＊3 垂径定理
2020春北师大版数学九年级下册第三章 圆 3 垂径定理
(2)求点A,B的坐标.
解:(2)因为E(1,-4),EF⊥AB, 所以F(1,0). 又因为AF=BF=3, 所以OB=1+3=4,AO=3-1=2, 所以A(-2,0),B(4,0).
1.(分类讨论题)在☉O 中,弦 AB=4,AC=2 6 ,半径为 2 2 ,则∠BAC=
75°或15°
.
2.(探究题)图1是某品牌的香水瓶.从正面看上去(如图2),它可以近似看作 ☉O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形(点B,C在☉O上), 其中BC∥EF;从侧面看,它是扁平的,厚度为1.3 cm. (1)已知☉O的半径为2.6 cm,BC=2 cm,AB=3.02 cm,EF=3.12 cm,求香水瓶的 高度h.
(B)2 5 cm (D)9 cm
3.如图,AB为☉O直径,AB=4,C为OA中点,则过C点的最短弦长为 2 3 .
4.如图,已知 AB 是☉O 的弦,C 是 的中点,AB=8,AC=2 5 ,求☉O 的半径.
解:如图,连接 OA,连接 OC 交 AB 于点 D. 设☉O 的半径为 r.
因为 C 是 的中点,所以 = ,
解:(2)作 OM⊥EC 于 M,连接 OC.Rt△BOH 中,OH=1, 因为 EH= 6 ,易证四边形 OMEH 是矩形,
5 所以 OM=EH= 6 ,ME=OH=1,
5
在 Rt△OMC 中,CM=
22
6 5
2
=8 5
,
所以 CE=ME+CM=1+ 8 = 13 ,所以立柱 CE 的长度为 13 .
8.一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量.如图,把一个直径 为10 mm的小钢球紧贴在孔道边缘,测得钢球顶端离孔道外端的距离为8 mm,求这个 孔道的直径AB.
北师版九年级数学下册教案：第3章 圆3 垂径定理
*3 垂径定理教学目标一、基本目标1．通过圆的轴对称性质的学习,理解垂径定理及其推论． 2．能运用垂径定理及其推论计算和证明实际问题． 二、重难点目标 【教学重点】 垂径定理及其推论． 【教学难点】运用垂径定理及其推论解决有关问题．教学过程环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P74～P75的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧．即一条直线如果满足：①CD 经过圆心O 且与圆交于C 、D 两点；②AB ⊥CD 交CD 于点M ,则AM ＝BM ＝12AB ,AC ︵＝BC ︵ ,AD ︵ ＝BD ︵.2．垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧． 环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ︵ ,点O 是CD ︵所在圆的圆心),其中CD ＝600 m,E 为CD ︵上一点,且OE ⊥CD ,垂足为F ,EF ＝90 m,求这段弯路的半径．【互动探索】(引发学生思考)要求这段弯路的半径可转化为求OC 的长,结合已知条件,在Rt △OCF 中利用勾股定理即可求得OC 的长．【解答】连结OC .设弯路的半径为R m,则OF ＝(R －90)m. ∵OE ⊥CD ,∴CF ＝12CD ＝12×600＝300(m)．在Rt △OCF 中,根据勾股定理, 得OC 2＝CF 2＋OF 2, 即R 2＝3002＋(R －90)2, 解得R ＝545.∴这段弯路的半径为545 m.【互动总结】(学生总结,老师点评)常用辅助线：连结半径,由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图,AB 为⊙O 的弦,⊙O 的半径为5,OC ⊥AB 于点D ,交⊙O 于点C ,且CD ＝1,则弦AB 的长是多少？解：连结AO .由题意可知,OA ＝OC ＝5, ∴OD ＝OC －CD ＝5－1＝4. ∵OC ⊥AB , ∴∠ODA ＝90°,∴在Rt △OAD 中,由勾股定理,得 AD ＝OA 2－OD 2＝3. 又∵AB 为⊙O 的弦,∴由垂径定理,得AB ＝2AD ＝6, 即弦AB 的长是6.2．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的半径OB ＝10 cm,水面宽AB ＝16 cm.求截面圆心O 到水面的距离．解：如图,过点O 作OC ⊥AB 于点C . ∵OC ⊥AB ,AB ＝16 cm,∴∠OCB ＝90°,BC ＝12AB ＝8 cm.又OB ＝10 cm,∴在Rt △OBC 中,由勾股定理,得 OC ＝OB 2－BC 2＝6 cm.即截面圆心O 到水面的距离为6 cm.3．如图,AB 为半圆的直径,O 为圆心,C 为半圆上一点,E 是AC ︵的中点,OE 交弦AC 于点D ,若AC ＝8 cm,DE ＝2 cm,求OD 的长．解：∵E 是AC ︵的中点, ∴OE ⊥AC , ∴AD ＝12AC ＝4 cm.∵OD ＝OE －DE ＝(OE －2)cm,OA ＝OE , ∴在Rt △OAD 中,由勾股定理,得OA 2＝OD 2＋AD 2, 即OA 2＝(OE －2)2＋42, 解得OE ＝5 cm. ∴OD ＝OE －DE ＝3 cm. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知⊙O 的半径为13,弦AB ＝24,弦CD ＝10,AB ∥CD ,求这两条平行弦AB 、CD 之间的距离．【互动探索】画出几何示意图→要求两条平行弦AB 、CD 之间的距离→利用垂径定理求解→作辅助线,构造直角三角形．【解答】分两种情况讨论：当弦AB 和CD 在圆心同侧时,如图,过点O 作OF ⊥CD 于点F ,交AB 于点E ,连结OC 、OA .由题意可知,OA ＝OC ＝13. ∵AB ∥CD ,OF ⊥CD , ∴OE ⊥AB .