空间曲线直线及方程资料
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
空间曲线
x x0 m t , y y0 n t , z z p t. 0
上页
下页
例1 设一动点一方面绕一定直线作匀角速度的圆周 运动, 另一方面作平行于该直线的匀速直线运动, 这个 动点的轨迹称为圆柱螺线.试建立其方程. 解 取定直线为z 轴, 动点P 的运动 方向为z轴的正方向. 选取x轴, 使得在t = 0时, P在x轴的正半 轴上. 设此时P的横坐标为a, 角速度为ω, 匀速直线运动的 速率为v. 设在t 时刻, P的坐标 为(x, y, z) . 由P向xoy平面作垂 线,垂足为M (x, y, 0) . 则
下页
二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数 t 的函数:
x x(t ), y y (t ), z z (t ).
t (, )
称为空间曲线的参数方程. x x0 y y0 z z0 如直线 的参数方程为 m n p
在三坐标面上的射影曲线方程如何？
上页
下页
F x, y, z 0, 对于 xoy 面的射影柱面 设曲线 ： Gx, y, z 0 则它在 xoy 面上的射影曲线方程 方程为 F1 ( x, y) 0，
为
F1 ( x, y) 0, z 0.
同理可得曲线在另外两个坐标面上的投影曲线方程. 2 设曲线 xoz对于 xoy 面和 xoz面的射影柱面方程
x 2 ( z 2) 2 1, 4 36 x 2 4 y.
这说明曲线对 xOz 平面的射影柱面是一个方程为
x ( z 2) 1 的椭圆柱面； 而曲线对 xoy 面的射影 36 4
2 2
柱面是方程为 x 2 4 y, x 6 的一截抛物柱面(不是 整个抛物柱面),这是因为由该方程组的第一个方程 知 x 6.
解析几何的直线与曲线详细解析与归纳
解析几何的直线与曲线详细解析与归纳解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究几何图形的性质和变换。
其中直线和曲线是解析几何中的核心概念之一，本文将详细解析和归纳直线与曲线的性质与特点。
1. 直线的性质直线是最简单的几何图形之一，具有以下性质：- 由两个不同的点确定；- 无始无终，延伸无限；- 在平面上任意两点可以确定一条直线；- 直线的方程可以用一般式、斜截式或点斜式来表示；- 直线可以平行、相交或重合。
2. 直线的方程表示直线的方程可以用以下几种形式表示：- 一般式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数；- 斜截式：y = kx + b，其中k为斜率，b为截距；- 点斜式：y - y1 = k(x - x1)，其中(x1, y1)为直线上的已知点，k为斜率。
3. 曲线的性质曲线是不同于直线的一种几何图形，具有以下性质：- 曲线不是直线，其上的每个点都有明确定义的切线；- 曲线可以是开放的、闭合的、连续的或不连续的；- 曲线可以是平面曲线或空间曲线；- 曲线的形状可以是圆形、椭圆形、双曲线形等。
4. 常见曲线的特点常见的曲线有圆、椭圆、双曲线和抛物线，它们具有以下特点：- 圆是由平面上距离一个固定点距离相等的点组成；- 椭圆是由平面上距离两个固定点距离之和为常数的点组成；- 双曲线是由平面上距离两个固定点距离之差为常数的点组成；- 抛物线是由平面上距离一个固定点距离与该点到直线的距离相等的点组成。
5. 直线与曲线的关系直线和曲线之间存在着多种关系：- 直线可以与曲线相交或切于一点；- 直线可以与曲线相离或不相交；- 直线可以与曲线相切于多个点。
在解析几何的研究中，直线和曲线是密不可分的，通过对两者的性质和特点进行详细解析与归纳，可以更好地理解几何图形的本质和变换规律。
无论是直线的方程表示还是曲线的形状特点，它们都构成了解析几何的基础，为进一步研究和应用提供了基础和工具。
总结起来，本文主要对解析几何中直线与曲线的性质进行了详细的解析与归纳。
空间曲线方程
一、空间曲线及其方程
1. 空间曲线的一般式方程
空间直线可以看作是两个平面的交线，而它的方程可以用这 两相交平面方程的联立方程组来表示，同样空间曲线可以看作两 个曲面的交线．
设有两个相交的曲面，它们的方程分别是F1(x,y,z)=0， F2(x,y,z)=0．那么联立方程组
（7-15） 就是它们交线的方程，称式(7 15）为空间曲线的一般式方程．
