大学高等数学_12空间曲线及平面方程
高等数学教案：平面及其方程
本授课单元教学目标或要求：介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面，平面是本章中非常重要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：平面方程的几种形式，平面的夹角重点：1.平面方程的求法2.两平面的夹角难点：平面的几种表示及其应用对学生的引导及重点难点的解决方法：首先通过提问过空间一点且与一条直线垂直的平面是否存在这一具体问题，引出空间平面的点法式方程.紧接着对点法式进行变形得出一般式方程，引导学生分析常见的几个特殊平面及其面面间的夹角.平面方程有四种类型：点法式方程，三点式方程，截距式方程和一般式方程，但我们常用的是点法式和一般式。
求点法式方程的关键点往往是法向量，法向量通常采用向量的代数运算求得。
例题：例1：求过三点（2，-1，4）、（-1，3，-2）和（0，2，3）的平面方程。
例2：设平面过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程。
例3：研究以下各组里两平面的位置关系：其他例题参见PPT本授课单元教学手段与方法：讲授教学与多媒体教学相结合，结合几何辅助。
本授课单元思考题、讨论题、作业：高等数学（同济五版）本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学（同济五版）P325---P329注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。
大一高等数学上册教材目录
大一高等数学上册教材目录1. 引言1.1 数学的背景与发展1.2 高等数学的重要性与应用领域2. 函数与极限2.1 实数与实数集2.2 函数的基本概念2.2.1 函数的定义与表示2.2.2 函数的分类与性质2.3 极限的概念与性质2.3.1 数列极限2.3.2 函数极限2.3.3 极限的计算方法3. 导数与微分3.1 导数的定义与基本性质3.2 常见函数的导数3.2.1 幂函数、指数函数与对数函数的导数3.2.2 三角函数的导数3.2.3 反三角函数的导数3.3 高阶导数与隐函数求导3.4 微分的概念与应用3.4.1 微分的定义3.4.2 微分中值定理与Taylor公式4. 定积分4.1 定积分的基本概念与性质4.1.1 定积分的定义4.1.2 定积分的性质与计算方法 4.2 定积分的应用4.2.1 几何应用：面积与曲线长度4.2.2 物理应用：质量与质心5. 微分方程5.1 常微分方程的基本概念与解法 5.1.1 一阶线性微分方程5.1.2 二阶线性齐次微分方程5.1.3 高阶线性齐次微分方程5.2 变量可分离的微分方程5.3 非齐次线性微分方程5.4 高阶齐次线性微分方程6. 多元函数与偏导数6.1 二元函数的概念与性质6.1.1 二元函数的定义与表示6.1.2 二元函数的极限与连续6.2 偏导数的概念与计算6.3 高阶偏导数与全微分6.4 隐函数与参数方程7. 多元函数的极值与条件极值7.1 多元函数的极值与极值判定条件7.2 条件极值的求法与拉格朗日乘数法8. 多元函数的积分8.1 二重积分与二重积分的计算方法 8.1.1 二重积分的定义与性质8.2 三重积分与三重积分的计算方法8.2.1 三重积分的定义与性质8.2.2 三重积分的计算方法9. 空间解析几何9.1 空间直线与平面的方程9.2 空间曲线与曲面的方程9.2.1 空间曲线的参数方程与一阶导数 9.2.2 空间曲面的参数方程与切平面9.3 空间曲线和曲面的相交与重合10. 多元函数微分学的进一步应用10.1 向量及其运算10.2 曲线积分与曲线积分的计算方法 10.2.1 第一类曲线积分10.2.2 第二类曲线积分10.3 曲面积分与曲面积分的计算方法 10.3.1 曲面积分的定义与性质11. 幂级数与傅里叶级数11.1 幂级数的概念与性质11.1.1 幂级数的收敛域与收敛半径 11.1.2 幂级数的运算性质11.2 幂级数函数的性质与展开式11.3 傅里叶级数与傅里叶级数展开12. 泰勒级数与麦克劳林级数12.1 泰勒级数与余项估计12.2 麦克劳林级数与应用13. 线性代数初步13.1 线性空间与子空间的概念与性质 13.2 线性映射与线性变换13.3 线性方程组的解法与矩阵求逆 13.3.1 线性方程组的解法13.3.2 矩阵求逆与矩阵的秩13.4 特征值与特征向量14. 初等概率论14.1 随机试验与事件的概念14.2 概率的定义与性质14.3 条件概率与乘法定理14.4 离散型随机变量与概率分布14.5 连续型随机变量与概率密度函数15. 统计基础15.1 抽样与抽样分布的基本概念15.2 参数估计15.3 假设检验15.4 方差分析16. 其他附录16.1 常用数学符号与单位16.2 数学常用公式与定理以上是大一高等数学上册教材目录的简要内容安排。
《高等数学》教学课件：第1章 曲线与曲面 第2节
1
1
2
2x py z 6 0
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2.1.两直线的夹角
两直线的方向向量的夹角（介于0与 间）叫做两直线的夹角
2cos s1 s2 Nhomakorabea| m1m2 n1n2 p1 p2 |
| s1 || s2 |
m12 n12 p12 m22 n22 p22
问题：两直线平行、重合？两直线垂直(相交、 不交)?
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直线L的位置就完全确定下来
参数的含义？方程的
特殊形式？
x x0 tm,
y
y0
tn,
tR
z z0 tp.
参数方程
x x0 y y0 z z0
m
n
p
对称式方程
点向式方程
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二、空间直线及其方程 10
1、空间直线的方程 1.2.直线的一般方程
4
1、平面方程 法向量(normal vector):与一平面垂直的向量(vector)称为该平面的法向 量(normal vector).