又∵AB ＝24,CD ＝10,∴由垂径定理,得AE ＝12AB ＝12,CF ＝12CD ＝5,∴由勾股定理,得EO ＝OA 2－AE 2＝5,OF ＝OC 2－CF 2＝12, ∴EF ＝OF －OE ＝7；当弦AB 和CD 在圆心异侧时,如图,过点O 作OF ⊥CD 于点F ,反向延长OF 交AB 于点E ,连结OC 、OA .同理可得,EO ＝5,OF ＝12, ∴EF ＝OF ＋OE ＝17.综上,两条平行弦AB 与CD 之间的距离为7或17.【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,要考虑两弦在圆心的同侧还是异侧,再结合实际作出半径和弦心距,利用勾股定理和垂径定理求解即可．要注意分类讨论思想的应用,小心别漏解．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)垂径定理及其逆定理,以及常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形)．练习设计请完成本课时对应练习！。
三垂径定理
三垂径定理一、垂径定理的内容1. 定理表述- 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
- 用几何语言表示：- 已知圆O，直径CD⊥弦AB于点E，则AE = BE，widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。
2. 定理的证明（以人教版教材思路为例）- 连接OA，OB。
- 因为OA = OB（同圆半径相等），OE⊥ AB，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AE=BE。
- 再根据圆的对称性，可得widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。
3. 相关概念理解- 弦：连接圆上任意两点的线段。
如在圆O中，AB就是一条弦。
- 直径：经过圆心的弦。
例如CD是圆O的直径。
- 弧：圆上任意两点间的部分。
圆O中的widehat{AD}、widehat{BD}、widehat{AC}、widehat{BC}等都是弧。
二、垂径定理的推论1. 推论内容- 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
- 用几何语言表示：- 已知圆O，直径CD平分弦AB（AB不是直径）于点E，则CD⊥ AB，widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。
2. 推论的证明- 连接OA，OB。
- 因为OA = OB，AE = BE，所以 OAB是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，可得OE⊥ AB，即CD⊥ AB。
- 再根据圆的对称性，可得widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。
- 这里要注意弦不能是直径，因为任意一条直径都可以平分另一条直径，但不一定垂直。
三、垂径定理及其推论的应用1. 计算类应用- 例1：已知圆O的半径为5，弦AB = 8，求圆心O到弦AB的距离。
- 解：设圆心O到弦AB的距离为d。
- 连接OA，因为OA = 5，AB = 8，根据垂径定理，OE⊥ AB时AE=(1)/(2)AB = 4。
垂径定理_精品文档
垂径定理垂径定理是数学几何中的一个重要定理，它解决了直径垂直于弦的问题。
在几何形体中，直径和弦是常见的概念。
定义在一个圆中，如果某条直径与一条弦垂直相交，那么这条直径被称为垂径。
理论证明假设我们有一个圆，直径为AB，弦为CD，且垂直相交于E点。
我们需要证明AE与BE相等。
首先，连接AC和BD，并延长直线AC和BD，分别交于F和G点。
根据垂直与切线的性质，可以得出四个直角三角形：AEC、EDB、AFB和EGC。
我们需要利用这四个直角三角形的性质来推导出AE与BE相等。
首先考虑直角三角形AEC和EDB，这两个三角形共有一边AE，因此我们可以利用直角三角形的边长关系依次得到以下两个等式：AE^2 + CE^2 = AC^2 (1)BE^2 + DE^2 = BD^2 (2)接下来考虑直角三角形AFB和EGC，这两个三角形也共有一边AE，而它们还有两边分别是FA、AG和GE、EB。
由于直角三角形的边长关系，我们可以得到以下两个等式：FA^2 + AE^2 = AF^2 (3)AG^2 + AE^2 = AG^2 (4)根据圆的性质，直径的两个端点到圆心的距离相等，即AC = BD。
由于AC = BD，我们可以将等式(1)和(2)进行简化：AE^2 + CE^2 = BD^2 (5)BE^2 + DE^2 = BD^2 (6)由于等式(5)和(6)左侧都包含AE，我们将它们相减，可以得到：AE^2 + CE^2 - (BE^2 + DE^2) = 0再根据等式(3)和(4)可以得到：FA^2 + AE^2 - (AG^2 + AE^2) = 0整理等式得到：FA^2 - AG^2 + CE^2 - DE^2 = 0化简得到：(FA^2 - AG^2) + (CE^2 - DE^2) = 0根据差的平方公式，我们可以进一步得到：(FA + AG)(FA - AG) + (CE + DE)(CE - DE) = 0将FA + AG替换为FG，CE + DE替换为CD，可以得到：FG * CD + FG * CD = 0进一步整理得到：2 * FG * CD = 0由于FG和CD都是正值，所以只能有FG = 0。
浙教版九年级数学上册 3.3《垂径定理》(共20张PPT)
D
O
4、已知：如图在⊙O中，弦AB//CD。 求证：A⌒C=⌒BD
O
A
B
C
D
5.过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦的中点, 然后作出弦所对的两条弧的中点
E
BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.
