重庆市第一中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题[附答案]

重庆市第一中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{},1,0,1,,21-=∈≤<-=*B N x x x A 则=B A Y ( )A.}1{B.]2,1[-C.}1,0{D.}2,1,0,1{-2.已知函数2)1ln()(-++=x x x f ，在下列区间中，函数)(x f 一定有零点的是( ) A ．]1,0[B ．]2,1[ C ．]3,2[ D ．]4,3[3. 计算οο105sin 15sin ⋅的结果是( ) A.41-B.41C. 426-D.426+ 4.下列函数为奇函数的是( ) A.233)(x x x f += B.xxx f -+=22)( C.xxx f -+=33ln)( D.x x x f sin )(= 5.要得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象( )A.把各点的横坐标缩短到原来的12倍,再向右平移6π个单位 B.把各点的横坐标缩短到原来的12倍,再向左平移3π个单位C.把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移6π个单位 D.把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移3π个单位6.函数()()sin (0,0,0)2f x A x A ωϕπωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是( )A.()2sin(2)3f x x π=+B. ()2sin(2)6f x x π=+C.()2sin()3f x x π=+ D ．()2sin()6f x x π=+7.已知4log 5a =，1216(log 2)b =，sin2c =，则c b a ,,的大小关系是( ) A.b c a <<B.c a b <<C.a b c <<D.c b a <<8.已知函数,34)(,3)2()(2+-=+-=x x x g x m x f 若对任意]4,0[1∈x ，总存在]4,1[2∈x ，使得)()(21x g x f >成立，则实数m 的取值范围是( )A.(2,2)m ∈-B. 33(,)22m ∈-C.(,2)m ∈-∞- D ．3(,)2m ∈-+∞9.已知函数22lg (1)2(1)3y a x a x ⎡⎤=---+⎣⎦的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A.[2,1]-B.(2,1)-C. [2,1]--D.(,2)[1,)-∞--+∞U10.函数12211()tan()log ()tan()log ()4242f x x x x x ππ=-----在区间1(,2)2上的图像大致为( )A. B. C. D.11.已知函数()sin (sin cos )f x x x x =⋅+，给出以下四个命题：①()f x 的最小正周期为π；②()f x 在]4,0[π上的值域为]1,0[； ③()f x 的图像关于点)21,85(π中心对称；④()f x 的图像关于直线811π=x 对称．其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.412.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<=102),4sin(20,log )(2x x x x x f π，若存在实数4321,,,x x x x 使得)()()()(4321x f x f x f x f ===且4321x x x x <<<，则34214352)1)(1(x x x x x x -+--的取值范围是( )A.)17,14(B.)19,14(C.)19,17(D.]477,17(二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把最简答案写在答题卡相应位置上.13. 已知7cos2,(,0)252παα=∈-,则sin α=； 14.已知1tan 2,tan()7ααβ=-+=，则tan β的值为；15.若函数)(x f 满足：在定义域D 内存在实数0x ，使得00(1)()(1)f x f x f +=+成立，则称函数)(x f 为“1阶马格丁香小花花”函数．给出下列四个函数：①1()f x x=；②()x f x e =；③2()lg(2)f x x =+；④()cos f x x π=．其中是“1阶马格丁香小花花”函数的所有函数的序号是； 16.定义在R 上的函数)(x f 满足)2(-x f 是偶函数，且对任意R x ∈恒有2020)1()3(=-+-x f x f ，又2019)2(=-f ，则=)2020(f .三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分） (Ⅰ)若3tan =α，求值：cos()sin()32cos()sin()22απαππαα-+---+；(Ⅱ)计算：()2ln 9232316log 3log 2log log 2lg 20lg e -⨯++-.18.