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立体几何大题20道

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立体几何经典大题(各个类型的典型题目)

立体几何经典大题(各个类型的典型题目)

1．如图，已知△ABC 是正三角形，EA ，CD 都垂直于平面ABC ，且EA ＝AB ＝2a ，DC ＝a ，F 是BE 的中点．（1）FD ∥平面ABC ；（2）AF ⊥平面EDB ．2．已知线段PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点。

（1）求证：MN //平面PAD ； （2）当∠PDA ＝45°时，求证：MN ⊥平面PCD ；F CBAEDA B C D EF 3．如图，在四面体ABCD 中，CB=CD,BD AD ⊥，点E ，F 分别是AB,BD 的中点．求证： （1）直线EF// 面ACD ； （2）平面⊥EFC 面BCD ．4．在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC （1）若D 是BC 的中点，求证 AD ⊥CC 1；（2）过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1， 求证 截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；（3）AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗？请你叙述判断理由]立体几何大题训练(3)C15. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、G 分别是A 1A ，D 1C ，AD 的中点． 求证：（1）MN//平面ABCD ； （2）MN ⊥平面B 1BG ．6. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点． （1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．立体几何大题训练(4)7、如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB=4，BC=CD=2，AA 1=2，_ G_ M _ D_1_ C_1_ B_1_ A_1_ N_ D _ C_ B _ ABA 1FE、E1分别是棱AD、AA1的中点(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥面FCC1；(2)证明：平面D1AC⊥面BB1C1C。

立体几何100题

立体几何100题

立体几何100 题1. 如图，三角形中，，是边长为l 的正方形，平面底面，若分别是的中点.（1）求证：底面；（2）求几何体的体积.2．在三棱锥P ABC 中，PAC 和PBC 是边长为 2 的等边三角形，AB 2 ，O,D分别是AB, PB 的中点.（1）求证：OD / / 平面PAC ；（2）求证: OP 平面ABC ；（3）求三棱锥 D ABC 的体积.3．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1 中，0BAC 90 ，AB AC 2 ，点M , N 分别为A1C1, AB1 的中点.（1）证明：MN / / 平面BBC C ；1 1（2）若CM MN ，求三棱锥M NAC 的体积..4．如图，在三棱柱中，平面，点是与的交点，点在线段上，平面.（1）求证：；（2）若, 求点到平面的距离.5 ．如图，四棱锥P A B C中，底面ABCD 是直角梯形，1AB BC, AD / /BC, AB BC AD ，PAD 是正三角形， E 是PD 的中点．2（1）求证：AD PC ；（2）判定CE 是否平行于平面PAB ，请说明理由．6．如图，在四棱锥S ABCD 中，侧面SAD 底面ABCD ，SA SD ，AD / /BC ，AD 2BC 2CD ，M ，N 分别为AD ，SD的中点．（1）求证：SB/ / 平面CMN ；（2）求证：BD 平面SCM ．7．如图，在矩形中，，平面，分别为的中点，点是上一个动点．(1) 当是中点时，求证: 平面平面；(2) 当时，求的值．8．如图，在正三棱柱A1B1C1 ABC 中，点D, E 分别是A1C,AB 的中点．求证：ED ∥平面B BC C1 1若A B 2BB 求证：A1B⊥平面B1CE.19．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1 中，AB 2, AD 1, A1A 1.（1）证明直线B C 平行于平面D1AC ；1（2）求直线B C 到平面D1AC 的距离.110．如图所示，菱形ABCD 与正三角形BCE 所在平面互相垂直，FD 平面ABCD ，且AB ，FD 3 .2（1）求证：EF / / 平面ABCD ；（2）若C BA ，求几何体EFABCD 的体积.311．在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，AB＝AC，E 是BC的中点，求证：（Ⅰ）平面AB1E⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）A1C// 平面AB1E．12．如图，在三棱柱中，平面，，，点为的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.13．如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，，，为中点，平面平面.(1)证明：；(2)求三棱锥的体积.14．已知三棱锥，，，为的中点，平面，，，是中点，与所成的角为，且.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.15．在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，，.（1）设是上一点，求证：平面平面.（2）求四棱锥的体积.16．如图，在四棱锥P ABCD中，PA底面A B C D，底面A B C D为菱形，ABC，PA PB1,E为PC的中点60.（1）求证：PA / / 平面BDE ；（2）求三棱锥P BDE 的体积.17．如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）ABC A1B1C1 中，点G 是AC 的中点．（1）求证：B1C / / 平面A1BG ；（2）若A B BC ，AC 2 AA1 ，求证：AC1 A1B．18．如图所示，四棱锥S ABCD 中，平面SAD 平面ABCD ，SA AD ，AD / /BC ，4SA BC AB 2 AD 4 ．3（1）证明：在线段SC 上存在一点 E ，使得ED / / 平面SAB；（2）若AB AC ，在（1）的条件下，求三棱锥S AED 的体积．19．（本小题共12 分）如图，边长为 3 的正方形ABCD 所在平面与等腰直角三角形ABE 所在平面互相垂直，AE AB ，且EM 2MD ，AB 3AN .（Ⅰ）求证：MN / / 平面BEC ；（Ⅱ）求三棱锥 E BMC 的体积.20．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为的中点，平面底面.（1）求证:平面；（2）若，求三棱锥的体积.21．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中点，求证：（Ⅰ）平面AB1E⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）A1C//平面AB1E．22．如图1，四边形ABCD为等腰梯形，AB2,AD DC CB1，将ADC沿AC 折起，使得平面ADC平面ABC，E为AB的中点，连接DE,DB.（1）求证：BC AD；（2）求E到平面BCD的距离.23．如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）设，求三棱锥的体积．24．如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，，，为中点，平面平面.(1) 证明：；(2) 求三棱锥的体积.25．如图1，在矩形中，，，是的中点，将沿折起，得到如图 2 所示的四棱锥，其中平面平面.（1）证明：平面；（2）设为的中点，在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.26．如图，在四棱锥P ABCD 中，ABC ACD 90 ，BAC CAD 60 ，PA 平面ABCD ，PA 2, AB 1. 设M ,N分别为PD, AD 的中点.（1）求证：平面CMN ∥平面PAB ；（2）求三棱锥P ABM 的体积.27．如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA12，P为棱B B上的一个动点.1（1）求三棱锥C PAA的体积；1（2）当A P PC取得最小值时，求证：1PD平面PAC.128．在三棱柱ABC A1B1C1中，已知侧棱CC1底面ABC,M为BC的中点，AC AB3,BC2,CC2.1（1）证明:B C平面AMC1；（2）求点A1到平面AMC1的距离.129．五边形ANB1C1C是由一个梯形ANB1B与一个矩形BB1C1C组成的，如图甲所示，B为AC的中点，A C CC12AN8．先沿着虚线BB1将五边形ANB1C1C折成直二面角A BB C，如图乙所示．1（Ⅰ）求证：平面BNC平面C B N；（Ⅱ）求图乙中的多面体的体积．1130．如图1，AFA1中，FA FA1,AA18，CF2，点B,C,D为线段AA1的四等分点，线段BE,CF,DG互相平行，现沿BE,CF,DG折叠得到图2所示的几何体，此几何体的底面ABCD为正方形.（1）证明：A,E,F,G四点共面；（2）求四棱锥B AEFG的体积.31．如图，三棱锥P ABC中，PC平面ABC，F,G,H分别是PC,AC,BC的中点，I是线段FG上的任意一点，PC AB2BC2，过点F作平行于底面ABC的平面DEF交AP于点D，交BP于点E.（1）求证：HI//平面ABD；（2）若AC BC，求点E到平面FGH的距离.32．如图，已知正方体的棱长为3，分别是棱、上的点，且.（1）证明：四点共面；（2）求几何体的体积.33 ．如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1 中，已知平面AA1C1C 平面A B C D，且AB BC CA 3，AD CD 1．（1）求证：BD AA1 ；（2）若E 为棱BC 的中点，求证：AE / / 平面DCC1D1 ．34．如图，在三棱柱ABC A1B1C1 中，底面ABC 是等边三角形，且AA1 平面ABC , D 为AB 的中点，( Ⅰ) 求证：直线B C1 / / 平面A1CD ；( Ⅱ) 若A B BB1 2,E 是B B1 的中点，求三棱锥A1 CDE 的体积；35．如图，将菱形沿对角线折叠，分别过，作所在平面的垂线，，垂足分别为，，四边形为菱形，且.（1）求证：平面；（2）若，求该几何体的体积.36．如图，在四棱锥P ABCD中，AD CD，PC平面ABCD.1PC AD CD AB2，AB//DC，2（1）求证：BC平面PAC；（2）若M为线段PA的中点，且过C,D,M三点的平面与线段PB交于点N，确定点N的位置，说明理由；并求三棱锥A CMN的高.37．如图，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱OB底面ABCD，且侧棱OB的长是2，点E,F,G分别是AB,OD,BC的中点.（Ⅰ）证明：OD平面EFG；（Ⅱ）求三棱锥O EFG的体积.38．如图，多面体ABCDEF中，AD//BC,AB AD,FA平面ABCD,FA//DE，且AB AD AF2BC2DE2.（Ⅰ）M为线段EF中点，求证：CM//平面ABF；（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积.39．在如图所示的几何体中，四边形BB1C1C是矩形，BB1平面ABC，A1B1//AB,AB2A1B1,E是AC的中点.（1）求证：A1E//平面BB1C1C；（2）若AC BC，A B2BB，求证平面BEA1平面AA1C1.140．如图，四边形ABCD为梯形，AB CD，PD平面A B C D，BAD ADC90，DC2AB2a，DA3a，E为BC中点.（1）求证：平面PBC平面PDE；（2）线段PC上是否存在一点F，使PA平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明：若无，请分析说明理由.41．已知四棱锥S ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，SA SD5,SB7，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且S FSC，SA//平面BEF．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求三棱锥F EBC的体积．42．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=CA=A1=A2，侧棱AA1⊥平面ABC，且D，E分别是棱A1B1，AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=14 AB。

立体几何综合大题20道(理)

立体几何综合大题20道(理)

立体几何综合大题（理科）40道及答案1 、四棱锥P ABCD 中, PA ⊥底面ABCD , PA23 , BC CD 2 , ACB ACD .3( Ⅰ) 求证: BD ⊥平面PAC ；( Ⅱ) 若侧棱PC 上的点F 满足PF 7FC , 求三棱锥P BDF 的体积。

【答案】( Ⅰ) 证明: 因为BC=C，D即B C D为等腰三角形，又ACB ACD , 故BD AC . 因为PA 底面ABCD，所以PA BD , 从而BD 与平面PAC 内两条相交直线PA, AC 都垂直，故⊥平面。

BD PAC1 1 2( Ⅱ) 解： 3S BCD .BC CD sin BCD 2 2 sin2 2 31 1由PA 底面ABCD知VP BDC BCD3 2 3 2 .S PA3 31由PF 7FC,得三棱锥F BDC 的高为PA8,故：1V F BDC S BCD318PA133182 314V P V V BDF P BCD F BCD214742、如图，四棱锥P ABCD中，四边形ABCD 为矩形，PAD 为等腰三角形，APD 90 ，平面PAD 平面ABCD，且A B1,A D 2 ，E, F 分别为PC 和BD 的中点．（Ⅰ）证明：EF平面PAD；（Ⅱ）证明：平面PDC平面PAD；（Ⅲ）求四棱锥P ABCD的体积．PEDCOFAB【答案】（Ⅰ）证明：如图，连结AC．∵四边形ABCD为矩形且F是BD的中点．∴F也是AC的中点．又E是PC的中点，EF AP∵EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF平面PAD；（Ⅱ）证明：∵平面PAD平面ABCD，CD AD，平面PAD平面ABCD AD，所以平面CD平面PAD，又PA平面PAD，所以PA CD又PA PD，PD,CD是相交直线，所以PA面PCD又PA平面PAD，平面PDC平面PAD；（Ⅲ）取AD中点为O．连结PO,PAD为等腰直角三角形，所以PO AD，因为面PAD面ABCD且面PAD面ABCD AD，所以，PO面ABCD，即PO为四棱锥P ABCD的高．由AD2得PO1．又AB1．∴四棱锥P ABCD的体积12 V PO AB AD33考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.3、如图，在四棱锥P ABCD 中，PD 平面ABCD ，CD PA，DB平分ADC ，E为PC的中点，DAC 45 ，AC 2 .（Ⅰ）证明：PA ∥平面BDE ；（Ⅱ）若PD 2, BD 2 2, 求四棱锥 E ABCD 的体积【答案】（Ⅰ）设AC BD F ，连接EF，PD 平面ABCD，CD 平面ABCD ，PD CD又CD PA，PD PA P，PD，PA 平面PADCD 平面PAD，AD 平面PAD CD AD∵DAC 45 ,∴DA DC ,∵DB 平分ADC , F 为AC 中点，E 为PC 中点，∴EF 为CPA 的中位线.∵EF ∥PA, EF 平面BDE ，PA 平面BDE∴PA ∥平面BDE .( Ⅱ) 底面四边形ABCD的面积记为S;．1 2 1 3S S ADC S 2 2 2 2ABC2 2 2 2点E PC为线段的中点，1 1 1 1 2V S PD 2 2 ．E ABCD3 2 3 2 3考点：1. 线面平行的证明； 2. 空间几何体的体积计算.4、如图，在四棱锥中，底面为菱形，其中，P ABCD ABCD PA PD AD 2BAD 60 ，Q 为AD 的中点．(1) 求证：AD 平面PQB；(2) 若平面PAD 平面ABCD , 且M 为PC 的中点，求四棱锥M ABCD 的体积．【答案】（1）PA PD ，Q 为中点，AD PQ连DB ，在ADB 中，AD AB ，，BAD 60Q ADABD 为等边三角形，为的中点，AD BQ ,PQ BQ Q , PQ 平面PQB , BQ 平面PQB ,AD 平面PQB .（2）连接QC , 作MH QC 于H .PQ AD , PQ 平面PAD ,平面PAD 平面ABCD AD ,平面PAD 平面ABCD，PQ 平面ABCD ,QC 平面ABCD ,PQ QCPQ / /MH .MH 平面ABCD ,又 1PM PC ,21 1 3 3 MH PQ2 .2 2 2 2在菱形ABCD中，BD 2,1S AB AD ABD2sin 601 3= 2 2 = 32 2,S菱形2S ABD 2 3 .ABCDVM ABCD 13S菱形MHABCD1 32 33 21．5 、如图，E 是矩形ABCD 中AD 边上的点， F 为CD 边的中点，2AB AE AD ABE BE PBE PBE4，现将沿边折至位置，且平面平面 3 BCDE .PBE PEF ⑴求证：平面平面；P BEFC⑵求四棱锥的体积.PEA D EDFFB C B C(1) (2)【答案】(1) 证明：由题可知，ED DFDEF中DEFED DFAE ABABE中AEBAE AB4545EF BE平面ABE 平面BCDE平面ABE 平面BCDE BE EF 平面PBE EF BE 平面平面PBE PEFEF PEF平面1 1(2) S S S S 6 4 4 4 2 2 14 ，则BEFC ABCD ABE DEF2 21 1 28 2.V S h 14 2 2BEFC3 3 36、已知四棱锥P ABCD 中，PD 平面ABCD, ABCD 是正方形，E是PA 的中点，PEA BD C(1) 若PD AD ，求PC与面AC所成的角(2) 求证：PC // 平面EBD(3) 求证：平面PBC⊥平面PCD【答案】(1) PD 平面ABCD ，DC 是直线PC 在平面ABCD 上的射影，PCD 是直线PC 和平面ABCD 所成的角。

立体几何综合大题20道(理)

立体几何综合大题20道(理)

立体几何综合大题（理科）40道及答案1 、四棱锥P ABCD 中, PA ⊥底面ABCD , PA23 , BC CD 2 , ACB ACD .3( Ⅰ) 求证: BD ⊥平面PAC ；( Ⅱ) 若侧棱PC 上的点F 满足PF 7FC , 求三棱锥P BDF 的体积。

【答案】( Ⅰ) 证明: 因为BC=C，D即B C D为等腰三角形，又ACB ACD , 故BD AC . 因为PA 底面ABCD，所以PA BD , 从而BD 与平面PAC 内两条相交直线PA, AC 都垂直，故⊥平面。

BD PAC1 1 2( Ⅱ) 解： 3S BCD .BC CD sin BCD 2 2 sin2 2 31 1由PA 底面ABCD知VP BDC BCD3 2 3 2 .S PA3 31由PF 7FC,得三棱锥F BDC 的高为PA8,故：1V F BDC S BCD318PA133182 314V P V V BDF P BCD F BCD214742、如图，四棱锥P ABCD中，四边形ABCD 为矩形，PAD 为等腰三角形，APD 90 ，平面PAD 平面ABCD，且A B1,A D 2 ，E, F 分别为PC 和BD 的中点．（Ⅰ）证明：EF平面PAD；（Ⅱ）证明：平面PDC平面PAD；（Ⅲ）求四棱锥P ABCD的体积．PEDCOFAB【答案】（Ⅰ）证明：如图，连结AC．∵四边形ABCD为矩形且F是BD的中点．∴F也是AC的中点．又E是PC的中点，EF AP∵EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF平面PAD；（Ⅱ）证明：∵平面PAD平面ABCD，CD AD，平面PAD平面ABCD AD，所以平面CD平面PAD，又PA平面PAD，所以PA CD又PA PD，PD,CD是相交直线，所以PA面PCD又PA平面PAD，平面PDC平面PAD；（Ⅲ）取AD中点为O．连结PO,PAD为等腰直角三角形，所以PO AD，因为面PAD面ABCD且面PAD面ABCD AD，所以，PO面ABCD，即PO为四棱锥P ABCD的高．由AD2得PO1．又AB1．∴四棱锥P ABCD的体积12 V PO AB AD33考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.3、如图，在四棱锥P ABCD 中，PD 平面ABCD ，CD PA，DB平分ADC ，E为PC的中点，DAC 45 ，AC 2 .（Ⅰ）证明：PA ∥平面BDE ；（Ⅱ）若PD 2, BD 2 2, 求四棱锥 E ABCD 的体积【答案】（Ⅰ）设AC BD F ，连接EF，PD 平面ABCD，CD 平面ABCD ，PD CD又CD PA，PD PA P，PD，PA 平面PADCD 平面PAD，AD 平面PAD CD AD∵DAC 45 ,∴DA DC ,∵DB 平分ADC , F 为AC 中点，E 为PC 中点，∴EF 为CPA 的中位线.∵EF ∥PA, EF 平面BDE ，PA 平面BDE∴PA ∥平面BDE .( Ⅱ) 底面四边形ABCD的面积记为S;．1 2 1 3S S ADC S 2 2 2 2ABC2 2 2 2点E PC为线段的中点，1 1 1 1 2V S PD 2 2 ．E ABCD3 2 3 2 3考点：1. 线面平行的证明； 2. 空间几何体的体积计算.4、如图，在四棱锥中，底面为菱形，其中，P ABCD ABCD PA PD AD 2BAD 60 ，Q 为AD 的中点．(1) 求证：AD 平面PQB；(2) 若平面PAD 平面ABCD , 且M 为PC 的中点，求四棱锥M ABCD 的体积．【答案】（1）PA PD ，Q 为中点，AD PQ连DB ，在ADB 中，AD AB ，，BAD 60Q ADABD 为等边三角形，为的中点，AD BQ ,PQ BQ Q , PQ 平面PQB , BQ 平面PQB ,AD 平面PQB .（2）连接QC , 作MH QC 于H .PQ AD , PQ 平面PAD ,平面PAD 平面ABCD AD ,平面PAD 平面ABCD，PQ 平面ABCD ,QC 平面ABCD ,PQ QCPQ / /MH .MH 平面ABCD ,又 1PM PC ,21 1 3 3 MH PQ2 .2 2 2 2在菱形ABCD中，BD 2,1S AB AD ABD2sin 601 3= 2 2 = 32 2,S菱形2S ABD 2 3 .ABCDVM ABCD 13S菱形MHABCD1 32 33 21．5 、如图，E 是矩形ABCD 中AD 边上的点， F 为CD 边的中点，2AB AE AD ABE BE PBE PBE4，现将沿边折至位置，且平面平面 3 BCDE .PBE PEF ⑴求证：平面平面；P BEFC⑵求四棱锥的体积.PEA D EDFFB C B C(1) (2)【答案】(1) 证明：由题可知，ED DFDEF中DEFED DFAE ABABE中AEBAE AB4545EF BE平面ABE 平面BCDE平面ABE 平面BCDE BE EF 平面PBE EF BE 平面平面PBE PEFEF PEF平面1 1(2) S S S S 6 4 4 4 2 2 14 ，则BEFC ABCD ABE DEF2 21 1 28 2.V S h 14 2 2BEFC3 3 36、已知四棱锥P ABCD 中，PD 平面ABCD, ABCD 是正方形，E是PA 的中点，PEA BD C(1) 若PD AD ，求PC与面AC所成的角(2) 求证：PC // 平面EBD(3) 求证：平面PBC⊥平面PCD【答案】(1) PD 平面ABCD ，DC 是直线PC 在平面ABCD 上的射影，PCD 是直线PC 和平面ABCD 所成的角。

(完整版)高考立体几何大题及答案(理)

(完整版)高考立体几何大题及答案(理)
由 得2AD= ，解得AD= 。
故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。
因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。
连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。
连接CH，则∠ECH为 与平面BCD所成的角。
因ADEF为正方形，AD= ，故EH=1，又EC= =2，
（II）设线段 、 的中点分别为 、 ，
求证： ∥
（III）求二面角 的大小。
10.如题（18）图，在五面体 中， ∥ ， ， ，四边形 为平行四边形， 平面 ， ．求：
（Ⅰ）直线 到平面 的距离；
（Ⅱ）二面角 的平面角的正切值．
11．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅱ）设平面BCD的法向量 则
又 =（-1，1，0），
=（-1，0，c）,故
令x=1,则y=1,z= , =(1,1, ).
又平面 的法向量 =（0，1，0）
由二面角 为60°知， =60°，
故 °，求得
于是 ，
，
°
所以 与平面 所成的角为30°
3、（Ⅰ）证明：连接 ，在 中， 分别是 的中点，所以 ，又 ，所以 ，又 平面ACD，DC 平面ACD，所以 平面ACD
(1)证明：PA⊥BD；
(2)设PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．
12（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB CD,AC BD，垂足为H，
PH是四棱锥的高，E为AD中点
（1）证明：PE BC
（2）若 APB= ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值

立体几何大题综合(含答案)

立体几何大题综合(含答案)

