曲面曲线方程
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
曲线与曲面的方程推导
曲线与曲面的方程推导曲线和曲面是数学中的基本概念，它们在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
曲线是一个在二维或三维空间中的形状，而曲面则是一个在三维空间中的表面形状。
在本文中，我们将讨论曲线和曲面的方程推导。
一、曲线的方程推导对于平面曲线，我们可以用两个变量x和y来表示它的方程，即y=f(x)。
其中f(x)是一个函数，它描述了曲线在不同x值上的高度。
例如，二次函数y=x²就可以描述一个抛物线。
而对于三维空间中的曲线，则需要使用三个变量x、y、z来表示它的方程。
我们可以写出参数方程x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，其中t为参数，描述曲线上每个点的位置。
例如，对于一个圆柱曲线，我们可以使用参数方程x=cos(t)，y=sin(t)，z=t来描述它。
另一种描述曲线的方式是使用向量表示。
一个曲线上的向量可以表示为r(t)=<x(t),y(t),z(t)>，而曲线的函数式则可以表示为r(t)=<x(t),y(t),z(t)>，其中r(t)是曲线上一个点的向量。
二、曲面的方程推导对于平面上的二维曲面，我们通常使用z=f(x,y)的函数式来描述它的方程。
例如，圆锥曲面可以使用z=√(x²+y²)的函数式来描述。
对于三维空间中的曲面，则可以使用多种方式来表示它的方程。
其中一种方式是使用参数方程，例如一个球面可以使用以下参数方程来描述：x(θ,φ)=r*sin(θ)*cos(φ)y(θ,φ)=r*sin(θ)*sin(φ)z(θ,φ)=r*cos(θ)其中r为球面半径，θ为纬度角度，φ为经度角度。
另一种常见的方式是使用向量表示，例如一个平面曲面可以表示为r(u,v)=<x(u,v),y(u,v),z(u,v)>的函数式，其中u和v为曲面上的参数。
总结在数学中，曲线和曲面是基本的几何概念，它们有着广泛的应用，例如在物体建模、路径规划和信号处理等领域。
曲线与曲面的参数方程
曲线与曲面的参数方程曲线与曲面是数学中的基本概念，它们在几何学、物理学和工程学等领域中有着重要的应用。
本文将介绍曲线与曲面的参数方程，以及它们在实际问题中的应用。
一、曲线的参数方程曲线是平面或空间中的一条连续的线段，它可以用参数方程来表示。
参数方程是指将曲线上的点的坐标用参数表示，而不是直接用坐标表示。
对于二维平面曲线，参数方程通常形式为：x = f(t)y = g(t)其中，t为参数，f(t)和g(t)是与参数t有关的函数。
通过不同的参数t取值，可以得到曲线上的各个点，从而描述整个曲线。
举个例子，考虑单位圆的参数方程。
圆的方程为x² + y² = 1，而参数方程为：x = cos(t)y = sin(t)其中，参数t的取值范围为0到2π。
当t取0时，x = cos(0) = 1，y= sin(0) = 0，即得到圆的右端点；当t取π/2时，x = cos(π/2) = 0，y =sin(π/2) = 1，即得到圆的上端点；依此类推，当t取2π时，又得到圆的右端点，从而完成了整个圆的参数方程描述。
二、曲面的参数方程曲面是空间中的一片连续的平面区域，它可以用参数方程来表示。
参数方程是指将曲面上的点的坐标用参数表示，而不是直接用坐标表示。
对于三维空间中的曲面，参数方程通常形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，u和v为参数，f(u, v)、g(u, v)和h(u, v)是与参数u和v有关的函数。
通过不同的参数u和v的取值，可以得到曲面上的各个点，从而描述整个曲面。
举个例子，考虑球面的参数方程。
球面的方程为x² + y² + z² = r²，而参数方程为：x = r sinθ cosφy = r sinθ sinφz = r c osθ其中，r为球的半径，θ为极角，范围是0到π，φ为方位角，范围是0到2π。
空间解析几何的曲线与曲面的方程表示
空间解析几何的曲线与曲面的方程表示在空间解析几何中，曲线与曲面的方程表示是非常重要的概念。
通过方程，我们可以描述和研究曲线和曲面的特性、性质以及它们与其他几何对象之间的关系。
本文将介绍空间解析几何中曲线与曲面的方程表示方法。
一、曲线的方程表示在空间中，曲线可以通过参数方程、一般方程和轨迹方程进行表示。
1. 参数方程：曲线的参数方程表示为：x = f(t), y = g(t), z = h(t)其中，x，y和z分别是曲线上某一点的坐标，f(t)，g(t)和h(t)是参数方程。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上的各个点坐标。
2. 一般方程：曲线的一般方程表示为：F(x, y, z) = 0其中，F(x, y, z)是曲线上的点(x, y, z)所满足的关系式。
3. 轨迹方程：曲线的轨迹方程表示为：F(x, y, z, k) = 0其中，(x, y, z)是曲线上的点，k是参数。
二、曲面的方程表示在空间中，曲面可以通过隐式方程、一般方程和参数方程进行表示。
