辽宁省大连市2021届高三1月(八省联考)双基测试 数学
2021年1月(八省联考)数学试题
2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知,M N 均为R 的子集，且RM N ⊆，则()M N ⋃=R （ ）A ．∅B ．MC ．ND ．R2．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．233．关于x 的方程20x ax b ++=，有下列四个命题：甲：1x =是该方程的根；乙：3x =是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．椭圆()2222101x y m m m+=>+的焦点为1F 、2F ，上顶点为A ，若123F AF π∠=，则m =（ ）A ．1B C D ．25．已知单位向量,a b 满足0a b ⋅=，若向量72c a b =+，则sin ,a c 〈〉=（ ）A B ．3C D ．96．()()()239111x x x ++++++的展开式中2x 的系数是（ ）A ．60B ．80C ．84D ．1207．已知抛物线22y px =上三点(2,2),,A B C ，直线,AB AC 是圆22(2)1x y -+=的两条切线，则直线BC 的方程为（ ） A ．210x y ++= B ．3640x y ++= C ．2630x y ++= D ．320x y ++=8．已知5a <且5e 5e ,4a a b =<且44,3b be e c =<且3e 3e c c =，则（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．a b c <<二、多选题9．已知函数()ln(1)f x x x =+，则（ ） A ．()f x 在(0,)+∞单调递增 B ．()f x 有两个零点C ．曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为1ln2-- D ．()f x 是偶函数 10．设123,,z z z 为复数，10z ≠．下列命题中正确的是（ ）A ．若23z z =，则23z z =±B ．若1213z z z z =，则23z z =C ．若23z z =，则1213z z z z =D ．若2121z z z =，则12z z =11．下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ）A ．//AE CDB ．//CH BEC ．DG BH ⊥D ．BG DE ⊥12．设函数cos 2()2sin cos xf x x x=+，则（ ）A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减三、填空题13．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为______．14．写出一个最小正周期为2的奇函数()f x =________．15．对一个物理量做n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差2~0,n N n ε⎛⎫⎪⎝⎭，为使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若()2~,X N μσ，则(||2)0.9545)P X μσ-<=）．四、双空题16．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，_____．五、解答题17．已知各项都为正数的数列{}n a 满足2123n n n a a a ++=+． （1）证明：数列{}1n n a a ++为等比数列； （2）若1213,22a a ==，求{}n a 的通项公式． 18．在四边形ABCD 中，//AB CD ，1AD CD BD ===． （1）若32AB =，求BC ； （2）若2AB BC =，求cos BDC ∠．19．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．（1）求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X ，求X 的分布列及数学期望． 20．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在各顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π．（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数2=，证明：这类多面体的总曲率是常数．21．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF AF ⊥时，||||AF BF =．（1）求C 的离心率；（2）若B 在第一象限，证明：2BFA BAF ∠=∠． 22．已知函数()e sin cos ,()e sin cos x x f x x x g x x x =--=++．（1）证明：当54x π>-时，()0f x ； （2）若()2g x ax +，求a ．参考答案1．B 【分析】由题意利用集合的包含关系或者画出Venn 图，结合Venn 图即可确定集合的运算结果. 【详解】 解法一：RM N ⊆,RM N ∴⊇，据此可得()RMN M ∴=.故选：B.解法二：如图所示，设矩形ABCD 表示全集R ，矩形区域ABHE 表示集合M ，则矩形区域CDEH 表示集合RM ，矩形区域CDFG 表示集合N ，满足RM N ⊆，结合图形可得：()RM N M =.故选：B.2．C 【分析】由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值. 【详解】设三位同学分别为,,A B C ，他们的学号分别为1,2,3，用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如()1,3,2表示A 同学拿到1号，B 同学拿到3号，C 同学拿到2号.