上海市普陀区2020年高考数学二模试卷(理科)含答案解析

2020年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．若集合A={x|y=，x∈R}，B={x||x|≤1，x∈R}，则A∩B=．2．若函数f（x）=1+（x＞0）的反函数为f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞2的解集为．3．若sinα=且α是第二象限角，则=．

4．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），则f在（x3﹣）8

的展开式中，其常数项的值为．

6．若函数f（x）=sin2x，g（x）=f（x+），则函数g（x）的单调递增区间为．7．设P是曲线（θ为参数）上的一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹的普通方程为．

8．在极坐标系中，O为极点，若A（1，），B（2，），则△AOB的面积为．

9．袋中装有5只大小相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从该袋中随机地取出3只，被取出的球

中最大的号码为ξ，则Eξ=．

10．若函数f（x）=log5x（x＞0），则方程f（x+1）+f（x﹣3）=1的解x=．11．某同学用球形模具自制棒棒糖．现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为3cm，高为10cm），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为cm2（损耗忽略不计）．

12．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的

点P1，P2，…P10，记m i=•（i=1，2，3，…，10），则m1+m2+…+m10的值

为．

13．设函数f（x）=，记g（x）=f（x）﹣x，若函数g（x）有且仅有

两个零点，则实数a的取值范围是．

14．已知n∈N*，从集合{1，2，3，…，n}中选出k（k∈N，k≥2）个数j1，j2，…，j k，使之同时满足下面两个条件：①1≤j1＜j2＜…j k≤n；②j i+1﹣j i≥m（i=1，2，…，k﹣1），则

称数组（j1，j2，…j k）为从n个元素中选出k个元素且限距为m的组合，其组合数记为

．例如根据集合{1，2，3}可得．给定集合{1，2，3，4，5，6，7}，可得=．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15．若a、b表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）

A．若a⊥α，a⊥b，则b∥αB．若a∥α，a⊥b，则b⊥α

C．若a⊥α，b⊆α，则a⊥b D．若a∥α，b∥α，则a∥b

16．过抛物线y2=8x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（）

A．有且只有一条 B．有两条C．有无穷多条D．必不存在

17．若z∈C，则“|Rez|≤1，|Imz|≤1”是“|z|≤1”成立的条件．（）

A．充分非必要B．必要非充分

C．充要 D．既非充分又非必要

18．对于正实数α，记Mα是满足下列条件的函数f（x）构成的集合：对于任意的实数x1，x2∈R且x1＜x2，都有﹣α（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜α（x2﹣x1）成立．下列结论中正确的是（）

A．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，则f（x）•g（x）∈

B．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2且g（x）≠0，则∈

C．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，则f（x）+g（x）∈

D．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2且α1＞α2，则f（x）﹣g（x）∈

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为1，C1B与底面ABCD所成的角的大小为arctan2，如果平面BD1C1与底面ABCD所成的二面角是锐角，求出此二面角的大小（结果用反三角函数值）．

20．已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．

（Ⅰ）若x∈[0，]，求f（x）的取值范围；

（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=，

b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．

21．某企业参加A项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润10（a

﹣）万元（a＞0），A项目余下的工人每年创造利润需要提高0.2x%．

（1）若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B项目从事售后服务工作？

（2）在（1）的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a的取值范围．

22．已知椭圆Γ： +=1的中心为O，一个方向向量为=（1，k）的直线l与Γ只有

一个公共点M．

（1）若k=1且点M在第二象限，求点M的坐标；

（2）若经过O的直线l1与l垂直，求证：点M到直线l1的距离d≤﹣2；

（3）若点N、P在椭圆上，记直线ON的斜率为k1，且为直线OP的一个法向量，且=，求|ON|2+|OP|2的值．

23．已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=a n•a n+1（n∈N*）

（1）求证：数列{a n}是等差数列；

（2）设数列{b n}满足：b n=，且（b k b k+1+b k+1b k+2+…+b n b n+1）=，求正整数k的值；

（3）若m、k均为正整数，且m≥2，k＜m．在数列{c k}中，c1=1，=，求c1+c2+…+c m．