高数空间曲线及其方程
高等数学课件D852空间曲线
z
oo
1
x
2y
o
2y
x
9/16/2019
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x2z2a2 (3)
x2y2a2 z
a
oo a
y
x
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y5x1 yx3
z
y5x1
yx3 o
y
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ay
x
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二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:
xx(t) yy(t) zz(t)
称它为空间曲线的 参数方程.
z
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
M
o
x yz a a vtsci o ntts令t,bv
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为
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xyx2y2 1 z0
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z
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
C
H(xz,y)0 0
y
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
消去y
R(yx,z)0
得C 在zox
0
面上的投影曲线方程
x C
T(xy,z)0
0
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例如,
C: x2(xy2 1y)2 2 (zz2 11)21
盘龙线
x sin 3t cos t
大一下高数下册知识点
高等数学下册知识点第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量线性运算定理1：设向量a ≠0,则向量b 平行于a 的充要条件是存在唯一的实数λ,使 b ＝λa1、 线性运算：加减法、数乘；2、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式；3、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =,),,(z y x b b b b =；则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；4、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 5） 投影：ϕcos Pr a a j u=,其中ϕ为向量a 与u的夹角;（二） 数量积,向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅12a a a =⋅2⇔⊥b a 0=⋅b a2、 向量积：b a c⨯=大小：θsin b a ,方向：c b a,,符合右手规则 10 =⨯a a 2b a //⇔0 =⨯b a运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面：yoz 面上曲线0),(:=z y f C ,绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴,准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x F 的柱面4、 二次曲面1） 椭圆锥面：22222z b y a x =+ 2） 椭球面：1222222=++cz b y a x旋转椭球面：1222222=++cz a y a x3） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x4） 双叶双曲面：1222222=--czb y a x5） 椭圆抛物面：z by a x =+22226） 双曲抛物面马鞍面：z b y a x =-22227） 椭圆柱面：12222=+b ya x8） 双曲柱面：12222=-b y a x9） 抛物柱面：ay x =2 （四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ,消去z ,得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H （五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =,过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ,),,(2222C B A n =,4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、 对称式点向式方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ,过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nty y mt x x 0004、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ,),,(2222p n m s =,5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集;2、 多元函数：1定义：设n 维空间内的点集D 是R 2的一个非空子集,称映射f ：D →R 为定义在D 上的n 元函数;当n ≥2时,称为多元函数;记为U=fx 1,x 2,…,x n ,x 1,x 2,…,x n ∈D;3、 二次函数的几何意义：由点集D 所形成的一张曲面;如z=ax+by+c 的图形为一张平面,而z=x 2+y 2的图形是旋转抛物线;4、 极限：1定义：设二元函数fp=fx,y 的定义域D,p0x0,y0是D 的聚点D,如果存在函数A 对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点px,y ∈D ∩∪p0,δ时,都有Ⅰfp-A Ⅰ=Ⅰfx,y-A Ⅰ﹤ε成立,那么就称常数A 为函数fx,y 当x,y →x 0,y 0时的极限,记作多元函数的连续性与不连续的定义5、 有界闭合区域上二元连续函数的性质：1在有界闭区域D 上的多元连续函数,必定在D 上有界,且能取得它的最大值和最小值；2在有界区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值; 6、 偏导数：设有二元函数z=fx,y,点x 0,y 0是其定义域D 内一点;把y 固定在y0而让x 在x0有增量△x,相应地函数z=fx,y 有增量称为对x/y 的偏增量如果△z 与△x/△y 之比当△x →0/△y →0时的极限存在,那么此极限值称为函数z=fx,y 在x0,y0处对x/y 的偏导数记作xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000 7、 混合偏导数定理：如果函数的两个二姐混合偏导数f xy x,y 和f yx x,y 