＊3 垂径定理

1.（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距 为3,则AB的长是( D ) A.3 B.4 C.6 D.8
2.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于 点E，下列结论中一定正确的是（ B ） A．AE＝OE
1 C．OE＝ 2CE
B．CE＝DE D．∠AOC＝60°
3.（安徽·中考）如图，⊙O过点B，C.圆心O在等腰
分弦所对的弧.
已知：⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点E， 且AE=BE.
求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC. 证明：连结OA，OB，则OA=OB ∴△AOB是等腰三角形 ∵AE=BE, ∴CD⊥AB （等腰三角形三线合一） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AD=BD，AC=BC （垂径定理） A C O E D
A E O B
②直线CD垂直弦AB
C
D
想一想：如果将题设和结论中的5个条件适当互换， 情况会怎样？
③ ④ ④ ⑤ ② ③ ① ④ ① ② ⑤ ① ② ③
① ④ ⑤
② ③ ⑤
③ ⑤
① ② ④
② ④
① ③ ⑤
【推论】
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧；
A E O B
C
D
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平
（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧.( × ) （7）平分弦的直线，必定过圆心.( × )
（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这条直线垂直这条弦.( × )
A C O D A C O B A C O B
(1) B
(2) D
(3) D
（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径.( × ) （10）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦.( × )
OC=OD ，AC=BD. 变式5：______
A C O
D B
变式4图
变式5图
【归纳】
作垂直于弦的线段，构造由半径、弦的一
半、弦心距为三边的直角三角形，然后用勾股
定理解决问题.
A E B
O
【跟踪训练】
如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，
PO＝5，求⊙O的半径.
【解析】作OM 垂直于
∴R2=18.512+(R-7.23)2, 解得R≈27.31.
答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明. 2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二推三” 的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.
*3
垂径定理
你知道赵州桥吗？它是1 400多年前我国隋代建 造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它 的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你 能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
1.理解垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进 行计算和证明. 2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的 能力. 3.通过圆的对称性，培养学生的数学审美观，并激发
AO2=OE2+AE2=32+42=25，
AO=5cm.
【试一试】
变式1：AC，BD有什么关系？
AC＝BD
A C O D B
A C O D B
变式2：AC＝BD依然成立吗？
成立
A C E F O D
变式1图
变式2图
A C
B
变式3：EA＝____, EC=_____. FD FB
D B O
变式3图
变式4：______ OA=OB ，AC=BD.
（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.( × )
C B O C (4)
A
B
C
O
A
D
O E
A
D (6)
B
(5)
【例2】1 400多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是 圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.02 m,拱高(弧的中点到 弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.01m).
心的两个同心圆中，大圆的
O . D B
弦AB交小圆于C，D两点.
求证：AC＝BD.
A C
E
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE. AE－CE＝BE－DE. 所以，AC＝BD.
要利用时间，思考一下一天之中做了些什么，是
“正号”还是“负号”，倘若是“正号”，则进步；
倘若是“负号”，就得吸取教训，采取措施.
直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则
⊙O的半径为（
A.
10
）
C. 3 2 D. 13
B. 2 3
【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB，
根据对wenku.baidu.com性知AO⊥BC，则BD=DC=3.
又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
则AD= ∴OB=
1 BC 2
=3,∴OD=3-1=2,
2 2 3 2 13.
4.（毕节·中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为
5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的
长是 ．
【解析】连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定理求得 BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,所以AB=6. 答案：6
5.已知：如图，在以O为圆
B O C A D C
B O A D C
O E D C
B O A D
【解析】第三个和四个图可以使用垂径定理.
【例题】
【例1】如图，已知在圆O中，弦AB的 长为8 ㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝， 求圆O的半径.
A E B O
【解析】根据题意,得
AE=4cm ，OE⊥AB，OE=3cm.
在Rt△OEA中，根据勾股定理,得
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
.
B
【判断】 （1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.( × ) （2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.( √ )
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.( × )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.( × ) （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分.( √ )
PB ，连接OA.
B
M O
A
P
由垂径定理，AM=BM=1,
在Rt△PMO中， OM PO2 PM 2 52 32 4, 在Rt△AMO中， OA AM 2 OM 2 12 42 17.
画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.
题设 ①直线CD经过圆心O 结论 ③直线CD平分弦AB ④直线CD平分 ACB ⑤直线CD平分 AB
C
＝BC AC ＝BD AD
OO
D
B
垂径定理 已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足
＝BC ， ＝BD. AD 为E.求证：AE＝BE，AC
A
垂径定理：垂直于弦的直径平分
C
弦，并且平分弦所对的两条弧.
O
E
D
B
【定理辨析】
判断下列图形，能否使用垂径定理？
【解析】 AB表示桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径
为R，C为AB的中点，连结OC，交AB于点D.
C
⌒ ∵C是AB的中点, ∴OC⊥AB.
∴OC就是拱高. OD=OC-DC=（R-7.23）.
在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2 ,
A O
D
∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51, R
——季米特洛夫
学生对数学的热爱．
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆 会有什么关系？
【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直 线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.
观察右图，有什么等量关系？
＝BC ， AO BO CO DO， AC ＝BD ，AE＝BE AD
O
A
AO=BO=CO=DO，