立体几何大题综合1．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．(1)求证：1BC ⊥平面1ACD ；(2)求直线1D C 与平面1AD E 所成角的余弦值．2．（2022秋·广东清远·高二校联考期中）如图，在棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别是棱,AB BC 上的动点，且BE CF =.(1)求证：A F C E ''⊥；(2)当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求平面EFB '与平面BFB '的夹角的正切值.3．（2022秋·广东肇庆·高二校考期中）如图在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，F 为AB 的中点，H 为1DD 的中点，K 为1BB 的中点.(1)求直线1A H 到直线KC 的距离；(2)求直线FC 到平面1AEC 的距离.4．（2022秋·广东江门·高二校考期中）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD CD =，F ，G 分别是PB ，AD 的中点．(1)求证：FG //平面PCD ；(2)求点C 到平面PGB 的距离．5．（2022秋·广东清远·高二校联考期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AB ⊥平面PAD ，E 是AD 的中点，PAD 为等腰直角三角形，DP AP ⊥，2PA AB ==2(1)求证：PE BD ⊥；(2)求点A 到平面PBE 的距离．6．（2022秋·广东江门·高二新会陈经纶中学校考期中）如图，在直角梯形ABCD 中，,=90,AD BC ADC AE ∠︒⊥∥平面ABCD ，EF CD ∥，112BC CD AE EF AD =====．(1)求证：BE AF ⊥；(2)在线段BC 上是否存在点M ，使平面EMD 与平面AMD 的夹角的大小为π3若存在，求出CM 的长；若不存在，请说明理由．7．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直，动点M 、N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<．(1)求证MN 与平面BCE 平行；(2)当a =A MN B --的余弦值．8．（2022秋·广东肇庆·高二肇庆市端州中学校考期中）如图在四棱锥P ABCD －中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ==ABCD 为直角梯形，其中BC AD ∥，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，O 为AD 的中点．(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)求二面角C PD A --的正弦值．9．（2022秋·广东江门·高二江门市第二中学校考期中）如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2,,PA AD AB M N ===分别为,AB PC 的中点.(1)求证：MN 平面PAD ；(2)求平面PMC 与平面PAD 的夹角的余弦值.10．（2022秋·广东阳江·高二校联考期中）图1是直角梯形ABCD ，//AB DC ，90,2,3,2D AB DC AD CE ED ︒∠====.以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达C 1的位置，且1AC = 2.(1)证明：平面1BC E ⊥平面ABED ；(2)求直线1BC 与平面1AC D 所成角的正弦值.11．（2022秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期中）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，E 为侧棱PC的中点．(1)设经过A 、B 、E 三点的平面交PD 于F ，证明：F 为PD 的中点；(2)若PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD ==，求点P 到平面ABE 的距离．12．（2022秋·广东阳江·高二校联考期中）如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是一个边长为2的菱形，∠DAB ＝60°.侧棱DD 1⊥平面ABCD ，DD 1＝3.(1)求二面角B -D 1C -D 的平面角的余弦值；(2)设E 是D 1B 的中点，在线段D 1C 上是否存在一点P ，使得AE ∥平面PDB ？若存在，请求出11D P D C的值；若不存在，请说明理由.13．（2022秋·广东茂名·高二统考期中）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为平行四边形，M为1AA 的中点，1BC BD ==，1AB AA ==(1)求证：DM ⊥平面1BDC ；(2)求平面1MBC 与平面1D B C 夹角的余弦值.14．（2022秋·广东揭阳·高二惠来县第一中学校考期中）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且2=AD AB ，PAD 是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E 、F 、G 、O 分别是PC 、PD 、BC 、AD 的中点．(1)求平面EFG 与平面ABCD 所成角的大小；(2)线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角的大小为π6，若存在，求出PM PA的值；若不存在，说明理由．15．（2022秋·广东佛山·高二顺德一中校考期中）如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，60BAD ∠= ，14AA =，P 是1AD 上的动点（不含端点）.(1)当P 为1AD 的中点时，求直线AD 到平面PBC 的距离；(2)求直线1AD 和平面BCP 所成角的正弦值的取值范围.16．（2022秋·广东佛山·高二顺德一中校考期中）如图，在直角梯形ABED 中，//BE AD ，DE AD ⊥，BC AD ⊥，4AB =，BC =BE =.将矩形BEDC 沿BC 翻折，使得平面ABC ⊥平面BCDE .(1)求DB 与平面ADE 所成角的正弦值.(2)求平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.17．（2022秋·广东珠海·高二珠海市第二中学校考期中）如图1，在MBC 中，24BM BC BM BC ==⊥，，,A D 分别为棱,BM MC 的中点，将△MAD 沿AD 折起到PAD 的位置，使90PAB ∠=︒，如图2，连接,PB PC .(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)若E 为PC 中点，求直线DE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)线段PC 上是否存在一点G ，使二面角G AD P --求出PG PC 的值；若不存在，请说明理由.18．（2022秋·广东广州·高二广州市第八十九中学校考期中）如图，已知梯形ABCD ，AB //CD ，,120AD DC BC ADC ︒==∠=，四边形ACFE 为正方形，且平面ACFE ⊥平面ABCD ．(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，求平面MAB 与平面ADE 夹角余弦值的取值范围．19．（2022秋·广东东莞·高二校考期中）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，M 分别是BC ，AE 的中点，AD=AA 1=1，AB=2.(1)试问在线段CD 1上是否存在一点N ，使MN ∥平面ADD 1A 1?若存在，确定N 的位置；若不存在，请说明理由；(2)在（1）中，当MN ∥平面ADD 1A 1时，试确定直线BB 1与平面DMN 的交点F 的位置，并求BF 的长.20．（2022秋·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动．(1)证明：11D E A D ⊥；(2)求平面1ACD 的法向量.(3)当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离.21．（2022秋·广东广州·高二统考期中）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA =，G 为CD 的中点，E ，F 是棱PD 上两点（F 在E 的上方），且2EF =．(1)若BF //平面AEG ，求DE ；(2)当点F 到平面AEC 的距离取得最大值时，求直线AG 与平面AEC 所成角的正弦值．22．（2022秋·广东广州·高二校联考期中）在多面体ABCDEF 中，平面ABCD 为正方形，2AB =，3AE =，DE =E AD C --//EF BD .(1)证明：平面ABCD ⊥平面DCE ；(2)若()0EF DB λλ=> ，求平面ABF 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值的取值范围.23．（2022秋·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考期中）如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，点E 在底面圆周上，且,BE CE M =为AE 上的一点，且,BM AC N ⊥为线段AC 上一动点（不与,A C 重合）(1)若2AN NC =，设平面BMN ⋂面BEC l =，求证：//MN l ；(2)当平面BMN 与平面DEC 夹角为π3，试确定N 点的位置.24．（2022秋·广东肇庆·高二肇庆市端州中学校考期中）如图，四棱锥P ABCD -的底面为菱形，,23ABC AB AP π∠===，PA ⊥底面ABCD ，,E F 分别是线段,PB PD 的中点，G 是线段PC 上的一点.(1)若G 是直线PC 与平面AEF 的交点，试确定PG CG的值；(2)若直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值为35，求三棱锥P EFG -体积.25．（2022秋·广东江门·高二校考期中）如图甲，在矩形ABCD 中，2AB AD E ==为线段DC 的中点，ADE V 沿直线AE 折起，使得DC .(1)求证：BE ⊥平面ADE ；(2)线段AB 上是否存在一点H ，使得平面ADE 与平面DHC 所成的角为π4若不存在，说明理由；若存在，求出H 点的位置.26．（2022秋·广东惠州·高二统考期中）如图，在四棱锥P ABMN -中，PNM △是边长为2的正三角形，AN NP ⊥，AN BM ∥，3AN =，1BM =，AB =C ，D 分别是线段AB ，NP 的中点.(1)求证：平面ANMB ⊥平面NMP ；(2)求直线CD 与平面ABP 所成角的正弦值.27．（2022秋·广东广州·高二校联考期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面,2,4,ABCD PA AD BD AB ====，BD 是ADC ∠的平分线，且BD BC ⊥.(1)若点E 为棱PC 的中点，证明：BE 平面PAD ；(2)已知二面角P AB D --的大小为60 ，求平面PBD 和平面PCD 的夹角的余弦值.28．（2022秋·广东珠海·高二珠海市斗门区第一中学校考期中）如图，等腰直角△ACD 的斜边AC 为直角△ABC 的直角边，E 是AC 的中点，F 在BC 上．将三角形ACD 沿AC 翻折，分别连接DE ，DF ，EF ，使得平面DEF ⊥平面ABC ．已知2AC =，30B ∠=︒，(1)证明：EF ∥平面ABD ；(2)若DF =A BC D --的余弦值．29．（2022秋·广东阳江·高二统考期中）如图，在四面体ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB =BD ．(1)求证：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)若DE mDB = ，二面角D AE C --的余弦值为17，求m ．30．（2022春·广东广州·高二执信中学校考期中）已知△ABC 是边长为6的等边三角形，点M ，N 分别是边AB ，AC 的三等分点，且13AM AB =，13CN CA =，沿MN 将△AMN 折起到A MN '△的位置，使90A MB '∠=︒．(1)求证：A M '⊥平面MBCN ；(2)在线段BC 上是否存在点D ，使平面A ND '与平面A MB '所成锐二面角的余弦值为13若存在，设()0BD BC λλ=> ，求λ的值；若不存在，说明理由．立体几何大题综合答案1．（2022秋·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．(1)求证：1BC ⊥平面1ACD ；(2)求直线1D C 与平面1AD E 所成角的余弦值．（2）以AD 方向为x 轴正方向，妨设正方体边长为1，则()0,0,0A 面1AD E 的法向量为(),,n x y z = ，则设直线1D C 与平面1AD E 所成角为2．（2022秋·广东清远·高二校联考期中）如图，在棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别是棱,AB BC 上的动点，且BE CF =.(1)求证：A F C E ''⊥；(2)当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求平面EFB '与平面BFB '的夹角的正切值.则()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0,C O B B (,1,0),(0,,0)E m F m ，(1,A F '=- 则(1)(1)11A F C E m m ''⋅=-+-⨯+ ∴A F C E ''⊥ ，故A F C E ''⊥.（2）由（1）知1BB '=,而B BEF V '-故当S 取到最大值时，三棱锥111111的中点，F 为AB的中点，H为1DD的中点，K为1BB的中点.(1)求直线1A H到直线KC的距离；(2)求直线FC到平面1AEC的距离.【详解】（1）长为2的正方形，PD CD =，F ，G 分别是PB ，AD 的中点．(1)求证：FG //平面PCD ；(2)求点C 到平面PGB 的距离．【详解】（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(1,1,1),G P A B C F 明显面PCD 的一个法向量为()1,0,0n =r ，又()0,1,1GF = ，()()1,0,00,1,10n GF ∴⋅=⋅= ，GF n ∴⊥ ，又GF ⊄面PCD ，//GF ∴面PCD ；（2）(1,0,2),(2,2,2)PG PB =-=- ，设平面PGB 的一个法向量为(,,)m a b c = ，00m PB m PG ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩ ，即222020a b c a c +-=⎧⎨-=⎩，令1c =，则2,1a b ==-所以平面PGB 的一个法向量为(2,1,1)m =- ，又()2,0,0CB = ，所以点C 到平面PGB 的距离4263||411CB m d m ⋅===++ 5．（2022秋·广东清远·高二校联考期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AB ⊥平面PAD ，E 是AD 的中点，PAD 为等腰直角三角形，DP AP ⊥，2PA AB ==2(1)求证：PE BD ⊥；(2)求点A 到平面PBE 的距离．【详解】（1）∵AB ⊥平面PAD ，PE ⊂平面PAD ，∴PE AB ⊥，又∵PAD 是等腰直角三角形，E 是斜边AD 的中点，∴PE AD ⊥，又∵AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AB AD A ⋂=，∴PE ⊥平面ABCD又∵BD ⊂平面ABCD ，∴PE BD ⊥；因为22PA AB ==，则()000E ，，，(0,1,1)B ，()010A ，，则(0,1,1)EB = ，(1,0,0)EP = ，PA 设平面PBE 的一个法向量为(n = 00EB n y z EP n x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1y =，则z 设点A 到平面PBE 的距离为h ，则∴点A 到平面PBE 的距离为226．（2022秋·广东江门·高二新会陈经纶中学校考期中）如图，在直角梯形,=90,AD BC ADC AE ∠︒⊥∥平面ABCD ，EF CD ∥，112BC CD AE EF AD =====．(1)求证：BE AF ⊥；(2)在线段BC 上是否存在点M ，使平面EMD 与平面AMD 的夹角的大小为π3若存在，求出CM 的长；若不存在，请说明理由．【详解】（1）如图，作,FG EA AG EF ，连接EG ，AF ，BG ，∵EF CD ∥且EF AG ∥，AG CD ∴ ，即点G 在平面ABCD 内，所以四边形CDAG 为平行四边形，四边形AEFG 为平行四边形.又90ADC ∠=︒，BG AG ∴⊥，因为⊥AE 平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD ，所以AE BG ⊥，又因为AG AE A = ，,AG AE ⊂平面AEFG ，∴BG ⊥平面AEFG ，因为AF ⊂平面AEFG ，BG AF ∴⊥．AE AG ⊥ ，所以平行四边形AEFG 为矩形，又因为AE EF =，所以矩形AEFG 为正方形，所以AF EG ⊥，又因为BG EG G = ，,BG EG ⊂平面BGE ，所以AF ⊥平面BGE ，因为BE ⊂平面BGE ，所以AF BE ⊥.（2）由（1）知AG ，AD ，AE 为三条两两互相垂直的直线，所以以A 为原点，AG 为x 轴，AD 为y 轴，AE 为z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如图，则(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,2,0)A G E D ，设()001,,0,[1,2]M y y ∈，∴(0,2,1)ED =- ，()01,2,0DM y =- ，设平面EMD 的法向量为(,,)n x y z = ，则00n ED n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()02020y z x y y -=⎧⎨+-=⎩，令1y =，得02,2z x y ==-，所以平面EMD 的法向量为()02,1,2n y =- ，又⊥AE 平面ABCD ，即⊥AE 平面AMD ，ABEF 所在平面互相垂直，动点M 、N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<．(1)求证MN 与平面BCE 平行；(2)当a =A MN B --的余弦值．8．（2022秋·广东肇庆·高二肇庆市端州中学校考期中）侧棱2PA PD ==，底面ABCD 为直角梯形，其中BC AD ∥，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，O 为AD 的中点．(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)求二面角C PD A --的正弦值．【详解】（1）PA PD = ，O 为AD 的中点，PO AD ∴⊥，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ⋂底面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ；（2） 底面ABCD 为直角梯形，其中BC AD ∥，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，OC AD ∴⊥，又PO ⊥平面ABCD ，∴以O 为原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，易得平面PAD 的法向量(1,0,0m =设平面PCD 的法向量(,,n x y z = 设二面角C PD A --夹角为θ，则1cos 3m n m n θ⋅==⋅ ，则sin θ2,,PA AD AB M N ===分别为,AB PC 的中点.(1)求证：MN 平面PAD ；(2)求平面PMC 与平面PAD 的夹角的余弦值.（2）由题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，令2x =，故(2,1,1)m =- ，又(1,0,0)n = 是面PAD 的一个法向量，所以26cos ,3||||6m n m n m n ⋅<>=== 故平面PMC 与平面PAD 的夹角的余弦值10．（2022秋·广东阳江·高二校联考期中）图90,2,3,2D AB DCAD CE ED ︒∠====.以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达C 1的位置，且1AC = 2.(1)证明：平面1BC E ⊥平面ABED ；(2)求直线1BC 与平面1AC D 所成角的正弦值.（2）如图②，以D 为坐标原点，DA ，DE 的方向分别为空间直角坐标系.D xyz -则(0,0,0),(3,0,0),(3,2,0),(0,1,0)D A BE ，F 33(,,0)22，133(,,3)22C ，31(,,3)BC =-- ()3,0,0DA = ,DC = 正方形，E 为侧棱PC 的中点．(1)设经过A 、B 、E 三点的平面交PD 于F ，证明：F 为PD 的中点；(2)若PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD ==，求点P 到平面ABE 的距离．【详解】（1）因为底面ABCD 为矩形，所以//AB CD .又AB ⊄平面PCD ，且CD ⊂平面PCD ，所以//AB 平面PCD .又AB ⊂平面ABE ，且平面ABE ⋂平面PCD EF =，所以//AB EF .又因为//AB CD ，所以//CD EF因为E 为PC 的中点，所以F 为PD 的中点.（2）如图所示，以A 为原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则(2,0,0),(2,2,0),(0,0,2),(1,1,1)B C P E ，设(,,)n x y z = 是平面ABE 的法向量，则0,0n AE n AB ⋅=⋅= ，即200x x y z =⎧⎨++=⎩令1y =，则平面ABE 的一个法向量为(0,1,1)n =- 又因为(0,0,2)AP = ，所以点P 到平面ABE 的距离为222|||00+01+21|2||011AP n n ⋅⨯⨯⨯==++ （-），即点P 到平面ABE 的距离为2．12．（2022秋·广东阳江·高二校联考期中）如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是一个边长为2的菱形，∠DAB ＝60°.侧棱DD 1⊥平面ABCD ，DD 1＝3.(1)求二面角B -D 1C -D 的平面角的余弦值；(2)设E 是D 1B 的中点，在线段D 1C 上是否存在一点P ，使得AE ∥平面PDB ？若存在，请求出11D P D C 的值；若不存在，请说明理由.【详解】（1）如图1，连接BD ，由题意，△ADB 是正三角形，设M 是AB 的中点，则DM ⊥AB ，所以DM ⊥DC ，又DD 1⊥平面ABCD ，所以DM ⊥平面DD 1C 1C.以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，D 1(0,0,3)，C (0,2,0)，B (3,1,0)，则BC ＝(－3,1,0)，1BD ＝(－3,－1,3).显然，平面D 1CD 的一个法向量是()1,0,0m = ，设平面BD 1C 的法向量为n = (x ,y ,z )，则1=30,330,n BC x y n BD x y z ⎧⋅-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ 令x ＝3，得n = (3,3,2)，设二面角B -D 1C -D 的平面角为θ，由几何体的特征可知θ为锐角，则cos ||||m n m n θ⋅=⋅＝33941++⨯＝34.故二面角B -D 1C -D 的平面角的余弦值为34.（2）设11D P D C＝λ，即有11λD P D C ＝，其中01λ≤≤由（1）知D 1(0,0,3)，C (0,2,0)，则()10,2,3D C =- ，所以P (0,2,33)λλ-+，又D (0,0,0)，B (3,1,0)，1111为1AA的中点，1BC BD==，1AB AA==(1)求证：DM⊥平面1BDC；(2)求平面1MBC与平面1D B C夹角的余弦值.则()0,0,0D，21,0,2M⎛⎫⎪⎪⎝⎭，2=AD AB ，PAD 是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E 、F 、G 、O 分别是PC 、PD 、BC 、AD 的中点．(1)求平面EFG 与平面ABCD 所成角的大小；(2)线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角的大小为π6，若存在，求出PMPA的值；若不存在，说明理由．【详解】（1）解：因为PAD 是正三角形，O 为AD 的中点，所以PO AD ⊥，因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，PO CD ∴⊥，,,AD CD D AD CD Q Ç=Ì平面ABCD ，PO ∴⊥平面ABCD ，因为AD BC ∥且AD BC =，O 、G 分别为AD 、BC 的中点，所以AO BG ∥且AO BG =，所以四边形ABGO 为平行四边形，15．（2022秋·广东佛山·高二顺德一中校考期中）如图，在直棱柱1111为4的菱形，60BAD ∠= ，14AA =，P 是1AD 上的动点（不含端点）.(1)当P 为1AD 的中点时，求直线AD 到平面PBC 的距离；(2)求直线1AD 和平面BCP 所成角的正弦值的取值范围.则()0,0,0O ，()23,0,0A ，()10,2,4D -，()1123,2,0B C =-∴- ，AB P 为1AD 的中点，则(P()3,3,2BP =∴- ，(BC =- 则33202320n BP x y z n BC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩4AB =，BC =BE =.将矩形BEDC 沿BC 翻折，使得平面ABC ⊥平面BCDE .(1)求DB 与平面ADE 所成角的正弦值.(2)求平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.【详解】（1） 平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABC ⋂平面BCDE BC =，CD BC ⊥，BE ⊂平面BCDE ，CD \^平面ABC ，则以C 为原点，,,CA CB CD正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()22,0,0A()22,0,23AD ∴=- ，DE设平面ADE 的法向量为n =则2223220AD n x z DE n y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩DB n ⋅ ,A D 分别为棱,BM MC 的中点，将△MAD 沿AD 折起到PAD 的位置，使90PAB ∠=︒，如图2，连接,PB PC .(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)若E 为PC 中点，求直线DE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)线段PC 上是否存在一点G ，使二面角G AD P --的余弦值为10若存在，求出PG PC 的值；若不存在，请说明理由.由题意得(0,1,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,2,0),D P B C 所以(1,0,1)DE = ，(2,0,2),PB PD =-=设平面PBD 的法向量(,,)n x y z =，则22020PB n x z PD n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，解得(1,2,1)n = 设直线DE 与平面PBD 所成角为θ，n DE ⋅,120AD DC BC ADC ︒==∠=，四边形ACFE 为正方形，且平面ACFE ⊥平面ABCD ．(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，求平面MAB 与平面ADE 夹角余弦值的取值范围．令(03)FM λλ=≤≤，则(3,0,0),(0,1,0),(,0,3),(3,0,A B M E λ1111AD=AA 1=1，AB=2.(1)试问在线段CD 1上是否存在一点N ，使MN ∥平面ADD 1A 1?若存在，确定N 的位置；若不存在，请说明理由；(2)在（1）中，当MN ∥平面ADD 1A 1时，试确定直线BB 1与平面DMN 的交点F 的位置，并求BF 的长.延长DM交AB于点G，可证点G是线段再过点G作GF//AB1与线段BB1交于点20．（2022秋·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中）如图，在长方体11111 AB=，点E在棱AB上移动．2(1)证明：11D E A D ⊥；(2)求平面1ACD 的法向量.(3)当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离.【详解】（1）以D 为坐标原点，分别以1DA DC DD ､､所在直线为x y z ､､轴，建立如图的坐标系，则()()()()()110,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,00,2,0D A D A C ，，所以()11,0,1DA = ，设()1,,0E t ，所以()11,,1D E t =- ，所以11110DA D E ⋅=-= ，故11DA D E ⊥ 所以11D E A D ⊥；（2）设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z =r，则()()11,0,1,1,2,0AD AC =-=-，由10,0n AD n AC ⋅=⋅=，得020x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =得11,,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）当E 为AB 的中点时，()1,1,0E ，则()11,1,1D E =-，由点到平面的距离公式，得()12221111111231112n D E d n ⨯+⨯+⨯-⋅===⎛⎫++ ⎪⎝⎭，边长为2的正方形，PA=，G为CD的中点，E，F是棱PD上两点（F在E的上方），且2EF=．(1)若BF//平面AEG，求DE；(2)当点F到平面AEC的距离取得最大值时，求直线AG与平面AEC所成角的正弦值．则()0,0,0A ，()2,2,0C ，()1,2,0G ，因为2EF =，所以EFC 的面积为定值，又点A 到平面EFC 的距离为定值，所以三棱锥A -EFC 的体积为定值，即三棱锥所以要使点F 到平面AEC的距离最大，则AEC △即E 到AC 的距离最小时，点F 到平面AEC 的距离最大，设()0,2,3E t t -，则()0,2,3AE t t =- ，AC22AE AC⎛⎫⋅ DE =E AD C --//EF BD .(1)证明：平面ABCD ⊥平面DCE ；(2)若()0EF DB λλ=>，求平面ABF 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值的取值范围.【详解】（1）∵2AB AD ==，3AE =，5DE =，∴222AD DE AE +=，即AD DE ⊥，又∵在正方形ABCD 中，AD DC ⊥，且DE DC D ⋂=，DE ⊂平面EDC ，DC ⊂平面EDC ，∴AD ⊥平面EDC ，又AD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面EDC ；（2）由（1）知，EDC ∠是二面角E AD C --的平面角，作OE CD ⊥于点O ，则cos 1OD DE EDC =⋅∠=，2OE =，且平面ABCD ⊥平面EDC ，平面ABCD ⋂平面EDC CD =，OE ⊂平面EDC ，∴OE ⊥平面ABCD ，取AB 中点M ，连接OM ，则OM CD ⊥，如图，建立空间直角坐标系，则()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0D -，()0,1,0C ，()0,0,2E ，()2,2,0DB = ，()2,2,0EF λλ=，()0,1,2EC =- ，设平面CEF 的一个法向量为(),,m x y z=，则20220m EC y z m EF x y λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11,1,2m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，()22,21,2BF λλ=--，()0,2,0AB = ，设平面ABF 的一个法向量为(),,n a b c =，在底面圆周上，且,BE CE M =为AE 上的一点，且,BM AC N ⊥为线段AC 上一动点（不与,A C 重合）(1)若2AN NC =，设平面BMN ⋂面BEC l =，求证：//MN l ；(2)当平面BMN 与平面DEC 夹角为π3，试确定N 点的位置.【详解】（1）由题知AB ⊥面,BEC EC ⊂面BEC ，则AB EC ⊥，由BC 为底面圆的直径，则EC BE ⊥，由BE AB B =I ，,BE AB ⊂面ABE ，则(220,,,1,33BM CA ⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭设()(,,2,CN CA λλλλλ==-∈设面BMN 的法向量为(,,n x y z =r 13λ-⎛⎫,23ABC AB AP π∠===，PA ⊥底面ABCD ，,E F 分别是线段,PB PD 的中点，G 是线段PC 上的一点.(1)若G 是直线PC 与平面AEF 的交点，试确定PGCG的值；(2)若直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值为35，求三棱锥P EFG -体积.则()()(0,0,0,3,1,0,3,1,0A BC-()31,,1,0,1,122AE AF ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭ (0,0,AG AP PG AP PC λ=+=+=设平面AEF 的法向量(,,m a b =ADE V 沿直线AE 折起，使得DC .(1)求证：BE ⊥平面ADE ；(2)线段AB 上是否存在一点H ，使得平面ADE 与平面DHC 所成的角为π4若不存在，说明理由；若存在，求出H 点的位置.【详解】（1）证明：连接BE ，取线段AE 的中点O ，连接,DO OC ，在Rt ADE V 中，DA DE ==,1DO AE DO ∴⊥=，在OEC △中，11,2OE AE ==()()()1,0,1,1,1,0,2,0,0,D C A B -平面ADE 的法向量()10,1,0n =，在平面直角坐标系xOy 中，直线设H 的坐标为(),2,0t t -，()(。

高中立体几何典型500题与解析(1)(1-50题)

高中立体几何典型500题与解析(1)(1-50题)

高中立体几何典型500题及解析(一)1、二面角βα--l 是直二面角，βα∈∈B A ，，设直线AB 与βα、所成的角分别为∠1和∠2，则（A ）∠1+∠2=900 （B ）∠1+∠2≥900 （C ）∠1+∠2≤900 （D ）∠1+∠2＜900 解析：C分别作两条与二面角的交线垂直的线，则∠1和∠2分别为直线AB 与平面,αβ所成的角。

根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角2ABO ∴∠>∠1902190ABO ∠+∠=∴∠+∠≤2. 下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共．．面．的一个图是PPQQRSSPP PQQRR RSSSPP PQQQ R RS SS PP Q QR RRSS（A ） （B ） （C ） （D ） D解析： A 项：PS 底面对应的中线，中线平行QS ，PQRS 是个梯形B 项：如图C 项：是个平行四边形D 项：是异面直线。

3. 有三个平面α，β，γ，下列命题中正确的是（A ）若α，β，γ两两相交，则有三条交线 （B ）若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ（C ）若α⊥γ，β∩α=a ，β∩γ=b ，则a ⊥b （D ）若α∥β，β∩γ=∅，则α∩γ=∅ D解析：A 项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。

B 项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。

C 项：如图4. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线AB 与直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为1111C解析：11B C ⊥平面AB 111,B C PB ∴⊥，如图：点到定点B 的距离与到定直线AB 的距离相等，建立坐标系画图时可以以点B 1B 的中点为原点建立坐标系。

5. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与AD 1成600角的面对角线的条数是 （A ）4条 （B ）6条 （C ）8条 （D ）10条C解析：如图这样的直线有4条，另外，这样的直线也有4条，共8条。

立体几何大题训练题(含答案)

立体几何大题训练题(含答案)

立体几何大题训练题一、解答题（共17题；共150分）1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，在四边形ABCD中，∠ABC= ，AB=4，BC=3，CD= ，AD=2 ，PA=4.（1）证明：CD⊥平面PAD；（2）求二面角B-PC-D的余弦值..2.如图，在四棱锥中，平面，在四边形中，，，，，，.（1）证明：平面；（2）求B点到平面的距离3.如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，，，为的中点，F 为线段上靠近B 点的三等分点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.4.如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面;（2）求与平面所成角的正弦值.5.如图，在三角锥中，, , 为的中点.（1）证明：平面;（2）若点在棱上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离.6.如图，在三角锥中，, , 为的中点.（1）证明：平面;（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值. 7.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12分）（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．8.如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.9.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值。

