邻接矩阵表示图,深度,广度优先遍历

*问题描述：

建立图的存储结构（图的类型可以是有向图、无向图、有向网、无向网，学生可以任选两种类型），能够输入图的顶点和边的信息，并存储到相应存储结构中，而后输出图的邻接矩阵。

1、邻接矩阵表示法:

设G=(V,E)是一个图，其中V={V1,V2,V3…,Vn}。G的邻接矩阵是一个他有下述性质的n阶方阵：

1，若(Vi,Vj)∈E 或∈E；

A[i,j]={

0，反之

图5-2中有向图G1和无向图G2的邻接矩阵分别为M1和M2:

M1=┌0 1 0 1 ┐

│ 1 0 1 0 │

│ 1 0 0 1 │

└0 0 0 0 ┘

M2=┌0 1 1 1 ┐

│ 1 0 1 0 │

│ 1 1 0 1 │

└ 1 0 1 0 ┘

注意无向图的邻接是一个对称矩阵，例如M2。

用邻接矩阵表示法来表示一个具有n个顶点的图时，除了用邻接矩阵中的n*n个元素存储顶点间相邻关系外，往往还需要另设一个向量存储n个顶点的信息。因此其类型定义如下：

VertexType vertex[MAX_VERTEX_NUM]; // 顶点向量

AdjMatrix arcs; // 邻接矩阵

int vexnum, arcnum; // 图的当前顶点数和弧(边)数

GraphKind kind; // 图的种类标志

若图中每个顶点只含一个编号i(1≤i≤vnum)，则只需一个二维数组表示图的邻接矩阵。此时存储结构可简单说明如下：

type adjmatrix=array[1..vnum,1..vnum]of adj;

利用邻接矩阵很容易判定任意两个顶点之间是否有边（或弧）相联，并容易求得各个顶点的度。

对于无向图，顶点Vi的度是邻接矩阵中第i行元素之和，即

n n

D(Vi)＝∑A[i,j]（或∑A[i,j]）

j=1 i=1

对于有向图，顶点Vi的出度OD(Vi)为邻接矩阵第i行元素之和，顶点Vi 的入度ID(Vi)为第i列元素之和。即

n n

OD(Vi)＝∑A[i,j]，OD(Vi)＝∑A[j,i]）

j=1j=1

用邻接矩阵也可以表示带权图，只要令

Wij, 若或(Vi,Vj)

A[i,j]＝{

∞, 否则。

其中Wij为或(Vi,Vj)上的权值。相应地，网的邻接矩阵表示的类型定义应作如下的修改：adj:weightype ; {weightype为权类型} 图5-6列出一个网和它的邻接矩阵。

┌∞３１∞∞┐

│∞∞５１∞│

│∞∞∞∞∞│

│∞∞６∞∞│

└∞３２２∞┘

(a)网(b)邻接矩阵

图5-6 网及其邻接矩阵

对无向图或无向网络，由于其邻接矩阵是对称的，故可采用压缩存贮的方法，

仅存贮下三角或上三角中的元素(但不含对角线上的元素)即可。显然，邻接矩阵表示法的空间复杂度O(n2)。

无向网邻接矩阵的建立方法是：首先将矩阵A的每个元素都初始化成∞。然后，读入边及权值(i,j,wij),将A的相应元素置成Wij。

2、图的遍历：

*深度优先搜索

深度优先搜索遍历类似于树的先根遍历，是树的先根遍历的推广。假设初始状态是图中所有的顶点未曾被访问，则深度优先遍历可从图的某个顶点V出发，访问此顶点，然后依次从V的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和V有路径相通的顶点都被访问到；若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中的一个未被访问的顶点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。

以图7.13(a)中无向图G

4

为例，深度优先遍历图的过程如图7.13(b)所示。

假设从顶点V

1出发进行搜索，在访问了顶点V

1

后，选择邻接点V

2

。因为V

2

未曾

访问，则从V

2出发进行搜索。依次类推，接着从V

4

,V

8

,V

5

出发进行搜索。在访问

了V

5之后，由于V

5

的邻接点已都被访问，则搜索回到V

8

。由于同样的理由，搜

索继续回到V

4，V

2

直至V

1

，此时由于V

1

的另一个邻接点为被访问，则搜索又从

V 1到V

3

，再继续进行下去。由此得到顶点的访问序列为：

V

1

V

2

V

4

V

8

V

5

V

3

V

6

V

7

显然，这是一个递归的过程。为了在遍历过程中便于区别顶点是否已被访问，

需附设访问标志数组visted[0...n-1],其初值为0，一但某个顶点被访问，则其相应的分量置为1。

*广度优先搜索

假设从图中某顶点v出发，在访问了v之后一次访问v的各个未曾访问的扩大邻接点，然后分别从这些邻接点出发依次访问他们的邻接点，并使“先被访问的邻接点”先于“后被访问的邻接点”被访问，直至图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问到。若图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直到图中的顶点都被访问为止。换句话说，广度优先遍历图的过程就是以v为起始点，有远至近，依次访问和v有路径相通且路径