在D内连续,那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等;8、 方向导数： βαcos cos yfx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角;9、 全微分：如果函数z=fx, y 在x, y 处的全增量△z=fx △x,y △y-fx,y 可以表示为△z=A △x+B △y+o ρ,其中A 、B 不依赖于△x, △y,仅与x,y 有关, 当Ρ→0,此时称函数z=fx, y 在点x,y 处可微分,A △x+ B △y 称为函数z=fx, y 在点x, y 处的全微分,记为 （二） 性质1、 函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系：微分法1） 定义： u x 2） 复合函数求导：链式法则 z若(,),(,),(,)zf u v u u x y v v x y ===,则 v yz z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂,z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 3） 隐函数求导：两边求偏导,然后解方程组 （三） 应用充分条件1、 极值1） 无条件极值：求函数),(y x f z =的极值解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==00yx f f 求出所有驻点,对于每一个驻点),(00y x ,令),(00y x f A xx =,),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =,① 若02>-B AC ,0>A ,函数有极小值, 若02>-B AC ,0<A ,函数有极大值； ② 若02<-B AC ,函数没有极值； ③ 若02=-B AC ,不定;2） 条件极值：求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的极值 令：),(),(),(y x y x f y x L λϕ+=——— Lagrange 函数解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),(00y x L L y x ϕ2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ,则Γ上一点),,(000z y x M 对应参数为0t 处的 切线方程为：)()()(00000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 法平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x2） 曲面的切平面与法线曲面0),,(:=∑z y x F ,则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为：法线方程为：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第十章 重积分（一） 二重积分1、 定义：∑⎰⎰=→∆=nk k k kDf y x f 1),(lim d ),(σηξσλ2、 性质：6条3、 几何意义：曲顶柱体的体积;4、 计算： 1） 直角坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ,2） 极坐标 （二） 三重积分 1、 定义： ∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k kv f v z y x f 1),,(limd ),,(ζηξλ2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDy x z y x z z z y x f y x v z y x f ),(),(21d ),,(d d d ),,( -------------“先一后二”⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩZD bay x z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,( -------------“先二后一” 2） 柱面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos ,(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3） 球面坐标 （三） 应用 曲面D y x y x f zS ∈=),(,),(:的面积：第十二章 无穷级数（一） 常数项级数 1、 定义：1无穷级数：+++++=∑∞=n n nu u u u u3211部分和：n n k kn u u u u uS ++++==∑= 3211,正项级数：∑∞=1n n u ,0≥n u交错级数：∑∞=-1)1(n n n u ,0≥n u 2级数收敛：若S S n n =∞→lim 存在,则称级数∑∞=1n n u 收敛,否则称级数∑∞=1n n u 发散 3绝对收敛：∑∞=1n n u 收敛,则∑∞=1n n u 绝对收敛；条件收敛：∑∞=1n n u 收敛,而∑∞=1n n u 发散,则∑∞=1n n u 条件收敛;定理：若级数∑∞=1n n u 绝对收敛,则∑∞=1n n u 必定收敛;2、 性质：1） 级数的每一项同乘一个不为零的常数后,不影响级数的收敛性； 2） 级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 分别收敛于和s 与σ,,则∑∞=±1)(n n nb a收敛且,其和为s+σ3） 在级数中任意加上、去掉或改变有限项,级数仍然收敛；4） 级数收敛,任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变;5） 必要条件：级数∑∞=1n n u 收敛即0lim =∞→n n u . 3、 审敛法正项级数：∑∞=1n n u ,0≥n u1） 定义：S S n n =∞→lim 存在； 2）∑∞=1n nu收敛⇔{}nS 有界；3） 比较审敛法：∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 为正项级数,且),3,2,1( =≤n v u n n若∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛；若∑∞=1n n u 发散,则∑∞=1n n v 发散.4） 比较法的推论：∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 为正项级数,若存在正整数m ,当mn>时,n n kv u ≤,而∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛；若存在正整数m,当mn >时,n n kv u ≥,而∑∞=1n n v 发散,则∑∞=1n n u 发散.