垂径定理—巩固练习(基础)

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垂径定理练习题及答案

垂径定理一.选择题★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（）A ．4B ．6C ．7D ．8答案：D★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（）A ．9cmB ．6cmC ．3cmD ．cm 41答案：C★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A ．12个单位B ．10个单位C ．1个单位D ．15个单位答案：B★★5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（）A ．B ．C ．D ．答案：D★★6．下列命题中，正确的是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心答案：D★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )A．5米 B．8米 C．7米 D．53米答案：B★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( ) A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm答案：D★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( )A．2 B．8 C．2或8 D．3答案：C二.填空题★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm答案：5 cm★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm答案：3 cm★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于答案：6★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD ＝厘米图 4答案：★★6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为 cm.答案：★★7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于 cm★★8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________答案：★★9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是答案：6★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为m答案：4★★11．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2)和A(2，0)，则点B的坐标是答案：(6，0)★★12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm答案：3★★13．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=10，EF=8，那么AD=答案：3★★14．如图，⊙O 的半径是5cm ，P 是⊙O 外一点,PO=8cm ，∠P=30º,则AB= cmPBAO答案：6★★★15．⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，那么AB 和CD 的距离是 Cm答案：7cm 或17cm★★★16．已知AB 是圆O 的弦，半径OC 垂直AB ，交AB 于D ，若AB=8，CD=2，则圆的半径为答案：5★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为米答案：52★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米答案：7或1★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA 是___________米答案：5★★★20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。

垂径定理练习题及答案

垂径定理一.选择题★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（）A ．4B ．6C ．7D ．8★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（）A ．9cmB ．6cmC ．3cmD ．cm 41 ★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A ．12个单位B ．10个单位C ．1个单位D ．15个单位★★5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（） A ．23cm B ．32cm C ．42cm D ．43cm★★6．下列命题中，正确的是（）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )A ．5米B ．8米C ．7米D ．53米★★★8．⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD ，且AB=8cm,CD=6cm,则AB 与CD 之间的距离为( )A ． 1 cmB ． 7cmC ． 3 cm 或4 cmD ． 1cm 或7cm★★★9．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为( )A ．2B ．8C ．2或8D ．3二.填空题★1．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm ★2．在直径为10cm 的圆中，弦AB 的长为8cm ，则它的弦心距为 cm★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于★★4．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm★★5．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD＝120°，OE ＝3厘米，则CD ＝厘米O图 4ED C BA★★6．半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm.★★7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于 cm★★8．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________★★9．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝l ，则弦AB 的长是★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为 m★★11．如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A 、B 两点，已知P(4，2)和A(2，0)，则点B 的坐标是★★12．如图，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC=6cm ，则OD= cm★★13．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=10，EF=8，那么AD=B A PO yx★★14．如图，⊙O 的半径是5cm ，P 是⊙O 外一点,PO=8cm ，∠P=30º,则AB= cm P B A O ★★★15．⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，那么AB 和CD 的距离是Cm★★★16．已知AB 是圆O 的弦，半径OC 垂直AB ，交AB 于D ，若AB=8，CD=2，则圆的半径为★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为米★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA 是___________米★★★20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。

垂径定理练习题(精选)

垂径定理练习题1、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（）A ．∠COE ＝∠DOEB ．CE ＝DEC ．OE ＝BED ．BD =BC2、如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于E ，CD=10，BE=1，则AB= 。

3、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。

4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。

5、在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为6cm ，则这两条弦之间的距离为_____ _。

6、如图，在⊙O 中，OA 是半径，弦AB ＝310cm ，D 是弧AB 的中点，OD 交AB 于点C ，若∠OAB ＝300，则⊙O 的半径____cm 。

7、在⊙O 中，半径OA ＝10cm ，AB 是弦，C 是AB 弦的中点，且OC:AC=3:4，则AB=_____。

8、在弓形ABC 中，弦AB=24，高CD=6，则弓形所在圆的半径等于。

9．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，AB ＝10cm ，CD ＝6cm ，则AC 的长为_____。

10、如图所示，P 为弦AB 上一点，CP ⊥OP 交⊙O 于点C ，AB ＝8，AP:PB ＝1:3，求PC 的长。

11、如图，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的31，圆的半径为2cm ，求AB 的长。

OAB DC OA BCD 2题图O A P BC6题图1题图CDAOBE12、我市某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，修理工人应准备内径多大的管道？若此题只知下面弓形的高和AB 的长，你仍然会做吗？13、一工厂的厂门是由一个半圆与矩形组成的。

如图所示，AD ＝2.3米，CD ＝2米，现有一辆集装箱卡车要开进工厂，卡车高2.5米，宽1.6米，请你通过计算说明这辆卡车能否通过厂门？14、如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知，AE ＝6cm ，EB ＝2cm ，∠CEA ＝300，求CD 的长。

垂径定理-练习题含答案

垂径定理副标题题号一二总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.如图所示，的半径为13，弦AB的长度是24，，垂足为N，则A. 5B. 7C. 9D.11【答案】A【解析】解：由题意可得，，，，，，故选A．根据的半径为13，弦AB的长度是24，，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．2.如图，AB是的直径，弦于点E，，的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为A.B. 3cmC.D. 6cm【答案】A【解析】解：连接CB．是的直径，弦于点E，圆心O到弦CD的距离为OE；同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半，，；在中，，，．故选A．根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知，已知半径OC的长，即可在中求OE的长度．本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．3.如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若，，则的半径为A. 5B.C.D. 4【答案】C【解析】解：连结OA，如图，设的半径为r，，，在中，，，，，解得．故选C．连结OA，如图，设的半径为r，根据垂径定理得到，再在中利用勾股定理得到，然后解方程求出r即可．本题考查了的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．4.如图，线段AB是的直径，弦CD丄AB，，则等于A.B.C.D.【答案】C【解析】解：线段AB是的直径，弦CD丄AB，，，，．故选：C．利用垂径定理得出，进而求出，再利用邻补角的性质得出答案．此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出的度数是解题关键．二、解答题（本大题共2小题，共16.0分）5.如图，在四边形ABCD中，，，AD不平行于BC，过点C作交的外接圆O于点E，连接AE．求证：四边形AECD为平行四边形；连接CO，求证：CO平分．【答案】证明：由圆周角定理得，，又，，，，，，四边形AECD为平行四边形；作于M，于N，四边形AECD为平行四边形，，又，，，又，，平分．【解析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握平行四边形的判定定理、垂径定理、圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的判定和性质定理得到，证明结论；作于M，于N，根据垂径定理、角平分线的判定定理证明．6.如图，AB为直径，C为上一点，点D是的中点，于E，于F．判断DE与的位置关系，并证明你的结论；若，求AC的长度．【答案】解：与相切．证明：连接OD、AD，点D是的中点，，，，，，，，，与相切．连接BC交OD于H，延长DF交于G，由垂径定理可得：，，，，弦心距，是直径，，，是的中位线，．【解析】先连接OD、AD，根据点D是的中点，得出，进而根据内错角相等，判定，最后根据，得出DE与相切；先连接BC交OD于H，延长DF交于G，根据垂径定理推导可得，再根据AB是直径，推出OH是的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线本题也可以根据与相似，求得AC的长．。

