空间曲线及其方程27993
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高等数学 第八章 第六节 空间曲线及其方程
S2 L S1
F(x , y , z) = 0 G( x , y , z) = 0
例如，方程组
G(x , y , z) = 0 F(x , y , z) = 0
z
2C
表示圆柱面与平面的交线 C 。
第八章 第六节
o 1y
x
2
又如，方程组
z
ay
表示上半球面与圆柱面的交线 C 。 x
特点：曲线上的点都满足 方程， 满足方程的点都在 曲线上， 不在曲线上的点 不能同时满足两个方程。
第八章 第六节
3
例1
方程组
x2 + y2 = 1
表示怎样的曲线？
2x + 3 y + 3z = 6
解 x2 + y2 = 1 表示圆柱面，
2x + 3 y + 3z = 6 表示平面，
x2 + y2 = 1 2x + 3 y + 3z = 6
交线为椭圆。
第八章 第六节
4
z = a2 − x2 − y2
空间曲线的一般方程、参数方程。
F(x , y , z) = 0 G( x , y , z) = 0
x = x(t)
y
=
y(t )
z = z(t)
空间曲线在坐标面上的投影。
H(x , y) = 0 z = 0
R( y , z) = 0
x
=
0
第八章 第六节
T ( x , z) = 0
y
=
0
21
yoz 面上的投影曲线,
R( y , z) = 0
x
=
0
xoz面上的投影曲线,
25--第四节--空间曲线及其方程
第四节 空间曲线及其方程一 空间曲线的一般方程曲面(), , 0F x y z =和(), , 0G x y z =的交线C 可表示为它称为空间曲线C 的一般方程.例1 方程组221,236x y x z ⎧+=⎨+=⎩表示何曲线?解 221x y +=表示母线平行于z 轴的圆柱面, 其准线是xy 面上的圆221x y +=. 236x z +=表示一个母线平行于y 的柱面, 其准线是xz 面上的直线236x z +=, 因而236x z +=在空间表示一个平面. 221,236x y x z ⎧+=⎨+=⎩是上述圆柱面和平面的交线.例2方程组22222z a a x y ⎧=⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩表示何曲线? 解二 空间曲线的参数方程叫做空间曲线的参数方程，t 称为参数.例3 若空间一点M 在圆柱面222x y a +=上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿着平行于z 轴的正方向上升 (ω和v 均为常数) , 则点M 的轨迹叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解 设t 为时间. 当0t =时, 设M 位于x 轴上的(), 0, 0A a 处. 经过时间t , M 由A 运动到(), , M x y z . 记M 在xy 面上的投影为(), , 0M x y ', 则于是, 螺旋线的参数方程为注 若设t ωθ=, 则该方程变为这里, vb ω=为常数, 而θ是参数. 这说明曲线的参数方程不唯一, 参数的选择也不唯一.曲面的参数方程 (删)三 空间曲线在坐标面上的投影以空间曲线C 为准线且母线垂直于平面α的柱面S 称为曲线C 关于平面α的投影柱面. S 和α的交线C '称为C 在α上的投影曲线或投影.设有空间曲线.由此消去z , 得C 关于xy 面的投影柱面(): , 0S P x y =.于是, C 在xy 面上的投影曲线为同理, 若由()(), , 0,: , , 0F x y z C G x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩消去x , 则得C 关于yz 面的投影柱面 和C 在yz 面上的投影若由()(), , 0,: , , 0F x y z CG x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩消去y , 则得C 关于xz 面的投影柱面 和C 在xz 面上的投影例4 求曲线()()2222221,: 111x y z C x y z ⎧++=⎪⎨+-+-=⎪⎩在xy 面上的投影曲线. 解 用第一式减去第二式, 得1y z +=.于是, 1z y =-. 代入2221x y z ++=, 得 22220+-=x y y ,从而所求的投影方程为注1 ()()2222221,: 111⎧++=⎪⎨+-+-=⎪⎩x y z C x y z 是球面2221++=x y z 和()()222111+-+-=x y z 的交线, 因而C 是一个圆.注2 1+=y z 是曲线C 向yz 面的投影柱面 (平面) , 它是C 所在的平面.注3 22220+-=x y y 是C 向xy 面的投影柱面, 即221211124⎛⎫- ⎪⎝⎭+=y x (椭圆柱面) . 于是, 投影曲线为22121,11240⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎪+=⎨⎪⎪=⎩y x z (椭圆) . 例5设一个立体由上半球面z =和锥面z = 求它在xy 面上的投影.解 z =和z =: z C z ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去z , 得221x y +=, 它是从C 向xy 面所作的投影柱面 (圆柱面) .C 在xy 面上的投影曲线为221,: 0.⎧+='⎨=⎩x y C z (xy 面上的单位圆). 所求立体在xy 面上的投影即该圆的内部.作业 P. 324 1 (1) , (2) , 2, 3, 4, 7, 8提示2 (2) 作图后易理解.3 由已知的方程组分别消去x 和y 即可.4 由已知方程消去z .7 参照例2. 0z ≤≤表上半球面z =0z =所围的半球体的内部, 22x y ax +≤表圆柱体220x y ax +-=的内部.。