2x2+y2－2x=0． 于是，两球面的交线在xOy面上的投影曲线方程为
最后，我们通过例题来说明，空间解析几何中由方程来 描绘空间区域的方法．它在今后多元函数积分学中经常用到， 要仔细体会．
二、空间曲线在坐标面上的投影
【例4】
描绘由x≥0，y≥0，z≥0，x+y≤1，y2+曲线C′在xOy坐标面上的投影曲线方程．
二、空间曲线在坐标面上的投影
同理，从式(7-17）中消去x或y，分别得投影柱面方程 G(y,z)=0或R(x,z)=0，再分别与x=0或y =0联立，即可得曲 线C′在坐标面yOz面或zOx面上的投影曲线方程分别为
【例3】
求两球面x2+y2+z2=1和(x－1)2+y2+(z－1)2=1的交线 在xOy面上的投影方程．
解 在空间解析几何中，不等式关系描述了曲线上（下） 方或内（外）的区域，为此，我们在空间直角坐标系中只要 描绘出相应方程的图形，就可得到所描绘的空间区域．
方程x+y=1表示过点（1，0，0）和点（0，1，0）且 平行于z轴的平面．
二、空间曲线在坐标面上的投影
x+y≤1表示以x+y=1为界，且包含原点的那 个半空间．
一、空间曲线及其方程
7.6空间直线方程
二、线面间的位置关系
1. 两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 锐角
x − x1 y − y1 z − z1 直线 L1 : , = = m1 n1 p1 x − x2 y − y2 z − z 2 直线 L2 : , = = m2 n2 p2
A1 x + B1 y + C1z + D1 = 0
(1)
( A : A2 = B1 : B2 = C1 : C2 不成立) 1
(不唯一) 不唯一)
z
Π1
L
y
x
o
Π2
过直线 L 的平面有无穷多张 , 交面式方程只是其中 的两张 , 其余的平面是 : ( 称为过直线 的 称为过直线L 平面束 )
( A x + B1 y + C1z + D ) + µ( A2 x + B2 y + C2z + D2 ) = 0 1 1
第六节 空间直线及其方程
空间曲线的一般方程、参数方程． 空间曲线的一般方程、参数方程．
F( x, y, z) = 0 G( x, y, z) = 0
(t x = x(t ) y = y(t ) z = z(t )
一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线， 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
2 13 3 因此 N ( , ,− ) 7 7 7
取所求直线的方向向量为 MN
2 13 3 12 6 24 MN = { − 2, − 1,− − 3} = {− , ,− }, 7 7 7 7 7 7
所求直线方程为
x − 2 y −1 z − 3 . = = 2 −1 4
空间曲面与空间曲线资料
S
y
N(x, y, 0)
点N满足方程，故点M满足方程
曲面S外的每一点都不满足方程
一般柱面 F(y, z)=0
(不含x)
z 准线
F( y, z )=0
x=0
母线 0 y
x
F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面
椭圆柱面
z
x2 y2 1
a2 b2
o
y
x
双曲柱面 z
x2 z2 a2 b2 1
如图，取，为参数
则球心在原点的球面方程等价于：
x R sin cos
y
R
si n
si n
z R cos
0 2
0
x
z
N M（x,y,z）
R
y
Qθ
P
为球心在原点、半径为R的球面的参数方程。
一般地,曲面的参数方程
x x(u, v) 可表示为： y y(u, v)
z z(u, v)
二、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的 母线.
一般柱面 F(x,y)=0
(不含z)
F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
z 曲面S上每一点都满足方程；
母线
x F( x,y )=0 准线 z= 0
M (x,y,z) 0
解: 原方程可改写为 (x 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5
故: 原方程表示球心在M0(1, 2, 0), 半径为 5的球面.