垂径定理练习题及答案

O DA B CB APOyxP B A O D OBC A垂径定理一.选择题1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（） A ．4 B ．6 C ．7 D ．82．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（） A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．cm 414．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（） A ．23cm B ．32cm C ．42cm D ．43cm 6．下列命题中，正确的是（） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米8．⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD ，且AB=8cm,CD=6cm,则AB 与CD 之间的距离为( ) A ． 1 cm B ． 7cm C ． 3 cm 或4 cm D ． 1cm 或7cm9．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为( ) A ．2 B ．8 C ．2或8 D ．3 二.填空题1．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm 2．在直径为10cm 的圆中，弦AB 的长为8cm ，则它的弦心距为 cm 3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 4．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm5．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD＝120°，OE ＝3厘米，则CD ＝厘米6．半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm.7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于 cm8．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________9．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝l ，则弦AB 的长是10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为 m 11．如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A 、B 两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B 的坐标是 12．如图，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC=6cm ，则OD= cm13．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=10，EF=8，那么AD= 14．如图，⊙O 的半径是5cm ，P 是⊙O 外一点,PO=8cm ，∠P=30º,则AB= cm15．⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，那么AB 和CD 的距离是 Cm 16．已知AB 是圆O 的弦，半径OC 垂直AB ，交AB 于D ，若AB=8，CD=2，则圆的半径为 17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为米18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA 是____米 20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。

垂径定理练习题及答案

垂径定理一.选择题★1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）A．4B．．7D．8答案：D★★2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．2B．．4D．5答案：B★★3．过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为，则OM 的长为（）A．B．C．D．答案：C★★4．如图，xx同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A．12个单位B．10个单位C．1个单位D．15个单位答案：B★★5．如图，的直径垂直弦于，且是半径的中点，，则直径的长是（）A．B．C．D．答案：D★★6．下列命题中，正确的是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心答案：D★★★7．如图，某公园的一座xx是圆弧形（劣弧），其跨度为，拱的半径为，则拱高为()A．B．C．D．米答案：B★★★8．⊙O的半径为，弦AB//CD，且AB=,CD=,则AB与CD之间的距离为()A．B．C．或D．或答案：D★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙Oxx，如果底边BC的长为8，那么BC边xx的高为()A．2B．．2或8D．3答案：C二.填空题★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝，OC⊥AB与C，OC=，则⊙O的半径为cm答案：5 cm★2．在直径为的圆中，弦的长为，则它的弦心距为cm答案：3 cm★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于答案：6★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝，OC⊥AB与C，OC=，则⊙O的半径为cm答案：5 cm★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD ＝120°，OE＝，则CD＝厘米图 4答案： cm★★6．半径为的圆中，垂直平分半径OA的弦长为cm.答案： cm★★7．过⊙O内一点M的最长的弦长为，最短的弦长为，则OM 的长等于cm答案：★★8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________答案：★★9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是答案：6★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝，半径OA＝，则中间柱CD的高度为m答案：4★★11．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2)和A(2，0)，则点B的坐标是答案：(6，0)OD=cm★★12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=，则Array答案：3★★13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=答案：3★★14．如图，⊙O 的半径是，P 是⊙O 外一点,PO=，∠P=30º,则AB=cmPBAO答案：6★★★15．⊙O 的半径为，弦AB∥CD，AB ＝，CD ＝，那么AB 和CD 的距离是Cm答案：或★★★16．已知AB 是圆O 的弦，半径OC 垂直AB ，交AB 于D ，若AB=8，CD=2，则圆的半径为答案：5★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为，跨度为，那么这个门拱的半径为米答案：★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米答案：7或1★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果xx为，净高为，那么这个隧道所在圆的半径是___________米答案：5★★★20．如图，AB为半圆直径，O 为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D。

垂径定理练习题及答案

O 图 4E DCA圆的练习一.选择题1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（） A ．4 B ．6 C ．7 D ．82．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．53．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（） A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．cm 414．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A ．12个单位B ．10个单位C ．1个单位D ．15个单位 5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（）A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．3cm 6．下列命题中，正确的是（） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )A ．5米B ．8米C ．7米D ．53米8．⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD ，且AB=8cm,CD=6cm,则AB 与CD 之间的距离为( ) A ． 1 cm B ． 7cm C ． 3 cm 或4 cm D ． 1cm 或7cm9．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为( )A ．2B ．8C ．2或8D ．3 二.填空题1．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm 2．在直径为10cm 的圆中，弦AB 的长为8cm ，则它的弦心距为 cm 3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 4．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm 5．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD＝120°，OE ＝3厘米，则CD ＝厘米6．半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm.ＯＡＢO DA BCB A POyxPBAO7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于 cm8．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________ 9．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝l ，则弦AB 的长是10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为 m11．如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A 、B 两点，已知P(4，2)和A(2，0)，则点B 的坐标是12．如图，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC=6cm ，则OD= cm13．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=10，EF=8，那么AD=14．如图，⊙O 的半径是5cm ，P 是⊙O 外一点,PO=8cm ，∠P=30º,则AB=cm15．⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，那么AB 和CD 的距离是 Cm16．已知AB 是圆O 的弦，半径OC 垂直AB ，交AB 于D ，若AB=8，CD=2，则圆的半径为17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为米18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA 是___________米20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。