做题步骤：①找比较级数等比数列,调和数列,p 级数1/n p ；②比较大小；③是否收敛;5） 比较法的极限形式：设∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 为正项级数,1若)0( lim +∞<≤=∞→l l v u n nn ,而∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛； 2若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→nnn v u lim ,而∑∞=1n n v 发散,则∑∞=1n n u 发散. 6） 比值法：∑∞=1n n u 为正项级数,设l u u nn n =+∞→1lim ,则当1<l 时,级数∑∞=1n n u 收敛；则当1>l 时,级数∑∞=1n n u 发散；当1=l 时,级数∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散.7） 根值法：∑∞=1n n u 为正项级数,设l u n nn =∞→lim ,则当1<l 时,级数∑∞=1n n u 收敛；则当1>l 时,级数∑∞=1n n u 发散；当1=l 时,级数∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散.8） 极限审敛法：∑∞=1n n u 为正项级数,若0lim >⋅∞→n n u n 或+∞=⋅∞→n n u n lim ,则级数∑∞=1n n u 发散；若存在1>p ,使得)0( lim +∞<≤=⋅∞→l l u n n pn ,则级数∑∞=1n n u 收敛.交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：∑∞=-1)1(n n nu ,0≥n u 满足：),3,2,1( 1 =≤+n u u n n ,且0lim =∞→n n u ,则级数∑∞=-1)1(n n n u 收敛;任意项级数：∑∞=1n nu绝对收敛,则∑∞=1n nu收敛;常见典型级数：几何级数：⎪⎩⎪⎨⎧≥<∑∞=1 1 0q q aq n n发散，收敛， p -级数：⎪⎩⎪⎨⎧≤>∑∞=1p 1 11发散，收敛，p n n p（二） 函数项级数1、 定义：函数项级数∑∞=1)(n n x u ,收敛域,收敛半径,和函数；2、 幂级数：∑∞=0n nnx a收敛半径的求法：ρ=+∞→nn n a a 1lim ,则收敛半径 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∞++∞=+∞<<=0 , ,00 ,1ρρρρR。
高等数学 第八章 第六节 空间曲线及其方程
S2 L S1
F(x , y , z) = 0 G( x , y , z) = 0
例如，方程组
G(x , y , z) = 0 F(x , y , z) = 0
z
2C
表示圆柱面与平面的交线 C 。
第八章 第六节
o 1y
x
2
又如，方程组
z
ay
表示上半球面与圆柱面的交线 C 。 x
特点：曲线上的点都满足 方程， 满足方程的点都在 曲线上， 不在曲线上的点 不能同时满足两个方程。
第八章 第六节
3
例1
方程组
x2 + y2 = 1
表示怎样的曲线？
2x + 3 y + 3z = 6
解 x2 + y2 = 1 表示圆柱面，
2x + 3 y + 3z = 6 表示平面，
x2 + y2 = 1 2x + 3 y + 3z = 6
交线为椭圆。
第八章 第六节
4
z = a2 − x2 − y2
空间曲线的一般方程、参数方程。
F(x , y , z) = 0 G( x , y , z) = 0
x = x(t)
y
=
y(t )
z = z(t)
空间曲线在坐标面上的投影。
H(x , y) = 0 z = 0
R( y , z) = 0
x
=
0
第八章 第六节
T ( x , z) = 0
y
=
0
21
yoz 面上的投影曲线,
R( y , z) = 0
x
=
0
xoz面上的投影曲线,
高数下册常用常见知识点
高数下册常用常见知识点高等数学下册常用知识点第八章：空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.向量的概念及基本性质：包括向量相等、单位向量、零向量、向量平行、共线、共面等基本概念。
2.向量的线性运算：包括加减法和数乘。
3.空间直角坐标系：包括坐标轴、坐标面、卦限和向量的坐标分解式等。
4.利用坐标进行向量的运算：设向量a=(ax。
ay。
az)，向量b=(bx。
by。
bz)，则a±b=(ax±bx。
ay±by。
az±bz)，λa=(λax。
λay。
λaz)。
5.向量的模、方向角、投影：包括向量的模、两点间的距离公式、方向角、方向余弦和投影等。
二、数量积和向量积1.数量积：包括数量积的概念、性质和计算公式等。
2.向量积：包括向量积的概念、性质和计算公式等。
三、曲面及其方程1.曲面方程的概念：包括曲面方程的定义和基本性质等。
2.旋转曲面：包括旋转曲面的定义、方程和旋转后方程的计算等。
3.柱面：包括柱面的特点、方程和母线的概念等。
4.二次曲面：包括椭圆锥面的方程和图形等。
2.椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$3.旋转椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$4.单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$5.双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$6.椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$7.双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$8.椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$9.双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$10.抛物柱面：$2x=ay^2$空间曲线及其方程：1.参数方程：$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，如螺旋线：$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases}$2.一般方程：$F(x,y,z)=0$，消去$z$，得到曲线在面$xoy$上的投影。
§7.4空间曲线及其方程高数
单叶双曲面: x a sec cos y b sec sin 4 4 z c tan 0 2 圆环面: x ( R r cos ) cos y ( R r cos ) sin 0 2 0 2 z r sin 正螺面:
解: 取时间 t 为参数, 当 t = 0 时, 动点从 x 轴上的 一点A(a, 0, 0)出发, 经过 t 时间, 运动到点M(x, y, z ), M 在xoy面上的投影为M(x, y, 0). z 由于点M在圆柱面 x2 + y2 = a2上以 角速度 绕 z 轴旋转, 所以经过时间 t , AOM= t. 从而: x =| OM |cosAOM= a cos t. y =| OM | sinAOM= a sin t. o M 又由于点M同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升, 所以 x A y M z=vt t x a cos t 因此, 螺旋线的参 y a sin t 数方程为: z v t
x2 y2 1 z 0
x
2
y
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
z 4 x 2 y 2 和锥面 例6: 设一个立体由上半球面 z 3( x 2 y 2 ) 所围成, 求该立体在xoy面上的投影.