1. 隐式方程：曲面的隐式方程表示为：F(x, y, z) = 0其中，F(x, y, z)是曲面上的点(x, y, z)所满足的关系式。
2. 一般方程：曲面的一般方程表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中，A，B，C和D是常数，(x, y, z)是曲面上的点。
3. 参数方程：曲面的参数方程表示为：x = f(u, v), y = g(u, v), z = h(u, v)其中，(u, v)是参数，f(u, v)，g(u, v)和h(u, v)是参数方程。
通过改变参数u和v的取值范围，我们可以得到曲面上的各个点坐标。
总结：通过以上介绍，我们了解了空间解析几何中曲线与曲面的方程表示方法。
曲线可以通过参数方程、一般方程和轨迹方程描述，而曲面可以通过隐式方程、一般方程和参数方程描述。
这些方程可以帮助我们研究曲线与曲面的性质、特性以及它们与其他几何对象之间的关系。
曲线与曲面方程
曲线与曲面方程曲线和曲面方程是数学中重要的概念，在几何学和微积分等领域有着广泛的应用。
本文将介绍曲线和曲面的定义、方程表示以及一些常见的曲线和曲面方程。
一、曲线的定义与方程表示在数学中，曲线可以简单地理解为平面或者空间中的一条连续路径。
曲线可以曲折、弯曲，也可以是直线。
曲线方程的表示方法有多种，下面将介绍常见的几种方式。
1. 参数方程参数方程是曲线方程的一种表示方法，通过指定一个或多个参数来描述曲线上的点。
例如，一个二维平面上的曲线可以用参数 t 来表示：x = x(t), y = y(t)。
通过改变参数 t 的取值范围，可以得到曲线上的各个点。
2. 一般方程一般方程是将曲线上的点的坐标表示为自变量的方程。
例如，平面上的一般曲线方程可以写成 F(x, y) = 0 的形式，其中 F(x, y) 是一个多项式函数。
该方程表示了所有满足条件 F(x, y) = 0 的点构成的曲线。
3. 极坐标方程极坐标方程是一种用极坐标来表示曲线的方程。
在极坐标系中，点的位置由距离和角度来确定。
例如，极坐标方程r = f(θ) 可以表示一个极坐标下的曲线。
二、常见的曲线方程在数学中，有许多重要的曲线方程，这里将介绍几个常见的曲线。
1. 直线方程直线是最简单的曲线形式，其方程可以用一般方程表示为 Ax + By+ C = 0，其中 A、B、C 是常数。
2. 抛物线方程抛物线是一类曲线，其方程可以用一般方程表示为 y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是常数。
3. 椭圆方程椭圆是一个闭合曲线，其方程可以用一般方程表示为 (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中 (h, k) 是椭圆的中心坐标， a、b 分别是椭圆的长短半轴。
4. 双曲线方程双曲线也是一个开口的曲线，其方程可以用一般方程表示为 (x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中 (h, k) 是双曲线的中心坐标， a、b 分别是双曲线的长短半轴。
空间解析几何的曲线与曲面曲线方程曲面方程的性质
空间解析几何的曲线与曲面曲线方程曲面方程的性质空间解析几何是研究几何空间中曲线和曲面的性质和关系的一门学科。
在空间解析几何中，我们经常使用曲线方程和曲面方程来描述和分析几何对象。
本文将探讨曲线方程和曲面方程的性质以及它们在空间解析几何中的应用。
一、曲线方程曲线是空间中的一条连续的弯曲线段，可以用参数方程或者一般方程来表示。
在空间解析几何中，常用的曲线方程形式有点斜式和一般式。
1. 点斜式对于空间中的一条曲线，如果已知曲线上一点的坐标和曲线在该点的切线的斜率，就可以使用点斜式来表示该曲线。
点斜式的一般形式为：(x-x₁)/a = (y-y₁)/b = (z-z₁)/c其中(x₁, y₁, z₁)是曲线上的一点，a、b、c分别表示曲线在该点处的切线在x、y、z轴上的斜率。
2. 一般式一般式是指空间中曲线方程的一般形式，即使用x、y和z的关系式来表示曲线。
一般式的形式如下：F(x, y, z) = 0其中F(x, y, z)是关于x、y和z的多项式函数，代表了曲线上的点满足的条件。
曲线方程的性质在空间解析几何中具有重要的意义。
曲线的性质可以通过方程的形式和参数方程等来确定，包括曲线的形状、方向、长度等。
二、曲面方程曲面是空间中的一个二维平面，可以用一般方程或者双曲线、抛物线和椭圆等几何图形的方程来表示。
在空间解析几何中，常见的曲面方程有一般方程、一般球面方程和柱面方程以及圆锥曲线的方程。
1. 一般方程一般方程是指空间中曲面方程的一般形式，使用x、y和z的关系式来表示曲面。
一般方程的形式如下：F(x, y, z) = 0其中F(x, y, z)是关于x、y和z的函数，代表了曲面上的点满足的条件。
2. 一般球面方程和柱面方程一般球面方程和柱面方程是描述曲面的特殊形式。
一般球面方程的形式为：(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = R²其中(a, b, c)是球心的坐标，R是球的半径。
§13-4 曲面方程与曲线方程