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）求曲面方程． （2）已知曲面方程，研究曲面形状．
空间曲线的参数方程
空间曲线的参数方程空间曲线是三维空间中的一条曲线，它可以用参数方程来描述。
参数方程是一种通过引入参数来表示曲线上的点的方法，其能够提供曲线上点的位置和方向的信息。
本文将介绍空间曲线的参数方程，并探讨其应用。
一、什么是参数方程参数方程是一种用参数表示曲线上各点的位置坐标的方法。
在平面坐标系中，一般用 x 和 y 来表示点的位置，而在三维空间中，可以引入第三个参数 z 来表示点的高度坐标。
因此，空间曲线的参数方程通常可以写成以下形式：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z 分别表示曲线上点的横坐标、纵坐标和高度坐标，f(t)、g(t) 和 h(t) 则是参数 t 的函数。
通过给定不同的参数值 t，可以得到曲线上对应的点的位置。
二、参数方程的应用参数方程在几何学中有广泛的应用，尤其在描述曲线和曲面时非常方便。
下面以几个具体的例子来说明参数方程的应用。
1. 直线的参数方程考虑一条直线 L，过点 A 和 B 的两个不同位置。
可以使用参数方程来表示直线上的点。
假设 A 的坐标为 (x₁, y₁, z₁)，B 的坐标为 (x₂, y₂, z₂)。
则直线L 的参数方程可以表示为：x = x₁ + t(x₂ - x₁)y = y₁ + t(y₂ - y₁)z = z₁ + t(z₂ - z₁)其中，t 是参数，可以取任意实数。
当 t 取不同的值时，可以得到直线上不同位置的点。
2. 圆柱面的参数方程圆柱面是一种常见的曲面，在三维空间中可以使用参数方程来表示。
假设圆柱面的中心点为 (a, b, c)，半径为 r，高度为 h，则圆柱面的参数方程可以表示为：x = a + r*cosθy = b + r*sinθz = c + t*h其中，θ 是参数，表示圆柱面上的点绕着圆心的角度，t 是参数，表示圆柱面上的点在高度方向上的位置。
3. 螺旋线的参数方程螺旋线是一种特殊的曲线，其可以通过参数方程来描述。
空间曲线的性质与方程
空间曲线的性质与方程在数学中，空间曲线是描述在三维空间中具有一定规律的曲线。
对于空间曲线的研究，我们既关注其性质，也关注能够准确描述曲线的方程。
本文将介绍空间曲线的性质以及常见的方程形式。
一、空间曲线的性质1. 弧长和曲率空间曲线的弧长指的是在曲线上一小段弧的长度。
曲率是描述曲线弯曲程度的量，表示曲线在某一点的弯曲程度。
弧长和曲率是空间曲线的重要性质，能够帮助我们了解曲线的形状特征。
2. 切线和法平面对于曲线上的每一点，都可以找到一个切线，切线的斜率是曲线在该点的导数。
切线能够切割曲线，并且与曲线相切于该点。
同时，通过曲线上的三个不共线点可以确定一个平面，称为法平面，它与曲线在该点相切。
3. 曲率半径曲率半径是曲线在某一点的曲率的倒数，用R表示。
曲率半径越大，曲线越接近直线；曲率半径越小，曲线越弯曲。
4. 对称性空间曲线可以具有各种对称性，如轴对称、中心对称等。
对称性能够帮助我们理解曲线的特殊性质。
5. 参数方程空间曲线可以使用参数方程进行描述，参数方程由参数t表示曲线上的点，通过给定参数的取值范围，我们可以获得曲线上的所有点。
二、空间曲线的方程形式1. 直线方程直线是最简单的空间曲线，可以用点和向量表示。
一般形式的直线方程为ax + by + cz + d = 0，其中a、b、c是直线的方向向量的分量，d是常数。
通过确定直线上的两个点或一个点和一个方向向量，我们可以得到具体的直线方程。
2. 平面方程平面是由三个非共线点或一个点和一个法向量唯一确定的。
一般形式的平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C是平面的法向量的分量，D是常数。
通过给定平面上的三个点或一个点和一个法向量，我们可以得到具体的平面方程。
3. 曲线方程曲线方程是描述空间曲线的方程，常见的曲线方程包括圆的方程、椭圆的方程、抛物线的方程和双曲线的方程等。
这些曲线方程可以通过点和方程的特定形式来给出，例如圆的方程可以用圆心坐标和半径表示。
