局部控制的能力。具有较大的控制的灵活性。
– 曲面上pu×pv=0的点是曲面上的一种奇点。
– 这种奇点与曲线上一阶导矢为零矢量的奇点不同：
• 前者有可能因两非零导矢平行或退化边引起， 就可由重新参数化(参数变换)消除；
• 后者由曲线的重新参数化可能消除不了。
A
10
☆图形表示问题 ☆参数化表示 ● 曲线参数化
◘ 参数化方法 ◘ 对应关系 ◘ 参数化性质
☆离散点表示
曲线的参数化：性质
• 曲线上的点是参数u的矢函数。
– 曲线对参数u求导数等于其各分量对参数u求导，其 结果为一矢量，称为导矢；一阶导矢称为切矢。
计算机图形学——曲线和曲面
1u
n i 1
i 1, 2,L , n 1
n1
p p u P '(u) n 1 u n1 0
Pi
B' i,n
(u)
n
n1 n
i 1
青岛农业大学
7.2.6 Bézier曲线的性质
在起始点u﹦0, B’1,n-1(0)﹦1，其余项均为0，故有: P’(0)﹦n(P1﹣P0)
在终止点u﹦1, Bn-1,n-1(1)﹦1，其余项均为0，故有: P’(1)= n(Pn﹣Pn-1)
Q2
Pn
2
2
n 1
(
Pn
Pn1) 2 (Pn1
Pn2 )
Q 这表明 Pn2 、Pn1 、Pn Q0 、
和
1
Q2 五点共面，并且，
在接合点两条曲线段主法线方向一致，我们还可以断
定： Q2 、 Pn2位于直线
Pn1Q1 的同一侧。
青岛农业大学
Bézier曲线的拼接
G2级Bézier曲线交互拼接方法 Step1：平移多边形顶点Q0,Q1,Q2,Q3使顶点Q0与 顶点P3重合（G0）。 Step2 ： 绕 顶 点 Q0 整 体 旋 转 多 边 形 顶 点 Q0,Q1,Q2,Q3，使顶点P2P3Q1在一条直线上，且顶 点P2和Q1应在P3(Q0)的两侧（G1）。 Step3 ： 绕 Q0Q1 整 体 旋 转 多 边 形 顶 点 Q0,Q1,Q2,Q3 ， 使顶点Q2与顶点P1在直线P2Q1的同侧。 Step4：如果此时Q0-2Q1+Q2=S2(P1-2P2+P3)已满足， 则p(t)和q(t)在Q0处已达到G2连续，否则调整Q2 并重复Step4。
点共线，即： b1 an ( 0)
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4
为什么要研究曲线与曲面
5
为什么要研究曲线与曲面
使用曲面曲线的好处
控制物体形状
建模 修改
保证光滑与连续性 可导性 易于绘制
6
主要内容
参数曲线基础 参数多项式曲线 三次Hermite曲线 Bezier曲线 Bezier曲面 OpenGL相关函数
T s
16
切矢量、法矢量、曲率和绕率
法矢量（normal vector）
P (t ) P (t ) B | P (t ) P (t ) | P (t ) P (t ) P (t ) N | P (t ) P (t ) | P (t )
11
切矢量、法矢量、曲率和绕率
位臵矢量
矢量表示： P＝P(t), 0≤t≤1 参数方程
导数
x x(t ) y y (t ), z z (t )
t [0,1]
k k k k d P ( t ) d x ( t ) d y ( t ) d z (t ) T (k ) P (t ) [ , , ], k k k k dt dt dt dt
密切平面( osculating plane)
T、N构成 B、T构成 N、B构成
17切平面切平面(ta Nhomakorabeagent plane)
法平面(normal plane)
切矢量、法矢量、曲率和绕率
18
切矢量、法矢量、曲率和绕率
曲率(curvature)
曲线的弯曲程度
k ( s) lim s 0 s
7
参数曲线基础
曲线的表示形式
非参数表示和参数表示
非参数表示
显式表示
坐标间建立函数关系 不能建立多值曲线
y f ( x) z g( x )
隐式表示
看做是两曲面的交 坐标变量间可以多对1
2 2 x y 9 z0
f ( x , y, z ) 0 g( x , y , z ) 0
13
切矢量、法矢量、曲率和绕率
弧长参数表示
s
t
0
dP(t ) dt dt
ds dP(t ) 0 dt dt s s (t )是关于参数 t 的单调函数 s s (t )存在反函数 曲线 P P(t )可以用弧长参数表示为 P P( s )