10.已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，，为的中点，为中点.（1）求证：直线平面；（2）求平面和平面所成的锐二面角的余弦值.11.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1AC1C⊥平面ABC，∠ABC=90°.∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E，F 分别是AC，A1B1的中点（1）证明：EF⊥BC（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.12.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC；（Ⅱ）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C 的余弦值．13.如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．14.如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．15.如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为AD，BP的中点，AD ＝3，AP＝3 ，PC ．（1）求证：EF//平面PDC；（2）若∠CDP＝120°，求二面角E﹣CP﹣D的平面角的余弦值．16.如图，四棱锥中，侧棱垂直于底面，，，为的中点，平行于，平行于面，.（1）求的长；（2）求二面角的余弦值.17.如图，在斜三棱柱中，侧面，，，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若为中点，求二面角的正切值．答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）解：连接，由∠ABC= ，AB=4，BC=3，则，又因为CD= ，AD=2 ，所以，即，因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，因为，所以CD⊥平面PAD；（2）解：以点D为坐标原点，的延长线为x，为y轴，过点D与平行线为z轴，建立空间直角坐标系，如图：作交与点G，，即，所以，，所以，所以，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，即，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，即，由，所以二面角B-PC-D的余弦值为.【解析】【分析】（1）连接，证出，利用线面垂直的性质定理可得，再利用线面垂直的判定定理即可证出.（2）以点D为坐标原点，的延长线为x，为y轴，过点D与平行线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量的数量积即可求解.2.【答案】（1）解：在平面中，，，，则，又，∴，即，又平面，则，又，∴平面.（2）解：在平面中，过A作BC的平行线交CD的延长线于M，因为，，，则,又因为，,所以.所以又，则，所以,在中，.因为,则面,所以由可知：，,所以，则，因此P点到平面的距离为.【解析】【分析】(1)在三角形中，由勾股定理可证得，由平面，可得，根据线面垂直的判定定理即可证得结论；(2) 在平面中，过A作BC的平行线交CD 的延长线于M，因为利用等体积转换即可求得距离.3.【答案】（1）证明：，为线段中点，.平面，平面，.又底面是长方形，.又，平面.平面，. 又，平面.（2）解：由题意，以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，.所以, ，，，设平面的法向量，则，即，令，则，，，同理可求平面的法向量，，，即平面与平面所成角的正弦值为.【解析】【分析】（1）通过，可证明平面，进而可得，结合证明线面垂直.（2）以为轴建立空间直角坐标系，可求出平面的法向量，平面的法向量，则可求出两向量夹角的余弦值，从而可求二面角的正弦值.4.【答案】（1）解：由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又，∴BF⊥平面PEF.∴又平面ABFD，平面PEF⊥平面ABFD.（2）解：作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz.由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE= .又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.可得.则为平面ABFD的法向量. 设DP与平面ABFD所成角为，则.∴DP与平面ABFD所成角的正弦值为.【解析】【分析】(1)在翻折过程中,作于H,由得到,从而得到面面垂直;(2)DP与平面所成的角就是,在三角形中求其正弦值.5.【答案】（1）∵PA=PC=AC=4 且O是AC的中点∴PO⊥AC∵AB=BC=2 ，AC=4,∴∴∠ABC=90°连接BO则OB=OC∴PO2+BO2=PB2PO⊥OB，PO⊥OCOB∩OC=O∴PO⊥平面ABC（2）过点C作CH⊥OM交OM于点H又∵PO⊥平面ABC∴∴CH的长度为点C到平面POM的距离在△COM中，CM= ，OC=2，∠OCM=45°∴∴OM=∴【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理易得；（2）由线面垂直可得面面垂直，易找点面距，可求.6.【答案】（1）PA=PC=AC=4 且O是AC的中点PO⊥AC∵AB=BC=2 ，AC=4,∴∴∠ABC=90°连接BO则OB=OC∴PO2+BO2=PB2PO⊥OB，PO⊥OCOB∩OC=O∴PO⊥平面ABC（2）∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥OB∴AB=BC=2 O是AC的中点∴OB⊥AC OB⊥平面PAC如图所示以O为坐标原点，为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系O-xyz则P（0,0，）A（,0，-2,0），C（0,2,0），B（2,0,0）平面PAC法向量为=（1,0,0）设M（x，2-x，0）平面PAC法向量为=（1，λ，μ），=（0，2，）, = （x，4-x，0）则即即得到，∴x=-4（舍），x=即M∴PAM的法向量记PC与平面PAM所成的角为θ∴即PC与平面PAM所成的角为的正弦值为.【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理易得；（2）先由条件建系，找到点M的位置，再用公式求线面角.7.【答案】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD= ．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥AD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞= = ．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．【解析】【分析】（1.）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2.）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则四边形ABCD 为矩形，设PA=AB=2a，则AD= ．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．8.【答案】（1）解：由已知得，平面，平面，故．又，所以平面．（2）由（1）知．由题设知，所以，故，．以为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），，．设平面EBC的法向量为=（x，y，x），则即所以可取= .设平面的法向量为=（x，y，z），则即所以可取=（1，1，0）．于是．所以，二面角的正弦值为．【解析】【分析】（1）根据题意由线面垂直的性质得出线线垂直，再由线线垂直的判定定理出线面垂直。

高考立体几何题大全

高考立体几何题大全

高考立体几何题大全一、一个正方体的棱长为2，若在其一个顶点处削去一个棱长为1的小正方体，则剩余部分的体积为多少？A. 6B. 7C. 8-√3D. 8-1/3（答案）B。

解析：原正方体的体积为2的三次方等于8，削去的小正方体的体积为1的三次方等于1，但由于是在顶点处削去，会同时影响到三个相邻的小正方体，因此实际减少的体积只有一个小正方体的三分之一，即1/3。

所以剩余部分的体积为8-1/3=7+2/3，取整数部分为7。

二、一个圆柱的底面半径为r，高为h，若将其侧面展开，得到的矩形的长与宽分别是什么？A. 2πr, hB. πr, 2hC. r, 2πhD. 2r, πh（答案）A。

解析：圆柱的侧面展开后是一个矩形，其长等于圆柱底面的周长，即2πr，宽等于圆柱的高，即h。

三、一个圆锥的底面半径为3，高为4，则它的侧面积为多少？A. 12πB. 15πC. 20πD. 24π（答案）B。

解析：圆锥的母线长可以通过勾股定理求得，为根号下(3的平方+4的平方)=5。

圆锥的侧面积公式为π乘以底面半径乘以母线长，即π35=15π。

四、一个球体的半径为R，若在其内部挖去一个半径为R/2的小球，则剩余部分的体积与小球体积的比值为多少？A. 7B. 8-1C. 8D. 9（答案）A。

解析：大球的体积为(4/3)πR的三次方，小球的体积为(4/3)π(R/2)的三次方，即(1/8)(4/3)πR的三次方。

剩余部分的体积为大球体积减去小球体积，即(7/8)(4/3)πR 的三次方。

所以剩余部分的体积与小球体积的比值为((7/8)(4/3)πR的三次方)除以((1/8)(4/3)πR的三次方)=7。

五、一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，若将其切割成若干个小正方体，每个小正方体的棱长为1，则最多可以切割成多少个小正方体？A. abcB. a+b+cC. abcD. (a+b+c)/3（答案）C。

