邻接矩阵表示图,深度,广度优先遍历

*问题描述：建立图的存储结构（图的类型可以是有向图、无向图、有向网、无向网，学生可以任选两种类型），能够输入图的顶点和边的信息，并存储到相应存储结构中，而后输出图的邻接矩阵。

1、邻接矩阵表示法:设G=(V,E)是一个图，其中V={V1,V2,V3…,Vn}。

G的邻接矩阵是一个他有下述性质的n阶方阵：1，若(Vi,Vj)∈E 或<Vi,Vj>∈E；A[i,j]={0，反之图5-2中有向图G1和无向图G2的邻接矩阵分别为M1和M2:M1=┌0 1 0 1 ┐│ 1 0 1 0 ││ 1 0 0 1 │└0 0 0 0 ┘M2=┌0 1 1 1 ┐│ 1 0 1 0 ││ 1 1 0 1 │└ 1 0 1 0 ┘注意无向图的邻接是一个对称矩阵，例如M2。

用邻接矩阵表示法来表示一个具有n个顶点的图时，除了用邻接矩阵中的n*n个元素存储顶点间相邻关系外，往往还需要另设一个向量存储n个顶点的信息。

因此其类型定义如下：VertexType vertex[MAX_VERTEX_NUM]; // 顶点向量AdjMatrix arcs; // 邻接矩阵int vexnum, arcnum; // 图的当前顶点数和弧(边)数GraphKind kind; // 图的种类标志若图中每个顶点只含一个编号i(1≤i≤vnum)，则只需一个二维数组表示图的邻接矩阵。

此时存储结构可简单说明如下：type adjmatrix=array[1..vnum,1..vnum]of adj;利用邻接矩阵很容易判定任意两个顶点之间是否有边（或弧）相联，并容易求得各个顶点的度。

对于无向图，顶点Vi的度是邻接矩阵中第i行元素之和，即n nD(Vi)＝∑A[i,j]（或∑A[i,j]）j=1 i=1对于有向图，顶点Vi的出度OD(Vi)为邻接矩阵第i行元素之和，顶点Vi 的入度ID(Vi)为第i列元素之和。

即n nOD(Vi)＝∑A[i,j]，OD(Vi)＝∑A[j,i]）j=1j=1用邻接矩阵也可以表示带权图，只要令Wij, 若<Vi,Vj>或(Vi,Vj)A[i,j]＝{∞, 否则。

其中Wij为<Vi,Vj>或(Vi,Vj)上的权值。

相应地，网的邻接矩阵表示的类型定义应作如下的修改：adj:weightype ; {weightype为权类型} 图5-6列出一个网和它的邻接矩阵。

┌∞３１∞∞┐│∞∞５１∞││∞∞∞∞∞││∞∞６∞∞│└∞３２２∞┘(a)网(b)邻接矩阵图5-6 网及其邻接矩阵对无向图或无向网络，由于其邻接矩阵是对称的，故可采用压缩存贮的方法，仅存贮下三角或上三角中的元素(但不含对角线上的元素)即可。

显然，邻接矩阵表示法的空间复杂度O(n2)。

无向网邻接矩阵的建立方法是：首先将矩阵A的每个元素都初始化成∞。

然后，读入边及权值(i,j,wij),将A的相应元素置成Wij。

2、图的遍历：*深度优先搜索深度优先搜索遍历类似于树的先根遍历，是树的先根遍历的推广。

假设初始状态是图中所有的顶点未曾被访问，则深度优先遍历可从图的某个顶点V出发，访问此顶点，然后依次从V的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和V有路径相通的顶点都被访问到；若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中的一个未被访问的顶点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。