第04章空间曲线及其方程
y
x2 + y2 1
这是xoy面上的一个圆.
所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2 1
§6
二次曲面的标准方程
1.定义 由x, y, z的二次方程: ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0
所表示的曲面, 称为二次曲面.
2 2 z 4 x y 例8: 设一个立体由上半球面 和锥面 2 2 z 3 ( x y )所围成, 求它在xoy面上的投影.
z
解: 半球面与锥面的交线为
2 2 z 4 x y C: 2 2 z 3 ( x y )
O
由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1 ( 圆柱面) x 于是交线C 在xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 z=0
h
t O M
A
M y
x
(1) 动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转, 所以经过时间t, AOM = t. 从而
x = |OM | · cosAOM = acos t
y = |OM点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而
的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做
空间曲线的参数方程.
例6: 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以 角速度 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿 平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数), 那末点M 构成的图形叫做螺旋线, 试建立其 z 参数方程. 解: 取时间t为参数, 设当t = 0时, 动点位于x轴上的一点 A(a, 0, 0)处, 经过时间t, 由A 运动到M(x, y, z), M在xOy面 上的投影为M (x, y, 0).
§7.4空间曲线及其方程高数
单叶双曲面: x a sec cos y b sec sin 4 4 z c tan 0 2 圆环面: x ( R r cos ) cos y ( R r cos ) sin 0 2 0 2 z r sin 正螺面:
解: 取时间 t 为参数, 当 t = 0 时, 动点从 x 轴上的 一点A(a, 0, 0)出发, 经过 t 时间, 运动到点M(x, y, z ), M 在xoy面上的投影为M(x, y, 0). z 由于点M在圆柱面 x2 + y2 = a2上以 角速度 绕 z 轴旋转, 所以经过时间 t , AOM= t. 从而: x =| OM |cosAOM= a cos t. y =| OM | sinAOM= a sin t. o M 又由于点M同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升, 所以 x A y M z=vt t x a cos t 因此, 螺旋线的参 y a sin t 数方程为: z v t
x2 y2 1 z 0
x
2
y
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
z 4 x 2 y 2 和锥面 例6: 设一个立体由上半球面 z 3( x 2 y 2 ) 所围成, 求该立体在xoy面上的投影.
解: 半球面和锥面的交线为 z 4 x 2 y2 , C : z 3( x 2 y 2 ) , 消去 z 得投影柱面方程: x2 + y2 = 1. 则交线C在xoy面上 的投影曲线方程为: x 2 y 2 1, z 0. 这是xoy面上的一个圆, 所以, 所求立体在xoy面上的投 影(区域)为: x 2 y 2 1.
7.4空间曲线及其方程
投影曲线
面上的投影曲线 空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H ( x, y) = 0 z = 0
类似地： 类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz 面上的投影曲线 面上的投影曲线 投影曲线,
xoz面上的投影曲线 面上的投影曲线 投影曲线,
R( y , z ) = 0 x = 0
交线如图. 交线如图
注2 联立任意两个给定的曲面方程, 它们可能不表示
任何空间曲线. 如
x 2 + y 2 + z 2 = 20 , z − 2 = 0.
