全等三角形专题——截长补短练习

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初二数学数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(附解析

初二数学数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(附解析一、全等三角形截长补短1．数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD AE =，求证ABE ACD ∠=∠；在此问题的基础上，老师补充：过点A 作AF BE ⊥于点G 交BC 于点F ，过F 作FP CD ⊥交BE 于点P ，交CD 于点H ，试探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，AFB ∠与HFC ∠有某种数量关系；小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：（1）求证ABE ACD ∠=∠；（2）猜想AFB ∠与HFC ∠的数量关系，并证明；（3）探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并证明．2．（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°，E 、F 分别是BC ，CD 上的点且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，先证明 ABE ≌ADG ，再证明AEF ≌AGF ，可得出结论，他的结论应是______________；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF 12=∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E 、F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．3．阅读题：如图1，OM 平分AOB ∠，以O 为圆心任意长为半径画弧，交射线OA ，OB 于C ，D 两点，在射线OM 上任取一点E （点O 除外），连接CE ，DE ，可证OCE ODE △△≌，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：（1）如图2，在ABC 中，2A B ∠=∠，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，试判断BC 与AC 、AD 之间的数量关系；（2）如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，20AB =，8AD =，求ABC 的面积．4．已知等边三角形ABC ，D 为△ABC 外一点，BDC 120∠=︒，BD=DC ，MDN 60∠=︒，射线DM 与直线AB 相交于点M ，射线DN 与直线AC 相交于点N ．（1）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，直接写出BM 、NC 、MN 之间的数量关系；（2）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM ≠DN 时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明；（3）当点M 、N 在边AB 、CA 的延长线上时，请画出图形，并求出BM 、NC 、MN 之间的数量关系．5．如图1，在四边形ABCD 中，,,AB AD BC CD AB BC ⊥⊥=，2ABC EBF ∠=∠，它的两边分别交AD DC 、点,E F ．且AE CF ≠．()1求证：.EF AE CF =+()2如图2，当MBN ∠的两边分别交,AD DC 的延长线于点,E F ，其余条件均不变时，()1中的结论是否成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段,,AE CF EF 又有怎样的数量关系？并证明你的结论．6．如图，四边形ABCD 为矩形，F 为对角线BD 上一点，过点F 作FE BD ⊥交AD 于点H ，交BA 的延长线于点E ，连接AF ，当FD FE =时，求证：2AH AB AF +=．7．已知等腰ABC ∆中，AB AC =，点D 在直线AB 上，//DE BC ，交直线AC 于点E ，且BD BC =，CH AB ⊥，垂足为H ．（1）当点D 在线段AB 上时，如图1，求证BH DE DH +=；（2）当点D 在线段BA 的延长线上时，如图2；当点D 在线段AB 延长线时，如图3，线段BH ，DE ，DH 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 8．思维探索：在正方形ABCD 中，AB ＝4，∠EAF 的两边分别交射线CB ，DC 于点E ，F ，∠EAF ＝45°．（1）如图1，当点E ，F 分别在线段BC ，CD 上时，△CEF 的周长是；（2）如图2，当点E ，F 分别在CB ，DC 的延长线上，CF ＝2时，求△CEF 的周长；拓展提升：如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，过点B 作BD ⊥BC ，连接AD ，在BC 的延长线上取一点E ，使∠EDA ＝30°，连接AE ，当BD ＝2，∠EAD ＝45°时，请直接写出线段CE 的长度．9．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC ，且AE 、BE 交CD 于点E ．试说明AD ＝AB ﹣BC 的理由．10．已知平行四边形ABCD 中，N 是边BC 上一点，延长DN 、AB 交于点Q ，过A 作AM ⊥DN 于点M ，连接AN ，则AD ⊥AN ．（1）如图①，若tan ∠ADM ＝34，MN ＝3，求BC 的长；（2）如图②，过点B 作BH ∥DQ 交AN 于点H ，若AM ＝CN ，求证：DM ＝BH +NH ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）见解析；（2）HFC BFA ∠=∠，证明见解析；（3）BP AF PF =+，证明见解析【分析】（1）利用SAS 证明ABE ACD ≅可得结论；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，推出=45BFA x ∠︒+，=45HFC x ∠︒+，即可证明HFC BFA ∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，证明△ABE ≌△CAM ，得出BE AM =和M BEA ∠=∠，从而证明△NFC ≌△MFC ，得到FM FN =和M FNC ∠=∠，可得PN=PE ，从而得出BP=AF+PF.【详解】解：（1）∵在△ABE 和△ACD 中，==AB AC A A AE AD ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，ABE ACD ∴∆≅∆（SAS ），ABE ACD ∴∠=∠；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，AF BE ⊥，90BAF x ∴∠=︒-，()=9045=45BFA x x ∴∠︒-︒-︒+，ACD x ∠=，45HCF x ∴∠=︒-，FP CD ⊥，()9045=45HFC x x ∴∠=︒-︒-︒+，HFC BFA ∴∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，90BAF FAC ∠+∠=︒，90BAF ABG ∠+∠=︒，FAC ABG ∴∠=∠，在△ABE 和△CAM 中，===BAE ACM AB AC ABE CAM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩， ABE CAM ∴∆≅∆（ASA ），BE AM ∴=，M BEA ∠=∠，BFA MFC NFC ∠=∠=∠，FC FC =，45ACB BCM ∠=∠=︒，NFC MFC ∴∆≅∆（ASA ），FM FN ∴=，M FNC ∠=∠，FNC BEA ∴∠=∠，PN PE ∴=，∴BP BE PE AM PE AF FM PE =-=-=+-AF FN PN AF PF =+-=+.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度. 2．（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里【分析】（1）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（2）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（3）连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，然后与（2）同理可证．【详解】解：（1）EF ＝BE +DF ，证明如下：在ABE 和ADG 中， DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为 EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，在ABE 和ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，∵∠AOB ＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF ＝70°，∴∠EOF1∠AOB，2又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE+BF成立，即EF＝2×（45+60）＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键．3．（1）BC=AC+AD；（2）△ABC 的面积为80．【分析】（1）在CB上截取CE=CA，则由题意可得AD=DE，∠CED=∠A，再结合∠A=2∠B可得DE=BE，从而得到BC=AD+AC；（2）在AB上截取AE=AD，连结CE，过C作CF⊥AB于F点，由题意可得EC=BC，从而得到EF的长度，再由勾股定理根据EC、EF的长度求得CF的长度，最后根据面积公式可以得到解答．【详解】解：（1）如图，在CB上截取CE=CA，则由题意得：△CAD≌△CED，∴AD=DE，∠CED=∠A，∵∠A=2∠B，∴∠CED=2∠B，又∠CED=∠B+∠EDB，∴∠B+∠EDB=2∠B，∴∠EDB=∠B，∴DE=BE，∴BC=BE+CE=DE+CE=AD+AC；（2）如图，在AB上截取AE=AD，连结CE，过C作CF⊥AB于F点，∴由题意可得：△CDA≌△CEA，∴EC=CD=BC=10，AE=AD=8，∵CF ⊥AB ，∴EF=FB=208622AB AE --==， ∴8CF ==， ∴112088022ABC S AB CF =⨯=⨯⨯=．【点睛】本题考查三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理是解题关键．4．（1）BM+NC=MN ，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）NC-BM=MN ，证明见解析．【分析】（1）由DM=DN ，∠MDN=60°，可证得△MDN 是等边三角形，又由△ABC 是等边三角形，CD=BD ，易证得Rt △BDM ≌Rt △CDN ，然后由直角三角形的性质，即可求得BM 、NC 、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN ；（2）在CN 的延长线上截取CM 1=BM ，连接DM 1．可证△DBM ≌△DCM 1，即可得DM=DM 1，易证得∠CDN=∠MDN=60°，则可证得△MDN ≌△M 1DN ，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3）首先在CN 上截取CM 1=BM ，连接DM 1，可证△DBM ≌△DCM 1，即可得DM=DM 1，然后证得∠CDN=∠MDN=60°，易证得△MDN ≌△M 1DN ，则可得NC-BM=MN ．【详解】解（1）BM 、NC 、MN 之间的数量关系：BM+NC=MN ．证明如下：∵BD=DC ，DM=DN ，MDN 60∠=︒∴∠BDC=∠DCB=180302BDC ，△MDN 为等边三角形， ∴MN=MD=DN ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=90°，∴Rt △BDM ≌Rt △CDN （HL ），∴∠BDM =∠CDN=302BDC MDN ， ∴11,22BM DM NC DN , ∴BM+NC=MN ．（2）猜想：结论仍然成立．证明：在CN 的反向延长线上截取CM 1=BM ，连接DM 1．∵∠MBD=∠M 1CD=90°，BD=CD ，∴△DBM ≌△DCM 1，∴DM=DM 1，∠MBD=∠M 1CD ，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠M 1DN=∠MDN=60°，∴△MDN ≌△M 1DN ，∴MN=M1N=M 1C+NC=BM+NC ，（3）证明：在CN 上截取CM 1=BM ，连接DM 1．与（2）同理可证△DBM ≌△DCM 1，∴DM=DM 1，与（2）同理可证∠CDN=∠MDN=60°，∴△MDN ≌△M 1DN ，∴MN=M 1N ，∴NC-BM=MN ．【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．5．（1）证明见解析；（2）不成立，AE=CF+EF ，理由见详解【分析】（1）延长FC 到H ，使CH AE =，连接BH ，由题意易证BCH BAE ∆∆≌，则有HBF EBF ∠=∠，进而可证HBF EBF ∆∆≌，然后根据线段的等量关系可求解；（2）在AE 上截取AH=CF ，连接BH ，然后根据题意易证△ABH ≌△CBF ，则有BH=BF ，∠ABH=∠CBF ，进而可得△EBF ≌△EBH ，最后根据线段的等量关系可求解．【详解】()1证明：延长FC 到H ，使CH AE =，连接BH ，如图所示：,AB AD BC CD ⊥⊥，90A BCH ∴∠=∠=︒，在BCH ∆和BAE ∆中BC BA BCH A CH AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCH BAE SAS ∴∆∆≌，,BH BE CBH ABE ∴=∠=∠，2ABC EBF =∠∠，ABE CBF EBF ∴∠+∠=∠，HBC CBF EBF ∴∠+∠=∠，HBF EBF ∴∠=∠在HBF ∆和EBF ∆中BH BE HBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()HBF EBF SAS ∴∆∆≌HF EF ∴=，HF HC CF AE CF =+=+EF AE CF ∴=+；（2）不成立，AE=CF+EF ，理由如下：在AE 上截取AH=CF ，连接BH ，如图所示：,AB AD BC CD ⊥⊥，90A BCF ∴∠=∠=︒，∵AB=CB ，∴△ABH ≌△CBF （SAS ），∴BH=BF ，∠ABH=∠CBF ，∵2ABC EBF ∠=∠，∠EBF=∠CBF+∠CBE ，∠ABC=∠CBE+∠EBH+∠ABH ，∴∠EBF=∠EBH ，∵EB=EB ，∴△EBF ≌△EBH （SAS ），∴CF=AH ，EF=EH ，∵AE=AH+HE ，∴AE=CF+EF ．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．6．见解析【分析】过点F 作FN AF ⊥交AB 的延长线于点N ，先证明()EFN DFA ASA △≌△，可得N DAF ∠=∠，FN AF =，从而可以证明()AHF NBF ASA △≌△，可证得AH BN =，即可得证2AH AB +=．【详解】证明：如图，过点F 作FN AF ⊥交AB 的延长线于点N ，EF DF ⊥，EA AD ⊥，90E ABD ∴∠+∠=︒，90ADF ABD ∠+∠=︒，E ADF ∴∠=∠，90AFN EFD ∠=∠=︒，AFD EFN ∴∠=∠，在EFN 和DFA 中，,,,EFN DFA EF DF E ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EFN DFA ASA ∴△≌△，N DAF ∴∠=∠，FN AF =，又90AFN ∠=︒， 2AN AF ∴=，90AFN EFB ∠=∠=︒，AFH BFN ∴∠=∠，在AHF △和NBF 中，,,,AFH NFB AF NF HAF N ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AHF NBF ASA ∴△≌△，AH BN ∴=，2AH AB BN AB AN AF ∴+=+==．【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 7．（1）见解析；（2）图2：BH DE DH -=；图3：DE BH DH -=【分析】（1）在线段AH 上截取HM=BH ，连接CM ，CD ，证明△DMC ≌△DEC ，即可可得DE=DM 则结论可得；（2）当点D 在线段BA 延长线上时，在BA 的延长线上截取MH=BH ，连接CM ，DC ，由题意可证△BHC ≌△CHM ，可得∠B=∠CMB ，由题意可得∠B=∠AED ，即可证△DMC ≌△DEC ，可得DE=DM ，则可得DH=BH-DE ；当点D 在线段AB 延长线上时，在线段AB 上截取BH=HM ，连接CM ，CD ，由题意可证△BHC ≌△CHM ，可得∠B=∠CMB ，由题意可得∠B=∠AED ，即可证△DMC ≌△DEC ，可得DE=DM ，则可得DE=DH+BH ．．【详解】解：（1）证明：在AH 上截取HM BH =，连接CM ，CD ．∵CH AB ⊥，HM BH =∴CM BC =．∴B CMB ∠=∠．∵AB AC =∴B ACB ∠=∠．∵//DE BC ，∴ADE B AED ACB ∠=∠=∠=∠，CDE BCD ∠=∠．∴AED BMC ∠=∠．∴DEC DMC ∠=∠．∵BD BC =，∴BDC BCD EDC ∠=∠=∠．∵CD CD =，∴ΔΔCDM CDE ≅．∴DM DE =．∴DE BH DM HM DH +=+=．（2）当点D 在线段BA 延长线上时，DH=BH-DE如图：在BA 的延长线上截取MH=BH ，连接CM ，DC∵AB=AC∠ABC=∠ACB，∵BD=BC，∴∠BDC=∠DCB∵DE∥BC∠E=∠ACB=∠B=∠EDB∵CH=CH，BH=MH，∠BHC=∠CHM∴△BHC≌△CHM∴∠B=∠M∴∠E=∠M∵∠MDC=∠B+∠DCB，∠EDC=∠BDC+∠EDB ∴∠MDC=∠EDC又∵∠E=∠M，DC=CD∴△DEC≌△DMC∴DE=DM∵DH=MH-DM∴DH=BH-DE当点D在线段AB延长线上时，DE=BH+DH如图在线段AB上截取BH=HM，连接CM，CDBH=HM，CH=CH，∠CHB=∠MHC=90°∴△MHC≌△BHC∴∠ABC=∠BMC∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB，∵BD=BC∴∠BDC=∠BCD∵BC∥DE∴∠BCD=∠CDE，∠ACB=∠AED∴∠BDC=∠CDE，∠BMC=∠AED，且CD=CD ∴△CDM≌△CDE∴DE=DM∵DM=DH+HM∴DE=DH+BH．【点睛】本题考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定．添加恰当的辅助线证全等是本题的关键．8．思维探索：（1）8；（2）12；拓展提升：CE1．【分析】思维探索：（1）利用旋转的性质，证明△AGE≌△AFE即可；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，证明△AEF≌△AGF即可求得EF＝DF﹣BE；拓展提升：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，推出四边形ACBG是矩形，得到矩形ACBG是正方形，根据正方形的性质得到AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，根据全等三角形的性质得到AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∠ADF＝∠ADE＝30°，解直角三角形得到DE＝DF＝4，BE＝CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝x，根据线段的和差即可得到结论．【详解】思维探索：（1）如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，在△AGE和△AFE中AG AFGAE EAF AE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AGE≌△AFE（SAS），∴GE＝EF，∵GE＝GB+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+DF，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+DF+CF＝BC+CD＝8，故答案为：8；（2）如，2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，同（1）可证得△AEF≌△AGF，∴EF＝GF，且DG＝BE，∴EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+CF+DF﹣BE＝BC+DF+CF＝4+4+2+2＝12；拓展提升：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，∵BD⊥BC，∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBG＝∠G＝90°，∴四边形ACBG是矩形，∵AC＝BC，∴矩形ACBG是正方形，∴AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，∴△AEC≌△AGF（SAS），∴AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∵∠EAD＝∠BAC＝∠GAB＝45°，∴∠DAF＝∠DAE＝45°，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF（SAS），∴∠ADF＝∠ADE＝30°，∴∠BDE＝60°，∵∠DBE＝90°，BD＝2，∴DE＝DF＝4，BE＝23，设CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝23﹣x，∴DG＝2+23﹣x，∴DG﹣FG＝DF，即2+23﹣x﹣x＝4，∴x＝3﹣1，∴CE＝3﹣1．【点睛】本题以正方形为背景，结合旋转，三角形全等，解直角三角形进行综合性考查，熟知常见的全等模型，旋转性质，三角形的判定及性质，正方形，矩形的性质是解题的关键．9．见解析【分析】在AB上找到F使得AF＝AD，易证△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根据平行线性质可证∠C ＝∠BFE ，即可证明△BEC ≌△BEF ，可得BF ＝BC ，即可解题．【详解】证明：在AB 上找到F 使得AF ＝AD ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠EAD ＝∠EAF ，∵在△AEF 和△AED 中，AD AF EAD EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AED ，（SAS ）∴AF ＝AD ，∠AFE ＝∠D ，∵AD ∥BC ，∴∠D ＋∠C ＝180°，∵∠AFE ＋∠BFE ＝180°∴∠C ＝∠BFE ，∵BE 平分∠BAD ，∴∠FBE ＝∠C ，∵在△BEC 和△BEF 中，BFE C FBE CBE BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△BEF ，（AAS ）∴BF ＝BC ，∵AB ＝AF ＋BF ，∴AB ＝AD ＋BC ，即AD ＝AB ﹣BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AED 和△BEC ≌△BEF 是解题的关键．10．（1）BC ＝203；（2）见解析. 【分析】（1）如图①中，设AM＝3k，DM＝4k，则AD＝5k，由△ADM∽△NDA，可得AD2＝DM•AN，由此构建方程即可解决问题．（2）如图②中，连接CH，在DM上取一点K，使得DK＝BH．证明△ADK≌△CBH （SAS），推出AK＝CH，再证明Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），推出MK＝HN即可解决问题．【详解】（1）解：如图①中，∵AM⊥DN，∴∠AMD＝90°，∵tan∠ADM＝AIIDN＝34，∴可以假设AM＝3k，DM＝4k，则AD＝5k，∵AD⊥AN，∴∠DAN＝90°＝∠AMD，∵∠ADM＝∠ADN，∴△ADM∽△NDA，∴AD2＝DM•AN，∴（5k）2＝4k（4k+3），解得k＝43，∴AD＝203，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝203．（2）证明：如图②中，连接CH，在DM上取一点K，使得DK＝BH．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADK＝∠BNQ，∵BH∥DQ，∴∠CBH＝∠BNQ，∴∠ADK＝∠CBH，∵DK＝BH，DA＝BC，∴△ADK≌△CBH（SAS），∴AK＝CH，∵AM⊥DQ，AN⊥AD，AD∥BC，∴AN⊥BC，∴∠AMK＝∠CNH＝90°，∵AM＝CN，∴Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），∴MK＝NH，∴DM＝DK+MK＝BH+HN．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握解直角三角形、相似三角形的性质以及判定定理、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．。

三角形全等之截长补短(习题及答案)

三角形全等之截长补短（习题）例题示范例1：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ⊥CD 且BD =CD ，∠DBC =45°．过点C 作CE ⊥AB 于E ，交对角线BD 于F ，连接AF ．求证：CF =AB +AF ．FED C BA【思路分析】题目中出现了线段的和差倍分（所求为一条线段是另外两条线段之和），所以考虑截长补短．① 考虑截长的方法，如图所示：A BCDEFH在线段CF 上截取CH =AB ，连接DH ，只需证明AF =HF 即可．结合题目条件，先证明△A B D ≌△H C D ，再证明△A D F ≌ △HDF ，从而得到AF =HF ，证明成立． ② 考虑补短的方法，如图所示：FEDCBA H延长BA 交CD 的延长线于点H ，只需证明BH =CF ，AH =AF 即可．可结合题目条件，先证明△CDF ≌△BDH ，再证明△ADF ≌△ADH ，从而得到BH =CF ，AH =AF ，证明成立．【过程书写】（截长的方法）在线段CF 上截取CH =AB ，连接DH ．A BCDEFH∵BD ⊥CD ，BE ⊥CE ∴∠BEF =∠FDC =90° ∴∠EBF +∠EFB =90° ∠FCD +∠DFC =90° ∵∠EFB =∠DFC ∴∠EBF =∠FCD 在△ABD 和△HCD 中，AB HC ABD HCD BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△HCD （SAS ） ∴AD =HD ，∠ADB =∠HDC ∵AD ∥BC∴∠ADB =∠DBC =45° ∴∠HDC =45°∴∠HDF =∠BDC -∠HDC =45° ∴∠ADB =∠HDF 在△ADF 和△HDF 中，AD HD ADF HDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△HDF （SAS ） ∴AF =HF∴CF =CH +HF =AB +AF巩固练习1. 如图，在△ABC 中，∠BAC =60°，∠ABC =80°，AD 是∠BAC 的平分线．求证：AC =AB +BD ．A B C D ABD2. 如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，∠B +∠D =180°．求证：AE =AD +BE ．3. 如图，在△ABC 中，∠A =100°，∠ABC =40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长BD 至E ，使DE =AD ，连接EC ．求证：BC =AB +CE ．CDE CD E B EADCEADC4.已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠F AD=∠F AE．求证：BE+DF=AE．思考小结1.证明线段或角相等时，可以考虑把线段或角放到两个三角形中证明全等．如果题目中没有可能全等的三角形，往往考虑通过添加辅助线，构造全等三角形来证明．常见构造辅助线的方法：①___________：当已知条件中有中线（中点）时，往往考虑延长中线构造全等三角形．②_________：当题目中出现线段的和差倍分时，往往考虑把多条线段间的数量关系转化为两条线段的等量关系来处理．2.利用“截长补短”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：30°角所对的直角边是斜边的一半．FE D CB A已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°．求证：BC 12AB ．【参考答案】巩固练习 1. 证明略提示：方法一：在AC 上截取AE =AB ，连接DE ，证明△ABD ≌△AED ，再证明CE =DE ；方法二：延长AB 到E ，使BE =BD ，连接DE ，证明△ADE ≌△ADC ． 2. 证明略提示：在AE 上截取AF =AD ，证明△CDA ≌△CF A ，再证明 BE =FE ． 3. 证明略提示：在BC 上截取BF =BA ，连接DF ，证明△ABD ≌△FBD ，再证明△DFC ≌△DEC ． 4. 证明略30°A提示：延长CB至点G，使BG=DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF，再证明AE=GE即可．思考小结1.倍长中线，截长补短2.证明略提示：延长BC到D，使BD=BA，得到△ABC为等边三角形，AD=AB，根据三线合一，可得BC=12BD，所以BC=12AB．。