（本小题满分12分）已知集合{})6lg(2++-==x x y x A ，集合{}02>-=x ax x B (Ⅰ)当4=a 时，求B A I ；(Ⅱ)若B B A =I ，求实数a 的取值范围．19.（本小题满分12分）已知函数()2sin(2)2sin 6f x x x π=-+.(Ⅰ)求5()12f π； (Ⅱ)求)(x f 的单调递增区间.20.（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,)22f x x b ππωϕωϕ=++>-<<的相邻两对称轴间的距离为2π，若将()f x 的图像先向左平移12π个单位，再向下平移1个单位，所得的函数()g x 为奇函数． (Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ)若关于x 的方程()23()()20g x m g x +⋅+=在区间[0,]2π上有两个不等实根，求实数m 的取值范围．21.（本小题满分12分）定义二元函数,)1(),(yx y x F +=R y x ∈+∞∈),,0(，如31)21()1,2(1=+=--F ．已知二次函数)(x g 过点)0,0(，且13134))(,1()21(2++≤≤x x x g F 对R x ∈恒成立．(Ⅰ)求)1(-g 的值，并求函数)(x g 的解析式； (Ⅱ)若函数xxxg x h ---+=22)22()(，求)(x h 在]1,0[∈x 上的值域．22.（本小题满分12分）已知定义在(,1)(1,)-∞-+∞U 的奇函数()f x 满足：①(3)1f =-；②对任意2x >均有()0f x <；③对任意,0m n >，均有(1)(1)(1)f m f n f mn +++=+. (Ⅰ)求(2)f 的值；(Ⅱ)利用定义法证明()f x 在(1,)+∞上单调递减；(Ⅲ)若对任意[,0]2πθ∈-，恒有()sin2(23)(sin cos )2f k k θθθ+-+-≥-，求实数k 的取值范围.命题人：黄色的(di)哥 审题人：凯哥 兵哥2020年重庆一中高2022级高一上期期末考试数学参考答案一、选择题：三、解答题：17、（本小题满分10分）解： （1）原式741tan 2tan 1cos sin 2sin cos -=++-=--+=αααααα；（2）原式()0221122log 23log 31log 220lg323=-+-=-⨯++=．18、（本小题满分12分）解：（1）)3,2(060622-=⇒<--⇒>++-A x x x x ， 当4=a 时)4,0(=B ，因此)3,0(=B A I ；（2）A B B B A ⊆⇔=I 而0)(02<-⇔>-a x x x ax ，故：ο1 当0=a 时)3,2(-⊆Φ=B ，因此0=a 满足题意； ο2 当0>a 时30)3,2(),0(≤<⇒-⊆=a a B ；ο3 当0<a 时02)3,2()0,(<≤-⇒-⊆=a a B ；取并得：]3,2[-∈a ．19、（本小题满分12分）解： （1）()()132cos21cos2=2cos2)1223f x x x x x x x π⎫⎫=-+--+-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭因此5(11122f ππ+=； （2）令32π-=x u ，由]22,22[32]22,22[πππππππππ+-∈-⇒+-∈k k x k k u]125,12[ππππ+-∈⇒k k x ，即()f x 的单调递增区间为Z k k k ∈+-],125,12[ππππ．20、（本小题满分12分）解： （1）由题意知()f x 的周期22=⇒==ωωππT ，故()sin(2)f x x b ϕ=++，而()sin 2()1sin(2)1126g x x b x b ππϕϕ⎛⎫=+++-=+++- ⎪⎝⎭为奇函数，则101=⇒=-b b ，且)(6602Z k k k ∈-=⇒=++⨯ππϕπϕπ，而)2,2(ππϕ-∈，故6πϕ-=，因此()sin(2)16f x x π=-+；（2）由（1）知x x g 2sin )(=，题意等价于23[sin 2]sin 220x m x +⋅+=在区间[0,]2π上有两个不等实根， 令]2,0[,2sin π∈=x x t ，则题意⇔方程2320t mt ++=在)1,0[∈t 内仅有一个根，且另一个根1≠．法一：令2()32h t t mt =++，则题意⇔2240016m m⎧∆=-=⎪⎨<-<⎪⎩或}62{)5,(0)1(0)0(---∞∈⇒⎩⎨⎧<≥Y m h h ； 法二：显然0不是该方程的根，题意m y tt m t mt -=⇔+=-⇔+=-⇔23232与tt y 23+=的图像在)1,0(∈t 内仅有一个交点且另一个交点不为)5,1(，由于双勾函数tt y 23+=在]36,0(上单减，在)1,36[上单增，故有5>-m 或62=-m ，因此}62{)5,(---∞∈Y m ．