O
C
A
B
D
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明． 3．解题的主要方法：
（1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线； （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形 是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系： 弦长 AB2 r2d2.
1．若将一等腰三角形沿着底边上的高对折， 将会发生什么?
２．如果以这个等腰三角形的顶点为圆心， 腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图 形呢？
由垂径定理得:
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8
10
由勾股定理得:
C
88
O C O B 2 B C 21 0 2 8 2 6
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.
1、已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm， 求
C
AD
B
O
已知：如图，⊙O 的半径为2， AB为 弦，
OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 3 ，求
CD.
C
AD
B
O
已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB
OC交AB 于D ，AB = 6 ，CD = 1. 求⊙O 的半
北师大版九年级下册数学 第三章 3 垂径定理 教学课件
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
分析：连接OD，如图所示.
∵ CD ⊥ AB，CD=2 2 ，∴ CH=DH= 2 .
在Rt △ BHD 中，由勾股定理，得BH=1.
设⊙ O 的半径为r，
在Rt △ OHD 中，OH2+HD2=OD2，即（r-1）2+（ 2 ）2=r2. 解得r= 3
2
∴ AB=3.
AD BD
AC BC
新课讲解
典例分析
例 如图所示，AB，CD 是⊙ O 的弦，M，N 分别为AB，CD的 中点，且∠ AMN = ∠ CNM. 求证：AB=CD.
新课讲解
解：连接OM，ON，OA，OC. ∵ O 为圆心，且M，N 分别为AB，CD 的中点， ∴ AB=2AM，CD=2CN，OM ⊥ AB，ON ⊥ CD. ∴∠ OMA= ∠ ONC=90° . ∵∠ AMN= ∠ CNM， ∴∠ OMN= ∠ ONM. ∴ OM=ON. 又∵ OA=OC， ∴ Rt △ OAM ≌ Rt △ OCN（HL）. ∴ AM=CN. ∴ AB=CD.
新课讲解
典例分析
例 如图所示，在⊙ O 中，AB 为⊙ O 的弦，C，D 是直线 AB 上两点，且AC=BD. 求证：△ OCD 为等腰三角形.
新课讲解
分析：构建垂径定理的基本图形结合线段垂直平分线性质证明. 解：过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M， ∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM. ∵ AC=BD，∴ CM=DM. 又∵ OM ⊥ CD，∴ OC=OD. ∴△ OCD 为等腰三角形.
课后作业
课后作业
课后作业
课后作业
课后作业
新课讲解
典例分析
例 如图, —条公路的转弯处是一段圆弧（即 图中 CD ,点O是 CD 所 在圆的圆心），其中CD= 600m， E为 CD 上一点，且OE丄CD ，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.