初二数学全全等三角形截长补短测试含答案

初二数学全全等三角形截长补短测试含答案一、全等三角形截长补短1．已知ABC 是等边三角形，6AB =．（1）如图1，点M 是BC 延长线上一点，60AMN ∠=︒，MN 交ABC 的外角平分线于点N ，求CN CM -的值；（2）如图2，过点A 作AD BC ⊥于点D ，点P 是直线AD 上一点，以CP 为边，在CP 的下方作等边CPQ ，连接DQ ，求DQ 的最小值．2．如图，△ABC 为等边三角形，直线l 经过点C ，在l 上位于C 点右侧的点D 满足∠BDC ＝60°．（1）如图1，在l 上位于C 点左侧取一点E ，使∠AEC ＝ 60°，求证：△AEC ≌△CDB ；（2）如图2，点F 、G 在直线l 上，连AF ，在l 上方作∠AFH ＝120°，且AF ＝HF ，∠HGF ＝120°，求证：HG ＋BD ＝CF ；（3）在（2）的条件下，当A 、B 位于直线l 两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG 、CF 、BD 的数量关系为．3．已知：线段AB 及过点A 的直线l ，如果线段AC 与线段AB 关于直线l 对称，连接BC 交直线l 于点D ，以AC 为边作等边△ACE ，使得点E 在AC 的下方，作射线BE 交直线l 于点F ，连接CF ．（1）根据题意将图1补全；（2）如图1，如果∠BAD ＝α（30°＜α＜60°）．①∠BAE=_______，∠ABE=_______（用含有α代数式表示）；②用等式表示线段FA ，FE 与FC 的数量关系，并证明．（3）如图2，如果60°＜α＜90°，直接写出线段FA ，FE 与FC 的数量关系，不证明．4．在△ABC 中，AB =AC ，点D 与点E 分别在AB 、AC 边上，DE //BC ，且DE =DB ，点F 与点G 分别在BC 、AC 边上，∠FDG 12=∠BDE ．（1）如图1，若∠BDE =120°，DF ⊥BC ，点G 与点C 重合，BF =1，直接写出BC = ；（2）如图2，当G 在线段EC 上时，探究线段BF 、EG 、FG 的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当G 在线段AE 上时，直接写出线段BF 、EG 、FG 的数量关系：_____________．5．在四边形ABDE 中，C 是BD 边的中点．（1）如图（1），若AC 平分BAE ∠，90ACE ∠=︒，则线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分BAE ∠，EC 平分AED ∠，若120ACE ∠=︒，则线段AB 、BD 、DE 、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．6．如图，ABC ∆中，BE ，CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BE ，CD 相交于点F ，60A ∠=︒．（1）求BFD ∠的度数；（2）判断BC ，BD ，CE 之间的等量关系，并证明你的结论．7．（1）如图①，Rt ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 为BC 边上的一点，将ABD △绕点A 逆时针旋转90°至ACF ，作AE 平分DAF ∠交BC 于点E ，易证明：222BD CE DE +=．若2DE BD =，则以BD 、DE 、EC 为边的三角形的形状是______；（2）如图②，四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，AB AD =，若四边形ABCD 的面积是32，2CD =，求BC 的长度；（3）ABC 是以BC 为底的等腰直角三角形，点D 是ABC 所在平面内一点，且满足4=AD ，6BD =，2CD =，请画草图并求ADC ∠的度数．8．在菱形ABCD 中，射线BM 从对角线BD 所在的位置开始绕着点B 逆时针旋转，旋转角为()0180αα︒<<︒，点E 在射线BM 上，DEB DAB ∠=∠．（1）当60DAB ∠=︒时，BM 旋转到图①的位置，线段BE ，DE ，AE 之间的数量关系是______；（2）在（1）的基础上，当BM 旋转到图②的位置时，探究线段BE ，DE ，AE 之间的数量关系，并证明；（3）将图②中的60DAB ∠=︒改为90DAB ∠=︒，如图③，其他条件不变，请直接写出线段BE ，DE ，AE 之间的数量关系．9．已知等腰ABC ∆中，AB AC =，点D 在直线AB 上，//DE BC ，交直线AC 于点E ，且BD BC =，CH AB ⊥，垂足为H ．（1）当点D 在线段AB 上时，如图1，求证BH DE DH +=；（2）当点D 在线段BA 的延长线上时，如图2；当点D 在线段AB 延长线时，如图3，线段BH ，DE ，DH 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 10．已知，在ABCD 中，AB BD AB BD E ⊥=，，为射线BC 上一点，连接AE 交BD 于点F .（1）如图1，若E 点与点C 重合，且25AF =，求AD 的长；（2）如图2，当点E 在BC 边上时，过点D 作DG AE ⊥于G ，延长DG 交BC 于H ，连接FH .求证：AF DH FH =+．（3）如图3，当点E 在射线BC 上运动时，过点D 作DG AE ⊥于G M ，为AG 的中点，点N 在BC 边上且1BN =，已知42AB =，请直接写出MN 的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）6；（2）32【分析】（1）在CN 上截取点H ，使CH=CM ，先证出△CMH 为等边三角形，然后利用ASA 证出△AMC ≌△NMH ，从而得出AC=NH ，从而求出结论；（2）连接BQ ，利用SAS 证出△QCB ≌△PCA ，从而得出∠CBQ=∠CAP ，然后根据三线合一和等量代换即可求出∠CBQ=30°、∠ABQ =90°，从而判断出点Q 的运动轨迹，然后根据垂线段最短即可得出当DQ ⊥BQ 时，DQ 最短，然后利用30°所对的直角边是斜边的一半即可得出结论．【详解】解：（1）在CN 上截取点H ，使CH=CM ，连接MH∵△ABC 为等边三角形∴∠ACB=60°，AC=AB=6∴∠ACM=180°－∠ACB=120°∵CN 平分∠ACM∴∠MCN=12∠ACM=60° ∴△CMH 为等边三角形 ∴CM=HM ，∠CMH=∠CHM=60°∴∠NHM=180°－∠CHM=120°，∠AMC ＋∠AMH=60°∴∠ACM=∠NHM∵60AMN ∠=︒∴∠NMH ＋∠AMH=60°∴∠AMC=∠NMH在△AMC 和△NMH 中AMC NMH CM HMACM NHM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AMC ≌△NMH∴AC=NH∴CN CM -=CN －CH=NH=AC=6（2）连接BQ∵△ABC 和△CPQ 都是等边三角形∴BC=AC ，QC=PC ，∠PCQ =∠ACB=∠ABC=∠BAC =60°∴∠PCQ －∠PCB=∠ACB －∠PCB∴∠QCB=∠PCA在△QCB 和△PCA 中BC AC QCB PCA QC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QCB ≌△PCA∴∠CBQ=∠CAP∵AD BC ⊥∴∠CAP=12∠BAC=30°，BD=12BC=3 ∴∠CBQ=30°∴∠ABQ=∠ABC ＋∠CBQ=90°∴点Q 在过点B 作AB 的垂线上运动根据垂线段最短可得：当DQ ⊥BQ 时，DQ 最短此时在Rt △BDQ 中，∠QBD=30°∴DQ=12BD=32即DQ 的最小值为32．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、直角三角形的性质和垂线段最短的应用，掌握构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、30°所对的直角边是斜边的一半和垂线段最短是解决此题的关键．2．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）HG=CF+BD．【分析】（1）先利用角的和差证明∠BCD=∠EAC，然后利用AAS即可证明△AEC≌△CDB；（2）在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，依次证明△AEC≌△CDB和△HGF≌△FEA即可得出结论；（3）在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，依次证明△ACE≌△CBM和△HGF≌△FEA即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠BCD+∠ACE=120°，∵∠AEC=60°，∴∠ACE+∠EAC=120°，∴∠BCD=∠EAC，在△AEC和△CDB中∵60 AEC BDCBCD EACAC BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）证明：如图2，在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，由（1）知：△AEC≌△CDB，∴BD=CE，∵∠AEC=60°，∴∠AEF =120°，∵∠AFH ＝120°，∴∠AFE+∠FAE=∠AFE+∠GFH=60°，∴∠FAE=∠GFH，∵∠HGF=∠AEF=120°，AF=FH，∴△HGF≌△FEA（AAS），∴GH=EF，∴CF=EF+CE=HG+BD；（3）解：HG=CF+BD，理由是：如图3，在l 上位于C 点右侧取一点E ，使∠AED=60°，连接AE ，在l 上取一点M ，使BM=BD ，∵∠BDC=60°，∴△BDM 是等边三角形，∴∠BMD=60°，∵∠AED=60°，∴∠AEC=∠CMB=120°，∵∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAE=60°，∴∠CAE=∠BCE ，∵AC=BC ，∴△ACE ≌△CBM （AAS ），∴CE=BM=BD ，由（2）可证△HGF ≌△FEA （AAS ），∴GH=FE ，∵EF=CF+CE∴HG=CF+BD ．故答案为：HG=CF+BD ．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判断，三角形外角的性质等．掌握一线三等角的模型，能借助一线三等角证明对应角相等是解题关键．3．（1）作图见解析；（2）①260α-︒，120α︒-；②FA=FC +FE ，证明见解析；（3）AF=FC-EF ．【分析】（1）先根据轴对称的性质作出线段AC ，再分别以A 、C 为圆心，AC 长为半径画弧，两弧交于点E ，可得等边△ACE ，最后根据题意画出图形即可；（2）①根据轴对称的性质可得∠BAC=2∠BAD=2α，根据等边三角形的性质可知∠EAC=60°，根据角的和差关系即可表示出∠BAE ；根据轴对称的性质和等边三角形的性质可得AB=AE ，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可表示出∠ABE ；②在FA 上截取FG=EF ，连接EG ，利用三角形内角和定理可得∠AFB=60°，即可证明△EFG 是等边三角形，根据角的和差故选可得∠AEG=∠CEF ，利用SAS 可证明△AEG ≌△CEF ，即可得出AG=CF ，根据线段的和差关系即可得结论；（3）由60°＜α＜90°可知点E 在直线l 右侧，根据题意画出图形，在FA 上截取FG=EF ，根据轴对称的性质可得AF ⊥BC ，BF=CF ，根据（2）中结论可得∠FBC=∠FCB=30°，利用三角形外角性质可得∠GFE=60°，可证明三角形EFG 是等边三角形，利用SAS 可证明△AEF ≌△CEG ，可得FA=CG ，根据线段的和差关系即可得答案．【详解】（1）补全图形如下：（2）①260α-︒，120.α︒-①∵AB 、AC 关于直线l 对称，∴∠BAD=∠CAD ，AB=AC ，∵△ACE 是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC=EC ，∵∠BAD=α，∴∠BAC=BAD+∠CAD=2∠BAD=2α，∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=2α-60°．∵AB=AC ，AC=AE ，∴AB=AE ，∴∠ABE=12（180°-∠BAE ）=120°-α．故答案为：2α-60°，120°-α②数量关系是FA =FC +FE ，证明如下：在FA 上截取FG=EF ，连接EG ，由①得，∠ABE=120°-α，∠BAD=α，∴∠AFB=180°-∠ABE-∠BAD=60°，∴△EFG 为等边三角形，∴EG=FE=FG ，∠GEF=60°，∵△AEC 是等边三角形，∴∠AEC=60°，AE=CE ，∴∠AEC=∠GEF=60°，∴∠AEC-∠GEC=∠GEF-∠GEC ，即∠AEG=∠CEF ，在△AEG和△CEF中，EG EFAEG CEF AE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEG≌△CEF，∴AG=FC∴FA=AG+FG=FC+FE，（3）AF=FC-EF．∵60°＜α＜90°，∴如图所示，点E在直线l右侧，在FA上截取FG=EF，连接EG，∵AB、AC关于直线l对称，点F在直线l上，∴AF⊥BC，BF=CF，∴∠ABC=∠ACB=90°-α，由（2）可知∠ABE=120°-α，∴∠FBC=∠FCB=120°-α-（90°-α）=30°，∴∠EFG=∠FBC+∠FCB=60°，∴△EFG是等边三角形，∴∠FEG=60°，∵∠AEC=60°，∴∠AEF+∠AEG=∠CEG+∠AEG=60°，∴∠AEF=∠CEG，在△AEF和△CEG中，EF EGAEF CEG AE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△CEG，∴AF=CG，∴AF=FC-EF．【点睛】本题考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，根据轴对称的性质正确得出对应边并熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．4．（1）4；（2）FG=BF+EG，见解析；（3）FG=BF-EG【分析】（1）解直角三角形分别求出DF，CF即可解决问题．（2）如图2中，结论：FG=BF+EG．在EA上截取EH，使得EH=BF．利用两次全等，证明FG=GH即可解决问题．（3）如图3中，结论：FG=BF-EG．在射线EA上截取EH，使得EH=BF．利用两次全等，证明FG=GH即可解决问题．【详解】（1）∵DE∥BC，∴∠BDE+∠ABC=180°，∵∠BDE=120°，∴∠ABC=60°，∵DF⊥BF，∴∠BFD=90°，∴DF=BF•tan60°133=⨯=，∵∠CDF1=∠BDE=60°，∠DFC=90°，2∴CF=DF•tan60°333=⨯=，∴BC=BF+CF=1+3=4；（2）如图2中，结论：FG=BF+EG．理由：在EA上截取EH，使得EH=BF．∵AB=AC，∠B=∠C，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴∠ADE=∠AED，∴∠DEH=∠B，在△DBF和△DEH中，B DEH BD DE ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBF ≌△DEH （SAS ），∴DF=DH ，∠BDF=∠EDH ，∵∠FDG 12=∠BDE ， ∴∠BDF+∠EDG=∠EDH+∠EDG=∠GDH 12=∠BDE ， ∴∠GDF=∠GDH ，在△DGF 和△DGH 中，DF DH GDF GDH DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DGF ≌△DGH （SAS ），∴FG=HG ，∵HG=EG+HE=EG+BF ，∴FG=BF+EG ；（3）如图3中，结论：FG=BF-EG ．理由：在射线EA 上截取EH ，使得EH=BF ．∵AB=AC ，∠B=∠C ，∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∴∠ADE=∠AED ，∴∠DEH=∠B ，在△DBF 和△DEH 中，B DEH BD DE ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBF ≌△DEH （SAS ），∴DF=DH ，∠BDF=∠EDH ，∴∠BDE=∠FDH ，∵∠FDG 12=∠BDE 12=∠FDH ， ∴∠GDF=∠GDH ，在△DGF 和△DGH 中，DF DH GDF GDH DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DGF ≌△DGH （SAS ），∴FG=HG ，∵HG=HE-GE=BF-EG ，∴FG=BF=-EG ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．5．（1）AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ，证明见解析．【分析】（1）在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ，由三角形全等的判定可证得△ACB ≌△ACF ，根据全等三角形的性质可得BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ，根据三角形全等的判定证得△CEF ≌△CED ，得到EF ＝ED ，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ，根据全等三角形的判定证得△ACB ≌△ACF 和△ECD ≌△ECG ，由全等三角形的性质证得CF ＝CG ，进而证得△CFG 是等边三角形，就有FG ＝CG ＝12BD ，从而可证得结论．【详解】解：（1）如图（1），在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ．∵C 是BD 边的中点，∴BC ＝CD ．∴CF ＝CD ．∵∠ACE ＝90°，∴∠ACB ＋∠DCE ＝90°，∠ACF ＋∠ECF ＝90°．∴∠ECF ＝∠ECD ．在△CEF 和△CED 中，CF CD ECF ECD CE CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△CEF ≌△CED （SAS ）．∴EF ＝ED ．∵AE ＝AF ＋EF ，∴AE ＝AB ＋DE ．故答案为：AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE＋12BD ．证明：如图（2），在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ．∵C 是BD 边的中点，∴CB ＝CD ＝12BD ． ∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴CF ＝CB ，∠BCA ＝∠FCA ．同理可证：△ECD ≌△ECG∴CD ＝CG ，∠DCE ＝∠GCE ．∵CB ＝CD ，∴CG ＝CF ．∵∠ACE ＝120°，∴∠BCA ＋∠DCE ＝180°−120°＝60°．∴∠FCA ＋∠GCE ＝60°．∴∠FCG ＝60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG ＝FC ＝12BD ． ∵AE ＝AF ＋EG ＋FG ， ∴AE ＝AB ＋DE ＋12BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．6．（1）∠BFD ＝60°；（2）BC ＝BD ＋CE ；证明见解析【分析】（1）根据角平分线和外角性质求解即可；（2）在BC 上截取BG ＝BD ，连接FG ，证明△BDF ≌△BGF ，△CGF ≌△CEF ，即可得到结果；【详解】（1）∵BE ，CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BE ，∴ABE CBE ∠=∠，ACD BCD ∠=∠，∵60A ∠=︒，∴120ABC ACB ∠+∠=︒，∴60FBC FCB ∠+∠=︒，∴60DFB ∠=︒．（2）BC ＝BD ＋CE ；证明方法：在BC 上截取BG ＝BD ，连接FG ，在△BDF 和△BGF 中，BD BG DBF GBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△BDF BGFSAS ≅， ∴60DFB BFG ∠=∠=︒，又∵GCF ECF ∠=∠，∴△CGF ≌△CEF （ASA ）,∴CE ＝CG ，∴BC ＝BD ＋CE ．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、外角定理、三角形全等应用，准确分析是解题的关键．7．（1）等腰直角三角形；（2）723）图见解析，135°或45°【分析】（1）要判断以BD 、DE 、EC 为边的三角形形状，根据题干中所给条件，只需证明BD EC =即可；（2）先构造出ABE ADC △≌△，进而判断出CAE 是等腰直角三角形，四边形的面积等于ACE △的面积，由此求出AC ，CE 即可；（3）分情况讨论：①当点D 在ABC 内时，作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，利用全等三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题；②当点D 在ABC 外时，作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，利用全等三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题．【详解】解：（1）222BD CE DE +=，∴以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形， 2DE =，设BD a =，则2DE a =，2222a EC a ∴+=，EC a ∴=，BD EC ∴=，∴以BD 、DE 、EC 为边的三角形的形状是等腰直角三角形．故答案：等腰直角三角形．（2）如图①，延长CB 至E ，使BE CD =，连接AE ，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，180ABC ADC ∴∠+∠=︒，180ABC ABE ∠+∠=︒，ABE ADC ∴∠=∠，在ABE △和ADC 中，,,,AB AD ABE ADC BE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ADC SAS ∴△≌△，AE AC ∴=，BAE DAC ∠=∠，90CAE BAE BAC DAC BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，212ACE S AC ∴=△，四边形ABCD 的面积为32，ACE ABCD S S =△四边形， 21322AC ∴=， 8AC ∴=（负值已舍），282EC AC ∴==，82272BC EC BE ∴=-=-=．图①（3）①画图如图②，③．当点D 在ABC 内时，如图②，过点A 作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ， 90BAC DAE ∠=∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD 和CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴≌，6BD CE ∴==， 242DE==，2CD =，222EC ED CD ∴=+，90EDC ∴∠=︒，45ADE ∠=︒，4590135ADC ∴∠=︒+︒=︒；②当点D 在ABC 外时，如图③，过点A 作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，90BAC DAE ∠=∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD 和CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴≌，6BD CE ∴==，242DE ==，2CD =，222EC ED CD ∴=+，90EDC ∴∠=︒，45ADE ∠=︒，45ADC ∴∠=︒．综上所述，ADC ∠的度数为135°或45°．图② 图③【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．（1）BE DE AE =+；（2）BE DE AE =-，证明见解析；（3）2BE DE AE =-【分析】（1）在射线BM 上截取BF DE =，连接AF ，首先利用菱形的性质证明ADE ABF ≌，然后利用全等三角形的性质及等边三角形的性质得出EF AE =，从而可得出结论BE DE AE =+；（2）在DE 上截取DG BE =，连接AG ，首先利用菱形的性质证明ADG ABE ≌，然后利用全等三角形的性质及等边三角形的性质得出EG AE =，从而可得出结论BE DE AE =-；（3）在DE 上截取DH BE =，连接AH ，首先利用正方形的性质证明ADH ABE △≌，然后利用全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质得出2EH AE =，从而可得出结论2BE DE AE =-．【详解】（1）解：BE DE AE =+；如图①，在射线BM 上截取BF DE =，连接AF ，60DEB DAB ∠=∠=︒，EDA ABE ∴∠=∠．四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=．()ADE ABF SAS ∴△≌△，AE AF ∴=，EAD BAF ∠=∠．60DAB DAF BAF DAF EAD EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．AEF ∴是等边三角形，EF AE ∴=．BE BF EF =+，BE DE AE ∴=+．图①（2）BE DE AE =-．证明：如图②，在DE 上截取DG BE =，连接AG ， 60DEB DAB ∠=∠=︒，EDA ABE ∴∠=∠．四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=．()ADG SAS ∴△≌△ABE ．AE AG ∴=，DAG BAE ∠∠=．60DAB DAG BAG BAE BAG EAG ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒． ∴AEG 是等边三角形．EG AE ∴=．DG DE EG =-，BE DE AE ∴=-；图②（3）2BE DE AE =．如图③，在DE 上截取DH BE =，连接AH ，90DEB DAB ∠=∠=︒，EDA ABE ∴∠=∠．四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=．()ADH ABE SAS ∴△≌△．AE AH ∴=，HAD BAE ∠=∠．90DAB DAH BAH BAE BAH EAH ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒． AEH ∴是等腰直角三角形．2EH AE ∴=．DH DE EH =-，2BE DE ∴=．图③【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形和等边三角形的性质，正方形和菱形的性质，合理的作出辅助线是解题的关键．9．（1）见解析；（2）图2：BH DE DH -=；图3：DE BH DH -=【分析】（1）在线段AH 上截取HM=BH ，连接CM ，CD ，证明△DMC ≌△DEC ，即可可得DE=DM 则结论可得；（2）当点D 在线段BA 延长线上时，在BA 的延长线上截取MH=BH ，连接CM ，DC ，由题意可证△BHC ≌△CHM ，可得∠B=∠CMB ，由题意可得∠B=∠AED ，即可证△DMC ≌△DEC ，可得DE=DM ，则可得DH=BH-DE ；当点D 在线段AB 延长线上时，在线段AB 上截取BH=HM ，连接CM ，CD ，由题意可证△BHC ≌△CHM ，可得∠B=∠CMB ，由题意可得∠B=∠AED ，即可证△DMC ≌△DEC ，可得DE=DM ，则可得DE=DH+BH ．．【详解】解：（1）证明：在AH 上截取HM BH =，连接CM ，CD ．∵CH AB ⊥，HM BH =∴CM BC =．∴B CMB ∠=∠．∵AB AC =∴B ACB ∠=∠．∵//DE BC ，∴ADE B AED ACB ∠=∠=∠=∠，CDE BCD ∠=∠．∴AED BMC ∠=∠．∴DEC DMC ∠=∠．∵BD BC =，∴BDC BCD EDC ∠=∠=∠．∵CD CD =，∴ΔΔCDM CDE ≅．∴DM DE =．∴DE BH DM HM DH +=+=．（2）当点D 在线段BA 延长线上时，DH=BH-DE如图：在BA 的延长线上截取MH=BH ，连接CM ，DC∵AB=AC∠ABC=∠ACB ，∵BD=BC ，∴∠BDC=∠DCB∵DE ∥BC∠E=∠ACB=∠B=∠EDB∵CH=CH ，BH=MH ，∠BHC=∠CHM∴△BHC ≌△CHM∴∠B=∠M∴∠E=∠M∵∠MDC=∠B+∠DCB ，∠EDC=∠BDC+∠EDB∴∠MDC=∠EDC又∵∠E=∠M ，DC=CD∴△DEC ≌△DMC∴DE=DM∵DH=MH-DM∴DH=BH-DE当点D 在线段AB 延长线上时，DE=BH+DH如图在线段AB 上截取BH=HM ，连接CM ，CDBH=HM ，CH=CH ，∠CHB=∠MHC=90°∴△MHC ≌△BHC∴∠ABC=∠BMC∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB ，∵BD=BC∴∠BDC=∠BCD∵BC ∥DE∴∠BCD=∠CDE ，∠ACB=∠AED∴∠BDC=∠CDE ，∠BMC=∠AED ，且CD=CD∴△CDM ≌△CDE∴DE=DM∵DM=DH+HM∴DE=DH+BH ．【点睛】本题考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定．添加恰当的辅助线证全等是本题的关键．10．（1）42AD =2）见解析；（3）MN 的最小值为3．【分析】（1）如图1中，利用等腰三角形的性质可得90ABD ∠=︒，利用平行四边形的性质可得F 为BD 中点，在Rt ABF ∆中，由勾股定理可求得BF ，则可求得AB ，在Rt ABD ∆中，再利用勾股定理可求得AD ；（2）如图2中，在AF 上截取AK HD =，连接BK ，可先证明ABK DBH ∆≅∆，再证明BFK BFH ∆≅∆，可证得结论；（3）连接AN 并延长到Q ，使NQ AN =，连接GQ ，取AD 的中点O ，连接OG ，得到90AGD ∠=︒，于是得到点G 的轨迹是以O 为圆心，以OG 为半径的弧，且4OG =，求得GQ 最小值为6，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【详解】（1）45AB BD BAD =∠=︒,，45BDA BAD ∴∠=∠=︒90ABD∴∠=︒，四边形ABCD是平行四边形，∴当点E与点C重合时，11 22BF BD AB==在Rt ABF中，222AF AB BF=+()()222252BF BF∴=+24BF AB∴==,Rt ABD∴中，42AD=.（2）证明：如图2中，在AF上截取AK HD=，连接BK，23AFD ABF FGD∠=∠+∠=∠+∠，90ABF FGD∠=∠=︒，23∴∠=∠，在ABK和DBH∆中，23AB BDAK HD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABK DBH∴∆≅∆，BK BH∴=，61∠=∠，AK DH=，四边形ABCD是平行四边形，//AD BC∴，41645∴∠=∠=∠=︒，5645ABD∴∠=∠-∠=︒，51∴∠=∠，在FBK∆和FBH∆中，51BF BFBK BH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，FBK FBH∴∆≅∆，KF FH∴=，AF AK KF=+，AF DH FH∴=+；()3解：连接AN并延长到Q，使NQ AN=，连接GQ，取AD的中点O，连接OG，作AK⊥BC，交BC延长线于点K，作QP⊥AD，交AD延长线于点P．∠=︒，AGD90∴点G的轨迹是以O为圆心，以OG为半径的弧，且4OG=，根据△ABD为等腰直角三角形，可得AD=228+=,AB BD∴AO=14AD=，2根据△ABK为等腰直角三角形，可得AK=BK=4，可得QE=PE=4，∴PQ=8，∵BK=4,BN=1，∴KN=5，∴KE=AP=10，∴OP=6，∴=，410OQOG=，∴最小值为6，GQ∆的中位线，MN是AGQ∴的最小值为3．MN【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形．。

人教版全全等三角形截长补短易错题难题测试题试题

人教版全全等三角形截长补短易错题难题测试题试题一、全等三角形截长补短1．已知：在ABC 中，90BAC ︒∠=，AB AC =．将ABC 按如图所示的位置放置在平面直角坐标系中，使得点(0,)A m 落在y 轴的负半轴上，使得点(,0)B n 落在x 轴的正半轴上，点C 在第二象限，并且,m n 满足2268250m n m n ++-+=．（1）由题意可知OA =_____，OB =_____（直接写答案）；（2）求点C 的坐标；（3）ABC 的斜边BC 交y 轴于D ，直角边AC 交x 轴于E ．在AC 上截取AF CE =，连接DF ．探究线段DF AD BE 、、的数量关系并证明你的结论．2．数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD AE =，求证ABE ACD ∠=∠；在此问题的基础上，老师补充：过点A 作AF BE ⊥于点G 交BC 于点F ，过F 作FP CD ⊥交BE 于点P ，交CD 于点H ，试探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，AFB ∠与HFC ∠有某种数量关系；小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：（1）求证ABE ACD ∠=∠；（2）猜想AFB ∠与HFC ∠的数量关系，并证明；（3）探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并证明．3．如图1，在四边形ABCD 中，AC 交BD 于点E ，△ADE 为等边三角形．（1）若点E 为BD 的中点，AD ＝4，CD ＝5，求△BCE 的面积；（2）如图2，若BC ＝CD ，点F 为CD 的中点，求证：AB ＝2AF ；（3）如图3，若AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，点P 为四边形ABCD 内一点，且∠APD ＝90°，连接BP ，取BP 的中点Q ，连接CQ ．当AB ＝62，AD ＝42，tan ∠ABC ＝2时，求CQ ＋1010BQ 的最小值． 4．如图，在ABC 中，AC BC =，AD 平分CAB ∠．（1）如图1，若90ACB =︒，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，若AB AC BD =+，求ACB ∠的度数；（3）如图3，若100ACB ∠=︒，求证：AB AD CD =+．5．已知：线段AB 及过点A 的直线l ，如果线段AC 与线段AB 关于直线l 对称，连接BC 交直线l 于点D ，以AC 为边作等边△ACE ，使得点E 在AC 的下方，作射线BE 交直线l 于点F ，连接CF ．（1）根据题意将图1补全；（2）如图1，如果∠BAD ＝α（30°＜α＜60°）．①∠BAE=_______，∠ABE=_______（用含有α代数式表示）；②用等式表示线段FA ，FE 与FC 的数量关系，并证明．（3）如图2，如果60°＜α＜90°，直接写出线段FA ，FE 与FC 的数量关系，不证明．6．如图，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠<︒，D 是边BC 的中点，以AC 为边作等边三角形ACE ，且ACE △与ABC 在直线AC 的异侧，连接BE 交DA 的延长线于点F ，连接FC 交AE 于点M ．（1）求证：FB FC =；（2）求证：FEA FCA ∠=∠；（3）若8FE =，2AD =，求AF 的长．7．如图，在正方形ABCD 中，点E 迕射线BC 上，连接AE ，作EF AE ⊥，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．（1）若点E 在边BC 的中点处时，AE ________EF （填“＞”“＜”或“=”）（2）若点E 为边BC 上的任意一点（不含点B ，C ），探究此时AE 与EF 的数量关系，并说明理由．（3）若点E 是边BC 延长线上的一点，探究此时AE 与EF 的数量关系，并说明理由． 8．已知等腰ABC ∆中，AB AC =，点D 在直线AB 上，//DE BC ，交直线AC 于点E ，且BD BC =，CH AB ⊥，垂足为H ．+=；（1）当点D在线段AB上时，如图1，求证BH DE DH（2）当点D在线段BA的延长线上时，如图2；当点D在线段AB延长线时，如图3，线段BH，DE，DH又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明．9．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的角平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．10．思维探索：在正方形ABCD中，AB＝4，∠EAF的两边分别交射线CB，DC于点E，F，∠EAF＝45°．（1）如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，△CEF的周长是；（2）如图2，当点E，F分别在CB，DC的延长线上，CF＝2时，求△CEF的周长；拓展提升：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点B作BD⊥BC，连接AD，在BC的延长线上取一点E，使∠EDA＝30°，连接AE，当BD＝2，∠EAD＝45°时，请直接写出线段CE的长度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）3，4；（2）(3,1)C -；（3）BE=DF+AD ，理由见解析【分析】（1）由非负数的性质求出m ，n 即可；（2）如图，作CH ⊥y 轴于点H ，只要证明△ACH ≌△BAO 即可解决问题；（3）在OB 上取一点K ，使得OK=DH ，则△CHD ≌△AOK ，再证明DF=EK ，AD=BK 即可解决问题．【详解】解：（1）∵2268250m n m n ++-+=∴22(3)(4)0m n ++-=,∵2(3)0+≥m ，2(4)0n -≥，∴3,4m n =-=，∴(0,3)A -，(4,0)B∴OA=3，OB=4，故答案为：3，4（2）如图，作CH ⊥y 轴于点H ，∵∠CHA=∠AOB=∠CAB=90°，∴∠CAH+∠ACH=90°，∠CAH+∠BAO=90°，∴∠ACH=∠BAO ，∵AC=BC ，∴△ACH ≌△BAO ，∴AH=OB=4，CH=OA=3，∴OH=1，∴(3,1)C -（3）结论为：BE=DF+AD理由：如图，在OB 上取一点K ，使得OK=DH ，∵CH=OA ，∠CHD=∠AOK=90°，DH=OK ，∴△CHD ≌△AOK （SAS ），∴CD=AK ，∵AD=BK ，AB=AC ，∴△AKB ≌△CDA （SSS ），∴∠KAB=∠ACD=45°，∴∠EAK=45°=∠FCD ，∵CE=AF ，∴CF=AE ，∵CD=AK ，∴△CDF ≌△AKE （SAS ）∴DF=KE ，∵BE=EK+BK ，∴BE=DF+AD【点睛】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、非负数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．2．（1）见解析；（2）HFC BFA ∠=∠，证明见解析；（3）BP AF PF =+，证明见解析【分析】（1）利用SAS 证明ABE ACD ≅可得结论；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，推出=45BFA x ∠︒+，=45HFC x ∠︒+，即可证明HFC BFA ∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，证明△ABE ≌△CAM ，得出BE AM =和M BEA ∠=∠，从而证明△NFC ≌△MFC ，得到FM FN =和M FNC ∠=∠，可得PN=PE ，从而得出BP=AF+PF.【详解】解：（1）∵在△ABE 和△ACD 中，==AB AC A A AE AD ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，ABE ACD ∴∆≅∆（SAS ），ABE ACD ∴∠=∠；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，AF BE ⊥，90BAF x ∴∠=︒-，()=9045=45BFA x x ∴∠︒-︒-︒+，ACD x ∠=，45HCF x ∴∠=︒-，FP CD ⊥，()9045=45HFC x x ∴∠=︒-︒-︒+，HFC BFA ∴∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，90BAF FAC ∠+∠=︒，90BAF ABG ∠+∠=︒，FAC ABG ∴∠=∠，在△ABE 和△CAM 中，===BAE ACM AB AC ABE CAM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩， ABE CAM ∴∆≅∆（ASA ），BE AM ∴=，M BEA ∠=∠，BFA MFC NFC ∠=∠=∠，FC FC =，45ACB BCM ∠=∠=︒，NFC MFC ∴∆≅∆（ASA ），FM FN ∴=，M FNC ∠=∠，FNC BEA ∴∠=∠，PN PE ∴=，∴BP BE PE AM PE AF FM PE =-=-=+-AF FN PN AF PF =+-=+.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度. 3．（1）3923S BCE =△证明见解析（3）CQ 10BQ 的最小值为5【分析】（1）根据点E 是BD 的中点，可得BCE CDE S S =△△ ,在作边CE 的高DF ,根据等边三角形三线合一DF 也是AED 的高，根据勾股定理计算出DF 的长度，在直角三角形DFC 中利用勾股定理计算出CF ,得出CE 的值，利用三角形的面积公式计算出面积．（2）延长AF ,是2AF =AG ,证明ADF CF ≅△△G ,得出CM=AD ，再根据ACD BDC ∠+∠= 60°，得出ACG ∠ =ABE ∠ ,从而证明ABE AMC ≅△△ ,得出AB=AG ，得出结论．（3）根据APD ∠ =90°，知道点P 的运动轨迹是以AD 为直径的圆，圆心记为N ，点Q 是BP 的中点，得到点Q 的运动轨迹是以BN 2 的圆。

专题05用截长补短法构造全等三角形(原卷版)

专题05用截长补短法构造全等三角形【例1】（2020秋•富县期末）如图，AD 是△ABC 的角平分线，AB ＞AC ，求证：AB ﹣AC ＞BD ﹣CD．截长补短法∙截长：1.过某一点作长边的垂线；2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

∙补短：1.延长短边；2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起∙【变式1】（2020秋•顺庆区校级期中）如图：锐角△ABC中，∠C＝2∠B，AD是高，求证：AC+CD＝BD．【变式2】如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，AB＝AC+CD．试判断∠B与∠C之间的关系．【例2】（2017秋•大兴区期末）已知：如图，在△ABC中，D是BA延长线上一点，AE是∠DAC的平分线，P是AE上的一点（点P不与点A重合），连接PB，PC．通过观察，测量，猜想PB+PC与AB+AC之间的大小关系，并加以证明．【变式1】（2020秋•肥西县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠CAB．（1）如图1，若ACB＝90°，求证：AB＝AC+CD；（2）如图2，若AB＝AC+BD，求∠ACB的度数；（3）如图3，若∠ACB＝100°，求证：AB＝AD+CD．【例3】16．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【变式1】（2012•昌平区模拟）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD；（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【变式2】（2021春•北碚区校级期末）如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA＝ED．（1）如图1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求证：EC平分∠BCD；（2）如图2，∠A与∠D互补，∠DEA＝2∠CEB，若凸五边形ABCDE面积为30，且CD＝AB＝4．求点E到BC的距离．【例4】（2019秋•西岗区期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题．方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题．（1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC＝AB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题；（2）如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．【变式1】（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠C．求证：AB+BD＝AC．”李老师给出了如下简要分析：要证AB+BD＝AC，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”．如图2，在AC上截取AE＝AB，连接DE，只要证BD＝即可，这就将证明线段和差问题为证明线段相等问题，只要证出△≌△，得出∠B＝∠AED及BD＝，再证出∠＝，进而得出ED＝EC，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD平分∠BAC，将△ABD沿直线AD 对折，使点B落在AC边上的点E处”成为可能．方法二：“补短法”．如图3，延长AB至点F，使BF＝BD．只要证AF＝AC即可，此时先证∠＝∠C，再证出△≌△，则结论成立．“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．1．已知，如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，求证：AD+BC＝AB．2.（2020秋•綦江区期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F，连接DE．（1）若AC＝BC＝7，求DE的长；（2）求证：BE+CD＝BC．3．（2019秋•四川期中）我们知道，利用三角形全等可以证明两条线段相等．但是我们会碰到这样的“和差”问题：“如图①，AD为△ABC的高，∠ABC＝2∠C，证明：CD＝AB+BD”．我们可以用“截长、补短”的方法将这类问题转化为证明两条线段相等的问题：在CD上截取DE＝BD，连接AE．（1）请补写完这个证明：（2）运用上述方法证明：如图②，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C，证明：BD＝AC﹣AB．4．（2020春•南岸区期末）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．5．（2020秋•增城区期末）如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，4），A（4，4），过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点（1）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE．＝6，求S△BEF的值．（2）如图（2），且∠ECF＝45°，S△ECF。