垂径定理-练习题含答案

垂径定理练习试题和答案解析

垂径定理一.选择题★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（）A ．4B ．6C ．7D ．8答案：D★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（）A ．9cmB ．6cmC ．3cmD ．cm 41答案：C★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A ．12个单位B ．10个单位C ．1个单位D ．15个单位答案：B★★5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（）A ．B ．C ．D ．答案：D★★6．下列命题中，正确的是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心答案：D★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )A．5米 B．8米 C．7米 D．53米答案：B★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( ) A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm答案：D★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( )A．2 B．8 C．2或8 D．3答案：C二.填空题★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm答案：5 cm★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm答案：3 cm★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于答案：6★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD ＝厘米图 4答案：★★6．半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm.答案：★★7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm，则OM 的长等于 cm ★★8．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________ 答案：★★9．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝l ，则弦AB 的长是答案：6★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB ＝16m，半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为 m答案：4★★11．如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A 、B 两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B 的坐标是答案：(6，0)★★12．如图，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC=6cm ，则OD= cm答案：3★★13．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=10，EF=8，那么AD=答案：3★★14．如图，⊙O 的半径是5cm ，P 是⊙O 外一点,PO=8cm ，∠P=30º,则AB= cmPBAO答案：6★★★15．⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，那么AB 和CD 的距离是 Cm答案：7cm 或17cm★★★16．已知AB 是圆O 的弦，半径OC 垂直AB ，交AB 于D ，若AB=8，CD=2，则圆的半径为答案：5★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为米答案：52★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米答案：7或1★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA 是___________米答案：5★★★20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。

垂径定理练习题及答案

垂径定理练习题及答案垂径定理一.选择题★1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB 的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8答案：D★★2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5答案：B★★3．过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（）A．9cm B．6cm C．3cm D．cm41答案：C★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A．12个单位 B．10个单位 C．1个单位 D．15个单位答案：B★★5．如图，O⊙的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，6cmCD ，则直径AB的长是（）A．23cm B．32cm C．42cm D．43cm答案：D★★6．下列命题中，正确的是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心答案：D★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )A．5米 B．8米 C．7米 D．53米答案：B★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( )A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm答案：D★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( )A．2 B．8 C．2或8 D．3答案：C二.填空题★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm答案：5 cm★2．在直径为10cm 的圆中，弦AB 的长为8cm ，则它的弦心距为 cm答案：3 cm★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于答案：6★★4．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm答案：5 cm★★5．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD＝120°，OE ＝3厘米，则CD ＝厘米 O图 4ED C A答案：63★★6．半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm.答案：63★★7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于 cm5★★8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E 为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________ 答案：217★★9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是答案：6★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为 m答案：4★★11．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B的坐标是答案：(6，0)★★12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm答案：3★★13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O 交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=答案：3★★14．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30º,则AB= cmPBAOBAPOyx★★★15．⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB ＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是Cm答案：7cm 或17cm★★★16．已知AB是圆O的弦，半径OC垂直AB，交AB于D，若AB=8，CD=2，则圆的半径为答案：5★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为米答案：52★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米答案：7或1★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB宽为8米，净高CD为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA是___________米CO★★★20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。

九年级上册垂径定理基础巩固训练附答案教师版

时，线段 OM 的值最小，连接 OA，由垂径定理得出 AM 的
长，然后根据勾股定理即可算出 OM 的最小值。
7.濮院女儿桥是典型的石拱桥，如图．某天小松测得水面 AB 宽为 8m，桥顶 C 到水面 AB 的距离也为 8m，
则这座女儿桥桥拱半径为（）
A. 4m
B. 5m
【答案】 B
【解析】【解答】解：连结 OA，
成得 CD=OC-OD 可求解。 9.如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，O 为圆心，OD⊥AB 于点 D，OE⊥AC 于点 E，若 DE=2，则 BC=________.
【答案】 4
【解析】【解答】解：∵ △
为
∴ t t，t t ，
∴ tt 为 △
的中位线，
∴ tt t ，
∴
tt ，
∵ tt ，
二、填空题
8.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 AB=16m，半径 OA=10m，则中间柱 CD 的高度为 ________m.
【答案】 4
【解析】【解答】解:∵CD 垂直平分 AB，
∴AD=8.
∴OD= th
=6m，
∴CD=OC-OD=10-6=4（m）.
【分析】由垂径定理可得 AD=tAB，则在直角三角形 AOD 中，用勾股定理可求出 OD 的长，再由线段的构
九年级上册垂径定理基础巩固训练
一、单选题
1.垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四
条性质组成的命题中，其中是假命题的是( )
A. ①②⇒③④
B. ①③⇒②④
C. ①④⇒②③
D. ②③⇒①
④
【答案】 B
【解析】【解答】解：垂直与弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；连接弦所对的两条弧的中点的直线

垂径定理练习题及答案

5、如图，AB 是⊙O 的直径，半径 OC⊥AB,P 是ＡB 延长线上一点，PD 切⊙O 于点 D,CD 交 AB 于点 E,判断
△PDＥ的形状，并说明理由。
６。21.如图,半径 OA⊥ＯB，P 是 OB 延长线上一点，PA 交⊙Ｏ于 D，过 D 作⊙O 的切线 CE 交ＰＯ于 C 点
，求证:PC=ＣD．
２2。如图，将半
径为 2 cm 的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心 O ,那么折痕 AB
的长为
Ｏ
Ａ
Ｂ
23。如图,⊙O 的的半径为 5，直径 AB⊥弦 CD，垂足为 E，ＣD=６,那么∠Ｂ的余切值为_＿＿__＿_＿＿
三。解答题 1。⊙O 的弦ＡＢ长为 10,半径长Ｒ为 7，OC 是弦ＡＢ的弦心距，求ＯＣ的长 2。⊙O 的半径长为 50ｃm，弦 AB 长５０ｃm.求：〔1)点 O 到 AB 的距离;〔2〕∠AＯB 的大小 3。如图,直径是 5０ｃm 圆柱形油槽装入油后，油深ＣD 为 1５cm，求油面宽度 AB
4．AB 是⊙O 的弦,ＡB=8ｃｍ，OC⊥ＡB 与Ｃ,OC=3ｃm,那么⊙O 的半径为 cm
5。如图,⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E,假设∠COD＝1２０°,ＯE＝3 厘米，那么 CD=厘米
A
y
P
O
C
ED
B
6.半径图为4 6cm 的
A O
B
x
圆中，垂直平分半径 OＡ的弦长为 cm。
7。如图，⊙Ｏ的半径长为２5,弦 AB 长为４８，Ｃ是弧 AＢ的中点．求 AC 的长．
8。：在△△AＢＣ的外接圆的半径。
O
9.本市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取 A
B

垂径定理—巩固练习(基础)

