备战中考--第20讲等腰三角形--(附解析答案)

备战2019中考初中数学导练学案50讲

第20讲等腰三角形

【疑难点拨】

1.与等腰三角形有关的问题，要分析问题的全面性和思考问题的周密性．

（1）腰和底不分:解决等腰三角形求边长或周长问题时，解题关键是要分情况讨论，明确已知边是腰还是底，并根据三角形的三边关系定理检验各情况是否成立．

（2）顶角和底角不分:根据等腰三角形的性质求角的度数时，要分是顶角还是底角两种情况进行讨论．另外，若角度改变时还要考虑利用三角形的内角和定理验证三角形是否存在．

（3）顶角顶点和底角顶点不分:判定一个三角形是否为等腰三角形，关键是将三角形的三个顶点分别作为顶角顶点进行讨论，把情况考虑完整．

（4）锐角三角形和钝角三角形不分:等腰三角形为锐角三角形或钝角三角形时，一腰上的高可能在三角形内，也可能在三角形外，要注意分两种情况讨论．解决此类问题的关键是注意等腰三角形的顶角为锐角和钝角时一腰的垂直平分线与另一腰的交点位置不同，应分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．

2. 巧用轴对称构等腰三角形解题：

在几何解题中,若遇有高线、角平分线、线段的垂直平分线,可根据图形的轴对称性,巧妙构造等腰三角形,借助等腰三角形的有关性质,往往能够迅速找到解题途径,直观易懂,简捷明快.

（1）图形含有垂线（或高线）, 以垂线（或高线）为对称轴构等腰三角形

（2）图形含有角平分线, 以角平分线为对称轴构等腰三角形[

（3）图形含有线段的垂直平分线, 以垂直平分线为对称轴构等腰三角形

根据图形的轴对称,巧妙构造等腰三角形,可迅速找到解题途径,构思新颖,方法独特,不仅能使问题化难为易,迎刃而解,而且有助于培养同学们探索求新的学习习惯,提高数学思维能力和几何解题能力．

【基础篇】

一、选择题：

1.（2018•宿迁）若实数m、n满足等式|m﹣2|+=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）

2.（2017湖北荆州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（）

A．30° B．45° C．50° D．75°

3.（2018•湖州）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（）

A．20° B．35° C．40° D．70°

4. （2017浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC 的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（）

A．1 B．C．D．2

5.（2018•山东枣庄•3分）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

二、填空题：

6.（2018•四川成都•3分）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为________．

7.（2018•娄底）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF= . cm．

8.（2018四川省泸州市3分）如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC 上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为．

三、解答与计算题：

9.（2018•徐州）（A类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，求证：∠A=∠C．（B类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C，求证：AD=CD．

10.（2018•绍兴）数学课上，张老师举了下面的例题：

例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：35°）

例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°）

张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：

变式等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．

（1）请你解答以上的变式题．

（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．

【能力篇】

一、选择题：

11.（2018•江苏扬州•3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：

①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）

A．①②③B．①C．①② D．②③

12.（2017广西河池）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（）

A．3 B．4 C．8 D．9

13.（2017毕节）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，则下列判断不正确的是（）

A．△AEE′是等腰直角三角形B．AF垂直平分EE'

C．△E′EC∽△AFD D．△AE′F是等腰三角形

二、填空题：

14.（2018•吉林）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的

“特征值”，记作k，若k=，则该等腰三角形的顶角为度．

15.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=130°，在BC、CD上分别找一点E、F，当△AEF周长最小时，∠AEF+∠AFE的度数是．

三、解答与计算题：

16.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．

（1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．

（2）若△ABC的底边长5，周长为21，求△BCD的周长．

17.如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．

（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由；