平面解析几何中的空间直线与空间曲线的性质
平面解析几何中的空间直线与空间曲线的性质空间几何是数学中的重要分支，它研究的是空间中的点、线、面等几何对象的性质和关系。
在平面解析几何中，空间直线和空间曲线是两个重要的研究对象。
本文将就空间直线和空间曲线的性质展开讨论。
一、空间直线的性质空间直线是由空间中的两个不重合点确定的，在解析几何中，我们可以通过一组参数方程来表示空间直线。
空间直线有以下几个重要的性质：1. 平行关系：空间中的两条直线要么相交于一点，要么平行。
如果两条直线的方向向量平行，那么它们是平行的。
2. 距离关系：空间中的两个点到一条直线的距离可以通过求解距离公式来得到。
距离公式为：d = |(AP)·n|/|n|，其中A为直线上的一点，P为空间中的一点，n为直线的法向量。
3. 直线的夹角：两条直线的夹角可以通过它们的方向向量的夹角来计算。
设直线l1的方向向量为u，直线l2的方向向量为v，则l1和l2的夹角为θ，有cosθ = |u·v|/|u||v|。
4. 点线距离：对于空间中的一条直线l和一点P，点P到直线的距离可以通过求解垂直于直线的平面和点P的交点来得到。
点P到直线的距离等于点P到交点的距离。
二、空间曲线的性质空间曲线是由参数方程或者隐函数方程定义的，它在空间中弯曲或者扭转。
空间曲线有以下几个重要的性质：1. 切线和法平面：对于空间曲线上的一点P，曲线在该点的切线就是曲线在该点的斜率方向。
曲线在该点的法平面是与曲线在该点的切线垂直的平面。
2. 曲率和曲率半径：曲线某一点P的曲率定义为曲线在该点上的切线转角的变化率，即曲率 k = |T'(s)|，其中T(s)为曲线在点P处的单位切向量。
曲率半径 R = 1/k，确定了曲线在该点上局部的弯曲程度。
3. 曲率中心：曲线某一点P的曲率中心是曲线在该点的曲率半径对应的圆的圆心。
4. 曲率球面：曲线某一点P的曲率球面是与曲线在该点的切线相切，并且曲率半径等于曲率的球面。
空间解析几何中的空间曲线与曲面
空间解析几何中的空间曲线与曲面在数学中，空间解析几何是研究空间中的点、直线、曲线和曲面等几何元素的学科。
其中，空间曲线和曲面是解析几何中的重要概念，对于研究空间中的形状和运动非常关键。
本文将介绍空间解析几何中的空间曲线与曲面，并对其相关性质进行探讨。
一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中的一条曲线。
常见的空间曲线包括直线、抛物线、椭圆、双曲线等。
下面以直线为例进行讨论。
1. 直线在空间解析几何中，直线可通过点和方向确定。
假设直线上有两个点A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)，则直线的方向向量为AB(x₂-x₁,y₂-y₁, z₂-z₁)。
方向向量是指从点A指向点B的向量。
除了通过两个点来确定直线外，我们还可以使用点与方向向量的形式表示直线。
设直线上一点为P(x, y, z)，则直线的参数方程为：x = x₁ + aty = y₁ + btz = z₁ + ct其中t为参数，同时a、b、c为方向向量AB的分量。
2. 抛物线、椭圆和双曲线在空间解析几何中，抛物线、椭圆和双曲线都是曲线的一种。
它们的方程可以通过二次方程来表示。
以抛物线为例，其方程一般形式为：Ax² + By² + Cz = 0其中A、B、C为实数，并且A和B不同时为零。
抛物线在空间中呈现出的形状取决于A、B和C的取值。
二、空间曲面空间曲面是指在三维空间中的一个曲面。
常见的空间曲面包括平面、球面、圆锥曲面和椭球面等。
1. 平面在空间解析几何中，平面是由三个相互垂直的坐标轴确定的。
平面可以用一个点和一个法向量来表示。
假设平面上有一点P(x₁, y₁, z₁)，该平面的法向量为N(a, b, c)，则平面的方程可以表示为：a(x-x₁) + b(y-y₁) + c(z-z₁) = 0其中(x, y, z)为平面上任意一点的坐标。
2. 球面在空间解析几何中，球面是由一个固定点O和到该点距离相等的所有点构成的曲面。
第六节空间曲线及其方程讲义
y, z)
3 1 (6 2cos sin )
3
o
•
y
x
M ( x, y,0)