垂径定理—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.下列结论正确的是（）A．经过圆心的直线是圆的对称轴 B．直径是圆的对称轴C．与圆相交的直线是圆的对称轴 D．与直径相交的直线是圆的对称轴2．下列命题中错误的有( )．(1)弦的垂直平分线经过圆心 (2)平分弦的直径垂直于弦(3)梯形的对角线互相平分 (4)圆的对称轴是直径A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于E，则图中不大于半圆的相等弧有( )．A．l对 B．2对 C．3对 D．4对第3题第5题4．（2016•桐城市模拟）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）A．0.5 B．1 C．2 D．45．如图所示，矩形ABCD与⊙O相交于M、N、F、E，若AM=2，DE=1，EF=8，•则MN的长为（）A．2 B．4 C．6 D．86．已知⊙O的直径AB=12cm，P为OB中点，过P作弦CD与AB相交成30°角，则弦CD的长为（）．A．315cm B．310cm C．35cm D．33cm二、填空题7．垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________．8．（2016•安顺）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=．9．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm．10．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．10题图 11题图 12题图11．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______°．12．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______．三、解答题13．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度为60米，拱高18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时是否要采取紧急措施?14. 如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP:PB＝1:5，求⊙O半径．15．（2015•绵阳模拟）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）请证明：E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长．【答案与解析】一、选择题1.【答案】A ；【解析】图形的对称轴是直线，圆的对称轴是过圆心的直线，或直径所在的直线.2.【答案】C ；【解析】(1)正确；（2）“平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦”才是正确的，所以（2）不正确；（3）对角线互相平分就是平行四边形，而不是梯形了，所以（3）不正确；（4）圆的对称轴是直径所在的直线，所以（4）不正确．故选C.3.【答案】C ；【解析】AB AB =；AC AD =；BC BD =.4.【答案】B.【解析】设半径为r ，过O 作OE ⊥AB 交AB 于点D ，连接OA 、OB ，则AD=AB=×0.8=0.4米，设OA=r ，则OD=r ﹣DE=r ﹣0.2，在Rt △OAD 中，OA 2=AD 2+OD 2，即r 2=0.42+（r ﹣0.2）2，解得r=0.5米，故此输水管道的直径=2r=2×0.5=1米．故选B ．5.【答案】C ；【解析】过O 作OH ⊥CD 并延长，交AB 于P ，易得DH=5，而AM=2，∴MP=3，MN=2MP=2×3=6.6.【答案】A ；【解析】作OH ⊥CD 于H ，连接OD,则OH=32, OD=6,可求DH=3152,CD=2DH=315. 二、填空题7．【答案】垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．8.【答案】4﹣．【解析】如图，连接OC ．∵弦CD ⊥AB 于点E ，CD=6，∴CE=ED=CD=3．∵在Rt △OEC 中，∠OEC=90°，CE=3，OC=4， ∴OE==，∴BE=OB ﹣OE=4﹣．故答案为4﹣．9．【答案】6；10．【答案】8；11．【答案】o 63,120； 12．【答案】a 22，a 21；三、解答题13.【答案与解析】设圆弧所在圆的半径为R ，则R 2-(R-18)2=302， ∴R=34 当拱顶高水面4米时，有， ∴不用采取紧急措施.14.【答案与解析】连结OC ．设AP ＝k ，PB ＝5k ，∵ AB 为⊙O 直径，∴ 半径111()(5)3222OC AB AP PB k k k ==+=+=．且OP ＝OA －PA ＝3k －k ＝2k ．∵ AB ⊥CD 于P ，∴ CP ＝12CD ＝5．在Rt △COP 中用勾股定理，有222OC PC PO =+， ∴ 222(3)5(2)k k =+．即2525k =，∴ 5k =(取正根)，∴ 半径335OC k ==(cm)．15.【答案与解析】（1）证明：连接AC ，如图∵直径AB 垂直于弦CD 于点E ，∴，∴AC=AD，∵过圆心O的线CF⊥AD，∴AF=DF，即CF是AD的中垂线，∴AC=CD，∴AC=AD=CD．即：△ACD是等边三角形，∴∠FCD=30°，在Rt△COE中，，∴，∴点E为OB的中点；（2）解：在Rt△OCE中，AB=8，∴，又∵BE=OE，∴OE=2，∴，∴．。

垂径定理练习题

垂径定理练习题一1、如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16, 那么线段OE 的长为（）2．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB =6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的取值范围是（）3．图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（）4．如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（）A ．6.5米B ．9米C ．13米D ．15米第2题图图3C第4题图二．填空题1．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是mm．2．如图，⊙O的半径OA=10cm，弦AB=16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为cm．3．如图，⊙O的半径为5，弦8⊥于C，则OCAB=，OC AB的长等于．4．如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部距离为20cm，则修理工应准备内直径是 cm的管道．5．如图5，点A B，是⊙O上两点，10AB=，点P是⊙O上的动点（P与A B，不重合）连结AP PB，，过点O分别作⊥于点F，则EF=．OE AP⊥于点E，OF PB三．解答题已知：如图1，30PAC∠=︒，在射线ACAD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．垂径定理练习题二1、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD ＝10cm，AP:PB＝1:5，则⊙O的半径为_______。

2、在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP＝____ _。

3、已知圆的半径为5cm，一弦长为8cm，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。

人教版数学九年级上学期课时练习-垂直于弦的直径-垂径定理(巩固篇)(人教版)