解析：长方体的体积为长乘以宽乘以高，即abc。

2024届新高考数学大题精选30题--立体几何含答案

2024届新高考数学大题精选30题--立体几何含答案

大题立体几何1(2024·黑龙江·二模)如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，N是AB1的中点，P是B1C1的中点．(1)证明：MN⎳平面A1CP；(2)求点P到直线MN 的距离．2(2024·安徽合肥·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°,M是侧棱PC的中点，侧面PAD为正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD．(1)求三棱锥M-ABC的体积；(2)求AM与平面PBC所成角的正弦值．2024届新高考数学大题精选30题--立体几何3(2023·福建福州·模拟预测)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC,AB= AC=BC=AA1=2，A1B=6．(1)设D为AC中点，证明：AC⊥平面A1DB；(2)求平面A1AB1与平面ACC1A1夹角的余弦值．4(2024·山西晋中·三模)如图，在六面体ABCDE中，BC=BD=6，EC⊥ED，且EC=ED= 2，AB平行于平面CDE，AE平行于平面BCD，AE⊥CD.(1)证明：平面ABE⊥平面CDE；(2)若点A到直线CD的距离为22，F为棱AE的中点，求平面BDF与平面BCD夹角的余弦值．5(2024·辽宁·二模)棱长均为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，A1在平面ABC内的射影O在棱AC的中点处，P为棱A1B1(包含端点)上的动点．(1)求点P到平面ABC1的距离；(2)若AP⊥平面α，求直线BC1与平面α所成角的正弦值的取值范围．6(2024·重庆·模拟预测)在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知AB∥CD，∠BAD=90°，CD= 2AB，△PAB是正三角形，点M在侧棱PB上且使得PD⎳平面AMC．(1)证明：PM=2BM；(2)若侧面PAB⊥底面ABCD，CM与底面ABCD所成角的正切值为311，求二面角P-AC-B的余弦值．7(2024·安徽·模拟预测)2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体ABG-CDEHF是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD是矩形，AB=8m，AD=4m，ED=CF=1m，且ED，CF都垂直于平面ABCD，GA=GB=5m，HE=HF，平面ABG⊥平面ABCD．(1)求点H到平面ABCD的距离；(2)求平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值．8(2024·重庆·模拟预测)如图，ACDE为菱形，AC=BC=2，∠ACB=120°，平面ACDE⊥平面ABC，点F在AB上，且AF=2FB，M，N分别在直线CD，AB上．(1)求证：CF⊥平面ACDE；(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若∠EAC=60°，MN为直线CD，AB的公垂线，求ANAF的值；(3)记直线BE与平面ABC所成角为α，若tanα>217，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围．9(2024·安徽·二模)将正方形ABCD 绕直线AB 逆时针旋转90°，使得CD 到EF 的位置，得到如图所示的几何体．(1)求证：平面ACF ⊥平面BDE ；(2)点M 为DF 上一点，若二面角C -AM -E 的余弦值为13，求∠MAD ．10(2024·安徽黄山·二模)如图，已知AB 为圆台下底面圆O 1的直径，C 是圆O 1上异于A ,B 的点，D 是圆台上底面圆O 2上的点，且平面DAC ⊥平面ABC ，DA =DC =AC =2，BC =4，E 是CD 的中点，BF =2FD ．(1)证明：DO 2⎳BC ；(2)求直线DB 与平面AEF 所成角的正弦值.11(2024·黑龙江哈尔滨·一模)正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1的下底面边长为22，A 1B 1=12AB ，M 为BC 中点，已知点P 满足AP =1-λ AB +12λ⋅AD +λAA 1 ，其中λ∈0,1 ．(1)求证D 1P ⊥AC ；(2)已知平面AMC 1与平面ABCD 所成角的余弦值为37，当λ=23时，求直线DP 与平面AMC 1所成角的正弦值．12(2024·辽宁·三模)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ,AC =AA 1=2，AB =1,BC =3，点E 为线段AC 的中点.(1)求证：AB 1∥平面BEC 1；(2)若∠A 1AC =π3，求二面角A -BE -C 1的余弦值.13(2024·广东广州·一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，∠DCB=∠PCB=π4，点M，N分别为DP和AB的中点.(1)求证：MN⎳平面PBC；(2)求证：平面PBC⊥平面ABCD；(3)求CM与平面PAD所成角的正弦值.14(2024·广东梅州·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD 为直角梯形，△PAD为等边三角形，AD⎳BC，AD⊥AB，AD=AB=2BC=2．(1)求证：AD⊥PC；(2)点N在棱PC上运动，求△ADN面积的最小值；(3)点M为PB的中点，在棱PC上找一点Q，使得AM⎳平面BDQ，求PQQC的值．15(2024·广东广州·模拟预测)如图所示，圆台O1O2的轴截面A1ACC1为等腰梯形，AC=2AA1= 2A1C1=4,B为底面圆周上异于A,C的点，且AB=BC,P是线段BC的中点.(1)求证：C1P⎳平面A1AB.(2)求平面A1AB与平面C1CB夹角的余弦值.16(2024·广东深圳·二模)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C⊥底面ABC，且AB= AC，A1B=A1C．(1)证明：AA1⊥平面ABC；(2)若AA1=BC=2，∠BAC=90°，求平面A1BC与平面A1BC1夹角的余弦值．17(2024·河北保定·二模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PCD 内存在一条直线EF 与AB 平行，PA ⊥平面ABCD ，直线PC 与平面ABCD 所成的角的正切值为32，PA =BC =23，CD =2AB =4.(1)证明：四边形ABCD 是直角梯形.(2)若点E 满足PE =2ED ，求二面角P -EF -B 的正弦值.18(2024·湖南衡阳·模拟预测)如图，在圆锥PO 中，P 是圆锥的顶点，O 是圆锥底面圆的圆心，AC 是圆锥底面圆的直径，等边三角形ABD 是圆锥底面圆O 的内接三角形，E 是圆锥母线PC 的中点，PO =6,AC =4.(1)求证：平面BED ⊥平面ABD ；(2)设点M 在线段PO 上，且OM =2，求直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值.19(2024·湖南岳阳·三模)已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为4的菱形，∠DAB =60°，PA =PC ，PB =PD =210，M 是线段PC 上的点，且PC =4MC ．(1)证明：PC ⊥平面BDM ；(2)点E 在直线DM 上，求BE 与平面ABCD 所成角的最大值．20(2024·湖南·二模)如图，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的菱形，∠ABC =60°,BD 1⊥平面A 1C 1D .(1)求四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积；(2)设点D 1关于平面A 1C 1D 的对称点为E ，点E 和点C 1关于平面α对称(E 和α未在图中标出)，求平面A 1C 1D 与平面α所成锐二面角的大小.21(2024·山东济南·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=∠PCB=60°,CD=1,AB=3,PC=23，平面PCB⊥平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点.(1)证明：PF⊥AD；(2)当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为74.22(2024·山东潍坊·二模)如图1，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=4，∠ABC=60°，E为CD 的中点，将△ADE沿AE折起，连结BD，CD，且BD=4，如图2．(1)求证：图2中的平面ADE⊥平面ABCE；(2)在图2中，若点F在棱BD上，直线AF与平面ABCE所成的角的正弦值为3010，求点F到平面DEC 的距离．23(2024·福建·模拟预测)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB,AB⊥BC,AB=3,BC=6，已知二面角P-AB-C的大小为θ，∠PAB=θ.(1)求点P到平面ABC的距离；(2)当三棱锥P-ABC的体积取得最大值时，求：(Ⅰ)二面角P-AB-C的余弦值；(Ⅱ)直线PC与平面PAB所成角.24(2024·浙江杭州·二模)如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，∠DAB=60°, BC=2PQ=4AB=4,M为BC的中点，PQ∥BC,PD⊥DC,QB⊥MD．(1)证明：∠ABQ=90°；(2)若多面体ABCDPQ的体积为152，求平面PCD与平面QAB夹角的余弦值．25(2024·浙江嘉兴·二模)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD,PA∥QD，BC=2AB=2PA=2,∠ABC=60°.(1)证明：平面PCD⊥平面PAC；(2)若PQ=22，求平面PCQ与平面DCQ夹角的余弦值.26(2024·浙江绍兴·二模)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=4，AC=2，∠CAB=60°，BC⊥AP.(1)证明：平面ACP⊥平面ABC；(2)若PA=2，PB=4，求二面角P-AB-C的平面角的正切值.27(2024·河北沧州·一模)如图，在正三棱锥A -BCD 中，BC =CD =BD =4，点P 满足AP=λAC ，λ∈(0,1)，过点P 作平面α分别与棱AB ，BD ，CD 交于Q ，S ，T 三点，且AD ⎳α，BC ⎳α.(1)证明：∀λ∈(0,1)，四边形PQST 总是矩形；(2)若AC =4，求四棱锥C -PQST 体积的最大值.28(2024·湖北·二模)如图1．在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，AB =4，AE =λAD ，AF =λAB(0<λ<1)，沿EF 将△AEF 向上折起得到棱锥P -BCDEP ．如图2所示，设二面角P -EF -B 的平面角为θ．(1)当λ为何值时，三棱锥P -BCD 和四棱锥P -BDEF 的体积之比为95(2)当θ为何值时，∀λ∈0,1 ，平面PEF 与平面PFB 的夹角φ的余弦值为5529(2024·湖北·模拟预测)空间中有一个平面α和两条直线m ，n ，其中m ，n 与α的交点分别为A ，B ，AB =1，设直线m 与n 之间的夹角为π3，(1)如图1，若直线m ，n 交于点C ，求点C 到平面α距离的最大值；(2)如图2，若直线m ，n 互为异面直线，直线m 上一点P 和直线n 上一点Q 满足PQ ⎳α，PQ ⊥n 且PQ ⊥m ，(i )求直线m ，n 与平面α的夹角之和；(ii )设PQ =d 0<d <1 ，求点P 到平面α距离的最大值关于d 的函数f d ．30(2024·浙江绍兴·模拟预测)如图所示，四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1，底面ABCD 为一个菱形，且∠BAD =120°. 底面与顶面的对角线交点分别为O ，O 1. AB =2A 1B 1=2，BB 1=DD 1=392，AA 1与底面夹角余弦值为3737.(1)证明：OO 1⊥平面ABCD ；(2)现将顶面绕OO 1旋转θ角，旋转方向为自上而下看的逆时针方向. 此时使得底面与DC 1的夹角正弦值为64343，此时求θ的值(θ<90°)；(3)求旋转后AA 1与BB 1的夹角余弦值.大题 立体几何1(2024·黑龙江·二模)如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，M 是BC 的中点，N 是AB 1的中点，P 是B 1C 1的中点．(1)证明：MN ⎳平面A 1CP ；(2)求点P 到直线MN 的距离．【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】(1)建立如图空间直角坐标系A -xyz ，设平面A 1CP 的一个法向量为n=(x ,y ,z )，利用空间向量法证明MN ⋅n=0即可；(2)利用空间向量法即可求解点线距.【详解】(1)由题意知，AA 1⊥平面ABC ，∠BAC =60°，而AB ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥AB ，在平面ABC 内过点A 作y 轴，使得AB ⊥y 轴，建立如图空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0),B (2,0,0),C (1,3,0),A 1(0,0,2),B 1(2,0,2)，得M 32,32,0,N (1,0,1),P 32,32,2，所以A 1C =(1,3,-2),A 1P =32,32,0 ,MN =-12,-32,1 ，设平面A1CP 的一个法向量为n=(x ,y ,z )，则n ⋅A 1C=x +3y -2z =0n ⋅A 1P =32x +32y =0，令x =1，得y =-3,z =-1，所以n=(1,-3,-1)，所以MN ⋅n =-12×1+-32×(-3)+1×(-1)=0，又MN 不在平面A 1CP 内即MN ⎳平面A 1CP ；(2)如图，连接PM ，由(1)得PM =(0,0,-2)，则MN ⋅PM =-2，MN =2,PM =2，所以点P 到直线MN 的距离为d =PM 2-MN ⋅PMPM2= 3.2(2024·安徽合肥·二模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =60°,M 是侧棱PC 的中点，侧面PAD 为正三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．(1)求三棱锥M -ABC 的体积；(2)求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】(1)12(2)3311．【分析】(1)作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，由中位线得到M 到平面ABCD 的距离为32，进而由锥体体积公式求出答案；(2)证明出BO ⊥AD ，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而由法向量的夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值.【详解】(1)如图所示，取AD 的中点O ，连接PO ．因为△PAD 是正三角形，所以PO ⊥AD ．又因为平面PAD ⊥底面ABCD ,PO ⊂平面PAD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，且PO =3．又因为M 是PC 的中点，M 到平面ABCD 的距离为32，S △ABC =12×2×2×sin 2π3=3，所以三棱锥M -ABC 的体积为13×3×32=12．(2)连接BO ,BD ，因为∠BAD =π3，所以△ABD 为等边三角形，所以BO ⊥AD ，以O 为原点，OA ,OB ,OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P 0,0,3 ,A 1,0,0 ,B 0,3,0 ,C -2,3,0 ，所以M -1,32,32 ,AM =-2,32,32,PB =0,3,-3 ,BC =-2,0,0 ．设平面PBC 的法向量为n=x ,y ,z ，则PB ⋅n =0BC ⋅n =0，即3y -3z =0-2x =0 ，解得x =0，取z =1，则y =1，所以n=0,1,1 ．设AM 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ=cos AM ,n =AM ⋅nAM ⋅n=-2,32,32 ⋅0,1,14+34+34×1+1=3311．即AM 与平面PBC 所成角的正弦值为3311．3(2023·福建福州·模拟预测)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ,AB =AC =BC =AA 1=2，A 1B =6．(1)设D 为AC 中点，证明：AC ⊥平面A 1DB ；(2)求平面A 1AB 1与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)55【分析】(1)根据等边三角形的性质得出BD ⊥AC ，根据平面ACC 1A 1⊥平面ABC 得出BD ⊥平面ACC 1A 1，BD ⊥A 1D ，利用勾股定理得出AC ⊥A 1D ，从而证明AC ⊥平面A 1DB ；(2)建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面A 1AB 1的法向量和平面ACC 1A 1的一个法向量，利用向量求平面A 1AB 1与平面ACC 1A 1的夹角余弦值．【详解】(1)证明：因为D 为AC 中点，且AB =AC =BC =2，所以在△ABC 中，有BD ⊥AC ，且BD =3，又平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，且平面ACC 1A 1∩平面ABC =AC ，BD ⊂平面ABC ,所以BD ⊥平面ACC 1A 1，又A 1D ⊂平面ACC 1A 1，则BD ⊥A 1D ，由A 1B =6，BD =3，得A 1D =3，因为AD =1，AA 1=2，A 1D =3，所以由勾股定理，得AC ⊥A 1D ，又AC ⊥BD ，A 1D ∩BD =D ,A 1D ,BD ⊂平面A 1DB ，所以AC ⊥平面A 1DB ；(2)如图所示，以D 为原点，建立空间直角坐标系D -xyz ，可得A (1,0,0),A 1(0,0,3),B (0,3,0)，则AA 1 =-1,0,3 ,AB=-1,3,0 ，设平面A 1AB 1的法向量为n=(x ,y ,z )，由n ⋅AA 1=-x +3z =0n ⋅AB=-x +3y =0，令x =3，得y =1，z =1，所以n=3,1,1 ,由(1)知，BD ⊥平面ACC 1A 1，所以平面ACC 1A 1的一个法向量为BD=(0,-3,0)，记平面A 1AB 1与平面ACC 1A 1的夹角为α，则cos α=|n ⋅BD ||n ||BD |=35×3=55，所以平面A 1AB 1与平面ACC 1A 1夹角的余弦值为55．4(2024·山西晋中·三模)如图，在六面体ABCDE 中，BC =BD =6，EC ⊥ED ，且EC =ED =2，AB 平行于平面CDE ，AE 平行于平面BCD ，AE ⊥CD .(1)证明：平面ABE ⊥平面CDE ；(2)若点A 到直线CD 的距离为22，F 为棱AE 的中点，求平面BDF 与平面BCD 夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)10535【分析】(1)设平面ABE 与直线CD 交于点M ，使用线面平行的性质，然后用面面垂直的判定定理即可；(2)证明BE ⊥平面CDE ，然后构造空间直角坐标系，直接用空间向量方法即可得出结果.【详解】(1)设平面ABE 与直线CD 交于点M ，连接ME ,MB ，则平面ABE 与平面CDE 的交线为ME ，平面ABE 与平面BCD 的交线为MB ，因为AB 平行于平面CDE ，AB ⊂平面ABE ，平面ABE 和平面CDE 的交线为ME ，所以AB ∥ME ．同理AE ∥MB ，所以四边形ABME 是平行四边形，故AE ∥MB ，AB ∥ME .因为CD ⊥AE ，AE ∥MB ，所以CD ⊥MB ，又BC =BD =6，所以M 为棱CD 的中点在△CDE 中，EC =ED ，MC =MD ，所以CD ⊥ME ，由于AB ∥ME ，故CD ⊥AB .而CD ⊥AE ，AB ∩AE =A ，AB ,AE ⊂平面ABE ，所以CD ⊥平面ABE ，又CD ⊂平面CDE ，所以平面ABE ⊥平面CDE .(2)由(1)可知，CD ⊥平面ABME ，又AM ⊂平面ABME ，所以CD ⊥AM .而点A 到直线CD 的距离为22，故AM =2 2.在等腰直角三角形CDE 中，由EC =ED =2,得CD =2,MC =MD =ME =1.在等腰三角形BCD 中，由MC =MD =1，BC =BD =6，得BM = 5.在平行四边形ABME 中，AE =BM =5，AB =EM =1，AM =22，由余弦定理得cos ∠MEA =EM 2+AE 2-AM 22EM ·AE=-55，所以cos ∠BME =55，所以BE =BM 2+EM 2-2BM ·EM cos ∠BME =2.因为BE 2+ME 2=22+12=5 2=BM 2，所以BE ⊥ME .因为平面ABME ⊥平面CDE ，平面ABME 和平面CDE 的交线为ME ，BE 在平面ABME 内.所以BE ⊥平面CDE .如图，以E 为坐标原点，EC ,ED ,EB 分别为x ,y ,z 轴正方向，建立空间直角坐标系.则E 0,0,0 ,C 2,0,0 ,D 0,2,0 ,B 0,0,2 ,A -22,-22,2 ,F -24,-24,1.所以CD =-2,2,0 ,DB =0,-2,2 ,FB =24,24,1 .设平面BCD 的法向量为m=x 1,y 1,z 1 ，则m ⋅CD=0m ⋅DB =0，即-2x 1+2y 1=0-2y 1+2z 1=0 .则可取x 1=2，得m=2,2,2 .设平面BDF 的法向量为n =x 2,y 2,z 2 ，则n ⋅FB =0n ⋅DB=0，即24x 2+24y 2+z 2=0-2y 2+2z 2=0.取z 2=1，则n=-32,2,1 ．设平面BDF 与平面BCD 的夹角为θ，则cos θ=m ⋅n m ⋅n =-3210×21=10535.所以平面BDF 与平面BCD 夹角的余弦值为10535.5(2024·辽宁·二模)棱长均为2的斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1在平面ABC 内的射影O 在棱AC 的中点处，P 为棱A 1B 1(包含端点)上的动点．(1)求点P 到平面ABC 1的距离；(2)若AP ⊥平面α，求直线BC 1与平面α所成角的正弦值的取值范围．【答案】(1)23913；(2)25,104.【分析】(1)以O 为原点建立空间直角坐标系，求出平面ABC 1的法向量，再利用点到平面距离的向量求法求解即得.(2)由向量共线求出向量AP的坐标，再利用线面角的向量求法列出函数关系，并求出函数的值域即可.【详解】(1)依题意，A 1O ⊥平面ABC ，OB ⊥AC (底面为正三角形)，且A 1O =OB =3，以O 为原点，OB ,OC ,OA 1的方向分别为x ,y ,z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，则O (0,0,0),A (0,-1,0),B (3,0,0),C (0,1,0),A 1(0,0,3),C 1(0,2,3)，AC 1 =(0,3,3)，BC 1 =(-3,2,3)，AA 1 =(0,1,3)，由A 1B 1⎳AB ，A 1B 1⊄平面ABC 1，AB ⊂平面ABC 1，则A 1B 1⎳平面ABC 1，即点P 到平面ABC 1的距离等于点A 1到平面ABC 1的距离，设n =(x ,y ,z )为平面ABC 1的一个法向量，由n ⋅AC 1=3y +3z =0n ⋅BC 1=-3x +2y +3z =0，取z =3，得n=(1,-3,3)，因此点A 1到平面ABC 1的距离d =|AA 1 ⋅n||n |=2313=23913，所以点P 到平面ABC 1的距离为23913．(2)设A 1P =λA 1B 1 ，λ∈[0,1]，则AP =AA 1 +A 1P =AA 1 +λAB=(0,1,3)+λ(3,1,0)=(3λ,1+λ,3)，由AP ⊥α，得AP为平面α的一个法向量，设直线BC 1与平面α所成角为θ，则sin θ=|cos ‹BC 1 ,AP ›|=|BC 1 ⋅AP||BC 1 ||AP |=|5-λ|10⋅3λ2+(1+λ)2+3=5-λ25⋅2λ2+λ+2，令t =5-λ，则λ=5-t ，t ∈[4,5]，则sin θ=t 25⋅2(5-t )2+(5-t )+2=t25⋅2t 2-21t +57=125⋅2-21t+57t 2=125571t-7382+576，由t ∈[4,5]，得1t ∈15,14 ，于是571t -738 2+576∈225,516，25⋅571t -738 2+576∈2105,52 ，则sin θ∈25,104，所以直线BC 1与平面α所成角的正弦值的取值范围是25,104.6(2024·重庆·模拟预测)在如图所示的四棱锥P -ABCD 中，已知AB ∥CD ，∠BAD =90°，CD =2AB ，△PAB 是正三角形，点M 在侧棱PB 上且使得PD ⎳平面AMC ．(1)证明：PM =2BM ；(2)若侧面PAB ⊥底面ABCD ，CM 与底面ABCD 所成角的正切值为311，求二面角P -AC -B 的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)1010．【分析】(1)连接BD 与AC 交于点E ，连接EM ，由已知得AB CD=EBED ，由线面平行的性质得PD ∥EM ，根据三角形相似可得EB ED =BM PM=12，即PM =2BM(2)设AB 的中点O ，首先由已知得PO ⊥底面ABCD ，在△PAB 中过点M 作MF ∥PO 交AB 于点F ，得MF ⊥底面ABCD ，则∠MCF 为CM 与底面ABCD 所成角，在底面ABCD 上过点O 作OG ⊥AC 于点G ，则∠PGO 是二面角P -AC -B 的平面角，根据条件求解即可【详解】(1)证明：连接BD 与AC 交于点E ，连接EM ，在△EAB 与△ECD 中，∵AB ∥CD ，∴AB CD=EBED ，由CD =2AB ，得ED =2EB ，又∵PD ⎳平面AMC ，而平面PBD ∩平面AMC =ME ，PD ⊂平面PBD ，∴PD ∥EM ，∴在△PBD 中，EB ED =BM PM=12，∴PM =2BM ；(2)设AB 的中点O ，在正△PAB 中，PO ⊥AB ，而侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB ∩底面ABCD =AB ，且PO ⊂平面PAB ，∴PO ⊥底面ABCD ，在△PAB 中过点M 作MF ⎳PO 交AB 于点F ，∴MF ⊥底面ABCD ，∴∠MCF 为CM 与底面ABCD 所成角，∴MF CF=311，设AB =6a ，则MF=3a，∴CF=11a，BF=MF3=a，则在直角梯形ABCD中，AF=5a，而CD=12a，则AD=11a2-12a-5a2=62a，在底面ABCD上过点O作OG⊥AC于点G，则∠PGO是二面角P-AC-B的平面角，易得OA=3a，AC=66a，在梯形ABCD中，由OAOG=ACAD⇒3aOG=66a62a，得OG=3a，在Rt△POG中，PG=30a，∴cos∠PGO=OGPG=1010．7(2024·安徽·模拟预测)2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体ABG-CDEHF是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD是矩形，AB=8m，AD=4m，ED=CF=1m，且ED，CF都垂直于平面ABCD，GA=GB=5m，HE=HF，平面ABG⊥平面ABCD．(1)求点H到平面ABCD的距离；(2)求平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)4(2)413【分析】(1)取AB,CD的中点M,N，证得平面ADE⎳平面MNHG，得到AE⎳GH，再由平面ABG⎳平面CDEHG，证得AG⎳EH，得到平行四边形AGHE，得到GH=AE，求得HN=4，结合HN⊥平面ABCD，即可求解；(2)以点N为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面BFHG和平面AGHE的法向量n =(1,3,4)和m =(1,-3,4)，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】(1)如图所示，取AB,CD的中点M,N，连接GM,MN,HN，因为GA=GB，可得GM⊥AB，又因为平面ABG⊥平面ABCD，且平面ABG∩平面ABCD=AB，GM⊂平面ABG，所以GM⊥平面ABCD，同理可得：HN⊥平面ABCD，因为ED⊥平面ABCD，所以ED⎳HN，又因为ED⊄平面MNHG，HN⊂平面MNHG，所以ED⎳平面MNHG，因为MN⎳AD，且AD⊄平面MNHG，MN⊂平面MNHG，所以AD⎳平面MNHG，又因为AD∩DE=D，且AD,DE⊂平面ADE，所以平面ADE⎳平面MNHG，因为平面AEHG与平面ADE和平面MNHG于AE,GH，可得AE⎳GH，又由GM⎳HN，AB⎳CD，且AB∩GM=M和CD∩HN=N，所以平面ABG⎳平面CDEHG，因为平面AEHG与平面ABG和平面CDEHF于AG,EH，所以AG⎳EH，可得四边形AGHE 为平行四边形，所以GH =AE ，因为AE =AD 2+DE 2=42+12=17，所以GH =17，在直角△AMG ，可得GM =GB 2-AB 22=52-42=3，在直角梯形GMNH 中，可得HN =3+17-42=4，因为HN ⊥平面ABCD ，所以点H 到平面ABCD 的距离为4.(2)解：以点N 为原点，以NM ,NC ,NH 所在的直线分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则E (0,-4,1),F (0,4,1),G (4,0,3),H (0,0,4)，可得HE =(0,-4,-3),HF =(0,4,-3),HG=(4,0,-1)，设平面BFHG 的法向量为n=(x ,y ,z )，则n ⋅HG=4x -z =0n ⋅HF=4y -3z =0，取z =4，可得x =1,y =3，所以n=(1,3,4)，设平面AGHE 的法向量为m=(a ,b ,c )，则m ⋅HG=4a -c =0m ⋅HE=-4b -3c =0，取c =4，可得a =1,b =-3，所以m=(1,-3,4)，则cos m ,n =m ⋅n m n=1-9+161+9+16⋅1+9+16=413，即平面BFHG 与平面AGHE 所成锐二面角的余弦值413.8(2024·重庆·模拟预测)如图，ACDE 为菱形，AC =BC =2，∠ACB =120°，平面ACDE ⊥平面ABC ，点F 在AB 上，且AF =2FB ，M ，N 分别在直线CD ，AB 上．(1)求证：CF ⊥平面ACDE ；(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若∠EAC =60°，MN 为直线CD ，AB 的公垂线，求ANAF的值；(3)记直线BE 与平面ABC 所成角为α，若tan α>217，求平面BCD 与平面CFD 所成角余弦值的范围．【答案】(1)证明见解析(2)AN AF=913(3)528,255 【分析】(1)先通过余弦定理及勾股定理得到CF ⊥AC ，再根据面面垂直的性质证明；(2)以C 为原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系C -xyz ，利用向量的坐标运算根据MN ⋅CD =0MN ⋅AF =0，列方程求解即可；(3)利用向量法求面面角，然后根据tan α>217列不等式求解.【详解】(1)AB 2=AC 2+BC 2-2AC ⋅BC ⋅cos ∠ACB =12，AB =23，AF =2FB ，所以AF =433，CF=13CA +23CB ，CF 2=19CA 2+49CB 2+49CA ⋅CB =43，AC 2+CF 2=4+43=163=AF 2，则CF ⊥AC ，又因为平面ACDE ⊥平面ABC ，平面ACDE ∩平面ABC =AC ，CF ⊂面ABC ，故CF ⊥平面ACDE ；(2)以C 为原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系C -xyz ，由∠EAC =60°，可得∠DCA =120°，DC =2，所以C 0,0,0 ,D -1,0,3 ,A 2,0,0 ,F 0,233,0 所以AF =-2,233,0 ，CD =-1,0,3 ，设AN =λAF =-2λ,233λ,0 ，则N 2-2λ,233λ,0 ，设CM =μCD ，则M -μ,0,3μ ，MN =2-2λ+μ,233λ,-3μ ，由题知，MN ⋅CD=0MN ⋅AF =0 ⇒2λ-2-μ-3μ=04λ-4-2μ+43λ=0 ，解得λ=913，μ=-213，故AN AF=913；(3)B -1,3,0 ，设∠EAC =θ，则E 2-2cos θ,0,2sin θ ，BE=3-2cos θ,-3,2sin θ ，可取平面ABC 的法向量n=0,0,1 ，则sin α=cos n ,BE=n ⋅BEn ⋅BE =2sin θ 3-2cos θ 2+3+4sin 2θ=sin θ4-3cos θ，cos α=4-3cos θ-sin 2θ4-3cos θ，则tan α=sin θ4-3cos θ-sin 2θ>217，整理得10cos 2θ-9cos θ+2<0，故cos θ∈25,12，CF =0,23,0，CD =-2cos θ,0,2sin θ ，CB =-1,3,0 ，记平面CDF 的法向量为n 1 =x ,y ,z ，则有n 1 ⋅CD =0n 1 ⋅CF =0 ⇒-2x cos θ+2z sin θ=023y =0，可得n 1=sin θ,0,cos θ ，记平面CBD 的法向量为n 2 =a ,b ,c ，则有n 2 ⋅CD=0n 2 ⋅CB =0 ⇒-2a cos θ+2c sin θ=0-a +3b =0，可得n 2=3sin θ,sin θ,3cos θ ，记平面BCD 与平面CFD 所成角为γ，则cos γ=cos n 1 ,n 2 =33+sin 2θ，cos θ∈25,12 ，所以sin 2θ∈34,2125 ，3+sin 2θ∈152,465 ，故cos γ=33+sin 2θ∈528,255 ．9(2024·安徽·二模)将正方形ABCD 绕直线AB 逆时针旋转90°，使得CD 到EF 的位置，得到如图所示的几何体．(1)求证：平面ACF ⊥平面BDE ；(2)点M 为DF上一点，若二面角C -AM -E 的余弦值为13，求∠MAD ．【答案】(1)证明见解析(2)∠MAD =45°【分析】(1)根据面面与线面垂直的性质可得BD ⊥AF ，结合线面、面面垂直的判定定理即可证明；(2)建立如图空间直角坐标系，设∠MAD =α，AB =1，利用空间向量法求出二面角C -AM -E 的余弦值，建立方程1-sin αcos α1+sin 2α1+cos 2α=13，结合三角恒等变换求出α即可.【详解】(1)由已知得平面ABCD ⊥平面ABEF ，AF ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABEF =AB ，AF ⊂平面ABEF ，所以AF ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，故BD ⊥AF ，因为ABCD 是正方形，所以BD ⊥AC ，AC ，AF ⊂平面ACF ，AC ∩AF =A ，所以BD ⊥平面ACF ，又BD ⊂平面BDE ，所以平面ACF ⊥平面BDE .(2)由(1)知AD ，AF ，AB 两两垂直，以AD ，AF ，AB 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图.设∠MAD =α，AB =1，则A 0,0,0 ，M cos α,sin α,0 ，C 1,0,1 ，E 0,1,1 ，故AM =cos α,sin α,0 ，AC =1,0,1 ，AE =0,1,1设平面AMC 的法向量为m =x 1,y 1,z 1 ，则m ⋅AC =0，m ⋅AM=0故x 1+z 1=0x 1cos α+y 1sin α=0，取x 1=sin α，则y 1=-cos α，z 1=-sin α所以m=sin α,-cos α,-sin α设平面AME 的法向量为n =x 2,y 2,z 2 ，n ⋅AE =0，n ⋅AM=0故y 2+z 2=0x 2cos α+y 2sin α=0，取x 2=sin α，则y 2=-cos α，z 2=cos α所以n=sin α,-cos α,cos α ，所以cos m ,n =1-sin αcos α1+sin 2α1+cos 2α，由已知得1-sin αcos α1+sin 2α1+cos 2α=13，化简得：2sin 22α-9sin2α+7=0，解得sin2α=1或sin2α=72(舍去)故α=45°，即∠MAD =45°.10(2024·安徽黄山·二模)如图，已知AB 为圆台下底面圆O 1的直径，C 是圆O 1上异于A ,B 的点，D 是圆台上底面圆O 2上的点，且平面DAC ⊥平面ABC ，DA =DC =AC =2，BC =4，E 是CD 的中点，BF =2FD ．(1)证明：DO 2⎳BC ；(2)求直线DB 与平面AEF 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)68585【分析】(1)取AC 的中点O ，根据面面垂直的性质定理，可得DO ⊥平面ABC ，即可求证DO 2⎳OO 1，进而可证矩形，即可根据线线平行以及平行的传递性求解.(2)建系，利用向量法，求解法向量n =1,-12,3 与方向向量DB =(-1,4,-3)的夹角，即可求解．【详解】(1)证明：取AC 的中点为O ，连接DO ，OO 1，O 1O 2，∵DA =DC ，O 为AC 中点，∴DO ⊥AC ，又平面DAC ⊥平面ABC ，且平面DAC ∩平面ABC =AC ，DO ⊂平面DAC ,∴DO ⊥平面ABC ，∴DO ⎳O 1O 2，DO =O 1O 2，故四边形DOO 1O 2为矩形，∴DO 2⎳OO 1，又O ，O 1分别是AC ，AB 的中点，∴OO 1⎳BC ，∴DO 2⎳BC ；(2)∵C 是圆O 1上异于A ，B 的点，且AB 为圆O 1的直径，∴BC ⊥AC ，∴OO 1⊥AC ，∴如图以O 为原点建立空间直角坐标系，由条件知DO =3，∴A (1,0,0),B (-1,4,0),C (-1,0,0),D (0,0,3)，∴E -12,0,32 ，设F (x ,y ,z )，∴BF =(x +1,y -4,z )，FD=(-x ,-y ,3-z )，由BF =2FD ，得F -13,43,233 ，∴AF =-43,43,233 ，∴DB =(-1,4,-3)，AE =-32,0,32 ，设平面AEF 法向量为n=(x 1,y 1,z 1)，则n ⋅AE=-32x 1+32z 1=0n ⋅AF =-43x 1+43y 1+233z 1=0，取n =1,-12,3 ，设直线BD 与平面AEF 所成角为θ，则sin θ=|cos <n ,DB>|=625⋅172=68585∴直线BD 与平面AEF 所成角的正弦值为68585．11(2024·黑龙江哈尔滨·一模)正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1的下底面边长为22，A 1B 1=12AB ，M 为BC 中点，已知点P 满足AP =1-λ AB +12λ⋅AD +λAA 1，其中λ∈0,1 ．(1)求证D 1P ⊥AC ；(2)已知平面AMC 1与平面ABCD 所成角的余弦值为37，当λ=23时，求直线DP 与平面AMC 1所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)241391【分析】(1)方法一运用空间向量的线性运算，进行空间位置关系的向量证明即可.方法二：建立空间直角坐标系，进行空间位置关系的向量证明即可.(2)建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可.【详解】(1)方法一：∵A 1B 1=12AB ，∴AA 1 ⋅AB =AA 1 ⋅AD =22×22=2．∵D 1A =-12AD-AA 1∴D 1P =D 1A +AP =1-λ AB +12λ-12AD+λ-1 AA 1∴D 1P ⋅AC =1-λ AB +12λ-12AD +λ-1 AA 1 ⋅AB +AD =1-λ AB 2+12λ-12 AD2+λ-1 AB ⋅AA 1 +λ-1 AD ⋅AA 1=81-λ +812λ-12+4λ-1 =0．∴D 1P ⊥AC ，即D 1P ⊥AC ．方法二：以底面ABCD 的中心O 为原点，以OM 方向为y 轴，过O 点平行于AD 向前方向为x 轴，以过点O 垂直平面ABCD 向上方向为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h ，则有 A 2,-2,0 ，B 2,2,0 ，C -2,2,0 ，D -2,-2,0 ，A 122,-22,h ，C 1-22,22,h ，D 1-22,-22,h ，M 0,2,0 ，AC =-22,22,0AP =1-λ 0,22,0 +12λ-22,0,0 +λ-22,22,0 =-322λ,22-322λ,λhD 1A =322,-22,-h ，D 1P =D 1A +AP =-322λ+322,-322λ+322,λh -h ．故AC ⋅D 1P=0，所以D 1P ⊥AC ．(2)设平面ABCD 的法向量为n=0,0,1 ，设平面AMC 1的法向量为m =x ,y ,z ，AM =-2,22,0 ，AC 1 =-322,322,h ，则有AM ⋅m=0AC 1 ⋅m=0 ，即-2x +22y =0-322x +322y +hz =0，令x =22h ，则m=22h ,2h ,3 ．又题意可得cos m ,n =38h 2+2h 2+9=37，可得h =2．因为λ=23，经过计算可得P 0,0,43 ，D 1-22,-22,2 ，D 1P =2,2,43．将h =2代入，可得平面AMC 1的法向量m=42,22,3 ．设直线DP 与平面AMC 1所成角的为θsin θ=cos DP ,m =8+4+42+2+16932+8+9=241391．12(2024·辽宁·三模)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ,AC =AA 1=2，AB =1,BC =3，点E 为线段AC 的中点.(1)求证：AB 1∥平面BEC 1；(2)若∠A 1AC =π3，求二面角A -BE -C 1的余弦值.【答案】(1)证明见详解(2)-22【分析】(1)连接BC 1，交B 1C 于点N ，连接NE ，利用线面平行的判定定理证明；(2)由已知可知，△AA 1C 为等边三角形，故A 1E ⊥AC ，利用面面垂直的性质定理可证得A 1E ⊥底面ABC ，进而建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角余弦值.【详解】(1)连接BC 1，交B 1C 于点N ，连接NE ，因为侧面BCC 1B 1是平行四边形，所以N 为B 1C 的中点，又因为点E 为线段AC 的中点，所以NE ⎳AB 1，因为AB 1⊄面BEC 1，NE ⊂面BEC 1，所以AB 1⎳面BEC 1.(2)连接A 1C ，A 1E ，因为∠A 1AC =π3，AC =AA 1=2，所以△AA 1C 为等边三角形，A 1C =2，因为点E 为线段AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ，因为侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ，平面ACC 1A 1∩平面ABC =AC ，A 1E ⊂平面ACC 1A 1，所以A 1E ⊥底面ABC ，过点E 在底面ABC 内作EF ⊥AC ，如图以E 为坐标原点，分布以EF ，EC ，EA 1 的方向为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系，则E 0,0,0 ，B 32,-12,0 ，C 10,2,3 ，所以EB =32,-12,0 ，EC 1 =0,2,3 ，设平面BEC 1的法向量为m=x ,y ,z ，则m ⋅EB =32x -12y =0m ⋅EC 1=2y +3z =0，令x =1，则y =3,z =-2，所以平面BEC 1的法向量为m=1,3,-2 ，又因为平面ABE 的法向量为n=0,0,1 ，则cos m ,n =-21+3+4=-22，经观察，二面角A -BE -C 1的平面角为钝角，所以二面角A -BE -C 1的余弦值为-22.13(2024·广东广州·一模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，△DCP 是等边三角形，∠DCB =∠PCB =π4，点M ，N 分别为DP 和AB 的中点.(1)求证：MN ⎳平面PBC ；(2)求证：平面PBC ⊥平面ABCD ；(3)求CM 与平面PAD 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)33.【分析】(1)取PC 中点E ，由已知条件，结合线面平行的判断推理即得.(2)过P 作PQ ⊥BC 于点Q ，借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得.(3)建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【详解】(1)取PC 中点E ，连接ME ,BE ，由M 为DP 中点，N 为AB 中点，得ME ⎳DC ,ME =12DC ，又BN ⎳CD ,BN =12CD ，则ME ⎳BN ,ME =BN ，因此四边形BEMN 为平行四边形，于是MN ⎳BE ，而MN ⊄平面PBC ,BE ⊂平面PBC ，所以MN ⎳平面PBC .(2)过P 作PQ ⊥BC 于点Q ，连接DQ ，由∠DCB =∠PCB =π4,CD =PC ,QC =QC ，得△QCD ≌△QCP ，则∠DQC =∠PQC =π2，即DQ ⊥BC ，而PQ =DQ =2,PQ 2+DQ 2=4=PD 2，因此PQ ⊥DQ ，又DQ ∩BC =Q ,DQ ,BC ⊂平面ABCD ，则PQ ⊥平面ABCD ，PQ ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .(3)由(2)知，直线QC ,QD ,QP 两两垂直，以点Q 为原点，直线QC ,QD ,QP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则C (2,0,0),P (0,0,2),D (0,2,0),M 0,22,22,A (-2,2,0)，CM =-2,22,22,AD =(2,0,0),DP =(0,-2,2)，设平面PAD 的一个法向量n =(x ,y ,z )，则n ⋅AD=2x =0n ⋅DP=-2y +2z =0，令y =1，得n=(0,1,1)，设CM 与平面PAD 所成角为θ，sin θ=|cos ‹CM ,n ›|=|CM ⋅n||CM ||n |=23⋅2=33，所以CM 与平面PAD 所成角的正弦值是33.14(2024·广东梅州·二模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，△PAD 为等边三角形，AD ⎳BC ，AD ⊥AB ，AD =AB =2BC =2．(1)求证：AD ⊥PC ；(2)点N 在棱PC 上运动，求△ADN 面积的最小值；(3)点M 为PB 的中点，在棱PC 上找一点Q ，使得AM ⎳平面BDQ ，求PQQC的值．【答案】(1)证明见解析(2)2217(3)4【分析】(1)取AD 的中点H ，连接PH ，CH ，依题意可得四边形ABCH 为矩形，即可证明CH ⊥AD ，再由PH ⊥AD ，即可证明AD ⊥平面PHC ，从而得证；(2)连接AC 交BD 于点G ，连接MC 交BQ 于点F ，连接FG ，即可得到CG AG=12，再根据线面平行的性质得到CF FM =12，在△PBC 中，过点M 作MK ⎳PC ，即可得到MKCQ=2，最后由PQ =2MK 即可得解.【详解】(1)取AD 的中点H ，连接PH ，CH ，则AH ⎳BC 且AH =BC ，又AD ⊥AB ，所以四边形ABCH 为矩形，所以CH ⊥AD ，又△PAD 为等边三角形，所以PH ⊥AD ，PH ∩CH =H ，PH ,CH ⊂平面PHC ，所以AD ⊥平面PHC ，又PC ⊂平面PHC ，所以AD ⊥PC .(2)连接HN ，由AD ⊥平面PHC ，又HN ⊂平面PHC ，所以AD ⊥HN ，所以S △ADH =12AD ⋅HN =HN ，要使△ADN 的面积最小，即要使HN 最小，当且仅当HN ⊥PC 时HN 取最小值，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ，又HC ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥HC ，在Rt △HPC 中，CH =2，PH =3，所以PC =CH 2+PH 2=7，当HN ⊥PC 时HN =PH ⋅CH PC =237=2217，所以△ADN 面积的最小值为2217.(3)连接AC 交BD 于点G ，连接MC 交BQ 于点F ，连接FG ，因为AD ⎳BC 且AD =2BC =2，所以△CGB ∽△AGD ，所以CG AG =BC AD=12，因为AM ⎳平面BDQ ，又AM ⊂平面ACM ，平面BDQ ∩平面ACM =GF ，所以GF ⎳AM ，所以CF FM =CG AG=12，在△PBC 中，过点M 作MK ⎳PC ，则有MK CQ =MF CF=2，所以PQ =2MK ，所以PQ =2MK =4CQ ，即PQQC=415(2024·广东广州·模拟预测)如图所示，圆台O 1O 2的轴截面A 1ACC 1为等腰梯形，AC =2AA 1=2A 1C 1=4,B 为底面圆周上异于A ,C 的点，且AB =BC ,P 是线段BC 的中点.(1)求证：C 1P ⎳平面A 1AB .(2)求平面A 1AB 与平面C 1CB 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)17【分析】(1)取AB 的中点H ，连接A 1H ,PH ，证明四边形A 1C 1PH 为平行四边形，进而得C 1P ⎳A 1H ，即可证明；(2)建立空间直角坐标系，求两平面的法向量，利用平面夹角公式求解.【详解】(1)取AB 的中点H ，连接A1H ,PH ，如图所示，因为P 为BC 的中点，所以PH ⎳AC ,PH =12AC .在等腰梯形A 1ACC 1中，A 1C 1⎳AC ,A 1C 1=12AC ，所以HP ⎳A 1C 1,HP =A 1C 1，所以四边形A 1C 1PH 为平行四边形，所以C 1P ⎳A 1H ，又A 1H ⊂平面A 1AB ,C 1P ⊄平面A 1AB ，所以C 1P ⎳平面A 1AB .(2)因为AB =BC ,故O 2B ⊥AC ，以直线O 2A ,O 2B ，O 2O 1分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，在等腰梯形A 1ACC 1中，AC =2AA 1=2A 1C 1=4，此梯形的高为h =AA 21-AC -A 1C 122= 3.因为A 1C 1=12AC ,A 1C 1⎳AC ，。

千题百炼- 立体几何综合大题必刷100题(原卷版)