垂径定理计算公式
垂径定理计算公式
「垂径定理」是几何中的基础定理，它表明了从垂足A到点P的垂径和从垂足A到点Q的垂径的乘积，等于对应的点P和Q的连线的平方。
下面我就来讲述一下垂径定理的计算公式。
首先，我们必须了解垂径定理的基本概念，即AB为一直线，A
为垂足，P为直线上点，Q为垂线上点，以及AP和BQ两条垂线。
垂径定理的计算公式为：AP*BQ=PB^2
其中，AP为从垂足A投影到点P的垂线，BQ为从垂足B投影到
点Q的垂线，而PB为从点P到点Q的直线，^2表示平方运算。
计算垂径定理的公式时，首先应计算相应的垂线的长度，例如
AP的长度为a，BQ的长度为b。
然后，可以用公式a*b=PB^2计算出PB的长度，即从点P到点Q的距离。
在一般的教学和习题中，可以有以下几种应用方法。
首先，可以利用垂径定理来计算平行四边形中任意两条边的长度，其中一边知道，另一边未知。
例如，若已知直线AB，以及M为其中
一点，则可以求出MN的长度。
另一种应用，是利用垂径定理求解三角形的内角。
有时候，我们需要求解的三角形的内角未知，仅知道三条边的长度时，则可以利用垂径定理来计算。
最后，垂径定理也可以用于求解椭圆的参数和椭圆上的点。
由于椭圆是以双曲线形式出现的，双曲线一端的点都是到椭圆中心的距离相等，则可以用垂径定理来计算双曲线上点的坐标，从而得到椭圆参
数。
以上就是关于垂径定理计算公式的全部内容，希望能够对读者有所帮助。
垂径定理在几何中有许多有趣的应用，如本文所提到的，通过深入的学习，可以更好地理解垂径定理。
垂径定理计算公式
垂径定理计算公式垂径定理指的是使用给定线段长度计算直角三角形的斜边长度的定理，它是基于古希腊数学家勃拉穆斯（Pythagoras）所发现的“勃拉穆斯定理”而推导出来的一种公式。
它可用于解决许多建筑、土木工程、航海学及其他一些理论计算中的问题。
一般来说，垂径定理描述的是，在一个直角三角形中，如果知道其中两条直角边的长度，则可以通过垂径定理计算出第三条边的长度。
即：斜边的长度=根号（第一边的平方+第二边的平方）这条定理也有一个更加直观地描述方式：在一个正方形中把一条边斜切，则得到的斜边就是该正方形面积的平方根，即两条直角边的平方和。
垂径定理的由来早在古希腊数学家勃拉穆斯（Pythagoras）所提出的“勃拉穆斯定理”时，就已经发现并通过这条定理可以得到斜边的长度。
据说在勃拉穆斯的的弟子柯几何的帮助下，他发现了三角形的形状与尺寸之间的关系，提出了这条定理，也就是现在说的“勃拉穆斯定理”：“在一个直角三角形中，如果知道其中两条直角边的长度，则可以得出第三条斜边的长度。
”之后，随着人们的研究发现，这条定理可以推广到任何形状的三角形，不管它是直角还是锐角，而垂径定理就是由此推导出来的，它把勃拉穆斯定理推广到任何形状三角形。
垂径定理应用在建筑、土木工程、航海学等领域中，垂径定理应用非常广泛，用它可以解决许多关于距离和面积的问题，并且还可以用来计算立体物体的质量和体积。
例如，它可以用来计算两个点之间的距离，计算地形的高度差等；还可以应用于测量特定区域的面积，测量特定三维物体的体积，甚至可以用来测量地球半径等；此外，它还可以用来计算空气密度等一些对空气有影响的参数。
总而言之，垂径定理可以说是一种重要的定理，它在许多计算中都发挥了重要作用，这也离不开定理本身的重要性。
因此，有必要从数学角度来研究这条定理，以便更好地利用它。
从历史上看，垂径定理可以追溯到古希腊，已有很长的历史了。
虽然这条定理本身并没有太多改变，但是它所在的科学领域却在不断发展变化，使它应用得更加广泛。
第07讲 垂径定理
第07讲垂径定理（核心考点讲与练）【知识梳理】一．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．二．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【核心考点精讲】一．垂径定理（共5小题）1．（2022•拱墅区一模）已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（）A．4B．4C．6D．62．（2016秋•北仑区期末）⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝6，EB＝2，∠CEA＝30°，则弦CD的长为（）A．8B．4C．2D．23．（2022春•长兴县月考）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB＝10，BE＝2，则OF的长度是（）A．B．3C．D．4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．B．C．D．5．（2021秋•北仑区校级期中）如图，⊙•O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（）A．B．C．2﹣D．﹣1二．垂径定理的应用（共4小题）6．（2021秋•鹿城区校级期中）如图是一个小圆同学设计的一个鱼缸截面图，弓形ACB是由优弧AB与弦AB组成，AC是鱼缸的玻璃隔断，弓形AC部分不注水，已知CD⊥AB，且圆心O在CD上，AB＝CD＝80cm．注水时，当水面恰好经过圆心时，则水面宽EF为cm；注水过程中，求水面宽度EF的最大值为cm．7．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米8．（2021秋•温岭市期末）把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是cm．9．（2021秋•诸暨市期末）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝12，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022春•市中区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，OC＝5，则弦AB的长为（）A．5B．10C．5D．102．（2021秋•温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知OC＝5，OD＝4，则弦AB的长为（）A．3B．4C．5D．63．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（）A．2B．4C．4D．84．（2021秋•嵊州市期末）如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，连结AD．若CD＝8，BM＝2，则AD的长为（）A．10B．5C．4D．35．（2021秋•东阳市期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cm．A．1B．3C．3或4D．1或7 6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（）A．3cm B．cm C．cm D．cm 7．（2021秋•拱墅区期中）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则DE的长为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共8小题）8．（2021秋•余姚市期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为米．9．（2021秋•瑞安市期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝3，则AE长为．10．（2021秋•拱墅区期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD＝4cm．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了cm（结果保留根号）．11．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为米．12．（2022•瑞安市开学）如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝．13．（2021秋•镇海区期末）⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为cm．14．（2020•金华模拟）如图，依据九上教材中的丁字尺，小明开始自制丁字尺：F、A、D、E在同一直线上，AF⊥AB，AB∥CD，AF＝4cm，AD＝DE＝2cm．（1）现有一圆经过F、E，弧EF为劣弧，且与AB交于G，如果测得AG的长为10cm，那么圆的半径为；（2）小明在DC上制作单位刻度时不小心把尺子割断了，只余DM＝1cm，此时只运用这把残破的丁字尺的已知数据（一条线段不能分段测量且不能作延长线），能计算或测量（不计误差）得到的最大半径是．15．（2022•海曙区一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP＝1，过P 的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为；作弦DE∥AB，CH ⊥DE于H，则CH的最大值为．三．解答题（共5小题）16．（2021秋•西湖区校级月考）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CE＝8，DE＝2，求AB的长．17．（2021•柯桥区模拟）如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝2．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的周长．18．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB 的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．19．（2021秋•下城区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM 为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．20．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD 交AC于点E，AD＝CD．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．。
九年级数学下册(北师大版)课件：3.3 垂径定理
推论3 平分弦所对的一条弧的直径，垂直于弦并且平分 弦所对的另一条弧.