专题24.5 垂直于弦的直径-垂径定理（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是（）A．35OM≤≤≤≤B．45OMC．35OM<<<<D．45OM2．已知O的直径10cmAB=，⊥，垂足为M，且8cmCD=，AB是O的弦，AB CD则AC的长为（）A．B．C．或D．或3．如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交O于点E．若DE=，则BC的长是（）AC=4A．1B C．2D．44．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊙BC于点D，AC＝4，则OD的长为（）A．1B．1.5C．2D．2.55．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.A．6B．C．D．6．如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠AC后，恰好经过点O，则AOC等于（）A．120°B．125°C．130°D．145°7．在Rt△ABC中，⊙ C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=6，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A ．245B ．165C ．125 D ．958．如图，已知O 的直径AB CD ⊥弦于点,E 则下列结论不一定成立的是（）A ．CE DE =B ．AE OE =C ．COA DOA ∠=∠D ．OCE ODE ∆≅∆9．如图所示，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，那么下列结论中，错误的是（）A ．CE DE =B ．BC BD =C ．BAC BAD ∠=∠ D ．AC AD >10．如图，在⊙ABC 中，90ACB ∠=，点D 是AB 的中点，将⊙ACD 沿CD 对折得⊙A ′CD ．连接BA '，连接AA ′交CD 于点E ，若14cm AB =，4cm BA '=，则CE 的长为（）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．7cm11．如图，在⊙ABCD 中，用直尺和圆规作⊙BAD 的平分线AG 交BC 于点E ．若AE ＝6，AB ＝5，则BF 的长为（）A ．5B ．6C ．8D ．1212．已知⊙O 的半径为7，AB 是⊙O 的弦，点P 在弦AB 上．若P A ＝4，PB ＝6，则OP ＝（）A B ．4C D ．5二、填空题13．如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，CD AB ⊥，若10OB =，12AB =，则AC 的长为______．14．如图，在平面直角坐标系中，P 与x 轴相切于原点O ，平行于y 轴的直线交P 于M ，N 两点．若点M 的坐标是(2,1)-，则点N 的坐标是__．15．如图，O 的直径AB 与弦CD 相交于点P ，且45APC ∠=︒，若2232PC PD +=，则O的半径为______．16．如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊙MN于点E，CD⊙MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为_____．17．如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊙AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是_____，⊙C上的整数点有_______个．18．如图，在⊙O中，2＝，AD⊙OC于点D，比较大小AB___________2AD．（填AB AC入“＞”或“＜”或“＝”）．19．如图，⊙O的半径为6，OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P 点有_____个．20．如图，圆心B 在y 轴的负半轴上，半径为5的B 与y 轴的正半轴交于点()0,1A ，过点()0,7P -的直线l 与OB 相交于C 、D 两点，则弦CD 长的所有可能的整数值是___________．21．如图，AB 是圆O 的直径，CD⊙AB 于点E ，交圆O 于点D ，OF⊙AC 于点F ，BD=5，则OF=__________________________．22．如图，已知O 的半径为5，P 是直径AB 的延长线上一点，BP 1=，CD 是O 的一条弦，CD 6=，以PC ，PD 为相邻两边作▱PCED ，当C ，D 点在圆周上运动时，线段PE 长的最大值与最小值的积等于______．23．如图，某圆弧形拱桥的跨度AB=20m，拱高CD=5m，则该拱桥的半径为_______m．三、解答题24．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=2，ED=6，求⊙O的半径长．25．已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M，(1) 求证：AC BD；(2) 求证：AM＝DM．26．在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题： (1)如图1，1O 的半径为4cm ，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB 沿弦AB 折叠后恰好过圆心1O ，求AB 长；(2)如图2，2O C ⊥弦AB ，垂足为点C ，劣弧AB 沿弦AB 折叠后经过2O C 的中点D ，10cm AB =，求O 的半径．27．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 、D 是AB 上两点，过点D 作DE OC ∥交OB 于E 点，在OD 上取点F ，使OF DE =，连接CF 并延长交OB 于G 点．(1)求证：OCF DOE ≌△△；(2)若C 、D 是AB 的三等分点，=OA⊙求OGC ∠；⊙请比较GE 和BE 的大小．28．【教材回顾】（1）如图⊙，点D 、E 分别是ABC 的边AB 、边AC 的中点，连结DE ，则DE 是ABC 的一条中位线．则DE 和BC 的数量关系是____，位置关系是_____．【提出问题】如图⊙，AB 是以MN 为直径的⊙O 的一条弦，连结OA 、OB ，点M 在AB 的上方，点N 在AB 的下方，MP AB ⊥于P ，NQ AB ⊥于Q ，点P 、Q 均在弦AB 上．已知5MN =，30OAB ∠=︒，求MP NQ -的值．为了解决上面的问题，进行了如下的探究：【分析问题】先看两种特殊情况：（2）如图⊙，当点N 与点B 重合时，点Q 也与点B 重合，点P 与点A 重合，此时MP MA =，0NQ =（点看成是长度为0的线段），则MP NQ -=_____．（写出具体的数值）（3）如图⊙，当MN AB ⊥时，P 、Q 重合，此时MP NQ -与OP 的数量关系是____，先根据条件易求OP 的长度，则MP NQ -=____．（写出具体的数值）【解决问题】（4）结合图⊙对应的一般情况和你的感知，请用严谨的数学方法求MP NQ -的值．参考答案1．B【分析】由垂线段最短可知当OM ⊙AB 时最短，当OM 是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．解：如图，连接OA ，作OM ⊙AB 于M ，⊙⊙O 的直径为10，⊙半径为5，⊙OM 的最大值为5，⊙OM ⊙AB 于M ，⊙AM =BM ，⊙AB =6，⊙AM =3，在Rt △AOM 中，4OM ==；此时OM 最短，所以OM 长的取值范围是4≤OM ≤5．故选：B ．【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是确定OM 的最小值，所以求OM 的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r ，弦长为a ，这条弦的弦心距为d ，则有等式r 2=d 2+（2a ^$^$）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．2．