初二数学全全等三角形截长补短知识点-+典型题附解析

初二数学全全等三角形截长补短知识点-+典型题附解析一、全等三角形截长补短1．如图1，在ABC 中，AB AC =，AC 平分BCD ∠，连接BD ，2ABD CBD ∠=∠，BDC ABD ACD ∠=∠+∠．（1）求A ∠的度数：（2）如图2，连接AD ，AE AD ⊥交BC 于E ，连接DE ，求证：DEC BAE ∠=∠；（3）如图3，在（2）的条件下，点G 为CE 的中点，连接AG 交BD 于点F ，若32ABC S =△，求线段AF 的长．2．已知：线段AB 及过点A 的直线l ，如果线段AC 与线段AB 关于直线l 对称，连接BC 交直线l 于点D ，以AC 为边作等边△ACE ，使得点E 在AC 的下方，作射线BE 交直线l 于点F ，连接CF ．（1）根据题意将图1补全；（2）如图1，如果∠BAD ＝α（30°＜α＜60°）．①∠BAE=_______，∠ABE=_______（用含有α代数式表示）；②用等式表示线段FA ，FE 与FC 的数量关系，并证明．（3）如图2，如果60°＜α＜90°，直接写出线段FA ，FE 与FC 的数量关系，不证明．3．通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．（解决问题）如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF BE DF =+，试说明理由．证明：延长CD 到G ，使DG BE =，在ABE △与ADG 中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ABE ADG ≌理由：（SAS ）进而证出：AFE △≌___________，理由：（__________）进而得EF BE DF =+．（变式探究）如图，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足等量关系________________时，仍有EF BE DF =+．请证明你的猜想．（拓展延伸）如图，若AB AD =，90≠︒∠BAD ，45EAF ∠≠︒，但12EAF BAD ∠=∠，90B D ∠=∠=︒，连接EF ，请直接写出EF 、BE 、DF 之间的数量关系．4．如图，ABC ∆中，BE ，CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BE ，CD 相交于点F ，60A ∠=︒．（1）求BFD ∠的度数；（2）判断BC ，BD ，CE 之间的等量关系，并证明你的结论．5．（1）如图①，Rt ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 为BC 边上的一点，将ABD △绕点A 逆时针旋转90°至ACF ，作AE 平分DAF ∠交BC 于点E ，易证明：222BD CE DE +=．若2DE BD =，则以BD 、DE 、EC 为边的三角形的形状是______；（2）如图②，四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，AB AD =，若四边形ABCD 的面积是32，2CD =，求BC 的长度；（3）ABC 是以BC 为底的等腰直角三角形，点D 是ABC 所在平面内一点，且满足4=AD ，6BD =，2CD =，请画草图并求ADC ∠的度数．6．已知等腰ABC ∆中，AB AC =，点D 在直线AB 上，//DE BC ，交直线AC 于点E ，且BD BC =，CH AB ⊥，垂足为H ．+=；（1）当点D在线段AB上时，如图1，求证BH DE DH（2）当点D在线段BA的延长线上时，如图2；当点D在线段AB延长线时，如图3，线段BH，DE，DH又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明．7．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD．求证：EF=BE+FD．∠EAF=128．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．9．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=AD，E为对角线AC上一点，∠BEC=∠BAD=2∠DEC，探究AB与BC的数量关系．某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：小柏：“通过观察和度量，发现∠ACB=∠ABE”；小源：“通过观察和度量，AE和BE存在一定的数量关系”；小亮：“通过构造三角形全等，再经过进一步推理，就可以得到线段AB 与BC 的数量关系”．……老师：“保留原题条件，如图2， AC 上存在点F ，使DF =CF =k AE ，连接DF 并延长交BC 于点G ，求AB FG的值”．（1）求证：∠ACB =∠ABE ；（2）探究线段AB 与BC 的数量关系，并证明；（3）若DF =CF =k AE ，求AB FG的值（用含k 的代数式表示）． 10．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．（1）求出AFC ∠的度数；（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）90A ∠=︒；（2）见解析；（3）4【分析】（1）设.DBC x ∠=推出2ABC x ∠=，3ABC ACB ACD x ∠=∠=∠=，5D x ∠=，利用三角形内角和定理构建方程求出x 即可；（2）先依据ASA 证明BEA CDA △≌△，再依据全等三角形的性质得到AE AD =，结合AE AD ⊥，依据三角形内角和求出45AED ∠=︒,再依据三角形外角的性质及等式的基本性质即可求证；（3）根据直角三角形的面积公式求出AB ，延长AG 至K ，使GK AG =，连接CK ，先依据SAS 证明AEG KCG △≌△，结合等量代换得到AE KC AD ==，ACK BAD ∠=∠，再依据SAS 证明AKC BDA △≌△，依据全等的性质求得CAG ABD ∠=∠215=⨯︒30=︒，从而得到60BAF ∠=︒，继而得到90AFB ∠=︒，最后依据直角三角形30度角的性质解决问题．【详解】()1解：如图1中，设DBC x ∠=．2ABD DBC ∠=∠，AB AC =，2ABD x ∴∠=，3ABD ACB x ∠=∠=， AC 平分BCD ∠，3ACD ACB x ∴∠=∠=，26DCB ACB x ∠=∠=,5D ABD ACD x ∠=+∠=，又∵在BCD ∆中，180D DBC DCB ∠+∠+∠=︒，56180x x x ∴++=︒，15x ∴=︒，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，30ABD ∠=︒，180454590A ∴∠=︒-︒-︒=︒；（2）AE AD ⊥,90EAD ∴∠=︒,90BAC EAD ∠=∠=︒,BAC EAC EAD EAC ∴∠-∠=∠-∠,BAE CAD ∴∠=∠,=345ABE x ACD ∠=︒=∠，AB AC =()BEA CDA ASA ∴△≌△AE AD ∴=，又∵90EAD ∠=︒,∴45AED ADE ∠=∠=︒又AEC ABE BAE AED DEC ∠=∠+∠=∠+∠，DEC BAE ∴∠=∠；（3）延长AG 至K ，使GK AG =，连接CK点G 为CE 的中点，EG CG ∴=，AGE KGC ∠=∠，()AEG KCG SAS ∴△≌△，AE KC ∴=，AEG KCG ∠=∠，AE KC AD ∴==，45ACK ACB KCG AEC ∠=∠+∠=︒+∠4590ABE BAE BAE BAD =︒+∠+∠=︒+∠=∠AB AC =()AKC BDA SAS ∴△≌△21530CAG ABD ∠=∠=⨯︒=︒60BAF ∴∠=︒90AFB ∴∠=︒32ABC S =211=3222AB AC AB ∴⨯= 8AB ∴=142AF AB ∴==．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，第（1）问的关键在于设未知数，列方程；第（2）问的关键得到了等腰直角三角形和利用三角形的外角性质建立起了两个待证量之间的等式；第（3）问的关键在于作辅助线证明了30CAG ∠=︒.2．（1）作图见解析；（2）①260α-︒，120α︒-；②FA=FC +FE ，证明见解析；（3）AF=FC-EF ．【分析】（1）先根据轴对称的性质作出线段AC ，再分别以A 、C 为圆心，AC 长为半径画弧，两弧交于点E ，可得等边△ACE ，最后根据题意画出图形即可；（2）①根据轴对称的性质可得∠BAC=2∠BAD=2α，根据等边三角形的性质可知∠EAC=60°，根据角的和差关系即可表示出∠BAE ；根据轴对称的性质和等边三角形的性质可得AB=AE ，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可表示出∠ABE ； ②在FA 上截取FG=EF ，连接EG ，利用三角形内角和定理可得∠AFB=60°，即可证明△EFG 是等边三角形，根据角的和差故选可得∠AEG=∠CEF ，利用SAS 可证明△AEG ≌△CEF ，即可得出AG=CF ，根据线段的和差关系即可得结论；（3）由60°＜α＜90°可知点E 在直线l 右侧，根据题意画出图形，在FA 上截取FG=EF ，根据轴对称的性质可得AF ⊥BC ，BF=CF ，根据（2）中结论可得∠FBC=∠FCB=30°，利用三角形外角性质可得∠GFE=60°，可证明三角形EFG 是等边三角形，利用SAS 可证明△AEF ≌△CEG ，可得FA=CG ，根据线段的和差关系即可得答案．【详解】（1）补全图形如下：（2）①260α-︒，120.α︒-①∵AB 、AC 关于直线l 对称，∴∠BAD=∠CAD ，AB=AC ，∵△ACE 是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC=EC ，∵∠BAD=α，∴∠BAC=BAD+∠CAD=2∠BAD=2α，∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=2α-60°．∵AB=AC ，AC=AE ，∴AB=AE ，∴∠ABE=12（180°-∠BAE ）=120°-α．故答案为：2α-60°，120°-α②数量关系是FA =FC +FE ，证明如下：在FA 上截取FG=EF ，连接EG ，由①得，∠ABE=120°-α，∠BAD=α，∴∠AFB=180°-∠ABE-∠BAD=60°，∴△EFG 为等边三角形，∴EG=FE=FG ，∠GEF=60°，∵△AEC 是等边三角形，∴∠AEC=60°，AE=CE ，∴∠AEC=∠GEF=60°，∴∠AEC-∠GEC=∠GEF-∠GEC ，即∠AEG=∠CEF ，在△AEG 和△CEF 中，EG EF AEG CEF AE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEG ≌△CEF ，∴AG=FC∴FA=AG+FG=FC+FE ，（3）AF=FC-EF ．∵60°＜α＜90°，∴如图所示，点E 在直线l 右侧，在FA 上截取FG=EF ，连接EG ，∵AB 、AC 关于直线l 对称，点F 在直线l 上，∴AF ⊥BC ，BF=CF ，∴∠ABC=∠ACB=90°-α，由（2）可知∠ABE=120°-α，∴∠FBC=∠FCB=120°-α-（90°-α）=30°，∴∠EFG=∠FBC+∠FCB=60°，∴△EFG 是等边三角形，∴∠FEG=60°，∵∠AEC=60°，∴∠AEF+∠AEG=∠CEG+∠AEG=60°，∴∠AEF=∠CEG ，在△AEF 和△CEG 中，EF EG AEF CEG AE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△CEG ，∴AF=CG ，∴AF=FC-EF ．【点睛】本题考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，根据轴对称的性质正确得出对应边并熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．3．（1）AFE AFG △≌△，理由：SAS ；（2）180B D ∠+∠=︒，证明见解析；（3）BE+DF=EF ．【分析】（1）在前面已证的基础上，得出结论AE AG =，进而证明AFE AFG △≌△，从而得出结论；（2）利用“解决问题”中的思路，同样去构造AFE AFG △≌△即可；（3）利用前面两步的思路，证明全等得出结论即可．【详解】（1）ABE ADG ≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，45EAF ∠=︒，45FAG ∴∠=︒，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；（2）满足180B D ∠+∠=︒即可，证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =，180B ADF ∠+∠=︒，180ADF ADG ∠+∠=︒，B ADG ∴∠=∠，在ABE △与ADG 中，AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS ∴≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，45EAF ∠=︒，45FAG ∴∠=︒，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；（3）BE+DF=EF ．证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =，在ABE △与ADG 中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS ∴≌，,AE AG BAE DAG ∴=∠=∠，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠， 12EAF BAD ∠=∠，12FAG EAD FAE ∴∠=∠=∠，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；．【点睛】本题考查了截长补短的方法构造全等三角形，能够理解前面介绍的方法并继续探究是解决问题的关键．4．（1）∠BFD ＝60°；（2）BC ＝BD ＋CE ；证明见解析【分析】（1）根据角平分线和外角性质求解即可；（2）在BC 上截取BG ＝BD ，连接FG ，证明△BDF ≌△BGF ，△CGF ≌△CEF ，即可得到结果；【详解】（1）∵BE ，CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BE ，∴ABE CBE ∠=∠，ACD BCD ∠=∠，∵60A ∠=︒，∴120ABC ACB ∠+∠=︒，∴60FBC FCB ∠+∠=︒，∴60DFB ∠=︒．（2）BC ＝BD ＋CE ；证明方法：在BC 上截取BG ＝BD ，连接FG ，在△BDF 和△BGF 中，BD BG DBF GBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△BDF BGFSAS ≅， ∴60DFB BFG ∠=∠=︒，又∵GCF ECF ∠=∠，∴△CGF ≌△CEF （ASA ）,∴CE ＝CG ，∴BC ＝BD ＋CE ．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、外角定理、三角形全等应用，准确分析是解题的关键．5．（1）等腰直角三角形；（2）723）图见解析，135°或45°【分析】（1）要判断以BD 、DE 、EC 为边的三角形形状，根据题干中所给条件，只需证明BD EC =即可；（2）先构造出ABE ADC △≌△，进而判断出CAE 是等腰直角三角形，四边形的面积等于ACE △的面积，由此求出AC ，CE 即可；（3）分情况讨论：①当点D 在ABC 内时，作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，利用全等三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题；②当点D 在ABC 外时，作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，利用全等三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题．【详解】解：（1）222BD CE DE +=，∴以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形， 2DE =，设BD a =，则DE =，2222a EC a ∴+=，EC a ∴=，BD EC ∴=，∴以BD 、DE 、EC 为边的三角形的形状是等腰直角三角形．故答案：等腰直角三角形．（2）如图①，延长CB 至E ，使BE CD =，连接AE ，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，180ABC ADC ∴∠+∠=︒，180ABC ABE ∠+∠=︒，ABE ADC ∴∠=∠，在ABE △和ADC 中，,,,AB AD ABE ADC BE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ADC SAS ∴△≌△，AE AC ∴=，BAE DAC ∠=∠，90CAE BAE BAC DAC BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，212ACE S AC ∴=△，四边形ABCD 的面积为32，ACE ABCD S S =△四边形，21322AC ∴=， 8AC ∴=（负值已舍），EC ∴==BC EC BE ∴=-==图①（3）①画图如图②，③．当点D 在ABC 内时，如图②，过点A 作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ， 90BAC DAE ∠=∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD 和CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴≌，6BD CE ∴==， 242DE ==2CD =，222EC ED CD ∴=+，90EDC ∴∠=︒，45ADE ∠=︒，4590135ADC ∴∠=︒+︒=︒；②当点D 在ABC 外时，如图③，过点A 作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，90BAC DAE ∠=∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD 和CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴≌，6BD CE ∴==， 242DE ==2CD =，222EC ED CD ∴=+，90EDC ∴∠=︒，45ADE ∠=︒，45ADC ∴∠=︒．综上所述，ADC ∠的度数为135°或45°．图② 图③【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．6．（1）见解析；（2）图2：BH DE DH -=；图3：DE BH DH -=【分析】（1）在线段AH 上截取HM=BH ，连接CM ，CD ，证明△DMC ≌△DEC ，即可可得DE=DM 则结论可得；（2）当点D 在线段BA 延长线上时，在BA 的延长线上截取MH=BH ，连接CM ，DC ，由题意可证△BHC ≌△CHM ，可得∠B=∠CMB ，由题意可得∠B=∠AED ，即可证△DMC ≌△DEC ，可得DE=DM ，则可得DH=BH-DE ；当点D 在线段AB 延长线上时，在线段AB 上截取BH=HM ，连接CM ，CD ，由题意可证△BHC ≌△CHM ，可得∠B=∠CMB ，由题意可得∠B=∠AED ，即可证△DMC ≌△DEC ，可得DE=DM ，则可得DE=DH+BH ．．【详解】解：（1）证明：在AH 上截取HM BH =，连接CM ，CD ．∵CH AB ⊥，HM BH =∴CM BC =．∴B CMB ∠=∠．∵AB AC =∴B ACB ∠=∠．∵//DE BC ，∴ADE B AED ACB ∠=∠=∠=∠，CDE BCD ∠=∠．∴AED BMC ∠=∠．∴DEC DMC ∠=∠．∵BD BC =，∴BDC BCD EDC ∠=∠=∠．∵CD CD =，∴ΔΔCDM CDE ≅．∴DM DE =．∴DE BH DM HM DH +=+=．（2）当点D 在线段BA 延长线上时，DH=BH-DE如图：在BA 的延长线上截取MH=BH ，连接CM ，DC∵AB=AC∠ABC=∠ACB ，∵BD=BC ，∴∠BDC=∠DCB∵DE ∥BC∠E=∠ACB=∠B=∠EDB∵CH=CH ，BH=MH ，∠BHC=∠CHM∴△BHC ≌△CHM∴∠B=∠M∴∠E=∠M∵∠MDC=∠B+∠DCB ，∠EDC=∠BDC+∠EDB∴∠MDC=∠EDC又∵∠E=∠M ，DC=CD∴△DEC≌△DMC∴DE=DM∵DH=MH-DM∴DH=BH-DE当点D在线段AB延长线上时，DE=BH+DH如图在线段AB上截取BH=HM，连接CM，CDBH=HM，CH=CH，∠CHB=∠MHC=90°∴△MHC≌△BHC∴∠ABC=∠BMC∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB，∵BD=BC∴∠BDC=∠BCD∵BC∥DE∴∠BCD=∠CDE，∠ACB=∠AED∴∠BDC=∠CDE，∠BMC=∠AED，且CD=CD∴△CDM≌△CDE∴DE=DM∵DM=DH+HM∴DE=DH+BH．【点睛】本题考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定．添加恰当的辅助线证全等是本题的关键．7．证明见解析．【分析】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．先说明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得△AEG≌△AEF，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答．【详解】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵∠ABG =∠ABC =∠D =90°，AB =AD ，∴△ABG ≌△ADF ．∴AG =AF ，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF =12∠BAD ． ∴∠GAE =∠EAF ．又∵AE =AE ，∴△AEG ≌△AEF ．∴EG =EF ．∵EG =BE +BG ．∴EF =BE +FD【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 8．见解析【分析】在AB 上找到F 使得AF ＝AD ，易证△AEF ≌△AED ，可得AF ＝AD ，∠AFE ＝∠D ，根据平行线性质可证∠C ＝∠BFE ，即可证明△BEC ≌△BEF ，可得BF ＝BC ，即可解题．【详解】证明：在AB 上找到F 使得AF ＝AD ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠EAD ＝∠EAF ，∵在△AEF 和△AED 中，AD AF EAD EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AED ，（SAS ）∴AF ＝AD ，∠AFE ＝∠D ，∵AD ∥BC ，∴∠D ＋∠C ＝180°，∵∠AFE ＋∠BFE ＝180°∴∠C ＝∠BFE ，∵BE 平分∠BAD ，∴∠FBE ＝∠C ，∵在△BEC 和△BEF 中，BFE C FBE CBE BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△BEF ，（AAS ）∴BF ＝BC ，∵AB ＝AF ＋BF ，∴AB ＝AD ＋BC ，即AD ＝AB ﹣BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AED 和△BEC ≌△BEF 是解题的关键．9．（1）见解析；（2）CB=2AB ；（3）AB FG = 【分析】（1）利用平行线的性质以及角的等量代换求证即可；（2）在BE 边上取点H ，使BH=AE ，可证明△ABH ≌△DAE ，△ABE ∽△ACB ，利用相似三角形的性质从而得出结论；（3）连接BD 交AC 于点Q ，过点A 作AK ⊥BD 于点K ，得出12AD DK CB DB ==，通过证明△ADK ∽△DBC 得出∠BDC=∠AKD=90°，再证DF=FQ ，设AD=a ，因此有DF=FC=QF=ka ，再利用相似三角形的性质得出AC=3ka，AB =，1122FG DF ka ==，从而得出答案．【详解】解：（1）∵∠BAD=∠BEC∠BAD=∠BAE+∠EAD∠BEC=∠ABE+BAE∴∠EAD=∠ABE∵AD ∥BC∴∠EAD=∠ACB∴∠ACB=∠ABE（2）在BE 边上取点H ，使BH=AE∵AB=AD∴△ABH ≌△DAE∴∠AHB=∠AED∵∠AHB+∠AHE=180°∠AED+∠DEC=180°∴∠AHE=∠DEC∵∠BEC=2∠DEC∠BEC=∠HAE+∠AHE∴∠AHE=∠HAE∴AE=EH∴BE=2AE∵∠ABE=∠ACB∠BAE=∠CAB∴△ABE ∽△ACB ∴EB AE CB AB= ∴CB=2AB ；（3）连接BD 交AC 于点Q ，过点A 作AK ⊥BD 于点K∵AD=AB∴12DK BD = ∠AKD=90°∵12AB AD BC == ∴12AD DK CB DB == ∵AD ∥BC∴∠ADK=∠DBC∴△ADK ∽△DBC∴∠BDC=∠AKD=90°∵DF=FC∴∠FDC=∠DFC∵∠BDC=90°∴∠FDC+∠QDF=90°∠DQF+∠DCF=90°∴DF=FQ设AD=a∴DF=FC=QF=ka∵AD ∥BC∴∠DAQ=∠QCB∠ADQ=∠QBC∴△AQD ∽△CQB ∴12AD QA BC CQ== ∴AQ=ka=QF=CF∴AC=3ka∵△ABE ∽△ACB ∴AE AB AB AC= ∴AB =同理△AFD ∽△CFG12DF AF FG FC == ∴1122FG DF ka ==AB FG = 【点睛】本题是一道关于相似的综合题目，难度较大，根据题目作出合适的辅助线是解此题的关键，解决此题还需要较强的数形结合的能力以及较强的计算能力．10．（1）∠AFC ＝120°；（2）FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由见解析；（3）AC ＝AE+CD ．理由见解析．【分析】（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC ，∠ACF 即可解决问题;（2）根据在图2的 AC 上截取CG=CD ，证得△CFG ≌△CFD (SAS),得出DF= GF ；再根据ASA 证明△AFG ≌△AFE ，得EF=FG ，故得出EF=FD ；（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC 上截取AG=AE ，证得△EAF ≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA ；再根据ASA 证明△FDC ≌△FGC ，得CD=CG 即可解决问题．【详解】（1）解：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠BAC ＝90°﹣60°＝30°，∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，∴∠FAC ＝15°，∠FCA ＝45°，∴∠AFC ＝180°﹣（∠FAC+∠ACF ）＝120°（2）解：FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由：如图2，在AC 上截取CG ＝CD ，∵CE 是∠BCA 的平分线，∴∠DCF ＝∠GCF ，在△CFG 和△CFD 中，CG CD DCF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CFG ≌△CFD （SAS ），∴DF ＝GF ．∠CFD ＝∠CFG由（1）∠AFC ＝120°得，∴∠CFD ＝∠CFG ＝∠AFE ＝60°，∴∠AFG ＝60°，又∵∠AFE ＝∠CFD ＝60°，∴∠AFE ＝∠AFG ，在△AFG 和△AFE 中，AFE AFG AF AFEAF GAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AFG ≌△AFE （ASA ），∴EF ＝GF ，∴DF ＝EF ；（3）结论：AC ＝AE+CD ．理由：如图3，在AC 上截取AG ＝AE ，同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12×120°=120°，∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，∴∠CFG＝∠CFD＝60°，同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），∴CD＝CG，∴AC＝AG+CG＝AE+CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．。

全等三角形专题截长补短法

全等三角形专题截长补短法(总1页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除2 全等三角形的截长补短法(1)板块一、截长补短【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?【例3】 (“希望杯”竞赛试题)如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( )A . aB . kC . 2k h + D . h 【例4】已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .【例5】以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．【例6】 (北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例7】如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例8】五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE。

初中数学上册【截长补短构造全等】专题练习

初中数学上册【截长补短构造全等】专题练习【一】如图，中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC解：（截长法）在AB上取中点F，连FD△ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知DF⊥AB，故∠AFD＝90°△ADF≌△ADC （SAS）∠ACD＝∠AFD＝90°即：CD⊥AC【二】如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC解：（截长法）在AB上取点F，使AF＝AD，连FE△ADE≌△AFE（SAS）∠ADE＝∠AFE，∠ADE+∠BCE＝180°∠AFE+∠BFE＝180°故∠ECB＝∠EFB△FBE≌△CBE（AAS）故有BF ＝BC从而;AB＝AD+BC【三】如图，已知在△ABC内，∠BAC=60°，∠C=40°，P，Q分别在BC，CA 上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BP解：（补短法, 计算数值法）延长AB至D，使BD＝BP，连DP，则∠D=∠5．∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C，∴QB=QC，又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，∴∠D=40°．在△APD与△APC中，∠D=∠D=C，∠1=∠2，AP=AP，∴△APD≌△APC（AAS），∴AD=AC．∴AB+BD=AQ+QC，∴AB+BP=BQ+AQ．【四】已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE上截取AM=AD，连接CM∵AC平分∠BAD∴∠1=∠2在△AMC和△ADC中，AC=AC，∠1=∠2，AD=AM∴△AMC≌△ADC（SAS）∴∠3=∠D∵∠B+∠D=180°，∠3+∠4=180°，∴∠4=∠B∴CM=CB∵CE⊥AB∴ME=EB（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合）∵AE=AM+ME∴AE=AD+BE【五】如图已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE证明：延长BE交AC于M∵BE⊥AE，∴∠AEB=∠AEM=90°在△ABE中，∵∠1+∠3+∠AEB=180°，∴∠3=90°-∠1同理，∠4=90°-∠2∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴AB=AM∵BE⊥AE，∴BM=2BE，∴AC-AB=AC-AM=CM，∵∠4是△BCM的外角∴∠4=∠5+∠C∵∠ABC=3∠C，∴∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5∴3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C∴∠5=∠C∴CM=BM∴AC-AB=BM=2BE。