【例2】如图X3-3-9，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3， 则⊙O的直径CD的长为.
解析 首先连接OA，由于M是AB的中点，⊙O的直径是CD， 根据垂径定理，可得CD⊥AM，AM= AB= ×8=4，然后由
2. 已知：如图X3-3-12，在⊙O中M，N分别为弦AB，CD的中 点，AB=CD，AB不平行于CD.
求证：∠AMN=∠CNM.
证明：连接OM，ON，AO，OC，如答图X3-3-1所示. ∵M，N分别为AB，CD的中点， ∴OM⊥AB，ON⊥CD. 又AB=CD，∴AM=CN. 在Rt△AOM和Rt△CON中，
∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL）. ∴OM=ON. ∴∠OMN=∠ONM. ∴∠AMO+∠OMN=∠CNO+∠ONM， 即∠AMN=∠CNM.
广东学导练 数学 九年级全一册 配北师大版
下册 第三章 圆
*3 垂径定理
课前预习
1. （2014毕节地区）如图X3-3-1，已知⊙O的半径为13，弦AB
长为24，则点O到AB的距离是
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
(B )
2. （2014南京）如图X3-3-2，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥
CD，垂足为点E，连接BC，若AB=
∠BCD=22°30′，
则⊙O的半径为_____2_____cm.
3. （2014包头）如图X3-3-3，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E 是 的中点，OE交BC于点D. 连接AC，若BC=6，DE=1,则AC
的长为_____8______.
垂径定理及其推论
圆部份知识点总结之阿布丰王创作垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,而且平分弦所对的弧.推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,而且平分弦所对的两条弧.（2）弦的垂直平分线经过圆心,而且平分弦所对的两条弧.（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,而且平分弦所对的另一条弧.推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.2：在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.圆周角定理：一条弧所对的圆周角即是它所对的圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.推论3：如果三角形一边上的中线即是这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.点和圆的位置关系设⊙O的半径是r,点P到圆心O的距离为d,则有： d<r⇔点P在⊙O内；d=r⇔点P在⊙O上；d>r⇔点P在⊙O外.过三点的圆1、不在同一直线上的三个点确定一个圆.2、经过三角形的三个极点的圆叫做三角形的外接圆.3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心.直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系,具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,（3）相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.如果⊙O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d,那么：直线L与⊙O相交⇔d<r；直线L与⊙O相切⇔d=r；直线L与⊙O相离⇔d>r；圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角即是它的内对角.切线的性质与判定定理径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不成2、性质定理：切线垂直于过切点的半径推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点.推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心.以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.即：∵PA 、PB 是两条切线∴PA PB =；PO 平分BPA ∠圆幂定理1、相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等.即：在⊙O 中,∵弦AB 、CD 相交于点P ,∴PA PB PC PD ⋅=⋅推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.即：在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥,∴2CE AE BE =⋅切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.即：在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线∴ 2PA PC PB =⋅割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图）.即：在⊙O 中,∵PB 、PE 是割线∴PC PB PD PE ⋅=⋅两圆公共弦定理A圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直而且平分这两个圆的的公共弦.如图：12O O 垂直平分AB .即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB圆的公切线（1）公切线的长：12Rt O O C ∆中,221AB CO =（2）外公切线的长：2CO 是半径之差；2CO 是半径之和 三角形的内切圆和外接圆1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点,它叫做三角形的内心.圆和圆的位置关系1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种.如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种.如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交.2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距.3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R 和r,圆心距为d,那么两圆外离⇔d>R+r 两圆外切⇔d=R+r 两圆相交⇔R-r<d<R+r （R ≥r ）两圆内切⇔d=R-r （R>r ） 两圆内含⇔d<R-r （R>r ）4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,它们是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.圆内正多边形的计算1.正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形,有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:3:2OD BD OB =；2.正四边形同理,四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行,::1:1:2OE AE OA =：3.正六边形 同理,六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行,::1:3:2AB OB OA =. 弧长和扇形面积1、弧长公式 n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180r n l π= 2、扇形面积公式 lR R n S 213602==π扇 其中n 是扇形的圆心角度数,R 是扇形的半径,L 是扇形的弧长.3、圆锥的正面积 rl r l S ππ=•=221其中L 是圆锥的母线长,r 是圆锥的底面半径.内切圆及有关计算.（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,它到三边的距离相等.（2）△ABC 中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c,则内切圆的半径r=2c b a -+ . （3）S △ABC =)(21c b a r ++,其中a,b,c 是边长,r 是内切圆的半径.拱高问题1.如图,圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米,拱高CD ＝4米,则拱桥的半径为（ ） S l B AOA．6.5米B．9米C．13米D．15米2.如图,用暗示主桥拱,设所在圆的圆心为O,半径为R．经A B过圆心O 作弦AB 的垂线OC,D为垂足,OC与AB 相交于点D,根据前面的结论,D 是AB 的中点,C是的中点,CD 就是拱高．。
《垂径定理》参考课件_最新修正版
最新修正版
8
注意 垂径定理的逆定理
如图,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一
条直线来说。如果在下列五个条件中:
⑤①A⌒DC=BD⌒D是. 只直要径具, ②备其CD中⊥两A个B,条③件A,就M可=B推M出, 其④A余⌒C三=B⌒个C,结论.