§13-4 曲面方程与曲线方程日常生活中常遇各类曲面,如反光镜镜面,锥面,球面,如何表示呢?如已知球面方程22222222/)()()(r z y x r c z b y a x =++=-+-+-是关于变量z y x ,,的关系式(方程).一、曲面方程1.定义 ∑: 0),,(=z y x F ()),(y x f y =满足 (1)曲面∑上的点的坐标满足方程 纯粹性(2)满足方程的点都在曲面上(逆) <教材后> 完备性 则称 方程是曲面∑的方程, 曲面∑是方程的图形如:(1)球面: ~ 以此说明定义两个方面(2)方程042222=+-++y x z y x 表示什么曲面?球面:0222=++++++G Fz Ey Dx Az Ay Ax (Γ>0 X )点,虚轨迹(3)曲面⊃平面⊃特殊平面yoz : 0=x 等三个; 平行于xoy : 0z z =等三个 详见§13-5 注:与平面上0=x 的区别 又如 x y 2=2.柱面定义:一动直线L,沿着一条定曲线Γ平行移动所生成的曲面称柱面. 定曲线Γ称柱面的准线,动直线L 称柱面的母线.如:x y 2=, 222R y x =+ 特点: ①L ∥oz 轴 ②可取xoy ⊂Γ面 柱面方程:0),(=y x F ()0),,(=⊂z y x F R z ∈①.. ②..0),(=z y F ①L ∥ox 轴 ②可取yoz ⊂Γ面 0),(=x z F ①L ∥oy 轴 ②可取zox ⊂Γ面 如: 122=+z k 圆柱面 2x y = 抛物柱面 预先准备好图形 12222=+bz a y 椭圆柱面(双曲柱面) 3.旋转曲面定义:一条曲线Γ绕定直线L 旋转一周所生面的曲面,称旋转曲面. 定直线L 称旋转轴,曲线Γ称母线.推导 图示 1M 满足0),(=z y f 即 0),(11=z y f2122y y x =+,1z z =代入上式,得方程:0),(22=+±z y x f 平面yoz 上平面曲线0),(=z y f 绕oz 轴旋转 0),(22=+±x z y f .. .. oy .. .. 0),(22=+±z y x f 0),(=y x f 绕ox 轴 等等如:常见旋转面区别:(1) 圆锥面: 22y x z +±=或222y x z += y z =绕oz 轴(2) 旋转抛物面: 旋转曲面22y x z +=是如何形式的?(3) 旋转椭球面: 1222222=++bz b y a x 1222222=++a z b y a x (球) 椭圆12222=+by a x 绕oy ox ,轴 (4) 旋转双曲面: 1222222=-+-b z a y b x 1222222=-+bz a y a x 双曲线12222=-bz a y 绕oy 轴(双叶),oz 轴(单叶旋转双曲面) 二、空间曲线(方程)及在坐标面上的投影1.空间曲线一般方程:Γ:⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F 满中(1)(2)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎩⎨⎧==点平面上0),(0),(21y x f y x f 如:⎩⎨⎧==00y x oz 轴(在平面上是原点) 等 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=42122y x x y 如: Γ:⎩⎨⎧=-++=++16)3(25222222z y x z y x ⇔⎩⎨⎧==+⇔⎩⎨⎧==++31632522222z y x z z y x 同一曲线(不同视角);互相关联.⎩⎨⎧==+31622z y x 中1622=+y x .(2)!)((1)而得原曲线消作光线来视为两球面交线投影z2.投影柱面,投影曲线(Γ投影到xoy 平面)⎩⎨⎧==Γ⇐=0),,(0),,(:0),(21z y x F z y x F y x G 投影曲线 ⎩⎨⎧==00),(z y x G 同理 ⎩⎨⎧==00),(x z y H ⎩⎨⎧==00),(y x z I3.空间曲线参数方程⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x βα≤≤t 比较平面上:⎩⎨⎧==)()(t y y t x x βα≤≤t 令0t t = 得()(0t x )(0t y )(0t z 为空间曲线上一点如:螺旋线方程⎪⎩⎪⎨⎧===vt z wt a y wt a x sin cos 20P 例1说明得到过程性质:上升高度与转角成正比: vt wt w v z =⋅=. 螺距: wv ⋅π2 wt =θ:αθθ+→00 转πα2= z :παθθ200⋅=+→wv w v w v w v 例1: Γ:⎩⎨⎧+==++)(3422222y x z z y x 求在xoy 平面上投影曲线. 解: 图示 投影柱面: 122=+y x投影曲线: ⎩⎨⎧==+0122z y x思考: 1)(322y x z +=改为)(322y x z +=呢?2在yoz 平面上的投影曲线:⎩⎨⎧==03x z 线段)11(≤≤-y例2: Γ:⎪⎩⎪⎨⎧=+---=222222)2()2(a y a x y x a z 求在xoy 平面上投影曲线.并将Γ的方程改写成参数方程.解: 图示投影曲线:⎪⎩⎪⎨⎧==+-0)2()2(222z a y a x投影曲线参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=t a y t a x sin 2)cos 1(2 π20≤≤t 说明:在重积分和曲线积分的计算中,往往需要确定一立体或曲面在坐标面上的投.这时要利用投影柱面和投影曲线.作业: 32P 34 35(3)(6) 36(2) 37 39 40(1)。