表示平面 z = 2上,中心在(0,0,2), 半径为4的圆, 而
x 2 + y 2 + z 2 = 20 , z = 5.
L上. (1)叫空间曲线的一般方程 .Fra bibliotek(1)
反之 , 坐标满足 (1)的点,同时在两曲面上 , 即在交线
注 空间曲线 L可用不同形式的方程组 来表达 , 如 x = 0, oy轴的方程是 (4.1) z = 0.
x + z = 0, 因方程组 ( 4.1)与 x − z = 0.
x2 + y2 = 1 表示怎样的曲线？ 例 1 方程组 表示怎样的曲线？ 2 x + 3 y + 3z = 6
解 表示圆柱面， x 2 + y 2 = 1 表示圆柱面， 表示平面， 2 x + 3 y + 3 z = 6 表示平面，
x2 + y2 = 1 2 x + 3 y + 3z = 6
1 （2）因为曲线在平面 z = 上， ） 2 面上的投影为线段. 所以在 xoz 面上的投影为线段
高数 第八章 第四节 空间曲线及其方程
x =1 (1) y=2
(2)
z = 4 − x2 − y2 y− x =0
z
z
1
o o
2 y
o
2y
x
x
13
(3)
x2 + z2 = a2
x2 + y2 = a2
z
a o a
y
x
14
P324 题2 (1)
y = 5x + 1 y = x −3
z
y = 5x +1 y = x −3
o
y
15
P324 题2(2)
z
2
C
表示圆柱面与平面的交线 C.
o
x
1 y
2
又如, 又如,方程组
z
表示上半球面与圆柱面的交线C. 表示上半球面与圆柱面的交线
ay x
3
二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标 表示成参数t 将曲线 上的动点坐标x, y, z表示成参数 的函数: 上的动点坐标 表示成参数 的函数:
z
称它为空间曲线的 参数方程. 参数方程. 例如,圆柱螺旋线的参数方程为 例如,圆柱螺旋线的参数方程为
9
例如, 例如,
2 2 2 x + y + z =1 C: 2 x + ( y −1)2 + (z −1)2 = 1
z
在xoy 面上的投影曲线方程为
C
o
x
1 y
x2 + 2 y2 − 2 y = 0 z =0
10
又如, 又如, 上半球面 和锥面 面上的投影区域为: 所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
空间曲线及其方程
n级排列的总数为n!个。
<2> 一个排列中，若较大的数 is 排在较小的数 it 的前面 ( is > it ) 时，称这一对数 is it 构成一个逆序。 一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。 记为τ(i1, i2, … in)，简记为τ 。 例如： 例如： τ(1 2 3)=0, τ(3 1 2)=2, τ(4 5 2 1 3)=7, 1 3 2 2 1 3 3 1 2
3. 空间曲线在坐标面上投影 F (x, y, z) = 0 设空间曲线C的一般方程 G (x, y, z) = 0 由方程组(4)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (5) 方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面,
z
(4)
曲线 C 一定在柱面上. 空间曲线 C 在 x O y 面上的 投影曲线必定包含于: H (x, y) = 0 z=0
§6
二次曲面的标准方程 二次曲面的标准方程 曲面的标准
1.定义 由x, y, z的二次方程: 定义 ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0 + + 所表示的曲面, 称为二次曲面. 其中a, b, …, i, j 为常数且a, b, c, d,e, f 不全为零. 研究方法是采用平面截痕法.
z = 4− x 2 − y 2 C: z = 3( x 2 + y 2 )
由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1 ( 圆柱面) x 于是交线C 在xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 z=0
O x2 + y2 ≤ 1
空间曲线及其方程
平行于x轴的柱面
投影柱面
yoz面上的投影Cyoz为线段：
z
x
10,
| y | 1
（3）同理xoz面上的投影Czox也为线段:
z
y
10,
| x | 1.