C
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
4
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说 你的想法和理由.
C
小明发现图中有:
A
┗●
M
●O
B 由 ① CD是直径 可推得 ③ AM=BM
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
最新修正版
14
例题解析
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝， 圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的半径。
A
E
B
O
练习1:在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的 弦AB，计算：⑴点O与AB的距离；
⑵∠AOB的度数。
最新修正版
15
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求证：CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
A
.C O
E B
命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对D
的两条弧
已知：AB是弦，CD平分AB，
CD ⊥AB，求证：CD是直径，
A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且
九下第3章圆3垂径定理新版北师大版
感悟新知
知1－练
解题秘方：构造垂径定理的基本图形解题. 把半径、圆心 到弦的垂线段、弦的一半构建在一个直角三角形里是解题 的关键. 解：连接OD，如图3-3-2. ∵ CD ⊥ AB，CD=2 2， ∴ CH=DH= 2.
感悟新知
在Rt △ BHD中，由勾股定理，得BH=1.
设⊙O的半径为r，
在Rt△OHD中，OH2+HD2=OD2，
拓宽视野
知2－讲
对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中
的任意两个，那么一定具备其他三个：(1)过圆心；(2)
垂直于弦；(3)平分弦(非直径)；(4)平分弦所对的劣弧；
(5)平分弦所对的优弧. 简记为“知二推三”.
感悟新知
知2－练
例 3 如图3-3-5，AB，CD 是⊙ O 的弦，M，N 分别为 AB，CD 的中点，且∠ AMN = ∠ CNM. 求证： AB=CD. 解题秘方：紧扣弦的中点作符合垂径 定理推论的基本图形，再结合全等三 角形的判定和性质进行证明.
感悟新知
证明：如图3-3-5，连接OM，ON，OA，OC. ∵ O 为圆心，且M，N 分别为AB，CD 的中点， ∴ AB=2AM，CD=2CN，OM ⊥ AB，ON ⊥ CD. ∴∠ OMA= ∠ ONC=90° . ∵∠ AMN= ∠ CNM， ∴∠ OMN= ∠ ONM.∴ OM=ON. 又∵ OA=OC，∴ Rt△OAM ≌ Rt△OCN(HL). ∴ AM=CN. ∴ AB=CD.
即(r－1)2+( 2)2=r2，
利用勾股定理列方程
解得r=32.∴ AB=3. 答案：B
知1－练
感悟新知
知1－练
1-1. [中考·东营]“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章 算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知 大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺. 问：径几 何？”转化为现在的数学语言表达就 是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥ CD，垂足为E，CE=1 寸，AB= 10 寸， 则直径CD的长度为 ___2_6__寸．
3 垂径定理
探究案：
实践探究一
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得 到什么结论？
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的弧？CD与AB垂直吗？
C
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线 是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
弧：Ａ⌒Ｃ＝Ｂ⌒Ｃ ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ CD⊥AB A
如何证明这个结论？
·O
E B
D
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦
A
C
·O
E B
D
课堂讨论
① 根据已知条件进行推导： ②
③ ④ ⑤
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦
① ③
② ④ ⑤
① ④
③ ② ⑤
④平分弦所对优弧 ① ⑤平分弦所对劣弧 ⑤
③ ④② ②③
① ④
⑤
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
赵州桥主桥拱的半径是多少？ 微课展示：
训练案：
如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距 离为3cm，求⊙O的半径．AEB Nhomakorabea·
O
归纳： 已知：直径，弦长，弦心距，
拱高四者知其二，即可根据勾股 定理求出另外的两个量。
当堂检测：
1、判断：
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分 弦所对的两条弧.