14
切矢量、法矢量、曲率
k 0,1,
正则点：k＝1时，对t＝t0，P'(t0)≠0 正则曲线：所有点是正则点
12
切矢量、法矢量、曲率和绕率
切矢量（tangent vector）
弧长
参数 t 递增一个单位时三个坐标变量 的变化量 x' ( t ) dP( t ) P' (t ) y' ( t ) dt z' ( t )
P' (t0 ) P' (t0 )
记为：
0为任一常数
23
G1
参数曲面
曲面参数表示
x x(u , v) y y (u , v), u , v [0,1] [0,1] z z (u , v)
曲面上的点 P (u0 , v0 ) 曲面上的切向量 Pu (u0 , v0 ) Pv (u0 , v0 ) 曲面上的法向量 N (u0 , v0 ) Pu (u0 , v0 ) Pv (u0 , v0 ) 角点 P (0,0), P (0,1), P (1,1), P (1,0)
Horner迭代算法
令 Rn ( t ) Pn Rk ( t ) tRk 1 ( t ) Pk , 结果：P ( t ) R0 ( t )
记为Cn
22
参数连续性与几何连续性
几何连续性
直观的、易于交互控制的连续性 0阶几何连续
称曲线P=P(
臵连续，即
记为：G0
t ) 在 t=t0 处0阶几何连续，如果它在 t0 处位
P( t 0 ) P( t 0 )
1阶几何连续
称曲线 P=P(t) 在 t = t0 处1阶几何连续，如果它在 t0处 GC0 ，并且切矢量方向连续，即
T i 0 j 0
m
n
32
参数多项式曲线
生成方法
流程：P（t）＝P0＋P1t + … + Pn t n 参数离散
t
n i 0
连接型值点
n Pi 0
计算型值点
折线
计算一个型值点的运算量 乘法：n(n+1)/2次 加法：n次
t [0, 1]
33
参数多项式曲线
参数多项式曲线的生成（续）
t [0,1]
Ferguson curve
缺点
Pi
没有明显的几何意义 Pi 与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难
28
参数多项式曲线
参数多项式曲线的矩阵表示
矩阵表示
矩阵分解
C GΜ P(t ) GΜT
几何矩阵
G = [G0 G1 … Gn] 控制顶点 Gi 基矩阵M：MT 确定了一组基函数 Bi t n P (t ) CT Gi Bi t t [0,1]
曲率半径 1 p( s ) k( s)
P(s)点处的曲率
19
切矢量、法矢量、曲率和绕率
绕率(Torsion)
Bs T s 0
对两边求导 Bs T s Bs T s 0 Bs T s 0 B'与T垂直
B s 0
24
参数连续性与几何连续性
几何连续性（续）
2阶几何连续*
称曲线
P=P(t) 在 t＝t0 处2阶几何连续，如果它在 t0 处
（1） G1 （2）副法矢量方向连续
B(t0 ) B(t0 )
（3）曲率连续
k (t0 ) k (t0 )
25
曲线与曲面
t [0,1]
27
参数多项式曲线
矩阵表示
矢量表示
x ( t ) x 0 y P (t ) y ( t ) 0 z(t ) z0 x1 y1 z1
加权和形式
P(t ) CT P0 tP1 t n Pn
1 xn t yn CT zn n t
形式
P(t ) U TC V Piju i v j , u, v 0,1 0,1
i 0 j 0 m n
31
参数多项式曲线
参数多项式曲面的矩阵表示
矩阵表示
矩阵分解
T C ΜU GΜ V T P (t ) U T Μ U GΜ V V
几何矩阵
参数曲线基础 参数多项式曲线 三次Hermite曲线 Bezier曲线 Bezier曲面 OpenGL相关函数
26
参数多项式曲线
为什么采用参数多项式曲线？
表示最简单 理论和应用最成熟
n次多项式曲线
n x ( t ) x x t x t 0 1 n n y ( t ) y y t y t 0 1 n z (t ) z z t z t n 0 1 n
8
曲线的表示形式
参数表示
参数方程
x x( t ) y y ( t ), z z(t )
t [a , b ]
参数表示的矢量表示
t
规范到[0，1]:
ta t ba
y, z]T ， P(t)=[x(t), y(t), z(t)]T