15
例7 求抛物面 y2 z2 x 与平面 x 2 y z 0
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. z
解 截线C的方程为:
y2 z2 x
y
x 2y z 0
如图,
o
x
16
（1）消去z ，得 C 在 xoy 面上的投影：
x2 5 y2 4xy x 0
,
z 0
（2）消去y ，得 C 在 zox 面上的投影：
x2 5z2 2xz 4x 0
,
y 0
（3）消去 x，得 C 在 yoz 面上的投影：
y2 z2 2y z 0
F( x, y, z) 0 G( x, y, z) 0
消去x
C yoz
:
x0 R( y, z)
0
C在zox 面上的投影 Czox:
F( x, y, z) 0 消去y G( x, y, z) 0
C z ox
:
T ( x, z)
y
0
0
9
例4
C
:
x
2
x2 (y
y2 1)2
z2 1 (z 1)2
.
x 0
17
四、一元向量值函数
1. 基本概念
(1) 一元向量值函数
r r(t), t I
其中r
xi
yj
zk ,
空间曲线的向量形式
r(t )
x(t)i
空间曲线及其方程
-0.5 -1
0
x
0
1
2
0.5
1
y
0.1
0.05
x
z
0
-0.05 x
-1
-0.1
-0.5
0
0.25
0.5
0.75
1
0
0.5 y
1
例6
求曲线 C:z z
4x2 y2 3(x2 y2)
z
在 xoy 面上的投影曲线.
解: 从方程组消去 z, 得
x2 y2 1.
Co
x
所以曲线C在 xoy 面的投影曲线为
2
4
xa2a2cots
y
a 2
sint
(0t2)
za
1 2
12
c
ots
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C的一般方程为
z
F(x, y,z) 0, G(x, y,z) 0.
C
y
从 方 程 组 中 消z去 后变 得量 到 方 程
H(x, y)0.
x C
当x、y和z满 足 方 程 , x组 、y必 时定 满 足, 方 这 说 明C曲 上线 的 所 有 点 都 所在 表由 示方 的程 面 上 .
y2
4x
0.
例1 方程组 x2y2 1, 表示怎样的 ? 曲线
2x3z6
z
解 因为 x2y21表示圆, 柱面
2
C
2x3z6表 示 平. 面
x2 y2 2x3z
1 表 6
示
二
者
的.
交线o
10
10
x
5
7-3空间曲线及其方程
xco t s
ห้องสมุดไป่ตู้ysint
(0t2)
z1 3(62cot)s
(2) 将第二方程变形为 (xa 2)2y2a42,故所求为
xa2a2cots
ya2sint
(0t2)
za 1212cots
©
又如, xoz 面上的半圆周 xasin
z y a 0co s(0)
绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
P324 题 1，2，7（展示空间图形）
©
答案: P324 题1 x1
(1)
y2
z
z 4x2y2
(2)
yx0
z
oo
1
x
2y
o
2y
x
©
x2z2a2 (3)
x2y2a2 z a oo a
y
x
©
P324 题2 (1)
y5x1 yx3
z
y5x1
yx3 o
y
©
P324 题2(2)
xasinco s
z y a ac sio n ssin002
说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如
xx(s,t) yy(s,t) zz(s,t)
©
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线
C
的一般方程为
GF((xx,,
y,z) y,z)
0 0
消去 z 得投影柱面H (x,y)0,
z
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
M
o
x y a ac si o ntts令t,bv
zvt
x
x a cos y a sin
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空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
空间曲线可视为两曲面的交线,
其一般方程为方程组
G
(
x,
y,
S2
z)
0
L
F
S1
(x,y,Fra bibliotekz)0
例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线C.
z
2C
o 1y
x
又如,方程组 z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay x
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t的函数:
0
例如
C
:
x
2
x2 (y
y2 1) 2
z2 1 (z 1)2
1
在xoy面上的投影曲线方程为
x
2
2
y2 2 z0
y
0
又如
z
C
o
1y
x z
在xoy面上的投影曲线方程为
Co 1 y
x
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
空间曲线C的一般方程
z
C
消去z
y
H
(x, y) z0
0
投影柱面
x C
C在xoy面上的投影曲线
消去x得C在yoz面上的投影曲线方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
空间曲线可视为两曲面的交线,
其一般方程为方程组
G
(
x,
y,
S2
z)
0
L
F
S1
(x,y,Fra bibliotekz)0
例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线C.