曲面、曲线及其方程
03
曲面与曲线的联系
曲面与曲线的几何关系
曲面与曲线在三维空间中相互依存
01
曲面是由曲线在某些方向上无限延伸形成的，而曲线则可以看
作是曲面上的一个特定区域。
曲面与曲线的形状和变化
02
曲线的形状和变化可以影响其所在的曲面形状，反之亦然。
曲面与曲线的交线
03
曲面与另一个曲面或平面相交，交线是一条曲线；曲面与曲线
曲面、曲线及其方程
contents
目录
• 曲面及其方程 • 曲线及其方程 • 曲面与曲线的联系 • 曲线和曲面在几何和工程中的应用
01
曲面及其方程
曲面方程的基本概念
曲面方程的定义
曲面方程是描述曲面位置关系的数学表达式，通常 由代数方程表示。
曲面方程的形式
曲面方程的一般形式为 $F(x, y, z) = 0$，其中 $F$ 是一个多项式函数，$x, y, z$ 是空间坐标。
息。
THANKS
感谢观看
曲面方程的解
求解曲面方程可以得到曲面上点的坐标集合，即曲 面的几何形状。
几种常见的曲面
平面
平面是一个无限延展且没有弯曲的二维表面，其方程为 $Ax + By + Cz = D$。
球面
球面是一个三维表面，其方程为 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$，其中 $R$ 是球半径。
圆柱面
圆柱面是一个三维表面，其方程为 $x^2 + y^2 = R^2$（或 $y^2 + z^2 = R^2$）。
通过使用曲线和曲面，工程师可以更好地描述和设计物体的外
03
观，提高设计的准确性和美观性。
物理和科学计算中的应用
空间曲面曲线方程
解： 绕 x 轴旋转的曲面方程为：
x2 a2
y2 z2 b2
1
绕 y 旋转的旋转曲面方程为： 称这样的曲面为旋转椭球面
x2 z2 y2 1
a2
b2
例5．求由yoz平面上的直线z=ky绕z轴旋转而成的旋转曲面 方程
解：在z=ky中，把 y 换成 x2 y2 得到所求方程为
z k x2 y2 即 z2 k2(x2 y2)
整理得
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
这就是球心在 M 0 (x0, y0, z0 ) 半径为R的球面方程，是一个二 次曲面
（返回）
二．几种常见的二次曲面
1. 柱面：动直线L沿给定曲线C平行移动形成的曲面 叫做柱面（如图），动直线L叫做柱面的母线，定曲线C 叫做柱面的准线。我们只讨论母线平行与坐标轴的柱面。
上的投影曲线（简称投影），记作 (x , y) 0
z0
（注：空间曲线L在XOY，YOZ平面上的投影如何确定？）
例7 求曲线L
x2 y2 z2 1
在XOY平面上的投影
1 z
2
解：消去z ，得到投影柱面为 x2 y2 3 4
于是L在XOY平面上的投影为
x2 y2 3 4
z0
第七章小结 （习题课） 本章重点 : 1 向量的代数运算：加法、减法、数乘、数量积、向量积 2 向量的模、方向角、方向余弦的概念 3 在一定条件下，求平面或空间直线方程 4 研究平面与平面、直线与直线、平面与直线的相互关系 5 二次曲面的概念，柱面、旋转面等
1 23
x 1 y z 1 3 2 1
x2 2
y 1
曲线与曲面的参数方程
曲线与曲面的参数方程曲线与曲面是数学中非常重要的概念，我们在生活中也可以发现许多物体的形状都可以用曲线与曲面来描述。
这篇文章将介绍曲线与曲面的参数方程，为大家解答这个问题。
一、曲线的参数方程曲线是指在平面或空间中的一条连续的线，因为曲线有弯曲和曲度的特性，所以需要用一种方法来描述它的特性。
参数方程就是一种常用的描述曲线特性的方法。
曲线的参数方程可以用一组参数来表示曲线上的每个点的位置，通常可以表示为：$$\begin{cases}x=f(t) \\ y=g(t)\end{cases}$$这就是二维平面曲线的参数方程，其中 $t$ 是参数，$f(t)$ 和$g(t)$ 是随参数 $t$ 的变化而改变的函数。
例如，坐标系上的圆可以用以下参数方程来表示：$$\begin{cases}x=r\cos t \\ y=r\sin t \end{cases}$$其中 $r$ 是圆的半径，$t$ 的取值范围是 $0\leq t<2\pi $。
当$t=0$ 时，表示圆的起点，当 $t=2\pi$ 时，表示圆的终点。
因为$t$ 是参数，所以可以用不同的参数方程来描述同一个曲线，例如：$$\begin{cases}x=r\cos \omega t \\ y=r\sin \omega t \end{cases}$$其中 $\omega$ 是常数，这也是描述圆的参数方程，只不过经过了缩放，并且运动速度变快了。
同样，空间中的曲线也可以用参数方程来表示，通常可以表示为：$$\begin{cases}x=f(t) \\ y=g(t) \\ z=h(t) \end{cases}$$这就是三维空间中曲线的参数方程，其中 $t$ 是参数，$f(t)$、$g(t)$ 和 $h(t)$ 是随参数 $t$ 的变化而改变的函数。