21、（本小题满分12分）解： （1）由R x x x g x x g F x x g x x x ∈+≤≤--⇔≤≤⇔≤≤+--++,26)(132224))(,1()21(226)(13131322令1-=x ，得4)1(4)1(4-=-⇒-≤-≤-g g ，设)0(,)(2≠+=a bx ax x g ，由b a g -=-=-4)1(得4+=a b ，于是x a ax x g )4()(2++=，由题：R x x a ax x x g ∈≤--+⇔+≤,02)2(26)(22，⇒-=⇒⎩⎨⎧≤+=+-=∆<⇔20)2(8)2(022a a a a a x x x g 22)(2+-=， 检验知此时满足R x x x g ∈--≥,13)(2，故x x x g 22)(2+-=； （2）由题知8)22(2)22(224)22(2)22(2)(22--+--=⋅-+++-=-----x x x x xxxx xx h ，令x x t --=22，显然t 在R 上单增，故当]1,0[∈x 时，]23,0[∈t ，则]23,0[,215)21(282222∈---=-+-=t t t t y ，因此]215,219[--∈y也即)(x h 在]1,0[∈x 上的值域为]215,219[--．22、（本小题满分12分）解：（1）在(1)(1)(1)f m f n f mn +++=+中令0)2()2()2(21=⇒=⇒==f f f n m ； （2）由题知：对任意,0m n >都有(1)(1)(1)f mn f n f m +-+=+，且对任意2x >均有()0f x <证一：任取112>>x x ，则()2221111111()()(1)1(1)1(1)11x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫---=⋅-+--+=+ ⎪--⎝⎭，因为112>>x x ，所以2111111011121212>+--⇒>--⇒>->-x x x x x x ，所以211(1)01x f x -+<-， 即21()()0f x f x -<即21()()f x f x <，也即()f x 在(1,)+∞单调递减； 证二：任取112>>x x ，设0,1,1,112>>+=+=n m n x mn x ， 则21()()(1)(1)(1)f x f x f mn f n f m -=+-+=+，因为1,12m m >+>所以(1)0f m +<，即21()()f x f x <，也即()f x 在(1,)+∞单调递减； (3)在(1)(1)(1)(,0)f m f n f mn m n +++=+>中令2)5(2-=⇒==f n m ， 令2)45(0)2()45()5(41,4=⇒==+⇒==f f f f n m ，而()f x 为奇函数，故2)45(-=-f ，又()f x 在(,1)-∞-及(1,)+∞上均单调递减，因此原不等式等价于对任意[,0]2πθ∈-，不等式5sin 2(23)(sin cos )4k k θθθ+-+-≤-或者1sin 2(23)(sin cos )5k k θθθ<+-+-≤恒成立，令]0,2[,cos sin πθθθ-∈+=t ，则]1,1[-∈t ，12sin 2-=t θ，则不等式等价于21(23)4t k t k +--≤-…………①或者22(23)6t k t k <+--≤…………②对任意]1,1[-∈t 恒成立，法一：令]1,1[,)32()(2-∈--+=t k t k t t g 立，)(t g 开口向上，则不等式①]47,1217[412413441)1(41)1(∈⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤-⇔k k k g g ； 对于②，当1±=t 时，由Φ∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤<<≤-⇒⎩⎨⎧≤<≤-<k k k g g 8432326)1(26)1(2，即必不存在k 满足②.综上，]47,1217[∈k .法二：令]1,1[,)32()(2-∈--+=t k t k t t g ，)(t g 开口向上，对称轴为k t -=23， 且492)23(,2)1(,34)1(2-+-=--=-=-k k k g k g k g ， ο1 当123-<-k 即25>k 时，问题等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤>41)1(25g k 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>->6)1(2)1(25g g k ，解得Φ∈k ； ο2 当0231≤-≤-k 即2523≤≤k 时，问题等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤≤41)1(2523g k 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤>-≤≤6)1(2)23(2523g k g k ，解得]47,23[∈k ；ο3 当1230≤-<k 即2321<≤k 时，问题等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-<≤41)1(2321g k 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤->-<≤6)1(2)23(2321g k g k ，解得)23,1217[∈k ；ο4 当123>-k 即21<k 时，问题等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-<41)1(21g k 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-><6)1(2)1(21g g k ，解得Φ∈k ； 综上，]47,1217[∈k .。