一般方程
Ax By Cz D 0
它是三元一次方程.事实上任何三元一次方程在三维几 何空间都表示平面.因此对于任给的三元一次方程，其 三个未知量的系数就是该方程所表示平面的一个方向量
第一章 曲线与曲面
第一节 空间形式概述 第二节 平面与空间直线的方程 第三节 曲面及其方程 第四节 曲线的表示形式
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空间曲线的切线与法平面
1. 曲线的参数方程可视为: xx y(x) z(x) 切向量为T (1 (x) (x)) 2. 两方程可确定两个隐函数: y(x) z(x) 切向量为T (1 (x) (x)) 而(x) (x)要通过解方程 组得到.
山东农业大学
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高等数学
主讲人： 苏本堂
第六节 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面和法线
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主讲人： 苏本堂
一、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限
位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法
平面.
M
T
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Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 )
法线方程 x x0
Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
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主讲人： 苏本堂
2 2 2 例2. 求曲线 x y z 6 , x y z 0 在点
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
解. 方程组两边对 x 求导, 得
x z 1 1 z x dz dy , 解得 y z y z dx dx 1 1 曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: dy dz 切向量 T , 1, dx M dx M
n (2,1,4) (2 x, 2 y, 1) (2,1,4) (4, 2, 1),
空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线
对应于 t t0 t.
x
(1)
z • M
•M
o
y
割线 M的M方程为
z
• M
x x0 y y0 z z0 x y z
x
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以
t ,
x x0 y y0 z z0 ,
x
y
z
t
t
t
•M
o
y
当M M ,即t 0时 ,
曲线在M处的切线方程
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号）
思考题
如果平面3x y 3z 16 0与椭球面 3 x2 y2 z 2 16相切，求 .
思考题解答
设切点 ( x0 , y0 , z0 ),
依题意知切向量为
n {6 x0 , 2 y0 , 2z0 },
{3, ,3}
6x0 2 y0 2z0
3 3
y0 x0 , z0 3 x0 ,
切点满足曲面和平面方程
3 3
x0 x02
2 2
x0 x02
9 x0 9 x02
16 16
0 ,
0
2.
练习题
一、填空题:
1、曲线 x t , y 1 t , z t 2 再对应于t 1 的点
1 t
t
处切线方程为________________；
处的切平面及法线方程.
解 f ( x, y) x2 y2 1,
n ( 2,1, 4 )
{2x,
2 y, 1}(2,1,4)
{4,
2,1},
切平面方程为
4( x 2) 2( y 1) (z 4) 0,
大学高等数学教材课本目录
大学高等数学教材课本目录一、导言1. 数学的定义和作用2. 数学的基本概念和符号二、函数与极限1. 函数的定义与性质2. 极限的概念和性质3. 无穷小量与无穷大量4. 极限运算法则5. 常用极限三、导数与微分1. 导数的定义与性质2. 高阶导数与高阶微分3. 微分中值定理与导数的应用4. 隐函数与参数方程的导数5. 函数的凹凸性与极值四、积分与定积分1. 不定积分与积分表2. 定积分的概念与性质3. 定积分的计算方法4. 牛顿—莱布尼茨公式与反常积分五、常微分方程1. 方程与解的概念2. 一阶常微分方程的解法3. 高阶常微分方程的解法4. 常微分方程的应用六、向量代数与空间解析几何1. 向量的基本运算2. 线性相关与线性无关3. 空间直线与平面的方程4. 空间曲线与曲面的方程七、多元函数微分学1. 多元函数的极限与连续性2. 偏导数与全微分3. 方向导数与梯度4. 隐函数与参数方程的偏导数5. 多元函数的极值与最值八、多元函数积分学1. 二重积分的概念与性质2. 二重积分的计算方法3. 三重积分的概念与性质4. 三重积分的计算方法5. 曲线与曲面的曲线积分与曲面积分九、无穷级数1. 级数的概念与性质2. 通项、部分和与级数的收敛性3. 正项级数4. 幂级数与函数展开十、常微分方程初步1. 高阶线性微分方程的解法2. 非齐次线性微分方程的解法3. 常系数线性微分方程的解法4. 欧拉方程和常微分方程的应用十一、数值方法1. 函数插值2. 数值微分与数值积分3. 常微分方程的数值解法以上是《大学高等数学教材》的目录内容。
希望本教材能够对大学生的数学学习提供有力的帮助，引导他们从基本概念和符号入手，系统地学习数学的各个领域和章节，掌握数学的基本理论和方法，为日后的专业学习和实践打下坚实的基础。
大一高数下册知识点汇总
大一高数下册知识点汇总在大一高等数学下学期的学习中，我们将继续学习和探索更深入的数学知识。
下面是对本学期知识点的汇总和总结。