矢量表示：P=[x,
对正则曲线，定义弧长：
n t n n 0
s (t ) lim L(n) lim Pi 1 Pi
i 1 2
dP(t ) dt dt
2 2
dP(t ) dx(t ) dy (t ) dz (t ) 其中 ＝ dt d t d t d t
单位切矢量
dP( s ) 记T(s)为P＝P(s)上任意一点的切矢量。 T [ s ] ds 则T(s)为单位切矢量
s
t
0
dP(t ) dt dt
ds dP(t ) dt dt dP( s ) dP( s (t )) dt dP(t ) dt / / 1 ds dt ds dt dP(t )
P P(t )
t
t [0,1]
可以表示时间、角度等量
9
曲线的表示形式
如：直线方程的矢量表示
P(t) P0 0
t x x0 x1 x0
P1
P P0 ( P1 P0 )t
t [0,1] t [0,1]
x x0 ( x1 x0 )t y y0 ( y1 y0 )t
曲线与曲面 (Curves and Surfaces)
1
本章目标
曲线的表示方法
重点掌握Bezier曲线
4
为什么要研究曲线与曲面
5
为什么要研究曲线与曲面
使用曲面曲线的好处
控制物体形状
建模 修改
保证光滑与连续性 可导性 易于绘制
6
主要内容
参数曲线基础 参数多项式曲线 三次Hermite曲线 Bezier曲线 Bezier曲面 OpenGL相关函数
T s
16
切矢量、法矢量、曲率和绕率
法矢量（normal vector）
P (t ) P (t ) B | P (t ) P (t ) | P (t ) P (t ) P (t ) N | P (t ) P (t ) | P (t )
11
切矢量、法矢量、曲率和绕率
位臵矢量
矢量表示： P＝P(t), 0≤t≤1 参数方程
导数
x x(t ) y y (t ), z z (t )
t [0,1]
k k k k d P ( t ) d x ( t ) d y ( t ) d z (t ) T (k ) P (t ) [ , , ], k k k k dt dt dt dt
密切平面( osculating plane)
T、N构成 B、T构成 N、B构成
17切平面切平面(ta Nhomakorabeagent plane)
法平面(normal plane)
切矢量、法矢量、曲率和绕率
18
切矢量、法矢量、曲率和绕率
曲率(curvature)
曲线的弯曲程度
k ( s) lim s 0 s
7
参数曲线基础
曲线的表示形式
非参数表示和参数表示
非参数表示
显式表示
坐标间建立函数关系 不能建立多值曲线
y f ( x) z g( x )
隐式表示
看做是两曲面的交 坐标变量间可以多对1
2 2 x y 9 z0
f ( x , y, z ) 0 g( x , y , z ) 0
13
切矢量、法矢量、曲率和绕率
弧长参数表示
s
t
0
dP(t ) dt dt
ds dP(t ) 0 dt dt s s (t )是关于参数 t 的单调函数 s s (t )存在反函数 曲线 P P(t )可以用弧长参数表示为 P P( s )
14
切矢量、法矢量、曲率
k 0,1,
正则点：k＝1时，对t＝t0，P'(t0)≠0 正则曲线：所有点是正则点
12
切矢量、法矢量、曲率和绕率
切矢量（tangent vector）
弧长
参数 t 递增一个单位时三个坐标变量 的变化量 x' ( t ) dP( t ) P' (t ) y' ( t ) dt z' ( t )
P' (t0 ) P' (t0 )
记为：
0为任一常数
23
G1
参数曲面
曲面参数表示
x x(u , v) y y (u , v), u , v [0,1] [0,1] z z (u , v)
曲面上的点 P (u0 , v0 ) 曲面上的切向量 Pu (u0 , v0 ) Pv (u0 , v0 ) 曲面上的法向量 N (u0 , v0 ) Pu (u0 , v0 ) Pv (u0 , v0 ) 角点 P (0,0), P (0,1), P (1,1), P (1,0)
Horner迭代算法
令 Rn ( t ) Pn Rk ( t ) tRk 1 ( t ) Pk , 结果：P ( t ) R0 ( t )
