第一章曲线曲面的数学表示
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
曲线和曲面的表示-PPT文档资料
参数空间中每一个参 数(点)都对应于直线 段上一个点 参数空间的两个端点 对应于直线段的两个 端点
R(0) P 0 R(1) P 1
9
参数表示的数学原理：曲线
一般三维参数曲线形式：
R t x t,y t,z t
参数空间中每一个t对应于曲线上一个点R(t) 图形学中，参数空间通常是有限区间，此时 参数曲线称为参数曲线段 图形学中，参数函数通常为分段多项式或有 理多项式曲线
Bézier、B-样条、NURBS (Non-Uniform Rational BSpline, 非均匀有理B-样条)曲线/曲面。
14
内容
参数曲面表示
参数表示的数学原理 参数曲线
Bézier曲线 B-样条曲线 NURBS曲线
参数曲面
15
Bézier曲线
Pierre Bézier (1910.9.1-2019.11.25) 发音：[BEH zee eh]
Bézier曲线，1962年
16
Bezier曲线定义
Bezier曲线
30
Bézier曲线定义
一条n次Bézier曲线：
Rt Ri B i,n t
i0 n
0 t 1
多项式{Bi,n(t)}称为Bernstein基函数：
B t C 1 t t in ,
t [ 0 , 1 ]
33
Bezier曲线的定义
三次Bezier曲线（n=3）
3 k 0
p ( t ) P BEN ( t ) k k , n BEN ( t ) P BEN ( t ) P BEN ( t ) P BEN ( t ) P 0 , 3 0 1 , 3 1 2 , 3 2 3 , 3 3
《高等数学》教学课件：第1章 曲线与曲面 第2节
1
1
2
2x py z 6 0
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2.1.两直线的夹角
两直线的方向向量的夹角（介于0与 间）叫做两直线的夹角
2cos s1 s2 Nhomakorabea| m1m2 n1n2 p1 p2 |
| s1 || s2 |
m12 n12 p12 m22 n22 p22
问题：两直线平行、重合？两直线垂直(相交、 不交)?
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直线L的位置就完全确定下来
参数的含义？方程的
特殊形式？
x x0 tm,
y
y0
tn,
tR
z z0 tp.
参数方程
x x0 y y0 z z0
m
n
p
对称式方程
点向式方程
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二、空间直线及其方程 10
1、空间直线的方程 1.2.直线的一般方程
4
1、平面方程 法向量(normal vector):与一平面垂直的向量(vector)称为该平面的法向 量(normal vector).
一般方程
Ax By Cz D 0
它是三元一次方程.事实上任何三元一次方程在三维几 何空间都表示平面.因此对于任给的三元一次方程，其 三个未知量的系数就是该方程所表示平面的一个方向量
第一章 曲线与曲面
第一节 空间形式概述 第二节 平面与空间直线的方程 第三节 曲面及其方程 第四节 曲线的表示形式
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数学知识点归纳曲线与曲面的性质与刻
数学知识点归纳曲线与曲面的性质与刻数学知识点归纳：曲线与曲面的性质与刻在数学中，曲线与曲面是常见的几何对象，它们具有许多独特的性质与刻画方法。
本文将对曲线与曲面的性质和刻画方法进行归纳总结。
一、曲线的性质与刻画曲线是二维几何对象，它可以用参数方程或者隐函数表示。
常见的曲线有直线、圆、椭圆等。
1. 直线直线是最简单的曲线，它具有以下性质：- 无限延伸性：直线没有起点和终点，可以无限延伸。
- 线段性质：直线上的两点可以唯一确定一条直线段。
- 斜率：直线的斜率表示了其倾斜程度，可以通过两点的坐标计算得到。
2. 圆圆是一个平面上距离圆心相等的点的轨迹，它具有以下性质：- 对称性：圆具有中心对称性，任意点与圆心的距离相等。
- 弧长与扇形面积：圆的弧长与扇形面积可以通过圆心角计算得到。
- 切线：圆上的切线与半径垂直。
3. 椭圆椭圆是平面上离两个固定点距离之和为常数的点的轨迹，它具有以下性质：- 中心：椭圆有一个中心点，是两个焦点的中点。
- 长短轴：椭圆有两个重要的参数，即长轴和短轴。
- 离心率：椭圆的离心率决定了其形状，范围在0到1之间。
二、曲面的性质与刻画曲面是三维几何对象，它可以用参数方程或者隐函数表示。
常见的曲面有球面、圆柱面、圆锥面等。
1. 球面球面是空间中到定点距离相等的点的轨迹，它具有以下性质：- 中心和半径：球面由一个中心点和半径确定。
- 表面积和体积：球面的表面积和体积可以通过半径计算得到。
- 切平面：球面上的切平面与法线垂直。
2. 圆柱面圆柱面是空间中直线与一个固定曲线平行移动形成的曲面，它具有以下性质：- 直母线：圆柱面上的任意一条直线与轴线平行。
- 侧面积和体积：圆柱面的侧面积和体积可以通过圆柱的高和底面积计算得到。
3. 圆锥面圆锥面是空间中直线与一个固定点旋转形成的曲面，它具有以下性质：- 顶点和母线：圆锥面由一个顶点和沿着一个直线运动的所有点组成。
- 侧面积和体积：圆锥面的侧面积和体积可以通过圆锥的高和底面积计算得到。
【课件-高等数学】_第1章__曲线与曲面__第2节
s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a5
a3 s
a2 a1
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向量的减法 三角不等式
a
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3. 向量与数的乘法
是一个数
,
与
a
的乘积是一个新向量,
记作
a
.