例如，直线的参数方程可以表示为：$$\begin{cases}x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct \end{cases}$$其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上的一个点，$(a,b,c)$ 是直线的方向向量。
常见曲线曲面方程与图形
旋转双叶双曲面：
x2 a2
y2 z2 c2
1
x
z Oy
旋转单叶双曲面：
x2 y2 a2
z2 c2
1
z
xO y
结束
抛物柱面： •
z
O
x
y
椭圆柱面：
z
•
x2 a2
y2 b2
1
O
y
x
结束
圆柱面：
x2 y2 R2
z
O
y x
结束
椭球面：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
在该点的切线斜率为±1
B
O
Ax
• 顶 点:
• 双纽面积:
结束
三叶玫瑰线
aLeabharlann OxaOx
结束
圆锥面:
z2 x2 y2
z
O
y
x
椭圆锥面:
x2 y2 z2 a2 b2
z
O
y
x
结束
单叶双曲面:
x2 y2 z2
a2
b2
c2
1
z
xO y
双叶双曲面: x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
z
Oy x
即 r a(1 cos )
y
O
a
• 尖点: (0, 0)
x
• 面积:
3 2
π
a
2
• 弧长: 8a
结束
阿基米德螺线 r a
a0
a0
• 物理意义: 动点 M 以常速 v 沿一射线运动, 该射线又
以定速 绕极点转动时, 点M 的轨迹即为
阿基米德螺线
曲线与曲面的参数方程
曲线与曲面的参数方程曲线和曲面是数学领域中的基本概念，它们的研究对于许多学科都有着重要的意义。
在数学中，我们经常会使用参数方程来描述曲线和曲面的性质和特征。
本文将探讨曲线与曲面的参数方程的概念、性质以及应用。
一、曲线的参数方程曲线可以用参数方程来描述，参数方程是将曲线上的点与参数之间的关系表示出来。
假设曲线上的每个点都由参数 t 决定，那么曲线的参数方程可以写作：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z 分别表示曲线上的点的坐标，f(t)、g(t)、h(t) 是参数t 的函数。
通过改变参数t 的取值范围，我们可以得到曲线上的所有点。
例如，我们考虑一个简单的曲线，圆的参数方程可以写作：x = r*cos(t)y = r*sin(t)其中，r 表示圆的半径，t 的取值范围为 0 到2π。
通过改变 t 的值，我们可以获取圆上的任意一点的坐标。
二、曲面的参数方程类似于曲线，曲面也可以用参数方程来描述。
曲面的参数方程是将曲面上的点与两个参数之间的关系表示出来。
假设曲面上的每个点都由参数 u 和 v 决定，那么曲面的参数方程可以写作：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y、z 表示曲面上的点的坐标，f(u, v)、g(u, v)、h(u, v) 是参数 u 和 v 的函数。
例如，我们考虑一个简单的曲面，球面的参数方程可以写作：x = R*sin(u)*cos(v)y = R*sin(u)*sin(v)z = R*cos(u)其中，R 表示球的半径，参数 u 的取值范围为 0 到π，参数 v 的取值范围为 0 到2π。
通过改变 u 和 v 的值，我们可以获取球面上的任意一点的坐标。
三、曲线与曲面参数方程的应用曲线与曲面的参数方程在数学和物理等学科中都有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，参数方程可以用于生成曲线和曲面的图像。
通过控制参数的取值范围和函数的形式，我们可以绘制出各种各样的曲线和曲面。
几种常见的曲面及其方程二次曲面曲线
x y z 2 2 1 2 a a b
y 2 x2 z 2 1 2 2 a b
222aFra biblioteka y
绕 y轴旋转而成的旋转曲面方程为 即
x
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 b a b
例3 求
旋转所形成的旋转抛物面（图7-28）的方程。 解 方程 便得到旋转抛物线的方程为
就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
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1. 椭球面 x2 y 2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
(1)范围： x a,
y b,
z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y 2 2 2 1 , 黄a b z0
xoy 面上的抛物线 x ay 2 (a 0) 绕x轴
