智能控制--第5章 自适应模糊控制的理论基础

自适应模糊控制有两种不同的形式：
(1)直接自适应模糊控制:根据实际系统性能与理
想性能之间的偏差，通过一定的方法来直接调整
控制器的参数；
(2)间接自适应模糊控制:通过在线辨识获得控制
对象的模型，然后根据所得模型在线设计模糊控
制器。
5.1 模糊逼近 5.1.1 模糊系统的设计
设二维模糊系统 g ( x)为集合 U , , R 上的一个函数，其解析式形式未知。假设对任意一
p1 pn l1ln f
(5.12)
其中 A xi 为 x i 的隶属函数。
i j
令
y lf1ln 是自由参数，放在集合 f R i 1
pi
n
中。引入向
量 x ，(5.12)式变为
ˆ x | T x f f f
其中 x 为 pi 维向量，其第 l1 , l n 个元素为 i 1
0.6
0.4
0.2
0 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0 x1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
图5-4
x1 的隶属函数
1
0.8
Membership function
0.6
0.4
0.2
0 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0 x2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
图5-5
x2 的隶属函数
图5-6
模糊逼近
图5-7 逼近误差
第5章 自适应模糊控制
模糊控制的突出优点是能够比较容易地将 人的控制经验溶入到控制器中，但若缺乏这样
的控制经验，很难设计出高水平的模糊控制器。
而且，由于模糊控制器采用了 IF-THRN 控制规
则，不便于控制参数的学习和调整，使得构造
具有自适应的模糊控制器较困难。
自适应模糊控制是指具有自适应学习算法的模糊逻辑系
式中，无穷维范数
定义为 d x sup d x 。
由(5.4)式可知：假设 x i 的模糊集的个数为 N i ，
其变化范围的长度为 Li ，则模糊系统的逼近精度满 足
Ni Li 1 hi
即：
Li hi Ni 1
由该定理可得到以下结论：
（1）形如式（5.2）的模糊系统是万能逼近器，对任意
sup 0.1 0.06x 2 0.16，
xU
g x 2
sup 0.28 0.06x1 0.34
x U
由式（5.3）可知，取 h
1
0.2
h2 0.2 时，有 ，
g f 0.16 0.2 0.34 0.2 0.1
满足精度要求。由于 L 2 ，此时模糊集的个数为 即 x1 和 x2分别在
e ym y ym x
, , e e e, e

n 1

T
(5.8)
选择 k kn ,, k1 T，使多项式 s n k1s n1 k n 的所有
根部都在复平面左半开平面上。
取控制律为
u 1 (n) f x y m Κ T e g ( x)
统，其学习算法是依靠数据信息来调整模糊逻辑系统的参数。 一个自适应模糊控制器可以用一个单一的自适应模糊系统构 成，也可以用若干个自适应模糊系统构成。与传统的自适应 控制相比，自适应模糊控制的优越性在于它可以利用操作人
员提供的语言性模糊信息，而传统的自适应控制则不能。这
一点对具有高度不确定因素的系统尤其重要。
u 1 ˆ x y n Κ T e f f m ˆ x g g


(5.15)
ˆ x | T x , f f f
T ˆ x | g g g x
(5.16)
T 其中 x 为模糊向量，参数 T 和 根据自适应律而 f g
令 f x为式（5.2）中的二维模糊
在 U , 上是连续可微的，模糊系统的 逼近精度为：
g f

g g h1 h2 x1 x2
(5.3)
hi max eij 1 eij i 1, 2
1 j Ni 1
(5.4)
xU
来逼近 f x为例，可用两步构造模糊系统：
l1 p 步骤1：对变量 x1 ( i 1,2,, n )，定义 i 个模糊集合 A1
( li 1,2,, pi )。
步骤2：采用以下 pi 条模糊规则来构造模糊系统：
i 1
n
R j :
ห้องสมุดไป่ตู้
IF x i THEN
is A1l
n
… AND
1 1 2 2 2
个 x U ，都能得到 g ( x) ，则可设计一个逼近的模糊系统。 模糊系统的设计步骤为： 步骤1：在 i , i 上定义 Ni i 1, 2 个标准的、一致 的和完备的模糊集。
A , A , , Ai
1 i 2 i
Ni
步骤2：组建 M N1 N2 条模糊集IF-THEN规则：
1
2
设计过程中，还必须知道 gx 在
i1 1,
2, , N1 , i2 1, 2, , N 2
g x1
和

g x2
。同时，在

i1 i2 x (e1 , e2 )
处的值。
5.1.3
实例 1
仿真实例
针对一维函数 g x ，设计一个模糊系统 f x ，使
sup g x f x
0.6
0.4
0.2
0 -3
-2
-1
0 x
1
2
3
图5-1
隶属函数
一维函数逼近仿真程序见chap5_1.m。逼近效果如 图5-2和5-3所示：
1
0.5
Approaching
0
-0.5
-1 -3
-2
-1
0 x
1
2
3
图5-2
模糊逼近
5
x 10
-3
Approaching error
0
-5 -3
-2
-1
0 x
1
2
3
图5-3
逼近误差
实例2
针对二维函数 g x ，设计一个模糊系统 f x ，使
U 1, 1 1, 1 上的连续函数
之一致的逼近定义在
g x 0.52 0.1x1 0.28x2 0.06x1 x2
所需精度为 0.1 。
由于
g x1