解: 半球面和锥面的交线为 z 4 x 2 y2 , C : z 3( x 2 y 2 ) , 消去 z 得投影柱面方程: x2 + y2 = 1. 则交线C在xoy面上 的投影曲线方程为: x 2 y 2 1, z 0. 这是xoy面上的一个圆, 所以, 所求立体在xoy面上的投 影(区域)为: x 2 y 2 1.
高等数学 -空间曲线及其方程
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
2C
y
sin
1 x
,
,
求证： lim f (x, y) 0.
x0
y0
证： f (x, y) 0
x y
xy 0 xy 0
要证
ε
ε 0, δ ε 2,当0 ρ x2 y2 δ 时，总有
故
lim f (x, y) 0
x0
y0
证： Q 0 f (x, y)
x y 0 x 0, y 0
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 点P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
高等数学课件--D8_4空间曲线
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例如,
x2 y 2 z 2 1 C: 2 x ( y 1)2 ( z 1)2 1
在xOy 面上的投影曲线方程为
z
C
O
x
1
y
x2 2 y 2 2 y 0 z0
8/9/2013
x
8/9/2013
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(3)
x z a
2 2
2
x2 y2 a2
z
a
O
a
y
x
8/9/2013 同济版高等数学课件
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P36 题2 (1)
y 5x 1 y x3 y x3
z
y 5x 1
O
y
x
8/9/2013
消去 t 和 , 得旋转曲面方程为
8/9/2013
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又如, xOz 面上的半圆周
绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为
说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如
8/9/2013
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三、空间曲线在坐标面上的投影
内容小结
• 空间曲线
• 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
P36 题 1，2，7（展示空间图形）
8/9/2013
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答案: P36 题1
x 1 (1) y2
空间曲线及其方程
n级排列的总数为n!个。
<2> 一个排列中，若较大的数 is 排在较小的数 it 的前面 ( is > it ) 时，称这一对数 is it 构成一个逆序。 一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。 记为τ(i1, i2, … in)，简记为τ 。 例如： 例如： τ(1 2 3)=0, τ(3 1 2)=2, τ(4 5 2 1 3)=7, 1 3 2 2 1 3 3 1 2
3. 空间曲线在坐标面上投影 F (x, y, z) = 0 设空间曲线C的一般方程 G (x, y, z) = 0 由方程组(4)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (5) 方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面,
z
(4)
曲线 C 一定在柱面上. 空间曲线 C 在 x O y 面上的 投影曲线必定包含于: H (x, y) = 0 z=0
§6
二次曲面的标准方程 二次曲面的标准方程 曲面的标准
1.定义 由x, y, z的二次方程: 定义 ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0 + + 所表示的曲面, 称为二次曲面. 其中a, b, …, i, j 为常数且a, b, c, d,e, f 不全为零. 研究方法是采用平面截痕法.
z = 4− x 2 − y 2 C: z = 3( x 2 + y 2 )
由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1 ( 圆柱面) x 于是交线C 在xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 z=0
O x2 + y2 ≤ 1
高数空间曲线及其方程
隐式方程
通过三个坐标分量之间的 隐式关系来表示空间曲线， 如F(x,y,z)=0，其中F为某 个三元函数。
参数方程
通过引入参数来表示空间 曲线上的点的坐标，如 x=x(t), y=y(t), z=z(t)， 其中t为参数，可以表示空 间曲线上的任意一点。
02 空间曲线的基本类型
一般空间曲线
01
参数方程形式
空间曲线与曲面的切线及法线
要点一
切线与法线的定义
空间曲线在一点处的切线是与该点处 曲线相切的直线，法线则是垂直于切 线的直线。对于曲面而言，切线是指 曲面上一点处与曲面相切的平面，法 线则是垂直于该切平面的直线。
要点二
切线与法线的性质
切线和法线在几何学和微积分学中具 有重要的应用，它们可以用于描述曲 线和曲面的局部性质，如斜率、曲率 等。
空间曲线的基本概念
空间曲线的定义
空间曲线可以看作是一维曲线在三维空间中的推广，由无数个点组成，且每个 点都有三个坐标分量。
空间曲线的分类
根据形状和性质，空间曲线可以分为多种类型，如平面曲线、直线、圆、螺旋 线等。
方程表示方法
01
02
03
显式方程
通过三个坐标分量之间的 显式关系来表示空间曲线， 如x=f(t), y=g(t), z=h(t)， 其中t为参数。
要点三
切线与法线的求解方 法
对于给定的曲线或曲面方程，可以通 过求导或微分的方法得到切线和法线 的方程。对于空间曲线而言，需要分 别求出曲线在参数变化方向上的切向 量和法向量；对于曲面而言，则需要 求出曲面在一点处的切平面和法线向 量。
06 案例分析与实践应用
案例分析：空间曲线在实际问题中的应用
曲线的弯曲程度
第四节--空间曲线及其方程
x2 y2 1. 2 x 3z 6 表示一个母线平行于 y 的柱面 , 其准线是 xz 面上的直
x2 y 2 1,
线 2x 3z 6 , 因而 2x 3z 6 在空间表示一个平面 .