三人可能拿到的卡片结果为：()()()()()()1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1，共6种，其中满足题意的结果有()()()1,3,2,2,1,3,3,2,1，共3种， 结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：3162p ==. 故选：C. 【点睛】 方法点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数． (1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏． (2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 3．A 【分析】对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况下方程20x ax b ++=的两根，进而可得出结论. 【详解】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于x 的方程20x ax b ++=的一根为3， 由于两根之和为2，则该方程的另一根为1-，两根异号，合乎题意； 若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则1x =是方程20x ax b ++=的一根， 由于两根之和为2，则另一根也为1，两根同号，不合乎题意；若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于x 的方程20x ax b ++=的两根为1和3，两根同号，不合乎题意；若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于x 的方程20x ax b ++=的两根为1和3， 两根之和为4，不合乎题意. 综上所述，甲命题为假命题. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断. 4．C【分析】分析出12F AF 为等边三角形，可得出2a c =，进而可得出关于m 的等式，即可解得m 的值. 【详解】在椭圆()2222101x y m m m+=>+中，a =，b m =，1c ==，如下图所示：因为椭圆()2222101x y m m m+=>+的上顶点为点A ，焦点为1F 、2F ，所以12AF AF a ==，123F AF π∠=，12F AF ∴△为等边三角形，则112AF F F =，即22a c ===，因此，m . 故选：C. 5．B 【分析】本题借助cos ,a c a c a c⋅〈〉=⋅将72c a b =+代入化简即可.【详解】因为,a b 是单位向量，所以1a b ==. 因为72c a b =+，所以()2227272723c a b a ba b =+=+=+=.所以()2727277cos ,=3a ab ac a a ba c a ca ca cc⋅+⋅+⋅〈〉====⋅⋅⋅ 所以sin ,13a c ⎛〈〉=-= .故选：B. 6．D 【分析】()()()239111x x x ++++++的展开式中2x 的系数是22222349C C C C ++++，借助组合公式：11m m mnn n C C C -++=，逐一计算即可.【详解】()()()239111x x x ++++++的展开式中2x 的系数是22222349C C C C ++++因为11m m m nn n C C C -++=且2323C C =，所以2232323334C C C C C +=+=，所以222233234445C C C C C C ++=+=，以此类推，2222323234999101098120321C C C C C C C ⨯⨯++++=+===⨯⨯.故选：D. 【点睛】本题关键点在于使用组合公式：11m m m n n n C C C -++=，以达到简化运算的作用.7．B 【分析】先利用点(2,2)A 求抛物线方程，利用相切关系求切线AB ，AC ，再分别联立直线和抛物线求出点,B C ，即求出直线BC 方程. 【详解】(2,2)A 在抛物线22y px =上，故2222p =⨯，即1p =，抛物线方程为22y x =，设过点(2,2)A 与圆22(2)1x y -+=相切的直线的方程为：()22y k x -=-，即220kx y k -+-=，则圆心()2,0到切线的距离1d ==，解得k =如图，直线):22AB y x -=-，直线):22AC y x -=-.联立)2222y x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，得()2314160x x ++-=，故A B x x =，由2A x =得B x =，故B y =联立)2222y x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，得()2314160x x -++=，故163A C x x +=，由2A x =得83C x +=，故63C y -=，故66433B C y y -+=+=-，又由,B C 在抛物线上可知， 直线BC 的斜率为22221114222B C B C BC B C B C B C y y y y k x x y y y y --=====--+-- ，故直线BC的方程为12y x ⎛=- ⎝⎭，即3640x y ++=. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求圆的切线的方程的求法：（1）几何法：设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径构建关系求出参数，即得方程；（2）代数法：设直线的方程，联立直线与圆的方程，使判别式等于零解出参数，即可得方程. 8．D 【分析】令(),0xe f x x x=>，利用导数研究其单调性后可得,,a b c 的大小.