规定 :
总之:
a
a
运算律 : 结合律
(
a)
(
a)
a
11可aa见a;a ;
分配律
(a
b)
a
b
则有单位向量
a
1 a
a.
因此
a
a
a
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定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
( 为唯一实数)
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝±
向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M2 M1
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作
解:
2×①
x
－23a× ②3b,得
(7
,
1,10)
代入②得
y
1
高等数学中的空间曲线与曲面
参数定义：参数是描述曲面上点位 置的变量，通常用两个参数表示。
参数选择：参数的选择对于曲面的 形状和性质有很大影响，不同的参 数选择会导致不同的曲面形状。
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参数方程：参数方程是描述曲面上 的点与参数值之间关系的方程组， 通常由两个参数方程组成。
参数方程的应用：参数方程在几何、 物理、工程等领域都有广泛应用， 是描述复杂曲面形状的重要工具。
的任意曲线。
参数曲线：通 过参数方程定 义的曲线，参 数可以是时间、 角度或其他量。
极坐标曲线： 通过极坐标方 程定义的曲线， 通常用于描述 圆、椭圆等形
状。
曲率：描述曲线在某一点的弯曲程 度
曲线的方向：通过切线方向和法线 方向确定曲线的方向
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挠率：描述曲线在垂直于给定点的 切线方向上的弯曲程度
曲线的弯曲程度和方向在高等数学 中对于研究空间曲线的性质和几何 特性非常重要
定义：曲线的长度 是曲线上的点与原 点之间的距离之和
性质：曲线的长 度与曲线的形状、 大小和方向有关
计算方法：通过微 积分学中的定积分 来计算曲线的长度
应用：在几何学、 物理学和工程学等 领域有广泛的应用
பைடு நூலகம்
切线的定义：切线是与曲线在某一点的法线垂直的直线
性质：测地线是唯一的，而短程线可能有多个。
应用：在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。
与空间曲线的区别：空间曲线上的测地线和短程线是不同的概念。
空间曲线与曲面在几何学中有着广泛的应用，如描述三维空间中的曲线和曲面。 通过空间曲线与曲面的性质，可以推导出许多重要的几何定理和性质。 空间曲线与曲面在几何学中可以用于解决一些实际问题，如计算物体的表面积和体积等。 空间曲线与曲面在几何学中还可以用于研究一些复杂的几何形状，如分形和混沌等。
大学数学_7_4 曲面与曲线
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b
曲面与曲线知识点总结
曲面与曲线知识点总结一、曲线与曲面的基本概念曲线是在平面上的点按照特定的规则所组成的图形，而曲面则是在三维空间内的点按照特定的规则所组成的图形。
在数学上，我们可以用函数来描述曲线和曲面，从而研究它们的性质和特点。
1.1 曲线的性质曲线可以是直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等不同类型的图形。
我们可以通过曲线的方程以及参数方程来描述它的形状和位置。
曲线的长短、曲率、切线、法线等性质对于描述曲线的形态和特点至关重要。
1.2 曲面的性质曲面可以是球面、圆柱面、圆锥面、双曲面、抛物面等不同类型的图形。
我们可以用二元函数或者参数方程来描述曲面的形状和位置。
曲面的曲率、切线、法线等性质是研究曲面形态的重要工具。
1.3 直角坐标系和参数方程在研究曲线和曲面的性质时，我们可以使用直角坐标系、参数方程和极坐标系等不同的数学工具来描述它们的形态和位置关系。
不同的描述方法可以帮助我们更好地理解曲线和曲面的性质。
二、曲线的方程与性质曲线方程是研究曲线性质的重要工具，通过曲线方程我们可以得到曲线的形状、位置、长度、曲率等重要信息。
2.1 一元曲线的方程一元曲线的方程可以用直角坐标系的方程或者参数方程来表示。
常见的一元曲线包括直线、圆和椭圆、抛物线、双曲线等。
这些曲线都有各自的特点和性质，通过曲线方程我们可以了解它们的形状和位置关系。
2.2 二元曲线的方程二元曲线的方程可以用参数方程或者隐式方程来表示。
常见的二元曲线包括螺线、双曲线、阿基米德螺线等。
通过曲线方程我们可以了解二元曲线的性质和特点。
2.3 曲线的性质曲线的性质包括长度、曲率、切线、法线等重要内容。