x ay 2 中的x 不变， 换成 y 2 z 2
x a( y z )
2 2
例4 求 yoz 面上的直线 z ky(k 0) 绕z轴 z 旋转一周而成的圆锥面的方程。
解 所求圆锥面的方程为
即
y
z k x2 y 2
x
l1
y
z
l2
y
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H ( z, x) 0 表示 柱面,
z
x
l3
x
母线 平行于 y 轴;
y
准线 xoz 面上的曲线 l3.
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3.旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
8.4曲面、曲线及其方程
z2
1
旋 转 椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
球 面
(ii)抛物线 y2 2 pz绕 z 轴； ( Ellipsoid )
x 0
旋转抛物面
x2 y2 2 pz
( Paraboloid )
例9 . 试求顶点在原点且包含3个坐标轴的圆锥面方程.
解:所求的圆锥面可以看成是由 x 轴绕“过原点的旋转 轴,其旋转轴的方向为 OS (1，1，1) 旋转而成的.
f y, x2 z2 0.
绕哪个 轴旋转,该轴所对应的变量不变, 另一个变 量用其它两个变量的平方和的算术平方根(加±号) 代替。
例6. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z轴,半顶角
为 的圆锥面方程.
z
解: 在yoz面上直线L 的方程为
绕z轴旋转时,圆锥面的方程为
L
M1(0, y1, z1)
第四、五节 空间曲面、空间曲线 及其方程
一、空间曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、空间曲线方程的概念 五、空间曲线在坐标面的投影
一、曲面方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程.
解:设轨迹上的动点为 M (x, y, z),则 AM BM ,即 (x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
其中: OM (x, y, z),OM1 (t,0,0) 代入上式得
| OS OM | | OS OM1 | | OS || OM | | OS || OM1 |
化简得 2x 6 y 2z 7Fra bibliotek 0说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹.
曲面曲线方程
例5. 将下列曲线化为参数方程表示:
解: (1)
根据第一方程引入参数 ,
(2) 将第二方程变形为
故所求为
得所求为
七、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
消去 z 得投影柱面
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
半径为 3 的圆
以 z 轴为中心轴的圆柱面
平行于 z 轴的平面
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
(2)
(1)
2.画出图形
(3)
(4)
思考:
交线情况如何?
交线情况如何?
(5)
3.画出下列各曲面影曲线方程为
又如,
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:
上半球面
和锥面
在 xoy 面上的投影曲线
二者交线
所围圆域:
二者交线在
xoy 面上的投影曲线所围之域 .
斜率为1的直线
平面解析几何中
空间解析几何中
方 程
平行于 y 轴的直线
平行于 yoz 面的平面
圆心在(0,0)
下面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍 .
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面
的图形通常为二次曲面.
(二次项系数不全为 0 )
1. 椭球面
(1)范围：
(2)与坐标面的交线：椭圆
与
的交线为椭圆：
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面;
同样
的截痕
及
也为椭圆.
空间曲面与曲线
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
首页
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结束
将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
得方程 f x2 y2 , z 0,
yoz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕 z轴
以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.