初中数学全全等三角形截长补短知识点-+典型题及答案

初中数学全全等三角形截长补短知识点-+典型题及答案一、全等三角形截长补短1．已知ABC 是等边三角形，6AB =．（1）如图1，点M 是BC 延长线上一点，60AMN ∠=︒，MN 交ABC 的外角平分线于点N ，求CN CM -的值；（2）如图2，过点A 作AD BC ⊥于点D ，点P 是直线AD 上一点，以CP 为边，在CP 的下方作等边CPQ ，连接DQ ，求DQ 的最小值．2．数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD AE =，求证ABE ACD ∠=∠；在此问题的基础上，老师补充：过点A 作AF BE ⊥于点G 交BC 于点F ，过F 作FP CD ⊥交BE 于点P ，交CD 于点H ，试探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，AFB ∠与HFC ∠有某种数量关系；小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：（1）求证ABE ACD ∠=∠；（2）猜想AFB ∠与HFC ∠的数量关系，并证明；（3）探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并证明．3．如图1，在ABC 中，AB AC =，AC 平分BCD ∠，连接BD ，2ABD CBD ∠=∠，BDC ABD ACD ∠=∠+∠．（1）求A ∠的度数：（2）如图2，连接AD ，AE AD ⊥交BC 于E ，连接DE ，求证：DEC BAE ∠=∠；（3）如图3，在（2）的条件下，点G 为CE 的中点，连接AG 交BD 于点F ，若32ABC S =△，求线段AF 的长．4．阅读题：如图1，OM 平分AOB ∠，以O 为圆心任意长为半径画弧，交射线OA ，OB 于C ，D 两点，在射线OM 上任取一点E （点O 除外），连接CE ，DE ，可证OCE ODE △△≌，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：（1）如图2，在ABC 中，2A B ∠=∠，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，试判断BC 与AC 、AD 之间的数量关系；（2）如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，20AB =，8AD =，求ABC 的面积．5．在△ABC 中，AB =AC ，点D 与点E 分别在AB 、AC 边上，DE //BC ，且DE =DB ，点F 与点G 分别在BC 、AC 边上，∠FDG 12=∠BDE ．（1）如图1，若∠BDE =120°，DF ⊥BC ，点G 与点C 重合，BF =1，直接写出BC = ；（2）如图2，当G 在线段EC 上时，探究线段BF 、EG 、FG 的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当G 在线段AE 上时，直接写出线段BF 、EG 、FG 的数量关系：_____________．6．已知等边三角形ABC ，D 为△ABC 外一点，BDC 120∠=︒，BD=DC ，MDN 60∠=︒，射线DM 与直线AB 相交于点M ，射线DN 与直线AC 相交于点N ．（1）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，直接写出BM 、NC 、MN 之间的数量关系；（2）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM ≠DN 时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明；（3）当点M 、N 在边AB 、CA 的延长线上时，请画出图形，并求出BM 、NC 、MN 之间的数量关系．7．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD ，以D 为顶点作MDN ∠，交边AC ，BC 于点M ，N ．（1）如图（1），若30ACD ∠=︒，60MDN ∠=︒，当MDN ∠绕点D 旋转时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），当90ACD MDN ∠+∠=︒时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图（3），在（2）的条件下，若将M ，N 分别改在CA ，BC 的延长线上，完成图（3），其余条件不变，则AM ，MN ，BN 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）．8．在菱形ABCD 中，射线BM 从对角线BD 所在的位置开始绕着点B 逆时针旋转，旋转角为()0180αα︒<<︒，点E 在射线BM 上，DEB DAB ∠=∠．（1）当60DAB ∠=︒时，BM 旋转到图①的位置，线段BE ，DE ，AE 之间的数量关系是______；（2）在（1）的基础上，当BM 旋转到图②的位置时，探究线段BE ，DE ，AE 之间的数量关系，并证明；（3）将图②中的60DAB ∠=︒改为90DAB ∠=︒，如图③，其他条件不变，请直接写出线段BE ，DE ，AE 之间的数量关系．9．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D =90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ．求证：EF =BE +FD ．10．如图所示，平行四边形ABCD 和平行四边形CDEF 有公共边CD ，边AB 和EF 在同一条直线上，AC ⊥CD 且AC=AF ，过点A 作AH ⊥BC 交CF 于点G ，交BC 于点H ，连接EG ．（1）若AE=2，CD=5，则△BCF 的面积为；△BCF 的周长为；（2）求证：BC=AG+EG ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）6；（2）32【分析】（1）在CN 上截取点H ，使CH=CM ，先证出△CMH 为等边三角形，然后利用ASA 证出△AMC ≌△NMH ，从而得出AC=NH ，从而求出结论；（2）连接BQ ，利用SAS 证出△QCB ≌△PCA ，从而得出∠CBQ=∠CAP ，然后根据三线合一和等量代换即可求出∠CBQ=30°、∠ABQ =90°，从而判断出点Q 的运动轨迹，然后根据垂线段最短即可得出当DQ ⊥BQ 时，DQ 最短，然后利用30°所对的直角边是斜边的一半即可得出结论．【详解】解：（1）在CN 上截取点H ，使CH=CM ，连接MH∵△ABC 为等边三角形∴∠ACB=60°，AC=AB=6∴∠ACM=180°－∠ACB=120°∵CN 平分∠ACM∴∠MCN=12∠ACM=60° ∴△CMH 为等边三角形 ∴CM=HM ，∠CMH=∠CHM=60°∴∠NHM=180°－∠CHM=120°，∠AMC ＋∠AMH=60°∴∠ACM=∠NHM∵60AMN ∠=︒∴∠NMH ＋∠AMH=60°∴∠AMC=∠NMH在△AMC 和△NMH 中AMC NMH CM HMACM NHM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AMC ≌△NMH∴AC=NH∴CN CM -=CN －CH=NH=AC=6（2）连接BQ∵△ABC 和△CPQ 都是等边三角形∴BC=AC ，QC=PC ，∠PCQ =∠ACB=∠ABC=∠BAC =60°∴∠PCQ －∠PCB=∠ACB －∠PCB∴∠QCB=∠PCA在△QCB 和△PCA 中BC AC QCB PCA QC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QCB ≌△PCA∴∠CBQ=∠CAP∵AD BC ⊥∴∠CAP=12∠BAC=30°，BD=12BC=3 ∴∠CBQ=30°∴∠ABQ=∠ABC ＋∠CBQ=90°∴点Q 在过点B 作AB 的垂线上运动根据垂线段最短可得：当DQ ⊥BQ 时，DQ 最短此时在Rt △BDQ 中，∠QBD=30°∴DQ=12BD=32即DQ 的最小值为32．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、直角三角形的性质和垂线段最短的应用，掌握构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、30°所对的直角边是斜边的一半和垂线段最短是解决此题的关键． 2．（1）见解析；（2）HFC BFA ∠=∠，证明见解析；（3）BP AF PF =+，证明见解析【分析】（1）利用SAS 证明ABE ACD ≅可得结论；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，推出=45BFA x ∠︒+，=45HFC x ∠︒+，即可证明HFC BFA ∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，证明△ABE ≌△CAM ，得出BE AM =和M BEA ∠=∠，从而证明△NFC ≌△MFC ，得到FM FN =和M FNC ∠=∠，可得PN=PE ，从而得出BP=AF+PF.【详解】解：（1）∵在△ABE 和△ACD 中，==AB AC A A AE AD ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，ABE ACD ∴∆≅∆（SAS ），ABE ACD ∴∠=∠；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，AF BE ⊥，90BAF x ∴∠=︒-，()=9045=45BFA x x ∴∠︒-︒-︒+，ACD x ∠=，45HCF x ∴∠=︒-，FP CD ⊥，()9045=45HFC x x ∴∠=︒-︒-︒+，HFC BFA ∴∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，90BAF FAC ∠+∠=︒，90BAF ABG ∠+∠=︒，FAC ABG ∴∠=∠，在△ABE 和△CAM 中，===BAE ACM AB AC ABE CAM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩， ABE CAM ∴∆≅∆（ASA ），BE AM ∴=，M BEA ∠=∠，BFA MFC NFC ∠=∠=∠，FC FC =，45ACB BCM ∠=∠=︒，NFC MFC ∴∆≅∆（ASA ），FM FN ∴=，M FNC ∠=∠，FNC BEA ∴∠=∠，PN PE ∴=，∴BP BE PE AM PE AF FM PE =-=-=+-AF FN PN AF PF =+-=+.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度. 3．（1）90A ∠=︒；（2）见解析；（3）4【分析】（1）设.DBC x ∠=推出2ABC x ∠=，3ABC ACB ACD x ∠=∠=∠=，5D x ∠=，利用三角形内角和定理构建方程求出x 即可；（2）先依据ASA 证明BEA CDA △≌△，再依据全等三角形的性质得到AE AD =，结合AE AD ⊥，依据三角形内角和求出45AED ∠=︒,再依据三角形外角的性质及等式的基本性质即可求证；（3）根据直角三角形的面积公式求出AB ，延长AG 至K ，使GK AG =，连接CK ，先依据SAS 证明AEG KCG △≌△，结合等量代换得到AE KC AD ==，ACK BAD ∠=∠，再依据SAS 证明AKC BDA △≌△，依据全等的性质求得CAG ABD ∠=∠215=⨯︒30=︒，从而得到60BAF ∠=︒，继而得到90AFB ∠=︒，最后依据直角三角形30度角的性质解决问题．【详解】()1解：如图1中，设DBC x ∠=．2ABD DBC ∠=∠，AB AC =，2ABD x ∴∠=，3ABD ACB x ∠=∠=， AC 平分BCD ∠，3ACD ACB x ∴∠=∠=，26DCB ACB x ∠=∠=,5D ABD ACD x ∠=+∠=，又∵在BCD ∆中，180D DBC DCB ∠+∠+∠=︒，56180x x x ∴++=︒，15x ∴=︒，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，30ABD ∠=︒，180454590A ∴∠=︒-︒-︒=︒；（2）AE AD ⊥,90EAD ∴∠=︒,90BAC EAD ∠=∠=︒,BAC EAC EAD EAC ∴∠-∠=∠-∠,BAE CAD ∴∠=∠,=345ABE x ACD ∠=︒=∠，AB AC =()BEA CDA ASA ∴△≌△AE AD ∴=，又∵90EAD ∠=︒,∴45AED ADE ∠=∠=︒又AEC ABE BAE AED DEC ∠=∠+∠=∠+∠，DEC BAE ∴∠=∠；（3）延长AG 至K ，使GK AG =，连接CK点G 为CE 的中点，EG CG ∴=，AGE KGC ∠=∠，()AEG KCG SAS ∴△≌△，AE KC ∴=，AEG KCG ∠=∠，AE KC AD ∴==，45ACK ACB KCG AEC ∠=∠+∠=︒+∠4590ABE BAE BAE BAD =︒+∠+∠=︒+∠=∠AB AC =()AKC BDA SAS ∴△≌△21530CAG ABD ∠=∠=⨯︒=︒60BAF ∴∠=︒90AFB ∴∠=︒32ABC S =211=3222AB AC AB ∴⨯= 8AB ∴=142AF AB ∴==．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，第（1）问的关键在于设未知数，列方程；第（2）问的关键得到了等腰直角三角形和利用三角形的外角性质建立起了两个待证量之间的等式；第（3）问的关键在于作辅助线证明了30CAG ∠=︒.4．（1）BC=AC+AD ；（2）△ABC 的面积为80．【分析】（1）在CB 上截取CE=CA ，则由题意可得AD=DE ，∠CED=∠A ，再结合∠A=2∠B 可得DE=BE ，从而得到BC=AD+AC ；（2）在AB 上截取AE=AD ，连结CE ，过C 作CF ⊥AB 于F 点，由题意可得EC=BC ，从而得到EF 的长度，再由勾股定理根据EC 、EF 的长度求得CF 的长度，最后根据面积公式可以得到解答．【详解】解：（1）如图，在CB 上截取CE=CA ，则由题意得：△CAD ≌△CED ，∴AD=DE ，∠CED=∠A ，∵∠A=2∠B ，∴∠CED=2∠B ，又∠CED=∠B+∠EDB ，∴∠B+∠EDB=2∠B ，∴∠EDB=∠B ，∴DE=BE ，∴BC=BE+CE=DE+CE=AD+AC ；（2）如图，在AB 上截取AE=AD ，连结CE ，过C 作CF ⊥AB 于F 点，∴由题意可得：△CDA ≌△CEA ，∴EC=CD=BC=10，AE=AD=8，∵CF ⊥AB ，∴EF=FB=208622AB AE --==， ∴22221068CF EC EF =--=， ∴112088022ABC S AB CF =⨯=⨯⨯=．【点睛】本题考查三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理是解题关键．5．（1）4；（2）FG=BF+EG ，见解析；（3）FG=BF-EG【分析】（1）解直角三角形分别求出DF，CF即可解决问题．（2）如图2中，结论：FG=BF+EG．在EA上截取EH，使得EH=BF．利用两次全等，证明FG=GH即可解决问题．（3）如图3中，结论：FG=BF-EG．在射线EA上截取EH，使得EH=BF．利用两次全等，证明FG=GH即可解决问题．【详解】（1）∵DE∥BC，∴∠BDE+∠ABC=180°，∵∠BDE=120°，∴∠ABC=60°，∵DF⊥BF，∴∠BFD=90°，∴DF=BF•tan60°133=⨯=，∵∠CDF1=∠BDE=60°，∠DFC=90°，2∴CF=DF•tan60°333=⨯=，∴BC=BF+CF=1+3=4；（2）如图2中，结论：FG=BF+EG．理由：在EA上截取EH，使得EH=BF．∵AB=AC，∠B=∠C，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴∠ADE=∠AED，∴∠DEH=∠B，在△DBF和△DEH中，B DEH BD DE ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBF ≌△DEH （SAS ），∴DF=DH ，∠BDF=∠EDH ，∵∠FDG 12=∠BDE ， ∴∠BDF+∠EDG=∠EDH+∠EDG=∠GDH 12=∠BDE ， ∴∠GDF=∠GDH ，在△DGF 和△DGH 中，DF DH GDF GDH DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DGF ≌△DGH （SAS ），∴FG=HG ，∵HG=EG+HE=EG+BF ，∴FG=BF+EG ；（3）如图3中，结论：FG=BF-EG ．理由：在射线EA 上截取EH ，使得EH=BF ．∵AB=AC ，∠B=∠C ，∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∴∠ADE=∠AED ，∴∠DEH=∠B ，在△DBF 和△DEH 中，B DEH BD DE ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBF ≌△DEH （SAS ），∴DF=DH ，∠BDF=∠EDH ，∴∠BDE=∠FDH ，∵∠FDG 12=∠BDE 12=∠FDH ， ∴∠GDF=∠GDH ，在△DGF 和△DGH 中，DF DH GDF GDH DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DGF ≌△DGH （SAS ），∴FG=HG ，∵HG=HE-GE=BF-EG ，∴FG=BF=-EG ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．6．（1）BM+NC=MN ，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）NC-BM=MN ，证明见解析．【分析】（1）由DM=DN ，∠MDN=60°，可证得△MDN 是等边三角形，又由△ABC 是等边三角形，CD=BD ，易证得Rt △BDM ≌Rt △CDN ，然后由直角三角形的性质，即可求得BM 、NC 、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN ；（2）在CN 的延长线上截取CM 1=BM ，连接DM 1．可证△DBM ≌△DCM 1，即可得DM=DM 1，易证得∠CDN=∠MDN=60°，则可证得△MDN ≌△M 1DN ，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3）首先在CN 上截取CM 1=BM ，连接DM 1，可证△DBM ≌△DCM 1，即可得DM=DM 1，然后证得∠CDN=∠MDN=60°，易证得△MDN ≌△M 1DN ，则可得NC-BM=MN ．【详解】解（1）BM 、NC 、MN 之间的数量关系：BM+NC=MN ．证明如下：∵BD=DC ，DM=DN ，MDN 60∠=︒∴∠BDC=∠DCB=180302BDC ，△MDN 为等边三角形，∴MN=MD=DN ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=90°，∴Rt △BDM ≌Rt △CDN （HL ），∴∠BDM =∠CDN=302BDC MDN ， ∴11,22BM DM NC DN , ∴BM+NC=MN ．（2）猜想：结论仍然成立．证明：在CN 的反向延长线上截取CM 1=BM ，连接DM 1．∵∠MBD=∠M 1CD=90°，BD=CD ，∴△DBM ≌△DCM 1，∴DM=DM 1，∠MBD=∠M 1CD ，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠M 1DN=∠MDN=60°，∴△MDN ≌△M 1DN ，∴MN=M1N=M 1C+NC=BM+NC ，（3）证明：在CN 上截取CM 1=BM ，连接DM 1．与（2）同理可证△DBM ≌△DCM 1，∴DM=DM 1，与（2）同理可证∠CDN=∠MDN=60°，∴△MDN ≌△M 1DN ，∴MN=M 1N ，∴NC-BM=MN ．【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．7．（1）AM BN MN +=；证明见解析；（2）AM BN MN +=；证明见解析；（3）补图见解析；BN AM MN -=；证明见解析．【分析】（1）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（2）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（3）在CB 截取BE=AM ，连接DE ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可．【详解】（1）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒，90A EBD ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=．在DAM △和DBE 中，AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．MDN ADC BDC ∠=∠=∠，ADM NDC BDE ∴∠=∠=∠，MDC NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+，AM BN MN ∴+=；（2）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒，90A DBE ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=，ADC CDB ∠=∠．在DAM △和DBE 中，AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．90MDN ACD ∠+∠=︒，90ACD ADC ∠+∠=︒，ADC CDB ∠=∠，NDM ADC CDB ∴∠=∠=∠，ADM CDN BDE ∴∠=∠=∠，CDM NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+，AM BN MN ∴+=；（3）补充完成题图，如图所示．BN AM MN -=．证明如下：如上图，在CB 上截取BE=AM ，连接DE ．90CDA ACD ∠+∠=︒，90MDN ACD ∠+∠=︒，MDN CDA ∴∠=∠，MDA CDN ∴∠=∠．90B CAD ∠=∠=︒，90B DAM ∴∠=∠=︒．在DAM △和DBE 中，AM BE DAM DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE ADM CDN ∴∠=∠=∠，DM DE =．ADC BDC MDN ∠=∠=∠，ADN CDE ∴∠=∠，MDN EDN ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BN BE BN AM =-=-，BN AM MN ∴-=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．（1）BE DE AE =+；（2）BE DE AE =-，证明见解析；（3）2BE DE AE =-【分析】（1）在射线BM 上截取BF DE =，连接AF ，首先利用菱形的性质证明ADE ABF ≌，然后利用全等三角形的性质及等边三角形的性质得出EF AE =，从而可得出结论BE DE AE =+；（2）在DE 上截取DG BE =，连接AG ，首先利用菱形的性质证明ADG ABE ≌，然后利用全等三角形的性质及等边三角形的性质得出EG AE =，从而可得出结论BE DE AE =-；（3）在DE 上截取DH BE =，连接AH ，首先利用正方形的性质证明ADH ABE △≌，然后利用全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质得出2EH AE =，从而可得出结论2BE DE AE =-．【详解】（1）解：BE DE AE =+；如图①，在射线BM 上截取BF DE =，连接AF ，60DEB DAB ∠=∠=︒，EDA ABE ∴∠=∠．四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=．()ADE ABF SAS ∴△≌△，AE AF ∴=，EAD BAF ∠=∠．60DAB DAF BAF DAF EAD EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．AEF ∴是等边三角形，EF AE ∴=．BE BF EF =+，BE DE AE ∴=+．图①（2）BE DE AE =-．证明：如图②，在DE 上截取DG BE =，连接AG ，60DEB DAB ∠=∠=︒，EDA ABE ∴∠=∠．四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=．()ADG SAS ∴△≌△ABE ．AE AG ∴=，DAG BAE ∠∠=．60DAB DAG BAG BAE BAG EAG ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒． ∴AEG 是等边三角形．EG AE ∴=．DG DE EG =-，BE DE AE ∴=-；图②（3）2BE DE AE =-．如图③，在DE 上截取DH BE =，连接AH ，90DEB DAB ∠=∠=︒，EDA ABE ∴∠=∠．四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=．()ADH ABE SAS ∴△≌△．AE AH ∴=，HAD BAE ∠=∠．90DAB DAH BAH BAE BAH EAH ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．AEH ∴是等腰直角三角形．2EH AE ∴=．DH DE EH =-，2BE DE AE ∴=-．图③【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形和等边三角形的性质，正方形和菱形的性质，合理的作出辅助线是解题的关键．9．证明见解析．【分析】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．先说明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得△AEG≌△AEF，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答．【详解】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∠BAD．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=12∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．10．（1）3，23234+2）见解析【分析】（1）根据平行和垂直的特点求出BF，AF，再根据勾股定理求出CD，根据FP与BA的比值求出面积，再根据勾股定理求CF，BC即可得到周长．（2）在AD上截取AM=AG，连接CM，证△FAG≌△CAM；证△EFG≌△DCM．【详解】+解：（1）面积为3；周长为23234∵四边形ABCD和四边形CDEF都是平行四边形，∴EF=CD，AB=CD，AB∥CD∴EF=AB=CD=5∴AE=EF-AE=5-2=3∴BF=5-3=2过F作FP⊥BC则FP ：AH=BF ：AB=2：5， ∴::2:5BCF BCA S S FP AH == , ∵AC ⊥CD ，AB ∥CD,∴AB ⊥AC ，即∠BAC=90°， ∵AC=AF=3,∴CF=223332+= ，BC=223534+= ， ∴2213552BCF BCA S S CD AC ==⨯⨯= ∴△BCF 的面积为3，△BCF 周长为23234++ （2）在AD 上截取AM=AG ，连接CM ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD=BC∵AH ⊥BC∴AD ⊥AH∴∠DAH=90°∵∠BAC=90°∴∠DAH=∠BAC∴∠DAH-∠CAH =∠BAC-∠CAH ∴∠BAH=∠CAD∵AF=AC∴△FAG ≌△CAM∴FG=CM ，∠ACM=∠AFG∵四边形CDEF 是平行四边形， ∴EF ∥CD ，EF=CD ，∴∠DCF+∠AFC=180°，∵AF=AC ， ∠BAC=90°，∴∠AFC=∠ACF=45°，∴∠DCF=180°-∠AFC=135°，∴∠ACM=∠AFG=45°，∴∠DCM=∠FCD-∠ACF-∠ACM=45°，∴∠AFG=∠DCM，∴△EFG≌△DCM，∴EG=DM，∵AD=AM+DM，∴AD=AG+EG，∵AD=BC，∴BC=AG+EG．【点睛】此题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例和勾股定理的应用．。

全等三角形——截长补短(人教版)(含答案)

AD=CF
∴BF=BC+AD
∴AB=AD+BC
故D正确
试题难度：三颗星知识点：三角形全等之截长补短
4.如图,在正方形ABCD中,点E在CB延长线上,点F在DC延长线上, EAF=45°,则下列结论正确的是( )
A.EF=BE+DF B.DF=BE+EF
C.DF=AE+CF D.EF=AB+CF
答案：B
在△ACD与△ACF中，
∴△ACD≌△ACF(SAS)
∴∠ADC=∠AFC．
∵CE垂直平分BF，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠B．
又∵∠AFC+∠CFB=180°，
∴∠D+∠B=180°，
故②正确；
③由②知，△ACD≌△ACF，
∴CD=CF，
又∵CF=CB，
∴CD=CB，
故③正确；
④易证△CEF≌△CEB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵CE⊥BD，
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∴△BEF≌△BEC(ASA)，
∴EF=EC，
∴ ，
∴ ，
∵BD=8，
∴CE=4
故选B．
试题难度：三颗星知识点：三角形全等之截长补短
7.如图,已知AC平分∠DAB,CE⊥AB于点E,AB=AD+2BE,则下列结论:① ;②∠B+∠D=180°;③CD=CB;④ .其中正确结论的个数是( )
全等三角形——截长补短（人教版）
试卷简介:本套试卷主要考查构造全等三角形非常重要的一种方法——截长补短，通常用来证明几条线段的和差倍分关系。
一、单选题(共8道，每道12分)

初二数学全全等三角形截长补短练习题及解析

初二数学全全等三角形截长补短练习题及解析一、全等三角形截长补短1．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．感悟与应用：（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒；②求AB 的长．2．如图，已知 B (-1, 0) ， C (1, 0) ， A 为 y 轴正半轴上一点， AB = AC ，点 D 为第二象限一动点，E 在 BD 的延长线上， CD 交 AB 于 F ，且∠BDC = ∠BAC .（1）求证： ∠ABD = ∠ACD ；（2）求证： AD 平分∠CDE ；（3）若在 D 点运动的过程中，始终有 DC = DA + DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？3．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若AC=2cm ，求四边形ABCD 的面积．解：延长线段CB 到E ，使得BE=CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE ≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD ，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积． 4．（1）方法选择如图①，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==，求证：BD AD CD =+．小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM ……小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN AD =……请你选择一种方法证明．（2）类比探究探究1如图②，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ，若BC 是⊙O 的直径，AB AC =，试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论．探究2如图③，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是⊙O 的直径，::::BC AC AB a b c =，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．5．如图，ABC 是边长为2的等边三角形，BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以点D 为顶点作60MDN ∠=︒，点M 、N 分别在AB 、AC 上．（1）如图①，当//MN BC 时，则AMN 的周长为______；（2）如图②，求证：BM NC MN +=．6．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．∠AEF=90°，且EF 交正方形外角∠DCG 的角平分线CF 于点F ，求证：AE=EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证△AME ≌△ECF ，所以AE=EF ．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．7．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D =90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ．求证：EF =BE +FD ．8．如图所示，平行四边形ABCD 和平行四边形CDEF 有公共边CD ，边AB 和EF 在同一条直线上，AC ⊥CD 且AC=AF ，过点A 作AH ⊥BC 交CF 于点G ，交BC 于点H ，连接EG ．（1）若AE=2，CD=5，则△BCF 的面积为；△BCF 的周长为；（2）求证：BC=AG+EG ．9．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AC +CD ．10．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．（1）求出AFC ∠的度数；（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）BC−AC＝AD；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14【分析】（1）在CB上截取CE＝CA，连接DE，证△ACD≌△ECD得DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，据此∠CED＝2∠CBA，结合∠CED＝∠CBA＋∠BDE得出∠CBA＝∠BDE，即可得DE＝BE，进而得出答案；（2）①在AB上截取AM＝AD，连接CM，先证△ADC≌△AMC，得到∠D＝∠AMC，CD＝CM，结合CD＝BC知CM＝CB，据此得∠B＝∠CMB，根据∠CMB＋∠CMA＝180°可得；②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，由CB＝CM知BN＝MN＝a，CN2＝BC2−BN2＝AC2−AN2，可得关于a的方程，解之可得答案．【详解】解：（1）BC−AC＝AD．理由如下：如图（a），在CB上截取CE＝CA，连接DE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，又CD＝CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，∴∠CED＝2∠CBA，∵∠CED＝∠CBA＋∠BDE，∴∠CBA＝∠BDE，∴DE＝BE，∴AD＝BE，∵BE＝BC−CE＝BC−AC，∴BC−AC＝AD．（2）①如图（b），在AB上截取AM＝AD，连接CM，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠MAC，∵AC＝AC，∴△ADC≌△AMC（SAS），∴∠D＝∠AMC，CD＝CM＝12，∵CD＝BC＝12，∴CM＝CB，∴∠B＝∠CMB，∵∠CMB ＋∠CMA ＝180°，∴∠B ＋∠D ＝180°；②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，∵CB ＝CM ＝12，∴BN ＝MN ＝a ，在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝，则22221216(8)a a --+＝，解得：a ＝3，即BN ＝MN ＝3，则AB ＝8+3+3=14，∴AB=14．【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果． 2．（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BAC 的度数不变化．∠BAC=60°．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理等量代换可得结论；（2）作AM ⊥CD 于点M ，作AN ⊥BE 于点N ，证明△ACM ≌△ABN 即可；（3）用截长补短法在CD 上截取CP=BD ，连接AP ，证明△ABD ≌△ACP ，由全等性质可知△ADP 是等边三角形，易知∠BAC 的度数.【详解】（1）∵∠BDC=∠BAC ，∠DFB=∠AFC ，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠ABD=∠ACD ；（2）过点A 作AM ⊥CD 于点M ，作AN ⊥BE 于点N ．则∠AMC=∠ANB=90°．∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，∵∠ABD=∠ACD，∴△ACM≌△ABN （AAS）∴AM=AN．∴AD平分∠CDE．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（3）∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP=BD，连接AP．∵CD=AD+BD，AD=PD．∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，∴△ABD≌△ACP．∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】本题考查了三角形的综合，主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的证明和性质，等腰等边三角形的性质和判定，采用合适的方法添加辅助线构造全等三角形是解题的关键. 3．（1）2；（2）4【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC的面积即可；≌，则有（2）延长MN到K，使NK=GH，连接FK、FH、FM，由（1）易证FGH FNKFK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH ≌，故可求解．【详解】（1）由题意知21=22ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S SS S S S =+=+==四边形，故答案为2；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，∴∠FNK=∠FGH=90°，∴FGH FNK ≌， ∴FH=FK ，又FM=FM ，HM=KM=MN+GH=MN+NK ，∴FMK FMH ≌，∴MK=FN=2cm ，∴12=242FGH HFM MFN FMK FGHMN S SS S S MK FN =++=⨯⋅=五边形．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用． 4．（1）见解析；（2）①2BD CD =+，见解析，②c a BD CD AD b b=+ 【分析】（1）根据题中所给的截长法或补短法思路解题，利用全等三角形的性质解题即可．（2）探究1 要求AD 、BD 、CD 之间的数量关系，结合（1）中所给方法，在BD 上截取BM CD =，再利用全等三角形及等腰直角三角形的性质进行求解．探究2 要求AD 、BD 、CD 之间的数量关系，以AD 为边构造直角三角形，再利用相似的性质求解．【详解】（1）截长法证明：如图①-1，在DB 上截取DM AD =，连接AM ， AB BC AC ==，ABC ∴是等边三角形，60ABC ACB BAC ∴∠=∠=∠=︒．60ADB ACB ∴∠=∠=︒，DM AD =，AMD ∴△是等边三角形，60MAD ∴∠=︒，AM AD =．BAM CAD ∴∠=∠，()BAM CAD SAS ∴△≌△，BM CD ∴=，BD DM BM AD CD ∴=+=+；补短法证明：如图①-2，延长CD 至点N ，使得DN AD =， DAN DNA ∴∠=∠．AB AC BC ==，ABC ∴为等边三角形，60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒． 60ADB ACB ∴∠=∠=︒，60BDC BAC ∠=∠=︒， 18060ADN BDC ADB ∴∠=︒-∠-∠=︒，ADN ∴为等边三角形，AD AN =，60DAN ∠=︒． BAD CAN ∴∠=∠．在BAD 和CAN △中，AB AC BAD CAN AD AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAN SAS ∴△≌△，BD CN ∴=，又CN CD DN CD AD =+=+，BD CD AD ∴=+．（2）探究1 解：2BD AD CD =+；证明：如图②，在BD 上截取BM CD =，连接AM ， BC 是O 的直径，AB AC =，90BAC ∴∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒．45ADM ACB ∴∠=∠=︒，在BAM 和CAD 中，,AB AC ABM ACD BM CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAM CAD SAS ∴△≌△，AM AD ∴=，BAM CAD ∠=∠．45AMD ADM ∴∠=∠=︒，90MAD ∠=︒． AMD ∴△是等腰直角三角形，2MD AD ∴=． BD MD BM =+，2BD AD CD ∴=+；探究2 解：c a BD CD AD b b=+．如图③，过点A 作AM AD ⊥交BD 于点M ， BC 是O 的直径，90BAC ∴∠=︒，BAC MAD ∴∠=∠， BAM CAD ∴∠=∠，ABM DCA ∠=∠，BAM CAD ∴△∽△，BM AB c CD AC b ∴==，c BM CD b ∴=，又ADM ACB ∠=∠，MAD BAC ∠=∠，ADM ACB ∴△∽△，DM BC a AD AC b ∴==，a DM AD b∴=， BD BM MD =+，c a BD CD AD b b∴=+．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练运用图形的性质是解题的关键．5．（1）4；（2）见解析【分析】（1）首先证明△BDM ≌△CDN ，进而得出△DMN 是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°，NC=BM=12DM=12MN ，即可解决问题；（2）延长AC 至点E ，使得CE BM =，连接DE ，首先证明BDM CDE △≌△，再证明MDN EDN △≌△，得出MN NE =，进而得出结果即可．【详解】解：（1）∵ABC 是等边三角形，//MN BC ，60AMN ABC ∴∠=∠=︒，60ANM ACB ∠=∠=︒∴AMN 是等边三角形，AM AN ∴=，则BM NC =，∵BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，30DBC DCB ∴∠=∠=︒，90DBM DCN ∴∠=∠=︒，在BDM 和CDN △中， ,,,BM CN MBD DCN BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDM CDN SAS ∴△≌△，DM DN ∴=，BDM CDN ∠=∠，∵60MDN ∠=︒，∴DMN 是等边三角形，30BDM CDN ∠=∠=︒，1122NC BM DM MN ∴===，MN MB NC ∴=+， ∴AMN 的周长4AB AC =+=．（2）如图，延长AC 至点E ，使得CE BM =，连接DE ，∵ABC 是等边三角形，BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，60ABC ACB ∴∠=∠=︒，30DBC DCB ∠=∠=︒，90ABD ACD ∠∴∠==︒，90DCE ∴∠=︒，在BDM 和CDE △中，,,,BD CD MBD ECD BM CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDM CDE SAS ∴△≌△，MD ED ∴=，MDB EDC ∠=∠，120120MDE MDB EDC ∴∠=︒-∠+∠=︒，∵60MDN ∠=︒，60NDE ∴∠=︒，在MDN △和EDN △中，,60,,MD ED MDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()MDN EDN SAS ∴△≌△．MN NE ∴=，又∵NE NC CE NC BM =+=+，BM NC MN ∴+=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定，等边三角形及等腰三角形的性质是解题的关键．6．（1）正确．证明见解析；（2）正确．证明见解析.【分析】（1）在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ，根据已知条件利用ASA 判定AME ECF ，因为全等三角形的对应边相等，所以AE EF =．（2）在BA 的延长线上取一点N ，使AN CE =，连接NE ，根据已知利用ASA 判定ANE ECF ，因为全等三角形的对应边相等，所以AE EF =．【详解】解：（1）正确．证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．BM BE ∴=，45BME ∴∠=°，135AME ， CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=︒，135ECF ∴∠=°，AME ECF ，90AEB BAE ，90AEB CEF ∠+∠=︒， BAE CEF ∴∠=∠， ()AME ECF ASA ，AE EF ∴=．（2）正确．证明：如图示，在BA 的延长线上取一点N ，使AN CE =，连接NE ．BN BE ∴=，45N NEC ， CF 平分DCG ∠，45FCE ，N ECF ，四边形ABCD 是正方形，//AD BE ∴，DAE BEA ，DAE BEA，即9090NAE CEF，ANE ECF ASA，()∴=．AE EF【点睛】此题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法，熟悉相关性质是解题的关键．7．证明见解析．【分析】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．先说明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得△AEG≌△AEF，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答．【详解】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∠BAD．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=12∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．8．（1）3，23234+2）见解析【分析】（1）根据平行和垂直的特点求出BF，AF，再根据勾股定理求出CD，根据FP与BA的比值求出面积，再根据勾股定理求CF，BC即可得到周长．（2）在AD上截取AM=AG，连接CM，证△FAG≌△CAM；证△EFG≌△DCM．【详解】+解：（1）面积为3；周长为23234∵四边形ABCD 和四边形CDEF 都是平行四边形，∴EF=CD ，AB=CD ，AB ∥CD∴EF=AB=CD=5∴AE=EF-AE=5-2=3∴BF=5-3=2过F 作FP ⊥BC则FP ：AH=BF ：AB=2：5，∴::2:5BCF BCA S S FP AH == ,∵AC ⊥CD ，AB ∥CD,∴AB ⊥AC ，即∠BAC=90°，∵AC=AF=3,∴CF=223332+= ，BC=223534+= ，∴2213552BCF BCA S S CD AC ==⨯⨯= ∴△BCF 的面积为3，△BCF 周长为23234++（2）在AD 上截取AM=AG ，连接CM ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC∵AH ⊥BC∴AD ⊥AH∴∠DAH=90°∵∠BAC=90°∴∠DAH=∠BAC∴∠DAH-∠CAH =∠BAC-∠CAH∴∠BAH=∠CAD∵AF=AC∴△FAG ≌△CAM∴FG=CM ，∠ACM=∠AFG∵四边形CDEF 是平行四边形，∴EF ∥CD ，EF=CD ，∴∠DCF+∠AFC=180°，∵AF=AC ， ∠BAC=90°，∴∠AFC=∠ACF=45°，∴∠DCF=180°-∠AFC=135°，∴∠ACM=∠AFG=45°，∴∠DCM=∠FCD-∠ACF-∠ACM=45°，∴∠AFG=∠DCM ，∴△EFG ≌△DCM ，∴EG=DM ，∵AD=AM+DM ，∴AD=AG+EG ，∵AD=BC ，∴BC=AG+EG ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例和勾股定理的应用．9．见解析【分析】在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．则只需证明CD ＝CE 即可．结合角度证明∠CDE ＝∠CED ．【详解】证明：在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD 12=∠ABC ．在△ABD 和△EBD 中，BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△EBD ．（SAS ）∴∠BED ＝∠A ＝108°，∠ADB ＝∠EDB ．又∵AB＝AC，∠A＝108°，∠ACB＝∠ABC12=⨯（180°﹣108°）＝36°，∴∠ABD＝∠EBD＝18°．∴∠ADB＝∠EDB＝180°﹣18°﹣108°＝54°．∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．∴∠DEC＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．∴∠CDE＝∠DEC．∴CD＝CE．∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键．10．（1）∠AFC＝120°；（2）FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由见解析；（3）AC＝AE+CD．理由见解析．【分析】（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC，∠ACF即可解决问题;（2）根据在图2的 AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD (SAS),得出DF= GF；再根据ASA 证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题．【详解】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，∵CE是∠BCA的平分线，∴∠DCF＝∠GCF，在△CFG 和△CFD 中，CG CD DCF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CFG ≌△CFD （SAS ），∴DF ＝GF ．∠CFD ＝∠CFG由（1）∠AFC ＝120°得，∴∠CFD ＝∠CFG ＝∠AFE ＝60°，∴∠AFG ＝60°，又∵∠AFE ＝∠CFD ＝60°，∴∠AFE ＝∠AFG ，在△AFG 和△AFE 中，AFE AFG AF AFEAF GAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AFG ≌△AFE （ASA ），∴EF ＝GF ，∴DF ＝EF ；（3）结论：AC ＝AE+CD ．理由：如图3，在AC 上截取AG ＝AE ，同（2）可得，△EAF ≌△GAF （SAS ），∴∠EFA ＝∠GFA ，AG ＝AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC ＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12×120°=120°， ∴∠EFA ＝∠GFA ＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC ，∴∠CFG ＝∠CFD ＝60°，同（2）可得，△FDC ≌△FGC （ASA ），∴CD ＝CG ，∴AC ＝AG+CG ＝AE+CD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．。