是上述圆
2x 3z 6
柱面和平面的交线 .
z a2 x2 y 2 ,
例 2 方程组
2
a x
y2
2
a 2 表示何曲线 ? 2
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第四节 空间曲线及其方程
一 空间曲线的一般方程
曲面 F x, y, z 0 和 G x, y, z 0 的交线 C 可表示为
F x, y, z 0, G x, y, z 0. 它称为 空间曲线 C 的一般方程 .
x2 y2 1,
例 1 方程组
表示何曲线 ?
2x 3z 6
解
2
x
2
y
1表示母线平行于 z 轴的圆柱面 , 其准线是 xy 面上的圆
x2 y2 1,
C 在 xy面上的投影曲线为 C :
( xy 面上的单位圆 ). 所求立体
z 0.
在 xy 面上的投影即该圆的内部 .
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作业 P. 324 1 (1) , (2) , 2, 3, 4, 7, 8 提示 2 (2) 作图后易理解 .
3 由已知的方程组分别消去 x 和 y 即可 .
4 由已知方程消去 z . 7 参照例 2. 0 z a 2 x 2 y2 表上半球面 z
a 2 x 2 y 2 和平面
z 0所围的半球体的内部 , x2 y2 ax 表圆柱体 x2 y2 ax 0 的内部 .
叫做 螺旋线 . 试建立其参数方程 .
y
高等数学,空间曲面与曲线讲解
O
y
x
f ( y, x2 z2 ) 0
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例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程. 解: 在yOz面上直线L 的方程为
z L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z)
Oy
两边平方
x
z2 a2( x2 y2 )
表示抛物柱面,
z
母线平行于 z 轴;
O
准线为xOy 面上的抛物线.
x2 a2
y2 b2
1表示母线平行于 z 轴的椭圆柱面.
x
z
y
Cl
z
x y 0 表示母线平行于
O
O
z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
x
y x
y
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一般地,在三维空间 方程 F(x, y) 0 表示柱面,
O
x
y
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3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b,c 为正数)
xO
y
平面 z z1 上的截痕为 椭圆.
平面 y y1上的截痕情况:
1) y1 b 时, 截痕为双曲线:
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
y y1
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
得到, 见 P28 )
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微积分中的空间曲线与空间曲面方程
微积分中的空间曲线与空间曲面方程微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是变化与极限。
在微积分中，我们经常会遇到空间曲线和空间曲面方程的问题。
本文将探讨微积分中的空间曲线与空间曲面方程的相关知识。
一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中由一系列点组成的曲线。
在微积分中，我们通常使用参数方程来描述空间曲线。
参数方程是通过引入一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。
例如，对于一条空间曲线C，我们可以使用参数t来表示曲线上的点的坐标，即(x(t), y(t), z(t))。
在研究空间曲线时，我们经常需要计算曲线的长度、曲率等属性。
曲线的长度可以通过弧长公式来计算，即L = ∫ds，其中ds表示弧长元素。
曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标，可以通过曲线的切线和曲率半径来计算。
曲率半径R可以通过公式R = (1/k)来计算，其中k是曲线的曲率。
二、空间曲面方程空间曲面是指在三维空间中由一系列点组成的曲面。