x cos
L:
y
sin
0 2
z
2
2 3
cos
1 3
sin
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程： L
F ( x, y, z) 0 G( x, y, z) 0
消去变量z后得： H ( x, y) 0 （1）
母线平行于 y 轴的柱面方程是____________；
3、曲线 x2 z2 3 yz 2x 3z 3 0, y z 1 0在
xoz 平面上的投影方程是_______________；
4、方程组
y y
5 2
x x
1 在平面解析几何中表示______； 3
x2 5、方程组 4
4 x2 y2,
z 3( x2 y2 ),
则交线 C 在 xoy 面上的投影为
x2 y2 1, z 0.
所求立体在 xoy 面上的投影为
o
y
x2 y2 1.
x
四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
x x(t)
y
y(t )
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. 解 截线方程为
y2 z2 x x 2y z 0
（3）消去x 得 yoz 面上的投影
y2 z2 2y z 0
.
x 0
四、空间曲面或立体在坐标面上的投影.
z
称区域 D 为 空间曲面 S 在 xoy 面上 的投影。
M
•
( x,
直线与曲线的方程
直线与曲线的方程直线与曲线是数学中的基本概念，它们在几何学和代数学中起着重要的作用。
直线是两点之间的最短路径，它具有一阶方程，而曲线则是在平面或空间中的曲线路径，具有高阶方程。
本文将探讨直线和曲线的方程以及它们的几何特性。
一、直线的方程直线可以通过斜率和截距来描述。
斜率表示直线的倾斜程度，截距表示直线与坐标轴的交点。
直线的一般方程为 y = mx + b，其中 m 是斜率，b 是 y 轴截距。
通过两点法，我们可以找到直线的方程。
给定直线上两个点的坐标(x₁, y₁) 和 (x₂, y₂)，我们可以计算出斜率 m 的值：m = (y₂ - y₁) /(x₂- x₁)。
然后，我们可以选择一个已知点，将其坐标代入直线方程，解出截距 b 的值。
最后，我们将斜率和截距代入直线方程，得到完整的直线方程。
此外，直线还可以以非一般形式的方程表示。
例如，一般方程可以化简为 Ax + By + C = 0 的形式。
在这种表示方式中，A、B、C 是常数，且满足A² + B² ≠ 0。
这种形式的方程可以提供直线的法线和距离等信息。
二、曲线的方程曲线的方程则比直线的方程更加复杂，因为曲线的路径可以是非直线的。
曲线可以用高阶方程表示，其中最常见的是二次曲线方程。
1. 二次曲线方程二次曲线方程是形如 y = ax² + bx + c 的方程。
其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
二次曲线可以是抛物线、椭圆、双曲线等等。
- 抛物线是二次曲线的一种形式，它的方程为 y = ax² + bx + c。
a 的正负决定了抛物线的开口方向，a>0 时抛物线开口向上，a<0 时抛物线开口向下。
b 决定了抛物线的位置，c 影响了抛物线的纵坐标轴截距。
- 椭圆是另一种二次曲线，它的方程为 (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。
其中(h, k) 是椭圆中心的坐标，a 和 b 是半轴的长度。
7-4曲线方程、平面方程
设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 ,C1)
平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 ,C2 )
则两平面夹角 的余弦为
2
cos n1 n2
即
n1 n2
cos
A1A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
n (0, B,C) i, 平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面.