＊3 垂径定理共28页
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱不 容忽视 的。— —爱献 生
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
3 垂径定理
*3 垂径定理1.有下列四个命题:①直径是圆的对称轴;②垂直平分弦的直线一定经过圆心;③平分弦所对的两条弧的直线一定垂直平分弦;④平分弦的直径垂直于弦.其中正确的有( B )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.已知☉O的直径CD=10 cm,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8 cm,则AC的长为( C )(A)2 cm (B)4 cm(C)2 cm或4 cm (D)2 cm或4 cm3.如图,在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片,则弓形弦AB的长为( C )(A)10 cm (B)16 cm(C)24 cm (D)26 cm4.(2019海淀区模拟)如图,已知☉O的半径为10,AB⊥CD,垂足为P,且AB=CD=16,则OP的长为( B )(A)6 (B)6 (C)8 (D)85.(2019道外区一模)如图,AB为☉O的弦,点C在AB上,若AB=4,OC=,∠OCB=45°,则☉O的半径为.6.如图所示,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,☉P与x轴交于O,A两点,A点的坐标为(6,0),☉P的半径为,则点P的坐标为(3,2) .7.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设钢珠的直径是10 mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm,如图所示,则这个小圆孔的宽口AB的长度为8 mm.8.(2019嘉定区一模)如图,在☉O中,弦AB=8,点C在☉O上(C与A,B 不重合),连接CA,CB,过点O分别作OD⊥AC,OE⊥BC,垂足分别是点D,E.(1)求线段DE的长;(2)点O到AB的距离为3,求☉O的半径.解:(1)因为OD⊥AC,OE⊥BC,所以AD=DC,CE=EB,所以DE是△ABC的中位线,所以DE=AB=×8=4.(2)过点O作OH⊥AB,垂足为点H,连接OA,则OH=3.因为OH⊥AB,所以AH=BH=AB=4,在Rt△AHO中,根据勾股定理,得OA===5,即☉O的半径为5.9.一个弓形桥洞截面示意图如图所示,圆心为O,弦AB是桥洞的底面,已知OC⊥AB于点C,AB=24 m,sin∠COB=,DE是水位线,DE∥AB.(1)当水面的宽度DE=4 m时,求此时的水深;(2)若水位线以一定的速度下降,当水深8 m时,求此时水面的宽度. 解:(1)延长CO交DE于点F,连接OE.因为OC⊥AB,AB=24 m,所以BC=AB=12 m.在Rt△BCO中,sin∠COB=,所以OB==13 m,CO==5 m.因为DE∥AB,所以OF⊥DE.所以EF=DE=×4=2(m).在Rt△EOF中,OF==7 m,所以CF=CO+OF=12 m,即水深为12 m.(2)当水深8 m时,即CF=8 m,则OF=CF-OC=3 m,在Rt△EOF中,EF==4 m.所以DE=2EF=8 m.10.如图,AB是☉O的直径,且经过弦CD的中点H,已知sin ∠CDB= ,BD=5,则AH的长为( B )(A)(B)(C)(D)11.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为( C )(A) (B)2 (C)2 (D)812.(2019德州)如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,=, CE=1,AB=6,则弦AF的长度为.13.(2019乳山市期末)如图,AB是☉O的弦,点C,D分别在AB,OB上,连接CD,OC,∠OCD=∠OBC,OD=2,DB=3.(1)求OC的长;(2)若tan∠OCA=2,求AB的长.解:(1)因为∠COD=∠BOC,∠OCD=∠OBC,所以△OCD∽△OBC,所以=,即=,解得OC=.(2)连接OA,作OE⊥AB,在Rt△OEC中,tan ∠OCA==2,所以OE=2EC,设CE=x,则OE=2x,在Rt△OEC中,OE2+EC2=OC2,即(2x)2+x2=()2,解得x=,则OE=2,在Rt△AOE中,AE===.所以AB=2AE=2.14.(拓展探究题)如图,一拱形公路桥,圆弧形桥拱的水面跨度AB= 80 m,桥拱到水面的最大高度为 20 m.(1)求桥拱的半径;(2)现有一货船宽60 m,船舱顶部为长方形并高出水面9 m,要经过这里,这艘货船能顺利通过吗?用你所学的数学知识作出判断,并说明理由.解:(1)如图,点E是桥拱所在的圆的圆心,作EF⊥AB于F,延长EF交圆于点D,连接AE,则由垂径定理知,点F是AB的中点,AF=FB=AB=40 m,由勾股定理知,AE2=AF2+EF2,设圆的半径是r,则r2=402+(r-20)2,解得r=50,所以桥拱的半径为50 m.(2)货船能顺利通过这座拱桥.理由:由题意可得,货船应从拱桥的中间穿过,如图,作CM⊥AB,交弧于点M,过点M作MN⊥DE,垂足为点N,连接EM. 则MN=CF=×60=30(m),在Rt△EMN中,EM=ED=50 m,所以EN==40(m),所以FN=EN-EF=40-30=10(m),因为10 m>9 m,所以货船能顺利通过这座拱桥.。
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⊙O的半径为（
A.
10
）
C. 3 2 D. 13
B. 2 3
【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB，
根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3.