一、向量代数1. 向量的基本概念和表示法：向量的定义，零向量，单位向量，向量的数量表示法。
2. 向量的加法和减法：向量之间的加法和减法运算，平行四边形法则，共线向量和共面向量。
3. 数乘和数量积：向量与实数的数乘运算，向量的数量积的定义和性质，向量的模长和方向余弦。
4. 向量的叉乘和向量积：向量的叉乘定义和性质，向量积的模长和方向。
二、空间解析几何1. 空间直线及其方程：空间直线的定义，向量方程和参数方程的转换，直线的方向向量和点向式方程。
2. 平面及其方程：平面的定义，平面的一般方程，点法式方程和一般法式方程。
3. 空间曲线及其方程：空间曲线的定义，参数方程，齐次方程和标准方程。
4. 空间曲面及其方程：二次曲面的方程和图像，球面和圆锥曲线的方程。
三、多元函数及其极限1. 多元函数的概念与性质：多元函数的定义，自变量和因变量的关系，函数的定义域和值域。
2. 多元函数的极限：二重极限和多重极限的概念，函数极限的性质与判定方法。
3. 偏导数：多元函数的偏导数定义，偏导数的计算方法，高阶偏导数，混合偏导数。
4. 微分：多元函数的微分及其几何意义，微分的计算方法。
四、多元函数的微分学1. 隐函数及其求导：隐函数的概念和性质，隐函数求导的方法。
2. 方向导数与梯度：方向导数的定义和计算，梯度的概念和性质。
3. 多元函数极值与条件极值：多元函数的极值判定，约束条件下的极值求解。
五、多元函数的积分学1. 重积分：二重积分的概念和性质，二重积分的计算，极坐标下的二重积分。
2. 三重积分：三重积分的概念和性质，三重积分的计算，柱面坐标和球面坐标下的三重积分。
3. 曲线与曲面积分：曲线积分的概念和计算，曲面积分的概念和计算。
六、无穷级数1. 数列极限与无穷级数：数列的极限概念和性质，常见数列的收敛与发散，无穷级数的概念和性质。
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程空间曲线的切线方程和法平面方程是研究空间曲线上某一点处几何性质的重要工具。
本文将介绍关于求解空间曲线的切线方程和法平面方程的基本原理和方法。
1. 空间曲线的切线方程设空间曲线为C，参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)要求曲线在某一点P(t0)处的切线方程，可以通过以下步骤进行求解：（1）计算曲线在P(t0)处的切向量。
在曲线上选取一点P(t0)，将参数t作适当的微小变化dt，得到曲线上另一点P(t0+dt)。
连接P(t0)和P(t0+dt)两点，得到曲线上的一小段切线段。
切向量是切线段的方向矢量，表示曲线在该点的切线的方向。
切向量的计算公式为：T = lim(dt→0) (P(t0+dt) - P(t0)) / dt（2）确定切线方向向量。
切线方向向量与切向量相同，方向与曲线的切线一致。
所以切线方向向量T即为切线向量。
（3）确定切线点坐标。
将参数t赋值为t0，得到切线过点P(t0)的坐标。
（4）写出切线方程。
以切线点为起点，以切线方向向量为方向，可得到切线方程的一般形式：(x - x0) / a = (y - y0) / b = (z - z0) / c其中，(x0, y0, z0) 为切线点坐标，(a, b, c)为切线方向向量。
2. 空间曲线的法平面方程设空间曲线为C，参数方程为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)要求曲线在某一点P(t0)处的法平面方程，可以通过以下步骤进行求解：（1）计算曲线在P(t0)处的切向量。
切向量T已在求解切线方程时计算过。
（2）确定法平面的法向量。
法向量是垂直于切线向量的向量，在二维平面上与切线方向向量一致，在三维空间中由切线向量和一般的纵轴方向共同确定。
可以通过叉乘计算得到法向量：N = T × (0, 0, 1) 或 N = (0, 0, 1) × T其中，×表示向量的叉乘运算。
大学高等数学几何教材
大学高等数学几何教材大学高等数学几何教材作为数学学科中的重要一环，对于学生的学习起着至关重要的作用。
本教材的编撰旨在系统地介绍和讲解高等数学中的几何相关内容，为大学生提供坚实的数学基础，培养其几何思维和解决实际问题的能力。
本文将就该教材的内容框架、特点、教学方法以及应用前景进行探讨。
一、内容框架大学高等数学几何教材的内容框架应该能够完整、系统地覆盖几何学科的核心知识点。
首先，需要介绍基本的点、线、面及其相互关系，包括点的坐标表示、线段的长度计算、平面的方程等内容。
其次，应该深入探讨多边形、圆、曲线以及它们的性质和变换方法。
最后，还应涵盖空间几何学的基础知识，包括空间直线与平面的关系、空间曲线的参数方程等。
二、教材特点编写大学高等数学几何教材需要注意以下特点：首先，应该突出几何学的基础思想，培养学生的几何直观和几何思维能力。
其次，应该融入数学的抽象概念和演绎推理，使学生能够理解几何学与其他数学学科的联系与区别。
同时，应该注重几何学的实际应用，让学生认识到几何学在实际问题中的重要性。
三、教学方法大学高等数学几何教材的教学方法应该多样化，以满足不同学生的学习需求。
首先，可以采用理论授课的方式，结合示例和推导过程，深入讲解几何学的基本概念和定理。
其次，可以注重几何学的实际应用，通过实例分析和解决实际问题，激发学生的学习兴趣。
另外，还可以组织学生进行课堂讨论和小组合作，促进彼此之间的交流和思维碰撞。
四、应用前景大学高等数学几何教材的应用前景广阔。
首先，在数学学科中，几何学是其他分支学科的基础，掌握几何学的基本概念和方法对于学习其他数学学科具有重要意义。
其次，在理工科和社会科学中，几何学的应用十分广泛，例如在物理学、工程学、计算机图形学等领域，几何学都发挥着重要作用。
因此，大学高等数学几何教材的编写必须与实际应用相结合，培养学生的应用能力和创新思维。
结语大学高等数学几何教材的编写应当符合内容框架、教学特点和应用前景的要求，突出基础知识的传授、思维能力的培养以及实际问题的解决。
高等数学 -空间曲线及其方程
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
2C
y
sin
1 x
,
,
求证： lim f (x, y) 0.