C【分析】先画好一个圆，标上直径CD ，已知AB 的长为8cm ，可知分为两种情况，第一种情况AB 与OD 相交，第二种情况AB 与OC 相交，利用勾股定理即可求出两种情况下的AC 的长；解：连接AC ，AO ，⊙圆O 的直径CD =10cm ，AB ⊙CD ，AB =8cm ，⊙AM =12AB =12×8=4cm ，OD =OC =5cm ，当C 点位置如图1所示时，⊙OA =5cm ，AM =4cm ，CD ⊙AB ，⊙OM =，⊙CM =OC +OM =5+3=8cm ，⊙AC；当C 点位置如图2所示时，同理可得OM =3cm ，⊙OC =5cm ，⊙MC =5−3=2cm ，在Rt⊙AMC 中，AC =．故选C ．【点拨】本题考查垂径定理和勾股定理，根据题意正确画出图形进行分类讨论，熟练运用垂径定理是解决本题的关键．3．C【分析】根据垂径定理求出OD 的长，再根据中位线求出BC =2OD 即可．解：设OD =x ，则OE =OA =DE -OD =4-x ．⊙AB 是O 的直径，OD 垂直于弦AC 于点，AC =⊙12AD DC AC ===⊙OD 是⊙ABC 的中位线⊙BC =2OD⊙222OA OD AD =+⊙222x=-=+，解得1(4)x x⊙BC=2OD=2x=2故选：C【点拨】本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键．4．C【分析】由OD⊙BC，根据垂径定理，可得CD＝BD，即可得OD是△ABC的中位线，则可求得OD的长．解：⊙OD⊙BC，⊙CD＝BD，⊙OA＝OB，AC＝4AC＝2．⊙OD＝12故选C．【点拨】此题考查了垂径定理以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．5．C【分析】作OD⊙AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.解：作OD⊙AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，⊙OA=OD=4，CD=2，⊙OC=2，=⊙AB=2AC=故答案为C.【点拨】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.6．A【分析】连接OC，BC，过O作OE⊙AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD=12OE，根据圆周角定理得到⊙ACB=90°，根据三角形的中位线的性质得到OD=12BC，求得⊙COB=60°，得到⊙AOC=120°，于是得到结论．解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊙AC于D交圆O于E，⊙把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，⊙OD=12OE，OD AC⊥⊙AB是半圆O的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙OD⊙BC，⊙OA=OB，⊙OD=12BC，⊙BC=OE=OB=OC，OCB∴是等边三角形，⊙⊙COB=60°，⊙⊙AOC=120°，【点拨】本题考查了折叠的性质，垂径定理，中位线的性质，等边三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．7．A【分析】由题意可知，C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，再由勾股定理求得AB，然后由三角形面积求得CF，最后由垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．解：如图，过O作OG⊙AB于G，连接OC、OM，⊙DE＝6，⊙ACB＝90°，OD＝OE，⊙OC＝12DE＝3，⊙OM＝3，⊙只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，⊙只有C、O、G三点在一条直线上OG最小，过C作CF⊙AB于F，⊙G和F重合时，MN有最大值，⊙⊙ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，⊙AB＝10，⊙12AC•BC＝12AB•CF，⊙CF＝245，⊙OG＝CF−OC＝249355-=，⊙MG125，⊙MN＝2MG＝24 5故选:A【点拨】本题考查了勾股定理，垂线段最短，垂径定理等知识，正确作出辅助线，得出C 、O 、G 三点在一条直线上OG 最小是解题的关键．8．B【分析】根据垂径定理得出=CE DE ，由此可判断A ，再根据全等三角形的判定方法“AAS”即可证明OCE ODE ∆∆≌，进而可判断C 、D ，而AE 与OE 不一定相等，由此可判断B ．解：⊙O 的直径AB CD ⊥于点，⊙=CE DE ，故A 选项结论成立；在OCE ∆和ODE ∆中，90CEO DEO OCE ODEOC OD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊙OCE ODE ∆∆≌，故D 选项结论正确；⊙COA DOA ∠=∠，故C 选项结论正确；而AE 与OE 不一定相等，故B 选项结论不成立；故选：B ．【点拨】本题考查了垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．9．D【分析】根据垂径定理逐个判断即可．解：AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊙AB 垂足为E ，则AB 是垂直于弦CD 的直径，就满足垂径定理．因而CE ＝DE ，BC BD =，⊙BAC ＝⊙BAD 都是正确的．根据条件可以得到AB 是CD 的垂直平分线，因而AC ＝AD ．所以D 是错误的．故选：D ．【点拨】本题主要考查的是对垂径定理的记忆与理解．10．B【分析】由折叠性质得AA ′⊙CD ，AD = A ′D ，根据直角三角形斜边上的中线性质可证得CD =AD =BD = A ′D ，可证得A 、C 、A ′、B 共圆且AB 为直径，利用垂径定理的推论和三角形A′B，进而可求解CE的长．的中位线性质证得DE=12解：由折叠性质得AA′⊙CD，AD= A′D，⊙90∠=，点D是AB的中点，ACBAB，⊙CD=AD=BD= A′D=12⊙A、C、A′、B共圆且AB为直径，又A A′⊙CD，⊙AE= A′E，又AD=BD，⊙DE是⊙AB A′的中位线，A′B，⊙DE=12⊙14cmAB=，4cmBA'=，⊙CD=7cm，DE=2cm，⊙CE=CD-DE=7-2=5cm，故选B．【点拨】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质、折叠性质、垂径定理的推论，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．11．C【分析】设AE交BF于点O，根据题意可得四边形ABEF为菱形，勾股定理求得BO的长度，即可求解．解：设AE交BF于点O，如下图：由题意可得：AF AB =，AG 平分FAB ∠，AF BC ∥，⊙AG 垂直平分BF ，AFB ABF ∠=∠，⊙EF BE =，2BF BO =，⊙EFB EBF ∠=∠，又⊙AF BC ∥，⊙AFB EBF ∠=∠，⊙EFB ABF ∠=∠，⊙//AB EF ，⊙四边形ABEF 为平行四边形，又⊙AF AB =，⊙平行四边形ABEF 为菱形， ⊙132AO AE ==，由勾股定理得，4BO ==，⊙28BF BO ==，故选：C ．【点拨】此题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，垂径定理以及勾股定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．12．D【分析】连接OA ，过点O 作OC AB ⊥于点C ，如图所示，先利用垂径定理求得152AC BC AB ===，然后在Rt AOC ∆中求得OC =Rt POC ∆中，利用勾股定理即可求解．解：连接OA ，过点O 作OC AB ⊥于点C ，如图所示，则12AC BC AB ==，7OA =， ⊙P A ＝4，PB ＝6，⊙4610AB PA PB =+=+=， ⊙152AC BC AB ===， ⊙541PC AC PA =-=-=，在Rt AOC ∆中，OC ===在Rt POC ∆中，5OP ===，故选：D【点拨】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．13．【分析】根据垂径定理求出AE =BE =6，根据勾股定理求出OE ，求出CE ，再根据勾股定理求出AC 即可．