通过曲线方程和导数的求解，我们可以求得曲线的长度、曲率和切线、法线等相关信息，从而了解曲线的形态和特点。
三、曲面的方程与性质曲面方程是研究曲面性质的重要工具，通过曲面方程我们可以得到曲面的形状、位置、曲率等重要信息。
3.1 一元曲面的方程一元曲面的方程可以用隐式方程或者参数方程来表示。
自由曲线和自由曲面
x x(t)
y
y(t)
(7.1)
z z(t)
为便于计算机处理，曲线上一点常用其位置向量表示，如下所示：
P(t) x(t) y(t) z(t)
(7.2)
通常，通过对参数变量的规格化，使参数 t 在闭区间[0，1]内变化（写成t 0 1），并对此区间内的
参数曲线进行研究。
用参数方程描述自由曲线具有以下优点： ● 所描述的曲线形状与坐标系的选取无关。例如，如果通过一系列型值点拟合一条曲线或由一系列控 制点（或特征点）定义一条曲线，曲线的形状仅取决于这些点本身之间的关系，而与这些点所在的坐标系无 关。
● 规格化的参数变量 t 0 1，使其相应的几何分量是有界的（即表示曲线是有界的），不需要另设
其他参数来定义其边界。
● 有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为： y a0 a1x a2x2 a3x3
其中只有 4 个系数用来控制此曲线的形状。而该曲线的参数表示为：
1. 点 点是构造曲线和曲面的最基本的几何元素，在曲线和曲面构造中常用的点有型值点、控制点（特征点） 和插值点，如 6.1 节所述。
2. 插值 插值是函数逼近的重要方法。其原理是：
设函数 f (x) 在区间[ a, b ]上有互异的 n 个型值点 f (xi ) （ i 1, 2, 3, , n ），基于这个列表数据，寻求 某个函数(x) 去逼近 f (x) ，使 (xi ) f (xi )（ i 1, 2, 3, , n ），则称(x) 为 f (x) 的插值函数， xi 为插值 节点。
● 参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，并且不限制变量的个数，便于用户把低 维空间中的曲线或曲面扩展到高维空间。这种变量分离的特点使得人们可以用数学公式去处理几何分量，如 本章随后使用到的调和函数就具有此特点。
空间曲线与曲面的基本概念与性质
空间曲线与曲面的基本概念与性质空间曲线和曲面是微积分中的基本概念。
在数学中，空间曲线是通过空间中移动的点定义的对象，而曲面则是由空间中移动的曲线定义的对象。
一、空间曲线的基本概念空间曲线是通过空间中一条路径上的点定义的。
例如，考虑一条简单的曲线，如y = sin(x)，该曲线在二维平面上表示为点的集合。
然而，在三维空间中，我们可以考虑该曲线如何在不同的方向上弯曲，这就是空间曲线的概念。
空间曲线还可以用参数方程来表示，例如，对于一条平面上的曲线y = sin(x)，我们可以将其表示为 z = f(x, y) = sin(x) 的空间曲线，其中 z 表示曲线在第三个维度上的高度。
许多重要的数学对象和算法都依赖于空间曲线，例如微积分中的积分曲线、微分几何中的切向量和曲率等。
二、空间曲线的性质空间曲线有许多重要的性质，这些性质是微积分中的基本概念。
1. 方向性：空间曲线沿某个方向运动时有所不同，这是由于空间曲线的切向量在不同方向上的变化不同。
2. 曲率：空间曲线的曲率表示曲线在某一点处的弯曲程度。
曲线的曲率越大，说明该点处曲线的弯曲程度越大。
3. 弧长：空间曲线的弧长是曲线的长度。
计算曲线弧长可以方便计算曲线上的其他性质。
三、曲面的基本概念曲面是经过空间中一条路径上的所有点的集合定义的对象。
曲面可以通过约束曲线（例如，平面或抛物线）的运动来定义。
例如，考虑一个平面曲线 y = sin(x)，我们可以对其进行旋转来构建一个圆柱体的曲面。
类似的，我们可以通过旋转一个椭圆来构建一个椭球体的曲面。
曲面也可以用参数方程来表示，例如，对于一个平面曲线 y = sin(x)，我们可以将其表示为 z = f(x, y) = sin(x) 的曲面，其中 z 表示曲面在第三个维度上的高度。
四、曲面的性质曲面是微积分中的基本概念，具有许多重要的性质。
1. 切向量：曲面在某个点处的切向量是曲面在该点处切线的方向向量。
2. 法向量：曲面在某个点处的法向量是垂直于曲面切线的向量。
探索数学中的空间曲线与曲面
探索数学中的空间曲线与曲面数学中的空间曲线与曲面是一门精彩纷呈的学科，通过对曲线与曲面的探索，我们可以深入了解空间的几何特征和数学规律。
本文将通过数学模型和实例来探讨数学中的空间曲线与曲面，分析它们的性质和应用。
一、空间曲线空间曲线是在三维空间中的曲线，是由一系列点组成的集合。
它可以用参数方程或者隐函数来表示。
常见的空间曲线有直线、曲线和螺旋线等。