例2. 求以下两直线的夹角
解: 直线 的方向向量为
L2
:
x y20 x 2z 0
i jk
直线 的方向向量为 s2 1 1 0 (2, 2, 1)
二直线夹角 的余弦为
10 2
1 2 (4) (2) 1 (1)
cos
12 (4)2 12 22 (2)2 (1)2
P1(x1, y1, z1) ,则P0 到平面的距离为
d Prj n P1P0
P1P0 n n
n P0
A(x0 x1) B( y0 y1) C(z0 z1)
d
A2 B2 C2
P1
d A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C2
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
空间曲线及其方程
1.2 空间曲线的参数方程
例 3 如果空间点 M 在圆柱面 x2 y2 a2 上以角速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v
沿平行于 z 轴的正方向上升（其中 ，v 都是常数），那么点 M 构成的图形称为螺旋线．试建
立其参数方程．
分析 关键是确定参数．已知动点 M 的运动角速度和线速 度，则动点坐标与时间有关，可以以时间 t 为参数．
1.4 空间曲线在坐标面上的投影
定义 以曲线 C 为准线，且母线平行于 z 轴的柱面称为曲线 C 关于 xOy 面的 投影柱面．这个投影柱面与 xOy 面的交线称为空间曲线 C 在 xOy 面上的投影曲线， 如图所示．投影曲线的方程为
H (x ，y) 0 ， z 0．
同理可得，曲线 C 在 yOz 面或 zOx 面上的投影曲线方程为
x2 y2 1．
高等数学
动，方程（9-17）便是旋转曲面的方程．
例如，球面 x2 y2 z2 a2 可看成 zOx 面上的半圆周
x a sin ，
y
0
，
(0 π)
z a cos ，
x a sin cos ，
绕 z 轴旋转所得，故球面方程为
y
a
sin
sin
，(0
π ，0
2π)
z a cos ，
*1.3 曲面的参数方程
技术上称为螺距.
*1.3 曲面的参数方程
曲面的参数方程通常含有两个参数，形如
x x(s ，t) ，
y
y(s
，t)
，
z z(s ，t) ．
例如，空间曲线
x (t) ，
y
(t)
，(
t
)
z (t) ，
空间曲线的参数方程
空间曲线的参数方程空间曲线是指在三维坐标系中的曲线，可以用数学方程进行描述和表示。
其中，参数方程是一种常用的描述空间曲线的方式。
空间曲线的参数方程可以表示为：x = x(t)y = y(t)z = z(t)其中，x、y、z是曲线上某一点的坐标，t是参数，用来表示曲线上的某个点。
参数方程可以用来描述各种不同形状的空间曲线，比如直线、抛物线、圆等。
通过适当选择参数的取值范围，可以得到曲线上的各个点。
以直线为例，假设直线过点A(x1, y1, z1)和点B(x2, y2, z2)。
我们可以通过参数方程来描述该直线：x = x1 + (x2 - x1)ty = y1 + (y2 - y1)tz = z1 + (z2 - z1)t其中，t的取值范围可以是[0, 1]，代表直线上从点A到点B的过程。
类似地，我们可以通过参数方程来描述其他形状的曲线。
比如，对于抛物线可以使用以下参数方程：x = aty = bt^2z = ct^3其中，a、b、c是常数，决定了抛物线的形状。
对于圆，可以使用以下参数方程来描述：x = rcos(t)y = rsin(t)z = h其中，r是半径，h是圆心在z轴上的高度，t是参数，取值范围通常是[0, 2π]，代表圆的一周。
通过参数方程，我们可以简洁地描述空间曲线的各个点，同时可以方便地进行计算和绘制。
总结起来，空间曲线的参数方程是一种有效的描述曲线的方式，可以用来描述各种不同形状的曲线。
通过适当选择参数的取值范围，可以得到曲线上的各个点。
参数方程具有简洁、灵活和易于计算的优势，可以方便地用于数学建模和图形绘制等领域。
通过以上的介绍，希望对空间曲线的参数方程有更深入的理解。
在实际应用中，可以根据具体的情况选择不同的参数方程，来描述和表示相应的曲线。
空间曲线与曲面的方程
空间曲线与曲面的方程一、空间曲线的方程空间曲线是在三维空间中的曲线，通常由参数方程给出。
参数方程由参数变量表示曲线上的点的位置，从而描述了曲线的形状。
下面我们来讨论一些常见的空间曲线的方程。
1. 直线的方程直线是最简单的一种空间曲线，可以用一条方程来表示。
直线的方程通常由点斜式或者两点式给出。