中考数学一轮复习全全等三角形截长补短知识点-+典型题及答案

中考数学一轮复习全全等三角形截长补短知识点-+典型题及答案一、全等三角形截长补短1．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．感悟与应用：（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒；②求AB 的长．2．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝60°，请探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是什么？小明探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连结AG ．先证明△ABE ≌△ADG ，得AE ＝AG ；再由条件可得∠EAF ＝∠GAF ，证明△AEF ≌△AGF ，进而可得线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是．（2）拓展应用：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ．问（1）中的线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．3．如图，已知 B (-1, 0) ， C (1, 0) ， A 为 y 轴正半轴上一点， AB = AC ，点 D 为第二象限一动点，E 在 BD 的延长线上， CD 交 AB 于 F ，且∠BDC = ∠BAC .（1）求证： ∠ABD = ∠ACD ；（2）求证： AD 平分∠CDE ；（3）若在 D 点运动的过程中，始终有 DC = DA + DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？4．已知，90POQ ∠=，分别在边OP ，OQ 上取点A ，B ，使OA OB =，过点A 平行于OQ 的直线与过点B 平行于OP 的直线相交于点C ．点E ，F 分别是射线OP ，OQ 上动点，连接CE ，CF ，EF ．（1）求证：OA OB AC BC ===；（2）如图1，当点E ，F 分别在线段AO ，BO 上，且45ECF ∠=时，请求出线段EF ，AE ，BF 之间的等量关系式；（3）如图2，当点E ，F 分别在AO ，BO 的延长线上，且135ECF ∠=时，延长AC 交EF 于点M ，延长BC 交EF 于点N ．请猜想线段EN ，NM ，FM 之间的等量关系，并证明你的结论．5．如图，ABC 中，点D 在AC 边上，且1902BDC ABD ∠=+∠．（1）求证：DB AB =；（2）点E 在BC 边上，连接AE 交BD 于点F ，且AFD ABC ∠=∠，BE CD =，求ACB ∠的度数．（3）在（2）的条件下，若16BC =，ABF 的周长等于30，求AF 的长．6．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若AC=2cm ，求四边形ABCD 的面积．解：延长线段CB 到E ，使得BE=CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE ≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD ，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积． 7．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD ，以D 为顶点作MDN ∠，交边AC ，BC 于点M ，N ．（1）如图（1），若30ACD ∠=︒，60MDN ∠=︒，当MDN ∠绕点D 旋转时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），当90ACD MDN ∠+∠=︒时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图（3），在（2）的条件下，若将M ，N 分别改在CA ，BC 的延长线上，完成图（3），其余条件不变，则AM ，MN ，BN 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）．8．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，E 为菱形ABCD 内对角线BD 左侧一点，连接BE 、CE 、DE ．（1）若AB ＝6，求菱形ABCD 的面积；（2）若∠BED ＝2∠A ，求证：CE ＝BE+DE ．9．（1）如图①，Rt ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 为BC 边上的一点，将ABD △绕点A 逆时针旋转90°至ACF ，作AE 平分DAF ∠交BC 于点E ，易证明：222BD CE DE +=．若2DE BD =，则以BD 、DE 、EC 为边的三角形的形状是______；（2）如图②，四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，AB AD =，若四边形ABCD 的面积是32，2CD =，求BC 的长度；（3）ABC 是以BC 为底的等腰直角三角形，点D 是ABC 所在平面内一点，且满足4=AD ，6BD =，2CD =，请画草图并求ADC ∠的度数．10．如图，//AD BC ，点E 在线段AB 上，DE 、CE 分别是ADC ∠、BCD ∠的角平分线，若3AD =，2BC =，求CD 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）BC−AC＝AD；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14【分析】（1）在CB上截取CE＝CA，连接DE，证△ACD≌△ECD得DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，据此∠CED＝2∠CBA，结合∠CED＝∠CBA＋∠BDE得出∠CBA＝∠BDE，即可得DE＝BE，进而得出答案；（2）①在AB上截取AM＝AD，连接CM，先证△ADC≌△AMC，得到∠D＝∠AMC，CD＝CM，结合CD＝BC知CM＝CB，据此得∠B＝∠CMB，根据∠CMB＋∠CMA＝180°可得；②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，由CB＝CM知BN＝MN＝a，CN2＝BC2−BN2＝AC2−AN2，可得关于a的方程，解之可得答案．【详解】解：（1）BC−AC＝AD．理由如下：如图（a），在CB上截取CE＝CA，连接DE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，又CD＝CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，∴∠CED＝2∠CBA，∵∠CED＝∠CBA＋∠BDE，∴∠CBA＝∠BDE，∴DE＝BE，∴AD＝BE，∵BE＝BC−CE＝BC−AC，∴BC−AC＝AD．（2）①如图（b ），在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠MAC ，∵AC ＝AC ，∴△ADC ≌△AMC （SAS ），∴∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ＝12，∵CD ＝BC ＝12，∴CM ＝CB ，∴∠B ＝∠CMB ，∵∠CMB ＋∠CMA ＝180°，∴∠B ＋∠D ＝180°；②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，∵CB ＝CM ＝12，∴BN ＝MN ＝a ，在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝，则22221216(8)a a --+＝，解得：a ＝3，即BN ＝MN ＝3，则AB ＝8+3+3=14，∴AB=14．【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果． 2．（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；证明见解析．【分析】（1）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（2）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题．【详解】（1）EF ＝BE +DF ，理由如下：在△ABE 和△ADG 中，90DG BE B ADG AB AD ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF＝12∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为：EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADG ＝180°，∴∠B ＝∠ADG ，在△ABE 和△ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．3．（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BAC 的度数不变化．∠BAC=60°．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理等量代换可得结论；（2）作AM ⊥CD 于点M ，作AN ⊥BE 于点N ，证明△ACM ≌△ABN 即可；（3）用截长补短法在CD 上截取CP=BD ，连接AP ，证明△ABD ≌△ACP ，由全等性质可知△ADP 是等边三角形，易知∠BAC 的度数.【详解】（1）∵∠BDC=∠BAC ，∠DFB=∠AFC ，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠ABD=∠ACD ；（2）过点A 作AM ⊥CD 于点M ，作AN ⊥BE 于点N ．则∠AMC=∠ANB=90°．∵OB=OC ，OA ⊥BC ，∴AB=AC ，∵∠ABD=∠ACD ，∴△ACM ≌△ABN （AAS ）∴AM=AN ．∴AD 平分∠CDE ．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（3）∠BAC 的度数不变化．在CD 上截取CP=BD ，连接AP ．∵CD=AD+BD ，AD=PD ．∵AB=AC ，∠ABD=∠ACD ，BD=CP ，∴△ABD ≌△ACP ．∴AD=AP ；∠BAD=∠CAP ．∴AD=AP=PD ，即△ADP 是等边三角形，∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】本题考查了三角形的综合，主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的证明和性质，等腰等边三角形的性质和判定，采用合适的方法添加辅助线构造全等三角形是解题的关键. 4．（1）见解析；（2）EFAE BF =+；（3）222MN EN FM =+，见解析【分析】（1）连接AB ,通过90POQ ∠=，OA OB =得到AOB 为等腰直角三角形，进而得到45OAB OBA ∠=∠=，根据过点A 平行于OQ 的直线与过点B 平行于OP 的直线相交于点C ，可推出45CBA ∠=，45BAC ∠=，最后通过证明AOB ≌ACB △，可以得出结论；（2）在射线AP 上取点D ，使AD BF =，连接CD ，通过证明CAD ≌CBF ，得到CD CF =，ACD BCF ∠=∠，再结合45ECF ∠=，90ACB ∠=推导证明ECD ≌ECF △，得到ED EF =，最后等量代换线段即可求解；（3）延长AO 到点D ，使得AD BF =，连接CD ，通过证明CAD ≌CBF ，得到CD CF =，ACD BCF ∠=∠，再结合135ECF ∠=，推导证明ECD ≌ECF △，得到D CFM ∠=∠，根据D CFB ∠=∠，等量代换可知CFM CFB ∠=∠，又因为//AC OQ ，推出MCF CFB ∠=∠，进而得到MC MF =，同理可证CN EN =，最后根据勾股定理即可求解．【详解】解：（1）证明：连接AB ．90POQ ∠=，OA OB =，∴AOB 为等腰直角三角形，∴45OAB OBA ∠=∠=，又//BC OP ，且90POQ ∠=，∴BC OQ ⊥，∴90CBF ∠=，∴45CBA ∠=，同理，45BAC ∠=，在AOB 与ACB △中OAB CAB AB ABOBA CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴AOB ≌ACB △()ASA ，∴90AOB ACB ∠=∠=，OA OB AC BC ===；（2）如图1，在射线AP 上取点D ，使AD BF =，连接CD ．在CAD 与CBF 中CA CB CAD CBF AD BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CAD ≌CBF ()SAS ，∴CD CF =，ACD BCF ∠=∠，45ECF ∠=，90ACB ∠=，∴45ACE BCF ∠+∠=，∴45ACE ACD ECD ∠+∠=∠=，∴ECD ECF ∠=∠，在ECD 与ECF △中CD CF ECD ECF CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ECD ≌ECF △()SAS ，∴ED EF =，又ED AD AE BF AE =+=+，∴EF AE BF =+．（3）222MN EN FM =+．证明如下：如图2，延长AO 到点D ，使得AD BF =，连接CD ．∴90CAD CBF ∠=∠=，在CAD 与CBF 中CA CB CAD CBF AD BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CAD ≌CBF ()SAS ，∴CD CF =，ACD BCF ∠=∠，90ACD DCB ∠+∠=，∴90BCF DCB DCF ∠+∠==∠，∴90FCD BCA ∠=∠=，135ECF ∠=，∴36090135135ECD ∠=--=，∴ECF ECD ∠=∠，在ECD 与ECF △中EC EC ECD ECF CD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ECD≌ECF△()SAS，∴D CFM∠=∠，CAD≌CBF，∴D CFB∠=∠，∴CFM CFB∠=∠，//AC OQ，∴MCF CFB∠=∠，∴CFM MCF∠=∠，∴MC MF=，同理可证：CN EN=，∴在Rt MCN△中，由勾股定理得：22222MN CN CM EN FM=+=+．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定,勾股定理以及正方形的有关知识，通过添加辅助线构造全等三角形，通过证明全等三角形得到线段之间的关系是解题的关键．5．（1）见解析；（2）ACB∠＝60°；（3）AF＝11【分析】（1）根据三角形内角与外角之间的关系建立等式，运用等量代换得出A BDA∠=∠，证得DB AB=；（2）作CH＝BE，连接DH，根据角的数量关系证得EAC C∠=∠，再由三角形全等判定得△BDH≌△ABE，最后推出△DCH为等边三角形，即可得出ACB∠＝60°；（3）借助辅助线AO⊥CE，构造直角三角形，并结合平行线构造△BFE∽△BDH，建立相应的等量关系式，完成等式变形和求值，即可得出AF的值．【详解】（1）证明：∵∠BDC＝90°＋12∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A，∴∠A＝90°－12∠ABD．∵∠BDC＋∠BDA＝180°，∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－12∠ABD．∴∠A＝∠BDA＝90°－12∠ABD．∴DB＝AB．解：（2）如图1，作CH＝BE，连接DH，∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠BAE＝∠DBC．∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA，又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，∴∠CAE＝∠C．∴AE＝CE．∵BE＝CH，∴BE＋EH＝CH＋EH．即BH＝CE＝AE．∵AB＝BD，∴△BDH≌△ABE．∴BE＝DH．∵BE＝CD，∴CH＝DH＝CD．∴△DCH为等边三角形．∴∠ACB ＝60°．（3）如图2，过点A作AO⊥CE，垂足为O．∵DH∥AE，∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°．∴△ACE是等边三角形．设AC＝CE＝AE＝x，则BE＝16－x，∵DH∥AE，∴△BFE∽△BDH．∴16BF BE EF x BD BH DH x-===． ∴1616x x BF BD AB x x--==， ()21616x x EF DH x x--==． ∵△ABF 的周长等于30，即AB ＋BF ＋AF ＝AB ＋16x AB x -＋x －()216x x-=30，解得AB ＝16－8x ．在Rt △ACO 中，AC ＝2x ，AO ， ∴BO ＝16－2x ．在Rt △ABO 中，AO 2＋BO 2＝AB 2，即2221616428x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得10x =（舍去）225621x =． ∴AC ＝25621． ∴AF ＝11．【点睛】本题考查了三角形角的性质、等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是能熟练掌握三角形的性质与全等判定并借助辅助线构造特殊三角形的能力，．6．（1）2；（2）4【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC 的面积即可；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，由（1）易证FGH FNK ≌，则有FK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH ≌，故可求解．【详解】（1）由题意知21=22ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S SS S S S =+=+==四边形，故答案为2；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，∴∠FNK=∠FGH=90°，∴FGH FNK ≌，∴FH=FK ，又FM=FM ，HM=KM=MN+GH=MN+NK ，∴FMK FMH ≌，∴MK=FN=2cm ， ∴12=242FGH HFM MFN FMK FGHMN S SS S S MK FN =++=⨯⋅=五边形．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用． 7．（1）AM BN MN +=；证明见解析；（2）AM BN MN +=；证明见解析；（3）补图见解析；BN AM MN -=；证明见解析．【分析】（1）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（2）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（3）在CB 截取BE=AM ，连接DE ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可．【详解】（1）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒，90A EBD ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=．在DAM △和DBE 中，AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．MDN ADC BDC ∠=∠=∠，ADM NDC BDE ∴∠=∠=∠，MDC NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+，AM BN MN ∴+=；（2）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒，90A DBE ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=，ADC CDB ∠=∠．在DAM △和DBE 中，AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．90MDN ACD ∠+∠=︒，90ACD ADC ∠+∠=︒，ADC CDB ∠=∠，NDM ADC CDB ∴∠=∠=∠，ADM CDN BDE ∴∠=∠=∠，CDM NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，MDN EDN DN DN ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+，AM BN MN ∴+=；（3）补充完成题图，如图所示．BN AM MN -=．证明如下：如上图，在CB 上截取BE=AM ，连接DE ．90CDA ACD ∠+∠=︒，90MDN ACD ∠+∠=︒，MDN CDA ∴∠=∠，MDA CDN ∴∠=∠．90B CAD ∠=∠=︒，90B DAM ∴∠=∠=︒．在DAM △和DBE 中，AM BE DAM DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE ADM CDN ∴∠=∠=∠，DM DE =．ADC BDC MDN ∠=∠=∠，ADN CDE ∴∠=∠，MDN EDN ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，MDN EDN DN DN ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BN BE BN AM =-=-，BN AM MN ∴-=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．（1）183；（2）见解析【分析】（1）过点B 作BH ⊥AD 于H ，由直角三角形的性质可求BH 的长，由菱形的面积公式可求解；（2）延长DE 至M ，使ME ＝BE ，连接MB ，由题意可证△ABD 是等边三角形，△BCD 是等边三角形，△BEM 是等边三角形，可得∠CBD ＝∠ABD ＝60°＝∠MBE ，AB ＝BD ＝BC ，BM ＝BE ，由“SAS”可证∴△MBD ≌△EBC ，可得MD ＝EC ，即可得结论．【详解】解：（1）如图，过点B 作BH ⊥AD 于H ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝6，∵∠A ＝60°，BH ⊥AD ，∴∠ABH ＝30°，∴AH ＝12AB ＝3，BH ＝3AH ＝33， ∴菱形ABCD 的面积＝AD×BH ＝6×33＝183；（2）如图，延长DE 至M ，ME ＝BE ，连接MB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝CD ＝BC ，∠A ＝60°＝∠BCD ，∴△ABD 是等边三角形，△BCD 是等边三角形，∴∠CBD ＝∠ABD ＝60°，AB ＝BD ＝BC ，∵∠BED ＝2∠A ＝120°，∴∠BEM ＝60°，又∵BE ＝ME ，∴△BEM 是等边三角形，∴BM ＝BE ，∠MBE ＝∠DBC ＝60°，∴∠MBD ＝∠EBC ，∴△MBD ≌△EBC （SAS ），∴MD ＝EC ，∴CE ＝BE+DE ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质应用，结合等边三角形的性质是解题的关键．9．（1）等腰直角三角形；（2）3）图见解析，135°或45°【分析】（1）要判断以BD 、DE 、EC 为边的三角形形状，根据题干中所给条件，只需证明BD EC =即可；（2）先构造出ABE ADC △≌△，进而判断出CAE 是等腰直角三角形，四边形的面积等于ACE △的面积，由此求出AC ，CE 即可；（3）分情况讨论：①当点D 在ABC 内时，作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，利用全等三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题；②当点D 在ABC 外时，作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，利用全等三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题．【详解】解：（1）222BD CE DE +=，∴以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形，2DE =，设BD a =，则DE =，2222a EC a ∴+=，EC a ∴=，BD EC ∴=，∴以BD 、DE 、EC 为边的三角形的形状是等腰直角三角形．故答案：等腰直角三角形．（2）如图①，延长CB 至E ，使BE CD =，连接AE ，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，180ABC ADC ∴∠+∠=︒，180ABC ABE ∠+∠=︒，ABE ADC ∴∠=∠，在ABE △和ADC 中，,,,AB AD ABE ADC BE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ADC SAS ∴△≌△，AE AC ∴=，BAE DAC ∠=∠，90CAE BAE BAC DAC BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，212ACE S AC ∴=△，四边形ABCD 的面积为32，ACE ABCD S S =△四边形， 21322AC ∴=， 8AC ∴=（负值已舍），282EC AC ∴==，82272BC EC BE ∴=-=-=．图①（3）①画图如图②，③．当点D 在ABC 内时，如图②，过点A 作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ， 90BAC DAE ∠=∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD 和CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴≌，6BD CE ∴==，242DE ==2CD =，222EC ED CD ∴=+，90EDC ∴∠=︒，45ADE ∠=︒，4590135ADC ∴∠=︒+︒=︒；②当点D 在ABC 外时，如图③，过点A 作AE AD ⊥，使AE AD =，连接CE ，DE ，90BAC DAE ∠=∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD 和CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴≌，6BD CE ∴==， 242DE ==，2CD =，222EC ED CD ∴=+，90EDC ∴∠=︒，45ADE ∠=︒，45ADC ∴∠=︒．综上所述，ADC ∠的度数为135°或45°．图② 图③【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．10．5【分析】如图，在DC 上截取DF DA =，连接EF ，先证明ADE FDE △≌△，得到AE EF =，5A ∠=∠，然后证明CEF CEB △≌△，得到CF BC =，即可求出答案．【详解】解：如图，在DC 上截取DF DA =，连接EF ，DE 是ADC ∠的角平分线，12∠∠∴=，在△ADE 和△FDE 中，,12,,AD DF DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE FDE SAS ∴△≌△，AE EF ∴=，5A ∠=∠，//AD BC ，180A B ∴∠+∠=︒，56180∠+∠=︒，6B ∴∠=∠， CE 是BCD ∠的角平分线，34∴∠=∠，在CEF △和CEB △中，6,34,,B CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()CEF CEB AAS ∴△≌△，CF BC ∴=，325CD DF CF AD BC ∴=+=+=+=．【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明ADE FDE △≌△是解题关键．。