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专题20 立体几何综合大题必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，F 为线段AB 的中点.（1）求点B 到直线1AC 的距离；（2）求直线FC 到平面1AEC 的距离.2．如图，正方形11ABB A 的边长为2，11,AB A B 的中点分别为C ，1C ，正方形11ABB A 沿着1CC 折起形成三棱柱111ABC A B C -，三棱柱111ABC A B C -中，1,AC BC AD AA λ⊥=.（1）证明:当12λ=时，求证：1DC ⊥平面BCD ；（2）当14λ=时，求二面角1D BC C --的余弦值.3．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的正切值.4．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90.BAC ∠=︒点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =.（1）求证：//MN 平面BDE ；（2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE ，求线段AH 的长.5．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图.求异面直线PM 与OB 所成的角的余弦值.6．如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，三角形PAB 为正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，M 是棱AD 的中点．（1）求证：PC BM ⊥；（2）求二面角B PM C --的正弦值．7．已知点E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD ，BC 的中点.现将四边形EFCD 沿EF 折起，使二面角C EF B --为直二面角，如图所示.（1）若点G ，H 分别是AC ，BF 的中点，求证：//GH 平面EFCD ；（2）求直线AC 与平面ABFE 所成角的正弦值.8．已知如图1所示，等腰ABC 中，4AB AC ==，BC =D 为BC 中点，现将ABD 沿折痕AD 翻折至如图2所示位置，使得3BDC π∠=，E 、F 分别为AB 、AC 的中点．（1）证明：//BC 平面DEF ；（2）求四面体BCDE 的体积．9．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =2，BC =BB 1=4，1AC AB ==BCC 1=60°.（1）求证：平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1：（2）设二面角C -AC 1-B 的大小为θ，求sinθ的值.10．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，∠BAD =90°，已知PA PC ==，2,3AD AB BC ===.（1）证明：AC PD ⊥；（2）若二面角P AC B --的余弦值为13，求四棱锥P ABCD -的体积.11．如图，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 和侧面BCC 1B 1都是矩形，E 是CD 的中点，D 1E ⊥CD ，AB ＝2BC ＝2．（1）求证：平面CC 1D 1D ⊥底面ABCD ；（2）若平面BCC 1B 1与平面BED 1所成的锐二面角的大小为3π，求线段ED 1的长度．12．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △是斜边PA 的长为E ，F 分别是棱PA ，PC 的中点，M 是棱BC 上一点．（1）求证：平面DEM ⊥平面PAB ；（2）若直线MF 与平面ABCD E DM F --的余弦值．13．如图所示，四棱锥E ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面EAB ⊥底面ABCD ，EA EB =，F 在侧棱CE 上，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求点D 到平面ACE 的距离．14．在三棱锥B －ACD 中，平面ABD ⊥平面ACD ，若棱长AC ＝CD ＝AD ＝AB ＝1，且∠BAD ＝30°，求点D 到平面ABC 的距离．15．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12BB =，E 为棱1AA 的中点.（1）证明：BE ⊥平面11EB C ；（2）求二面角1B EC C --的大小.16．如下图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面SAD ⊥平面ABCD ，2SA SD ==，3AB =．（1）求SA 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：AB SD ⊥．17．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120,1,4,ABC AB BC PA ∠=︒===M ，N 分别为,BC PC 的中点，,PD DC PM MD ⊥⊥.（1）证明：AB PM ⊥；（2）求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值.19．如图，.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点（I ）求证BC PAC ⊥平面；（II ）设//.Q PA G AOC QG PBC ∆为的中点，为的重心，求证：平面20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，且CE AB ∥.（Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAD ；（Ⅰ）若1==PA AB ，3AD =，CD =，45CDA ∠=︒，求四棱锥P ABCD -的体积.21．如图，直三棱柱ABC A B C '''-，90BAC ∠=，,AB AC AA λ'==点M ，N 分别为A B '和B C ''的中点． (∠)证明：MN ∠平面A ACC '';(∠)若二面角A MN C '--为直二面角，求λ的值．22．如图，在三棱锥S ABC -中, 侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,90,BAC ∠=︒O 为BC 中点. （∠）证明：SO ⊥平面;ABC（∠）求二面角A SC B --的余弦值.23．如图，在四棱锥P—ABCD 中，底面是边长为ⅠBAD ＝120°，且PAⅠ平面ABCD ，PA ＝M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MNⅠ平面ABCD ；(2) 过点A 作AQⅠPC ，垂足为点Q ，求二面角A—MN—Q 的平面角的余弦值．24．如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====∠O 为AC 的中点． ∠1）证明：PO ⊥平面ABC ∠∠2）若点M在棱BC上，且2，求点C到平面POM的距离．MC MB25．如图，在三棱锥P∠ABC中，P A∠AB∠P A∠BC∠AB∠BC∠P A∠AB∠BC∠2∠D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：P A∠BD∠(2)求证：平面BDE∠平面P AC∠(3)当P A∠平面BDE时，求三棱锥E∠BCD的体积．26．如图，在四棱锥P-ABCD中，PAⅠCD，ADⅠBC，ⅠADC=ⅠPAB=90°，BC=CD=1AD．2（Ⅰ）在平面PAD 内找一点M ，使得直线CMⅠ平面PAB ，并说明理由；（Ⅰ）证明：平面PABⅠ平面PBD ．27．如图，在三棱台ABC–DEF 中，平面BCFEⅠ平面ABC ，ⅠACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（Ⅰ）求证：BFⅠ平面ACFD ；（Ⅰ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.28．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE 平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DEⅠ平面A 1C 1F.29．如图，在三棱锥111ABC A B C -中，11BAC 90AB AC 2,4,A AA ∠====，在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.∠1）证明：11D A BC A ⊥平面∠∠2）求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.30．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,,60,AB AD AC CD ABC PA AB BC ⊥⊥∠===，E 是PC 的中点．（∠）证明CD AE ⊥；（∠）证明PD ⊥平面ABE ；--的大小．（∠）求二面角A PD C任务二:中立模式(中档)30-70题31．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△P AD为正三角形，平面P AD⊥平面ABCD，E，F 分别是AD，CD的中点.（1）证明：BD⊥PF；（2）若AD=DB=2，求点C到平面PBD的距离；32．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠P AD为正三角形，平面P AD⊥平面ABCD，E，F 分别是AD，CD的中点．（1）证明：BD⊥PF；（2）若∠BAD=60°，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值；33．如图，在四棱锥E -ABCD 中，AB ⊥CE ，AE ⊥CD ，BC AD ∥，AB =3，CD =4，AD =2BC =10.（1）证明：∠AED 是锐角；（2）若AE =10，求二面角A -BE -C 的余弦值.34．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12A E EA =（1）若F 为1BB 的中点，试在11A B 上找一点P ，使//PF 平面1CD E ；（2）若四边形ABCD 是正方形，且1BB 与平面1CD E ，求二面角1E D C D --的余弦值.35．如图1，已知ADE 为等边三角形，四边形ABCD 为平行四边形，1,2,BC BD BA ===ADE 沿AD 向上折起，使点E 到达点P 位置，如图2所示；且平面PAD ⊥平面PBD ．（1）证明：PA BD ⊥；（2）在（1）的条件下求二面角A PB C --的余弦值．36．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，3AB =，1CD =，AD =60ABC ∠=，30BAD ∠=，点E 在AB 上，满足AD DE ⊥.（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）若点F 为PA 的中点，求平面PCD 与平面DEF 所成角的余弦值.37．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，22PA AB ==，90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，E 为PD 的中点，在平面PCD 内作EF PC ⊥于点F .（1）求证：平面AEF ⊥平面PAC ；（2）求二面角P AC E --的余弦值.38．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别在AB 、BC 上，且13AE AB =，13BF BC =．（1）求证：11A F C E ⊥；（2）求直线1A F 与平面1B EF 所成角的正弦值．39．如图，在多面体1111ABCD A B C D -中，1111,,,AA BB CC DD 均垂直于平面ABCD ，//AD BC ，11=2AB BC CD AA CC ====，1=1BB ，14AD DD ==.（1）证明：11A C ⊥平面11CDD C ；（2）求1BC 与平面11AA B B 所成角的余弦值.40．某商品的包装纸如图1，其中菱形ABCD 的边长为3，且60ABC ∠=︒，AE AF ==BE DF ==E ，F ，M ，N 汇聚为一点P ，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．（1）证明PA ⊥底面ABCD ；（2）设点T 为BC 上的点，且二面角B PA T --，试求PC 与平面P AT 所成角的正弦值．41．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，且P A =AB ，90PAB ∠=.（1）证明：PC BD ⊥；（2）若60ABC ∠=，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.42．1.如图，正方形ABCD 所在平面与等边ABE △所在平面成的锐二面角为60，设平面ABE 与平面CDE 相交于直线l ．（1）求证：//l CD ；（2）求直线DE 与平面BCE 所成角的正弦值．43．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，AB AD ⊥，平面APD ⊥平面ABCD ，点E 在AD 上，且AB BC AE ED ===，PA PD ==.（1）求证：CE PD ⊥.（2）设平面PAB ⋂平面PCD l =，求二面角E l A --的余弦值.44．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120ADC =∠︒，4BC =，M ，N 分别为BC ，PC 的中点，1,,CD PD DC PM MD =⊥⊥．（1）证明：BC PM ⊥；（2）若PA =BN 与平面PDC 所成角的正弦值．45．如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，120AOP ∠=，圆O 的直径4AB =，圆柱的高13OO =.（1）求点A到平面1A PO的距离；--的余弦值大小.（2）求二面角1A PB O46．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=2，点P为棱B1C1的中点，点Q为线段A1B上的一动点.（1）求证:当点Q为线段A1B的中点时，PQ⊥平面A1BC；BA，试问:是否存在实数λ，使得平面A1PQ与平面B1PQ（2）设BQ=λ1在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由.47．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90ABC ∠=︒，2PA =，AC =（1）求证：平面PBC ⊥平面PAB ；（2）若二面角P BC A --的大小为45︒，过点A 作AN PC ⊥于N ，求直线AN 与平面PBC 所成角的大小．48．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2PA AB ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：直线BD ⊥平面PAC ；（2）设点M 在线段PC 上，且二面角C MB A --的余弦值为57，求点M 到底面ABCD 的距离.49．如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长2的等边三角形，PA PC ==F 在线段BC 上，且3FC BF =，D 为AC 的中点，E 为的PD 中点.(Ⅰ)求证：EF //平面PAB ；(Ⅱ)若二面角P AC B --的平面角的大小为2π3，求直线DF 与平面PAC 所成角的正弦值.50．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，侧面是正方形，60DAB ∠=︒，经过对角线1AC 的平面和侧棱1BB 相交于点F ，且12B F BF =．（1）求证：平面1AC F ⊥平面11BCC B ；（2）求二面角1F AC C --的余弦值．51．直角梯形11AA B B 绕直角边1AA 旋转一周的旋转的上底面面积为9π，下底面面积为36π，侧面积为，且二面角111B AA C --为90，P ，Q 分别在线段1CC ，BC 上．（∠）若P ，Q 分别为1CC ，BC 中点，求1AB 与PQ 所成角的余弦值；（∠）若P 为1CC 上的动点、Q 为BC 的中点，求PQ 与平面11AAC C 所成最大角的正切值，并求此时二面角Q AP C --的余弦值．52．正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．（1）求新多面体的体积；（2）求二面角A BF C --的余弦值；（3）求新多面体为几面体？并证明．53．中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P ABCD -，其中AC BD ⊥于O ，4OA OB OD ===，8OC =，PO ⊥平面ABCD ．（1）求证：PD AC ⊥；（2）试验表明，当12PO OA =时，风筝表现最好，求此时直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．54．在陕西汉中勉县的汉江河与定军山武侯坪一带，经常出土有铜、铁扎马钉等兵器文物.扎马钉（如题21图（1））是三国时蜀汉的著名政治家、军事家诸葛亮所发明的一种对付骑兵的武器，状若荆刺，故学名蒺藜，有铜、铁两种.扎马钉有四个锋利的尖爪，随手一掷，三尖撑地，一尖直立向上，推倒上尖，下尖又起，始终如此，使触者不能避其锋而被刺伤.即总有一个尖垂直向上，三尖对称支承于地.简化扎马钉的结构，如图（2），记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O ，钉尖为i A （1,2,3,4i =）．（Ⅰ）判断四面体1234A A A A -的形状特征； （Ⅱ）若某个出土的扎马钉因年代久远，有一尖爪受损，其长度仅剩其他尖爪长度的23（即4123OA OA '=），如图（3），将2A ，3A ，4A '置于地面，求1OA 与面234A A A '所成角θ的正弦值.55．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体.（1）求新多面体的体积；（2）求正八面体AEFBH 中二面角A BF C --的余弦值；（3）判断新多面体为几面体？（只需给出答案，无需证明）56．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，AB CD =，E 为棱PB 上一点，AC 与BD 交于点O ，且AC BD ⊥，1AD =，3BC PC PB ===，PO =（1）证明：AC DE ⊥；（2）是否存在点E ，使二面角B DC E --E 点位置，若不存在，请说明理由．57．如图，在三棱柱111ABC A B C ﹣中点，E 在棱1BB 上，点F 在棱CC 1上，且点,E F 均不是棱的端点，1,AB AC BB ⊥＝平面,AEF 且四边形11AA B B 与四边形11AAC C 的面积相等.（1）求证：四边形BEFC 是矩形；（2）若2,AE EF BE ＝＝ABC 与平面AEF 所成角的正弦值.58．如图，在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,2,BAC AB AC A A A B ∠=︒====侧棱1A A ⊥平面,ABC 点D 在棱1CC 上，且1CD CC λ=（1）证明：1BB ⊥平面1AB C ；（2）当二面角C BD A --的余弦值为，求λ的值.59．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，1,45AB BC ABC ∠===，点M 在棱1CC 上，点N 是BC 的中点，且满足1AM B N ⊥.（1）证明：AM ⊥平面11A B N ；（2）若M 是1CC 的中点，求二面角111A B N C --的正弦值.60．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为4的菱形，PB BD PD ===PA =（1）证明：PC ⊥平面ABCD ；（2）如图，取BC 的中点为E ，在线段DE 上取一点F 使得23DF FE =，求二面角F PA C --的大小.61．如图，在底面是菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，60ABC ∠=，1112,AA AC A B A D ====E 在1A D 上．（1）求证：1AA ⊥平面ABCD ；（2）当E 为线段1A D 的中点时，求点1A 到平面EAC 的距离．62．已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC 、BD 交于点O ，4OP OA ==，3OB =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足()01PM MC λλ=<<．（1）若三棱锥P MBD -体积是169，求λ的值；（2）若直线PA 与平面MBD λ的值．63．光学器件在制作的过程中往往需要进行切割，现生产一种光学器件，有一道工序为将原材料切割为两个部分，然后在截面上涂抹一种光触媒化学试剂，加入纳米纤维导管后粘合.在如图所示的原材料器件直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA'＝a，现经过AB作与底面ABC所成角为θ的截面，且截面与B'C'，A'C'分别交于不同的两点E，F．（1）试求截面面积S随θ变化的函数关系式S（θ）；（2）当E和F分别为B C''和A C''的中点时，需要在线段AF上寻找一个点Q，用纳米纤维导管连接EQ，使得EQ与AB'所在直线的夹角最小，试求出纤维导管EQ的长．64．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，且E，M分别为BC，PD的中点，点F为棱PC上一动点．（1）证明：平面AEF ⊥平面P AD ．（2）若AB ＝P A ，在线段PC 上是否存在一点F ，使得二面角F ﹣AE ﹣M 定F 的位置；若不存在，说明理由．65．如图，三棱柱111ABC A B C -中，111AA B C =，11120BB C ∠=︒，1190AB C ∠=︒．（1）求证：ABC 为等腰三角形；（2）若11111AB C B AC ∠=∠，11B AB B BA ∠=∠，点M 在线段11B C 上，设111102B M B C λλ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，若二面角11A CM C --λ的值．66．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2AB AD ==，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，PA =（1）点E 在线段PC 上，37PE PC =，点F 在线段PD 上，35PF PD =，求证：PC ⊥平面AEF ； （2）设M 是直线AC 上一点，求CM 的长，使得MP 与平面PCD 所成角为45︒．67．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，1AB =，2PA =，E 为PB 的中点，点F 在棱PC 上，且PF PC λ=．（1）求直线CE 与直线PD 所成角的余弦值；（2）当直线BF 与平面CDE 所成的角最大时，求此时λ的值．68．如图，在四棱锥P ABCD ﹣中，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，且1AB BC ==，2AD =，PA PD =，M 为AD 的中点，平面PAD ⊥平面ABCD ，直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值为（1）求四棱锥PABCD ﹣的体积；（2）在棱CD 上(不含端点)是否存在一点Q ，使得二面角C AP Q --？若存在，请确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由.69．已知四棱锥P ABCD -P 中，底面ABCD 是平行四边形，PA AB =，PAD BAD ∠=∠，,E F 分别是,AB DC 的中点，2,3,AD PF PE ===（1）求证：AD ⊥平面PAB ；（2）若PB =B PC A --的余弦值.70．如图，矩形ABCD 中，AB ADλ=()1λ>，将其沿AC 翻折，使点D 到达点E 的位置，且二面角C AB E --为直二面角.（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；（2）设F 是BE 的中点，二面角E AC F --的平面角的大小为θ，当[]2,3λ∈时，求cos θ的取值范围.任务三:邪恶模式(困难)70-100题71．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为,PA BD 中点，2PA PD AD ===．（1）求证：//EF 平面PBC ；（2）求二面角E DF A --的余弦值；（3）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．72．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.∠()0BA PA PD ⋅+=；∠PC ∠点P 在平面ABCD 的射影在直线AD 上.如图，平面五边形PABCD 中，PAD △是边长为2的等边三角形，//AD BC ，22AB BC ==，AB BC ⊥，将PAD △沿AD 翻折成四棱锥P ABCD -，E 是棱PD 上的动点（端点除外），F M 、分别是AB CE 、的中点，且___________.（1）求证：AB FM ⊥；（2）当EF 与平面PAD 所成角最大时，求平面ACE 与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.73．蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H ABC -，J CDE -，K EFA -，再分别以AC ，CE ，EA 为轴将ACH ∆，CEJ ∆，EAK ∆分别向上翻转180︒，使H ，J ，K 三点重合为点S 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点S 的曲率的余弦值．74．2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.（Ⅰ）利用祖暅原理推导半径为R 的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体M ，几何体M 的底面半径和高都为R ，其底面和半球体的底面同在平面α内.设与平面α平行且距离为d 的平面β截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明；（Ⅱ）现将椭圆()222210x y a b a b+=>>所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球A ，B （如图），类比（Ⅰ）中的方法，探究椭球A 的体积公式，并写出椭球A ，B 的体积之比.75．如图，已知边长为2的正方形材料ABCD ，截去如图所示的阴影部分后，可焊接成一个正四棱锥的封闭容器.设FCB θ∠=.（1）用θ表示此容器的体积；（2）当此容器的体积最大时，求tan θ的值.76．如图，在四面体ABCD 中，AB AC ⊥，平面ACD 与平面BCD 垂直且CD =（1）若2AB AC ==，证明：45BCD ∠<︒；（2）若33AB AC ==，当ACD △与BCD 面积之和最大时，求二面角C AB D --的余弦值.77．某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，其底面边长为4，高为1（1）当圆弧E 2F 2（包括端点）上的点P 与B 1的最短距离为DB 1Ⅰ平面D 2EF ．（2）若D 1D 2＝3．当点P 在圆弧E 2E 2（包括端点）上移动时，求二面角P ﹣A 1C 1﹣B 1的正切值的取值范围．78．平面凸六边形11MBB NC C 的边长相等,其中11BB C C 为矩形,1190BMC B NC ∠=∠=︒．将BCM ,11B C N △分别沿BC ,11B C 折至ABC ,111A B C ,且均在同侧与平面11BB C C 垂直,连接1AA ,如图所示,E ,G 分别是BC ,1CC 的中点．（1）求证：多面体111ABC A B C -为直三棱柱；（2）求二面角1A EG A --平面角的余弦值．79．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是,PA PC 的中点.（1）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=.80．已知，图中直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，其中124AA AC BD ===.又点,,,E F P Q 分别在棱1111,,,AA BB CC DD 上运动，且满足：BF DQ =，1CP BF DQ AE -=-=.（1）求证：,,,E F P Q 四点共面，并证明EF Ⅰ平面PQB .（2）是否存在点P 使得二面角B PQ E --？如果存在，求出CP 的长；如果不存在，请说明理由.81．如图1，ADC ∆与ABC ∆是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，30ACB ACD ︒∠=∠=90ABC ADC ︒∠=∠=，2AB =，连接是,BD E 边BC 上一点，过E 作// EF BD ，交CD 于点F ，沿EF 将CEF ∆向上翻折，得到如图2所示的六面体,P ABEFD -（1）求证：;BD AP ⊥（2）设),(BE EC R λλ=∈若平面PEF ⊥底面ABEFD ，若平面PAB 与平面PDF λ的值；（3）若平面PEF ⊥底面ABEFD ，求六面体P ABEFD -的体积的最大值.82．设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球O 的球面上，PAB ∆是面积为AC BC ⊥，AC BC =，且平面PAB ⊥平面ABC .（1）确定O 的位置（需要说明理由），并证明：平面POC ⊥平面ABC .（2）与侧面PAB 平行的平面α与棱AC ，BC ，PC 分别交于D ，E ，F ，求四面体ODEF 的体积的最大值.83．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D 是AB 的中点，BC AC =，2AB DC ==，14AA =.（Ⅰ）求证：1//BC 平面1A CD ；（Ⅰ）求平面11BCC B 与平面1A CD 所成锐二面角的平面角的余弦值.84．如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角E 在母线PC 上，且1,AE CE EC BD ==⊥．（1）求证：平面BED ⊥平面ABD ；（2）设线段PO 上动点为M ，求直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值．85．如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为4的正三角形，侧面11ACC A ⊥底面ABC ，且侧面11ACC A 为菱形，160A AC ∠=.（1）求二面角1A AB C 所成角θ的正弦值.（2）,M N 分别是棱11A C ，11B C 的中点，又2AP BP =.求经过,,M N P 三点的平面截三棱柱111ABC A B C -的截面的周长.86．如图，在三棱台111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，侧面11ACC A 为等腰梯形，且1111AC AA ==，D 为11A C 的中点．（1）证明：AC BD ⊥；（2）记二面角1A AC B --的大小为θ，2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求直线1AA 与平面11BB C C 所成角的正弦值的取值范围．87．如图，在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别是AB ，AP 的中点，AB BC ⊥，MD PC ⊥，//MD BC ，1BC =，2AB =，3PB =，CD =PD =（Ⅰ）证明：//PC 平面MND ；（Ⅱ）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值．88．设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的离散曲率为12231111()2k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ π--∠+∠++∠+∠，其中Q i （i ＝1，2，…，k ，k ≥3）为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面Q 1PQ 2，平面Q 2PQ 3，…，平面Q k ﹣1PQ k 和平面Q k PQ 1遍历多面体M 的所有以P 为公共点的面．（1）如图1，已知长方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD ，AB ＝BC ＝1，1AA =P 为底面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则求四棱锥P ﹣ABCD 在点P 处的离散曲率的最小值；（2）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域？（确定“区域α”还是“区域β”）89．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，3PA PB ==．（1）证明：PAD PBC ∠=∠；（2）当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角P AB C 的大小．90．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在各顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π．（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数2=，证明：这类多面体的总曲率是常数．91．已知四棱锥T ABCD -的底面是平行四边形，平面α与直线AD ，TA ，TC 分别交于点P ，Q ，R 且AP TQ CRx AD TA CT===，点M 在直线TB 上，N 为CD 的中点，且直线//MN 平面α.（1）设TA a =，TB b =，TC c =，试用基底{},,a b c 表示向量TD ；（2）证明，四面体T ABC -中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形；（3）证明，对所有满足条件的平面α，点M 的线段上.92．如图，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，ⅠABC =3π，ⅠB 1BD =6π，11,B BA B BC ∠=∠11122,3AB A B B B ===。

立体几何大题20道

立体几何大题20道

立体几何大题20道1、（17年浙江）如图，已知四棱锥P-ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，PC=AD=2DC=2CB,E 为PD 的中点.（I ）证明：CE ∥平面PAB ；（II ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值2、(17新课标3)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD =CD ．（1）证明：AC ⊥BD ；（2）已知△ACD 是直角三角形，AB =BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．3、（17新课标2）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底ABCD ,1,2AB BC AD BAD ==∠90.ABC =∠=︒（1）证明：直线BC ∥平面PAD ;（2）若△PCD 的面积为，求四棱锥P ABCD -的体积.4、（17新课标1）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积.5、（17年山东）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD , （Ⅰ）证明：1A O ∥平面B 1CD 1;（Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.6、（17年北京）如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ； （Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积．7、（16年北京）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥（I ）求证：DC PAC ⊥平面；（II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；(III)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得PA CEF ∥平面?说明理由.8、（16年山东）在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB. （I ）已知AB=BC ，AE=EC.求证：AC ⊥FB ；（II ）已知G,H 分别是EC 和FB 的中点.求证：GH ∥平面ABC.9、（16年上海）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为56π，11A B 长为3π，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧. （1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.10、如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，12BC CD AD ==。

立体几何专题专练100题(含详解)

立体几何专题专练100题(含详解)