下面以参数方程为例，介绍几个常见的空间曲线：1. 直线：直线是最简单的空间曲线，可以用参数方程表示为：```mathx = x_0 + aty = y_0 + btz = z_0 + ct```其中 `(x_0, y_0, z_0)` 是直线上的一个点，`(a, b, c)` 是直线的方向向量，`t` 是参数。
2. 曲线：曲线是具有一定弯曲的空间曲线，可以用参数方程表示为：```mathx = x(t)y = y(t)z = z(t)```其中 `x(t)`、`y(t)`、`z(t)` 分别是曲线在参数 `t` 下的坐标函数。
3. 螺旋线：螺旋线是一种具有环绕性质的空间曲线，它可以用参数方程表示为：```mathx = a * cos(t)y = a * sin(t)z = b * t```其中 `a` 和 `b` 分别是螺旋线的参数，`t` 是参数。
二、空间曲面空间曲面是三维空间中的曲面，是由一系列点组成的集合。
它可以用隐函数或者参数方程来表示。
常见的空间曲面有平面、球面和圆柱面等。
下面以隐函数为例，介绍几个常见的空间曲面：1. 平面：平面是最简单的空间曲面，可以用隐函数表示为：```mathAx+ By + Cz + D = 0```其中 `A`, `B`, `C` 和 `D` 是常数，且 `A`、`B`、`C` 不同时为零。
2. 球面：球面是由圆周绕着某个直径旋转而形成的曲面，可以用隐函数表示为：```math(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2```其中 `(a, b, c)` 是球心的坐标，`r` 是球的半径。
曲线与曲面的参数方程与切线法向量
曲线与曲面的参数方程与切线法向量曲面与曲线的参数方程与切线法向量在数学中，曲线和曲面是两个基本的概念。
曲线可以用参数方程来表示，而曲面也可以通过参数方程进行描述。
此外，在研究曲线和曲面的性质时，切线和法向量是非常重要的工具。
本文将探讨曲线和曲面的参数方程以及切线法向量的概念和应用。
一、曲线的参数方程曲线可以用参数方程来表示，其中曲线上的点坐标是参数的函数。
通常用参数t表示曲线上的点，并用x(t)和y(t)表示点的横纵坐标。
因此，曲线的参数方程可以表示为：x = x(t)y = y(t)比如，考虑一条单位圆的曲线，它可以由以下参数方程给出：x = cos(t)y = sin(t)其中t的取值范围是0到2π。
通过改变t的取值，我们可以获得圆上的各个点。
二、曲面的参数方程曲面可以由两个参数来表示，通常用u和v表示曲面上的点的参数。
曲面上的点坐标同样可以表示为参数的函数，用x(u, v)，y(u, v)，z(u, v)表示。
因此，曲面的参数方程可以表示为：x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)例如，一个球体的曲面可以由以下参数方程给出：x = R * sin(u) * cos(v)y = R * sin(u) * sin(v)z = R * cos(u)其中R表示球的半径，u的取值范围是0到π，v的取值范围是0到2π。
通过改变u和v的取值，我们可以获得球体上的各个点。
三、曲线的切线和法向量曲线的切线向量表示曲线上某一点的切线方向。
对于参数方程x =x(t)，y = y(t)，曲线上某一点的切线向量可以通过求导得到：dx/dt = x'(t)dy/dt = y'(t)其中x'(t)和y'(t)分别表示x和y关于t的导数。
切线向量的方向是曲线在该点的切线方向。
曲线上某一点的法向量垂直于切线向量，表示曲线在该点的法向量。
对于参数方程x = x(t)，y = y(t)，曲线上某一点的法向量可以通过对切线向量的导数再求导得到：d²x/dt² = x''(t)d²y/dt² = y''(t)其中x''(t)和y''(t)分别表示x'(t)和y'(t)关于t的导数。
第一章曲线曲面的数学表示(精简)讲解
双线性插值曲面
张量积曲面
方程
准线不一定位于曲面上，母线运动形成曲面的一族 等参数线，同时形成了曲面
曲面数据点的参数化
曲面数据点的参数化是给每一数据点赋予一 对参数值 一般采用双向平均规范积累弦长参数化
曲面上的曲线及曲率性质
曲面上的曲线
切矢 曲率矢 法曲率
曲面的曲率性质
曲面上过一点具有相同切线方向的曲线有 无数条，但这些曲线的曲率矢都位于该点 处的法平面内 过曲面上一点具有相同切线方向的所有曲 线在该点都具有相同的法曲率（非曲率矢） 曲面上一点的法曲率总是沿着某一方向的 法曲率，曲面上一点有无数个方向，就有 无数个法曲率，其中的最值为主曲率 高斯曲率（两主曲率的乘积，决定双曲点、 抛物点、椭圆点）与平均曲率（两主曲率 的均值）
CAGD概述
Computer Aided Geometric Design(CAGD) 1974 年，Barnhill与Riesenfeld首先提出 GAGD的研究对象与核心问题