数学全全等三角形截长补短的专项培优易错试卷练习题及解析

数学全全等三角形截长补短的专项培优易错试卷练习题及解析一、全等三角形截长补短1．已知ABC 是等边三角形，6AB =．（1）如图1，点M 是BC 延长线上一点，60AMN ∠=︒，MN 交ABC 的外角平分线于点N ，求CN CM -的值；（2）如图2，过点A 作AD BC ⊥于点D ，点P 是直线AD 上一点，以CP 为边，在CP 的下方作等边CPQ ，连接DQ ，求DQ 的最小值．2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝30°，点D 是△ABC 内一点，DB ＝DC ，∠DCB ＝30°，点E 是BD 延长线上一点，AE ＝AB ．（1）求∠ADB 的度数；（2）线段DE ，AD ，DC 之间有什么数量关系？请说明理由．3．已知在四边形ABCD 中，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠BAD ＋∠BCD ＝180°，AB ＝BC （1）如图1，连接BD ，若∠BAD ＝90°，AD ＝7，求DC 的长度．（2）如图2，点P 、Q 分别在线段AD 、DC 上，满足PQ ＝AP ＋CQ ，求证：∠PBQ ＝∠ABP ＋∠QBC（3）若点Q 在DC 的延长线上，点P 在DA 的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ ＝AP ＋CQ ，请写出∠PBQ 与∠ADC 的数量关系，并给出证明过程．4．已知：线段AB 及过点A 的直线l ，如果线段AC 与线段AB 关于直线l 对称，连接BC 交直线l 于点D ，以AC 为边作等边△ACE ，使得点E 在AC 的下方，作射线BE 交直线l 于点F ，连接CF ．（1）根据题意将图1补全；（2）如图1，如果∠BAD ＝α（30°＜α＜60°）．①∠BAE=_______，∠ABE=_______（用含有α代数式表示）；②用等式表示线段FA ，FE 与FC 的数量关系，并证明．（3）如图2，如果60°＜α＜90°，直接写出线段FA ，FE 与FC 的数量关系，不证明．5．如图，ABC 是边长为1的等边三角形，BD CD =，120BDC ∠=︒，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且60EDF ∠=︒，求AEF 的周长．6．如图①，ABC 和BDC 是等腰三角形，且AB AC =，BD CD =，80BAC ∠=︒，100∠=︒BDC ，以D 为顶点作一个50︒角，角的两边分别交边AB ，AC 于点E 、F ，连接EF ．（1）探究BE 、EF 、FC 之间的关系，并说明理由；（2）若点E 、F 分别在AB 、CA 延长线上，其他条件不变，如图②所示，则BE 、EF 、FC 之间存在什么样的关系？并说明理由．7．如图，ABC ∆中，BE ，CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BE ，CD 相交于点F ，60A ∠=︒．（1）求BFD ∠的度数；（2）判断BC ，BD ，CE 之间的等量关系，并证明你的结论．8．如图，在正方形ABCD 中，点E 迕射线BC 上，连接AE ，作EF AE ⊥，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．（1）若点E 在边BC 的中点处时，AE ________EF （填“＞”“＜”或“=”）（2）若点E 为边BC 上的任意一点（不含点B ，C ），探究此时AE 与EF 的数量关系，并说明理由．（3）若点E 是边BC 延长线上的一点，探究此时AE 与EF 的数量关系，并说明理由． 9．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC ，且AE 、BE 交CD 于点E ．试说明AD ＝AB ﹣BC 的理由．10．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．（1）求出AFC ∠的度数；（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）6；（2）32【分析】（1）在CN 上截取点H ，使CH=CM ，先证出△CMH 为等边三角形，然后利用ASA 证出△AMC ≌△NMH ，从而得出AC=NH ，从而求出结论；（2）连接BQ ，利用SAS 证出△QCB ≌△PCA ，从而得出∠CBQ=∠CAP ，然后根据三线合一和等量代换即可求出∠CBQ=30°、∠ABQ =90°，从而判断出点Q 的运动轨迹，然后根据垂线段最短即可得出当DQ ⊥BQ 时，DQ 最短，然后利用30°所对的直角边是斜边的一半即可得出结论．【详解】解：（1）在CN 上截取点H ，使CH=CM ，连接MH∵△ABC 为等边三角形∴∠ACB=60°，AC=AB=6∴∠ACM=180°－∠ACB=120°∵CN 平分∠ACM∴∠MCN=12∠ACM=60° ∴△CMH 为等边三角形 ∴CM=HM ，∠CMH=∠CHM=60°∴∠NHM=180°－∠CHM=120°，∠AMC ＋∠AMH=60°∴∠ACM=∠NHM∵60AMN ∠=︒∴∠NMH ＋∠AMH=60°∴∠AMC=∠NMH在△AMC 和△NMH 中AMC NMH CM HMACM NHM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AMC ≌△NMH∴AC=NH∴CN CM -=CN －CH=NH=AC=6（2）连接BQ∵△ABC 和△CPQ 都是等边三角形∴BC=AC ，QC=PC ，∠PCQ =∠ACB=∠ABC=∠BAC =60°∴∠PCQ －∠PCB=∠ACB －∠PCB∴∠QCB=∠PCA在△QCB 和△PCA 中BC AC QCB PCA QC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QCB ≌△PCA∴∠CBQ=∠CAP∵AD BC ⊥∴∠CAP=12∠BAC=30°，BD=12BC=3 ∴∠CBQ=30°∴∠ABQ=∠ABC ＋∠CBQ=90°∴点Q在过点B作AB的垂线上运动根据垂线段最短可得：当DQ⊥BQ时，DQ最短此时在Rt△BDQ中，∠QBD=30°∴DQ=12BD=32即DQ的最小值为32．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、直角三角形的性质和垂线段最短的应用，掌握构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、30°所对的直角边是斜边的一半和垂线段最短是解决此题的关键．2．（1）120°；（2）DE＝AD+CD，理由见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝75°，根据全等三角形的性质得到∠BAD ＝∠CAD＝15°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，得到△ADM是等边三角形，根据△ABD≌△AEM，得到BD＝ME，结合图形证明结论【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝12（180°﹣30°）＝75°，∵DB＝DC，∠DCB＝30°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°，在△ABD和△ACD中，AB AC DB DC AD AD=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC＝15°，∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°；（2）DE＝AD+CD，理由如下：在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，∵∠ADE＝60°，DM＝AD，∴△ADM是等边三角形，∴∠ADB＝∠AME＝120°．∵AE＝AB，∴∠ABD＝∠E，在△ABD 和△AEM 中，ABD E ADB AME AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△AEM （AAS ），∴BD ＝ME ，∵BD ＝CD ，∴CD ＝ME ．∵DE ＝DM +ME ，∴DE ＝AD +CD ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．（1）7DC =；（2）见解析；（3）1902PBQ ADC ∠=︒+∠，证明见解析【分析】（1）根据已知条件得出BDC 为直角三角形，再根据HL 证出△≌△Rt BAD Rt BCD ，从而证出AD CD =即可得出结论；（2）如图2，延长DC 到 K ，使得CK=AP ，连接BK ，通过证△BPA ≌△BCK （SAS ）得到：∠1=∠2，BP=BK ．然后根据SSS 证明得≌PBQ BKQ ，从而得出21PBQ CBQ CBQ ∠=∠+∠=∠+∠，然后得出结论；（3）如图3，在CD 延长线上找一点K ，使得KC=AP ，连接BK ，构建全等三角形：△BPA ≌△BCK （SAS ），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS 证得：△PBQ ≌△BKQ ，则其对应角相等：∠PBQ=∠KBQ ，结合四边形的内角和是360°可以推得：∠PBQ=90°+12∠ADC ．【详解】（1）证明：如图1，∵180ABC ADC ∠+∠=︒，90BAD ∠=︒，∴90BCD BAD ∠=∠=︒，在Rt BAD 和Rt BCD 中，BD BD AB BC =⎧⎨=⎩∴()△≌△Rt BAD Rt BCD HL ，∴AD DC =，∴7DC =；（2）如图2，延长DC 至点K ，使得CK AP =，连接BK∵180ABC ADC ∠+∠=︒，∴180BAD BCD ∠+∠=︒，∵180BCD BCK ∠+∠=︒，∴BAD BCK ∠=∠，∵AP CK =，AB BC =，∴()△≌△BPA BCK SAS ， ∴12∠=∠，BP BK =，∵PQ AP CQ =+，QK CK CQ =+，∴PQ QK =，∵BP BK =，BQ BQ =，∴()≌PBQ BKQ SSS ，∴21PBQ CBQ CBQ ∠=∠+∠=∠+∠，∴PBQ ABP QBC ∠=∠+∠；（3）1902PBQ ADC ∠=︒+∠；如图3，在CD 延长线上找一点K ，使得KC AP =，连接BK ，∵180ABC ADC ∠+∠=︒，∴180BAD BCD ∠+∠=︒，∵180BAD PAB ∠+∠=︒，∴PAB BCK ∠=∠，在BPA △和BCK 中，AP CK BAP BCK AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()△≌△BPA BCK SAS ， ∴ABP CBK ∠=∠，BP BK =，∴PBK ABC ∠=∠，∵PQ AP CQ =+，∴PQ QK =，在PBQ △和BKQ 中，BP BK BQ BQ PQ KQ =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()≌PBQ BKQ SSS ，∴PBQ KBQ ∠=∠，∴22360PBQ PBK PBQ ABC ∠+∠=∠+∠=︒，∴()2180360PBQ ADC ∠+︒-∠=︒，∴1902PBQ ADC ∠=︒+∠．．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．4．（1）作图见解析；（2）①260α-︒，120α︒-；②FA=FC +FE ，证明见解析；（3）AF=FC-EF ．【分析】（1）先根据轴对称的性质作出线段AC ，再分别以A 、C 为圆心，AC 长为半径画弧，两弧交于点E ，可得等边△ACE ，最后根据题意画出图形即可；（2）①根据轴对称的性质可得∠BAC=2∠BAD=2α，根据等边三角形的性质可知∠EAC=60°，根据角的和差关系即可表示出∠BAE ；根据轴对称的性质和等边三角形的性质可得AB=AE ，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可表示出∠ABE ；②在FA 上截取FG=EF ，连接EG ，利用三角形内角和定理可得∠AFB=60°，即可证明△EFG 是等边三角形，根据角的和差故选可得∠AEG=∠CEF ，利用SAS 可证明△AEG ≌△CEF ，即可得出AG=CF ，根据线段的和差关系即可得结论；（3）由60°＜α＜90°可知点E 在直线l 右侧，根据题意画出图形，在FA 上截取FG=EF ，根据轴对称的性质可得AF ⊥BC ，BF=CF ，根据（2）中结论可得∠FBC=∠FCB=30°，利用三角形外角性质可得∠GFE=60°，可证明三角形EFG 是等边三角形，利用SAS 可证明△AEF ≌△CEG ，可得FA=CG ，根据线段的和差关系即可得答案．【详解】（1）补全图形如下：（2）①260α-︒，120.α︒-①∵AB 、AC 关于直线l 对称，∴∠BAD=∠CAD ，AB=AC ，∵△ACE 是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC=EC ，∵∠BAD=α，∴∠BAC=BAD+∠CAD=2∠BAD=2α，∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=2α-60°．∵AB=AC ，AC=AE ，∴∠ABE=12（180°-∠BAE）=120°-α．故答案为：2α-60°，120°-α②数量关系是FA =FC +FE，证明如下：在FA上截取FG=EF，连接EG，由①得，∠ABE=120°-α，∠BAD=α，∴∠AFB=180°-∠ABE-∠BAD=60°，∴△EFG为等边三角形，∴EG=FE=FG，∠GEF=60°，∵△AEC是等边三角形，∴∠AEC=60°，AE=CE，∴∠AEC=∠GEF=60°，∴∠AEC-∠GEC=∠GEF-∠GEC，即∠AEG=∠CEF，在△AEG和△CEF中，EG EFAEG CEF AE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEG≌△CEF，∴AG=FC∴FA=AG+FG=FC+FE，（3）AF=FC-EF．∵60°＜α＜90°，∴如图所示，点E在直线l右侧，在FA上截取FG=EF，连接EG，∵AB、AC关于直线l对称，点F在直线l上，∴AF⊥BC，BF=CF，∴∠ABC=∠ACB=90°-α，由（2）可知∠ABE=120°-α，∴∠FBC=∠FCB=120°-α-（90°-α）=30°，∴∠EFG=∠FBC+∠FCB=60°，∴△EFG是等边三角形，∴∠FEG=60°，∵∠AEC=60°，∴∠AEF+∠AEG=∠CEG+∠AEG=60°，∴∠AEF=∠CEG，在△AEF和△CEG中，EF EGAEF CEG AE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△CEG，∴AF=FC-EF ．【点睛】本题考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，根据轴对称的性质正确得出对应边并熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．5．2【分析】延长AC 至点P ，使CP BE =，连接PD ，证明()BDE CDP SAS △△推出DE DP =，BDE CDP ∠=∠，进而得到60EDF PDF ∠=∠=︒，从而证明()DEF DPF SAS ≌△△，推出EF=CP ，由此求出AEF 的周长=AB+AC 得到答案.【详解】解：如图，延长AC 至点P ，使CP BE =，连接PD ．∵ABC 是等边三角形， ∴60ABC ACB ∠=∠=︒． ∵BD CD =，120BDC ∠=︒， ∴30DBC DCB ∠=∠=︒， ∴90EBD DCF ∠=∠=︒， ∴90DCP DBE ∠=∠=︒．在BDE 和CDP 中，BD CD DBE DCP BE CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BDE CDP SAS △△，∴DE DP =，BDE CDP ∠=∠．∵120BDC ∠=︒，60EDF ∠=︒，∴60BDE CDF ∠+∠=︒，∴60CDP CDF ∠+∠=︒，∴60EDF PDF ∠=∠=︒．在DEF 和DPF 中，DE DP EDF PDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DEF DPF SAS ≌△△， ∴EF FP =，∴EF FC BE =+，∴AEF 的周长2AE EF AF AB AC =++=+=.【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形等边对等角的性质，题中辅助线的引出是解题的关键.6．（1）EF=BE+FC ；（2）EF=FC-BE ．【分析】（1）由等腰三角形的性质，解得50ABC ACB ∠=∠=︒，40DBC DCB ∠=∠=︒，延长AB 至G ，使得BG=CF ，连接DG ，进而证明GBD △()FCD SAS ≅，再根据全等三角形对应边相等的性质解得DG FD =，再结合等腰三角形的性质可证明DEF ()DGE SAS ≅，最后根据全等三角形的性质解题即可；（2）在CA 上截取CG=BE,连接DG ，由等腰三角形的性质，可得50ABC ACB ∠=∠=︒，40DBC DCB ∠=∠=︒，进而证明BED ≅()CGD SAS 得到DG DE =，据此方法再证明EDF ≅()GDF SAS ，最后根据全等三角形的性质解题即可．【详解】（1）ABC 和BDC 是等腰三角形，ABC ACB ∴∠=∠ DBC DCB ∴∠=∠80BAC AB AC ∠=︒=，50ABC ACB ∴∠=∠=︒100BDC BD CD ∠=︒=，40DBC DCB ∴∠=∠=︒90ABD ACD DCF ∴∠=∠=︒=∠延长AB 至G ，使得BG=CF ，连接DG18090GBD ABD ∠=︒-∠=︒在GBD △和FCD 中，BG=CF ，GBD DCF BD FD ∠=∠=，∴GBD △()FCD SAS ≅，DG FD ∴=BDG CDF ∴∠=∠50100EDF BDC ∴∠=︒∠=︒，50BDE CDF ∴∠+∠=︒50GDE BDG BDE CDF BDE ∠=∠+∠=∠+∠=︒在DEF 和DGE △中，DE=DE ，EDF GDE DF GD ∠=∠=，∴DEF ()DGE SAS ≅，EF EG BE GB BE CF ∴==+=+（2）在CA 上截取CG=BE,连接DGABC 是等腰三角形，80BAC ∠=︒50ABC ACB ∴∠=∠=︒100BDC BD CD ∠=︒=，40DBC DCB ∴∠=∠=︒90EBD GCD ∴∠=∠=︒CG BE BD CD ==，在BED 和CGD △中，CG=BE ，EBD GCD BD CD ∠=∠=，BED ∴≅()CGD SASDG DE ∴=在EDF 和GDF 中，FD=FD ，GDF EDF ED GD ∠=∠=，EDF ∴≅()GDF SASEF FG FC CG FC BE ∴==-=-【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．7．（1）∠BFD ＝60°；（2）BC ＝BD ＋CE ；证明见解析【分析】（1）根据角平分线和外角性质求解即可；（2）在BC 上截取BG ＝BD ，连接FG ，证明△BDF ≌△BGF ，△CGF ≌△CEF ，即可得到结果；【详解】（1）∵BE ，CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BE ，∴ABE CBE ∠=∠，ACD BCD ∠=∠，∵60A ∠=︒，∴120ABC ACB ∠+∠=︒，∴60FBC FCB ∠+∠=︒，∴60DFB ∠=︒．（2）BC ＝BD ＋CE ；证明方法：在BC 上截取BG ＝BD ，连接FG ，在△BDF 和△BGF 中，BD BG DBF GBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△BDF BGFSAS ≅， ∴60DFB BFG ∠=∠=︒，又∵GCF ECF ∠=∠，∴△CGF ≌△CEF （ASA ）,∴CE ＝CG ，∴BC ＝BD ＋CE ．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、外角定理、三角形全等应用，准确分析是解题的关键．8．（1）=；（2）AE EF =，见解析；（3）AE EF =，见解析【分析】（1）作辅助线，AH=EC ，∠1=∠2，∠AHE=∠ECF=180°-45°=135°，则△AHE ≌△ECF ；（2）作辅助线，仍然证明△AME ≌△ECF 得出结论；（3）做辅助线，仍然证明ANE ECF △≌△得出结论．【详解】解：（1）证明：取AB 的中点H ，连接EH ；∵ABCD 是正方形，AE ⊥EF ；∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°∴∠1=∠2，∵BH=BE ，∠BHE=45°，且∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE ，∴△AHE ≌△ECF ，∴AE=EF ；（2）在AB 上取一点M ，使得AM EC =，连接ME∴BM BE =∴45BME ∠=︒∴135AME ∠=︒∵CF 是正方形外角平分线∴45DCF ∠=︒∴135ECF ∠=︒∴AME ECF ∠=∠∵90AEB BAE ∠+∠=︒，90AEB CEF ∠+∠=︒∴BAE CEF ∠=∠∴AME ECF △≌△∴AE EF =（3）在BA 的延长线上取一点N ，使AN CE =，连接NE∴BN NE =∴45N NEC ∠=∠=︒∵CF 是正方形外角平分线∴45FEC ∠=︒∴N FEC ∠=∠∵四边形ABCD 是正方形 ∴AD BE∴DAE BEA ∠=∠ 即9090DAE BEA ∴NAE CEF ∠=∠∴ANE ECF △≌△∴AE EF =【点睛】本题是四边形的综合题，综合考查了正方形、全等三角形的性质和判定，解决此类题的思路为：构造两个三角形全等；熟练掌握正方形的性质是本题的关键．9．见解析【分析】在AB 上找到F 使得AF ＝AD ，易证△AEF ≌△AED ，可得AF ＝AD ，∠AFE ＝∠D ，根据平行线性质可证∠C ＝∠BFE ，即可证明△BEC ≌△BEF ，可得BF ＝BC ，即可解题．【详解】证明：在AB 上找到F 使得AF ＝AD ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠EAD ＝∠EAF ，∵在△AEF 和△AED 中，AD AF EAD EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AED ，（SAS ）∴AF ＝AD ，∠AFE ＝∠D ，∵AD ∥BC ，∴∠D ＋∠C ＝180°，∵∠AFE ＋∠BFE ＝180°∴∠C ＝∠BFE ，∵BE 平分∠BAD ，∴∠FBE ＝∠C ，∵在△BEC 和△BEF 中，BFE C FBE CBE BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△BEF ，（AAS ）∴BF ＝BC ，∵AB ＝AF ＋BF ，∴AB ＝AD ＋BC ，即AD ＝AB ﹣BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AED 和△BEC ≌△BEF 是解题的关键．10．（1）∠AFC ＝120°；（2）FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由见解析；（3）AC ＝AE+CD ．理由见解析．【分析】（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC ，∠ACF 即可解决问题;（2）根据在图2的 AC 上截取CG=CD ，证得△CFG ≌△CFD (SAS),得出DF= GF ；再根据ASA 证明△AFG ≌△AFE ，得EF=FG ，故得出EF=FD ；（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC 上截取AG=AE ，证得△EAF ≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA ；再根据ASA 证明△FDC ≌△FGC ，得CD=CG 即可解决问题．【详解】（1）解：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠BAC ＝90°﹣60°＝30°，∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，∴∠FAC ＝15°，∠FCA ＝45°，∴∠AFC ＝180°﹣（∠FAC+∠ACF ）＝120°（2）解：FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由：如图2，在AC 上截取CG ＝CD ，∵CE 是∠BCA 的平分线，∴∠DCF ＝∠GCF ，在△CFG 和△CFD 中，CG CD DCF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CFG ≌△CFD （SAS ），∴DF ＝GF ．∠CFD ＝∠CFG由（1）∠AFC ＝120°得，∴∠CFD ＝∠CFG ＝∠AFE ＝60°，∴∠AFG ＝60°，又∵∠AFE ＝∠CFD ＝60°，∴∠AFE ＝∠AFG ，在△AFG 和△AFE 中，AFE AFG AF AFEAF GAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AFG ≌△AFE （ASA ），∴EF ＝GF ，∴DF ＝EF ；（3）结论：AC ＝AE+CD ．理由：如图3，在AC 上截取AG ＝AE ，同（2）可得，△EAF ≌△GAF （SAS ），∴∠EFA ＝∠GFA ，AG ＝AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC ＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12×120°=120°， ∴∠EFA ＝∠GFA ＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC ，∴∠CFG ＝∠CFD ＝60°，同（2）可得，△FDC ≌△FGC （ASA ），∴CD ＝CG ，∴AC ＝AG+CG ＝AE+CD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．。

专题：三角形全等之截长补短

专题：三角形全等之截长补短方法渗透：1.已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．求证：AC=AB+BD．2.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=80°，AD是∠BAC的平分线．求证：AC=AB+BD．3.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB边上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．求证：CD=AD+BC．4.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

5.已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠B=∠D=∠BAD=90°，E，F分别为CD，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF．求证：EF=BF+DE．6.如图，在正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分∠DAE，连接EF．求证：AE=BE+DF．7.已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =60°，△ABC 的角平分线AD ，CE 交于点O ．求证：AC =AE +CD ．8.已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ．求证：CE=DB 219.如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE．FEDCB A10.已知：如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，∠C=60°，BD平分∠ABC．求证：BC=AB+AD．11.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，连接EC．求证：BC=AB+CE．12.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB于E，△BDC为等腰直角三角形，∠BDC=90°，BD=CD，CE与BD交于F，连接AF．求证：CF=AB+AF．巩固提高：1.如图1，△ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB ，E 是AC 上一点，D 是BC 延长线上一点，且CE=CD ，连接BE 、AD 、ED ．（1）填空：若BE=2，则AD=，BE 与AD 的位置关系是；（2）如图2，将△CDE 绕点C 顺时针旋转α︒（090α<<），BE 分别与AD 、AC 交于点F 、G ，其它条件不变，则BE 和AD 有何关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若E 点恰好落在AD 中点，连接BD （如图3）．求证：∠CBD=∠ABE-∠CAD ．2.如图1，等边△ABC 中，CE 平分∠ACB ，D 为BC 边上一点，且DE=CD ，连接BE ．（1）如图2，取BE 中点P ，连接AP ，PD ，AD ，求证：AP ⊥PD ；（2）如图3，把图2中的△CDE 绕点C 顺时针旋转任意角度，然后连接BE ，点P 为BE 中点，连接AP ，PD ，AD ，问第（2）问中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．图3图1图23.在△ABC中，以AB为斜边，作直角△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB=90°，如图，若AB=AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：PB=PC；4.已知：在Rt△ABC中，AB=BC．在Rt△ADE中，AD=DE；连接EC，取EC中点M，连接DM和BM．（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，猜想BM与DM的关系；（2）如果将图1中的Rt△ADE绕点A逆时针旋转90°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．（3）如果将图1中的Rt△ADE绕点A逆时针旋转大于90°且小于135°的角，如图3，那么（1）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．。

数学数学全全等三角形截长补短试题及解析

数学数学全全等三角形截长补短试题及解析一、全等三角形截长补短1．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，以AB 为边向AB 左侧作等边△ABE ，直线CE 与直线AD 交于点F ．请探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC 的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF 和CF 之间存在某种数量关系．”小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”......老师：“若以AB 为边向AB 右侧作等边△ABE ，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF 、AF 、DF 三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC 的度数；（2）在图1中探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明．2．如图，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠<︒，D 是边BC 的中点，以AC 为边作等边三角形ACE ，且ACE △与ABC 在直线AC 的异侧，连接BE 交DA 的延长线于点F ，连接FC 交AE 于点M ．（1）求证：FB FC =；（2）求证：FEA FCA ∠=∠；（3）若8FE =，2AD =，求AF 的长．3．如图，ABC 中，点D 在AC 边上，且1902BDC ABD ∠=+∠．（1）求证：DB AB =；（2）点E 在BC 边上，连接AE 交BD 于点F ，且AFD ABC ∠=∠，BE CD =，求ACB ∠的度数．（3）在（2）的条件下，若16BC =，ABF 的周长等于30，求AF 的长．4．已知等边三角形ABC ，D 为△ABC 外一点，BDC 120∠=︒，BD=DC ，MDN 60∠=︒，射线DM 与直线AB 相交于点M ，射线DN 与直线AC 相交于点N ．（1）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，直接写出BM 、NC 、MN 之间的数量关系；（2）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM ≠DN 时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明；（3）当点M 、N 在边AB 、CA 的延长线上时，请画出图形，并求出BM 、NC 、MN 之间的数量关系．5．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若AC=2cm ，求四边形ABCD 的面积．解：延长线段CB 到E ，使得BE=CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE ≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD ，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积． 6．如图，四边形ABCD 为矩形，F 为对角线BD 上一点，过点F 作FE BD ⊥交AD 于点H ，交BA 的延长线于点E ，连接AF ，当FD FE =时，求证：2AH AB AF +=．7．在菱形ABCD 中，射线BM 从对角线BD 所在的位置开始绕着点B 逆时针旋转，旋转角为()0180αα︒<<︒，点E 在射线BM 上，DEB DAB ∠=∠．（1）当60DAB ∠=︒时，BM 旋转到图①的位置，线段BE ，DE ，AE 之间的数量关系是______；（2）在（1）的基础上，当BM 旋转到图②的位置时，探究线段BE ，DE ，AE 之间的数量关系，并证明；（3）将图②中的60DAB ∠=︒改为90DAB ∠=︒，如图③，其他条件不变，请直接写出线段BE ，DE ，AE 之间的数量关系．8．如图，在等边△ABC 中，BD ＝CE ，连接AD 、BE 交于点F ．（1）求∠AFE 的度数；（2）求证：AC•DF ＝BD•BF ；（3）连接FC ，若CF ⊥AD 时，求证：BD ＝12DC ．9．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M，点G是线段CE上一点，且CO=CG．（1）若OF=4，求FG的长；（2）求证：BF=OG+CF．10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）60°；（2）EF=AF+FC，证明见解析；（3）AF=EF+2DF，证明见解析．【分析】（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度数；（2）在EC上截取EG＝CF，连接AG，证明△AEG≌△ACF，然后再证明△AFG为等边三角形，从而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；（3）在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，证明方法类似（2），先证明△ABG≌△EBF，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．【详解】解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，又△ABE为等边三角形，∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，证明如下：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，连接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG为等边三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）补全图形如图所示，结论：AF=EF+2DF ．证明如下：同（1）可设∠BAD ＝∠CAD ＝α，∠ACE ＝∠AEC ＝β，∴∠CAE ＝180°－2β，∴∠BAE ＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE 为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字图可得：∠BAD ＝∠BEF ，在AF 上截取AG ＝EF ，连接BG ，BF ，又AB=BE ，∴△ABG ≌△EBF （SAS ），∴BG ＝BF ，又AF 垂直平分BC ，∴BF=CF ，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG 为等边三角形，∴BG=BF ，又BC ⊥FG ，∴FG=BF=2DF ，∴AF ＝AG ＋GF ＝BF ＋EF ＝2DF ＋EF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．2．（1）见解析；（2）见解析；（3）4【分析】（1）利用AD 所在直线是BC 的垂直平分线，点F 在直线AD 上即可得出结论．（2）由ACE △是等边三角形，得AC=AE=AB 推得ABF FEA ∠=∠．易证ABF ≌ACF （SSS ），ABF FCA FEA ∠=∠=∠即可，（3）延长AD 至点P 处，使DP AD ，连接CP ．先证直角三角形ADC ≌PDC△（SAS ），推出AC CP CE ==，ACD PCD ∠=∠．再证60EFC EAC ∠=∠=︒．求出，FBD 30FCD ∠=∠=︒．用ACD ∠表示30ECF ACD ∠=︒+∠．而30FCP ACD ∠=︒+∠，得ECF FCP ∠=∠．可证ECF △≌PCF （SAS ），可推得AF EF AP =-即可．【详解】（1）证明：∵AB AC =，D 是边BC 的中点，∴AD 所在直线是BC 的垂直平分线，又∵点F 在直线AD 上∴FB FC =．（2）证明：∵ACE △是等边三角形，∴60EAC ACE ∠=∠=︒，AC AE =．∵AB AC =，∴AB AE =，∴ABF FEA ∠=∠．由（1）可知，FB FC =，又∵AF AF =，AB AC =，∴ABF ≌ACF （SSS ），∴ABF FCA ∠=∠，∴FEA FCA ∠=∠．（3）解：如图，延长AD 至点P 处，使DP AD ，连接CP ．∵AB AC =，D 是边BC 的中点，∴90ADC PDC ∠=∠=︒．∵ACE △是等边三角形，∴AC CE =，60EAC ∠=︒．∵AD DP =，ADC PDC ∠=∠，CD CD =，∴ADC ≌PDC △（SAS ），∴AC CP CE ==，ACD PCD ∠=∠．由（2）可知，FEA FCA ∠=∠，∵AMC FME ∠=∠，∴60EFC EAC ∠=∠=︒．由（1）可知，BF CF =， ∴()18060260BFD CFD ∠=∠=︒-︒÷=︒，∴906030FCD ∠=︒-︒=︒．∵FCA FCD ACD ∠=∠-∠，∴30FCA ACD ∠=︒-∠．∵ECF ECA FCA ∠=∠-∠，∴()303030ECF ECA ACD ECA ACD ACD ∠=∠-︒-∠=∠-︒+∠=︒+∠． ∵FCP FCD PCD ∠=∠+∠，∴30FCP ACD ∠=︒+∠，∴ECF FCP ∠=∠．∵FC FC =，CE CP =，∴ECF △≌PCF （SAS ），∴2FE FA AP AF AD =+=+，∴2822=4AF EF AD =-=-⨯．【点睛】本题考查线段垂直平分线性质，等边三角形性质，三角形全等判定与性质，掌握线段垂直平分线性质，等边三角形性质，三角形全等判定与性质，会利用引辅助线构造三角形全等转化线与线关系，角与角关系来解决问题．3．（1）见解析；（2）ACB ∠＝60°；（3）AF ＝11【分析】（1）根据三角形内角与外角之间的关系建立等式，运用等量代换得出A BDA ∠=∠，证得DB AB =；（2）作CH ＝BE ，连接DH ，根据角的数量关系证得EAC C ∠=∠，再由三角形全等判定得△BDH ≌△ABE ，最后推出△DCH 为等边三角形，即可得出ACB ∠＝60°；（3）借助辅助线AO ⊥CE ，构造直角三角形，并结合平行线构造△BFE ∽△BDH ，建立相应的等量关系式，完成等式变形和求值，即可得出AF 的值．【详解】（1）证明：∵∠BDC ＝90°＋12∠ABD ，∠BDC=∠ABD+∠A ， ∴ ∠A ＝90°－12∠ABD ． ∵∠BDC ＋∠BDA ＝180°，∴∠BDA ＝180°－∠BDC ＝90°－12∠ABD ． ∴ ∠A ＝∠BDA ＝90°－12∠ABD ． ∴DB ＝AB ．解：（2）如图1，作CH ＝BE ，连接DH ，∵∠AFD ＝∠ABC ，∠AFD ＝∠ABD ＋∠BAE ，∠ABC ＝∠ABD ＋∠DBC ，∴∠BAE ＝∠DBC ．∵由（1）知，∠BAD ＝∠BDA ，又∵∠EAC ＝∠BAD －∠BAE ，∠C ＝∠ADB －∠DBC ，∴∠CAE ＝∠C ．∵BE ＝CH ，∴BE ＋EH ＝CH ＋EH ．即BH ＝CE ＝AE ．∵AB ＝BD ，∴△BDH ≌△ABE ．∴BE ＝DH ．∵BE ＝CD ，∴CH ＝DH ＝CD ．∴△DCH 为等边三角形．∴∠ACB ＝60°．（3）如图2，过点A 作AO ⊥CE ，垂足为O ．∵DH ∥AE ，∴∠CAE ＝∠CDH ＝60°，∠AEC ＝∠DHC ＝60°．∴△ACE 是等边三角形．设AC ＝CE ＝AE ＝x ，则BE ＝16－x ，∵DH ∥AE ，∴△BFE ∽△BDH ． ∴16BF BE EF x BD BH DH x-===． ∴1616x x BF BD AB x x--==， ()21616x x EF DH x x--==． ∵△ABF 的周长等于30，即AB ＋BF ＋AF ＝AB ＋16x AB x -＋x －()216x x-=30，解得AB ＝16－8x ．在Rt △ACO 中，AC ＝2x ，AO ＝2， ∴BO ＝16－2x ．在Rt △ABO 中，AO 2＋BO 2＝AB 2，即2221616428x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得10x =（舍去）225621x =． ∴AC ＝25621． ∴AF ＝11．【点睛】本题考查了三角形角的性质、等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是能熟练掌握三角形的性质与全等判定并借助辅助线构造特殊三角形的能力，．4．（1）BM+NC=MN ，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）NC-BM=MN ，证明见解析．【分析】（1）由DM=DN ，∠MDN=60°，可证得△MDN 是等边三角形，又由△ABC 是等边三角形，CD=BD ，易证得Rt △BDM ≌Rt △CDN ，然后由直角三角形的性质，即可求得BM 、NC 、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN ；（2）在CN 的延长线上截取CM 1=BM ，连接DM 1．可证△DBM ≌△DCM 1，即可得DM=DM 1，易证得∠CDN=∠MDN=60°，则可证得△MDN ≌△M 1DN ，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3）首先在CN 上截取CM 1=BM ，连接DM 1，可证△DBM ≌△DCM 1，即可得DM=DM 1，然后证得∠CDN=∠MDN=60°，易证得△MDN ≌△M 1DN ，则可得NC-BM=MN ．【详解】解（1）BM 、NC 、MN 之间的数量关系：BM+NC=MN ．证明如下：∵BD=DC ，DM=DN ，MDN 60∠=︒∴∠BDC=∠DCB=180302BDC ，△MDN 为等边三角形， ∴MN=MD=DN ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=90°，∴Rt △BDM ≌Rt △CDN （HL ），∴∠BDM =∠CDN=302BDC MDN ， ∴11,22BM DM NC DN , ∴BM+NC=MN ．（2）猜想：结论仍然成立．证明：在CN 的反向延长线上截取CM 1=BM ，连接DM 1．∵∠MBD=∠M 1CD=90°，BD=CD ，∴△DBM ≌△DCM 1，∴DM=DM 1，∠MBD=∠M 1CD ，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠M 1DN=∠MDN=60°，∴△MDN ≌△M 1DN ，∴MN=M1N=M 1C+NC=BM+NC ，（3）证明：在CN 上截取CM 1=BM ，连接DM 1．与（2）同理可证△DBM ≌△DCM 1，∴DM=DM 1，与（2）同理可证∠CDN=∠MDN=60°，∴△MDN ≌△M 1DN ，∴MN=M 1N ，∴NC-BM=MN ．【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．5．（1）2；（2）4【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC 的面积即可；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，由（1）易证FGH FNK ≌，则有FK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH ≌，故可求解．【详解】（1）由题意知21=22ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S SS S S S =+=+==四边形，故答案为2；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，∴∠FNK=∠FGH=90°，∴FGH FNK ≌， ∴FH=FK ，又FM=FM ，HM=KM=MN+GH=MN+NK ，∴FMK FMH ≌，∴MK=FN=2cm ，∴12=242FGH HFM MFN FMK FGHMN S SS S S MK FN =++=⨯⋅=五边形．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用． 6．见解析【分析】过点F 作FN AF ⊥交AB 的延长线于点N ，先证明()EFN DFA ASA △≌△，可得N DAF ∠=∠，FN AF =，从而可以证明()AHF NBF ASA △≌△，可证得AH BN =，即可得证2AH AB +=．【详解】证明：如图，过点F 作FN AF ⊥交AB 的延长线于点N ，EF DF ⊥，EA AD ⊥，90E ABD ∴∠+∠=︒，90ADF ABD ∠+∠=︒，E ADF ∴∠=∠，90AFN EFD ∠=∠=︒，AFD EFN ∴∠=∠，在EFN 和DFA 中，,,,EFN DFA EF DF E ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EFN DFA ASA ∴△≌△，N DAF ∴∠=∠，FN AF =，又90AFN ∠=︒， 2AN AF ∴=，90AFN EFB ∠=∠=︒，AFH BFN ∴∠=∠，在AHF △和NBF 中， ,,,AFH NFB AF NF HAF N ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AHF NBF ASA ∴△≌△，AH BN ∴=，2AH AB BN AB AN AF ∴+=+==．【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 7．（1）BE DE AE =+；（2）BE DE AE =-，证明见解析；（3）2BE DE =【分析】（1）在射线BM 上截取BF DE =，连接AF ，首先利用菱形的性质证明ADE ABF ≌，然后利用全等三角形的性质及等边三角形的性质得出EF AE =，从而可得出结论BE DE AE =+；（2）在DE 上截取DG BE =，连接AG ，首先利用菱形的性质证明ADG ABE ≌，然后利用全等三角形的性质及等边三角形的性质得出EG AE =，从而可得出结论BE DE AE =-；（3）在DE 上截取DH BE =，连接AH ，首先利用正方形的性质证明ADH ABE △≌，然后利用全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质得出2EH AE =，从而可得出结论2BE DE AE =-．【详解】（1）解：BE DE AE =+；如图①，在射线BM 上截取BF DE =，连接AF ，60DEB DAB ∠=∠=︒，EDA ABE ∴∠=∠．四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=．()ADE ABF SAS ∴△≌△，AE AF ∴=，EAD BAF ∠=∠．60DAB DAF BAF DAF EAD EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．AEF ∴是等边三角形，EF AE ∴=．BE BF EF =+，BE DE AE ∴=+．图①（2）BE DE AE =-．证明：如图②，在DE 上截取DG BE =，连接AG ，60DEB DAB ∠=∠=︒，EDA ABE ∴∠=∠．四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=．()ADG SAS ∴△≌△ABE ．AE AG ∴=，DAG BAE ∠∠=．60DAB DAG BAG BAE BAG EAG ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．∴AEG 是等边三角形．EG AE ∴=．DG DE EG =-，BE DE AE ∴=-；图②（3）2BE DE AE =-．如图③，在DE 上截取DH BE =，连接AH ，90DEB DAB ∠=∠=︒，EDA ABE ∴∠=∠．四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=．()ADH ABE SAS ∴△≌△．AE AH ∴=，HAD BAE ∠=∠．90DAB DAH BAH BAE BAH EAH ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．AEH ∴是等腰直角三角形．2EH AE ∴=．DH DE EH =-，2BE DE AE ∴=-．图③【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形和等边三角形的性质，正方形和菱形的性质，合理的作出辅助线是解题的关键．8．（1）60°；（2）证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）证明△ABD ≌△BCE （SAS ），得出∠BAD ＝∠CBE ，则∠BFD ＝∠AFE ＝∠ABC ＝60°；（2）证明△ADB ∽△BDF ，得出=AB BD BF DF，由AB ＝AC 可得出结论；（3）延长BE 至H ，使FH ＝AF ，连接AH ，CH ，证明△BAF ≌△CAH （SAS ），得出∠ABF ＝∠ACH ，CH ＝BF ，可证明AF ∥CH ，得出1=2BF BD FH CD =，进而即可得出答案．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∠ABD ＝∠BCE ＝60°，在△ABD 和△BCE 中，ABD BC AB BC BD CE E =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩＝，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠BAD ＝∠CBE ，∵∠ADC ＝∠CBE+∠BFD ＝∠BAD+∠ABC ，∴∠BFD ＝∠AFE ＝∠ABC ＝60°；（2）证明：由（1）知∠BAD ＝∠DBF ，又∵∠ADB ＝∠BDF ，∴△ADB ∽△BDF ， ∴=AB BD BF DF，又AB ＝AC ， ∴=AC BD BF DF， ∴AC•DF ＝BD•BF ；（3）证明：延长BE 至H ，使FH ＝AF ，连接AH ，CH ，由（1）知∠AFE ＝60°，∠BAD ＝∠CBE ，∴△AFH 是等边三角形，∴∠FAH ＝60°，AF ＝AH ，∴∠BAC ＝∠FAH ＝60°，∴∠BAC ﹣∠CAD ＝∠FAH ﹣∠CAD ，即∠BAF ＝∠CAH ，在△BAF 和△CAH 中，BAF CA AB AC AF AH H =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩＝,∴△BAF ≌△CAH （SAS ），∴∠ABF ＝∠ACH ，CH ＝BF ，又∵∠ABC ＝∠BAC ，∠BAD ＝∠CBE ，∴∠ABC ﹣∠CBE ＝∠BAC ﹣∠BAD ，即∠ABF ＝∠CAF ，∴∠ACH ＝∠CAF ，∴AF ∥CH ，∵∠AFC ＝90°，∠AFE ＝60°，∴CF ⊥CH ，∠CFH ＝30°，∴FH ＝2CH ，∴FH ＝2BF ，∵FD ∥CH ， ∴1=2BF BD FH CD =， ∴BD ＝12DC ．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及其性质、相似三角形的判定及其性质，解题的关键熟练掌握全等三角形的判定方法和相似三角形的判定方法．9．（1）4；（2）见解析【分析】（1）根据条件证明△OCF ≌△GCF ，由全等的性质就可以得出OF=GF 而得出结论；（2）在BF 上截取BH=CF ，连接OH ，通过条件可以得出△OBH ≌△OCF ，可以得出OH=OF ，从而得出OG ∥FH ，OH ∥FG ，进而可以得出四边形OHFG 是平行四边形，就可以得出结论．【详解】解：（1）∵CF 平分∠OCE ，∴∠OCF=∠ECF ．∵OC=CG ，CF=CF ，∵在△OCF 和△GCF 中，OC GC OCF ECF CF CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△OCF ≌△GCF （SAS ），∴FG=OF=4即FG 的长为4．（2）证明：在BF 上截取BH=CF ，连接OH ．∵四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，∠DBC=45°，∴∠BOC=90°，∴∠OCB=180°-∠BOC-∠DBC=45°．∴∠OCB=∠DBC ．∴OB=OC ．∵BF ⊥CF ，∴∠BFC=90°．∵∠OBH=180°-∠BOC-∠OMB=90°-∠OMB ，∠OCF=180°-∠BFC-∠FMC=90°-∠FMC ，且∠OMB=∠FMC ，∴∠OBH=∠OCF ．∵在△OBH 和△OCF 中OB OC OBH OCF BH CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△OBH ≌△OCF （SAS ）．∴OH=OF ，∠BOH=∠COF ．∵∠BOH+∠HOM=∠BOC=90°，∴∠COF+∠HOM=90°，即∠HOF=90°． ∴1180452OHF OFH HOF ∠=∠=︒-∠=︒（） ∴∠OFC=∠OFH+∠BFC=135°．∵△OCF ≌△GCF ，∴∠GFC=∠OFC=135°，∴∠OFG=360°-∠GFC-∠OFC=90°． ∴1180452FGO FOG OFG ∠=∠=︒-∠=︒（）， ∴∠GOF=∠OFH ，∠HOF=∠OFG ．∴OG ∥FH ，OH ∥FG ，∴四边形OHFG 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． ∴OG=FH ．∵BF=FH+BH ，∴BF=OG+CF【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时采用截取法作辅助线是关键．10．见解析【分析】在AB 上找到F 使得AF ＝AD ，易证△AEF ≌△AED ，可得AF ＝AD ，∠AFE ＝∠D ，根据平行线性质可证∠C ＝∠BFE ，即可证明△BEC ≌△BEF ，可得BF ＝BC ，即可解题．【详解】证明：在AB 上找到F 使得AF ＝AD ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠EAD ＝∠EAF ，∵在△AEF 和△AED 中，AD AF EAD EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AED ，（SAS ）∴AF ＝AD ，∠AFE ＝∠D ，∵AD ∥BC ，∴∠D ＋∠C ＝180°，∵∠AFE ＋∠BFE ＝180°∴∠C ＝∠BFE ，∵BE 平分∠BAD ，∴∠FBE ＝∠C ，∵在△BEC 和△BEF 中，BFE C FBE CBE BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△BEF ，（AAS ）∴BF ＝BC ，∵AB ＝AF ＋BF ，∴AB ＝AD ＋BC ，即AD ＝AB ﹣BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AED 和△BEC ≌△BEF 是解题的关键．。