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结束
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H(x, y) 0 z 0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz 面上的投影曲线, xoz面上的投影曲线,
R( y, z) 0
x
0
T( x, z) 0
y
0
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结束
x2 y2 z2 1
例1 方程组
表示怎样的曲线？
2x 3 y 3z 6
解 x2 y2 1 表示圆柱面， 2x 3 y 3z 6 表示平面， x2 y2 1 2x 3 y 3z 6
交线为椭圆.
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z a2 x2 y2
例2
方程组
( x
a )2 2
y2 a2 4
表示怎样的曲线？
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结束
3. 空间曲线在坐标面上的投影 z 设空间曲线的一般方程：
F( x, y, z) 0 C : G( x, y, z) 0
( 1 ) ( 2)
C
消去变量z后得：
o
y
: H(x, y) 0
曲面方程、曲线方程
曲线的几何性质
曲线的方程
曲线可以用一个或两个变量来表示，常见的曲线 方程包括直线、圆、抛物线等。
曲线的形状
根据方程的系数和常数项，可以确定曲线的形状。
曲线的长度
对于可求长的曲线，可以使用参数方程来计算其 长度。
交线的几何性质
交线的方程
当两个曲面或曲线相交时，交线可以用一个或两个变量来表示。
交线的形状
根据两个曲面或曲线的方程，可以确定交线的形状。
交线的位置关系
根据两个曲面或曲线的方程，可以确定交线的位置关系，如相交、 相切或相离。
05
曲面与曲线的解析几何 基础
解析几何的基本概念
点的坐标
在解析几何中，点的位置由坐标确定，通常采用二维或三维直角 坐标系。
向量与标量
向量表示大小和方向，标量只有大小。
它通常由两个或三个变量（x, y, z） 表示，并满足一定的条件或等式。
曲面方程的分类
根据方程的复杂性和形式，曲 面方程可以分为多种类型，如 平面、球面、旋转曲面、柱面 等。
每种类型的曲面方程都有其特 定的几何意义和形状特征。
例如，平面方程的一般形式为 Ax + By + Cz = D，球面方程 的一般形式为 x^2 + y^2 + z^2 = R^2。
在物理模拟中，交线可用于描 述物体的运动轨迹和碰撞过程
。
计算机图形学
在计算机图形学中，交线可用 于绘制三维场景和模拟光线追
踪等效果。
04
曲面与曲线的几何性质
曲面的几何性质
曲面方程的表示
曲面可以用方程组来表示，其中包含两个或三 个变量。
曲面上的点
曲面曲线方程
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x y 1, z 0 .
2 2
C
x
o
1
y
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方 程
x5
x y 9
y x 1
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
2.画出图形
x 1 (1) y2
z 4 x y (2) yx0
z
2
2
z
2 y
1
o o
o x
2y
x
(3)
x z a
2
2
2
x2 y2 a2
z
a
o
a
y
x
y 5x 1 (4) y x3
z
y 5x 1 y x3
o
y
z
x2 y2 1 (5) 4 9 y3
及 x 1.
z
(1,1)
x
y2 x
o 1
(1,1)
y
x2 y2 z
x 1 z0
(1)范围：
2
2
2
x a,
y b,
z c
y2 z2 1 , b2 c2 x0 x2 z 2 1 a 2 c 2 y0
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y2 1, 2 2 a b z0
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
7.5曲面与曲线方程
x + y = R 表示圆柱面
E-mail: xuxin@
类似圆柱面给出一般柱面的定义: 类似圆柱面给出一般柱面的定义 一条直线l在空间平行于固定方向运动， 但总和某一条 固定的曲线Γ相交，这样所产生的曲面叫做柱面，
z 直线l 称为母线，曲线Γ叫做柱面的准线.
母线平行与z轴，柱面在xy平面 f ( x, y ) = 0, 母线 l 的准线方程 z = 0, 容易验证此时该柱面的方程
E-mail: xuxin@
【注】此表达式中，缺z。 此表达式中， 。 同理： 同理： φ ( x, z ) = 0 ( y, z ) = 0 为准线，母线分别平行 为准线， 以 , y = 0 x = 0 轴的柱面方程分别为： 于y，z轴的柱面方程分别为： ( x, z ) = 0, ( y, z ) = 0 ， 轴的柱面方程分别为 φ 其中： 其中：y 2 + z 2 = 2 代表母线平行于 轴的圆柱面； 代表母线平行于x轴的圆柱面 轴的圆柱面； 2 x + z 2 = 0 代表母线平行于 轴的圆柱面； 代表母线平行于y轴的圆柱面 轴的圆柱面；
) 2+(yy
) 2+(zz
2=R 2．z )
R M0
M
y
E-mail: xuxin@
设有点A(1,2,3)和B(2,1,4)，求线段 的垂直平 例2 设有点 和 ，求线段AB的垂直平 分面的方程． 分面的方程． 由题意知道，所求的平面就是与A和 等距离的 解 由题意知道，所求的平面就是与 和B等距离的 点的几何轨迹． 点的几何轨迹． 为所求平面上的任一点， 设M(x，y，z)为所求平面上的任一点， ， ， 为所求平面上的任一点 由于 | AM|=|BM|， 所以 ( x 1) 2 + ( y 2) 2 + ( z 3) 2
第三节曲面方程与曲线方程
则所给方程无图形,可称其为虚球.