– 研究对象：工业产品的几何形状（解析曲面、自由曲面） 的数学表示 – 核心问题：研究适合计算机表示，且满足形状表示与几 何设计要求，又便于形状信息传递和产品数据交换的形 状数学描述方法。 – 需要解决的问题：用于工业产品形状数学描述的标准形 式，曲线曲面的形状控制，曲线曲面的光滑连接与统一 表示
参数（孔斯）双三次曲面片
差值于四个角点、四个角点处双向偏导矢扭 矢以及混合偏导矢
参数（孔斯）双三次曲面片
弗格森双三次曲面片
定义在任意子矩形域上的参数双参数曲面片
第四章 参数样条曲线曲面
曲面、曲线及其方程
03
曲面与曲线的联系
曲面与曲线的几何关系
曲面与曲线在三维空间中相互依存
01
曲面是由曲线在某些方向上无限延伸形成的，而曲线则可以看
作是曲面上的一个特定区域。
曲面与曲线的形状和变化
02
曲线的形状和变化可以影响其所在的曲面形状，反之亦然。
曲面与曲线的交线
03
曲面与另一个曲面或平面相交，交线是一条曲线；曲面与曲线
曲面、曲线及其方程
contents
目录
• 曲面及其方程 • 曲线及其方程 • 曲面与曲线的联系 • 曲线和曲面在几何和工程中的应用
01
曲面及其方程
曲面方程的基本概念
曲面方程的定义
曲面方程是描述曲面位置关系的数学表达式，通常 由代数方程表示。
曲面方程的形式
曲面方程的一般形式为 $F(x, y, z) = 0$，其中 $F$ 是一个多项式函数，$x, y, z$ 是空间坐标。
息。
THANKS
感谢观看
曲面方程的解
求解曲面方程可以得到曲面上点的坐标集合，即曲 面的几何形状。
几种常见的曲面
平面
平面是一个无限延展且没有弯曲的二维表面，其方程为 $Ax + By + Cz = D$。
球面
球面是一个三维表面，其方程为 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$，其中 $R$ 是球半径。
圆柱面
圆柱面是一个三维表面，其方程为 $x^2 + y^2 = R^2$（或 $y^2 + z^2 = R^2$）。
通过使用曲线和曲面，工程师可以更好地描述和设计物体的外
03
观，提高设计的准确性和美观性。
物理和科学计算中的应用
曲线与曲面的参数方程
曲线与曲面的参数方程曲线与曲面是数学中非常重要的概念，我们在生活中也可以发现许多物体的形状都可以用曲线与曲面来描述。
这篇文章将介绍曲线与曲面的参数方程，为大家解答这个问题。
一、曲线的参数方程曲线是指在平面或空间中的一条连续的线，因为曲线有弯曲和曲度的特性，所以需要用一种方法来描述它的特性。
参数方程就是一种常用的描述曲线特性的方法。
曲线的参数方程可以用一组参数来表示曲线上的每个点的位置，通常可以表示为：$$\begin{cases}x=f(t) \\ y=g(t)\end{cases}$$这就是二维平面曲线的参数方程，其中 $t$ 是参数，$f(t)$ 和$g(t)$ 是随参数 $t$ 的变化而改变的函数。
例如，坐标系上的圆可以用以下参数方程来表示：$$\begin{cases}x=r\cos t \\ y=r\sin t \end{cases}$$其中 $r$ 是圆的半径，$t$ 的取值范围是 $0\leq t<2\pi $。
当$t=0$ 时，表示圆的起点，当 $t=2\pi$ 时，表示圆的终点。
因为$t$ 是参数，所以可以用不同的参数方程来描述同一个曲线，例如：$$\begin{cases}x=r\cos \omega t \\ y=r\sin \omega t \end{cases}$$其中 $\omega$ 是常数，这也是描述圆的参数方程，只不过经过了缩放，并且运动速度变快了。
同样，空间中的曲线也可以用参数方程来表示，通常可以表示为：$$\begin{cases}x=f(t) \\ y=g(t) \\ z=h(t) \end{cases}$$这就是三维空间中曲线的参数方程，其中 $t$ 是参数，$f(t)$、$g(t)$ 和 $h(t)$ 是随参数 $t$ 的变化而改变的函数。
例如，直线的参数方程可以表示为：$$\begin{cases}x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct \end{cases}$$其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上的一个点，$(a,b,c)$ 是直线的方向向量。
曲线与曲面的参数方程
曲线与曲面的参数方程曲线和曲面是数学领域中的基本概念，它们的研究对于许多学科都有着重要的意义。
在数学中，我们经常会使用参数方程来描述曲线和曲面的性质和特征。
本文将探讨曲线与曲面的参数方程的概念、性质以及应用。
一、曲线的参数方程曲线可以用参数方程来描述，参数方程是将曲线上的点与参数之间的关系表示出来。
假设曲线上的每个点都由参数 t 决定，那么曲线的参数方程可以写作：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z 分别表示曲线上的点的坐标，f(t)、g(t)、h(t) 是参数t 的函数。