x0
y0
证： f (x, y) 0
x y
xy 0 xy 0
要证
ε
ε 0, δ ε 2,当0 ρ x2 y2 δ 时，总有
故
lim f (x, y) 0
x0
y0
证： Q 0 f (x, y)
x y 0 x 0, y 0
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 点P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
大学高数空间解析几何
学习空间解析几何有助于培养人的逻辑思维和抽象 思维能力，提高解决问题的能力。
空间解析几何的历史与发展
早期发展
空间解析几何起源于17世纪，随着笛卡尔坐标系的建立和 解析几何方法的完善，开始形成独立的数学分支。
近代发展
随着计算机科学和数学的不断发展，空间解析几何在理论 和应用方面都取得了重要进展，如微分几何、线性代数和 微分方程等与空间解析几何的交叉融合。
详细描述
如果两个平面的法向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 是共线的，即存在一个非零实数 $lambda$ 使得 $mathbf{a} = lambda mathbf{b}$，那么这两个平面就是平行的。如果两个平面的法向量不共线，那么 这两个平面就是相交的。
04
空间几何的应用
空间几何在计算机图形学中的应用
01
02
03
三维建模
空间几何用于创建三维模 型，包括曲面建模、实体 建模和参数化建模等。
光照计算
空间几何用于计算物体表 面的光照效果，以实现逼 真的渲染效果。
动画制作
空间几何用于动画制作中 的骨骼绑定、运动轨迹规 划和角色动画等，以创建 动态的视觉效果。
05
空间几何的习题与解答
平面与平面的交线
总结词求平面与平面Fra bibliotek交线，需要消元法或参数方程法。
详细描述
平面与平面的交线可以通过消元法或参数方程法来求解。消元法是通过联立两个平面的方程组，然后消元得到一 个一元一次方程，这个一元一次方程就是两平面的交线。参数方程法则是设定一个参数，将两个平面的方程都表 示成参数的函数，然后令参数相等，解出交线的参数方程。
未来展望
随着科技的不断进步和应用领域的拓展，空间解析几何将 继续发挥重要作用，并有望在人工智能、机器学习等领域 取得新的突破和应用。
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大学高等数学教材目录第一章前言1.1 数学教材的重要性1.2 数学教材的组成要素第二章函数与极限2.1 函数的概念与性质2.1.1 函数的定义2.1.2 函数的图像与性质2.2 极限的概念与性质2.2.1 极限的定义2.2.2 无穷小量与无穷大量2.3 一元函数的极限2.3.1 极限的运算法则2.3.2 连续函数与间断点2.4 多元函数的极限2.4.1 多元函数的定义与性质2.4.2 多元函数的极限计算2.5 极限存在准则与极限运算法则 2.5.1 极限存在准则2.5.2 极限运算法则的应用第三章导数与微分3.1 导数的概念与性质3.1.1 导数的定义与解释3.1.2 导数的几何意义与物理意义 3.2 导数运算法则3.2.1 导数的四则运算3.2.2 链式法则与复合函数的导数 3.3 高阶导数与隐函数求导3.3.1 高阶导数的定义3.3.2 隐函数求导的方法3.4 微分与微分近似3.4.1 微分的定义与计算3.4.2 微分近似与局部线性化第四章积分与定积分4.1 不定积分与反导函数4.1.1 不定积分的概念与性质4.1.2 基本积分公式与换元积分法4.2 定积分的概念与性质4.2.1 定积分的定义与几何意义4.2.2 定积分的计算方法4.3 定积分的应用4.3.1 几何应用：曲线长度与曲面面积 4.3.2 物理应用：质量、质心与弧长 4.4 微积分基本定理及其应用4.4.1 第一型与第二型微积分基本定理 4.4.2 牛顿-莱布尼茨公式的推广第五章一元函数的级数5.1 数项级数5.1.1 数项级数的概念与性质5.1.2 数项级数的敛散性判定5.2 幂级数与函数展开5.2.1 幂级数的收敛半径5.2.2 幂级数的基本性质与展开5.3 函数项级数5.3.1 函数项级数的概念与性质5.3.2 函数项级数的一致收敛性5.4 泰勒级数与傅里叶级数5.4.1 泰勒级数的定义与应用5.4.2 傅里叶级数的定义与计算第六章多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.1.1 多元函数的定义6.1.2 多元函数的极限与连续性6.2 偏导数与全微分6.2.1 偏导数的定义与计算6.2.2 全微分与多元函数的微分近似 6.3 多元复合函数与隐函数求导6.3.1 多元复合函数的偏导数6.3.2 多元隐函数的求导方法6.4 梯度与方向导数6.4.1 多元函数的梯度6.4.2 方向导数与梯度的应用第七章多元函数的积分学7.1 二重积分的概念与性质7.1.1 二重积分的定义与几何意义 7.1.2 二重积分的计算方法7.2 二重积分的应用7.2.1 几何应用：面积与质心7.2.2 物理应用：质量与矩7.3 三重积分的概念与性质7.3.1 三重积分的定义与几何意义 7.3.2 三重积分的计算方法7.4 三重积分的应用7.4.1 几何应用：体积与质心7.4.2 物理应用：质量与转动惯量7.5 