不等式的证明测试题及答案

不等式的证明

班级 _＿＿__ 姓名＿＿＿_＿

一、选择题（本大题共１0小题，每小题5分，共50分) 1.若a >0, ｂ ＞0,则)11)((b

a b a ++ 的最小值是 ﻩ( ) A.2

Ｂ．22

C ．24

Ｄ.４

2．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的ﻩ （

）

A ．必要条件ﻩﻩB.充分条件

C ．充要条件

D.必要或充分条件

3.设a 、ｂ为正数，且a + ｂ≤4，则下列各式中正确的一个是

ﻩ

（ ）

Ａ.

111<+b

a B.

111≥+b

a C.

211<+b a ﻩD.21

1≥+b

a 4.已知ａ、

b 均大于1，且ｌog a C ·ｌog b C=4,则下列各式中,一定正确的是

（ ）

A.a ｃ≥b

B.a b ≥c ﻩ

C.bc ≥ａﻩＤ.a b ≤c

５.设a =2，ｂ=37-,26-=

c ,则a 、b 、c 间的大小关系是

（ ）

Ａ．ａ>ｂ>c

B ．ｂ>a >c ﻩC.b>c>a D.a >c>b

6．已知a 、b 、m 为正实数,则不等式

b

a m

b m a >++ﻩﻩ ( ）

Ａ.当a ＜ ｂ时成立

B.当a ＞ b 时成立 ﻩ

C ．是否成立与ｍ无关ﻩD.一定成立

7．设x 为实数,Ｐ=ｅx +e -ｘ

，Ｑ=（ｓi ｎx +cos x )２

，则P 、Q 之间的大小关系是ﻩﻩ( ﻩ )

Ａ．P ≥Q ﻩB.Ｐ≤Q ﻩC ．P>Q ﻩD ． Ｐ

８.已知a > ｂ且a + b <0，则下列不等式成立的是ﻩﻩﻩ（ ﻩ ）

A.

1>b

a B ．

1≥b

a Ｃ．

1

a D.

1≤b

a ９.设a 、

b 为正实数，Ｐ=a a b b ,Q=a b b a ，则P 、Q 的大小关系是 ﻩ

ﻩ（ﻩ ）

Ａ.P ≥Q

B.P ≤Q ﻩＣ.P ＝Q

Ｄ.不能确定

１0．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度m 行走，另一半时

间以速度n 行走;乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度ｎ行走,若ｍ≠n ，则甲、乙两人到达指定地点的情况是ﻩﻩﻩﻩ( ) Ａ.甲先到

B.乙先到

C.甲乙同时到ﻩ

D.不能确定

二、填空题

11.若实数,,x y z 满足23()x y z a a ++=为常数，则2

2

2

x y z ++的最小值为

12.函数2

12

()3(0)f x x x x =+

>的最小值为_______＿___＿_。 １３.使不等式a ２>b 2，1>b

a ,l ｇ(a -ｂ)>0， 2a >２ｂ

-1同时成立的a 、b 、1的大小关系

是 .

1４．建造一个容积为8m 3,深为２m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别

为１20元和8０元，则水池的最低总造价为 元． 三、解答题

15．（1）若ａ、ｂ、c 都是正数，且a +b+c=1,

求证: (１–a ）(1–ｂ）(1–c)≥8a bc.

(2）已知实数,,a b c 满足a b c >>,且有2

2

2

1,1a b c a b c ++=++= 求证：4

13

a b <+<

16．设2

1

log log 21,0,1,0+>≠>t t t a a a a 与试比较的大小．（12分）

17．(１)3

a b c

++ （2)已知a ，b ,c 都是正数,且ａ,b ,c 成等比数列，求证:2

222)(c b a c b a +->++

18．（1）已知ｘ2 = a 2 + b ２

，y 2 ＝ ｃ2 + d 2,且所有字母均为正，求证：ｘy ≥ac

＋ bd ．

(2) 已知,,x y z R ∈,且2228,24x y z x y z ++=++=

求证:444

3,3,3333

x y z ≤≤≤≤≤≤

19．设计一幅宣传画，要求画面面积为４840cm ２

，画面的宽与高的比为λ（λ<1)，画面的

上下各留8cm 空白,左、右各留５c ｍ空白,怎样确定画面的高与宽尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小?

20.数列{x n }由下列条件确定:N n x a

x x a x n

n n ∈+=

>=+),(21,011. （Ⅰ）证明:对n ≥2，总有ｘn ≥a ； （Ⅱ）证明：对n ≥２，总有x ｎ≥1+n x ．

参考答案

一.选择题(本大题共1０小题,每小题5分，共50分）

二.填空题（本大题共4小题,每小题6分，共2４分）

11．214

a 12.9 1３．a >

b ＞1

14．1７60

三、解答题（本大题共６题,共76分) 15.（１2分）

［证明]：因为ａ、ｂ、c 都是正数,且a +ｂ+c=1,

所以(1–a ）(1–b)(１–c)=（b+c ）( a ＋c ）( a ＋b)≥２

bc ·2ac ·2ab =8a b ｃ．

１6．(1２分）

[解析 ]: t

t t t a

a

a 21log log 2

1log +=-+ t t t 21,0≥+> （当且仅当t=1时时等号成立)

121≥+∴

t t (１) 当t=１时,t t a a

log 2

1

log =+ (２） 当1≠t 时，

121

>+t

t ,

若t t t

t a a

a a log 2

12

1log ,021log ,1>+>+>则

若t t t t a a

a a log 2

121log ,021log ,10<+<+<<则 1７.（1２分）