通过改变参数t 的取值范围，我们可以得到曲线上的所有点。
例如，我们考虑一个简单的曲线，圆的参数方程可以写作：x = r*cos(t)y = r*sin(t)其中，r 表示圆的半径，t 的取值范围为 0 到2π。
通过改变 t 的值，我们可以获取圆上的任意一点的坐标。
二、曲面的参数方程类似于曲线，曲面也可以用参数方程来描述。
曲面的参数方程是将曲面上的点与两个参数之间的关系表示出来。
假设曲面上的每个点都由参数 u 和 v 决定，那么曲面的参数方程可以写作：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y、z 表示曲面上的点的坐标，f(u, v)、g(u, v)、h(u, v) 是参数 u 和 v 的函数。
例如，我们考虑一个简单的曲面，球面的参数方程可以写作：x = R*sin(u)*cos(v)y = R*sin(u)*sin(v)z = R*cos(u)其中，R 表示球的半径，参数 u 的取值范围为 0 到π，参数 v 的取值范围为 0 到2π。
通过改变 u 和 v 的值，我们可以获取球面上的任意一点的坐标。
三、曲线与曲面参数方程的应用曲线与曲面的参数方程在数学和物理等学科中都有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，参数方程可以用于生成曲线和曲面的图像。
通过控制参数的取值范围和函数的形式，我们可以绘制出各种各样的曲线和曲面。
高等数学课件-曲线与曲面的参数方程
曲线和曲面的包络的应用
1
导数的几何意义
说明导数在曲线和曲面包络中的几何意
曲线、曲面的包络条件
2
义。
探讨求解曲线和曲面包络时使用的条件。
总结
在这份课件中，我们深入学习了曲线与曲面的参数方程。希望这些知识对你 有所帮助，并引发你在未来的研究中进一步探索。
旋转曲面
探讨旋转曲面的参数方程和应用。
双曲面
解释双曲面的参数方程以及其几何特征。
抛物面
说明抛物面的参数方程和用途。
转移轴曲面的参数方程的应用
球面的性质证明
使用参数方程证明球面的一些性质。
旋转曲面的面积和体积
通过参数方程计算旋转曲面的面积和体积。
曲面族的参数方程
二次曲面族
讲解二次曲面族的参数方程和几何特性。
极坐标参数方程
介绍使用极坐标参数方程描述曲线的方法。
曲线的参数方程的应用
1
曲率
2
探讨如何利用参数方程求解曲线的曲率。
3
曲线的长度
讲解如何使用参数方程计算曲线的长度。
切线和法线
说明如何通过参பைடு நூலகம்方程获得曲线的切线 和法线。
曲面的参数方程
一般式参数方程
介绍用一般式参数方程表达曲面的方法。
极坐标参数方程
高等数学课件-曲线与曲 面的参数方程
这是一份关于曲线与曲面的参数方程的高等数学课件。我们将了解参数方程 的概念和应用，并探索曲线和曲面的各种参数方程及其应用。
曲线的参数方程
一阶参数方程
介绍一阶参数方程的定义和例子。
三阶参数方程
解释三阶参数方程的构成和应用。
二阶参数方程
探讨二阶参数方程的特点和用途。
高等数学中的曲线与曲面的参数方程
高等数学作为数学的一门重要学科，涵盖了许多分支，其中包括曲线与曲面的研究。
在研究曲线与曲面时，我们经常使用参数方程来描述它们的性质和特点。
本文将介绍高等数学中曲线与曲面的参数方程的概念、特点和应用。
首先，我们来了解一下什么是参数方程。
在解析几何中，通常使用直角坐标系来描述点的位置。
一条曲线可以用其上任意一点的直角坐标表示，如y=f(x)。
而参数方程是一种描述曲线或曲面上的点的位置的方法，它使用参数变量来表示点的位置。
例如，对于一条曲线，我们可以使用参数t来表示曲线上的任意一点，这样我们就可以得到曲线的参数方程x=f(t)，y=g(t)。
同样地，对于曲面，我们可以使用两个参数s和t来表示曲面上的任意一点，这样我们就可以得到曲面的参数方程x=f(s,t)，y=g(s,t)，z=h(s,t)。
其次，我们来看一下曲线与曲面的参数方程的特点。
首先，参数方程可以描述复杂的曲线和曲面。
由于参数方程使用参数变量来表示点的位置，可以通过改变参数的取值范围和步长，来描述曲线和曲面上的任意一点。
因此，参数方程可以用来描述具有复杂形状和特征的曲线和曲面，如椭圆、双曲线、螺旋线等。
其次，参数方程可以描述曲线和曲面上的运动和变化。
通过改变参数的取值范围和步长，我们可以观察到曲线和曲面上点的运动和变化过程，这对于研究物体的运动和变形具有重要意义。
最后，参数方程可以简化曲线和曲面的计算和求解问题。
由于参数方程使用参数变量来表示点的位置，我们可以通过代数方法对曲线和曲面进行计算和求解。
这对于解决许多数学问题和工程问题具有重要意义。
最后，我们来看一下曲线与曲面的参数方程的应用。
曲线与曲面的参数方程在许多数学领域和工程领域中都有广泛的应用。
例如，在微积分中，我们可以使用参数方程来描述曲线和曲面上的点的位置和变化，从而进行各种微积分运算，如求导、积分等。