以图7.13(a)中无向图G4为例，深度优先遍历图的过程如图7.13(b)所示。

假设从顶点V1出发进行搜索，在访问了顶点V1后，选择邻接点V2。

因为V2未曾访问，则从V2出发进行搜索。

依次类推，接着从V4,V8,V5出发进行搜索。

在访问了V5之后，由于V5的邻接点已都被访问，则搜索回到V8。

由于同样的理由，搜索继续回到V4，V2直至V1，此时由于V1的另一个邻接点为被访问，则搜索又从V 1到V3，再继续进行下去。

由此得到顶点的访问序列为：V1V2V4V8V5V3V6V7显然，这是一个递归的过程。

为了在遍历过程中便于区别顶点是否已被访问，需附设访问标志数组visted[0...n-1],其初值为0，一但某个顶点被访问，则其相应的分量置为1。

*广度优先搜索假设从图中某顶点v出发，在访问了v之后一次访问v的各个未曾访问的扩大邻接点，然后分别从这些邻接点出发依次访问他们的邻接点，并使“先被访问的邻接点”先于“后被访问的邻接点”被访问，直至图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问到。

若图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直到图中的顶点都被访问为止。

换句话说，广度优先遍历图的过程就是以v为起始点，有远至近，依次访问和v有路径相通且路径长度为1、2……的顶点。

例如，对图G4进行广度优先搜索遍历的过程如图7.13（3）所示，首先访问v1和v1的邻接点v2和v3，然后依次访问v2的邻接点v4和v5及v3的邻接点v6和v7，最后访问v4的邻接点v8。

由于这些顶点的邻接点均已被访问，并且图中所有顶点都被访问，由此完成了图的遍历。

得到的顶点访问序列为V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V 8和深度优先搜索类似，在遍历的过程中也需要一个访问标志数组。

并且，为了顺次访问路径长度为2、3、…的顶点，需附设队列以存储已被访问的路径长度为1、2…的顶点。

2、图的输出图的邻接矩阵是一个二维数组，运用for 语句的嵌套依次输出。

主程序流程图图的构造流程图1、无向图邻接矩阵的建立算法如下：procedure build-graph; {建立无向图的邻接矩阵}beginfor i:=1 to n do read(G.vertex[i])；{读入n个顶点的信息}for i:=1 to n dofor j:=1 to e doG.arcs[i][j] =0；{将邻接矩阵的每个元素初始化成0 }for k:=1 to e do {e为边的数目}[ read(i,j,w) {读入边<i,j>和权}G.arcs[i][j]:=w]G.arcs[i][j]＝G.arcs[i][i]｛置对称弧｝end；该算法的执行时间是O(n+n2+e),其中消耗在邻接矩阵初始化操作上的时间是O(n2),而e<n2，所以上述算法的时间复杂度是O(n2)。

2、无向网邻接矩阵的建立算法如下：procedure build-graph; {建立无向网的邻接矩阵}beginfor i:=1 to n do read(G.vertex[i])；{读入n个顶点的信息}for i:=1 to n dofor j:=1 to e doG.arcs[i][j] =maxint；{将邻接矩阵的每个元素初始化成maxint,计算机内∞用最大事数maxint表示} for k:=1 to e do {e为边的数目}[ read(i,j,w) {读入边<i,j>和权}G.arcs[i][j]:=w; G.arcs[i][j]:=w] end；该算法的执行时间是O(n+n2+e),其中消耗在邻接矩阵初始化操作上的时间是O(n2),而e<n2，所以上述算法的时间复杂度是O(n2)。

3、图的深度优先遍历算法分析beginfor i:=1 to n do(visited[i]){初始化标志数组}while （i<n）｛for：i＝1 to n do｛按要求访问邻接点｝｝end当用二维数组表示邻接矩阵作图的存储结构时，查找每个顶点的邻接点所需时间为O(n2)，其中n为图中顶点数。

4、图的广度优先遍历算法分析beginfor i:=1 to n do(visited[i]){初始化标志数组}while （i<n）｛for：i＝1 to n do｛if…..if…..｝｝end二维数组表示邻接矩阵作图的存储结构，其中n为图中顶点数,查找每个顶点的邻接点所需时间为O(n2)。

/* Graph.h */#include<stdio.h>#include<malloc.h>#include<conio.h>#include<stdlib.h>#include<string.h>#define ERROR 0#define OK 1#define MAX_VERTEX_NUM 20 //定义最大值#define INFINITY 32768 //定义极大值#define MAX_INFO 20typedef int VrType; //定义新的类型typedef int InfoType;typedef char VertexType;typedef enum{DG,DN,UDG,UDN}GraphKind;//有向图,有向网,无向图,无向网typedef struct ArcCell{//邻接矩阵表示法的各个数据结构VrType adj; // 顶点关系类型。