1.（本题满分15分）如图，在三棱锥D -ABC 中，DA =DB =DC ,D 在底面ABC 上的射影为E ，AB ⊥BC ，DF ⊥AB 于F ．（Ⅰ）求证：平面ABD ⊥平面DEF ；（Ⅱ）若AD ⊥DC ，AC =4，∠BAC =60°，求直线BE 与平面DAB 所成的角的正弦值.答案及解析：1.（Ⅰ）如图，由题意知⊥DE 平面ABC所以DE AB ⊥，又DFAB ⊥所以⊥AB 平面DEF ，………………3分又⊂AB 平面ABD 所以平面⊥ABD 平面DEF…………………6分（Ⅱ）解法一：由DC DB DA ==知ECEB EA ==所以E 是ABC ∆的外心又BC AB ⊥所以E 为AC 的中点…………………………………9分过E 作DF EH ⊥于H ，则由（Ⅰ）知⊥EH 平面DAB所以EBH ∠即为BE 与平面DAB 所成的角…………………………………12分由4=AC ， 60=∠BAC 得2=DE ，3=EF 所以7=DF ，732=EH 所以721sin ==∠BE EH EBH …………………………………15分解法二：如图建系，则)0,2,0(-A ，)2,0,0(D ，)0,1,3(-B 所以)2,2,0(--=DA ，)2,1,3(--=DB ……………………………………9分设平面DAB 的法向量为),,(z y x n =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DB n DA n 得⎩⎨⎧=--=--023022z y x z y ，取)1,1,33(-=n ………………12分设EB 与n 的夹角为θ所以7213722||||cos ==⋅=n EB nEB θ所以BE 与平面DAB 所成的角的正弦值为721………………………………15分2.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=AC=2AB=2，且BC 1⊥A 1C ．（1）求证：平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1；（2）设D是线段BB1的中点，求三棱锥D﹣ABC1的体积．答案及解析：2.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】（1）证明A1C⊥面ABC1，即可证明：平面ABC1⊥平面A1ACC1；（2）证明AC⊥面ABB1A1，利用等体积转换，即可求三棱锥D﹣ABC1的体积．【解答】（1）证明：在直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，有A1A⊥面ABC，而AB⊂面ABC，∴A1A⊥AB，∵A1A=AC，∴A1C⊥AC1，又BC1⊥A1C，BC1⊂面ABC1，AC1⊂面ABC1，BC1∩AC1=C1∴A1C⊥面ABC1，而A1C⊂面A1ACC1，则面ABC1⊥面A1ACC1…（2）解：由（1）知A1A⊥AB，A1C⊥面ABC1，A1C⊥AB，故AB⊥面A1ACC1，∴AB⊥AC，则有AC⊥面ABB1A1，∵D是线段BB1的中点，∴．…【点评】本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定，考查三棱锥D﹣ABC1的体积，考查学生分析解决问题的能力，正确运用定理是关键．3.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．（1）求证：CD⊥PD；（2）求证：EF∥平面PAD．答案及解析：3.【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．【分析】本题是高考的重要内容，几乎年年考，次次有：（1）的关键是找出直角三角形，也就是找出图中的线线垂直．（2）的关键是找出平面PAD中可能与EF平行的直线．【解答】解：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，而CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD、（2）取CD的中点G，连接EG、FG．∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD，∴平面EFG∥平面PAD，又∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面PAD．【点评】线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a∥α，b⊂α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β）．4.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．答案及解析：4.【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC．利用线面垂直的性质定理可得CC1⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）利用直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理即可得出ED∥AC1，再利用线面平行的判定定理即可证明结论【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．又因为AC=3，BC=4，AB=5，所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．又C1C∩BC=C，所以AC⊥平面CC1B1B，所以AC⊥BC1．（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，由已知可得E为C1B的中点，又∵D为AB的中点，∴DE为△BAC1的中位线．∴AC1∥DE又∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1．【点评】熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定和性质定理、直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理是解题的关键．5.已知在三棱锥S﹣ABC中，∠ACB=90°，又SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC．答案及解析：5.【考点】直线与平面垂直的判定．【专题】证明题．【分析】要证明AD⊥平面SBC，只要证明AD⊥SC（已知），AD⊥BC，而结合已知∠ACB=90°，又SA⊥平面ABC，及线面垂直的判定定理及性质即可证明【解答】证明：∵SA⊥面ABC，∴BC⊥SA；∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC、SA是面SAC内的两相交线，∴BC⊥面SAC；又AD⊂面SAC，∴BC⊥AD，又∵SC⊥AD，且BC、SC是面SBC内两相交线，∴AD⊥面SBC．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直，平面与平面垂直的相互转化，线面垂直的判定定理的应用，属于基础试题6.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AP=AB=，点E 是棱PB的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥平面PBC；（Ⅱ）若AD=1，求二面角B﹣EC﹣D的平面角的余弦值．答案及解析：6.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB．又PA=AB，从而AE⊥PB．由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，由此能证明AE⊥平面PBC．（Ⅱ）由BC⊥平面PAB，AD⊥AE．取CE的中点F，连结DF，连结BF，则∠BFD为所求的二面角的平面角，由此能求出二面角B﹣EC﹣D的平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图1，由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB．又PA=AB，故△PAB为等腰直角三角形，而点E是棱PB的中点，所以AE⊥PB．由题意知BC⊥AB，又AB是PB在面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE．因为AE⊥PB，AE⊥BC，所以AE⊥平面PBC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE．在Rt△PAB中，PA=AB=，AE=PB==1．从而在Rt△DAE中，DE==．在Rt△CBE中，CE==，又CD=，所以△CED为等边三角形，取CE的中点F，连结DF，则DF⊥CE，∵BE=BC=1，且BC⊥BE，则△EBC为等腰直角三角形，连结BF，则BF⊥CE，所以∠BFD为所求的二面角的平面角，连结BD，在△BFD中，DF=CD=，BF=，BD==，所以cos∠BFD==﹣，∴二面角B﹣EC﹣D的平面角的余弦值为﹣．【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．7.如图所示，四棱锥P ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点，二面角PADB为60°．（1）证明：平面PBC⊥平面ABCD；（2）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．答案及解析：7.证明：（1）连接PE，BE，∵PA=PD，BA=BD，而E为AD中点，∴PE⊥AD，BE⊥AD，∴∠PEB为二面角P﹣AD﹣B的平面角．在△PAD中，由PA=PD=，AD=2，解得PE=2．在△ABD中，由BA=BD=，AD=2，解得BE=1．在△PEB中，PE=2，BE=1，∠PEB=60˚，由余弦定理，解得PB==，∴∠PBE=90˚，即BE⊥PB．又BC∥AD，BE⊥AD，∴BE⊥BC，∴BE⊥平面PBC．又BE⊂平面ABCD，∴平面PBC⊥平面ABCD．解：（2）连接BF，由（1）知，BE⊥平面PBC，∴∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．∵PB=，∠ABP为直角，MB=PB=，∴AM=，∴EF=．又BE=1，∴在直角三角形EBF中，sin∠EFB==．∴直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）连接PE，BE，由已知推导出∠PEB为二面角P﹣AD﹣B的平面角，推导出BE⊥PB，BE⊥BC，由此能证明平面PBC⊥平面ABCD．（2）连接BF，由BE⊥平面PBC，得∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角，由此能求出直线EF与平面PBC所成角的正弦值．解答：证明：（1）连接PE，BE，∵PA=PD，BA=BD，而E为AD中点，∴PE⊥AD，BE⊥AD，∴∠PEB为二面角P﹣AD﹣B的平面角．在△PAD中，由PA=PD=，AD=2，解得PE=2．在△ABD中，由BA=BD=，AD=2，解得BE=1．在△PEB中，PE=2，BE=1，∠PEB=60˚，由余弦定理，解得PB==，∴∠PBE=90˚，即BE⊥PB．又BC∥AD，BE⊥AD，∴BE⊥BC，∴BE⊥平面PBC．又BE⊂平面ABCD，∴平面PBC⊥平面ABCD．解：（2）连接BF，由（1）知，BE⊥平面PBC，∴∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．∵PB=，∠ABP为直角，MB=PB=，∴AM=，∴EF=．又BE=1，∴在直角三角形EBF中，sin∠EFB==．∴直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．点评：本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养8.（15分）（2010秋•杭州校级期末）如图，已知△BCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，BC=CD=1，分别为AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）求直线AD与平面BEF所成角的正弦值．答案及解析：8.【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）通过证明CD⊥平面ABC，CD∥EF，说明EF⊂平面BEF，即可证明平面BEF⊥平面ABC；（2）过A作AH⊥BE于H，连接HF，可得AH⊥平面BEF，推出∠AFH为直线AD与平面BEF所成角．在Rt△AFH中，求直线AD与平面BEF所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD．又∵CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC．∵E、F分别为AC、AD的中点，∴EF∥CD．∴EF⊥平面ABC，∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC．（2）过A作AH⊥BE于H，连接HF，由（1）可得AH⊥平面BEF，∴∠AFH为直线AD与平面BEF所成角．在Rt△ABC中，为AC中点，∴∠ABE=30°，∴．在Rt△BCD中，BC=CD=1，∴．∴在Rt△ABD中，∴．∴在Rt△AFH中，，∴AD与平面BEF所成角的正弦值为．【点评】证明两个平面垂直，关键在一个面内找到一条直线和另一个平面垂直；利用三垂线定理找出二面角的平面角，解三角形求出此角，是常用方法．9.答案及解析：9.10.（12分）（2015秋•拉萨校级期末）如图，边长为2的正方形ABCD中，（1）点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．求证：A′D⊥EF（2）当BE=BF=BC时，求三棱锥A′﹣EFD的体积．答案及解析：10.【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）由正方形ABCD知∠DCF=∠DAE=90°，得A'D⊥A'F且A'D⊥A'E，所以A'D⊥平面A'EF．结合EF⊂平面A'EF，得A'D⊥EF；（2）由勾股定理的逆定理，得△A'EF是以EF为斜边的直角三角形，而A'D是三棱锥D﹣A'EF的高线，可以算出三棱锥D﹣A'EF的体积，即为三棱锥A'﹣DEF的体积．【解答】解：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，∴A'D⊥A'F，A'D⊥A'E，∵A'E∩A'F=A'，A'E、A'F⊆平面A'EF．∴A'D⊥平面A'EF．又∵EF⊂平面A'EF，∴A'D⊥EF．（2）由四边形ABCD为边长为2的正方形故折叠后A′D=2，A′E=A′F=，EF=则cos∠EA′F==则sin∠EA′F==•A′E•A′F•sin∠EA′F=故△EA′F的面积S△EA′F由（1）中A′D⊥平面A′EF可得三棱锥A'﹣EFD的体积V=××2=．【点评】本题以正方形的翻折为载体，证明两直线异面垂直并且求三棱锥的体积，着重考查空间垂直关系的证明和锥体体积公式等知识，属于中档题．11.（12分）（2015秋•沧州月考）如图，在△ABC中，AO⊥BC于O，OB=2OA=2OC=4，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，BD与AE相交于H，CD与AF相交于G，将△ABO 沿OA折起，使二面角B﹣OA﹣C为直二面角．（Ⅰ）在底面△BOC的边BC上是否存在一点P，使得OP⊥GH，若存在，请计算BP的长度；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣D的余弦值．答案及解析：11.【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】（Ⅰ）根据条件便知H，G分别为△AOB，△AOC的重心，从而有GH∥EF∥BC，并可说明∠BOC为直角，过O作OP⊥BC，从而有OP⊥GH，而根据摄影定理便有，这样即可求出BP的长度；（Ⅱ）根据上面知OB，OC，OA三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，从而可以根据条件求出图形上一些点的坐标，从而可以得到向量的坐标，可设平面AGH的法向量为，而根据即可求出，同样的方法可以求出平面DGH的一个法向量，根据cos=即可得出二面角A﹣GH﹣D的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）H，G分别为△AOB和△AOC的重心；∴；连接EF，则GH∥EF；由已知，EF∥BC，∴GH∥BC；∵OA⊥OB，OA⊥OC，二面角B﹣OA﹣C为直二面角；∴∠BOC为直角；∴在Rt△BOC中，过O作BC的垂线，垂足为P，OP⊥BC，又BC∥GH；∴OP⊥GH，则由摄影定理得：OB2=BP•BC；∴；（Ⅱ）分别以OB，OC，OA为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：O（0，0，0），A（0，0，2），D（0，0，1），B（4，0，0），C（0，2，0），H（），；∴，；设为平面AGH的法向量，则：；取x1=1，则y1=2，z1=1，∴；设为平面DGH的法向量，则：；取x2=1，则；∴；∴由图可知二面角A﹣GH﹣D为锐角，∴该二面角的余弦值为．【点评】考查三角形重心的概念及其性质，平行线分线段成比例，三角形中位线的性质，以及二面角的平面角的定义，直角三角形的摄影定理的内容，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决二面角问题的方法，平面的法向量的概念及求法，能求空间点的坐标，根据点的坐标求向量的坐标，向量垂直的充要条件，以及向量夹角的余弦公式，清楚两平面所成二面角的大小和两平面的法向量夹角的关系．12.（12分）（2014•芜湖模拟）如图，E是以AB为直径的半圆上异于A、B的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2．（1）求证：EA⊥EC；（2）设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F．①试证：EF∥AB；②若EF=1，求三棱锥E﹣ADF的体积．答案及解析：12.【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）利用面面垂直的性质，可得BC⊥平面ABE，再利用线面垂直的判定证明AE⊥面BCE，即可证得结论；（2）①先证明AB∥面CED，再利用线面平行的性质，即可证得结论；②取AB中点O，EF的中点O′，证明AD⊥平面ABE，利用等体积，即可得到结论．【解答】（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB，BC⊂平面ABCD∴BC⊥平面ABE∵AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE∵E在以AB为直径的半圆上，∴AE⊥BE∵BE∩BC=B，BC，BE⊂面BCE∴AE⊥面BCE∵CE⊂面BCE，∴EA⊥EC；（2）①证明：设面ABE∩面CED=EF∵AB∥CD，AB⊄面CED，CD⊂面CED，∴AB∥面CED，∵AB⊂面ABE，面ABE∩面CED=EF∴AB∥EF；②取AB中点O，EF的中点O′，在Rt△OO′F中，OF=1，O′F=，∴OO′=∵BC⊥面ABE，AD∥BC∴AD⊥平面ABE∴V E﹣ADF =V D﹣AEF===【点评】本题考查面面垂直的性质，线面垂直的判定与性质，考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13.（12分）（2014•浙江模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．答案及解析：13.【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC．利用线面垂直的性质定理可得CC1⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）利用直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理即可得出ED∥AC1，再利用线面平行的判定定理即可证明结论【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．又因为AC=3，BC=4，AB=5，所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．又C1C∩BC=C，所以AC⊥平面CC1B1B，所以AC⊥BC1．（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，由已知可得E为C1B的中点，又∵D为AB的中点，∴DE为△BAC1的中位线．∴AC1∥DE又∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1．【点评】熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定和性质定理、直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理是解题的关键．14.如图，在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥底面ABC，且SB=AB=2，BC=，D、E 分别是SA、SC的中点．（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；（II）求二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小．答案及解析：14.【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理证明AD⊥平面BCD即可证明平面ACD⊥平面BCD．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角S﹣BD﹣E的余弦值．【解答】证明：（I）∵∠ABC=，∴BA⊥BC，建立如图所示的坐标系，则C（0，，0），A（2，0，0），D（1，0，1），E（0，，1），S（0，0，2），则=（﹣1，0，1），=（0，，0），=（1，0，1），则•=（﹣1，0，1）•（0，，0）=0，•=（﹣1，0，1）•（1，0，1）=﹣1+1=0，则⊥，⊥，即AD⊥BC，AD⊥BD，∵BC∩BD=B，∴AD⊥平面BCD；∵AD⊂平面BCD；∴平面ACD⊥平面BCD；（II）=（0，，1），则设平面BDE的法向量=（x，y，1），则，即，解得x=﹣1，y=，即=（﹣1，，1），又平面SBD的法向量=（0，，0），∴cos＜，＞==，则＜，＞=，即二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小为．【点评】本题主要考查空间面面垂直的判定，以及二面角的求解，利用向量法是解决二面角的常用方法．15.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．答案及解析：15.【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】计算题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）由面面垂直的性质定理证出PA⊥平面ABCD，从而得到AB、AD、AP两两垂直，因此以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立坐标系o﹣xyz，得A、D、E、C、P的坐标，进而得到、、的坐标．由数量积的坐标运算公式算出且，从而证出DE⊥AC且DE⊥AP，结合线面垂直判定定理证出ED⊥平面PAC，从而得到平面PED⊥平面PAC；（II）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，算出、夹角的余弦，即可得到直线PE与平面PAC所成的角θ的正弦值，由此建立关于θ的方程并解之即可得到λ=2．利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组算出=（1，﹣1，﹣1）是平面平面PCD的一个法向量，结合平面PAC的法向量，算出、的夹角余弦，再结合图形加以观察即可得到二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA∴PA⊥平面ABCD结合AB⊥AD，可得分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示…（2分）可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ）（λ＞0）∴，，得，，∴DE⊥AC且DE⊥AP，∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC．（4分）∵ED⊂平面PED∴平面PED⊥平面PAC（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，设直线PE与平面PAC所成的角为θ，则，解之得λ=±2∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐标为（0，0，2）（8分）设平面PCD的一个法向量为=（x0，y0，z0），，由，，得到，令x0=1，可得y0=z0=﹣1，得=（1，﹣1，﹣1）（10分）∴cos＜，（11分）由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为．（12分）【点评】本题在四棱锥中证明面面垂直，并且在线面所成角的正弦情况下求二面角A﹣PC ﹣D的余弦值．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定定理和利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法，属于中档题．16.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．答案及解析：16.（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）．=（﹣1，，0），=（0，，﹣1），=（﹣1，0，0），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则即，因此可取=（，1，）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，即：可取=（0，1，），cos＜＞==故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：﹣．考点：直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角．专题：计算题；证明题；综合题；数形结合；转化思想．分析：（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求出向量，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可．解答：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）．=（﹣1，，0），=（0，，﹣1），=（﹣1，0，0），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则即，因此可取=（，1，）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，即：可取=（0，1，），cos＜＞==故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：﹣．点评：此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及应用空间向量求空间角问题，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．17.如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，E，F分别为PB，PC的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面PAB．答案及解析：17.【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）根据三角形中位线定理可得EF∥BC，进而根据线面平行的判定定理可得EF∥平面ABC；（2）根据PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC，结合∠ABC=90°，及线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAB，进而由线面垂直的第二判定定理可得EF平面PAB，最后由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PAB．【解答】证明：（1）∵E，F分别为PB，PC的中点．∴EF∥BC，又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC；（2）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC，又∵PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，由（1）中EF∥BC，∴EF⊥平面PAB，又∵EF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAB．【点评】本题考查的知识点是线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，是空间线面关系的简单综合应用，难度中档．18.（14分）如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱锥A﹣CDE的体积；（Ⅲ）线段EF上是否存在一点M，使得BM⊥CE？若存在，确定M点的位置；若不存在，请说明理由．答案及解析：18.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）如图所示，取AB的中点N，连接CN，可得四边形ADCN是正方形，可得NA=NB=NC，可得AC⊥CB，利用AF⊥平面ABCD，AF∥BE，可得BE⊥平面ABCD，即可证明．=V三棱锥E﹣ACD=即可得出．（II）利用V三棱锥A﹣CDE（III）线段EF上存在一点M为线段EF的中点，使得BM⊥CE．连接MN，BM，EN，则四边形BEMN为正方形，可得BM⊥EN，利用线面面面垂直的判定与性质定理可得：CN⊥平面ABEF，可得CN⊥BM，又BM⊥CE．即可证明BM⊥平面CEN．【解答】（I）证明：如图所示，取AB的中点N，连接CN，则四边形ADCN是正方形，可得NA=NB=NC，∴AC⊥CB，∵AF⊥平面ABCD，AF∥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，又BE∩BC=B，∴AC⊥平面BCE．=V三棱锥E﹣ACD===．（II）解：V三棱锥A﹣CDE（III）解：线段EF上存在一点M为线段EF的中点，使得BM⊥CE．连接MN，BM，EN，则四边形BEMN为正方形，∴BM⊥EN，∵CN⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，∴CN⊥平面ABEF，∴CN⊥BM，又CN∩EN=N，∴BM⊥平面CEN，∴BM⊥CE．【点评】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、正方形的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.（13分）如图，在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，（1）在正方体的12条棱中，与棱AA1是异面直线的有几条（只要写出结果）（2）证明：AC∥平面A1BC1；（3）证明：AC⊥平面BDD1B1．答案及解析：19.【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）画出正方体ABCD﹣A1B1C1D1，根据异面直线的概念即可找出与棱AA1异面的棱．（2）连接AC，A1C1，则A1C1∥AC，利用线面平行的判定定理即可证明；（3）由DD1⊥面AC，知DD1⊥AC，由DD1⊥BD，能够证明AC⊥平面BDD1B1．【解答】解：（1）与棱AA1异面的棱为：CD，C1D1，BC，B1C1，共4条．（2）证明：连接AC，A1C1，则A1C1∥AC，∵AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，∴AC∥平面A1BC1；（3）证明：∵DD1⊥面AC，AC⊂平面AC，∴DD1⊥AC，∵AC⊥BD，DD1∩BD=D，BD⊂平面BDD1B1，DD1⊂平面BDD1B1∴AC⊥平面BDD1B1．【点评】考查异面直线的概念，直线与平面垂直的证明，直线与平面平行的判定，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题．20.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）证明：BC1⊥面A1B1CD；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．答案及解析：20.【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）要证BC1⊥面A1B1CD；应通过证明A1B1⊥BC1．BC1⊥B1C两个关系来实现，两关系容易证明．（2）因为BC1⊥平面A1B1CD，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，所以∠BA1O 为A1B与平面A1B1CD所成的角．在RT△A1BO中求解即可．【解答】解：（1）连接B1C交BC1于点O，连接A1O．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中因为A1B1⊥平面BCC1B1．所以A1B1⊥BC1．又∵BC1⊥B1C，又BC1∩B1C=O∴BC1⊥平面A1B1CD（2）因为BC1⊥平面A1B1CD，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，所以∠BA1O 为A1B与平面A1B1CD所成的角．设正方体的棱长为a在RT△A1BO中，A1B=a，BO=a，所以BO=A1B，∠BA1O=30°，即直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°．【点评】本题考查空间直线与平面垂直关系的判断，线面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：平面PAC⊥平面PDB．答案及解析：21.【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）欲证PA∥平面EDB，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面EDB内一直线平行，连接AC，交BD于O，连接EO，根据中位线定理可知EO∥PA，PA⊄平面EDB，EO⊂平面EDB，满足定理所需条件；（2）证明AC⊥平面PBD，即可证明平面PAC⊥平面PDB．【解答】证明：（1）设AC与BD相交于点O，则O为AC的中点．∵E是P的中点，∴EO∥PA又∵EO⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB；（2）∵PO⊥平面ABCD，∴PD⊥AC又∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD从而AC⊥平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．22.如图，在直三棱柱ABC=A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（1）求证：BC⊥A1B；（2）若AD=，AB=BC=2，P为AC的中点，求二面角P﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．答案及解析：22.【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）由已知得A1A⊥平面ABC，A1A⊥BC，AD⊥BC．由此能证明BC⊥A1B．（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，从而BC⊥AB，以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量法能求出二面角P﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC，∵AD⊥平面A1BC，且BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AB，又A1B⊂平面A1BC，∴BC⊥A1B．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB⊂平面A1AB，从而BC⊥AB，如图，以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．在Rt△ABD中，AD=，AB=2，sin∠ABD==，∠ABD=60°，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AB．在Rt△ABA1中，AA1=AB•tan60°=2，则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），P（1，1，0），A 1（0，2，2），，=（0，2，2），，设平面PA1B的一个法向量，则，即，得，设平面CA1B的一个法向量，则，即，得，，∴二面角P﹣A1B﹣C平面角的余弦值是．…【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．23.（16分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，E为棱AB上的一动点．（1）若E为棱AB的中点，①求四棱锥B1﹣BCDE的体积②求证：面B1DC⊥面B1DE（2）若BC1∥面B1DE，求证：E为棱AB的中点．答案及解析：23.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）①四棱锥B1﹣BCDE的底面为直角梯形BEDC，棱锥的高为B1B，代入体积公式即可；②面B1DC∩面B1DE=B1D，故只需在平面B1DE找到垂直于交线B1D的直线即可，由DE=B1E=a可易知所找直线为等腰△EB1D底边中线；（2）辅助线同上，由中位线定理可得OF∥DC，且OF=DC，从而得出OF∥EB，由BC1∥面B1DE可得EO∥B1C，故四边形OEBF是平行四边形，得出结论．【解答】证明：（1）①∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1∴B1B平面BEDC，•B1B=•（a+）•a•a=．∴V=•S梯形BCDE②取B1D的中点O，设BC1∩B1C=F，连接OF，∵O，F分别是B1D与B1C的中点，∴OF∥DC，且OF=DC，又∵E为AB中点，∴EB∥DC，且EB=DC，∴OF∥EB，OF=EB，即四边形OEBF是平行四边形，∴OE∥BF，∵DC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴BC1⊥DC，∴OE⊥DC．又BC1⊥B1C，∴OE⊥B1C，又∵DC⊂平面B1DC，B1C⊂平面B1DC，DC∩B1C=C，∴OE⊥平面B1DC，。

高考数学 立体几何大题30题

高考数学 立体几何大题30题

立体几何大题1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4cm ，CD 是斜边上的高沿CD 把△ABC 折成直二面角．（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A ，B 的位置，使二面角A －CD －B 是直二面角？证明你的结论．（2）试在平面ABC 上确定一个P ，使DP 与平面ABC 内任意一条直线都垂直，证明你的结论．（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值． 解：（1）用直尺度量折后的AB 长，若AB ＝4cm ，则二面角A －CD －B 为直二面角．∵ △ABC 是等腰直角三角形，(),cm 22DB AD ==∴又∵ AD ⊥DC ，BD ⊥DC ．∴ ∠ADC 是二面角A －CD －B 的平面角．有时当,cm 4AB ,22DB AD ===.90ADB .AB DB AD 222︒=∠∴=+（2）取△ABC 的中心P ，连DP ，则DP 满足条件 ∵ △ABC 为正三角形，且 AD ＝BD ＝CD ．∴ 三棱锥D －ABC 是正三棱锥，由P 为△ABC 的中心，知DP ⊥平面ABC ， ∴ DP 与平面内任意一条直线都垂直． （3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的4个面都相切，设小球球心为0，半径为r ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，三棱锥被分为4个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r ，故有ABC O ABD O ADC O BCD O BCD A V V V V V -----+++=代入得3623r -=，即半径最大的小球半径为3623-．A B C第1题图 A BCD第1题图2．如图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A 1B ，过A 作AF ⊥A 1B 垂足为F ，且AF 的延长线交B 1B 于E 。

（Ⅰ）求证：D 1B ⊥平面AEC ； （Ⅱ）求三棱锥B —AEC 的体积； （Ⅲ）求二面角B —AE —C 的大小. 证（Ⅰ）∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，∴D 1D ⊥ABCD .连AC ，又底面ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，由三垂线定理知 D 1B ⊥AC . 同理，D 1B ⊥AE ，AE ∩AC = A ， ∴D 1B ⊥平面AEC .解（Ⅱ）V B －AEC = V E －ABC . ∵EB ⊥平面ABC ，∴EB 的长为E 点到平面ABC 的距离. ∵Rt △ABE ~ Rt △A 1AB ，∴EB =.4912=A A AB∴V B －AEC = V E －ABC =31S △ABC ·EB =31×21×3×3×49=.827 （10分）解（Ⅲ）连CF ，∵CB ⊥平面A 1B 1BA ，又BF ⊥AE ，由三垂线定理知，CF ⊥AE .于是，∠BFC 为二面角B —AE —C 的平面角，在Rt △ABE 中，BF =59=⋅AE BE BA ， 在Rt △CBF 中，tg ∠BFC =35，∴∠BFC = arctg 35.即二面角B —AE —C 的大小为arctg 35.3．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为1，点M 在BC 上，△AMC 1是以M 为直角顶点的等腰直角三角形. （I ）求证：点M 为BC 的中点； （Ⅱ）求点B 到平面AMC 1的距离； （Ⅲ）求二面角M —AC 1—B 的正切值. 答案：（I ）证明：∵△AMC 1是以点M 为直角 顶点的等腰直角三角形，ABCA 1B 1C 1M 第3题图∴AM ⊥MC 1且AM=MC 1∵在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， 有CC 1⊥底面ABC.∴C 1M 在底面内的射影为CM ， 由三垂线逆定理，得AM ⊥CM.∵底面ABC 是边长为1的正三角形，∴点M 为BC 中点. （II ）解法（一）过点B 作BH ⊥C 1M 交其延长线于H. 由（I ）知AM ⊥C 1M ，AM ⊥CB ， ∴AM ⊥平面C 1CBB 1.∴AM ⊥BH. ∴BH ⊥平面AMC 1. ∴BH 为点B 到平面AMC 1的距离. ∵△BHM ∽△C 1CM. AM=C 1M=,23 在Rt △CC 1M 中，可求出CC 1.22 .6623212211=⇒=⇒=∴BH BH M C BM CC BH 解法（二）设点B 到平面AMC 1的距离为h. 则11BMC A AMC B V V --=由（I ）知 AM ⊥C 1M ，AM ⊥CB ， ∴AM ⊥平面C 1CBB 1 ∵AB=1，BM=.22,23,2111===CC MC AM 可求出 AM S h S MB C AMC ⋅=⋅∆∆113131 232221213123232131⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯h 66=h （III ）过点B 作BI ⊥AC 1于I ，连结HI.∵BH ⊥平面C 1AM ，HI 为BI 在平面C 1AM 内的射影. ∴HI ⊥AC 1，∠BIH 为二面角M —AC 1—B 的平面角. 在Rt △BHM 中，,21,66==BM BH ∵△AMC 1为等腰直角三角形，∠AC 1M=45°.∴△C 1IH 也是等腰直角三角形. 由C 1M=.332,63,23122==-=H C BH BM HM 有 ∴.36=HI .21==∠∴HI BH BIH tg 4．如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F 是CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ； （Ⅱ）求多面体ABCDE 的体积；（Ⅲ）求二面角C-BE-D 的正切值． 证：（Ⅰ）取CE 中点M ，连结FM ，BM ，则有AB DE FM //21//．∴四边形AFMB 是平行四边形． ∴AF//BM ，∵⊂BM 平面BCE ， ⊄AF 平面BCE ， ∴AF//平面BCE ．（Ⅱ）由于DE ⊥平面ACD ， 则DE ⊥AF ．又△ACD 是等边三角形，则AF ⊥CD ．而CD ∩DE=D ，因此AF ⊥平面CDE ．又BM//AF ，则BM ⊥平面CDE ．BM AB V V V CDE B ACD B ABCDE ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=+=--22213124331232233233=⋅⋅+=． （Ⅲ）设G 为AD 中点，连结CG ，则CG ⊥AD ．由DE ⊥平面ACD ，⊂CG 平面ACD ， 则DE ⊥CG ，又AD ∩DE=D ， ∴CG ⊥平面ADEB ．作GH ⊥BE 于H ，连结CH ，则CH ⊥BE ． ∴∠CHG 为二面角C-BE-D 的平面角． 由已知AB=1，DE=AD=2，则3=CG ，∴23122111212)21(21=⨯⨯-⨯⨯-⋅+=∆GBE S ．不难算出5=BE ．∴23521=⋅⋅=∆GH S GBE ，∴53=GH ． ∴315==∠GH CG CHG tg ． 5．已知：ABCD 是矩形，设PA=a ，PA ⊥平面ABCD.M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（Ⅰ）求证：MN ⊥AB ；（Ⅱ）若PD=AB ，且平面MND ⊥平面PCD ，求二面角P —CD —A 的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D —AMN 的体积. （Ⅰ）连结AC ，AN. 由BC ⊥AB ，AB 是PB 在底面ABCD 上的射影. 则有BC ⊥PB. 又BN 是Rt △PBC 斜边PC 的中线， 即PC BN 21=. 由PA ⊥底面ABCD ，有PA ⊥AC ，则AN 是Rt △PAC 斜边PC 的中线，即PC AN 21=BN AN =∴又∵M 是AB 的中点， AB MN ⊥∴（也可由三垂线定理证明）（Ⅱ）由PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，有PD ⊥DC.则∠PDA 为平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角由PA=a ，设AD=BC=b ，CD=AB=c ， 又由AB=PD=DC ，N 是PC 中点，则有DN ⊥PC又∵平面MND ⊥平面PCD 于ND ， ∴PC ⊥平面MND ∴PC ⊥MN ， 而N 是PC 中点，则必有PM=MC.b ac b c a =∴+=+∴.41412222 此时4,1π=∠=∠PDA PDA tg .即二面角P —CD —A 的大小为4π（Ⅲ）AMD N AMN D V V --=，连结BD 交AC 于O ，连结NO ，则NO 21PA. 且NO ⊥平面AMD ，由PA=a324231a NO S V AMD AMD N =⋅=∴∆-. 6．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、M 、N 分别为棱DD 1、AB 、BC 的中点。