- 点斜式：对于一个直线上的点P(x, y, z)，斜率为m，已知直线上另一点Q(x1, y1, z1)，直线方程可以表示为：(x - x1) / (x - x1) = (y - y1) / (y - y1) = (z - z1) / (z - z1)- 两点式：已知直线上两点P(x1, y1, z1)和Q(x2, y2, z2)，直线方程可以表示为：(x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1) = (z - z1) / (z2 - z1)2. 圆的方程圆是一个平面上所有到一个固定点距离相等的点的集合，可以通过参数方程或者一般方程来表示。
- 参数方程：对于一个圆的中心点C(x0, y0, z0)，半径r，圆的方程可以表示为：x = x0 + r * cos(t)y = y0 + r * sin(t)z = z0其中t是参数，通常取值范围为[0, 2π]。
- 一般方程：对于一个圆的中心点C(x0, y0, z0)，半径r，圆的方程可以表示为：(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^23. 椭圆的方程椭圆是一个平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
椭圆的方程也可以通过参数方程或者一般方程来表示。
- 参数方程：对于一个椭圆的中心点C(x0, y0, z0)，长轴a，短轴b，椭圆的方程可以表示为：x = x0 + a * cos(t)y = y0 + b * sin(t)z = z0其中t是参数，通常取值范围为[0, 2π]。
空间曲线直线及方程
5. 直线的平面束方程
x y z 1 0
例9 求L : x y z 1 0在Π : x y z 0的投影直线
解：分析：关键是找过L且垂直于Π的平面Π0
由平面束方程, 设 Π0： y z 1) ( x y z 1) 0 (x
即： (1 ) x (1 ) y ( 1) z ( 1) 0 Π0 Π n0 n n0 n 0
1 (1 ) 1 (1 ) 1 ( 1) 0 1
即：Π0 : y z 1 0
x 1 y 2 z L: 0 1 1
例 7
2 x y z 4 0 Π1 将L： 化为对称式、参数式 x y z 1 0 Π2
x 1 或： y 2 t —参数式 z t
例 7 2： 由原式消去z得：x 1 0 解法
第五节
空间曲线及其方程 空间直线及其方程
一、一般方程
空间曲线的一般方程为：
F ( x, y, z ) 0 是一条空间曲线 (7) G( x, y, z ) 0
即：可以看成是空间两条曲 面的交线： S1：F ( x, y, z ) 0, S2：G( x, y, z ) 0
*
注：空间曲线的方程不 唯一！
二、直线及其方程
1. 直线的一般方程
A1 x B1 y C1 z D1 0 — Π1 L： A2 x B2 y C2 z D2 0 — Π2
注：同一条直线可以用不同的相交平面得到。
—相交平面族
图略！
设直线L // s ，且过点M 0 ( x0 , y0 , z0 ), s (m, n, p)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
z z(t)
x 例如： y
x0 y0
nt mt
z z0 pt
— 直线：S {n, m, p},过点(x0, y0, z0 )
二、参数方程
例：试把空间曲线：
x2
y2
z2
1
解参：数消化去。z得
xz
2x2 y2 1 xz
设*：x 1 cost, y sin t z x 1 cost
，则：
cos s1 • s2
|s1 | | s2 |
L1
L2
s1
•
s2
0
m1m2
n1n2
p1 p2
0
i L1 // L2 s1 s2 m1
m2
j n1 n2
k p1 p2
0
m1 m2
n1 n2
p1 p2
例8 求L1
:
1 x 1
y 4
z
1
3
与L2
:
x 2
y2 2
z的夹角
而解s：2 s1(2,(12,,41,)1)| s|2s1||
设直线
L
//
s，且过点
M
0
( x0
,
y0
,
z0
),
s
(m,
n,
p)
则 平面L的方程为：
x L： y
x0 y0
mt nt
其中s是L的方向向量
z z0 pt
3. 直线的对称方程 ——也叫直线的点向式方程
从参数式中消去 t 后得：
x x0 m
y y0 n
z z0 p
令
t
——可将对称式 转化为参数式
2
2
则：
x
y
1 cost 2 sin t
z
1 cost 2
注：空间曲线的方程不唯一！
二、直线及其方程
1. 直线的一般方程
L：
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
— Π1 — Π2
注：同一条直线可以用不同的相交平面得到。
