几种常见的曲面及其方程.

方程 F(x, y) 0 表示柱面,
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3.
z
x l1
1) y1 b 时, 截痕为双曲线:
x2 a2

z2 c2
1
y12 b2
y y1
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 ac y b (或 b)
3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 a2

z2 c2
1
y12 b2
y z l2
x z l3
x
y y
3、旋转曲面
一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有
z
f ( y1, z1) 0
C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M (x, y, z) , 则有
z z1, x2 y2 y1
故旋转曲面方程为
M (x, y, z)
o x
M1(0, y1, z1)
y
f ( x2 y2 , z) 0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z C : f (y, z) 0
x2 a2

y2 b2

z2
x2 a2

y2 b2
1
三、曲线 1、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
2C
o 1y
x
又如,方程组
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
得到, 见书 P316 )
内容小结
1. 空间曲面
三元方程 F(x, y , z) 0
• 球面 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
• 旋转曲面
如,
曲线

f (y, z) x0

0
绕
z
轴的旋转曲面:
• 柱面
f ( x2 y2 , z) 0
x
T
C
(x, z) y0
0
又如,
上半球面
和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:
xoy 面上的投影曲线所围之域 .
二者交线在
二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线
所围圆域: x2 y2 1, z 0.
Co x
1y
几种常见的曲线及在坐标平 面上的投影
x 1
(1)
(2)
分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2

y2 z2 c2
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2

z2 c2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
二、二次曲面
三元二次方程
Ax2 By2 Cz 2 Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 0
o y
x
f ( y, x2 z2 ) 0
例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程.
z
解: 在yoz面上直线L 的方程为
L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z)

y
两边平方
x
z2 a2( x2 y2 )
例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线
第四节 曲面与曲线
第七章
一、几种常见的曲面及其方程
二、二次曲面 三、曲线
1. 空间一动点到定点的距离为定值，该动点轨 迹叫球面。 定点叫球心，定值叫半径。
设轨迹上动点为
定点
定值为R，由两点间距离公式
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
作业
P32 3， 4，5，6， 7， 8， 9，10，11，12
2、柱面. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
•
x
2

y2
R2
圆柱面
x2 a2

y2 b2
1
椭圆柱面C.
M
o
M1 x
z
C
o
y
抛物柱面,
lz
z
x y 0 经过z 轴的平面.
以上的柱面母线 都平行于Z轴
o y
o y
x
x
一般地,在三维空间
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. x
y
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
z
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
x
y
3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
x2 a2

y2 b2

z c
2 2
1
( a,b,c 为正数)
x
y
平面 z z1 上的截痕为 椭圆.
平面 y y1上的截痕情况:
0
y y1
(实轴平行于z 轴;
虚轴平行
x
y
(2) 双叶双曲面
z
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1
( a, b, c 为正数)
平面 y y1 上的截痕为 双曲线
平面 x x1 上的截痕为 双曲线 x 平面 z z1 ( z1 c)上的截痕为 椭圆
oy
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
a2 c2
x2 (c2
z12
)

b2 c2
y2 (c2
z12
)

1
z
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及
的截痕
也为椭圆.
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
2. 抛物面
z
(1) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
z M0
M
表示上(下)球面 . o
y
x
例2. 研究方程
表示怎样
的曲面.
解: 配方得
此方程表示: 球心为 M0 (1, 2, 0), 半径为 5 的球面.
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
y2
z
z 4 x2 y2 yx0
z
oo
2y
1
x
o
2y
x
(3) x2 z2 a2 x2 y2 a2
z
a
oa
y
x
P324 题2 (1)
y 5x 1 y x3
z
y 5x 1
y x3 o
y
x2 y2 1 49 y3
z
2
3y
x
z
z
x xz20y2 ax
如,曲面F(x , y) 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
• 抛物面:
( p, q 同号)
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2

y2 b2
1
• 椭圆锥面:
ay
x
2、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:
z
称它为空间曲线的 参数方程.
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
令 t , b v
M o
x y
上升高度 h 2 b, 称为螺距 .
例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
x a, y b, z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 a2

y2 b2
1,
z 0
y2 b2

z2 c2
1,
x 0
x2 a2

z2 c2
1
y 0
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
( a,b,c为正数)
(3) 截痕: 与 z z1 ( z1 c)的交线为椭圆：
(2) 将第二方程变形为
故所求为
3、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
消去 z 得投影柱面
z
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
C
H (x, y) 0
z 0
y
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
R(
y, z) x0
0
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1 单叶双曲面 1 双叶双曲面
图形
z
4. 椭圆锥面
z
x2 a2

y2 b2

z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2

y2 (bt)2
1,
zt
①
xx
o yy
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：