解：设AB 和CD 交于E ，⊙CD ⊙AB ，CD 过圆心O ，AB =12，⊙AE =BE =6，⊙OEB =⊙CEA =90°，由勾股定理得：22221068OE OB BE ，⊙CE =OC +OE =10+8=18，由勾股定理得：2222186610ACCE AE ，故答案为：【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．14．(2,4)-【分析】首先过点P 作P A ⊙MN 于点A ，由垂径定理即可求得AM ＝12MN ，易证得四边形ABOP 是矩形，即可得AB ＝OP ，P A ＝OB ＝2，设OP ＝a ，在Rt △P AM 中，由PM 2＝AM 2+P A 2，可得方程a 2＝（a ﹣1）2+4，继而可求得答案．解：如图，过点P 作PA MN ⊥于点A ，⊙12AM MN =，在平面直角坐标系中，P 与x 轴相切于原点O ，平行于y 轴的直线交P 于M ，N 两点，设MN 交x 轴于点B ， ⊙90POB PAB ABO ∠=∠=∠=︒，⊙四边形ABOP 是矩形，⊙AB OP =，2PA OB ==，设OP a =，则PM OP a ==，⊙点M 的坐标是(2,1)-，⊙BM ＝1，⊙1AM a =-，在Rt ΔPAM 中，222PM AM PA =+，即22(1)4a a =-+，解得： 2.5a =，⊙ 1.5AM =，⊙23MN AM ==，⊙134BN BM M N =+=+=，⊙点N 的坐标为：(2,4)-．故答案为：(2,4)-．【点拨】此题考查了垂径定理、点与坐标的关系以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．15．4【分析】过点O 作,OE CD ⊥ 连接,OC 根据垂径定理可得,CE DE =根据45APC ∠=︒，得到,EP OE =对式子2232PC PD +=进行变换，即可求出半径.解：设O 的半径为R过点O 作,OE CD ⊥ 连接,OC,CE DE ∴=45APC ∠=︒，,EP OE ∴=()()2222,PC PD CE EP DE EP +=++- 222222,CE CE EP EP DE DE EP EP =+⋅++-⋅+2222,CE EP =+()222,CE EP =+()222,CE OE =+ ⊙2232,R =解得： 4.R=故答案为：4【点拨】此题考查垂径定理，等腰直角三角形的性质等，把式子2232PC PD+=进行变形是解题的关键.16．【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值．解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．⊙AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊙MN于点E，CD⊙MN于点F，⊙BE＝12AB＝12，CF＝12CD＝9，⊙9OE=，12OF=，⊙CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21，在Rt⊙BCH中，根据勾股定理得：BC即PA＋PC的最小值为故答案为：【点拨】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键．17．312【分析】过C作直径UL⊙x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．解：过C作直径UL⊙x轴，连接CA，则AC=12×10=5，⊙MN过圆心C，MN⊙AB，AB=8，⊙AO=BO=4，⊙AOC=90°，由勾股定理得：CO= ，⊙ON=5-3=2，OM=5+3=8，即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2），同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x轴，Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3），即共12个点，故答案为：3；12．【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理和坐标与图形的性质，能找出符合条件的所有点是解此题的关键．18．=【分析】过点O作OF AB⊥于点E，交O于点F，根据解：如图，过点O作OF AB⊥于点E，交O于点F，AF BF ∴=，12AE AB =2AB AC = AOF AOC ∴∠=∠AD ⊙OC ，AE OE ⊥12AD AE AB ∴== 即2AB AD =故答案为：=【点拨】本题考查了垂径定理，角平分线的判定定理，等弧所对的圆心角相等，掌握垂径定理是解题的关键．19．4【分析】过点P 最长的弦是12，根据已知条件，△OAB 的面积为18，可以求出AB ＜12，根据三角形面积可得，从而可知OP 的长有两个整数：5，6，且OP=6是P 在A 或B 点时，每一个值都有两个点P ，所以一共有4个．解：过O 作OC⊙AB 于C ，则AC ＝BC ，设OC ＝x ，AC ＝y ，⊙AB 是⊙O 的一条弦，⊙O 的半径为6，⊙AB≤12，⊙⊙OAB 的面积为18， ⊙223612182x y yx ⎧+=⎪⎨⨯=⎪⎩，则y ＝18x， ⊙2218()36x x+=，解得x ＝或﹣，⊙OC＝＞4，⊙4＜OP≤6，⊙点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，则P点有4个．故答案为：4【点拨】此题考查了圆的有关概念，三角形的面积，解决本题的关键是确定OP的最小值和最大值．20．8，9，10．【分析】当CD为直径时，此时CD最长，为10；当CD过P点且垂直y轴时，CD为P点的最短弦，由点A（0，1），BA＝5，得到B点坐标为（0，−4），再由P点坐标为（0，−7），得到BP＝3，由BP⊙CD，根据垂径定理得PC＝PD，然后在Rt⊙PBC中，根据勾股定理得到PC＝4，所以CD＝8，即过P点的最短弦长为8，最长的弦长为10，故可求解．解：当CD过圆心B时，此时CD为直径，CD＝10；当CD过P点且垂直y轴时，CD为P点的最短弦，如图，⊙点A（0，1），BA＝5，⊙B点坐标为（0，−4），⊙P点坐标为（0，−7），⊙BP＝−4−（−7）＝3，⊙BP⊙CD，⊙PC＝PD，在Rt⊙PBC中，BC＝5，BP＝3，⊙PC4，⊙CD＝2PC＝8，⊙过P点的最短弦长为8，最长的弦长为10，⊙过P点的弦长为整数还有9，⊙弦CD长的所有可能的整数值有8，9，10．故答案为：8，9，10．【点拨】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和勾股定理；同时掌握图形与坐标的关系．21．5 2【分析】利用垂径定理可得BC BD=，推出BD=BC，再根据三角形的中位线定理可得BC=2OF，即可解决问题．解：⊙直径AB⊙弦CD，⊙BC BD=，⊙BD=BC=5，⊙OF⊙AC，⊙AF=FC，⊙OA=OB，⊙OF是三角形ABC的中位线,⊙2OF=15 BC22=，故答案为：52．【点拨】本题考查垂径定理、三角形中位线定理等知识，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．22．80.【分析】连接OC．设CD交PE于点K，连接OK．根据垂径定理的推论可得OK CD⊥，根据勾股定理求出OK，然后得出OP的值，利用三角形的三边关系即可解决问题．解：连接OC.设CD交PE于点K，连接OK．四边形PCED 是平行四边形，CD 6=，EK PK ∴=，CK DK=3=，OK CD ∴⊥，在Rt COK 中，OC 5=，CK 3=，OK 4∴=，OP OB PB 6=+=，64PK 64∴-≤≤+，2PK 10∴≤≤，PK ∴的最小值为2，最大值为10，PE 2PK =，PE ∴的最小值为4，最大值为20，∴线段PE 长的最大值与最小值的积等于80．故答案为80．【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质以及三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．12.5【分析】根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ，半径为r m ，连接OA ．根据垂径定理得10m AD =，再由勾股定理求解即可．解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ，半径是r m ，连接OA ．