【详解】 因为5e 5e ,5aa a =<，故0a >，同理0,0bc >>，令(),0xe f x x x =>，则()()21x e x f x x-'=， 当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>， 故()f x 在()0,1为减函数，在()1,+∞为增函数，因为5e 5e ,5aa a =<，故5e e 5aa=，即()()5f f a =，而05a <<，故01a <<，同理01b <<，01c <<，()()4f f b =，()()3f f c = 因为()()()543f f f >>，故()()()f a f b f c >>， 所以01a b c <<<<. 故选：D ． 【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键． 9．AC 【分析】根据函数的定义域可判断D ，利用函数的导数的正负可判断A ，利用导数的几何意义可判断C ，根据函数值的情况及零点定义可判断B. 【详解】由()ln(1)f x x x =+知函数的定义域为(1,)-+∞，)ln(1)1(x x f xx =+'++， 当(0,)x ∈+∞时，ln(1)0,01xx x+>>+，()0f x '∴>， 故()f x 在(0,)+∞单调递增，A 正确；由(0)0f =，当10x -<<时，ln(1)0,()ln(1)0x f x x x +<=+>， 当ln(1)0,()0x f x +>>，所以()f x 只有0一个零点，B 错误；令12x =-，1)ln 1ln 2121(2f =-=---'，故曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为1ln2--，C 正确；由函数的定义域为(1,)-+∞，不关于原点对称知，()f x 不是偶函数，D 错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：解决本题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求切线的斜率，属于中档题. 10．BC 【分析】取特殊值法可判断AD 错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC. 【详解】由复数模的概念可知，23z z =不能得到23z z =±，例如23,11i i z z =+=-，A 错误；由1213z z z z =可得123()0z z z -=，因为10z ≠，所以230z z -=，即23z z =，B 正确； 因为2121||||z z z z =，1313||||z z z z =，而23z z =，所以232||||||z z z ==，所以1213z z z z =，C 正确； 取121,1z i z i =+=-，显然满足2121z z z =，但12z z ≠，D 错误.故选：BC11．BCD 【分析】由平面展开图还原为正方体，根据正方体性质即可求解. 【详解】由正方体的平面展开图还原正方体如图，由图形可知，AE CD ⊥，故A 错误；由//,HE H BC E BC =，四边形BCHE 为平行四边形，所以//CH BE ，故B 正确； 因为,DG HC DG BC ⊥⊥,HC BC C =,所以DG ⊥平面BHC ,所以DG BH ⊥，故C正确；因为//BG AH ，而DE AH ⊥,所以BG DE ⊥，故D 正确. 故选：BCD 12．AD 【分析】先证明()f x 为周期函数，周期为π，从而A 正确，再利用辅助角公式可判断B 的正误，结合导数的符号可判断C D 的正误． 【详解】()f x 的定义域为R ，且cos 2()2sin cos xf x x x=+，()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x xf x f x x x x xππππ++===++++，故A 正确．又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x ==++，令2cos 24sin 2xy x=+，则()42cos 2sin 22y x y x x ϕ=-=+，其中cos ϕϕ==1≤即2415y ≤，故y ≤≤，当y =时，有1cos 4ϕϕ==，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，故max 15y =，故B 错误． ()()()()()22222sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦'==++，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故D 正确． 当,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，1sin 20x -<<，故314sin 21x -<+<， 因为2t x =为增函数且2,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，而14sin y t =+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，所以()14sin 2h x x =+在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数， 故14sin 20x +=在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭有唯一解0x ， 故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确． 故选：AD 【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用． 13．61π【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得圆台的高，然后利用圆台的体积公式即可求得其体积. 