高等数学曲面及其方程

以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为R
的球面方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
所求方程为
x
22
y
12
z
42
116 .
3
3 9
例 3 已知A(1,2,3)，B(2,1,4)，求线段AB 的
垂直平分面的方程. 解 设M( x, y, z)是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,
y x 1 斜率为1的直线 平行于z 轴的平面
f y, x2 z2 0.
平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变， 而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与 第三个变量的平方和的正负平方根。
例 5 直线L绕另一条与L 相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的
顶点，两直线的夹角
0
2
叫圆锥面的半顶
角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶
化简得所求方程 2x 6 y 2z 7 0.
例4 方程 z ( x 1)2 ( y 2)2 1的图形是怎样的？
解 根据题意有 z 1
z
用平面z c 去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时，
c
得到一系列圆
o
y
圆心在(1,2,c)，半径为 1 c x
角为 的圆锥面方程．
z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
M1(0, y1, z1 )
o
y
z x2 y2 cot x
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x2 a2
z c
2 2
1分别绕x
轴和z 轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
二、旋转曲面
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的
一条直线旋转一周
所成的曲面称为旋
转曲面.
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
(1) x 2;
(2) x2 y2 4;
(3) y x 1.
思考题解答
方程
平面解析几何中 空间解析几何中
x2
平行于y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
圆心在(0,0) ，
x2 y2 4
半径为2 的圆
以z 轴为中心轴的圆柱面
空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱
面，其准线为 xoy面上曲线C . （其他类推）
实 例
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面 // x轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面 // z轴
x2 2 pz 抛物柱面 // y 轴
四、小结
曲面方程的概念 F ( x, y, z) 0. 旋转曲面的概念及求法. 柱面的概念(母线、准线).
y2 z2 c2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
y2 z2 （2）椭圆 a 2 c2 1绕y 轴和z 轴；
x 0
绕 y 轴旋转
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y2 a2
x2 c2
z2
1
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
球 面
（3）抛物线 y2 2 pz 绕z 轴； x 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
这条定直线叫旋转
曲面的轴．
播放
旋转过程中的特征：
如图 设 M ( x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 , y1 x2 y2 代入
f ( y1, z1 ) 0
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
例 2 求与原点O 及M0 (2,3,4)的距离之比为1 : 2 的
点的全体所组成的曲面方程.
解 设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
得方程 f x2 y2 , z 0,
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
曲面及其方程
一、曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系： （1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z) 0 就叫做曲面S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形．
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫
柱面的母线.
观察柱面的形
成过程:
播放
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y 而缺z 的方程F ( x, y) 0 ，在