立体几何大题(含答案)

立体几何大题(含答案)

立体几何大题1．如图：ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体.求证：（１）A 1C ⊥D 1B 1；（２）A 1C ⊥BC 12.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1中点，O 为底面ABCD 中心，求证：B 1O ⊥平面PAC 。

3.如图：在斜边为AB 的R t △ABC 中，过点A 作 PA ⊥平面ABC ，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ， （１）求证：BC ⊥平面PAC ； （２）求证：PB ⊥平面AEF.4. 已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：MN ⊥CD ；（2）若∠PDA=45°，求证MN ⊥面PCD5. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，G 为CC 1的中点，O 为底面ABCD 的中心。

求证：A 1O ⊥平面GBDAA 1BD D 1C 1B 1CFEPBA6． 在三棱锥S －ABC 中，SA ＝SB ＝SC ，AB ⊥BC ，点D 为AC 的中点. （1）求证：SD ⊥平面ABC ；（2）若BA ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC.7． 在正方形ABCD 中，点E 为AB 的中点，将△ADE 沿DE 折起，使△ACD 为正三角形.设点O 在平面BCDE 内，试确定点O 的位置，使AO ⊥平面BCDE ，并说明理由.8.如图，在矩形ABCD 中，2,1,AB AD E ==是CD 的中点，以AE 为折痕将DAE ∆向上折起，使D 为D '，且平面D AE '⊥平面ABCE ． （Ⅰ）求证：AD EB '⊥；（Ⅱ）求直线AC 与平面ABD '所成角的正弦值．A BCD 'EAB CDEO F A B CE D立体几何大题精选（答案）1．如图：ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体. 求证：（１）A 1C ⊥D 1B 1；（２）A 1C ⊥BC 1 解析：（１）连A 1C 1，则A 1C 1⊥B 1D 1，又CC 1⊥面A 1C 1，由三垂线定理可知A 1C ⊥B 1D 1， （２）连B 1C ，仿（１）可证；2.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1中点，O 为底面ABCD 中心，求证：B 1O ⊥平面PAC 。

立体几何题库100题

立体几何题库100题

立体几何题库100题1. 一个正方体的棱长扩大到原来的3 倍，它的体积扩大到原来的（）倍。

A. 3B. 9C. 27D. 812. 长方体的长、宽、高分别是6cm、4cm、5cm，它的棱长总和是（）cm。

A. 60B. 48C. 30D. 153. 一个圆柱的底面半径是2 厘米，高是5 厘米，它的侧面积是（）平方厘米。

A. 62.8B. 31.4C. 12.56D. 25.124. 一个圆锥的底面直径是6 分米，高是3 分米，它的体积是（）立方分米。

A. 28.26B. 84.78C. 169.56D. 56.525. 用同样大小的正方体摆成的物体，从正面和左面看到的图形都是，那么从上面看到的图形是（）。

A. B. C. D.6. 一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是48 立方分米，圆锥的体积是（）立方分米。

A. 12B. 16C. 32D. 367. 把一个棱长为6 分米的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（）立方分米。

A. 169.56B. 113.04C. 216D. 56.528. 一个长方体的长、宽、高分别是a 米、b 米、h 米，如果高增加3 米，体积增加（）立方米。

A. 3abB. 3abhC. ab(h + 3)D. 3h9. 一个圆锥的底面半径扩大到原来的2 倍，高不变，它的体积扩大到原来的（）倍。

A. 2B. 4C. 8D. 1610. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（）。

A. 1 : πB. 1 : 2πC. π: 1D. 2π: 111. 有一个长方体容器，从里面量长5 分米，宽4 分米，高6 分米，里面注有水，水深3 分米。

如果把一块边长 2 分米的正方体铁块浸入水中，水面上升（）分米。

A. 0.4B. 0.8C. 1.6D. 3.212. 一个圆柱的底面周长是12.56 分米，高是5 分米，它的表面积是（）平方分米。

立体几何练习题(含答案)精选全文完整版

立体几何练习题(含答案)精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版《立体几何 》练习题一、 选择题1、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ）A 、垂直B 、平行C 、相交不垂直D 、不确定2. 在正方体1111ABCD A B C D -中, 与1A C 垂直的是（ ）A. BDB. CDC. BCD. 1CC3、线n m ,和平面βα、，能得出βα⊥的一个条件是( )A.βα//n ,//m ,n m ⊥B.m ⊥n ,α∩β=m ,n ⊂αC.αβ⊆⊥m n n m ,,//D.βα⊥⊥n m n m ,,//4、平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线a//α,a//βC.直线a α⊂,直线b β⊂,且a//β,b//αD.α内的任何直线都与β平行5、设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ其中正确命题的序号是( )A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④6.点P 为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O,若PA=PB=PC ，则点O 是ΔABC 的（ ）A.内心B.外心C.重心D.垂心7. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l nB ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m8. 已知两个平面垂直，下列命题中正确的个数是（ ）①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.A.3B.2C.1D.09． 设m.n 是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面,（ ） A ．若m ∥α,n ∥α,则m ∥n B ．若m ∥α,m ∥β,则α∥βC ．若m ∥n,m ⊥α,则n ⊥αD ．若m ∥α,α⊥β,则m ⊥β10． 设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若//l α,//l β,则//αβB ．若l α⊥,l β⊥,则//αβC ．若l α⊥,//l β,则//αβD ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥ 二、填空题11、在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 中点，则三棱锥B —B 1EF 的体积为 .12．对于空间四边形ABCD ，给出下列四个命题：①若AB=AC ，BD=CD 则BC ⊥AD ；②若AB=CD ，AC=BD 则BC ⊥AD ；③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD 则BC ⊥AD ；④若AB ⊥CD ， BD ⊥AC 则BC ⊥AD ；其中真命题序号是 ．13. 已知直线b//平面α，平面α//平面β，则直线b 与β的位置关系为 .14. 如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=︒90，PA ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形参考答案 选择题：AACDA,BCCCB填空题：11、1312、①④ 13、//b b ββ⊂或 14、4A B C P欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