又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
则AD= ∴OB=
1 BC 2
=3,∴OD=3-1=2,
学生对数学的热爱．
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆 会有什么关系？
【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直 线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.
观察右图，有什么等量关系？
＝BC ， AO BO CO DO， AC ＝BD ，AE＝BE AD
O
A
AO=BO=CO=DO，
——季米特洛夫
B O C A D C
B O A D C
O E D C
B O A D
【解析】第三个和四个图可以使用垂径定理.
【例题】
【例1】如图，已知在圆O中，弦AB的 长为8 ㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝， 求圆O的半径.
A E B O
【解析】根据题意,得
AE=4cm ，OE⊥AB，OE=3cm.
在Rt△OEA中，根据勾股定理,得
（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.( × )
C B O C (4)
A
B
C
)
B
(5)
【例2】1 400多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是 圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.02 m,拱高(弧的中点到 弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.01m).
∴R2=18.512+(R-7.23)2, 解得R≈27.31.
答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明. 2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二推三” 的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.
2 2 3 2 13.
4.（毕节·中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为
5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的
长是 ．
【解析】连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定理求得 BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,所以AB=6. 答案：6
5.已知：如图，在以O为圆
（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧.( × ) （7）平分弦的直线，必定过圆心.( × )
（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这条直线垂直这条弦.( × )
A C O D A C O B A C O B
(1) B
(2) D
(3) D
（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径.( × ) （10）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦.( × )
PB ，连接OA.
B
M O
A
P
由垂径定理，AM=BM=1,
在Rt△PMO中， OM PO2 PM 2 52 32 4, 在Rt△AMO中， OA AM 2 OM 2 12 42 17.
画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.
题设 ①直线CD经过圆心O 结论 ③直线CD平分弦AB ④直线CD平分 ACB ⑤直线CD平分 AB
C
＝BC AC ＝BD AD
OO
D
B
垂径定理 已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足
＝BC ， ＝BD. AD 为E.求证：AE＝BE，AC
A
垂径定理：垂直于弦的直径平分
C
弦，并且平分弦所对的两条弧.
O
E
D
B
【定理辨析】
判断下列图形，能否使用垂径定理？
OC=OD ，AC=BD. 变式5：______
A C O
D B
变式4图
变式5图
【归纳】
作垂直于弦的线段，构造由半径、弦的一
半、弦心距为三边的直角三角形，然后用勾股
定理解决问题.
A E B
O
【跟踪训练】
如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，
PO＝5，求⊙O的半径.
【解析】作OM 垂直于
1.（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距 为3,则AB的长是( D ) A.3 B.4 C.6 D.8
2.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于 点E，下列结论中一定正确的是（ B ） A．AE＝OE
1 C．OE＝ 2CE
B．CE＝DE D．∠AOC＝60°
3.（安徽·中考）如图，⊙O过点B，C.圆心O在等腰
分弦所对的弧.
已知：⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点E， 且AE=BE.
求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC. 证明：连结OA，OB，则OA=OB ∴△AOB是等腰三角形 ∵AE=BE, ∴CD⊥AB （等腰三角形三线合一） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AD=BD，AC=BC （垂径定理） A C O E D
A E O B
②直线CD垂直弦AB
C
D
想一想：如果将题设和结论中的5个条件适当互换， 情况会怎样？
③ ④ ④ ⑤ ② ③ ① ④ ① ② ⑤ ① ② ③
① ④ ⑤
② ③ ⑤
③ ⑤
① ② ④
② ④
① ③ ⑤
【推论】
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧；
A E O B
C
D
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
.
B
【判断】 （1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.( × ) （2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.( √ )
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.( × )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.( × ) （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分.( √ )
【解析】 AB表示桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径
为R，C为AB的中点，连结OC，交AB于点D.
C
⌒ ∵C是AB的中点, ∴OC⊥AB.
∴OC就是拱高. OD=OC-DC=（R-7.23）.
在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2 ,
A O
D
∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51, R
*3
垂径定理
你知道赵州桥吗？它是1 400多年前我国隋代建 造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它 的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你 能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
1.理解垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进 行计算和证明. 2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的 能力. 3.通过圆的对称性，培养学生的数学审美观，并激发
心的两个同心圆中，大圆的
O . D B
弦AB交小圆于C，D两点.
求证：AC＝BD.
A C
E
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE. AE－CE＝BE－DE. 所以，AC＝BD.
要利用时间，思考一下一天之中做了些什么，是
“正号”还是“负号”，倘若是“正号”，则进步；
倘若是“负号”，就得吸取教训，采取措施.
AO2=OE2+AE2=32+42=25，
AO=5cm.
【试一试】
变式1：AC，BD有什么关系？
AC＝BD
A C O D B
A C O D B
变式2：AC＝BD依然成立吗？
成立
A C E F O D
变式1图
变式2图
A C
B
变式3：EA＝____, EC=_____. FD FB
D B O
变式3图
变式4：______ OA=OB ，AC=BD.