记为Cn
22
参数连续性与几何连续性
几何连续性
直观的、易于交互控制的连续性 0阶几何连续
称曲线P=P(
臵连续，即
记为：G0
t ) 在 t=t0 处0阶几何连续，如果它在 t0 处位
P( t 0 ) P( t 0 )
1阶几何连续
称曲线 P=P(t) 在 t = t0 处1阶几何连续，如果它在 t0处 GC0 ，并且切矢量方向连续，即
T i 0 j 0
m
n
32
参数多项式曲线
生成方法
流程：P（t）＝P0＋P1t + … + Pn t n 参数离散
t
n i 0
连接型值点
n Pi 0
计算型值点
折线
计算一个型值点的运算量 乘法：n(n+1)/2次 加法：n次
t [0, 1]
33
参数多项式曲线
参数多项式曲线的生成（续）
t [0,1]
Ferguson curve
缺点
Pi
没有明显的几何意义 Pi 与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难
28
参数多项式曲线
参数多项式曲线的矩阵表示
矩阵表示
矩阵分解
C GΜ P(t ) GΜT
几何矩阵
G = [G0 G1 … Gn] 控制顶点 Gi 基矩阵M：MT 确定了一组基函数 Bi t n P (t ) CT Gi Bi t t [0,1]
曲率半径 1 p( s ) k( s)
P(s)点处的曲率
19
切矢量、法矢量、曲率和绕率
绕率(Torsion)
Bs T s 0
对两边求导 Bs T s Bs T s 0 Bs T s 0 B'与T垂直
B s 0
24
参数连续性与几何连续性
几何连续性（续）
2阶几何连续*
称曲线
P=P(t) 在 t＝t0 处2阶几何连续，如果它在 t0 处
（1） G1 （2）副法矢量方向连续
B(t0 ) B(t0 )
（3）曲率连续
k (t0 ) k (t0 )
25
曲线与曲面
t [0,1]
27
参数多项式曲线
矩阵表示
矢量表示
x ( t ) x 0 y P (t ) y ( t ) 0 z(t ) z0 x1 y1 z1
加权和形式
P(t ) CT P0 tP1 t n Pn
1 xn t yn CT zn n t
形式
P(t ) U TC V Piju i v j , u, v 0,1 0,1
i 0 j 0 m n
31
参数多项式曲线
参数多项式曲面的矩阵表示
矩阵表示
矩阵分解
T C ΜU GΜ V T P (t ) U T Μ U GΜ V V
几何矩阵
参数曲线基础 参数多项式曲线 三次Hermite曲线 Bezier曲线 Bezier曲面 OpenGL相关函数
26
参数多项式曲线
为什么采用参数多项式曲线？
表示最简单 理论和应用最成熟
n次多项式曲线
n x ( t ) x x t x t 0 1 n n y ( t ) y y t y t 0 1 n z (t ) z z t z t n 0 1 n
8
曲线的表示形式
参数表示
参数方程
x x( t ) y y ( t ), z z(t )
t [a , b ]
参数表示的矢量表示
t
规范到[0，1]:
ta t ba
y, z]T ， P(t)=[x(t), y(t), z(t)]T
矢量表示：P=[x,
对正则曲线，定义弧长：
n t n n 0
s (t ) lim L(n) lim Pi 1 Pi
i 1 2
dP(t ) dt dt
2 2
dP(t ) dx(t ) dy (t ) dz (t ) 其中 ＝ dt d t d t d t
单位切矢量
dP( s ) 记T(s)为P＝P(s)上任意一点的切矢量。 T [ s ] ds 则T(s)为单位切矢量
s
t
0
dP(t ) dt dt
ds dP(t ) dt dt dP( s ) dP( s (t )) dt dP(t ) dt / / 1 ds dt ds dt dP(t )
P P(t )
t
t [0,1]
可以表示时间、角度等量
9
曲线的表示形式
如：直线方程的矢量表示
P(t) P0 0
t x x0 x1 x0
P1
P P0 ( P1 P0 )t
t [0,1] t [0,1]
x x0 ( x1 x0 )t y y0 ( y1 y0 )t
曲线与曲面 (Curves and Surfaces)
1
本章目标
曲线的表示方法
重点掌握Bezier曲线