曲线与曲面积分7.5.1 第一型曲线积分7.5.2 第二型曲线积分与曲面积分第八章常微分方程8.1 微分方程的基本概念8.1.1 微分方程的定义与分类8.1.2 初值问题与解的存在唯一性 8.2 一阶常微分方程8.2.1 可分离变量方程8.2.2 一阶线性方程8.3 二阶线性常系数齐次微分方程 8.3.1 特征方程与通解形式8.3.2 边值问题与特解法8.4 高阶线性常系数齐次微分方程 8.4.1 特征方程与通解形式8.4.2 边值问题与特解法8.5 常微分方程的应用8.5.1 骨架曲线与特解的选择8.5.2 物理领域中的应用第九章向量代数与空间解析几何9.1 向量的基本概念与运算9.1.1 向量的定义与性质9.1.2 向量的线性运算与数量积9.2 空间直线与平面9.2.1 空间直线的参数方程9.2.2 空间平面的法向量与标准方程 9.3 空间曲线与曲面9.3.1 曲线的参数方程与切向量9.3.2 曲面的方程与切平面9.4 空间解析几何的应用9.4.1 空间中的曲线运动问题9.4.2 几何体的性质与计算第十章空间向量与向量函数微积分10.1 空间向量的运算10.1.1 空间向量的定义与基本性质10.1.2 空间向量的线性运算与向量积 10.2 空间向量的微积分10.2.1 向量函数的极限与连续性10.2.2 向量函数的导数与曲率10.3 曲线与曲面的向量微积分10.3.1 参数曲线的弧长与切向量10.3.2 向量场与曲面积分第十一章多元函数与多元积分11.1 多元复合函数与链式法则11.1.1 高阶导数的定义与计算11.1.2 链式法则与复合函数的高阶导数 11.2 多元函数的积分11.2.1 多元函数的定积分11.2.2 重积分的计算方法11.3 极坐标与球面坐标系下的积分11.3.1 极坐标系下的二重积分11.3.2 球面坐标系下的三重积分11.4 多元积分的应用11.4.1 几何应用：质心与转动惯量 11.4.2 物理应用：质量、通量与功率第十二章向量场与曲线积分12.1 向量场的基本概念和性质12.1.1 向量场的定义与性质12.1.2 向量场的流线与发散度12.2 曲线积分的概念与性质12.2.1 曲线积分的定义12.2.2 曲线积分的计算方法12.3 格林公式与环量12.3.1 格林公式的表述与应用12.3.2 环量与全微分12.4 曲面积分的概念与性质12.4.1 曲面积分的定义与计算12.4.2 流量与高斯公式12.5 散度与环量12.5.1 散度的定义与计算12.5.2 散度与高斯公式的应用第十三章曲线曲面积分与斯托克斯公式 13.1 曲线积分的类型与计算13.1.1 第一型与第二型曲线积分13.1.2 曲线积分计算方法13.2 曲面积分的类型与计算13.2.1 第一型与第二型曲面积分13.2.2 曲面积分计算方法13.3 散度定理与高斯公式13.3.1 散度定理的表述与应用13.3.2 高斯公式与流量计算13.4 斯托克斯定理与环量13.4.1 斯托克斯定理的表述与应用 13.4.2 环量计算与应用第十四章常微分方程数值解14.1 常微分方程初值问题的数值解法14.1.1 欧拉方法与改进的欧拉方法14.1.2 龙格-库塔方法14.2 常微分方程边值问题的数值解法14.2.1 二点边值问题与分段线性插值14.2.2 有限差分方法与微分方程的离散化14.3 常微分方程数值解的误差估计14.3.1 局部截断误差与全局截断误差14.3.2 稳定性与收敛性的分析结语15.1 数学学科的重要性与发展15.2 高等数学教材的应用与拓展15.3 数学学科对于人类社会的贡献本教材将大学高等数学知识进行系统整理和归纳，以便帮助读者更好地学习和理解数学的基本概念、原理和应用。
高等数学平面及其方程
所求平面方程为 6 x y 6 z 6.
代入体积式
例6
求过点 M1 (1,1,2), M 2 ( 1,0,3) 且平行于 z 轴的平面方程.
解一 用点法式
设所求平面的法向量为 n M1 M 2 2i j k 则 n M1 M 2 , n k i j k n 2 1 1 i 2j
M 0 M { x x0 , y y0 , z z0 } A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
平面的点法式方程
其中法向量 n { A, B , C }, 已知点 ( x0 , y0 , z0 ). 若取平面的另一法向量 m 此时由于 m // n m n A, B, C
一、平面的点法式方程
如果一非零向量垂直于 一平面，这向量就叫做该平 面的法线向量．
z
n
M
M0
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 n { A, B , C }, M 0 ( x0 , y0 , z0 ),
设平面上的任一点为 M ( x , y , z )
必有 M 0 M n M 0 M n 0
x x1 x2 x1 x3 x1
y y1 y2 y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0 ——三点式方程 z3 z1
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为
时,平面方程为 x y z 1 (a , b , c 0) a b c
此式称为平面的截距式方程.