【详解】圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O ，圆台上底面的圆心为'O ，则圆台的高'3OO ===， 据此可得圆台的体积：()22135544613V ππ=⨯⨯+⨯+=. 故答案为：61π. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆台与球的切接问题，解题的关键在于确定下底面与球的关系，然后利用几何关系确定圆台的高度即可求得其体积. 14．()sin f x x π= 【分析】根据奇函数性质可考虑正弦型函数()sin f x A x ω=，()0A ≠，再利用周期计算ω，选择一个作答即可. 【详解】由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数()sin f x A x ω=，()0A ≠， 满足()sin ()f x x f x ω-=-=-，即是奇函数； 根据最小正周期22T πω==，可得ωπ=.故函数可以是()sin f x A x π=()0A ≠中任一个，可取()sin f x x π=. 故答案为：()sin f x x π=. 15．32 【分析】因为2~0,n N n ε⎛⎫ ⎪⎝⎭，得到0μ=，σ=要使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9545， 则()()2,20.5,0.5μσμσ-+⊂-，得到不等式计算即可. 【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9545，则()()2,20.5,0.5μσμσ-+⊂-且0μ=，σ=所以0.532n ≥⇒≥. 故答案为：32. 【点睛】本题是对正态分布的考查，关键点在于能从2~0,n N n ε⎛⎫⎪⎝⎭读出所需信息. 16．133- 【分析】先设对角线所在直线的倾斜角θ，利用斜率定义列关系tan 2θ=，结合正方形性质求得直线OA 与直线OB 的倾斜角，计算正切值求斜率即可. 【详解】正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图直角坐标系，设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan 2θ=，由正方形性质可知，直线OA 的倾斜角为45θ-︒，直线OB 的倾斜角为45θ+︒，故()tan tan 45211tan 451tan tan 45123OA k θθθ-︒-=-︒===+︒+，()tan tan 4521tan 4531tan tan 4512OB k θθθ+︒+=+︒===--︒-.故答案为：13；3-.【点睛】 方法点睛： 求直线斜率的方法：（1）定义式：倾斜角为θ，对应斜率为tan θk；（2）两点式：已知两点坐标()()1122,,,A x y B x y ，则过两点的直线的斜率2121AB y y k x x -=-.17．（1）证明见解析；（2）132n n a -=（n +∈N ）【分析】（1）两边同时加上1n a +即可得到数列{}1n n a a ++为等比数列；（2）利用待定系数法构造()21133n n n n a a k a a +++-=-，通过整理解出1k =-，进而得到()21133n n n n a a a a +++-=--，所以{}n a 是以112a =为首项，3为公比的等比数列，即可得到答案. 【详解】（1）由2123n n n a a a ++=+可得：()2111333n n n n n n a a a a a a +++++=+=+ 因为各项都为正数，所以120a a +>，所以{}1n n a a ++是公比为3的等比数列.（2）构造()21133n n n n a a k a a +++-=-，整理得：()2133n n n a k a ka ++=+- 所以1k =-，即()21133n n n n a a a a +++-=-- 所以11303n n n n a a a a ++-=⇒=，所以{}n a 是以112a =为首项，3为公比的等比数列. 所以132n n a -=（n +∈N ）【点睛】本题关键点在于第（2）问中的待定构造，能够根据特征，构造出()21133n n n n a a k a a +++-=-是关键.18．（1）BC ；（2）cos 1BDC ∠=.【分析】（1）利用余弦定理计算得出cos ABD ∠，进而可得出cos BDC ∠，然后在BCD △中，利用余弦定理可计算出BC ；（2）设BC x =，利用余弦定理结合BDC ABD ∠=∠可得出关于x 的方程，进而可解得x 的值，即可求得cos BDC ∠. 【详解】（1）在ABD △中，由余弦定理可得2223cos 24AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅，//CD AB ，BDC ABD ∴∠=∠，在BCD △中，由余弦定理可得22212cos 2BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=，BC =； （2）设BC x =，则2AB x =，在ABD △中，22224cos 24AB BD AD x ABD x AB BD x +-∠===⋅，在BCD △中，22222cos 22BD CD BC x BDC BD CD +--∠==⋅， 由（1）可知，BDC ABD ∠=∠，所以，cos cos BDC ABD ∠=∠，即222x x -=，整理可得2220x x +-=，因为0x >，解得1x =，因此，cos cos 1BDC ABD x ∠=∠==. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 19．(1)0.28；(2)分布列见解析，()0.6E X =. 【分析】(1)由题意利用对立事件概率公式即可求得满足题意的概率值；(2)首先确定X 可能的取值，然后分别求解其概率值，最后确定其分布列并求解数学期望即可. 【详解】(1)设部件1需要调整为事件A ，部件2需要调整为事件B ，部件3需要调整为事件C ， 由题意可知：()()()0.1,0.2,0.3P A P B P C ===. 