在物理学中，参数方程可以描述物体的运动和变形，从而研究物体的运动轨迹和形状。
在工程领域中，参数方程可以用来描述复杂曲线和曲面的形状，如汽车造型设计、航空航天工程等。
曲线曲面的数学表示PPT文档125页
6
、
露
凝
无
游
氛，天源自高风景澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
END
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
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曲线曲面的几何不变性
概念
– 曲线曲面的数学表示及其所表达的形状不依赖于坐标系
规范基表示具有几何不变性，仅需将原表示中的系 数矢量作相同的坐标变换即可获得变换后的曲线与 曲面 部分规范基表示具有几何不变性，需将原表示中的 绝对系数矢量作相同的坐标变换，而相对矢量仅作 旋转变换 非规范基不具有几何不变性
别对 参数求导 GADG中曲线的导矢 几何意义 为曲线的切矢，是相对 矢量 正则曲线 曲线的弧长公式 自然参数方程 曲线取自身弧长为 参数
曲线论的基本公式、曲率与挠率
（Frenet）活动标架
Frenet-Serret公式（基本公式）
曲线两端点处的附加方程－边界条件的确定方法
– 切矢条件 – 自由端点条件
计算插值
由一参数值计算曲线上的点及各阶导矢
参数三次样条曲线的类型划分
按基表示形式
– – – – – – – – 埃尔米特形式 幂基形式 基样条形式 B样条形式 均匀参数三次样条曲线 积累弦长 向心参数 修正弦长
多项式基
采用多项式函数作为基函数即为多项式基，得到的 曲面为参数多项式曲线、曲面 多项式基的优点：无穷次可微，易计算函数值及各 阶导数值 n次多项式的全体构成n次多项式空间，其中任意一 组n+1个线性无关的多项式都可作为一组基 采用幂基的参数多项式曲线
数据点的参数化
给每个数据点赋予相应的参数值，使其形成 一个严格递增的序列，该序列称为关于参数 的一个分割，每个参数值称为节点，以上过 程称为对数据点实行参数化，它规定了这些 数据点与参数域相应点的对应关系 同一组数据点，采用同样的插值法，而数据 点的参数化不同，将获得不同的插值曲线
曲线曲面的几何不变性
基表示的曲线曲面的规范性划分
– 规范基表示 – 部分规范基表示 – 非规范基表示
基表示中系数矢量的类型判定：凡与规范基或部分 规范基表示中具有规范性的那些基函数相联系的系 数矢量为绝对矢量，否则为相对矢量。非规范基表 示中的系数矢量不能判定究竟是绝对矢量还是相对 矢量。
插值条件（数据点）多于待定系数矢量 插值条件
矩阵形式
解（法方程，Gaussian正交方程组）
参数三次曲线
能表示空间曲线的次数最低的多项式曲线，方程：
三次埃尔米特基及其性质
参数三次曲线的几何特征
两数据点分别是曲线段的两端点，首末端切 矢决定曲线段的形状
三次埃尔米特插值的域变换
数据点的参数化方法
均匀参数化法 积累弦长参数化法 向心参数化法 修正弦长参数化法 规范化处理
多项式插值曲线及其特点
曲线方程的待定系数矢量个数等于给定的插值条件 即数据点的数目 幂基多项式插值曲线及插值条件
拉格朗日(Lagrange)多项式插值曲线及插值条件
最小二乘逼近
1.2 形状数学描述的发展主线
显式标量函数与隐方程描述曲线曲面 1963年，弗格森将曲线曲面表示为参数的矢函数 1964年，孔斯（Coons）提出由封闭的4条边界构造曲面 1971年，雷诺（Renault）公司Bezier提出由控制多边形定 义曲线曲面 1972年，德布尔（de Boor)提出B样条算法，1974年，戈登 （Gordon）和里森弗尔德（Riesenfeld)将B样条理论应用于 曲线曲面的描述 上世纪80年代后期，Piegl、Tiller、Farin等人将非均匀有理 B样条方法用于形状的描述
对于形状数学描述的要求
唯一性 由已给有限信息决定的形状唯一 几何不变性 数学表示与形状不随坐标系的改变而改变 易于定界
统一性 能统一表示各种形状及处理各种情况，如平面与空 间曲线，无穷大斜率
易于实现光滑连接 易于实现对形状的控制，不仅要有整体控制的能力，且要有 局部控制的能力
两点连线的数学表示
两点之间的线性插值
一般形式
曲线与曲面的参数表示
解析几何的参数表示
微分几何的参数矢函数表示 CAGD的基表示的参数矢函数形式
– 基函数决定了曲线的整体性质，当基函数确定后，就决 定了系数矢量是绝对矢量还是相对矢量，也就决定了所 表示曲线的形状。
矢函数形式曲线方程的物理意义
在CAGD里，曲面大都采用基表示的一种特殊矢函 数形式：
基表示的矢函数形式的优点
总是能够获取几何不变性 易于界定形状的范围 易于表示空间曲线 易于计算形状上的点 易于处理无穷大斜率 提供对曲线、曲面形状控制的较多的自由度
曲线的表示