D A , a
D D B , C . b c
大学高等数学下册笔记 高数下-向量 空间平面与直线 空间曲线和切线与法平面 空间曲面的切平面与法线
ac 课时四空间几何向量一、向量（点乘、叉乘）题型1：kj i a23--=k j i b -+=2求①ab②单位向量a e ③b a⋅及θcos 解：a === b === ⎪⎭⎫ ⎝⎛--==142,141,143a a e a()()3,1,21,2,13223a b ⋅=--⋅-=-+=cos a b a bθ⋅===向量叉乘（向量积）（必考点）★题型2：计算32a i j k=--2b i j k =+-，求a b⨯ 解：考点重要程度分值常见题型1.向量（点乘、叉乘）★★★0~3选择、填空2.空间平面与直线★★★★★0~7大题3.空间曲线的切线与法平面★★★0~6选择、填空或大题4.空间曲面的切平面与法线★★★0~6kj i b a121213=---=⨯)7,1,5(=⨯b aa b ⨯b3680x y z --+=二、空间平面与直线1)空间平面及其方程()000,,z y x P ()C B A n ,,=化简得0Ax By +=Ax By Cz D +++（一般式）1）对称式方程()000,,z y x P ()C B A s ,,=2）一般式：⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 3）参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=000zCt z y Bt y x At x 题型1:求过3个点()111，，A ()222，，--B 和()211，，-C 的平面方程解：(3,3,1)AB =--(0,2,1)AC =-故AC AB ⨯就是该平面的一个法向量。
()3311,3,6021i j kn AB AC =⨯=--=--所求平面方程为()()()131610x y z --+-+-=题型2：已知平面05=++-z y x 和036485=++-z y x 求其交线对称式方程和参数方程解⎩⎨⎧=++-=++-03648505z y x z y x 则⎩⎨⎧-=-=)4,8,5()1,1,1(n nkj i kj i n n s3448511121-+=--=⨯=任意一点点法式方程n求出方向向量平面的任意法向量两个平面的交线()()()0000A x xB y yC z z -+-+-=),,(000z y x p A x x 0=-⇒(16,0,11)⇒-令0=y ⎩⎨⎧=++=++⇒0364505z x z x 解方程得⎩⎨⎧=-=1116z x 则直线方程：3111416--==+z y x 令：得参数方程为解.21131x y z t -+===-得231x t y t z t =+⎧⎪=⎨⎪=--⎩带入平面方程得()23310t t t +++--=解得1t =故交点为()3,3,2-题型4：求点()1,2,1到平面01022=-++z y x 的距离解：由距离公式知122110122211222=++-⨯+⨯+⨯=d求出一点416311x t y tz t =-⎧⎪=⎨⎪=-+⎩t z y x =--==+31114165.空间曲面的切平面与法线题型6：求24z e z xy -+=在点()210，，处的切平面与法线解设24z F e z xy =-+-则⎪⎩⎪⎨⎧=-=====11221zz y x e F x F y F ()1,2,1==⇒n s即切平面为()()2210x y z -+-+=法线为z y x =-=-2112M 点求出的切平面的法向量n 即是法线的方向向量ss。
《高等数学讲义》(上、下册)--目录 樊映川等编
第一篇解析几何《高等数学讲义》 (上、下册) -- 目录第五章极坐标樊映川等编12.平面束的方程第一章行列式及线性方程组1.二阶行列式和二元线性方程组2.三阶行列式3.三阶行列式的主要性质4.行列式的按行按列展开5.三元线性方程组6.齐次线性方程组7.高阶行列式概念第二章平面上的直角坐标曲线及其方程1.轴和轴上的线段2.直线上点的坐标数轴3.平面数的点的笛卡儿直角坐标4.坐标变换问题5.两点间的距离6.线段的定比分点7.平面上曲线方程的概念8.两曲线的交点第三章直线与二元一次方程1.过定点有定斜率的直线方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程4.直线的截距式方程5.直线的一般方程6.两直线的交角7.直线平息及两直线垂直的条件8.点到直线的距离9.直线束第四章圆锥曲线与二元一次方程1.圆的一般方程2.椭圆及其标准方程3.椭圆形状的讨论4.双曲线及其标准方程5.双曲线形状的讨论6.抛物线及其标准方程7.抛物线形状的讨论8.椭圆及双曲线的准线9.利用轴的平移简化二次方程10.利用轴的旋转简化二次方程11.一般二元二次方程的简化1.极坐标的概念2.极坐标与直角的关系3.曲线的极坐标方程4.圆锥曲线的极坐标方才第六章参数方程1.参数方程的概念2.曲线的参数方程3.参数方程的作图法第七章控件直角坐标与矢量代数1.间点的直角坐标2.基本问题3.矢量的概念矢径4.矢量的加减法5.矢量与数量的乘法6.矢量在轴上的投影投影定理7.矢量的分解与矢量的坐标8.矢量的模矢量的方向余弦与方向数9.两矢量的数量积10.两矢量的夹角11.两矢量的矢量积12.矢量的混合积第八章曲面方程与曲线方程1.曲面方程的概念2.球面方程3.母线平行于坐标的柱面方程二次柱面4.控件曲线作为两曲面的交线5.空间曲线的参数方程6.空间曲线在坐标面上的投影第九章空间的平面于曲线1.过一点并已知一法线矢量的平面方程2.平面的一般方程的研究3.平面的截距式方程4.点到平面的距离5.两平面的夹角6.直线作为两平面的交线7.直线的方程8.两直线的夹角9.直线与平面的夹角10.直线与平面的交点11.杂例第十章二次曲面1.旋转曲面2.椭秋面3.单叶双曲面4.双叶双曲面5.椭圆抛物面6.双曲抛物面7.二次锥面第二篇第一章函数及其图形1.实数与数轴2.区间3.实数的绝对值邻域4.常量与变量5.函数概念6.函数的表示法7.函数的几种特性8.反函数概念9.基本初等函数的图形10.