z
2C
o 1y
x
又如,方程组 z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay x
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t的函数:
0
例如
C
:
x
2
x2 (y
y2 1) 2
z2 1 (z 1)2
1
在xoy面上的投影曲线方程为
x
2
2
y2 2 z0
y
0
又如
z
C
o
1y
x z
在xoy面上的投影曲线方程为
Co 1 y
x
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
空间曲线C的一般方程
z
C
消去z
y
H
(x, y) z0
0
投影柱面
x C
C在xoy面上的投影曲线
消去x得C在yoz面上的投影曲线方程
高等数学--空间曲线及方程
xyz1的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.
解：旋转曲面方程为 zx2 y2,它与所给平面的
交线为
z x2 y2 x y z 1
此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为
xyx2y21
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为
xyx2 y2 1 z 0
例2
方程组 ( x
a )2 2
y2
a2 4
表示怎样的曲线？
z
解 z a2x2y2
上半球面,
(xa)2y2 a2
2
4
圆柱面,
交线如图.
o ay
x
二、空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t)
空间曲线的参数方程
z z ( t )
当给定t t1时，就得到曲线上的一个点 (x1,y1,z1)，随着参数的变化可得到曲线上的全
解 半球面和锥面的交线为
C:z 4x2 y2, z 3(x2 y2),
消去 z得投影 x2柱 y2 面 1,
则交C线在xoy面上的投影为
x2 y2 1,
一个圆,
z 0.
所求立x体 o面 y在上的投影为
x2y21.
四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
2, 上升的高度 h2b螺距
例4. 将下列曲线化为参数方程表示:
(1)
x2
y2
1
2x 3z 6
(2)zx2 ay22xa2xy02
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
xco t s
ysint
(0t2)
z1 3(62cot)s
空间曲线及其方程
1.2 空间曲线的参数方程
例 3 如果空间点 M 在圆柱面 x2 y2 a2 上以角速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v
沿平行于 z 轴的正方向上升（其中 ，v 都是常数），那么点 M 构成的图形称为螺旋线．试建
立其参数方程．
分析 关键是确定参数．已知动点 M 的运动角速度和线速 度，则动点坐标与时间有关，可以以时间 t 为参数．
1.4 空间曲线在坐标面上的投影
定义 以曲线 C 为准线，且母线平行于 z 轴的柱面称为曲线 C 关于 xOy 面的 投影柱面．这个投影柱面与 xOy 面的交线称为空间曲线 C 在 xOy 面上的投影曲线， 如图所示．投影曲线的方程为
H (x ，y) 0 ， z 0．
同理可得，曲线 C 在 yOz 面或 zOx 面上的投影曲线方程为
x2 y2 1．
高等数学
动，方程（9-17）便是旋转曲面的方程．
例如，球面 x2 y2 z2 a2 可看成 zOx 面上的半圆周
x a sin ，
y
0
，
(0 π)
z a cos ，
x a sin cos ，
绕 z 轴旋转所得，故球面方程为
y
a
sin
sin
，(0
π ，0
2π)
z a cos ，
*1.3 曲面的参数方程
技术上称为螺距.