部件1，2中至少有1个需要调整的概率为：()()11110.90.810.720.28P A P B ⎡⎤⎡⎤---=-⨯=-=⎣⎦⎣⎦.(2)由题意可知X 的取值为0，1,2,3.且：()()()()0111P X P A P B P C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==---⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()10.110.210.3=-⨯-⨯-0.504=，()()()()111P X P A P B P C ⎡⎤⎡⎤==--⎣⎦⎣⎦()()()11P A P B P C ⎡⎤⎡⎤+--⎣⎦⎣⎦()()()11P A P B P C ⎡⎤⎡⎤+--⎣⎦⎣⎦0.10.80.7=⨯⨯0.90.20.7+⨯⨯0.90.80.3+⨯⨯ 0.398=，()()()()21P X P A P B P C ⎡⎤==-⎣⎦()()()1P A P B P C ⎡⎤+-⎣⎦()()()1P A P C P B ⎡⎤+-⎣⎦0.10.20.7=⨯⨯0.10.80.3+⨯⨯0.90.20.3+⨯⨯ 0.092=.()()()()30.10.20.30.006P X P A P B P C ===⨯⨯=，故X 的分布列为：其数学期望：()0.50400.39810.09220.00630.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】 思路点晴：求离散型随机变量X 的数学期望的一般步骤：（1）先分析X 的可取值，根据可取值求解出对应的概率； （2）根据（1）中概率值，得到X 的分布列；（3）结合（2）中分布列，根据期望的计算公式求解出X 的数学期望. 20．（1）4π；（2）证明见解析. 【分析】（1）四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，写出多边形表面的所有内角即可.（2）设顶点数、棱数、面数分别为n 、l 、m ，设第i 个面的棱数为i x ，所以122m x x x l +++=，按照公式计算总曲率即可. 【详解】（1）由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形. 所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成， 则其总曲率为：()25424ππππ⨯-+=.（2）设顶点数、棱数、面数分别为n 、l 、m ，所以有2n l m -+= 设第i 个面的棱数为i x ，所以122m x x x l +++=所以总曲率为：()()()122222m n x x x ππ--+-++-⎡⎤⎣⎦()222n l m ππ=-- ()24n l m ππ=-+=所以这类多面体的总曲率是常数. 【点睛】本题考查立体几何的新定义问题，能够正确读懂“曲率”的概率是解决问题的关键． 21．（1）2；（2）见解析. 【分析】（1）根据已知条件可得2b a c a=+，据此可求离心率.（2）设()00,B x y ，则00tan y BFA x c∠=--，00tan y BAF x a ∠=+，再计算tan 2BAF ∠，利用点在双曲线上化简后可得tan 2tan BAF BFA ∠=∠，从而可得结论成立. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为c ，则(),0F c ，2,b B c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，因为||||AF BF =，故2b ac a=+，故2220c ac a --=，即220e e --=，故2e =.（2）设()00,B x y ，其中00,0x a y >>. 因为2e =，故2c a =，b =，故渐近线方程为：y =，所以0,3BAF π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，20,3BFA π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭， 当00,2x a x a >≠时， 又0000t n 2a y y BFA x c x a ∠=-=---，00tan y BAF x a∠=+， 所以()()()()000002222220000020222tan 121y y x a y x a x a BAF x x a y y x a b a x a +++∠===⎛⎫+-⎛⎫+--- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭()()()()()()()0000022222200000022223331y x a y x a y x a x a x x a x a x a a a ++===+--⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭02tan y BFA x a=-=∠-，因为故220,3BAF π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭， 故BFA ∠2BAF =∠.当02x a =，由（1）可得,24BFA FAB ππ∠=∠=，故BFA ∠2BAF =∠.综上，BFA ∠2BAF =∠. 【点睛】方法点睛：（1）圆锥曲线中离心率的计算，关键是找到,,a b c 一组等量关系（齐次式）. （2）圆锥曲线中与有角有关的计算，注意通过动点的坐标来刻画角的大小，还要注意结合点在曲线上满足的方程化简目标代数式. 22．(1)证明见解析；(2)2a =. 【分析】(1)由题意分类讨论当45,4x ππ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，[)0,x ∈+∞，几种情况即可证得题中的结论.(2)观察(1)中的结论，首先讨论54x π>-时a 的取值，然后验证当54x π-时不等式成立即可求得实数a 的值. 【详解】 (1)分类讨论：①.