测试技术与信号处理(第三版)课后习题详解

测试技术与信号处理习题解答

第一章 信号的分类与描述

1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|c n |–ω和φn –ω图，并与表1-1对比。

解答：在一个周期的表达式为

00 (0)2() (0)2

T A t x t T A t ⎧

--≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩

积分区间取（-T/2，T/2）

0000000

220

2

00

2

111()d =

d +

d =(cos -1) (=0, 1, 2, 3, )

T T jn t

jn t

jn t T T n c x t e

t Ae

t Ae t

T T T A

j

n n n ωωωππ

-----=

-±±±⎰

⎰

⎰

所以复指数函数形式的傅里叶级数为

001

()(1cos )jn t

jn t

n

n n A

x t c e

j

n e

n ∞

∞

=-∞

=-∞

=

=--∑∑ωωππ

，=0, 1, 2, 3, n ±±±。

(1cos ) (=0, 1, 2, 3, )0

nI nR A c n n n c ⎧

=-

-⎪±±±⎨

⎪=⎩ππ

21,3,,(1cos )00,2,4,6,

n A

n A c n n n n ⎧=±±±⎪

==-=⎨⎪=±±±

⎩

πππ

1,3,5,2arctan

1,3,5,2

00,2,4,6,nI n nR

π

n c πφn c n ⎧-=+++⎪⎪⎪===---⎨⎪=±±±⎪⎪

⎩

图1-4 周期方波信号波形图

没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。

1-2 求正弦信号0()sin x t x ωt =的绝对均值x μ和均方根值rms x 。

解答：0

000

2200000

224211()d sin d sin d cos T

T

T T

x x x x x μx t t x ωt t ωt t ωt T T T

T ωT ωπ

====-==⎰⎰⎰

rms

x === 1-3 求指数函数()(0,0)at x t Ae a t -=>≥的频谱。 解答：

(2)220

2

2

(2)

()()(2)

2(2)a j f t

j f t

at j f t

e A A a j

f X f x t e

dt Ae e

dt A

a j f a j f a f -+∞

∞

---∞-∞

-====

=-+++⎰⎰πππππππ

()X f =

Im ()2()arctan

arctan Re ()X f f

f X f a

==-πϕ

1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。

单边指数衰减信号频谱图

A /a

π/2

-π/2

幅频图

相频图

周期方波复指数函数形式频谱图

a)符号函数的频谱

10

()sgn()10

t x t t t +>⎧==⎨

-<⎩

t =0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。

该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。 可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x 1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x (t )的频谱。

10()sgn()0

at

at

at

e t x t e

t e

t --⎧>==⎨-<⎩

10

()sgn()lim ()a x t t x t →==

02221122

4()()(2)j f t at j f t at j f t f

X f x t e dt e e dt e e dt j

a f ∞∞

-----∞

-∞

==-+=-+⎰⎰⎰πππππ

[]10

1()sgn()lim ()a X f t X f j

f

→===-πF 1()X f f

π=

2

()0

2

f f f πϕπ⎧<⎪⎪

=⎨⎪->⎪⎩

图1-25 题1-4图

a)符号函数

b)阶跃函数

b)阶跃函数频谱

10

()00t u t t >⎧=⎨

<⎩

在跳变点t =0处函数值未定义，或规定u (0)=1/2。

阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。

解法1：利用符号函数

11

()sgn()22

u t t =

+ [][]11

11111()()sgn()()()22

222U f u t t f j f j f f ⎛⎫⎡⎤⎡⎤==+=+-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦δδππF F F

()U f =

结果表明，单位阶跃信号u (t )的频谱在f =0处存在一个冲激分量，这是因为u (t )含有直流分量，在预料

之中。同时，由于u (t )不是纯直流信号，在t =0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。

解法2：利用冲激函数

10()()d 00t

t u t t δττ-∞>⎧==⎨<⎩

⎰时

时

根据傅里叶变换的积分特性

单位阶跃信号频谱

f

|U (f )|

(1/2) 1()sgn()at x t e t -=符号函数

t

x 1(t ) 0

1

-1

符号函数频谱