在微积分中，我们通常使用隐式方程或参数方程来描述空间曲面。
隐式方程是通过将曲面上的点的坐标代入方程得到的等式，例如F(x, y, z) = 0。
参数方程是通过引入一个或多个参数来表示曲面上的点的坐标，例如(x(u, v), y(u, v), z(u, v))。
在研究空间曲面时，我们经常需要计算曲面的切平面、法向量等属性。
曲面的切平面是指与曲面相切且与曲面的法向量垂直的平面。
切平面可以通过曲面上一点的法向量和该点的切向量来确定。
曲面的法向量是指与曲面上任意一点的切平面垂直的向量，可以通过曲面的方程来计算。
三、应用举例现在我们来看一个应用举例，以帮助更好地理解微积分中的空间曲线与空间曲面方程。
假设我们有一个空间曲线C，其参数方程为：x(t) = cos(t)y(t) = sin(t)z(t) = t我们希望计算曲线C在区间[0, 2π]上的长度。
根据弧长公式，曲线C的长度可以表示为：L = ∫ds其中，ds表示弧长元素，可以表示为：ds = √(dx^2 + dy^2 + dz^2)将曲线C的参数方程代入上式，可以得到：ds = √((-sin(t))^2 + (cos(t))^2 + 1^2) dt= √(2) dt因此，曲线C在区间[0, 2π]上的长度可以表示为：L = ∫√(2) dt= √(2) t |[0, 2π]= √(2) (2π - 0)= 2√(2)π通过以上计算，我们得知曲线C在区间[0, 2π]上的长度为2√(2)π。
高数复习知识点及公式
数复习知识点及公式、知识点1 求直线方程和平面方程求条件极值二重积分曲线积分（弧长积分、坐标积分）曲面积分6 格林公式、高斯公式f空间闭曲面8 幕级数（求收敛半径、判断正项级数收敛性）、傅里叶级数二、公式空间解析几何和向量代数：空间2点的距离:d = M 4M2 = J （X2-xj2+ （y2-yj2+⑺-乙）'向量在轴上的投影：PrjuAB = AB cos®,®是AB与u轴的夹角。
Pr ju® +a.2)= Prjc + Pr ja?a b = a [b cos H =a x b x+且曲'4 是一个数量，cos c —3xbx +Qyby +QzbzX 1•2 2 2 ---- ・血2心Ibz? x +&y +dz■1 kC =axb = ax a y a.z ‘ C =ia [b sin 线速度：v二wxr.bx by j日•例：Qx Qy Qz向量的混合积：Eabc]= (a%b ) bx by bz=a%b iCco护，且为锐角时, C 二Cx Cy Cz代表平行六面体的体积。
空间直线的方上如y-yo二次曲面：平面的方程:点法式：A(X —Xo) +B(-y o) +C(z — Zo)=°,其中 n =｛A ,B,chM o (V 2、一 般方程：Ax+By+Cz + D =0 3、截距世方程：1fx = Xo + mtp ｝；参数方程：〔y = yo +nt2 2 2X丄-T + y^+z L 1 a J 2 J 2—12b cX r 2 z■卡L =z, (p, q 同号) Zp Zq 3、双曲面：2 2 2单叶双曲面：2.2 2 - ■ a. b c2 2 2务-与+务=1(马鞍面)a b c双叶双曲面：多元函数微分法及应用平面外任意一点到该平 面的距离：°二 cAx 。
+ By 。
+ Czo + D 全微分：dz 二dx + dyex cy全微分的近似计算：iz 农dz 二f x (x, v) Ax +fv(x, v) 3 多元复合函数的求导法 dzdtcz 点 u 丄 cz dv........ . ........... I- ................ r ----------cu ct cv ctr.f [u(x, y), v(x, y)] cz :".r-.!■.cz cu cz cvC L C ercu cudu = ----- dx + — 一dy隐函数F(x, y)=0.)+£ (上严Fy^/FydxW(t0)V *0)二乙-Zo若空间曲线方程为：1、过此点的法向量:Fy Fzn = {Fx (Xo, yo, Zo), Fy (Xo, yo, Z(如Fz (Se, y(p2o)卩xAC -B2 >0 寸,「A〈0,fyy(Xo,cU 1 £ (F, G) cv 1 次F, G)& _〃J c(x,：) cX -J 陨和 1 点(F, G) cv 1 点勿〃〃7 E(y, v) 刃〃7 E (u, y)微分法在几何上的应用:[x 二® (t)空间曲线I尸屮(t)在点M(Xo, yo, Zo)处的切线方程：x-Xo =-°■1iz〃(t)在点M 处的法平面方程:W，(to) (x -X°)+ 屮’(to) (y -y。
高等数学--空间曲线及方程
xyz1的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.