根据垂径定理，得：110m 2AD AB ==，在Rt AOD △中，根据勾股定理，得22210(5)r r =+-，解得：12.5r =，即该拱桥的半径为12.5m ，故答案为：12.5．【点拨】此题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程进行求解．24．【分析】过点O 分别作AB 、CD 的垂线OM 、ON ，则四边形OMEN 是正方形，利用垂径定理即可求得OM ，AM 的长度，然后在直角AOM ∆中利用勾股定理即可求得OA 的长度．解：过点O 分别作AB 、CD 的垂线OM 、ON ，则四边形OMEN 是矩形，连接OA ．AB CD =，AB CD ⊥，OM ON ∴=，∴矩形OMEN 是正方形．2CE =，6ED =，268CD ∴=+=，ON CD ⊥142CN CD ∴==， 2EN OM ∴==，同理：4AM =．在直角AMO ∆中，OAO ∴的半径长为【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是利用垂径定理可以把求弦长以及半径的计算转化成求直角三角形的边长的计算．25．(1)见分析(2)见分析【分析】（1）由在⊙O 中，AB =CD ，根据弦与弧的关系，可证得=AB CD ，继而可证得AC BD =；（2）首先连接AC ，BD ，易证得⊙ACM ⊙⊙DBM ，继而证得AM =DM ．解：(1)⊙在⊙O 中，AB ＝CD ，⊙=AB CD ，⊙=AB BC CD BC --，⊙AC BD =；(2)连接AC ，BD ，⊙=AB CD ，⊙AC ＝BD ，在⊙ACM 和⊙DBM 中，A D AC DBC B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，⊙⊙ACM ⊙⊙DBM （ASA ），⊙AM ＝DM ．【点拨】此题考查了弦与弧的关系、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．26．(1)【分析】（1）如图1，作1O M AB ⊥交AB 于N ，交1O 于M ，连接1AO ，由题意知，1142cm 2O N MN ==⨯=，12AN BN AB ==，在1Rt AO N 中，由勾股定理得AN 求出AN 的值，进而可求AB 的值；（2）如图2，延长2O C 交2O 于E ，连接2AO ，设半径为r ，由题意知15cm 2AC CB AB ===，由折叠和中点的性质可知213O D DC CE r ===，在2Rt AO C 中，由勾股定理得22221AC AO O C =-，即222253r r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出满足要求的解即可． (1)解：如图1，作1O M AB ⊥交AB 于N ，交1O 于M ，连接1AO由题意知，1142cm 2O N MN ==⨯=，12AN BN AB ==在1Rt AO N 中，由勾股定理得AN =⊙AB =⊙AB 的长为．(2)解：如图2，延长2O C 交2O 于E ，连接2AO ，设半径为r由题意知15cm 2AC CB AB ===，由折叠和中点的性质可知213O D DC CE r ===，在2Rt AO C 中，由勾股定理得22221AC AO O C =-，即222253r r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解得：r =r =-⊙半径的长为．【点拨】本题考查了垂径定理，折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．27．(1)证明见分析(2)⊙⊙OGC =90°；⊙BE ＞GE【分析】（1）先由平行线得出⊙COD =⊙ODE ，再用SAS 证△OCF ⊙⊙DOE 即可；（2）⊙先由C 、D 是AB 的三等分点，⊙AOB =90°，求得⊙AOC =⊙COD =⊙BOD =30°，由（1）知△OCF ⊙⊙DOE ，所以⊙OCF =⊙DOE =30°，即可由三角形内角和求解；⊙由⊙⊙OGC =90°，⊙OCF =⊙DOE =30°，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求得OG =OF =2，又⊙OCF =⊙COF =30°，所以CF =OF ，又由△OCF ⊙⊙DOE ，所以OE =CF =OF =2，即可求得2GE =2BE =，再比较即可得出结论；(1)解：⊙DE AB 2AC =OC ，⊙⊙COD =⊙ODE ，⊙OC =OD ，OF =DE ，⊙⊙OCF ⊙⊙DOE (SAS )；(2)解：⊙⊙C 、D 是AB 的三等分点，⊙AOB =90°，⊙⊙AOC =⊙COD =⊙BOD =30°，⊙⊙OCF ⊙⊙DOE ，⊙⊙OCF =⊙DOE =30°，⊙⊙COG =⊙COD +⊙DOB =60°，⊙⊙OGC =90°．⊙⊙OA OC OB === ⊙OG又⊙⊙DOE =30°，⊙OF =2，⊙⊙OCF =⊙COF =30°，⊙CF =OF ，⊙⊙OCF ⊙⊙DOE ，⊙OE =CF =OF =2，⊙2GE OE OG =-=-2BE OB OE =-=，⊙40BE GE =>－，⊙BE ＞GE ．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，圆的性质，圆心角、弧之间的关系，直角三角形的性质，勾股定理，求出⊙AOC =⊙COD =⊙BOD =30°，进而求得⊙OGC =90°是解题词的关键．28．（1）12DE BC =；//DE BC ；（2）52；（3）2MP NQ OP -=；52；（4）52【分析】（1）直接用中位线性质定理得出结论；（2）由等边三角形判定得出⊙MOA 为等边三角形，得到12MP MA MN ==，即可得到答案；（3）由直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半，得到1122OP OA ON ==，即OP PN =，计算即可得知答案；（4）过圆O 作直径CD ⊙AB 交于点E ，连接PM 与CD 交于点F ，由中位线定理得出OF 是⊙MNP 的中位线，EF 是⊙PNQ 的中位线，得到2MP OF =，2NQ EF =，即()22MP NQ OF EF OE -=-=，计算即可得出答案．解：（1）⊙点D 、E 分别是ABC 的边AB 、边AC 的中点，⊙DE 是ABC 的一条中位线， ⊙12DE BC =，//DE BC ，故答案为：12DE BC =，//DE BC ．（2）⊙MN 为直径，O 为圆心，当点N 与点B 重合时，点Q 也与点B 重合，点P 与点A 重合，⊙⊙MAB ＝90°，O 为MN 的中点，⊙在Rt ⊙MAB 中，12OA MN =，OA OM OB ==， ⊙30OAB OBA ==︒∠∠，⊙60MOA ∠=︒，⊙⊙MOA 为等边三角形，⊙5MN = ⊙1522MP MA MN ===，0NQ =， ⊙52MP NQ -=，故答案为：52 （3）当MN AB ⊥时，P 、Q 重合，⊙30OAB ∠=︒，⊙在Rt ⊙AOP 中，1122OP OA ON ==， ⊙OP PN =，⊙OM ON =，⊙2MP NQ MP OP OM OP -=-==，⊙5MN =， ⊙52OM OA ON ===， ⊙1524OP PN OA ===， ⊙522MP NQ OP -==，故答案为：2MP NQ OP -=；52．（4）⊙MP AB ⊥于P ，NQ AB ⊥于Q ，⊙过圆O 作直径CD ⊙AB 交于点E ，连接PN 与CD 交于点F ，如图：⊙点O 为MN 的中点，////MP CD NQ ，⊙点F 为PN 的中点，点E 为PQ 的中点，⊙在⊙MNP 中，OF 是⊙MNP 的中位线，⊙2MP OF =，在⊙PNQ 中，EF 是⊙PNQ 的中位线，⊙2NQ EF =，⊙()22MP NQ OF EF OE -=-=，⊙在Rt ⊙AOE 中，30OAB ∠=︒，5MN =， ⊙15222OE OA MN ===， ⊙52MP NQ -=．【点拨】本题考查了中位线定理，圆的垂径定理，直角三角形中30°所对的边是斜边的一半等知识点，根据题意作出辅助线是解题的关键．。

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九年级上册垂径定理 基础巩固训练 附答案教师版

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人教版数学九年级上学期课时练习-垂直于弦的直径-垂径定理(巩固篇)(人教版)

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