二、曲线方程
空间两曲面相交,可以得到一条曲线.设
F1(x,y,z)=0 和 F2(x,y,z)=0 为空间两曲面的方程,若它们相交得到一条曲线L,则L上
任一点的坐标必定满足这两个曲面方程.反过来,同时满
x
0.
将L绕z轴旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面,称z轴为
旋转轴.
当曲线L绕z轴旋转时,点M0也绕z轴旋转到点M,这时 z=z0保持不变,且点M到z轴距离恒等于|y0|.于是点M的坐 标满足
z z0, x2 y2 | y0 | . 由于M0(0,y0,z0)在L上,因此
f ( y0, z0 ) 0. 可得点M的坐标应满足的方程为
第三节 曲面方程与曲线方程
一、曲面方程 二、曲线方程 三、母线平行于坐标轴的柱面方程 四、一坐标轴为旋转轴的旋转曲面
一 、曲面方程
定义7.3 若曲面上每一点的坐标都满足某方程，而不在 此曲面上的点都不满足这个方程，则称这个方程是所给 曲面的方程.
三元方程 F(x,y,z)=0 总表示一个空间曲面.
两端平方得 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 表示以点M0(x0,y0,z0)为中心,以R为半径的球面.
例2 研究方程 x2 y2 z2 Mx Ny Sz Q 0
所表示的曲面方程的几何特性.
解 原方程配方得
x2 Mx y2 Ny z2 Sz Q,
f ( x2 y2 , z) 0.
为曲线
f x
(y, z) 0.
0,绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程.
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建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有
z
f ( y1, z1) 0
C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M (x, y, z) , 则有
z z1, x2 y2 y1
故旋转曲面方程为
化简得 2x 6 y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
M (x, y, z)
o x
M1(0, y1, z1)
y
f ( x2 y2 , z) 0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z C : f (y, z) 0
o y
x
f ( y, x2 z2 ) 0
例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程.
z
解: 在yoz面上直线L 的方程为
x
z
C
o
y
z
• x y 0 表示母线平行于
z 轴的平面.
o y
o y
(且 z 轴在平面上) x
x
一般地,在三维空间
方程 F(x, y) 0 表示柱面,
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
第三节
第七章
曲面、空间曲线及其方程
一、空间曲面及其方程 二、空间曲线及其方程
一、曲面方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程.
解:设轨迹上的动点为 M (x, y, z), 则 AM BM , 即
(x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
2 2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
三、柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
距离为 R 的轨迹
方程.
解: 设轨迹上动点为
依题意
即
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
故所求方程为
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
表示上(下)球面 . o x
M0
x
y
z
3. 双曲面
(1)单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1
( a,b, c 为正数)
x
y
(2) 双叶双曲面
z
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a, b, c 为正数)
M
y
例2. 研究方程
表示怎样
的曲面.
解: 配方得
此方程表示: 球心为 M0 (1, 2, 0), 半径为 5 的球面.
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
二、旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
y2 b2
1,
z 0
y2 b2
z2 c2
1,
x 0
x2 a2
z2 c2
1
y 0
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b,c为正数)
(3) 截痕: 与 z z1 ( z1 c)的交线为椭圆：
a2 c2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
z12
)
1
z
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及
的截痕
也为椭圆.
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
2. 抛物面
z
(1) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. x
y
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
z
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
两个基本问题 :
F(x, y, z) 0
z
S
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
o
x
y
求曲面方程.
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
例1. 求动点到定点
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
x a, y b, z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 a2
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3.
z
x l1
y z l2
y
x z l3
x
y
四、二次曲面
三元二次方程
Ax2 By2 Cz 2 Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x2 y2 R2 表示圆柱面
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
•
表示抛物柱面,Biblioteka z母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
•
x2 a2
y2 b2
1表示母线平行于
z 轴的椭圆柱面.
L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z)
y
两边平方
x
z2 a2( x2 y2 )
例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线
分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
z c