解：旋转曲面方程为 zx2 y2,它与所给平面的
交线为
z x2 y2 x y z 1
此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为
xyx2y21
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为
xyx2 y2 1 z 0
例2
方程组 ( x
a )2 2
y2
a2 4
表示怎样的曲线？
z
解 z a2x2y2
上半球面,
(xa)2y2 a2
2
4
圆柱面,
交线如图.
o ay
x
二、空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t)
空间曲线的参数方程
z z ( t )
当给定t t1时，就得到曲线上的一个点 (x1,y1,z1)，随着参数的变化可得到曲线上的全
解 半球面和锥面的交线为
C:z 4x2 y2, z 3(x2 y2),
消去 z得投影 x2柱 y2 面 1,
则交C线在xoy面上的投影为
x2 y2 1,
一个圆,
z 0.
所求立x体 o面 y在上的投影为
x2y21.
四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
2, 上升的高度 h2b螺距
例4. 将下列曲线化为参数方程表示:
(1)
x2
y2
1
2x 3z 6
(2)zx2 ay22xa2xy02
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
xco t s
ysint
(0t2)
z1 3(62cot)s
探索数学中的空间曲线与曲面
探索数学中的空间曲线与曲面数学中的空间曲线与曲面是一门精彩纷呈的学科，通过对曲线与曲面的探索，我们可以深入了解空间的几何特征和数学规律。
本文将通过数学模型和实例来探讨数学中的空间曲线与曲面，分析它们的性质和应用。
一、空间曲线空间曲线是在三维空间中的曲线，是由一系列点组成的集合。
它可以用参数方程或者隐函数来表示。
常见的空间曲线有直线、曲线和螺旋线等。
下面以参数方程为例，介绍几个常见的空间曲线：1. 直线：直线是最简单的空间曲线，可以用参数方程表示为：```mathx = x_0 + aty = y_0 + btz = z_0 + ct```其中 `(x_0, y_0, z_0)` 是直线上的一个点，`(a, b, c)` 是直线的方向向量，`t` 是参数。
2. 曲线：曲线是具有一定弯曲的空间曲线，可以用参数方程表示为：```mathx = x(t)y = y(t)z = z(t)```其中 `x(t)`、`y(t)`、`z(t)` 分别是曲线在参数 `t` 下的坐标函数。
3. 螺旋线：螺旋线是一种具有环绕性质的空间曲线，它可以用参数方程表示为：```mathx = a * cos(t)y = a * sin(t)z = b * t```其中 `a` 和 `b` 分别是螺旋线的参数，`t` 是参数。
二、空间曲面空间曲面是三维空间中的曲面，是由一系列点组成的集合。
它可以用隐函数或者参数方程来表示。
常见的空间曲面有平面、球面和圆柱面等。
下面以隐函数为例，介绍几个常见的空间曲面：1. 平面：平面是最简单的空间曲面，可以用隐函数表示为：```mathAx+ By + Cz + D = 0```其中 `A`, `B`, `C` 和 `D` 是常数，且 `A`、`B`、`C` 不同时为零。
2. 球面：球面是由圆周绕着某个直径旋转而形成的曲面，可以用隐函数表示为：```math(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2```其中 `(a, b, c)` 是球心的坐标，`r` 是球的半径。
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0
.
6
y
2 4
x
6
作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 平面 ， 所围成的立体图
6 z
0
.
6
y
2 4
x
6
作图练习 2 作出曲面 x 2 + y 2 = a ，x 2 + z 2 = a 2 , x = 0 , y = 0 , z = 0所围立体图
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x2 + y2 ≤1, z = 0.
C o
x
1
y
例
L:
空间曲线作为投影柱面的交线
2 y 2 + z 2 + 4 x = 4z 2 2 y + 3 z − 8 x = 12
z
将其换成 投 影 柱 面 的 交 线
y2 = – 4x ( 消去 ) 消去z
6 x+y+z=6
3x+y=6
z
0
6
y
2
x
6
作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 平面 ， 所围成的立体图
6 x+y+z=6
3x+y=6
z
0
.
6
y
2
x
6
作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 平面 ， 所围成的立体图
o
x
1 y
又如,方程组 又如
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay x
二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: 称它为空间曲线的 参数方程.
