空间曲线及其方程27993
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
z z0 pt
3. 直线的对称方程 ——也叫直线的点向式方程
从参数式中消去 t 后得：
x x0 m
y y0 n
z z0 p
令
t
——可将对称式 转化为参数式
x x0
y
m y0
n
y y0
n z z0
p
注：
m 0 x x0 0 n 0 y y0 0 p 0 z z0 0
1 1 1 取s (0,1,1)
L : x 1 y 2 z
0
11
x 1 或： y 2 t —参数式
z t
例 将L：2xxyyzz1400
Π1 Π2
化为对称式、参数式
7解法2： 由原式消去z得：x 1 0
消去x得：y z 2 0
原式
x y
1 2
0 z
L : x 1 y 2 z —对称式 0 11
x 1 或： y 2 t —参数式
z t
4. 两直线的夹角
设s1
//
L1,
s2
//
L2 ,且s1
(m1, n1,
p1), s2
(m2 , n2 ,
p2 )
为直线 L的平面束方程。
5. 直线的平面束方程
例9
求L
:
x x
y y
z z
1 1
0在Π 0
:
x
y
z
0的投影直线
解：分析：关键是找过L且垂直于Π的平面Π0
由平面束方程,
设
Π0：(x y z 1) (x y z 1) 0
即： (1 )x (1 ) y ( 1)z ( 1) 0
例 将L：2xxyyzz1400
Π1 Π2
化为对称式、参数式
7解法1：令z
0
2x y 4 解得
x
y
1
(1,
2,
0)
L
L Π1 Π2 s n1 (2,1, 1)且s n2 (1, 1,1)
i jk 可取s n1 n2 2 1 1 3 j 3k 3(0,1,1)
若
L1, L2
s1, s2
，则：
cos s1 s2
|s1 | | s2 |
L1
L2
s1
s2
0
m1m2
n1n2
p1 p2
0
i L1 // L2 s1 s2 m1
m2
j n1 n2
k p1 p2
0
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
— Π1 — Π2
注：同一条直线可以用不同的相交平面得到。
—相交平面族
图略！
2. 直线的参数方程
设直线 L
//
s，且过点
M
0
(
x0
,
y0
,
z0
),
s
(m,
n,
p)
则 平面L的方程为：
x x0 mt L： y y0 nt 其中s是L的方向向量
m1 m2
n1 n2
p1 p2
例8 求L1
:
1 x 1
y 4
z
1
3
与L2
:
x 2
y2 2
z的夹角
解：
s1
Βιβλιοθήκη Baidu
(1,4,1)
|
s1
|
116 1
18 3
2
而s2
(2,2,1)
|
s2
|
4 41 3
s1 s2 1 2 (4) (2) 1 (1) 9
x x(t) ： y y(t) t I
z z(t)
x 例如： y
x0 y0
nt mt
z z0 pt
— 直线：S {n, m, p},过点(x0, y0, z0 )
二、参数方程
例：试把空间曲线：
x2
y2
z2
1
解参：数消化去。z得
cos L1, L2 3
9 23
2 2
故：
L1, L2
4
5. 直线的平面束方程
设L
:
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 ，则称： 0
Π : A1x B1 y C1z D1 ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0
z 6
x+y+z=6
3x+y=6
0
2
x
6
6
y
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
z 6
x+y+z=6
3x+y=6
0
.
2
x
6
6
y
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
xz
2x2 y2 1 xz
设*：x 1 cost, y sin t z x 1 cost
2
2
则：
x
y
1 cost 2 sin t
z
1 cost 2
注：空间曲线的方程不唯一！
二、直线及其方程
1. 直线的一般方程
L：
Π0 Π n0 n n0 n 0
1 (1 ) 1 (1 ) 1 ( 1) 0 1
即：Π0 : y z 1 0
故投影直线方程为：xy
y z
z 1
0 0
或 Π ：x 1 y 1 z Π0 2
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
第五节
空间曲线及其方程 空间直线及其方程
一、一般方程
空间曲线的一般方程为：
是一条空间曲线
F ( x, (7)G(x,
y, y,
z) z)
0 0
即：可以看成是空间两条曲面的交线：
S1：F(x, y, z) 0, S2：G(x, y, z) 0
Γ
S1
S2
二、参数方程
空间曲线Γ参数方程的一般形式为：
z 6
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
0
.