复合函数初等函数第二章数列的极限及函数的极限1.数列及其简单性质2.数列的极限3.函数的极限4.无穷大无穷小5.关于无穷小的定理6.极限的四则运算7.极限存在的准则两个重要极限8.双曲函数9.无穷小的比较第三章函数的连续性1.函数连续性的定义2.函数的间断点3.闭区间上连续函数的基本性质4.连续函数的和积及商的连续性5.反函数与复合函数的连续性6.初等函数的连续性第四章导数及微分1.几个物力学上的概念2.导数概念3.导数的几何意义4.求导数的例题导数的基本公式表5.函数的和积商的导数6.反函数的导数7.复合函数的导数8.高阶导数9.参数方程所确定的函数的导数10.微分概念11.微分的求法微分形式不变性12.微分应用与近似计算及误差的估计第五章中值定理1.中值定理2.罗必塔法则3.泰勒公式第六章导数的应用1.函数的单调增减性的判定法2.函数的极值及其求法3.最大值及最小值的求法4.曲线的凹性及其判定法5.曲线的拐点及其求法6.曲线的渐进线7.函数图形的描绘方法8.弧微分曲率9.曲率半径曲率中心10.方程的近似解第七章不定积分1.原函数与不定积分的概念2.不定积分的性质3.基本积分表4.换元积分法5.分步积分法6.有理函数的分解7.有理函数的积分8.三角函数的有理式的积分9.简单无理函数的积分10.二项微分式的积分11.关于积分问题的一些补充说明第八章定积分1.曲边梯形的面积变力所作的功2.定积分的概念3.定积分的简单性质中值定理4.牛顿-莱布尼兹公式5.用换元法计算定积分6.用分部积分法计算定积分7.定积分的近似公式8.广义积分第九章定积分的应用1.平面图形的面积2.体积3.曲线的弧长4.定积分在物力力学上的应用第十章级数I. 常数项级数1.无穷级数概念2.无穷级数的基本性质收敛的必要条件3. 正项级数收敛性的充分判定法4.任意项级数绝对收敛5.广义积分的收敛性6.T- 函数II. 函数项级数7.函数项级数的一般概念8.一致收敛及一致收敛级数的基本性质III 幂级数9.幂级数的收敛半径10.幂级数的运算11.泰勒级数12.初等函数的展开式13.泰勒级数在近似计算上的应用14.复变量的指数函数欧拉公式第十一章傅立叶级数1.三角级数三角函数系的正交性2.欧拉-傅立叶公式3.傅立叶级数4.偶函数及奇函数的傅立叶级数5.函数展开为正弦和余弦级数6.任意区间上的傅立叶级数第十二章多元函数的微分法及其应用1.一般概念2.二元函数的极限及连续性3.偏导数4.全增量及全微分5.方向导数6.复合函数的微分法7.隐函数及其微分法8.空间曲线的切线及法平面9.曲面的切平面及法线10.高阶偏导数11.二元函数的泰勒公式12.多元函数的极值13.条件极值--拉格朗日乘数法则第十三章重积分1.体积问题二重积分2.二重积分的简单性质中值定理3.二重积分计算法4.利用极坐标计算二重积分5.三重积分及其计算法6.柱面坐标和球面坐标7.曲面的面积8.重积分在静力学中的应用第十四章曲线积分及曲面积分1.对坐标的曲线积分2.对弧长的曲线积分3.格林公式4.曲线积分与路线无关的条件5.曲面积分6.奥斯特罗格拉特斯公式第十五章微分方程1.一般概念2.变量可分离的微分方程3.齐次微分方程4.一阶线性方程5.全微分方程6.高阶微分方程的几个特殊类型7.线性微分方程解的结构8.常系数齐次线性方程9.常系数非齐次线性方程10.欧拉方程11.幂级数解法举例12.常系数线性微分方程组。
空间曲线在一般平面上投影方程的求法
摘 要 介 绍 了两 种 求 空 间 曲线 在 一 般 平 面 上 投 影 曲线 方 程 的 方 法 ，方 法一 是将 投 影 曲 线 看 作 是柱 面与 一 般
平 面 的 交 线 ，而 方 法 二 是 将 投 影 曲线 看 作 是 空 间 曲 线 上各 点 在 一 般 平 面 上 的 投 影 点 组 成 的 曲线 ．
性质 ３ ．（ × ）一 （ ×占）． 一 （ × ）． ．
所 以
ｙ ｌ ×６ Ｉ。，
证 明 令
· （６× ）一 （ × ６）· ．
一 ＋ ＋ × ｂ，
同理可得
因 为
（ × ６） · ＝ （ × ）·ｂ．
· （６× ） ＝ · （６× （ ＋ ＋ × ６））一 · （ｏｈ× ＋ × （ Ｘ ６））＝
１ Ｇ（ｘ１，Ｙ１，ｚ１）一 ０
ｏ ● ＝＇● ＝Ｈ ｏ ●‘ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●‘》 ●ｏ ● ＝ ●‘＝ ●ｏ ● ＝Ｈ ｏ ●
ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●ｏ ●
· （ ＋ ）］ 一 ［ ·（ ＋ ）
（ · ）６——（６· ） ．
· （６× （ × ６））一 · （（６ ·ｂ）Ｅ一 （６ ·ｉｆ）ｂ）＝
ｙ（１ Ｉ。Ｉ ｂ ｌ 一 （ ·６）。）一 ｙ｝ Ｉ ｚ ｌ Ｉ ｚ（１一 ｃＯＳｚ（ ， ））一
参 考 文 献
［１３同济 大 学 数 学 教 研 室 ．高 等 数 学 ＩＭ］．北 京 ：高等 教 育 出版 社 ，１９９６．
ＶｏＩ．１３，Ｎｏ．２ Ｍ ａＦ．，２０１０
高 等 数学 研 究
ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ Ｃ０ＬＬＥＧＥ Ｍ ＡＴＨ ＥＭ ＡＴＩＣＳ
２３
空 间 曲线 在 一 般 平 面 上 投 影 方 程 的 求 法
高等数学(二)_ 向量代数与空间解析几何2_ 空间曲线及其方程_
包含曲线 C 关于 zox面 的投影柱面的柱面方程
例3 求空间曲线
z
x2 + y2 + z2 =1, C :
x2 +(y 1) +2(z 1) =12
在 xoy 面上的投影曲线方程.
C
o
1
y
x
解 消去 z 得包含曲线 C 而母线平行于z轴的柱面方程
x2 +2y2 2y = 0.
易见此方程就是曲线 C 关于 xoy 面的投影柱面方程, 因此空间曲
x2 + y2 2x = 0, 0. z =
消去 x 得 C 关于 yoz 面的投影柱面方程
z
z4 4z2 + y2 = 0.
因此空间曲线 C 在 yoz 面上的投影曲线方程为
O
y
z 4 4z 2+ y =2 0,
x
x = 0.
包含曲线 C 关于 zox 面的投影柱面的柱面方程为 z2 = 2x.