空间曲线——圆柱螺线 空间曲线——圆柱螺线
圆柱面 x 2 + y 2 = a 2 M(x,y,z) z
点P在圆柱面上等速地绕 轴旋转； 在圆柱面上等速地绕z轴旋转； 在圆柱面上等速地绕 轴旋转 同时又在平行于z轴的方向 同时又在平行于 轴的方向 等速地上升。 等速地上升。 其轨迹就是圆柱螺线。 其轨迹就是圆柱螺线。
求曲面 z = 2 − x 2 − y 2 及 z = x 2 + y 2 的交线 L在 xoy 平面的投影 。
z = 2 − x 2 − y 2 z = x 2 + y 2
解 由
z
得交线L： 得交线 ：
x2 + y2 = 1 z = 1
1
o
.
x
y
求曲面 z = 2 − x 2 − y 2 及 z = x 2 + y 2 的交线 L在 xoy 平面的投影 。
(2) 将第二方程变形为
故所求为
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为 消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
z
C
H(x, y) = 0 z =0 y 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 x C′ R( y, z) = 0 x =0 T(x, z) = 0 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 y =0
第四节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程
第七章 七
三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
G(x, y, z) = 0 L F(x, y, z) = 0
S2
S1
例如,方程组 例如
z
2
C
表示圆柱面与平面的交线 C.
学画草图
z
a
.
0
a
y
a
x
作图练习
作出曲面 z = 1 − x 2 + y 2 和 x 2 + y 2 − z = 1 所围立体图形
z 1
0
1
y
x –1
备用题 求曲线
绕 z 轴旋转的曲面与平面
x + y + z =1的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.
解： 旋转曲面方程为 z = x + y ,它与所给平面的 Q
解 由
z = 2 − x 2 − y 2 z = x 2 + y 2
z
L
1
投影柱面
x2 + y2 = 1
所求投影曲线为
x2 + y2 = 1 z = 0
. . .
得交线L： 得交线 ：
x2 + y2 = 1 z = 1
x2 + y 2 = 1
o
.
x
z =0
2
y
例如, 例如,
2 2
z = x2 + y2 交线为 x + y + z =1 此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 x + y + x2 + y2 =1 z = 0
6 x+y+z=6
3x+y=6
z
3x+2y=12
0
.
6
y
2 4
x
6
作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 平面 ， 所围成的立体图
6 x+y+z=6
3x+y=6
z
3x+2y=12
0
.
6
y
2 4
x
6
作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 平面 ， 所围成的立体图
z
0
a a
x
y
作图练习
2 作出曲面 x 2 + y 2 = a ，x 2 + z 2 = a 2 , x = 0 , y = 0 , z = 0所围立体图
z
y=0
.
x=0
0
z=0
a
y
a
x
作图练习 2 作出曲面 x 2 + y 2 = a ，x 2 + z 2 = a 2 , x = 0 , y = 0 , z = 0所围立体图
y2 = – 4x
0
y
.
x
例
L:
空间曲线作为投影柱面的交线
2 y + z + 4 x = 4z 2 2 y + 3 z − 8 x = 12
2 2
y2+(z – 2)2 = 4 z
将其换成 投 影 柱 面 的 交 线
y2 = – 4x ( 消去 ) 消去z L： ： y2+(z – 2)2 = 4
.
(消去 ) 消去x 消去
L
y2 = – 4x
0
转动坐标系，有下页图
x
y
.
例
空间曲线作为投影柱面的交线
z
L： ：
y 2 + (z – 2)2 = 4 (消去 消去x) 消去 y2 = – 4x (消去 消去z) 消去
y2+(z – 2)2 = 4 y2 = – 4x L
y
0
x
作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 平面 ， 所围成的立体图
x2 + y2 + z2 =1 C: 2 x + ( y −1)2 + (z −1)2 =1
在xoy 面上的投影曲线方程为
z
C
o
x
1 y
x2 + 2y2 − 2y = 0 z =0
又如, 又如, 上半球面 和锥面 所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
x = acos t y = asin t z = bt
（移动及转动都是等速进 所以z与 成正比。 行，所以 与t成正比。)
Q
当 t 从 0 → 2π， π 螺线从点P 螺线从点 → Q
PQ = 2πb 叫螺距
P
.
M
0
t
N
a
y
x
例1. 将下列曲线化为参数方程表示:
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
y2 = – 4x
0
y
x
例
L:
空间曲线作为投影柱面的交线
2 y + z + 4 x = 4z 2 2 y + 3 z − 8 x = 12
2 2
y2+(z – 2)2 = 4 z
将其换成 投 影 柱 面 的 交 线
y2 = – 4x ( 消去 ) 消去z y2+(z – 2)2 = 4 (消去 ) 消去x 消去