—相交平面族
图略！
2. 直线的参数方程
x x0
y
m y0
n
y y0
n z z0
p
注：
m 0 x x0 0 n 0 y y0 0 p 0 z z0 0
例 将L：2xxyyzz1400
Π1 Π2
化为对称式、参数式
7解法1：令z
0
2x y 4 解得
x
y
1
(1,
2,
0)
L
L Π1 Π2 s n1 (2,1, 1)且s n2 (1, 1,1)
第五节
空间曲线及其方程 空间直线及其方程
一、一般方程
空间曲线的一般方程为：
是一条空间曲线
F ( x, (7)G(x,
y, y,
z) z)
0 0
即：可以看成是空间两条曲面的交线：
S1：F(x, y, z) 0, S2：G(x, y, z) 0
Γ
S1
S2
二、参数方程
空间曲线Γ参数方程的一般形式为：
116 1 4 41 3
18 3
2
s1 • s2 1 2 (4) (2) 1 (1) 9
cos L1, L2 3
9 23
2 2
故：
L1, L2
4
5. 直线的平面束方程
设L
:
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 ，则称： 0
Π : A1x B1 y C1z D1 ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0
为直线 L的平面束方程。
5. 直线的平面束方程
例9
求L:Biblioteka x xy yz z
1 1
0在Π : 0
x
y
z
0的投影直线
解：分析：关键是找过L且垂直于Π的平面Π0
由平面束方程,
设
Π0：(x y z 1) (x y z 1) 0
即： (1 )x (1 ) y ( 1)z ( 1) 0
z 6
x+y+z=6
0
.
2
4
x
6
6
y
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
z 6
0
.
2
4
x
6
6
y
30. 作图练习
平面x a ,
y
a,
z
a,
x
y
z
a
在第一卦限所围立体图
z
3a 2
a
0
3a a
2
x
a
3a y
2
30. 作图练习
z 6
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
0
.
2
4
x
6
6
y
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
z 6
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
0
.
2
4
x
6
6
y
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
z 6
x+y+z=6
3x+y=6
0
2
x
6
6
y
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
z 6
x+y+z=6
3x+y=6
0
.
2
x
6
6
y
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
i jk 可取s n1 n2 2 1 1 3 j 3k 3(0,1,1)
1 1 1 取s (0,1,1)
L : x 1 y 2 z
0
11
x 1 或： y 2 t —参数式
z t
例 将L：2xxyyzz1400
Π1 Π2
化为对称式、参数式
7解法2： 由原式消去z得：x 1 0
Π0 Π n0 n n0 • n 0
1 (1 ) 1 (1 ) 1 ( 1) 0 1
即：Π0 : y z 1 0
故投影直线方程为：xy
y z
z 1
0 0
或 Π ：x 1 y 1 z Π0 2
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
平面x a , y a , z a , x y z a 在第一卦限所围立体图
z
3a 2
a
0
.
3
a
a
2
x
a
3a y
2
30. 作图练习
平面x a , y a , z a , x y z a 在第一卦限所围立体图
z
3a 2
a
0
.
3
a
a
2
x
a
3a y
2
30. 作图练习
平面x a , y a , z a , x y z a 在第一卦限所围立体图
消去x得：y z 2 0
原式
x y
1 0 2 z
L : x 1 y 2 z —对称式 0 11
x 1 或： y 2 t —参数式
z t
4. 两直线的夹角
设s1
//
L1, s2
//
L2 ,且s1
(m1, n1,
p1), s2
(m2 , n2 ,
p2 )
若
L1, L2
s1, s2