2
z2 = 2x,(0 x 2), 空间曲线 C 在 zox 面上的投影曲线方程为
四、空间立体或曲面在坐标面上的投影
空间立体或曲面在坐标面上的投影 —— 正投影.
例5 求由上半球面
和锥面
所
围成的立体在 xoy 面上的投影.
z
解 两曲面的交线C的方程为
C
o y
x
消去 z 得包含曲线 C 而母线平行于z轴的柱面方程
设空间曲线 C 的一般方程为 ②
消去 z 得 ③
此方程表示包含曲线 C 且母线平行于 z 轴的柱面.
以C为准线，母线平行于 z 轴(即垂直于 xoy 面)的柱面称为 曲线C关于 xoy 面的投影柱面. 投影柱面与 xoy 面的交线C ′叫做
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4 3
6 0 1
一般情况 : 过三点 M k ( xk , yk , z k ) (k 1, 2 , 3)
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特别,当平面与三坐标轴的交点分别为
时, 平面方程为 x y z 1 (a , b , c 0) a b c
此式称为平面的截距式方程.
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三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
消去 z 得投影柱面
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
z
C
H ( x, y ) 0 z0 y 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 x C R( y, z ) 0 x0 T ( x, z ) 0 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 y0
(P327 例4 , 自己练习)
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三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 , C1 ) 平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 , C2 ) 则两平面夹角 的余弦为
n1
n2
平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C2 ) 垂直: 平行: n1 n2 0
A1 A2 B1B2 C1C2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
n1 n2 夹角公式: cos n1 n2
因此有 2C ( x 1) C ( y 1) C ( z 1) 0
约去C , 得
2( x 1) ( y 1) ( z 1) 0
即
2x y z 0
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例5. 设
是平面
外一点,求 P0 到平面的距离d . 解:设平面法向量为 n ( A , B , C ) , 在平面上取一点
x x1 x2 x1 x3 x1
(abc 0)
z z1 z 2 z1 0 z3 z1
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三点式
y y1 y2 y1 y3 y1
2.平面与平面之间的关系 平面 1 : A1 x B 1 y C 1 z D1 0, n1 ( A1 , B 1 , C 1 )
M 0M n
故
n
M0
M 0M n 0
o x
y
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
①
称①式为平面的点法式方程, 称 n 为平面 的法向量.
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例1.求过三点 的平面 的方程. 解: 取该平面 的法向量为
思考与练习
P324 题 1，2，7（展示空间图形）
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答案: P324 题1
x 1 (1) y2
(2)
z 4 x y yx0
z
2
2
z
1
o o
2 y
o x
2y
x
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(3)
x z a
2
2
2
x2 y2 a2
z
a
o
a
y
x
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x0 y0 z0 1, 1 3 x0 3 x0
从而
o x
M0
y
因此所求球面方程为
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内容小结
1.平面基本方程:
一般式
点法式 截距式
Ax By Cz D 0 ( A2 B 2 C 2 0 )
x y z 1 a b c
z
ay x
x 2 y 2 ax z0
ay x
x 2 z 2 a 2 y 0
机动
( x 0 , z 0)
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作业
P324 3，4，5，6, 8
第五节 目录
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备用题 求曲线
绕 z 轴旋转的曲面与平面
x y z 1的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.
n
M1 M3 M2
n M 1M 2 M 1M 3
i j k 3 4 6 2 3 1 (14 , 9 , 1)
又 M 1 , 利用点法式得平面 的方程
即
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说明: 此平面的三点式方程也可写成
x 2 y 1 z 4
3 2
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面;
• A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示 平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示 平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示 平行于 zox 面 的平面.
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思考与练习
P330 题4 , 5, 8
作业
P330 2 , 6 , 7 , 9
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备用题
求过点 (1,1,1)且垂直于二平面 和
的平面方程. 解: 已知二平面的法向量为
n1 (1, 1, 1),
任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 , 则
②
A x0 B y0 C z0 D 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价,因此方程②的图形是
法向量为 n ( A, B, C ) 的平面, 此方程称为平面的一般 方程.
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o x
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1 y
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又如,方程组
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay x
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二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:
z
称它为空间曲线的 参数方程.
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
M
o
令 t , b
v
x
2
即
n1 n2 cos n1 n2
1
cos
A1 A2 B1B2 C1C2
2 A1
2 B1
2 C1
A2 B2 C2
2
2
2
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1 : n1 ( A1 , B1 , C1 )
n1 n2 cos 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 ) n1 n2
P 1 ( x1 , y1 , z1 ) ,则P0 到平面的距离为 P 1P 0n PP d Prj n 1 0 n A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C ( z0 z1 ) P A2 B 2 C 2 1
d A x0 B y 0 C z 0 D A2 B 2 C 2
上半球面 和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在
xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x y 1, z 0 .
机动
C
x
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o
2
2
1
y
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内容小结
• 空间曲线
• 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
第四节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
第七章
二、空间曲线的参数方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
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一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
G( x, y, z ) 0 L F ( x, y, z ) 0
S2
S1
例Hale Waihona Puke ,方程组z2C
表示圆柱面与平面的交线 C.
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例如,
x2 y2 z 2 1 C: 2 2 2 x ( y 1 ) ( z 1 ) 1
在xoy 面上的投影曲线方程为
z
C
o x
1 y
x 2 2 y 2 2 y 0 z0
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又如,
y
上升高度 h 2 b , 称为螺距 .
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例1. 将下列曲线化为参数方程表示:
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
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例2. 求空间曲线 : 时的旋转曲面方程 . 解: 转过角度 后到点 则
特别有下列结论：
n2
(1) 1 2 (2) 1 // 2
n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 n1 // n2
A1 B1 C1 A2 B2 C2