对无权图，用或表示相邻否；对带权图，则为权值类型。

InfoType *info; // 该弧相关信息的指针} ArcCell, AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];typedef struct{VertexType vertex[MAX_VERTEX_NUM]; // 顶点向量AdjMatrix arcs; // 邻接矩阵int vexnum, arcnum; // 图的当前顶点数和弧(边)数GraphKind kind; // 图的种类标志} MGraph;typedef struct{//设置栈int elem1[MAX_VERTEX_NUM];int top;}SeqStack;int LocateVertex(MGraph G,VertexType v);void CreateUDG(MGraph &G);void CreateUDN(MGraph &G);void DepthFirstSearch1(MGraph G);void BreadthFirstSearch1(MGraph G);int CreateGraph(MGraph &G);void Display(MGraph G);/* Graph.cpp */#include"Graph.h"int LocateVertex(MGraph G,VertexType v){//用于返回输弧端点所表示的数值int j=0,k;for(k=0;k<G.vexnum;++k)if(G.vertex[k]==v){j=k;break;}return(j);}void CreateUDG(MGraph &G){ // 采用数组(邻接矩阵)表示法,构造无向图int i,j,k,IncInfo;//i，j，k为计数器,IncInfo为标志符char ch; //用于吃掉多余的字符VertexType v1,v2; //用于放置输入的弧的两个顶点printf("请输入无向图G的顶点数,边数,弧是否含相关信息（是：，否：）: \n"); scanf("%d,%d,%d",&G.vexnum,&G.arcnum,&IncInfo);ch=getchar(); //用于吃掉回车printf("请输入%d个顶点的值(1个字符，空格隔开):\n",G.vexnum);for(i=0;i<G.vexnum;++i) // 构造顶点向量{scanf("%c",&G.vertex[i]);ch=getchar();}printf("请输入%d条边的顶点顶点(以空格作为间隔): \n",G.arcnum);for(i=0;i<G.vexnum;++i) // 初始化邻接矩阵for(j=0;j<G.vexnum;++j){G.arcs[i][j].adj=0;G.arcs[i][j].info=NULL; // {adj,info}}for(k=0;k<G.arcnum;++k){scanf("%c %c",&v1,&v2);ch=getchar();// ch吃掉回车符i=LocateVertex(G,v1); j=LocateVertex(G,v2);if(IncInfo)scanf("%d",&G.arcs[i][j].info);G.arcs[i][j].adj=G.arcs[j][i].adj=1; // 置<v1,v2>的对称弧<v2,v1>}}//CreateUDGvoid CreateUDN(MGraph &G){ // 采用数组(邻接矩阵)表示法,构造无向网int i,j,k,w,IncInfo;//i，j，k为计数器，w用于放置权值,IncInfo为标志符char ch; //用于吃掉多余的字符VertexType v1,v2; //用于放置输入的弧的两个顶点printf("请输入无向图G的顶点数,边数,弧是否含相关信息（是：，否：）:\n ");scanf("%d,%d,%d",&G.vexnum,&G.arcnum,&IncInfo);ch=getchar(); //用于吃掉回车printf("请输入%d个顶点的值(1个字符，空格隔开):\n",G.vexnum);for(i=0;i<G.vexnum;++i) // 构造顶点向量{scanf("%c",&G.vertex[i]);ch=getchar();}printf("请输入%d条边的顶点顶点(以空格作为间隔): \n",G.arcnum);for(i=0;i<G.vexnum;++i) // 初始化邻接矩阵for(j=0;j<G.vexnum;++j){G.arcs[i][j].adj=0;G.arcs[i][j].info=NULL; //{adj,info}}for(k=0;k<G.arcnum;++k){scanf("%c %c",&v1,&v2);ch=getchar();// ch吃掉回车符printf("请输入该边的权值: ");scanf("%d",&w);ch=getchar();i=LocateVertex(G,v1);j=LocateVertex(G,v2);G.arcs[i][j].adj=w;if(IncInfo)scanf("%d",&G.arcs[i][j].info);G.arcs[i][j]=G.arcs[j][i]; // 置<v1,v2>的对称弧<v2,v1>}}//CreateUDNvoid DepthFirstSearch1(MGraph G){//无向图、无向网深度优先遍历int i,j,k,visited[20],t=1,a=1; //i,j,k为计数器，visited[20]为标志符用于表示是否已经访问过SeqStack p;for(i=0;i<G.vexnum;++i) //初始化标志符visited[i]=0;visited[0]=1; //规定以第一个字符开始遍历printf("深度优先遍历开始：\n");k=0;i=0;printf("%c ",G.vertex[0]);while(i<G.vexnum){//不断以行循环在遇到符合条件时打印，每打印出一个就让t加，把合适的值用栈来表示，把指针指向新的项for(j=0;j<G.vexnum;++j){if(G.arcs[i][j].adj!=0&&G.arcs[i][j].adj!=INFINITY&&visited[j]==0){printf("%c ",G.vertex[j]);visited[j]=1;p.elem1[k]=i;p.top=k;k++;i++;a++;t++;break;}}if(j==G.vexnum){//当在某一行无法找到合适值时，输出栈内的值，返回上一行重新开始循环i=p.elem1[p.top];p.top--;k--;}if(t==G.vexnum)break; //当全部的定点都打印出来了就退出循环}printf("\n");}void BreadthFirstSearch1(MGraph G){//无向图、无向网广度优先遍历int i,j,k,visited[20],t=1; //i,j为计数器，visited[20]为标志符用于表示是否已经访问过SeqStack p;for(i=0;i<G.vexnum;++i) //初始化标志符visited[i]=0;visited[0]=1; //规定以第一个字符开始遍历printf("广度优先遍历开始：\n");k=0;i=0;printf("%c ",G.vertex[0]);while(i<G.vexnum){for(j=0;j<G.vexnum;++j)//不断以行循环在遇到符合条件时打印，每打印出一个就让t加，把指针指向新的项{if(G.arcs[i][j].adj!=0&&G.arcs[i][j].adj!=INFINITY&&visited[j]==0){printf("%c ",G.vertex[j]);visited[j]=1;p.elem1[k]=i;p.top=k;k++;t++;}}i++; //换行，重新开始循环if(t==G.vexnum)break;}printf("\n");}int CreateGraph(MGraph &G){ //构造图printf("请输入要构造的图的类型(有向图:0,有向网:1,无向图:2,无向网:3):\n");scanf ("%d",&G.kind);switch(G.kind){case 2: CreateUDG(G);break;case 3: CreateUDN(G);break;default: return ERROR;}}//CreateGraphvoid Display(MGraph G){//输出图的邻接矩阵int i,j;printf("该图的邻接矩阵为：\n");for(i=0;i<G.vexnum;++i){for(j=0;j<G.vexnum;++j){printf("%d ",G.arcs[i][j].adj);}printf("\n");}}/* main.cpp */#include"Graph.h"void main(){int i;MGraph G;CreateGraph(G);DepthFirstSearch1(G);BreadthFirstSearch1(G);Display(G);scanf("%d",&i);1、程序开始运行时输出：请输入要构造的图的类型(有向图:0,有向网:1,无向图:2,无向网:3):为了测试输入为：2显示：请输入无向图G的顶点数:输入：5显示：请输入无向图G的边数:输入：6显示：请输入无向图G的弧是否含相关信息（是：1，否：0）:输入：0显示：请输入5个顶点的值(1个字符，空格隔开):输入：1 2 3 4 5显示：请输入%d条边的顶点1 顶点2(以空格作为间隔): 输入：1 2 1 4 2 3 2 5 3 4 3 5显示：深度优先遍历开始：1 2 3 4 5广度优先遍历开始：1 2 4 3 5该图的邻接矩阵为：0 1 0 1 01 0 1 0 10 1 0 1 11 0 1 0 00 1 1 0 0请输入任意键退出2、程序运行结果如图：。