初二数学数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(及答案

初二数学数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(及答案一、全等三角形截长补短1．已知ABC 是等边三角形，6AB =．（1）如图1，点M 是BC 延长线上一点，60AMN ∠=︒，MN 交ABC 的外角平分线于点N ，求CN CM -的值；（2）如图2，过点A 作AD BC ⊥于点D ，点P 是直线AD 上一点，以CP 为边，在CP 的下方作等边CPQ ，连接DQ ，求DQ 的最小值．2．（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°，E 、F 分别是BC ，CD 上的点且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，先证明 ABE ≌ADG ，再证明AEF ≌AGF ，可得出结论，他的结论应是______________；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF 12=∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E 、F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．3．阅读题：如图1，OM 平分AOB ∠，以O 为圆心任意长为半径画弧，交射线OA ，OB 于C ，D 两点，在射线OM 上任取一点E （点O 除外），连接CE ，DE ，可证OCE ODE △△≌，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：（1）如图2，在ABC 中，2A B ∠=∠，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，试判断BC 与AC 、AD 之间的数量关系；（2）如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，20AB =，8AD =，求ABC 的面积．4．通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．（解决问题）如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF BE DF =+，试说明理由．证明：延长CD 到G ，使DG BE =，在ABE △与ADG 中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ABE ADG ≌理由：（SAS ）进而证出：AFE △≌___________，理由：（__________）进而得EF BE DF =+．（变式探究）如图，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足等量关系________________时，仍有EF BE DF =+．请证明你的猜想．（拓展延伸）如图，若AB AD =，90≠︒∠BAD ，45EAF ∠≠︒，但12EAF BAD ∠=∠，90B D ∠=∠=︒，连接EF ，请直接写出EF 、BE 、DF 之间的数量关系．5．如图1．在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是正方形，(0,3)D ，点E 是OB 延长线上一点，M 是线段OB 上一动点（不包括O 、B ），作MN DM ⊥，交CBE ∠的平分线于点N ．（1）直接写出点C 的坐标；（2）求证：MD MN =；（3）如图2，若(2, 0)M ，在OD 上找一点P ，使四边形MNCP 是平行四边形，求直线PN 的解析式．6．（1）方法选择如图①，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==，求证：BD AD CD =+．小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM ……小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN AD =……请你选择一种方法证明．（2）类比探究探究1如图②，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ，若BC 是⊙O 的直径，AB AC =，试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论．探究2如图③，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是⊙O 的直径，::::BC AC AB a b c =，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．7．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 均为中点，连接AF 、DE 交于点P ，连接PC ，证明：2PE PF PC +=．8．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D =90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ．求证：EF =BE +FD ．9．已知，在ABCD 中，AB BD AB BD E ⊥=，，为射线BC 上一点，连接AE 交BD 于点F .（1）如图1，若E 点与点C 重合，且25AF =AD 的长；（2）如图2，当点E 在BC 边上时，过点D 作DG AE ⊥于G ，延长DG 交BC 于H ，连接FH .求证：AF DH FH =+．（3）如图3，当点E 在射线BC 上运动时，过点D 作DG AE ⊥于G M ，为AG 的中点，点N 在BC 边上且1BN =，已知42AB =，请直接写出MN 的最小值．10．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB =AD ，E 为对角线AC 上一点，∠BEC =∠BAD =2∠DEC ，探究AB 与BC 的数量关系．某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：小柏：“通过观察和度量，发现∠ACB =∠ABE ”；小源：“通过观察和度量，AE 和BE 存在一定的数量关系”；小亮：“通过构造三角形全等，再经过进一步推理，就可以得到线段AB 与BC 的数量关系”．……老师：“保留原题条件，如图2， AC 上存在点F ，使DF =CF =k AE ，连接DF 并延长交BC 于点G ，求AB FG的值”．（1）求证：∠ACB =∠ABE ；（2）探究线段AB 与BC 的数量关系，并证明；（3）若DF =CF =k AE ，求AB FG的值（用含k 的代数式表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）6；（2）32【分析】（1）在CN 上截取点H ，使CH=CM ，先证出△CMH 为等边三角形，然后利用ASA 证出△AMC ≌△NMH ，从而得出AC=NH ，从而求出结论；（2）连接BQ ，利用SAS 证出△QCB ≌△PCA ，从而得出∠CBQ=∠CAP ，然后根据三线合一和等量代换即可求出∠CBQ=30°、∠ABQ =90°，从而判断出点Q 的运动轨迹，然后根据垂线段最短即可得出当DQ ⊥BQ 时，DQ 最短，然后利用30°所对的直角边是斜边的一半即可得出结论．【详解】解：（1）在CN 上截取点H ，使CH=CM ，连接MH∵△ABC 为等边三角形∴∠ACB=60°，AC=AB=6∴∠ACM=180°－∠ACB=120°∵CN 平分∠ACM∴∠MCN=12∠ACM=60° ∴△CMH 为等边三角形 ∴CM=HM ，∠CMH=∠CHM=60°∴∠NHM=180°－∠CHM=120°，∠AMC ＋∠AMH=60°∴∠ACM=∠NHM∵60AMN ∠=︒∴∠NMH ＋∠AMH=60°∴∠AMC=∠NMH在△AMC 和△NMH 中AMC NMH CM HMACM NHM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AMC ≌△NMH∴AC=NH∴CN CM -=CN －CH=NH=AC=6（2）连接BQ∵△ABC 和△CPQ 都是等边三角形∴BC=AC ，QC=PC ，∠PCQ =∠ACB=∠ABC=∠BAC =60°∴∠PCQ －∠PCB=∠ACB －∠PCB∴∠QCB=∠PCA在△QCB 和△PCA 中BC AC QCB PCA QC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QCB ≌△PCA∴∠CBQ=∠CAP∵AD BC ⊥∴∠CAP=12∠BAC=30°，BD=12BC=3 ∴∠CBQ=30°∴∠ABQ=∠ABC ＋∠CBQ=90°∴点Q 在过点B 作AB 的垂线上运动根据垂线段最短可得：当DQ ⊥BQ 时，DQ 最短此时在Rt △BDQ 中，∠QBD=30°∴DQ=12BD=32即DQ 的最小值为32．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、直角三角形的性质和垂线段最短的应用，掌握构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、30°所对的直角边是斜边的一半和垂线段最短是解决此题的关键． 2．（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里【分析】（1）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（2）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（3）连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，然后与（2）同理可证．【详解】解：（1）EF ＝BE +DF ，证明如下：在ABE 和ADG 中， DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为 EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，在ABE 和ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，∵∠AOB ＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF ＝70°，∴∠EOF 12=∠AOB ，又∵OA ＝OB ，∠OAC +∠OBC ＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF ＝AE +BF 成立，即EF ＝2×（45+60）＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AGF 是解题的关键．3．（1）BC=AC+AD ；（2）△ABC 的面积为80．【分析】（1）在CB 上截取CE=CA ，则由题意可得AD=DE ，∠CED=∠A ，再结合∠A=2∠B 可得DE=BE ，从而得到BC=AD+AC ；（2）在AB 上截取AE=AD ，连结CE ，过C 作CF ⊥AB 于F 点，由题意可得EC=BC ，从而得到EF 的长度，再由勾股定理根据EC 、EF 的长度求得CF 的长度，最后根据面积公式可以得到解答．【详解】解：（1）如图，在CB 上截取CE=CA ，则由题意得：△CAD ≌△CED ，∴AD=DE ，∠CED=∠A ，∵∠A=2∠B ，∴∠CED=2∠B ，又∠CED=∠B+∠EDB ，∴∠B+∠EDB=2∠B ，∴∠EDB=∠B ，∴DE=BE ，∴BC=BE+CE=DE+CE=AD+AC ；（2）如图，在AB 上截取AE=AD ，连结CE ，过C 作CF ⊥AB 于F 点，∴由题意可得：△CDA ≌△CEA ，∴EC=CD=BC=10，AE=AD=8，∵CF ⊥AB ，∴EF=FB=208622AB AE --==， ∴22221068CF EC EF =--=，∴112088022ABC S AB CF =⨯=⨯⨯=．【点睛】本题考查三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理是解题关键．4．（1）AFE AFG △≌△，理由：SAS ；（2）180B D ∠+∠=︒，证明见解析；（3）BE+DF=EF ．【分析】（1）在前面已证的基础上，得出结论AE AG =，进而证明AFE AFG △≌△，从而得出结论；（2）利用“解决问题”中的思路，同样去构造AFE AFG △≌△即可；（3）利用前面两步的思路，证明全等得出结论即可．【详解】（1）ABE ADG ≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，45EAF ∠=︒，45FAG ∴∠=︒，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；（2）满足180B D ∠+∠=︒即可，证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =，180B ADF ∠+∠=︒，180ADF ADG ∠+∠=︒，B ADG ∴∠=∠，在ABE △与ADG 中，AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS ∴≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，45EAF ∠=︒，45FAG ∴∠=︒，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；（3）BE+DF=EF ．证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =，在ABE △与ADG 中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS ∴≌，,AE AG BAE DAG ∴=∠=∠，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠， 12EAF BAD ∠=∠，12FAG EAD FAE ∴∠=∠=∠，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；．【点睛】本题考查了截长补短的方法构造全等三角形，能够理解前面介绍的方法并继续探究是解决问题的关键．5．（1）(3,3)C ；（2）证明见解析；（3）115y x =+ 【分析】（1）由正方形的性质求得点C 的坐标；（2）在OD 上取OH=OM ，连接HM ，只要证明△DHM ≌△MBN 即可．（3）作NE ⊥OB 于E ，只要证明△DMO ≌△MNE 即可求得点N 的坐标．由平行四边形的对边相互平行且相等的性质求得点P 的坐标，然后由待定系数法确定函数解析式．【详解】（1）∵四边形OBCD 是正方形，(0,3)D∴(3,3)C故答案为：(3,3)C（2）如图，在OD 上截取OH OM =，连接HM ．∵OD=OB ，OH=OM ，∴HD=MB ，∠OHM=∠OMH ，∴∠DHM=180°−45°=135°，∵NB 平分∠CBE ，∴∠NBE=45°∴∠NBM=180°−45°=135°∴∠DHM=∠NBM ，∵∠DMN=90°∴∠DMO+∠NMB=90°∵∠HDM+∠DMO=90°∴∠HDM=∠NMB ，在△DHM 和△MBN 中， HDM NME DH MB DHM NBM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴DHM MBN ∆∆≌∴MD MN =．（3）如图，作NE OB ⊥于E ，由M(2,0)知OM=2，∵∠DMN=90°∴∠DMO+∠NME=90°，∠NME+∠MNE=90°∴∠DMO=∠MNE ，在△DMO 和△MNE 中，90DOM NEM DMO MNEDM MN ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DMO ≌△MNE∴ME=DO=3，NE=OM=2，∴OE=OM+ME=3+2=5，∴点N 坐标(5,2)，∵四边形MNCP 是平行四边形，C(3,3)，∴P(0,1)设直线PN 的解析式为：y=kx+b(k≠0)则b 152k b =⎧⎨+=⎩解得b 115k =⎧⎪⎨=⎪⎩故直线PN 的解析式为：y=15x+1；故答案为：115y x =+ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形和正方形的性质，及用待定系数法求一次函数解析式，本题是一次函数和几何问题的综合． 6．（1）见解析；（2）①2BD CD =+，见解析，②c a BD CD AD b b=+ 【分析】（1）根据题中所给的截长法或补短法思路解题，利用全等三角形的性质解题即可．（2）探究1 要求AD 、BD 、CD 之间的数量关系，结合（1）中所给方法，在BD 上截取BM CD =，再利用全等三角形及等腰直角三角形的性质进行求解．探究2 要求AD 、BD 、CD 之间的数量关系，以AD 为边构造直角三角形，再利用相似的性质求解．【详解】（1）截长法证明：如图①-1，在DB 上截取DM AD =，连接AM ，AB BC AC ==，ABC ∴是等边三角形，60ABC ACB BAC ∴∠=∠=∠=︒．60ADB ACB ∴∠=∠=︒，DM AD =，AMD ∴△是等边三角形，60MAD ∴∠=︒，AM AD =．BAM CAD ∴∠=∠，()BAM CAD SAS ∴△≌△，BM CD ∴=，BD DM BM AD CD ∴=+=+；补短法证明：如图①-2，延长CD 至点N ，使得DN AD =，DAN DNA ∴∠=∠．AB AC BC ==，ABC ∴为等边三角形，60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒．60ADB ACB ∴∠=∠=︒，60BDC BAC ∠=∠=︒，18060ADN BDC ADB ∴∠=︒-∠-∠=︒，ADN ∴为等边三角形，AD AN =，60DAN ∠=︒．BAD CAN ∴∠=∠．在BAD 和CAN △中，AB AC BAD CAN AD AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAN SAS ∴△≌△，BD CN ∴=，又CN CD DN CD AD =+=+，BD CD AD ∴=+．（2）探究1 解：2BD AD CD =+；证明：如图②，在BD 上截取BM CD =，连接AM ，BC 是O 的直径，AB AC =，90BAC ∴∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒．45ADM ACB ∴∠=∠=︒，在BAM 和CAD 中，,AB AC ABM ACD BM CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAM CAD SAS ∴△≌△，AM AD ∴=，BAM CAD ∠=∠．45AMD ADM ∴∠=∠=︒，90MAD ∠=︒．AMD ∴△是等腰直角三角形，2MD AD ∴=．BD MD BM =+，2BD AD CD ∴=+；探究2 解：c a BD CD AD b b=+．如图③，过点A 作AM AD ⊥交BD 于点M ，BC 是O 的直径，90BAC ∴∠=︒，BAC MAD ∴∠=∠，BAM CAD ∴∠=∠，ABM DCA ∠=∠，BAM CAD ∴△∽△，BM AB c CD AC b ∴==，c BM CD b ∴=，又ADM ACB ∠=∠，MAD BAC ∠=∠，ADM ACB ∴△∽△，DM BC a AD AC b ∴==，a DM AD b∴=， BD BM MD =+，c a BD CD AD b b∴=+．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练运用图形的性质是解题的关键．7．见解析【分析】延长DE 至N ，使得EN PF =，连接CN ，先证明()ADF DCE SAS △≌△，可得AFD DEC ∠=∠，即CFP CEN ∠=∠，再通过证明()CEN CFP SAS △≌△，可得CN CP =，ECN PCF ∠=∠，即可证明NCP 是等腰直角三角形，即2PN PE NE PC =+=，从而得证2PE PF PC +=．【详解】证明：如图，延长DE 至N ，使得EN PF =，连接CN ，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，CE DF ∴=，在ADF 和DCE 中，,90,,AD CD ADF DCE DF CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ADF DCE SAS ∴△≌△，AFD DEC ∴∠=∠，CFP CEN ∴∠=∠，在CEN 和CFP 中，,,,CE CF CEN CFP EN PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()CEN CFP SAS ∴△≌△，CN CP ∴=，ECN PCF ∠=∠，90PCF BCP ∠+∠=︒，90ECN BCP NCP ∴∠+∠=∠=︒，NCP ∴△是等腰直角三角形， 2PN PE NE PC ∴=+=．即2PE PF PC +=．【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．8．证明见解析．【分析】延长EB 到G ，使BG =DF ，连接AG ．先说明△ABG ≌△ADF ，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得△AEG ≌△AEF ，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答．【详解】延长EB 到G ，使BG =DF ，连接AG ．∵∠ABG =∠ABC =∠D =90°，AB =AD ，∴△ABG ≌△ADF ．∴AG =AF ，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF =12∠BAD ． ∴∠GAE =∠EAF ．又∵AE =AE ，∴△AEG ≌△AEF ．∴EG =EF ．∵EG =BE +BG ．∴EF =BE +FD【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 9．（1）42AD =；（2）见解析；（3）MN 的最小值为3．【分析】（1）如图1中，利用等腰三角形的性质可得90ABD ∠=︒，利用平行四边形的性质可得F 为BD 中点，在Rt ABF ∆中，由勾股定理可求得BF ，则可求得AB ，在Rt ABD ∆中，再利用勾股定理可求得AD ；（2）如图2中，在AF 上截取AK HD =，连接BK ，可先证明ABK DBH ∆≅∆，再证明BFK BFH ∆≅∆，可证得结论；（3）连接AN 并延长到Q ，使NQ AN =，连接GQ ，取AD 的中点O ，连接OG ，得到90AGD ∠=︒，于是得到点G 的轨迹是以O 为圆心，以OG 为半径的弧，且4OG =，求得GQ 最小值为6，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【详解】（1）45AB BD BAD =∠=︒,，45BDA BAD ∴∠=∠=︒90 ABD ∴∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，∴当点E 与点C 重合时，1122BF BD AB == 在Rt ABF 中，222AF AB BF =+()()222252BF BF ∴=+ 24BF AB ∴==,Rt ABD ∴中，42AD =.（2）证明：如图2中，在AF 上截取AK HD =，连接BK ，23AFD ABF FGD ∠=∠+∠=∠+∠，90ABF FGD ∠=∠=︒，23∴∠=∠，在ABK 和DBH ∆中，23AB BD AK HD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABK DBH ∴∆≅∆，BK BH ∴=，61∠=∠，AK DH =，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，41645∴∠=∠=∠=︒，5645ABD ∴∠=∠-∠=︒，51∴∠=∠，在FBK ∆和FBH ∆中，51BF BF BK BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， FBK FBH ∴∆≅∆，KF FH ∴=，AF AK KF =+，AF DH FH ∴=+；()3解：连接AN 并延长到Q ，使NQ AN =，连接GQ ，取AD 的中点O ，连接OG ，作AK ⊥BC ，交BC 延长线于点K ，作QP ⊥AD ，交AD 延长线于点P ．90AGD ∠=︒，∴点G 的轨迹是以O 为圆心，以OG 为半径的弧，且4OG =，根据△ABD 为等腰直角三角形，可得AD 228AB BD +=, ∴AO=142AD =，根据△ABK 为等腰直角三角形，可得AK =BK =4，可得QE =PE =4，∴PQ =8，∵BK=4,BN =1，∴KN =5，∴KE=AP =10，∴OP =6，10OQ ∴=，4OG =，GQ ∴最小值为6，MN 是AGQ ∆的中位线，MN ∴的最小值为3．【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形．10．（1）见解析；（2）CB=2AB ；（3）23AB k FG = 【分析】（1）利用平行线的性质以及角的等量代换求证即可；（2）在BE 边上取点H ，使BH=AE ，可证明△ABH ≌△DAE ，△ABE ∽△ACB ，利用相似三角形的性质从而得出结论；（3）连接BD 交AC 于点Q ，过点A 作AK ⊥BD 于点K ，得出12AD DK CB DB ==，通过证明△ADK ∽△DBC 得出∠BDC=∠AKD=90°，再证DF=FQ ，设AD=a ，因此有DF=FC=QF=ka ，再利用相似三角形的性质得出AC=3ka ，3AB ka =，1122FG DF ka ==，从而得出答案．【详解】解：（1）∵∠BAD=∠BEC∠BAD=∠BAE+∠EAD∠BEC=∠ABE+BAE∴∠EAD=∠ABE∵AD ∥BC∴∠EAD=∠ACB∴∠ACB=∠ABE（2）在BE 边上取点H ，使BH=AE∵AB=AD∴△ABH ≌△DAE∴∠AHB=∠AED∵∠AHB+∠AHE=180°∠AED+∠DEC=180°∴∠AHE=∠DEC∵∠BEC=2∠DEC∠BEC=∠HAE+∠AHE∴∠AHE=∠HAE∴AE=EH∴BE=2AE∵∠ABE=∠ACB∠BAE=∠CAB∴△ABE ∽△ACB ∴EB AE CB AB= ∴CB=2AB ；（3）连接BD 交AC 于点Q ，过点A 作AK ⊥BD 于点K∵AD=AB∴12DK BD =∠AKD=90°∵12AB AD BC == ∴12AD DK CB DB == ∵AD ∥BC∴∠ADK=∠DBC∴△ADK ∽△DBC∴∠BDC=∠AKD=90°∵DF=FC∴∠FDC=∠DFC∵∠BDC=90°∴∠FDC+∠QDF=90°∠DQF+∠DCF=90°∴DF=FQ设AD=a∴DF=FC=QF=ka∵AD ∥BC∴∠DAQ=∠QCB∠ADQ=∠QBC∴△AQD ∽△CQB ∴12AD QA BC CQ== ∴AQ=ka=QF=CF∴AC=3ka∵△ABE ∽△ACB ∴AE AB AB AC= ∴AB =同理△AFD ∽△CFG12DF AF FG FC == ∴1122FG DF ka ==AB FG = 【点睛】本题是一道关于相似的综合题目，难度较大，根据题目作出合适的辅助线是解此题的关键，解决此题还需要较强的数形结合的能力以及较强的计算能力．。

