高等数学第七章：曲面及其方程

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定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.

表示抛物柱面,
z
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.

x2 a2

y2 b2
1表示母线平行于
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
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二、旋转曲面
定义：以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆 柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x2 y2 R2 表示圆柱面
观察一般柱面的形成过 程:
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f ( y1, z1 ) 0
将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
得方程 f x2 y2 , z 0,
yoz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z轴旋
转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1
,
x 22 y 32 z 42 2
所求方程为

x

22

y

12


z

42

116 .
3
3 9
例3 方程 z ( x 1)2 ( y 2)2 1的图形是怎样的？
作业
P318 4; 5; 6; 7 ;
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
第七章
第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面
一、曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程.
解:设轨迹上的动点为 M (x, y, z), 则 AM BM , 即 (x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2
故所求方程为
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
表示上(下)球面 . o x
M0
M
y
例 2 求与原点O 及M0 (2,3,4)的距离之比为1 : 2 的
点的全体所组成的曲面方程.
解 设M( x, y, z)是曲面上任一点，
（1）双曲线
x2 a2

z2 c2

1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2

y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2

z2 c2

1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆

a
2

z2 c2

1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2

x2 c2
z2

1
绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y, x2 z2 0.
平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变， 而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与 第三个变量的平方和的正负平方根。
例 5 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面
的顶点，两直线的夹角

0



2

叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )

o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
实 例
y2 b2

z2 c2

1
椭圆柱面 // x轴
x2 a2

y2 b2

1
双曲柱面 // z轴
x2 2 pz 抛物柱面 // y 轴
四、小结
曲面方程的概念 F ( x, y, z) 0. 旋转曲面的概念及求法. 柱面的概念(母线、准线).
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
(x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
化简得 2x 6 y 2z 7 0
定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
两个基本问题 :
F(x, y, z) 0
z
S
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
o
x
y
求曲面方程. （讨论旋转曲面）
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
（讨论柱面、二次曲面）
例1. 求动点到定点
距离为 R 的轨迹
方程.
解: 设轨迹上动点为
依题意
即
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
(1) x 2;
(2) x2 y2 4;
(3) y x 1.
思考题解答
方程
平面解析几何中 空间解析几何中
x2
平行于y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
圆心在(0,0) ，
x2 y2 4
半径为2 的圆
以z 轴为中心轴的圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于z 轴的平面
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 y2 z2 a2 c2 1
球 面
（3）抛物线 y2 2 pz 绕 z 轴； x 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
三、柱面
引例. 分析方程
z
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面，
表示圆C, C o
在圆C上任取一点 M1(x, y,0), 过此点作 x M1
z 轴的椭圆柱面.
x
z
C
o
y
z
x y 0 表示母线平行于
z 轴的平面.
o y
o y
(且 z 轴在平面上) x
x
一般地,在三维空间
方程 F(x, y) 0 表示柱面,
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
解 根据题意有 z 1
z
用平面z c 去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时，
c
得到一系列圆
o
y
圆心在(1,2,c)，半径为 1 c x
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3.
z
x l1
y z l2
y
x z l3
x
y
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y 而缺z 的方程F ( x, y) 0 ，在
空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱
面，其准线为 xoy面上曲线C . （其他类推）
这条定直线叫旋 转曲面的轴．
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旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 , y1 x2 y2 代入
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．