2024届高考数学专项立体几何大题含答案

2024届高考数学专项立体几何大题含答案

立体几何大题1.空间中的平行关系（1）线线平行（2）线面平行的判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行（3）线面平行的性质定理若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行（4）面面平行的判定定理判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行（5）面面平行的性质定理性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行6.空间中的垂直关系（1）线线垂直（2）线面垂直的判定定理一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直（3）线面垂直的性质定理性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行（4）面面垂直的判定定理一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直(或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直)（5）面面垂直的性质定理两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面6.异面直线所成角cos θ=cos a ,b =|a ⋅b ||a |⋅|b |=|x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2|x 12+y 12+z 12⋅x 22+y 22+z 22(其中θ(0°<θ≤90°)为异面直线a ,b 所成角，a ,b 分别表示异面直线a ,b 的方向向量)7.直线AB 与平面所成角，sin β=AB ⋅m |AB ||m |(m 为平面α的法向量).8.二面角α-l -β的平面角cos θ=m ⋅n |m ||n |(m ，n 为平面α，β的法向量).9.点B 到平面α的距离d =|AB ⋅n | (n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A ∈α).2024届高考数学专项立体几何大题含答案模拟训练一、解答题1(22·23下·湖南·二模)如图，在直三棱柱ABC -A B C 中，∠ABC =120°,AB =BC =2,AC =BB ，点D 为棱BB 的中点，AE =13AC ．(1)求DE 的长度；(2)求平面CDE 与平面BDE 夹角的余弦值．2(22·23下·绍兴·二模)如图，在多面体ABCDE 中，DE ⊥平面BCD ,△ABC 为正三角形，△BCD 为等腰Rt △,∠BDC =90°,AB =2,DE =2.(1)求证：AE ⊥BC ；(2)若AE ⎳平面BCD ，求直线BE 与平面ABC 所成的线面角的正弦值.3(22·23·张家口·三模)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB= BC=2，AC=AB1=2.(1)证明：平面ACB1⊥平面BB1C1C；(2)求平面ACC1A1与平面A1B1C1夹角的余弦值.4(22·23·湛江·二模)如图1，在五边形ABCDE中，四边形ABCE为正方形，CD⊥DE，CD=DE，如图2，将△ABE沿BE折起，使得A至A1处，且A1B⊥A1D．(1)证明：DE⊥平面A1BE；(2)求二面角C-A1E-D的余弦值．5(22·23下·长沙·三模)如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，△ABC 和△ACD 均为正三角形，AC =4，BE =3，点F 在AC 上.(1)若BF ⎳平面CDE ，求CF ；(2)若F 是AC 的中点，求二面角F -DE -C 的正弦值.6(22·23下·湖北·二模)如图，S 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，△ABC 内接于⊙O ,AC ⊥BC ,AC =BC =322，AM =2MS ,AS =3,PQ 为⊙O 的一条弦，且SB ⎳平面PMQ .(1)求PQ 的最小值；(2)若SA ⊥PQ ，求直线PQ 与平面BCM 所成角的正弦值.7(22·23·深圳·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,PA= AD=2AB，点M是PD的中点.(1)证明：AM⊥PC；(2)设AC的中点为O，点N在棱PC上(异于点P，C)，且ON=OA，求直线AN与平面ACM所成角的正弦值.8(22·23下·温州·二模)已知三棱锥D-ABC中，△BCD是边长为3的正三角形，AB=AC=AD, AD与平面BCD所成角的余弦值为33．(1)求证：AD⊥BC；(2)求二面角D-AC-B的平面角的正弦值．9(22·23下·浙江·二模)如图，四面体ABCD,AD⊥CD,AD=CD,AC=2,AB=3,∠CAB=60°，E为AB上的点，且AC⊥DE,DE与平面ABC所成角为30°，(1)求三棱锥D-BCE的体积；(2)求二面角B-CD-E的余弦值.10(22·23下·襄阳·三模)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为矩形，∠BAC=90°，AB= AC=2，AA1=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点N，M为B1C1的中点.(1)求证：平面A1MNA⊥平面A1BC；(2)求平面A1B1BA与平面BB1C1C夹角的余弦值.11(22·23·唐山·二模)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等边三角形，侧面ACC1A1⊥底面ABC，且AA1=AC，∠AA1C1=120°，M是CC1的中点．(1)证明：A1C⊥BM．(2)求二面角A1-BC-M的正弦值．12(22·23下·盐城·三模)如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，点G为弧CD的中点，且C，E，D，G四点共面.(1)证明：平面BDF⊥平面BCG；(2)若平面BDF与平面ABG所成二面角的余弦值为155，且线段AB长度为2，求点G到直线DF的距离.13(22·23下·江苏·三模)如图，圆锥DO中，AE为底面圆O的直径，AE=AD，△ABC为底面圆O的内接正三角形，圆锥的高DO=18，点P为线段DO上一个动点.(1)当PO=36时，证明：PA⊥平面PBC；(2)当P点在什么位置时，直线PE和平面PBC所成角的正弦值最大.14(22·23下·镇江·三模)如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，四边形PACQ为矩形，PA=1，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).①BP,DP与平面ABCD所成角相等；②三棱锥P-ABD体积为33；③cos∠BPA=55(1)平面PACQ⊥平面ABCD；(2)求二面角B-PQ-D的大小；(3)求点C到平面BPQ的距离.15(22·23下·江苏·一模)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面A 1B 1BA ⊥平面ABC ，侧面A 1B 1BA 为菱形，∠ABB 1=π3，AB 1⊥AC ，AB =AC =2，E 是AC 的中点.(1)求证：A 1B ⊥平面AB 1C ；(2)点P 在线段A 1E 上(异于点A 1，E )，AP 与平面A 1BE 所成角为π4，求EP EA 1的值.16(22·23下·河北·三模)如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC ,BD 交于点O ，且PO ⊥平面ABCD ,OC =1,OD =OP =2,M 是PD 的中点，N 是线段CD 上一动点．(1)当平面OMN ⎳平面PBC 时，试确定点N 的位置，并说明理由；(2)在(1)的前提下，点Q 在直线MN 上，以PQ 为直径的球的表面积为214π．以O 为原点，OC ,OD ,OP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O -xyz ，求点Q 的坐标．17(22·23·汕头·三模)如图，圆台O1O2的轴截面为等腰梯形A1ACC1，AC=2AA1=2A1C1=4,B为底面圆周上异于A,C的点.(1)在平面BCC1内，过C1作一条直线与平面A1AB平行，并说明理由；(2)若四棱锥B-A1ACC1的体积为23，设平面A1AB∩平面C1CB=l,Q∈l，求CQ的最小值.18(19·20下·临沂·二模)如图①，在Rt△ABC中，B为直角，AB=BC=6，EF∥BC，AE=2，沿EF将△AEF折起，使∠AEB=π3，得到如图②的几何体，点D在线段AC上．(1)求证：平面AEF⊥平面ABC；(2)若AE⎳平面BDF，求直线AF与平面BDF所成角的正弦值．19(22·23下·广州·三模)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，AB=AP=2，PA⊥平面ABCD，E,F分别是线段PB,PD的中点，G是线段PC上的一点.(1)求证：平面EFG⊥平面PAC；(2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为13，且G点不是线段PC的中点，求三棱锥E-ABG体积.20(22·23下·长沙·一模)斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2，∠A1AB=60°，点A1在下底面ABC 的投影为AB的中点O．(1)在棱BB1(含端点)上是否存在一点D使A1D⊥AC1若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；(2)求点A1到平面BCC1B1的距离．21(22·23下·长沙·三模)如图，三棱台ABC -A 1B 1C 1，AB ⊥BC ，AC ⊥BB 1，平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，AB =6,BC =4，BB 1=2，AC 1与A 1C 相交于点D ，AE =2EB，且DE ∥平面BCC 1B 1.(1)求三棱锥C -A 1B 1C 1的体积；(2)平面A 1B 1C 与平面ABC 所成角为α，CC 1与平面A 1B 1C 所成角为β，求证：α+β=π4.22(22·23·衡水·一模)如图所示，A ,B ,C ,D 四点共面，其中∠BAD =∠ADC =90°，AB =12AD ，点P ,Q 在平面ABCD 的同侧，且PA ⊥平面ABCD ，CQ ⊥平面ABCD .(1)若直线l ⊂平面PAB ，求证：l ⎳平面CDQ ；(2)若PQ ⎳AC ，∠ABP =∠DAC =45°，平面BPQ ∩平面CDQ =m ，求锐二面角B -m -C 的余弦值.23(22·23下·湖北·三模)已知平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为2，且有∠AA1D1=∠AA1B1=∠D1A1B1=60°．(1)求证：平面AA1C1C⊥平面A1B1C1D1；(2)求直线B1D与平面AA1C1C所成角的正弦值．24(22·23下·武汉·三模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.(1)求证：平面AEF⊥平面PBC；(2)求平面AEF与平面PDC夹角的最小值.25(22·23下·黄冈·三模)如图1，在四边形ABCD中，BC⊥CD，AE∥CD,AE=BE=2CD=2,CE =3．将四边形AECD沿AE折起，使得BC=3，得到如图2所示的几何体．(1)若G为AB的中点，证明：DG⊥平面ABE；(2)若F为BE上一动点，且二面角B-AD-F的余弦值为63，求EFEB的值．26(22·23·德州·三模)图1是直角梯形ABCD，AB⎳CD，∠D=90°，AD=3，AB=2，CD=3，四边形ABCE为平行四边形，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1=6，如图2．(1)求证：平面BC1E⊥平面ABED；(2)在线段BE上存在点P使得PA与平面ABC1的正弦值为365，求平面BAC1与PAC1所成角的余弦值．27(22·23·山东·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⎳CD，AB⊥BC，PA =AB=BC=2，CD=4．(1)证明：AD⊥PC；(2)若M为线段PB的靠近B点的四等分点，判断直线AM与平面PDC是否相交？如果相交，求出P到交点H的距离，如果不相交，说明理由．28(22·23·黄山·三模)如图，在直角梯形ABCD中，AD⎳BC，AD⊥CD，四边形CDEF为平行四边形，对角线CE和DF相交于点H，平面CDEF⊥平面ABCD，BC=2AD，∠DCF=60°，G是线段BE上一动点(不含端点)．(1)当点G为线段BE的中点时，证明：AG⎳平面CDEF；(2)若AD=1,CD=DE=2，且直线DG与平面CDEF成45°角，求二面角E-DG-F的正弦值．29(22·23·菏泽·三模)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，其中AA1=2AC=4,AB=BC,F为BB1的中点，点E是CC1上靠近C1的四等分点，A1F与底面ABC所成角的余弦值为2 2．(1)求证：平面AFC⊥平面A1EF；(2)在线段A1F上是否存在一点N，使得平面AFC与平面NB1C1所成的锐二面角的余弦值为277，若存在，确定点N的位置，若不存在，请说明理由．30(22·23·福州·三模)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，AB=AC=1，将△PAB绕着PA逆时针旋转π3到△PAD的位置，得到如图所示的组合体，M为PD的中点.(1)当∠BAC为何值时，该组合体的体积最大，并求出最大值；(2)当PC⎳平面MAB时，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.31(22·23·福州·二模)如图1，在△ABC 中，AB =AC =2,∠BAC =2π3,E 为BC 的中点，F 为AB 上一点，且EF ⊥AB .将△BEF 沿EF 翻折到△B EF 的位置，如图2.(1)当AB =2时，证明：平面B AE ⊥平面ABC ；(2)已知二面角B -EF -A 的大小为π4，棱AC 上是否存在点M ，使得直线B E 与平面B MF 所成角的正弦值为1010？若存在，确定M 的位置；若不存在，请说明理由.32(22·23·三明·三模)如图，平面五边形ABCDE 由等边三角形ADE 与直角梯形ABCD 组成，其中AD ∥BC ，AD ⊥DC ，AD =2BC =2，CD =3，将△ADE 沿AD 折起，使点E 到达点M 的位置，且BM =a .(1)当a =6时，证明AD ⊥BM 并求四棱锥M -ABCD 的体积；(2)已知点P 为棱CM 上靠近点C 的三等分点，当a =3时，求平面PBD 与平面ABCD 夹角的余弦值.33(22·23·宁德·一模)如图①在平行四边形ABCD 中，AE ⊥DC ，AD =4，AB =3，∠ADE =60°，将△ADE 沿AE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，得到图②所示几何体．(1)若M 为BD 的中点，求四棱锥M -ABCE 的体积V M -ABCE ；(2)在线段DB 上，是否存在一点M ，使得平面MAC 与平面ABCE 所成锐二面角的余弦值为235，如果存在，求出DMDB的值，如果不存在，说明理由．34(22·23·龙岩·二模)三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB =AC =2，侧面A 1ACC 1为矩形，∠A 1AB =2π3，三棱锥C 1-ABC 的体积为233．(1)求侧棱AA 1的长；(2)侧棱CC 1上是否存在点E ，使得直线AE 与平面A 1BC 所成角的正弦值为55？若存在，求出线段C 1E 的长；若不存在，请说明理由．35(22·23下·浙江·二模)如图，在多面体ABC-A1B1C1中，AA1⎳BB1⎳CC1，AA1⊥平面A1B1C1，△A1B1C1为等边三角形，A1B1=BB1=2，AA1=3，CC1=1，点M是AC的中点．(1)若点G是△A1B1C1的重心，证明；点G在平面BB1M内；(2)求二面角B1-BM-C1的正弦值．36(22·23下·浙江·三模)如图，三棱台ABC-A1B1C1中，A1C1=4，AC=6，D为线段AC上靠近C的三等分点.(1)线段BC上是否存在点E，使得A1B⎳平面C1DE，若不存在，请说明理由；若存在，请求出BEBC的值；(2)若A1A=AB=4，∠A1AC=∠BAC=π3，点A1到平面ABC的距离为3，且点A1在底面ABC的射影落在△ABC内部，求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值.37(22·23下·苏州·三模)如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为62的等边三角形，且PA= PB=PC=6，PD⊥平面ABC，垂足为D,DE⊥平面PAB，垂足为E，连接PE并延长交AB于点G.(1)求二面角P-AB-C的余弦值；(2)在平面PAC内找一点F，使得EF⊥平面PAC，说明作法及理由，并求四面体PDEF的体积.38(22·23·沧州·三模)如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成.C,E,D,G在同一平面内，且CG=DG.(1)证明：平面BFD⊥平面BCG；(2)若直线GC与平面ABG所成角的正弦值为105，求平面BFD与平面ABG所成角的余弦值.39(23·24上·永州·一模)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且AD=2AB=4,M、N分别为PD、BC的中点，H在线段PC上，且PC=3PH．(1)求证：MN⎳平面PAB；(2)当AM⊥PC时，求平面AMN与平面HMN的夹角的余弦值．40(22·23·潍坊·三模)如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，△ABD为底面圆O的内接正三角形，且边长为3，点E在母线PC上，且AE=3，CE=1．(1)求证：PO∥平面BDE；(2)求证：平面BED⊥平面ABD(3)若点M为线段PO上的动点．当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，求此时点M到平面ABE的距离．立体几何大题1.空间中的平行关系（1）线线平行（2）线面平行的判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行（3）线面平行的性质定理若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行（4）面面平行的判定定理判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行（5）面面平行的性质定理性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行6.空间中的垂直关系（1）线线垂直（2）线面垂直的判定定理一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直（3）线面垂直的性质定理性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行（4）面面垂直的判定定理一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直(或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直)（5）面面垂直的性质定理两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面6.异面直线所成角cos θ=cos a ,b =|a ⋅b ||a |⋅|b |=|x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2|x 12+y 12+z 12⋅x 22+y 22+z 22(其中θ(0°<θ≤90°)为异面直线a ,b 所成角，a ,b 分别表示异面直线a ,b 的方向向量)7.直线AB 与平面所成角，sin β=AB ⋅m |AB ||m |(m 为平面α的法向量).8.二面角α-l -β的平面角cos θ=m ⋅n |m ||n |(m ，n 为平面α，β的法向量).9.点B 到平面α的距离d =|AB ⋅n | (n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A ∈α).模拟训练一、解答题1(22·23下·湖南·二模)如图，在直三棱柱ABC -A B C 中，∠ABC =120°,AB =BC =2,AC =BB ，点D 为棱BB 的中点，AE =13AC ．(1)求DE 的长度；(2)求平面CDE 与平面BDE 夹角的余弦值．【答案】(1)393(2)34【分析】(1)在△ABC 中，用余弦定理可得到AC =23，在△ABE 中，用余弦定理可得BE =233，即可求得DE =DB 2+BE 2=393；(2)以B 为原点，分别以BE ,BC ,BB 所在的直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，求出平面CDE 与平面BDE 的法向量，即可求解【详解】(1)因为在直三棱柱ABC -A B C 中，∠ABC =120°,AB =BC =2，在△ABC 中，由余弦定理得cos ∠ABC =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC=22+22-AC 22×2×2=-12，解得AC =23，则AE =13AC =233，在△ABE 中，由余弦定理得cos ∠BAE =AB 2+AE 2-BE 22AB ⋅AE =22+233 2-BE 22×2×233=32，解得BE =233，又AC =BB =23，所以BD =12BB =3，因为BB ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，所以BB ⊥BE ，在直角三角形DBE 中，DE =DB 2+BE 2=(3)2+233 2=393；(2)因为AE =BE =233，所以∠ABE =∠BAE =30°，则∠CBE =∠ABC -∠ABE =120°-30°=90°，则BE ,BC ,BB 两两互相垂直，以B 为原点，分别以BE ,BC ,BB 所在的直线为x ,y ,z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系：设平面CDE 的法向量为n =x ,y ,z ，由n ⋅CD =x ,y ,z ⋅0,-2,3 =-2y +3z =0n ⋅CE =x ,y ,z ⋅233,-2,0 =233x -2y =0 ，得z =233y x =3y，令y =3，得平面CDE 的一个法向量为n =3,3,2 ；平面BDE 的一个法向量为m =0,1,0 ．设平面CDE 与平面BDE 夹角的大小为θ，则cos θ=m ⋅n m n =0,1,0 ⋅3,3,2 1×4=34，故平面CDE 与平面BDE 夹角的余弦值为34．2(22·23下·绍兴·二模)如图，在多面体ABCDE 中，DE ⊥平面BCD ,△ABC 为正三角形，△BCD 为等腰Rt △,∠BDC =90°,AB =2,DE =2.(1)求证：AE ⊥BC ；(2)若AE ⎳平面BCD ，求直线BE 与平面ABC 所成的线面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)63【分析】(1)由线面垂直的性质定理和判定定理即可证明；(2)法一：由分析可知，∠EBH 就是直线BE 与平面ABC 所成的线面角，设∠AFD =α，当α<90°时，O 与D 重合，可得A ,E 两点重合，不符合题意，当α>90°时，求出EH ,BE ，即可得出答案；法二：建立空间直角坐标系，求出直线BE 的方向向量与平面ABC 的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案.【详解】(1)设F 为BC 中点，连接AF ,EF ，则由△ABC 为正三角形，得AF ⊥BC ；DE ⊥平面BCD ，且△BCD 为等腰直角三角形，计算可得：BE =CE =2,∴EF ⊥BC .EF ∩AF =F ,EF ,AF ⊂面AEF ，于是BC ⊥面AEF ，AE ⊂面AEF ，从而BC ⊥AE .(2)法一：由(1)可知，过点E 作EH ⊥AF ，垂足为H ，则∠EBH 就是直线BE 与平面ABC 所成的线面角.当AE ⎳平面BCD 时，可得A 到平面BCD 的距离为 2.设∠AFD =α，所以AF ⋅sin α=2，可得sin α=63，当α<90°时，cos α=33，不妨设A 在底面BCD 射影为O ，则FO =1，此时O 与D 重合，可得A ,E 两点重合，不符合题意，舍去；当α>90°时，FO =1，此时O 在DF 的延长线上，作EH ⊥AF ，由于AODE 为矩形，可得AE =DO =2,AE ∥OD ，可得sin ∠EAH =63，可得EH =263.于是sin ∠EBH =EH BE=63.法二：建立如图坐标系，可得F 0,0,0 ,B 1,0,0 ，C -1,0,0 ,D 0,1,0 ,E 0,1,2 ,A 0,a ,b由AF =3，解得a 2+b 2=3，又∵AE ⎳平面BCD ，令n =0,0,1 ，可得AB ⋅n =0，解得b =2,a =±1.当a =1时A ,E 重合，所以a =-1，此时A 0,-1,2 .不妨设平面ABC 的法向量为m =x ,y ,z ，则CB ⋅m =0CA ⋅m =0代入得x -y +2z =02x =0 ，令z =1，则y =2，所以m =0,2,1 .由于BE =-1,1,2 ，不妨设所成角为θ，则sin θ=∣cos BE ,m |=63.3(22·23·张家口·三模)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠CBB 1=60°，AB =BC =2，AC =AB 1=2.(1)证明：平面ACB 1⊥平面BB 1C 1C ；(2)求平面ACC 1A 1与平面A 1B 1C 1夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)57.【分析】(1)利用面面垂直的判定定理进行证明；(2)利用垂直关系建立空间直角坐标系，用向量法进行求解.【详解】(1)如图，连接BC 1，交B 1C 于O ，连接AO .因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1，且O 为BC 1的中点.又AC =AB 1=2，故AO ⊥B 1C .又AB =BC =2，且∠CBB 1=60°，所以CO =1,BO =3，所以AO =AC 2-CO 2=1.又AB =2，所以AB 2=BO 2+AO 2，所以AO ⊥BO .因为BO ,CB 1⊂平面BB 1C 1C ，BO ∩CB 1=O ，所以AO ⊥平面BB 1C 1C .又AO ⊂平面ACB 1，所以平面ACB 1⊥平面BB 1C 1C .(2)由(1)知，OA ,OB ,OB 1两两互相垂直，因此以O 为坐标原点，OB ,OB 1,OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，则A (0,0,1)，B (3,0,0)，C (0,-1,0)，C 1(-3,0,0).故CC 1 =(-3,1,0)，CA =(0,1,1)，CB =(3,1,0).设n =(x 1,y 1,z 1)为平面ACC 1A 1的一个法向量，则有n ⋅CC 1 =0n ⋅CA =0 ，即-3x 1+y 1=0y 1+z 1=0 ，令x 1=1，则n =(1,3,-3).设m =(x 2,y 2,z 2)为平面ABC 的一个法向量，则有m ⋅CA =0m ⋅CB =0，即y 2+z 2=03x 2+y 2=0 ，令x 2=1，则m =(1,-3,3).因为平面A 1B 1C 1∥平面ABC ，所以m =(1,-3,3)也是平面A 1B 1C 1的一个法向量.所以cos <n ,m > =n ⋅m n m=1-3-3 7×7=57.所以平面ACC 1A 1与平面A 1B 1C 1夹角的余弦值57. 4(22·23·湛江·二模)如图1，在五边形ABCDE 中，四边形ABCE 为正方形，CD ⊥DE ，CD =DE ，如图2，将△ABE 沿BE 折起，使得A 至A 1处，且A 1B ⊥A 1D ．(1)证明：DE ⊥平面A 1BE ；(2)求二面角C -A 1E -D 的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)63【分析】(1)由已知易得DE ⊥BE ，即可证明线面垂直；(2)建立空间直角坐标系，用坐标公式法求解即可．【详解】(1)由题意得∠BEC =∠CED =π4，∠BED =π2，DE ⊥BE ，又A 1B ⊥A 1D ，A 1E ∩A 1D =A 1,A 1E ,A 1D ⊂面A 1ED ，所以A 1B ⊥面A 1ED ，又DE ⊂面A 1ED ，则DE ⊥A 1B ，又DE ⊥BE ，A 1B ∩BE =B ，A 1B ⊂平面A 1BE ，BE ⊂平面A 1BE ，所以DE ⊥平面A 1BE ．(2)取BE 的中点O ，可知BE =2CD ,OE =CD ，由DE ⊥BE ，且CD ⊥DE 可得OE ⎳CD ，所以四边形OCDE 是平行四边形，所以CO ∥DE ，则CO ⊥平面A 1BE ，设BE =2，以点O 为坐标原点，OB ,OC ,OA 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，则A 1(0,0,1),E (-1,0,0),B (1,0,0),C (0,1,0),D (-1,1,0)，EA 1 =(1,0,1),EC =(1,1,0),ED =(0,1,0)，设平面A 1EC 的一个法向量为n 1 =(x 1,y 1,z 1)，则n 1 ⋅EA 1 =0n 1 ⋅EC =0 ，即x 1+z 1=0x 1+y 1=0 ，取x 1=1，则n 1 =(1,-1,-1)，设平面A 1ED 的一个法向量为n 2 =(x 2,y 2,z 2)，则n 2 ⋅E 1A =0n 2 ⋅ED =0 ，即x 2+z 2=0y 2=0 ，取x 2=1，则n 2 =(1,0,-1)，所以cos n 1 ,n 2 =n 1 ⋅n 2 n 1 n 2=63，由图可知，二面角C -A 1E -D 为锐角，所以面角C -A 1E -D 的余弦值为63．5(22·23下·长沙·三模)如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，△ABC 和△ACD 均为正三角形，AC =4，BE =3，点F 在AC 上.(1)若BF ⎳平面CDE ，求CF ；(2)若F 是AC 的中点，求二面角F -DE -C 的正弦值.【答案】(1)CF =1(2)8517【分析】(1)记AC 中点为M ，连接DM 、BM ，依题意可得DM ⊥AC ，根据面面垂直的性质得到DM ⊥平面ABC ，如图建立空间直角坐标系，求出平面CDE 的法向量，设F a ,0,0 ，a ∈2,-2 ，依题意可得BF ⋅n =0求出a 的值，即可得解；(2)依题意点F 与点M 重合，利用空间向量法计算可得.【详解】(1)记AC 中点为M ，连接DM 、BM ，△ACD 为正三角形，AC =4，则DM ⊥AC ，且DM =2 3.所以DM ⊥平面ABC ，又△ABC 为正三角形，所以BM ⊥AC ，所以BM =23，如图建立空间直角坐标系，则B 0,23,0 ，C -2,0,0 ，D 0,0,23 ，E 0,23,3 ，所以CD =2,0,23 ，CE =2,23,3 ，设平面CDE 的法向量为n =x ,y ,z ，则n ⋅CD =2x +23z =0n ⋅CE =2x +23y +3z =0，令x =3，则z =-3，y =-32，则n =3,-32,-3 ，设F a ,0,0 ，a ∈-2,2 ，则BF =a ,-23,0 ，因为BF ⎳平面CDE ，所以BF ⋅n =3a +-23 ×-32+0×-3 =0，解得a =-1，所以F 为CM 的中点，此时CF =1.(2)若F 是AC 的中点，则点F 与点M 重合，则平面FDE 的一个法向量可以为m =1,0,0 ，设二面角F -DE -C 为θ，显然二面角为锐角，则cos θ=m ⋅n m ⋅n=332+-32 2+-3 2=651，所以sin θ=1-cos 2θ=1-651 2=8517，所以二面角F -DE -C 的正弦值为8517.6(22·23下·湖北·二模)如图，S 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，△ABC 内接于⊙O ,AC ⊥BC ,AC =BC =322，AM =2MS ,AS =3,PQ 为⊙O 的一条弦，且SB ⎳平面PMQ .(1)求PQ 的最小值；(2)若SA ⊥PQ ，求直线PQ 与平面BCM 所成角的正弦值.【答案】(1)22(2)3010【分析】(1)作出辅助线，找到符合要求的PQ ，并利用垂径定理得到最小值；(2)在第一问基础上，得到当PQ 取得最小值时，SA ⊥PQ ，并建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角.【详解】(1)过点M 作MH ⎳SB 交AB 于点H ，过点H 作PQ ⊥AB ，此时满足SB ⎳平面PMQ ，由平面几何知识易知，PQ =2r 2-d 2，当弦心距d 最大时，d =OH ，弦长最短，即PQ 取得最小值，因为AM =2MS ,AS =3，所以AH =2HB ，因为AC ⊥BC ,AC =BC =322，由勾股定理得AB =322⋅2=3，故AH =2,HB =1，连接OQ ，则OQ =32，由勾股定理得HQ =OQ 2-OH 2=94-14=2，所以PQ =2HQ =22；(2)连接OS ，则OS ⊥平面ACB ，因为PQ ⊂平面ACB ，故OS ⊥PQ ，而SA ⊥PQ ，OS ∩SA =S ，所以PQ ⊥平面AOS ，即有PQ ⊥AB .以O 为坐标原点，过点O 且平行PQ 的直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，OS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则P -2,12,0 ,Q 2,12,0 ,B 0,32,0 ,C 32,0,0 ,M 0,-12,3 ，设平面BCM 的法向量为m =x ,y ,z ，则m ⋅CB =x ,y ,z ⋅-32,32,0 =-32x +32y =0m ⋅MB =x ,y ,z ⋅0,2,-3 =2y -3z =0，令x =1，则y =1,z =233，故m =1,1,233，设直线PQ 与平面BCM 所成角的大小为θ，则sin θ=cos PQ ,m =PQ ⋅m PQ ⋅m =22,0,0 ⋅1,1,233 22×1+1+43=3010.故直线PQ与平面BCM所成角的正弦值为30 10.7(22·23·深圳·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,PA= AD=2AB，点M是PD的中点.(1)证明：AM⊥PC；(2)设AC的中点为O，点N在棱PC上(异于点P，C)，且ON=OA，求直线AN与平面ACM所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)1510【分析】(1)由等腰三角形的性质可得AM⊥PD，由面面垂直的性质可得CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，所以由线面垂直的判定可得AM⊥平面PCD，从而可得结论；(2)以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】(1)证明：因为PA=AD，点M是PD的中点，所以AM⊥PD.因为PA⊥平面ABCD,PA⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD，因为平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AM，因为PD∩CD=D，PD,CD⊂平面PCD，所以AM⊥平面PCD，因为PC⊂平面PCD，所以AM⊥PC.(2)解：由题意可得AB,AD,AP两两垂直，设AB=1，如图，以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)，22所以AM =0,22,22 ,AC =1,2,0 ，设平面ACM 的法向量为n =x ,y ,z ，则AM ⋅n =22y +22z =0AC ⋅n =x +2y =0，令y =-1可得x =2,z =1，所以平面ACM 的一个法向量n =2,-1,1 .PC =1,2,-2 ，设N x N ,y N ,z N ,PN =λPC =λ,2λ,-2λ (0<λ<1)，即x N ,y N ,z N -2 =λ,2λ,-2λ ，所以N λ,2λ,2-2λ .又O 12,22,0 ,ON =OA =32，所以λ-12 2+2λ-22 2+(2-2λ)2=34，化简得5λ2-7λ+2=0，解得λ=25或λ=1(舍去).所以AN =25,225,325，设直线AN 与平面ACM 所成的角为θ，则sin θ=n ⋅AN n ⋅AN=3252+1+1×425+825+1825=1510，所以直线AN 与平面ACM 所成角的正弦值为1510.8(22·23下·温州·二模)已知三棱锥D -ABC 中，△BCD 是边长为3的正三角形，AB =AC =AD ,AD 与平面BCD 所成角的余弦值为33．(1)求证：AD ⊥BC ；(2)求二面角D -AC -B 的平面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)223【分析】(1)取BC 的中点E ，连接AE ,DE ，证明BC ⊥平面ADE ，即可得证；(2)取正三角形BCD 的中心O ，连接OA ，从而可得OA ⊥平面BCD ，则∠ODA 即为AD 与平面BCD 所成角的平面角，进而可得AB =AC =AD =3，取AC 中点为H ，连接DH ,BH ，则DH ⊥AC ,BH ⊥AC ，故∠BHD 即为二面角D -AC -B 的平面角，解△BDH 即可得解.【详解】(1)取BC 的中点E ，连接AE ,DE ，因为△BCD 是边长为3的正三角形，所以DE ⊥BC ，又AE ∩DE =E ,AE ,DE ⊂平面ADE ，所以BC ⊥平面ADE ，因为AD ⊂平面ADE ，所以AD ⊥BC ；(2)取正三角形BCD 的中心O ，连接OA ，则点O 在DE 上，且OD =23DE ，由AB =AC =AD ，△BCD 是正三角形，得三棱锥A -BCD 为正三棱锥，则OA ⊥平面BCD ，故∠ODA 即为AD 与平面BCD 所成角的平面角，又AD 与平面BCD 所成角的余弦值为33，所以OD AD =3×32×23AD=33，即AB =AC =AD =3，即三棱锥A -BCD 是正四面体，取AC 中点为H ，连接DH ,BH ，则DH ⊥AC ,BH ⊥AC ，故∠BHD 即为二面角D -AC -B 的平面角，在△BDH 中，BH =DH =332,BD =3，则cos ∠BHD =BH 2+DH 2-BD 22⋅BH ⋅DH =274+274-92×332×332=13，所以sin ∠BHD =1-cos 2∠BHD =223，所以二面角D -AC -B 的平面角的正弦值223．9(22·23下·浙江·二模)如图，四面体ABCD ,AD ⊥CD ,AD =CD ,AC =2,AB =3,∠CAB =60°，E 为AB 上的点，且AC ⊥DE ,DE 与平面ABC 所成角为30°，(1)求三棱锥D -BCE 的体积；(2)求二面角B -CD -E 的余弦值.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析．【分析】(1)取AC 中点F ，可证明AC ⊥平面DEF ，得平面ABC ⊥平面DEF ，DE 在平面ABC 内的射影就是直线EF ，∠DEF 是DE 与平面ABC 所成的角，即∠DEF =30°，由正弦定理求得∠FDE ，有两个解，在∠FDE =60°时可证DF ⊥平面ABC ，在∠FDE =120°时，取FE 中点H 证明DH ⊥平面ABC ，然后由棱锥体积公式计算体积；(2)建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【详解】(1)取AC 中点F ，连接FE ,FD ，因为AD =CD ，所以DF ⊥AC ，又AC ⊥DE ，DE ∩DF =D ，DE ,DF ⊂平面DEF ，所以AC ⊥平面DEF ，而FE ⊂平面DEF ，所以AC ⊥FE ，由AC ⊥平面DEF ，AC ⊂平面ABC 得平面ABC ⊥平面DEF ，因此DE 在平面ABC 内的射影就是直线EF ，所以∠DEF 是DE 与平面ABC 所成的角，即∠DEF =30°，AD =CD ,AC =2，因此DF =12AC =1，在△DEF 中，由正弦定理EF sin ∠FDE =DF sin ∠DEF 得1sin30°=3sin ∠FDE ，sin ∠FDE =32，∠FDE 为△DEF 内角，所以∠FDE =60°或120°，S △ABC =12AB ×AC ×sin ∠BAC =12×3×2×sin60°=333，S △CBE =BE BAS △ABC =3-23×332=32，若∠FDE =60°，则∠DFE =90°，即DF ⊥FE ，AC ∩FE =F ，AC ,FE ⊂平面ABC ，所以DF ⊥平面ABC ，V D -BCE =13S △BCE ⋅DF =13×32×1=36；若∠FDE =120°，则∠DFE =30°，DF =DE =1，取EF 中点H ，连接DH ，则DH ⊥EF ，因为平面ABC ⊥平面DEF ，平面ABC ∩平面DEF =EF ，而DH ⊂平面DEF ，所以DH ⊥平面ABC ，DH =DF sin ∠DFE =1×sin30°=12，所以V D -BCE =13S △BCE ⋅DF =13×32×12=312；(2)若∠FDE =60°，以FA ,FE ,FD 为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系F -xyz ，则D (0,0,1)，C (-1,0,0)，A (1,0,0)，E (0,3,0)，AE =(-1,3,0)，EB =12AE =-12,32,0 ，所以B 点坐标为-12,332,0 ，CD =(1,0,1)，CB =12,332,0 ，CE =(1,3,0)，设平面DBC 的一个法向量是m =(x 1,y 1,z 1)，则m ⋅CD =x 1+z 1=0m ⋅CB =12x 1+332y 1=0，取y 1=-1，则x 1=33，z 1=-33，即m =(33,-1,-33)，设平面DEC 的一个法向量是n =(x 2,y 2,z 2)，则n ⋅CD =x 2+z 2=0n ⋅CE =x 2+3y 2=0，取y 2=-1，则x 2=3，z 2=-3，即m =(3,-1,-3)，cos m ,n =m ⋅n m n =9+1+955×7=19385385，所以二面角B -CD -E 的余弦值是19385；若∠FDE =120°，以FA 为x 轴，FE 为y 轴，过F 且平行于HD 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系F -xyz ，FH =12FE =32，则D 0,32,12 ，C (-1,0,0)，A (1,0,0)，E (0,3,0)，AE =(-1,3,0)，EB =12AE =-12,32,0 ，所以B 点坐标为-12,332,0 ，CD =1,32,12 ，CB =12,332,0 ，CE =(1,3,0)，设平面DBC 的一个法向量是m =(x 1,y 1,z 1)，则m ⋅CD =x 1+32y 1+12z 1=0m ⋅CB =12x 1+332y 1=0，取y 1=-1，则x 1=33，z 1=-53，即m =(33,-1,-53)，设平面DEC 的一个法向量是n =(x 2,y 2,z 2)，则n ⋅CD =x 2+32y 2+12z 2=0n ⋅CE =x 2+3y 2=0，取y 2=-1，则x 2=3，z 2=-3，即m =(3,-1,-3)，cos m ,n =m ⋅n m n =9+1+15103×7=25721721，所以二面角B -CD -E 的余弦值是25721721．10(22·23下·襄阳·三模)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为矩形，∠BAC =90°，AB =AC =2，AA 1=4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点N ，M 为B 1C 1的中点.(1)求证：平面A 1MNA ⊥平面A 1BC ；(2)求平面A 1B 1BA 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)23015【分析】(1)利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量的坐标运算求面面夹角的余弦值.【详解】(1)如图，∵A 1N ⊥面ABC ，连AN ，则AN ⊥A 1N ，又AB =AC =2，∴AN ⊥BC ，又AN ∩BC =N ，A 1N ⊂面A 1BC ，BC ⊂面A 1BC ，于是AN ⊥面A 1BC ，又AN ⊂面A 1MN ，，所以面A 1BC ⊥面A 1MNA .(2)由(1)可得，以NA ,NB ,NA 1 为x ,y ,z 轴，建系如图，∠BAC =90°，AB =AC =2，BC =22则A (2,0,0),B (0,2,0),C (0,-2,0),因为AA 1=4,AN =2,所以A 1N =14,则A 1(0,0,14),因为NB 1 =NB +BB 1 =NB +AA 1 =0,2,0 +-2,0,14 =-2,2,14 ,所以B 1-2,2,14 ,设平面A 1BB 1的一个法向量为m =(x ,y ,z )，因为A 1B =(0,2,-14),B 1B =(2,0,-14),所以A 1B ⋅m =2y -14z =0B 1B ⋅m =2x -14z =0 ，令y =7，则x =7,z =1，所以m =(7,7,1)，设平面BCC 1B 1的一个法向量为n =(a ,b ,c )，因为BC =(0,-22,0),BB 1 =(-2,0,14),所以BC ⋅n =-22b =0BB 1 ⋅n =-2a +14c =0，令a =7，则b =0,c =1，所以n =(7,0,1)，设平面A 1BB 1与平面BCC 1B 1夹角为θ，则cos θ=cos <m ,n >=m ⋅n m n=7+0+17+7+1×7+0+1=23015，所以平面A 1BB 1与平面BCC 1B 1夹角的余弦值为23015.11(22·23·唐山·二模)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，△ABC 是等边三角形，侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ，且AA 1=AC ，∠AA 1C 1=120°，M 是CC 1的中点．(1)证明：A 1C ⊥BM ．(2)求二面角A 1-BC -M 的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)45【分析】(1)根据菱形的性质、结合面面垂直的性质，线面垂直的判定定理进行证明即可；(2)建立空间直角坐标系，运用空间向量夹角公式进行求解即sk .【详解】(1)取AC 的中点O ，连接OM ，OB ，AC 1．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，由AA 1=AC ，得四边形ACC 1A 1为菱形，所以A 1C ⊥AC 1，易知OM ∥AC 1，则A 1C ⊥OM ．由△ABC 是等边三角形，知OB ⊥AC ，又平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，平面ACC 1A 1∩平面ABC =AC ，OB ⊂平面ABC ，知OB ⊥平面ACC 1A 1，则OB ⊥A 1C ，又OB ∩OM =O ,OB ,OM ⊂平面OBM ，得A 1C ⊥平面OBM ，又BM ⊂平面OBM ，故A 1C ⊥BM ．.(2)连接OA 1，因为侧面ACC 1A 1为菱形，∠AA 1C 1=120°，则∠A 1AC =60°，则△A 1AC 为等边三角形，所以A 1O ⊥AC ，又由(1)易知OA 1，OB ，AC 两两垂直，故以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 1 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．不妨设AB =2，则O 0,0,0 ，B 3,0,0 ，C 0,1,0 ，A 10,0,3 ，C 10,2,3 ，BA 1 =-3,0,3 ，BC =-3,1,0 ，CC 1 =0,1,3 ，。

立体几何经典大题(各个类型的典型题目)

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立体几何大题训练(1)1.如图，已知ZkABC是正三角形，EA, CD都垂直于平面ABC∙且EA=AB=Za. DC=a, F是BE的(1)FD〃平面ABC： (2) AF丄平而EDB.2.己知线段PA丄矩形ABCD所在平而，M、N分别是AB. PC的中点。

(1)求证：MN//平面PAD： (2)当ZPDA=45°时，求证：MN丄平面PCD；3.如图，在四面体ABCD中，CB=CD,ADdBD.点E, F分别是AB1BD的中点•求证:(1)直线EF//面ACD： (2)平面EFC丄面BCD.4.在斜三棱柱A l B l C l-ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC,侧面BB l C l C丄底面ABC(1)若D是BC的中点，求证AD±CC1:(2)过侧面BB l C l C的对角线BC l的平面交侧棱于M,若扯仁M&, 求证截面MBCl丄侧面BBiCiC:(3)AM=MA l是截面MBCI丄平面BB l CIC的充要条件吗？请你叙述判断理由5.如图，在正方体ABCD-A l BXC I Dl >, M、N、G分别是A1A, D i C, AD的中点. 求证：(1) MN//平面ABCD：(2) MN丄平面B1BG.D6.如图，在正方体ABCD-AlBlClDI中，E、F为⅛AD. AB的中点•(1)求证：EF 〃平面CB1D1:(2)求证：平面CAAlCl丄平面CBiDi.7.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D11I1,底面ABCD 为等腰梯形，AB/7CD, AB=4, BC=CD=2, AA1=Z, E、El分别是棱AD、AAI的中点(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EEl〃面FCCi:C)证明：平面DIAC丄面BBlClCoDBl EI8.如图，在四棱锥P-ABCD中•F分别在PD, Be上，且PE：(1)求证：PA丄平面ABCD：底面ABCD是菱形，ZABC=60°ED=BF: FCO(2)求证：EF//平面PAB。

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立体几何大题20道
1、（17年浙江）如图，已知四棱锥P-ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，PC=AD=2DC=2CB,E 为PD 的中点.（I ）证明：CE ∥平面PAB ；（II ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值
2、(17新课标3)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD =CD ．（1）证明：AC ⊥BD ；（2）已知△ACD 是直角三角形，AB =BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．
3、（17新课标2）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底ABCD ,
1
,2
AB BC AD BAD ==
∠90.ABC =∠=︒（1）证明：直线BC ∥平面PAD ; （2）若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ABCD -的体积.
4、（17新课标1）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为
8
3
，求该四棱锥的侧面积.
5、（17年山东）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD , （Ⅰ）证明：1A O ∥平面B 1CD 1;
（Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.
6、（17年北京）如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ； （Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积．
7、（16年北京）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥ （I ）求证：DC PAC ⊥平面；（II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；
(III)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得PA CEF ∥平面?说明理由.
8、（16年山东）在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB. （I ）已知AB=BC ，AE=EC.求证：AC ⊥FB ；
（II ）已知G,H 分别是EC 和FB 的中点.求证：GH ∥平面ABC.
9、（16年上海）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为56
π
，11A B 长为
3
π
，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧. （1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.
10、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，
1
2 BC CD AD
==。

（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（II）证明：平面PAB⊥平面PBD。

D
C
B
A
P
11、（16年新课标1）如图，在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，P A=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.
（I）证明：G是AB的中点；
（II）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面P AC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．P
A
B
D C
G
E
12、（16新课标2）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD 于点H，将DEF
∆沿EF折到'
D EF
∆的位置.
（I）证明：'
AC HD
⊥；
(II)若
5
5,6,,'22
4
AB AC AE OD
====,求五棱锥'ABCEF
D-体积.
13、（16新课标3）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
（I）证明MN∥平面PAB;
（II）求四面体N-BCM的体积.
14、(2013·陕西，18，12分)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O ⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积．
15、(2016·宁夏银川二模，18，12分)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD
＝1
2AB＝2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如
图2所示．(1)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；
(2)求点C到平面ABD的距离．
16、(2015·山东，18，12分，中)如图，三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
(1)求证：BD∥平面FGH；
(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.
17、(2014·课标Ⅰ，19，12分，中)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高．
18、(2014·辽宁，19，12分)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．
(1)求证：EF⊥平面BCG；
19、(2015·课标Ⅰ，18，12分)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
(1)证明：平面AEC⊥平面BED；
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为
6
3，求该三棱锥
的侧面积．
20、(2016·江苏扬州二模，16，14分)如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接P A，PB，PD，得到如图2的五棱锥P-ABFED，且PB＝10.
(1)求证：BD⊥平面POA；
(2)求四棱锥P-BFED的体积．。

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