,

（5.19）
令：
1 0 0 0 0 0 1 0 Λ 0 0 0 0 k n k n 1 0 0 0 0 1 k1 0
经网络之外的一个新的万能逼近器。模糊系统较之其它逼 近器的优势在于它能够有效地利用语言信息的能力。万能 逼近定理是模糊逻辑系统用于非线性系统建模的理论基础， 同时也从根本上解释了模糊系统在实际中得到成功应用的
原因。
万能逼近定理
系统， gx 为式（5.1）中的未知函数，如果 gx
1 1 1 2
给定的 0 ，都可将 成立，从而保证
h1 和 h2
选得足够小，使 g

sup g x f x g f
xU
。
x1
h1

g x 2
h2

（ 2 ）通过对每个xi 定义更多的模糊集可以得到更为准 确的逼近器，即规则越多，所产生的模糊系统越有效。 （3）为了设计具有预定精度的模糊系统，必须知道 gx 关于 x 和 x 的导数边界，即
则模糊集的个数为 N L 上定义31 个具有 1 31 。在 U 3,3 h 三角形隶属函数的模糊集 A j，如图 5-1 所示。所设计的 模糊系统为：
f x
sin e x
31 j j 1 j A
x
j 1 j A
31
1
0.8
Membership function
xn
is Aili (5.11)
fˆ is
E
l1l n
其中 li 1,2,, pi ， i 1,2,, n 。
采用乘积推理机、单值模糊器和中心平均解模糊器，
则模糊系统的输出为
n y Aili xi l 1 l 1 i 1 n ˆ x | 1 f f pn p1 n Aili xi l1 1 ln 1 i 1
u
来消除其非线性的性质，然后再根据线性控制理论
设计控制器。
5.2.2
控制器的设计
如果 f x 和 g x 未知，控制律（5.9）很难实现。可 采用模糊系统 fˆ x 和 g ˆ x 代替 f x 和 g x ，实现自适应模 糊控制。
1. 基本的模糊系统 以
ˆ x f f
变化。
设计自适应律为：
eT Pb x f 1
eT Pbxu g 2
(5.17) (5.18)
自适应模糊控制系统如图5-8所示。
图5-8 自适应模糊控制系统
3. 稳定性分析 由式（5.15）代入式（5.7）可得如下模糊控制系统 的闭环动态
ˆ x f (x) g ˆ x g g (x) u e ( n ) Κ T e f f
i1 1 i2 1 i1 A 1 i2 A 2
11
11
(5.6)
该模糊系统由 11 11 121 条规则来逼近函数 g x
二维函数逼近仿真程序见chap5_2.m。x1 和 x2 的隶属 函数及 g x 的逼近效果如图5-4至5-7所示
1
0.8
Membership function
U 1,1
N
L 1 11 h
上定义11个具有三角形隶属函
数的模糊集 A j 。
所设计的模糊系统为：
i1 i2 i1 i2 g e , e x A 1 A x 2 i1 1 i2 1 11 11
f x


x x
Ru
i1i2
：如果 x1 为 A1i 且 x2 为 A2i ，则
1 2
y
为 B i1i2
其中，i1 1, 2, , N1 ,
12
i2 1, 2, , N2
将模糊集 B i i 的中心（用 y i1i2 表示）选择为
y
i1i2
g e1 , e2
i1
i2

（5.1）
步骤3：采用乘机推理机，单值模糊器和中心平 均解模糊器，根据 M N1 N2 条规则来构造模 糊系统 f x
5.2
间接自适应模糊控制
问题描述
,, x n1 g x, x ,, x n1 u x n f x, x
5.2.1
考虑如下 n 阶非线性系统：




(5.7)
其中 f 和 g 为未知非线性函数， u R n 和 y R n 分别为 系统的输入和输出。 设位置指令为 y m ，令


(5.9)
将(5.9)代入(5.7)，得到闭环控制系统的方程： 由 (5.10) e( n ) k1e( n1) kn e 0 的选取，可得 t 时 e(t ) 0 ，即系统的输
出 y 渐进地收敛于理想输出 ym 。
如果非线性函数 g (x) 和 f (x) 是已知的，则可以选择控 制
xU
之一致的逼近定义在 U 3, 3上的连续函数 g x sinx，
所需精度为 0.2 ，即 。
由于 知， g f

g x
cos x


1
， 由 式 （ 5.3 ） 可

g h h ，故取 h 0.2 x
满足精度要求。取 h 0.2 ，
l l x
1 n
(5.13)
n
x
n x Aili i l1 1 l n 1 i 1
p1 i 1 pn Ai i
l
n
i
(5.14)
2. 自适应模糊滑模控制器的设计
采用模糊系统逼近 f 和 g ，则控制律（5.9）变为
i1i2 i1 i2 y ( ( x ) A1 1 A2 ( x2 )) i1 1 i 2 1 N1 N 2 N1 N2
f (x)
(
i1 1 i 2 1
i1 A1
( x1 ) ( x2 ))
i2 A2
（5.2）
5.1.2
模糊系统的逼近精度
万能逼近定理表明模糊系统是除多项函数逼近器、神