数学全全等三角形截长补短知识点-+典型题及答案

数学全全等三角形截长补短知识点-+典型题及答案一、全等三角形截长补短1．通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．（解决问题）如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF BE DF =+，试说明理由．证明：延长CD 到G ，使DG BE =，在ABE △与ADG 中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴ABE ADG ≌理由：（SAS ）进而证出：AFE △≌___________，理由：（__________）进而得EF BE DF =+．（变式探究）如图，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足等量关系________________时，仍有EF BE DF =+．请证明你的猜想．（拓展延伸）如图，若AB AD =，90≠︒∠BAD ，45EAF ∠≠︒，但12EAF BAD ∠=∠，90B D ∠=∠=︒，连接EF ，请直接写出EF 、BE 、DF 之间的数量关系．2．在四边形ABDE 中，C 是BD 边的中点．（1）如图（1），若AC 平分BAE ∠，90ACE ∠=︒，则线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分BAE ∠，EC 平分AED ∠，若120ACE ∠=︒，则线段AB 、BD 、DE 、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．3．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠EAF=12∠BAC ，BF ⊥AE 于E 交AF 于点F ，连结 CF ．（1）如图 1 所示，当∠EAF 在∠BAC 内部时，求证：EF ＝BE +CF ．（2）如图 2 所示，当∠EAF 的边 AE 、AF 分别在∠BAC 外部、内部时，求证：CF ＝BF +2BE ．4．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若AC=2cm ，求四边形ABCD 的面积．解：延长线段CB 到E ，使得BE=CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE ≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD ，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积． 5．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，E 为菱形ABCD 内对角线BD 左侧一点，连接BE 、CE 、DE ．（1）若AB ＝6，求菱形ABCD 的面积；（2）若∠BED ＝2∠A ，求证：CE ＝BE+DE ．6．如图，ABC 是边长为2的等边三角形，BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以点D 为顶点作60MDN ∠=︒，点M 、N 分别在AB 、AC 上．（1）如图①，当//MN BC 时，则AMN 的周长为______；（2）如图②，求证：BM NC MN +=．7．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D =90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ．求证：EF =BE +FD ．8．已知，在ABCD 中，AB BD AB BD E ⊥=，，为射线BC 上一点，连接AE 交BD 于点F .（1）如图1，若E 点与点C 重合，且25AF =，求AD 的长；（2）如图2，当点E 在BC 边上时，过点D 作DG AE ⊥于G ，延长DG 交BC 于H ，连接FH .求证：AF DH FH =+．（3）如图3，当点E 在射线BC 上运动时，过点D 作DG AE ⊥于G M ，为AG 的中点，点N 在BC 边上且1BN =，已知42AB =MN 的最小值．9．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目：如图①，在四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 是BAD ∠的平分线，AD BC ∥．求证：AB AD BC =+．小聪同学发现以下两种方法：方法1：如图②，延长AE 、BC 交于点F ．方法2：如图③，在AB 上取一点G ，使AG AD =，连接EG 、CG ．（1）请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程；（2）如图④，在四边形ABCD 中，AE 是BAD ∠的平分线，E 是边CD 的中点，60BAD ∠=︒，11802D BCD ∠+∠=︒，求证：CB CE =．10．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=AD，E为对角线AC上一点，∠BEC=∠BAD=2∠DEC，探究AB与BC的数量关系．某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：小柏：“通过观察和度量，发现∠ACB=∠ABE”；小源：“通过观察和度量，AE和BE存在一定的数量关系”；小亮：“通过构造三角形全等，再经过进一步推理，就可以得到线段AB与BC的数量关系”．……老师：“保留原题条件，如图2， AC上存在点F，使DF=CF=k AE，连接DF并延长交BC于点G，求ABFG的值”．（1）求证：∠ACB=∠ABE；（2）探究线段AB与BC的数量关系，并证明；（3）若DF=CF=k AE，求ABFG的值（用含k的代数式表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）AFE AFG △≌△，理由：SAS ；（2）180B D ∠+∠=︒，证明见解析；（3）BE+DF=EF ．【分析】（1）在前面已证的基础上，得出结论AE AG =，进而证明AFE AFG △≌△，从而得出结论；（2）利用“解决问题”中的思路，同样去构造AFE AFG △≌△即可；（3）利用前面两步的思路，证明全等得出结论即可．【详解】（1）ABE ADG ≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，45EAF ∠=︒，45FAG ∴∠=︒，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；（2）满足180B D ∠+∠=︒即可，证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =，180B ADF ∠+∠=︒，180ADF ADG ∠+∠=︒，B ADG ∴∠=∠，在ABE △与ADG 中，AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS ∴≌，,,AE AG BAE DAG BE DG ∴=∠=∠=，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠，45EAF ∠=︒，45FAG ∴∠=︒，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；（3）BE+DF=EF ．证明如下：如图，延长FD 至G ，使BE DG =，在ABE △与ADG 中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS ∴≌，,AE AG BAE DAG ∴=∠=∠，则BAE FAD FAD ADG FAG ∠+∠=∠+∠=∠， 12EAF BAD ∠=∠，12FAG EAD FAE ∴∠=∠=∠，在AFG 与AFE △中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ AFE AFG ∴△≌△，理由：（SAS ）EF FG FD DG FD BE ∴==+=+；．【点睛】本题考查了截长补短的方法构造全等三角形，能够理解前面介绍的方法并继续探究是解决问题的关键．2．（1）AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ，证明见解析．【分析】（1）在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ，由三角形全等的判定可证得△ACB ≌△ACF ，根据全等三角形的性质可得BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ，根据三角形全等的判定证得△CEF ≌△CED ，得到EF ＝ED ，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ，根据全等三角形的判定证得△ACB ≌△ACF 和△ECD ≌△ECG ，由全等三角形的性质证得CF ＝CG ，进而证得△CFG 是等边三角形，就有FG ＝CG ＝12BD ，从而可证得结论．【详解】解：（1）如图（1），在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ．∵C 是BD 边的中点，∴BC ＝CD ．∴CF ＝CD ．∵∠ACE ＝90°，∴∠ACB ＋∠DCE ＝90°，∠ACF ＋∠ECF ＝90°．∴∠ECF ＝∠ECD ．在△CEF 和△CED 中，CF CD ECF ECD CE CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△CEF ≌△CED （SAS ）．∴EF ＝ED ．∵AE ＝AF ＋EF ，∴AE ＝AB ＋DE ．故答案为：AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ．证明：如图（2），在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ．∵C 是BD 边的中点，∴CB ＝CD ＝12BD ． ∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴CF ＝CB ，∠BCA ＝∠FCA ．同理可证：△ECD ≌△ECG∴CD ＝CG ，∠DCE ＝∠GCE ．∵CB ＝CD ，∴CG ＝CF ．∵∠ACE ＝120°，∴∠BCA ＋∠DCE ＝180°−120°＝60°．∴∠FCA ＋∠GCE ＝60°．∴∠FCG ＝60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG ＝FC ＝12BD ． ∵AE ＝AF ＋EG ＋FG ，∴AE ＝AB ＋DE ＋12BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．3．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）在EF 上截取EH BE =，由“SAS ”可证ACF AHF ∆≅∆，可得CF HF =，可得结论；（2）在BE 的延长线上截取EN BE =，连接AN ，由“SAS ”可证ACF ANF ∆≅∆，可得CF NF =，可得结论．【详解】解：证明：（1）如图，在EF 上截取EH BE =，连接AH ，EB EH =，AE BF ⊥，AB AH ∴=，AB AH =，AE BH ⊥，BAE EAH ∴∠=∠，AB AC =，AC AH ∴=，12EAF BAC ∠==∠ BAE CAF EAF ∴∠+∠=∠，BAE CAF EAH FAH ∴∠+∠=∠+∠，CAF HAF ∴∠=∠，在ACF ∆和AHF ∆中，AC AH CAF HAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF AHF SAS ∴∆≅∆，CF HF ∴=，EF EH HF BE CF ∴=+=+；（2）如图，在BE 的延长线上截取EN BE =，连接AN ，AE BF ⊥，BE EN =，AB AC =，AN AB AC ∴==，AN AB =，AE BN ⊥，BAE NAE ∴∠=∠，12EAF BAC ∠==∠ 1(2)2EAF NAE BAC NAE ∴∠+∠=∠+∠ 12FAN CAN ∴∠=∠， FAN CAF ∴∠=∠，在ACF ∆和ANF ∆中，AC AN CAF NAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF ANF SAS ∴∆≅∆，CF NF ∴=，2CF BF BE ∴=+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 4．（1）2；（2）4【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC 的面积即可；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，由（1）易证FGH FNK ≌，则有FK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH ≌，故可求解．【详解】（1）由题意知21=22ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S SS S S S =+=+==四边形，故答案为2；（2）延长MN到K，使NK=GH，连接FK、FH、FM，如图所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，∴∠FNK=∠FGH=90°，∴FGH FNK≌，∴FH=FK，又FM=FM，HM=KM=MN+GH=MN+NK，∴FMK FMH≌，∴MK=FN=2cm，∴12=242FGH HFM MFN FMKFGHMNS S S S S MK FN=++=⨯⋅=五边形．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．5．（1）183；（2）见解析【分析】（1）过点B作BH⊥AD于H，由直角三角形的性质可求BH的长，由菱形的面积公式可求解；（2）延长DE至M，使ME＝BE，连接MB，由题意可证△ABD是等边三角形，△BCD是等边三角形，△BEM是等边三角形，可得∠CBD＝∠ABD＝60°＝∠MBE，AB＝BD＝BC，BM ＝BE，由“SAS”可证∴△MBD≌△EBC，可得MD＝EC，即可得结论．【详解】解：（1）如图，过点B作BH⊥AD于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝6，∵∠A＝60°，BH⊥AD，∴∠ABH＝30°，∴AH＝12AB＝3，BH3AH＝3∴菱形ABCD 的面积＝AD×BH ＝6×33＝183；（2）如图，延长DE 至M ，ME ＝BE ，连接MB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝CD ＝BC ，∠A ＝60°＝∠BCD ，∴△ABD 是等边三角形，△BCD 是等边三角形，∴∠CBD ＝∠ABD ＝60°，AB ＝BD ＝BC ，∵∠BED ＝2∠A ＝120°，∴∠BEM ＝60°，又∵BE ＝ME ，∴△BEM 是等边三角形，∴BM ＝BE ，∠MBE ＝∠DBC ＝60°，∴∠MBD ＝∠EBC ，∴△MBD ≌△EBC （SAS ），∴MD ＝EC ，∴CE ＝BE+DE ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质应用，结合等边三角形的性质是解题的关键．6．（1）4；（2）见解析【分析】（1）首先证明△BDM ≌△CDN ，进而得出△DMN 是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°，NC=BM=12DM=12MN ，即可解决问题；（2）延长AC 至点E ，使得CE BM =，连接DE ，首先证明BDM CDE △≌△，再证明MDN EDN △≌△，得出MN NE =，进而得出结果即可．【详解】解：（1）∵ABC 是等边三角形，//MN BC ，60AMN ABC ∴∠=∠=︒，60ANM ACB ∠=∠=︒∴AMN 是等边三角形，AM AN ∴=，则BM NC =，∵BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，30DBC DCB ∴∠=∠=︒，90DBM DCN ∴∠=∠=︒，在BDM 和CDN △中，,,,BM CN MBD DCN BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDM CDN SAS ∴△≌△，DM DN ∴=，BDM CDN ∠=∠，∵60MDN ∠=︒，∴DMN 是等边三角形，30BDM CDN ∠=∠=︒，1122NC BM DM MN ∴===，MN MB NC ∴=+， ∴AMN 的周长4AB AC =+=．（2）如图，延长AC 至点E ，使得CE BM =，连接DE ，∵ABC 是等边三角形，BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，60ABC ACB ∴∠=∠=︒，30DBC DCB ∠=∠=︒，90ABD ACD ∠∴∠==︒，90DCE ∴∠=︒，在BDM 和CDE △中，,,,BD CD MBD ECD BM CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDM CDE SAS ∴△≌△，MD ED ∴=，MDB EDC ∠=∠，120120MDE MDB EDC ∴∠=︒-∠+∠=︒，∵60MDN ∠=︒，60NDE ∴∠=︒，在MDN △和EDN △中，,60,,MD ED MDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()MDN EDN SAS ∴△≌△．MN NE ∴=，又∵NE NC CE NC BM =+=+，BM NC MN ∴+=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定，等边三角形及等腰三角形的性质是解题的关键．7．证明见解析．【分析】延长EB 到G ，使BG =DF ，连接AG ．先说明△ABG ≌△ADF ，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得△AEG ≌△AEF ，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答．【详解】延长EB 到G ，使BG =DF ，连接AG ．∵∠ABG =∠ABC =∠D =90°，AB =AD ，∴△ABG ≌△ADF ．∴AG =AF ，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF =12∠BAD ． ∴∠GAE =∠EAF ．又∵AE =AE ，∴△AEG ≌△AEF ．∴EG =EF ．∵EG =BE +BG ．∴EF =BE +FD【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 8．（1）42AD =2）见解析；（3）MN 的最小值为3．【分析】（1）如图1中，利用等腰三角形的性质可得90ABD ∠=︒，利用平行四边形的性质可得F 为BD 中点，在Rt ABF ∆中，由勾股定理可求得BF ，则可求得AB ，在Rt ABD ∆中，再利用勾股定理可求得AD ；（2）如图2中，在AF 上截取AK HD =，连接BK ，可先证明ABK DBH ∆≅∆，再证明BFK BFH ∆≅∆，可证得结论；（3）连接AN 并延长到Q ，使NQ AN =，连接GQ ，取AD 的中点O ，连接OG ，得到90AGD ∠=︒，于是得到点G 的轨迹是以O 为圆心，以OG 为半径的弧，且4OG =，求得GQ 最小值为6，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【详解】（1）45AB BD BAD =∠=︒,，45BDA BAD ∴∠=∠=︒90 ABD ∴∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，∴当点E 与点C 重合时，1122BF BD AB == 在Rt ABF 中，222AF AB BF =+()()222252BF BF ∴=+ 24BF AB ∴==,Rt ABD ∴中，42AD =.（2）证明：如图2中，在AF 上截取AK HD =，连接BK ，23AFD ABF FGD ∠=∠+∠=∠+∠，90ABF FGD ∠=∠=︒，23∴∠=∠，在ABK 和DBH ∆中，23AB BD AK HD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABK DBH ∴∆≅∆，BK BH ∴=，61∠=∠，AK DH =，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，41645∴∠=∠=∠=︒，5645ABD ∴∠=∠-∠=︒，51∴∠=∠，在FBK ∆和FBH ∆中，51BF BF BK BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， FBK FBH ∴∆≅∆，KF FH ∴=，AF AK KF =+，AF DH FH ∴=+；()3解：连接AN 并延长到Q ，使NQ AN =，连接GQ ，取AD 的中点O ，连接OG ，作AK ⊥BC ，交BC 延长线于点K ，作QP ⊥AD ，交AD 延长线于点P ．90AGD ∠=︒，∴点G 的轨迹是以O 为圆心，以OG 为半径的弧，且4OG =，根据△ABD 为等腰直角三角形，可得AD 228AB BD +=, ∴AO=142AD =，根据△ABK 为等腰直角三角形，可得AK =BK =4，可得QE =PE =4，∴PQ =8，∵BK=4,BN =1，∴KN =5，∴KE=AP =10，∴OP =6，10OQ ∴=，4OG =，GQ ∴最小值为6， MN 是AGQ ∆的中位线，MN ∴的最小值为3．【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形．9．（1）方法1：证明见解析；方法2：证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）方法1：先根据角平分线的定义、平行线的性质得出BAF DAE F ∠=∠=∠，再根据等腰三角形的性质可得AB BF =，根据三角形全等的判定定理与性质得出AD FC =，然后根据线段的和差即可得证；方法2：先根据角平分线的定义得出DAE GAE ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得,DE GE D AGE =∠=∠，然后根据线段中点的定义、等腰三角形的性质可得ECG EGC ∠=∠，最后根据平行线的性质、平角的定义可得BCG BGC ∠=∠，由等腰三角形的定义可得BG BC =，由此根据线段的和差即可得证；（2）如图（见解析），参照方法1构造辅助线，先根据等腰三角形的性质得出EF 平分AFG ∠，从而有12EFC AFG ∠=∠，再根据平行线的性质、角的和差得出60EFC BFC ∠=∠=︒，ECF BCF ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．【详解】（1）方法1：如图②，延长AE 、BC 交于点FAE ∵是BAD ∠的平分线BAF DAE ∴∠=∠//AD BCDAE F ∴∠=∠BAF F ∴∠=∠AB BF FC BC ∴==+E 是边CD 的中点DE CE ∴=在ADE 和FCE △中，DAE F AED FEC DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE FCE AAS ∴≅AD FC ∴=AB FC BC AD BC ∴=+=+；方法2：如图③，在AB 上取一点G ，使AG AD =，连接EG 、CGAE ∵是BAD ∠的平分线DAE GAE ∴∠=∠在ADE 和AGE 中，AD AG DAE GAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE AGE SAS ∴≅,DE GE D AGE ∴=∠=∠E 是边CD 的中点DE CE ∴=CE GE ∴=ECG EGC ∴∠=∠//AD BC180D BCD ︒∴∠+∠=，即180D ECG BCG ∠+∠+∠=︒180AGE EGC BCG ∴∠+∠+∠=︒，即180AGC BCG ∠+∠=︒又180AGC BGC ∠+∠=︒BCG BGC ∴∠=∠BG BC ∴=AB AG BG AD BC ∴=+=+；（2）如图，过点C 作//CG AD ，交AE 延长线于点G ，延长GC 交AB 于点F ，连接EF 由方法1可知：,AF GF AE GE ==AFG ∴是等腰三角形EF ∴平分AFG ∠12EFC AFG ∴∠=∠ //CG AD ，60BAD ∠=︒60,180120BFC BAD AFG BAD ∴∠=∠=︒∠=︒-∠=︒60EFC ∴∠=︒//CG AD180D ECF ∴∠+∠=︒11802D BCD ︒∠+∠=，即1()1802D ECF BCF ∠+∠+∠=︒ 1()2ECF ECF BCF ∴∠=∠+∠ ECF BCF ∴∠=∠在ECF △和BCF △中，60EFC BFC CF CF ECF BCF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ECF BCF ASA ∴≅ CB CE ∴=．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），参照方法1，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 10．（1）见解析；（2）CB=2AB ；（3）3AB k FG k = 【分析】（1）利用平行线的性质以及角的等量代换求证即可；（2）在BE 边上取点H ，使BH=AE ，可证明△ABH ≌△DAE ，△ABE ∽△ACB ，利用相似三角形的性质从而得出结论；（3）连接BD 交AC 于点Q ，过点A 作AK ⊥BD 于点K ，得出12AD DK CB DB ==，通过证明△ADK ∽△DBC 得出∠BDC=∠AKD=90°，再证DF=FQ ，设AD=a ，因此有DF=FC=QF=ka ，再利用相似三角形的性质得出AC=3ka ，3AB ka =，1122FG DF ka ==，从而得出答案．【详解】解：（1）∵∠BAD=∠BEC∠BAD=∠BAE+∠EAD∠BEC=∠ABE+BAE∴∠EAD=∠ABE∵AD ∥BC∴∠EAD=∠ACB∴∠ACB=∠ABE（2）在BE 边上取点H ，使BH=AE∵AB=AD∴△ABH ≌△DAE∴∠AHB=∠AED∵∠AHB+∠AHE=180°∠AED+∠DEC=180°∴∠AHE=∠DEC∵∠BEC=2∠DEC∠BEC=∠HAE+∠AHE∴∠AHE=∠HAE∴AE=EH∴BE=2AE∵∠ABE=∠ACB∠BAE=∠CAB∴△ABE ∽△ACB ∴EB AE CB AB= ∴CB=2AB ；（3）连接BD 交AC 于点Q ，过点A 作AK ⊥BD 于点K∵AD=AB∴12DK BD =∠AKD=90°∵12AB AD BC == ∴12AD DK CB DB == ∵AD ∥BC∴∠ADK=∠DBC∴△ADK ∽△DBC∴∠BDC=∠AKD=90°∵DF=FC∴∠FDC=∠DFC∵∠BDC=90°∴∠FDC+∠QDF=90°∠DQF+∠DCF=90°∴DF=FQ设AD=a∴DF=FC=QF=ka∵AD ∥BC∴∠DAQ=∠QCB∠ADQ=∠QBC∴△AQD ∽△CQB ∴12AD QA BC CQ== ∴AQ=ka=QF=CF∴AC=3ka∵△ABE ∽△ACB ∴AE AB AB AC= ∴AB =同理△AFD ∽△CFG12DF AF FG FC == ∴1122FG DF ka ==AB FG = 【点睛】本题是一道关于相似的综合题目，难度较大，根据题目作出合适的辅助线是解此题的关键，解决此题还需要较强的数形结合的能力以及较强的计算能力．。

全等三角形专题——截长补短练习

全等三角形专题——截长补短角的等分线具有其特有的性质,这一性质在很多问题里都有着普遍的运用,而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特别的办法,运用此种办法常可使思绪名顿开.1、如图,AD BC//,点E 在线段AB上,ADE CDE ∠=∠,DCE ECB ∠=∠, 求证：CD=AD+BC2.已知如图,1=2∠∠,P 为BN 上一点,且PD BC ⊥于点D,且0180BAP BCP ∠+∠=, 求证：AB+BC=2BD2、已知,如图在ABC 中,2C B ∠=∠,12∠=∠,求证：AB=AC+CD 4.已知ABC 中,060A ∠=,BD,CE 分离评分ABC ∠和ACB ∠,BD,CE 交于点O,试断定BE,CD,BC 的数目关系,并加以证实. 5.如图所示,ABC 是边长为1的等边三角形,BDC 是顶角为0120的等腰三角形,以D 为极点的一个060的MDN ∠,点M,N 分离在AB,AC 上,求AMN 的周长.6.如图,在ABC 中,060BAC ∠=,AD是BAC ∠的等分线,且AC=AB+BD,求ABC ∠的度数.7.已知如图,ABCD 是正方形,FAD FAE ∠=,求证：BE+DF=AF 8.在ABC 中,2B C ∠=∠,且AD BC ⊥于D,求证：CD=AB+BD9.如图所示,△ABC 中,∠C=90°,∠B=45°,AD 等分∠BAC 交BC 于D.求证：AB=AC+CD.变式：如图所示,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=45°,AB=AC+CD.求证：AD 等分∠BAC.10.如图所示,△ABC 中,AD 为∠BAC 的角等分线,∠ABC=90°,∠C=30°,BE⊥AD 于E 点,求证：AC-AB=2BE.全等三角形在中考中必考题型1.已知,在中ABC ,0C=90∠,AC=BC ,直线ｌ绕点Ａ扭转,过点Ｂ,Ｃ分离向直线ｌ做垂线,垂足分离是点Ｄ.点Ｅ. （１）如图１,求证：ＢＤ＋ＣＥ＝ＡＥ;（２）当直线ｌ绕点Ａ顺时针转到如图２,则ＢＤ.ＣＥ .ＡＥ之间知足的数目关系是2.已知ABCD ,衔接ＡＣ,ＡＣ＝ＡＢ,Ｅ为线段ＢＣ上的一动点,Ｆ为直线ＤＣ上一动点,且EAF B ∠=∠.（１）如图（１）,当060B ∠=时,求证：ＣＥ＋ＣＦ＝CA.3.已知ABC ,有一个以P 为极点的角,且12APE ACD∠=∠,将此角的极点放在边BC 上,角的一边始终经由点A,另一边与ACB ∠的外角的等分线交于点E.（1）如图1,当ABC 三角形为等边三角形时,求证：CP+CE=CA.4.在中Rt ABC 中,090ACB ∠=,AC=BC,点P 为BC 地点直线上一点,分离过点B.C 作直线AP 的垂线,垂足分离为点D,X.（1）当点P 在线段BC 上时,如图1,求证：2AD BD CE -=（2）当点P 在CB 的反向延伸线上时,如图2,线段AD.BD.CE 三者之间知足的数目关系是5.已知：△ABC 的高AD 地点直线与高BE 地点直线订交于点F ．OABCDEE DAB C CD AEFAD C BE P（1）如图l,若△ABC 为锐角三角形,且∠ABC ＝45°,过点F 作FG ∥BC,交直线AB 于点G,求证：FG ＋DC ＝AD;（2）如图 2,若∠ABC ＝135°,过点F 作FG ∥BC,交直线AB 于点G,则FG.DC.AD 之间知足的数目关系是;6.Rt ABC ∠中,090ACB ∠=,AC BC =,点D 为直线BC 上一点,CH AD ⊥于H ,直线CH 与直线AB 交于点P,作BPE APC ∠=∠,射线PE 与直线BC 交于点E. （1）当点D 在BC 上时,如图1,求证：2CD DE AC +=（2）当点D 在的CB 延伸线上时,如图2,请直接写出线段CD,DE,AC 的数目关系.（3）在（2）的前提下,设PE 与AC 交于点G,并且AG CG =,5PG =,衔接DG,分离交CH.AB 于点M.N,求的长MN 的长.7.如图①,OP 是MON ∠的等分线,请你运用该图形画一对以OP 地点直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的办法,解答下列问题：（1）如图②,在ABC ∆中,90ACB ∠=,60,,B AD CE ∠=︒分离是,BAC BCA ∠∠的等分线,,AD CE订交于点F .请你断定并写出FE 与FD 之间的数目关系;（2）如图③,在ABC ∆中,假如90ACB ∠≠,而（1）中的其它前提不变,请问,你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立,请证实;若不成立,请解释来由.8.已知在ABC ∆中,6OA OB OC ===,过点A 的直线AP 交线段BC 于点P ,将ABC ∆分成面积比为1:2的两部分.（1）求P 点坐标;（2）过B 作BH AP ⊥,垂足为H ,2BP PC =,求直线BH的解析式;（3）在（2）的前提下,若直线BH 交直线AC 于点M ,在第一象限内是否消失点Q ,使BCM ∆与QCM ∆全等,若消失,求出Q 点坐标,若不消失,解释来由.。

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全等三角形专题
——截长补短
角的平分线具有其特有的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用，而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊的方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗。

1、如图， AD BC //,点E 在线段AB 上，ADE CDE ∠=∠,DCE ECB ∠=∠, 求证：CD=AD+BC
2、已知如图，1=2∠∠，P 为BN 上一点，且PD BC ⊥于点D,且0
180BAP BCP ∠+∠=，求证：AB+BC=2BD
2、已知，如图在ABC 中，2C B ∠=∠,12∠=∠,
求证：AB=AC+CD
4、已知ABC 中，0
60A ∠=,BD ，CE 分别评分ABC ∠和ACB ∠，BD,CE 交于点O ，试判断BE,CD,BC 的数量关系，并加以证明。

5、如图所示，ABC 是边长为1的等边三角形，BDC 是顶角为0
120的等腰三角形，以D 为顶点的一个
060的MDN ∠,点M ，N 分别在AB,AC 上，求AMN 的周长。

6、如图，在ABC 中，0
60BAC ∠=,AD 是BAC ∠的平分线，且AC=AB+BD,求ABC ∠的度数。

7、已知如图，ABCD 是正方形，FAD FAE ∠=，求证：BE+DF=AF
8、在ABC 中，2B C ∠=∠，且AD BC ⊥于D ，求证：CD=AB+BD
9、如图所示，△ABC 中，∠C=90°，∠B=45°，AD 平分∠BAC 交BC 于D.求证：AB=AC+CD. 变式：如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=45°，AB=AC+CD.求证：AD 平分∠BAC.
10、如图所示，△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，∠ABC=90°，∠C=30°，BE ⊥AD 于E 点，求证：AC-AB=2BE.
O
A
B
C
D
E
B
C
A
D
D
B
C
A
E
D
A
B
C
全等三角形在中考中必考题型 1、已知，在中ABC ，0C=90∠，AC=BC ，直线ｌ绕点Ａ旋转，过点Ｂ，Ｃ分别向直线ｌ做垂线，垂足
分别是点Ｄ、点Ｅ。

（１）如图１，求证：ＢＤ＋ＣＥ＝ＡＥ；
（２）当直线ｌ绕点Ａ顺时针转到如图２，则ＢＤ、ＣＥ、ＡＥ之间满足的数量关系是
2、已知ABCD ，连接ＡＣ，ＡＣ＝ＡＢ，Ｅ为线段ＢＣ上的一动点，Ｆ为直线ＤＣ上一动点，且EAF B ∠=∠。

（１）如图（１），当060B ∠=时，求证：ＣＥ＋ＣＦ＝CA 。

3、已知ABC ，有一个以P 为顶点的角，且1
2
APE ACD ∠=∠，将此角的顶点放在边BC 上，角的一边始
终经过点A ，另一边与ACB ∠的外角的平分线交于点E 。

（1）如图1，当ABC 三角形为等边三角形时，求证：CP+CE=CA 。

4、在中Rt ABC 中，090ACB ∠=，AC=BC ，点P 为BC 所在直线上一点，分别过点B 、C 作直线AP 的垂线，垂足分别为点D ，X 。

（1）当点P 在线段BC 上时，如图1，求证：2AD BD CE -=
（2）当点P 在CB 的反向延长线上时，如图2，线段AD 、BD 、CE 三者之间满足的数量关系是
P
D
E
N
P
D
E
B
l
E
D C
l E
D
B C D A E F A D C B E
P
5、已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．
（1）如图l，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG＋DC＝AD；
（2）如图2，若∠ABC＝135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是；6、Rt ABC
∠中，0
90
ACB
∠=,AC BC
=,点D为直线BC上一点，CH AD
⊥于H,直线CH与直线AB 交于点P，作BPE APC
∠=∠，射线PE与直线BC交于点E。

（1）当点D在BC上时，如图1，求证：2CD DE AC
+=
（2）当点D在的CB延长线上时，如图2，请直接写出线段CD，DE，AC的数量关系。

（3）在（2）的条件下，设PE与AC交于点G，并且AG CG
=，5
PG=，连接DG，分别交CH、AB于点M、N，求的长MN的长。

H
A
D
P
E
P
A
B
C
H
7、如图①，OP 是MON ∠的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在ABC ∆中，90ACB ∠=，60,,B AD CE ∠=︒分别是,BAC BCA ∠∠的平分线，,AD CE
相交于点F 。

请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；
（2）如图③，在ABC ∆中，如果90ACB ∠≠，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中
所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

8、已知在ABC ∆中，6OA OB OC ===，过点A 的直线AP 交线段BC 于点P ，将ABC ∆分成面积比为1:2的两部分。

（1）求P 点坐标；（2）过B 作BH AP ⊥，垂足为H ，2BP PC =，求直线BH 的解析式；（3）在（2）的条件下，若直线BH 交直线AC 于点M ，在第一象限内是否存在点Q ，使BCM ∆与QCM ∆全等，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，说明理由。

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