给定一个具体的单参数的矢函数，即给定一个具体的参数曲 线方程，称之为给定了一个曲线的参数化(parametrization)， 它即决定了所表示曲线的形状，也决定了该曲线上的点与其参 数域内的点(即参数值)间的一种对应关系。 当曲线取任意参数时，参数域内线段长度之比即不等于曲线 上对应线段长度之比，也不等于对应曲线段的弦长之比。仅在 曲线取自身弧长的线性函数为参数时，参数域内线段长度之比 即才等于曲线上对应线段长度之比。 曲线上的点与参数域上的点一一对应关系不成立的点为奇点， 如自交点。
曲面的重新参数化
给定一正则曲面p=p(u,v)，其中(u,v)єR，令：
满足Jacobi行列式不为零的条件： 则得到参数曲面： 此过程称之为曲面的重新参数化。Jacobi行列式不 为零的条件保证变换后的曲面也是正则的。
第三章 参数多项式 插值与逼近
3.1 基本概念
插值（interpolation） 插值曲线 被插曲线 曲线插值法 插值曲面 被插曲面 曲面插值法 逼近（approximation） 逼近曲线 被逼曲 线 曲线逼近法 逼近曲面 被逼曲面 曲面逼近法 插值与逼近统称为拟合（fitting）
曲面论
公式 范围 奇点 曲面的参数化 u线与v线 u向切矢与v向切矢 曲面的单位法矢
曲面表示
曲面方程：p=p(u,v) 曲面范围：用两个参数的变化区间所表示的uv参数 平面上的矩形区域u1≤u≤u2， v1≤u≤v2给出。 奇点：一一对应关系不成立的点，以及切平面法矢 为零的点
对非规范基表示的规范化处理
在非规范基表示中加入零矢量，该项的基函 数取为与其它所有基函数和为1则成为规范基表 示；如取为与其它部分基函数和为1则成为部分 规范基表示。
参数化与参数变换
重新参数化 将曲线从表示为参数u的矢函数变成表示为参 数t的矢函数 参数变换后曲线关于新老参数的一阶导矢平行，二阶导如何？ 域变换 u与t间的关系为线性函数，在对老参数的k阶导矢 相比，方向不变，仅模长改变。 曲线经重新参数化后，其形状不变，但对应关系发生变化 （域变换除外） 用不同的方程描述同一条曲线，其间差别在于曲线上的点与 参数域内的点的对应关系不同，仅在方向不变的域变换下， 这种对应关系不变。
曲面的参数化
给定一个具体的曲面方程，称为给定了一个曲面的参数化。 它即决定了所表示曲面的形状，也决定了该曲面上的点与参 数域内的点的对应关系。 曲面的参数化不是唯一的。 如果固定其中一个参数，则曲面退化为单参数的矢函数，表 示曲面上的一条等参数线。
曲面的参数化
曲面上一点的u线与v线 曲面的u向切矢与v向切矢 曲面上一点的单位法矢 曲面的等距面
曲面上的曲线及曲率性质
曲面上的曲线
切矢 曲率矢 法曲率
曲面的曲率性质
曲面上过一点具有相同切线方向的曲线有 无数条，但这些曲线的曲率矢都位于该点 处的法平面内 过曲面上一点具有相同切线方向的所有曲 线在该点都具有相同的法曲率（非曲率矢） 曲面上一点的法曲率总是沿着某一方向的 法曲率，曲面上一点有无数个方向，就有 无数个法曲率，其中的最值为主曲率 高斯曲率（两主曲率的乘积，决定双曲点、 抛物点、椭圆点）与平均曲率（两主曲率 的均值）
三个基本矢之间的关系
都是单位矢量 相互垂直 组成的体积为1
曲率与挠率
曲率k的几何意义为曲线的单位切矢对于弧长的转动率，因 单位切矢对于弧长的一阶导矢其模长等于曲率，故称为曲率矢， 与主法矢同向。 挠率的绝对值等于副法线方向对于弧长的转动率，其大于、 等于、小于0分别表示曲线为右旋空间曲线、平面曲线和左旋 空间曲线。 曲线的弧长、曲率、挠率是几何不变量，三个基矢量是几何 不变矢，与参数选取无关。
参数（孔斯）双三次曲面片
差值于四个角点、四个角点处双向偏导矢扭 矢以及混合偏导矢
参数（孔斯）双三次曲面片
弗格森双三次曲面片
定义在任意子矩形域上的参数双参数曲面片
第四章 参数样条曲线曲面
函数曲线的光滑度用对其变量的可微性度量 参数曲线的光滑度
– 参数连续性 与曲线的光顺程度不一致 – 几何连续性 反映曲线的光顺程度不一致 – 参数多项式组合曲线的连续性取决于各段间公共连接点处的连续性
对域变换的依赖性：基与系数矢量都有变化 由部分规范性需对几何变换进行特殊处理
双线性插值曲面
张量积曲面
方程
准线不一定位于曲面上，母线运动形成曲面的一族 等参数线，同时形成了曲面
曲面数据点的参数化
曲面数据点的参数化是给每一数据点赋予一 对参数值 一般采用双向平均规范积累弦长参数化
矢函数形式曲线方程：p=p(u) 点动成线，如果将u视为时间，则p(u)可看作一质点随时间的 变化运动的轨迹。其关于u的一阶导矢与二阶导矢分别就是 质点的速度矢量和加速度矢量。 有可能质点的运动轨迹即曲线相同，但速度矢量和加速度矢 量不同。
曲线与曲面的参数表示
在微分几何里，把曲面表示成双参数u和v的矢函数：
优良的局部支撑性质 采用相异的切矢模长，相同的切线方向获得一阶几何连续性
参数三次样条曲线
参数三次样条曲线的提出
– 弹性细梁的应变能 – 问题的简化 假定 ，有