几种常见的曲面及其方程

x

z0
C 1y
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例6
求曲线

x2 y2 z 2 1, z x2 y2
关于 xoy 面的投影柱面及投影的方程。
解 将方程组中的第二个方程代入第一个方程，得
曲线 关于 x面oy的投影柱面的方程为
x2 y2 1 2
（是圆柱面），在 xoy面的投影方程为
（图7-34），试图建立其参数方程。 解 取时间t 为参数，设 时动点在 A(a,0,0) 处， 动点在点 M (x,ty=, z0) 处，过点 作xoy 面的垂线，则 垂足的坐标为 M (xM, y,0) 由于AOM 是动点在时间t 内转过的角度，而线段 MM 的长 MM 是时间t内动
即
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
z
特别,当M在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
z R2 x2 y2 表示上(下)球面 .
o x
M0
M
y
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例1 方程 x2 y2 z2 4x 2z 0 表示怎样的曲面. 解 通过配方，把原方程写成
点上升的高度，所以经过时间t，得
AOM t, MM vt
从而
x a cos AOM a cost, y a sin AOM a sin t,
z MM vt.
因此螺旋线的参数方程为
x a cos t,

y

a sin t,
平行z轴的直线l, 对任意z, 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x2 y2 R2 表示圆柱面
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定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线l 形成
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3.
z
x l1
y
z l2
x
z
l3
x
y y
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3.旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
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建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程下, 面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍 .
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
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1. 椭球面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
( a,b,c为正数)
(1)范围： x a, y b, z c
第四节曲面及其方程
•几种常见的曲面及其 方程 •二次曲面 •曲线
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一、几种常见的曲面及其方程
1.球面 动点为 M (x, y, z), 定点为 M 0 (x0, y0, z0 ) ，定值为 R 由两点间距离公式得
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
分别绕
z
轴和
y 轴旋转，求所形成的旋转曲面方程。
解 绕 轴z 旋转而成的旋转曲面方程为
z
x2 y2 z2
1
a2
b2
即
x2 y2 z2
1
a2 a2 b2
b
a
Oy
a
绕 y轴旋转而成的旋转曲面方程为 x
y2 x2 z2 1
a2
b2
即
x2 y2 z2 1
b2 a2 b2
y


y

a
sin

z b
当 2时，上升高度 h 2 b, 称为螺距 .
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例5 设一动点 在圆柱面 x2 y2 a2 上以角速度
M绕z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于z 轴的正方
向上升( 都,v 是常数) 则点M的几何轨迹叫做螺旋 线
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数
t 的函数:
z
x x(t)

y

y(t)
z z(t)
称它为空间曲线的 参数方程.
M
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
x a cost

y

a
sin t
z vt
owk.baidu.com
令 t , b v x a cxos
x
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一般地,在三维空间 方程 F(x, y) 0 表示 柱面,
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1. 方程 G( y, z) 0 表示 柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2. 方程 H (z, x) 0 表示 柱面,
y
故旋转曲面方程为
x
f ( x2 y2 , z) 0
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思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f (y, z) 0
o
y
x
f ( y, x2 z2 ) 0
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例2 将
yoz
面上的椭圆
y2 z2 a2 b2 1
z vt.
2.空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为 消去 z 得投影柱面 H (x, y)
0
F ( x, G(x,
y, y,
z) z)

0 0
z
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
C
H (x, y) 0

z0
y
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
R(y, z) 0

x0
x C
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
T (x, z) 0

y0
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例如,
x2 y2 z2 1
z
C
:

x2

(y
1)2

(z
1)2
1
在xoy 面上的投影曲线方程为
o
x2 2y2 2y 0
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l叫做母线.
• y2 2x 表示抛物柱面,
z
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
x
• x2 y2 1 表示母线平行于
a2 b2
z 轴的椭圆柱面. z
C
o
y
z
• x y 0 表示母线平行于
o
o
z 轴的平面.
y
y
(且 z 轴在平面上) x
(x 2)2 y2 (z 1)2 5. 对比（1）式知，它表示球心在点（2,0,-1）,半径为
5 的球面.
三、柱面
z
引例. 分析方程 x2 y2 R2
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，x2 y2 R2 表示圆C, C o
y
在圆C上任取一点M1 (x, y, 0) , 过此点作 x M1
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2
黄

a2

y2 b2
1,
z 0
绿
y2

b2

z2 c2
1,
红
x 0
x2

a
2
z2 c2
1
y 0
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x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(3) 截痕: 与 z z1 ( z1 c)的交线为椭圆：
例3 求 xoy 面上的抛物线 x ay2 (a 0) 绕x轴 旋转所形成的旋转抛物面（图7-28）的方程。
解 方程 x ay2 中的x 不变， 换成 y2 z2
便得到旋转抛物线的方程为
x a( y2 z2 )
例4 求 yoz 面上的直线 z ky(k 0) 绕z轴
x2 y 2 1 ,

2
z 0
（是 xoy面上的圆）
给定 yoz 面上曲线 C: f (y, z) 0
若点 M1 (0, y1, z1 ) C, 则有
z
f ( y1, z1 ) 0
C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M (x, y, z) , 则有
z z1, x2 y2 y1
M (x, y, z)
o
M1 (0, y1, z1 )
z
x2

y2
1
a2 c2
(c2

z12 )
b2 c2
(c2

z12 )
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及 x x1 ( x1 a ) 的截痕
也为椭圆.
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
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z 2.椭圆抛物面
x2 y2 z 2p 2q
( p , q 同号)
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.
y
x
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三、曲线
1.曲线方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
F(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0 例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
旋转一周而成的圆锥面的方程。 z
y
解 所求圆锥面的方程为
z k x2 y2
即
O
x
z2 k2 (x2 y2 )
二、二次曲面 三元二次方程
Ax2 By2 Cz2 Dxy Eyx Fzx
Gx Hy Iz J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面.其基本类型有:
x2 y2 1 2x 3z 6
z
2C
表示圆柱面与平面的交线 C.
o 1y
x
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又如,方程组
z
z a2 x2 y2

x2

y2
ax

0
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay
x
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空间曲线的参数方程