2
4
x
6
6
y
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
z 6
x+y+z=6
3. 直线的对称方程 ——也叫直线的点向式方程
从参数式中消去 t 后得：
x x0 m
y y0 n
z z0 p
令
t
——可将对称式 转化为参数式
x x0
y
m y0
n
y y0
n z z0
p
注：
m 0 x x0 0 n 0 y y0 0 p 0 z z0 0
1 1 1 取s (0,1,1)
L : x 1 y 2 z
0
11
x 1 或： y 2 t —参数式
z t
例 将L：2xxyyzz1400
Π1 Π2
化为对称式、参数式
7解法2： 由原式消去z得：x 1 0
消去x得：y z 2 0
原式
x y
1 2
0 z
L : x 1 y 2 z —对称式 0 11
x 1 或： y 2 t —参数式
z t
4. 两直线的夹角
设s1
//
L1,
s2
//
L2 ,且s1
(m1, n1,
p1), s2
(m2 , n2 ,
p2 )
为直线 L的平面束方程。
5. 直线的平面束方程
例9
求L
:
x x
y y
z z
1 1
0在Π 0
:
x
y
z
0的投影直线
解：分析：关键是找过L且垂直于Π的平面Π0
由平面束方程,
设
Π0：(x y z 1) (x y z 1) 0
即： (1 )x (1 ) y ( 1)z ( 1) 0
例 将L：2xxyyzz1400
Π1 Π2
化为对称式、参数式
7解法1：令z
0
2x y 4 解得
x
y
1
(1,
2,
0)
L
L Π1 Π2 s n1 (2,1, 1)且s n2 (1, 1,1)
i jk 可取s n1 n2 2 1 1 3 j 3k 3(0,1,1)
若
L1, L2
s1, s2
，则：
cos s1 s2
|s1 | | s2 |
L1
L2
s1
s2
0
m1m2
n1n2
p1 p2
0
i L1 // L2 s1 s2 m1
m2
j n1 n2
k p1 p2
0
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
— Π1 — Π2
注：同一条直线可以用不同的相交平面得到。
—相交平面族
图略！
2. 直线的参数方程
设直线 L
//
s，且过点
M
0
(
x0
,
y0
,
z0
),
s
(m,
n,
p)
则 平面L的方程为：
x x0 mt L： y y0 nt 其中s是L的方向向量
m1 m2
n1 n2
p1 p2
例8 求L1
:
1 x 1
y 4
z
1
3
与L2
:
x 2
y2 2
z的夹角
解：
s1
Βιβλιοθήκη Baidu
(1,4,1)
|
s1
|
116 1
18 3
2
而s2
(2,2,1)
|
s2
|
4 41 3
s1 s2 1 2 (4) (2) 1 (1) 9
x x(t) ： y y(t) t I
z z(t)
x 例如： y
x0 y0
nt mt
z z0 pt
— 直线：S {n, m, p},过点(x0, y0, z0 )
二、参数方程
例：试把空间曲线：
x2
y2
z2
1
解参：数消化去。z得
cos L1, L2 3
9 23
2 2
故：
L1, L2
4
5. 直线的平面束方程
设L
:
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 ，则称： 0
Π : A1x B1 y C1z D1 ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0
z 6
x+y+z=6
3x+y=6
0
2
x
6
6
y
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
z 6
x+y+z=6
3x+y=6
0
.
2
x
6
6
y
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
xz
2x2 y2 1 xz
设*：x 1 cost, y sin t z x 1 cost
2
2
则：
x
y
1 cost 2 sin t
z
1 cost 2
注：空间曲线的方程不唯一！
二、直线及其方程
1. 直线的一般方程
L：
Π0 Π n0 n n0 n 0
1 (1 ) 1 (1 ) 1 ( 1) 0 1
即：Π0 : y z 1 0
故投影直线方程为：xy
y z
z 1
0 0
或 Π ：x 1 y 1 z Π0 2
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
第五节
空间曲线及其方程 空间直线及其方程
一、一般方程
空间曲线的一般方程为：
是一条空间曲线
F ( x, (7)G(x,
y, y,
z) z)
0 0
即：可以看成是空间两条曲面的交线：
S1：F(x, y, z) 0, S2：G(x, y, z) 0
Γ
S1
S2
二、参数方程
空间曲线Γ参数方程的一般形式为：
z 6
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
0
.
2
4
x
6
6
y
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
z 6
x+y+z=6