*1.3 曲面的参数方程
曲面的参数方程通常含有两个参数，形如
x x(s ，t) ，
y
y(s
，t)
，
z z(s ，t) ．
例如，空间曲线
x (t) ，
y
(t)
，(
t
)
z (t) ，
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Π0 Π n0 n n0 n 0
1 (1 ) 1 (1 ) 1 ( 1) 0 1
即：Π0 : y z 1 0
故投影直线方程为：xy
y z
z 1
0 0
或 Π ：x 1 y 1 z Π0 2
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
若
L1, L2
s1, s2
，则：
cos s1 s2
|s1 | | s2 |
L1
L2
s1
s2
0
m1m2
n1n2
p1 p2
0
i L1 // L2 s1 s2 m1
m2
j n1 n2
k p1 p2
0
原式
x y
1 2
0 z
L : x 1 y 2 z —对称式 0 11
x 1 或： y 2 t —参数式
z t
4. 两直线的夹角
设s1
//
L1,
s2
//
L2 ,且s1
(m1, n1,
p1), s2
(m2 , n2 ,
p2 )
z 6
x+y+z=6
3x+y=6
0
2
x
6
6
y
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
z 6
x+y+z=6
3x+y=6
0
.
2
x
6
6
y
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
例 将L：2xxyyzz1400
Π1 Π2
化为对称式、参数式
7解法1：令z
0
2x y 4 解得
x
y
1
(1,
2,
0)
L
L Π1 Π2 s n1 (2,1, 1)且s n2 (1, 1,1)
i jk 可取s n1 n2 2 1 1 3 j 3k 3(0,1,1)
cos L1, L2 3
9 23
2 2
故：
L1, L2
4
5. 直线的平面束方程
设L
:
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 ，则称： 0
Π : A1x B1 y C1z D1 ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0
第五节
空间曲线及其方程 空间直线及其方程
一、一般方程
空间曲线的一般方程为：
是一条空间曲线
F ( x, (7)G(x,
y, y,
z) z)
0 0
即：可以看成是空间两条曲面的交线：
S1：F(x, y, z) 0, S2：G(x, y, z) 0
Γ
S1
S2
二、参数方程
空间曲线Γ参数方程的一般形式为：
1 1 1 取s (0,1,1)
L : x 1 y 2 z
0
11
x 1 或： y 2 t —参数式
z t
例 将L：2xxyyzz1400
Π1 Π2
化为对称式、参数式
7解法2： 由原式消去z得：x 1 0
消去x得：y z 2 0
z z0 pt
3. 直线的对称方程 ——也叫直线的点向式方程
从参数式中消去 t 后得：
x x0 m
y y0 n
z z0 p
令
t
——可将对称式 转化为参数式
x x0
y
m y0
n
y y0
n z z0
p
注：
m 0 x x0 0 n 0 y y0 0 p 0 z z0 0
m1 m2
n1 n2
p1 p2
例8 求L1
:
1 x 1
y 4
z
1
3
与L2
:
x 2
y2 2
z的夹角
解：
s1
Байду номын сангаас
(1,4,1)
|
s1
|
116 1
18 3
2
而s2
(2,2,1)
|
s2
|
4 41 3
s1 s2 1 2 (4) (2) 1 (1) 9
为直线 L的平面束方程。
5. 直线的平面束方程
例9
求L
:
x x
y y
z z
1 1
0在Π 0
:
x
y
z
0的投影直线
解：分析：关键是找过L且垂直于Π的平面Π0
由平面束方程,
设
Π0：(x y z 1) (x y z 1) 0
即： (1 )x (1 ) y ( 1)z ( 1) 0
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
— Π1 — Π2
注：同一条直线可以用不同的相交平面得到。
—相交平面族
图略！
2. 直线的参数方程
设直线 L
//
s，且过点
M
0
(
x0
,
y0
,
z0
),
s
(m,
n,
p)
则 平面L的方程为：
x x0 mt L： y y0 nt 其中s是L的方向向量
xz
2x2 y2 1 xz
设*：x 1 cost, y sin t z x 1 cost
2
2
则：
x
y
1 cost 2 sin t
z
1 cost 2
注：空间曲线的方程不唯一！
二、直线及其方程
1. 直线的一般方程
L：
z 6
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
0
.
2
4
x
6
6
y
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
z 6
x+y+z=6
x x(t) ： y y(t) t I
z z(t)
x 例如： y
x0 y0
nt mt
z z0 pt
— 直线：S {n, m, p},过点(x0, y0, z0 )
二、参数方程
例：试把空间曲线：
x2
y2
z2
1
解参：数消化去。z得