当45,4x ππ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，()04x f x e x π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭；②.当,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()cos sin ,00x f x e x x f ''=-+=， ()sin cos 04x x f x e x x e x π⎛⎫''=++=++> ⎪⎝⎭，则函数()f x '在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调增，则()()00f x f ''<=， 则函数()f x 在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调减，则()()00f x f >=； ③.当0x =时，由函数的解析式可知()01010f =--=，当[)0,x ∈+∞时，令()()sin 0H x x x x =-+≥，则()'cos 10H x x =-+≥， 故函数()H x 在区间[)0,+∞上单调递增，从而：()()00H x H ≥=， 即sin 0,sin x x x x -+≥-≥-，从而函数()sin cos 1xxf x e x x e x =--≥--，令1x y e x =--，则：1xy e '=-，当0x ≥时，0y '≥，故1xy e x =--在[)0,+∞单调递增，故函数的最小值为0min 010y e =--=，从而：10x e x --≥.从而函数()sin cos 10xxf x e x x e x =--≥--≥；综上可得，题中的结论成立. (2) 当54x π>-时， 令()()2sin cos 2xh x g x ax e x x ax =--=++--﹐则()cos sin xh x e x x a '=+--， ()()0h x f x ''=>，故()h x '单调递增，当 2a >时，()020h a '=-<，()()()ln 22ln 204h a a π⎡⎤'+=+->⎢⎥⎣⎦，()()10,ln 2x a ∃∈+使得()10h x '=，当10x x <<时，()()0,h x h x '<单调递减，()()00h x h <=不符合题意; 当2a <时，()00h '>， 若在5,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭上，总有()0h x '≥（不恒为零）， 则()h x 在5,4π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，但()00h =， 故当5,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0h x <，不合题意． 故在5,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭上，()0h x '<有解， 故25,04x π⎛∃∈⎫-⎪⎝⎭，使得()20h x '=， 且当20x x <<时，()()0,h x h x '>单调递增， 故当()2,0x x ∈时，()(0)0h x h <=，不符合题意;故2a <不符合题意，当a =2时，()cos sin 2xh x e x x '=+--，由于()h x '单调递增，()00h '=，故：504x π-<<时，()()0,h x h x '<单调递减; 0x >时，()()0,h x h x '>单调递增，此时()()00h x h ≥=﹔当54x π-时，()5sin cos 220202xh x e x x x π=++--≥->， 综上可得，a =2. 【点睛】对于利用导数研究不等式问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求岀最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.。
辽宁省大连市普通高中2021届高三毕业班1月(八省联考)双基测试英语试题(解析版)
绝密★启用前辽宁省大连市普通高中2021届高三毕业班上学期1月(八省联考)双基测试英语试题(解析版)2021年1月注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
第一部分听力（共两节，满分 30 分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共 5 小题；每小题 1.5 分，满分 7.5 分）听下面 5 段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的 A、B、C 三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有 10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A. £19.15.B. £9.18.C. £9.15.答案是 C。
1. What does the man offer to do?A. Go to 7th street.B. Show another shirt.C. Call another branch.2. What is the cause of the woman’s quietness?A. The violent film.B. Her tiredness.C. The crowded theater.3. How does the man know about animals?A. From books.B. On TV.C. Through the Internet.4. Where are the speakers?A. At a shop.B. In a restaurant.C. At home.5. What does the woman do? A. A nurse. B. A waitress. C. A saleswoman. 第二节 (共 15 小题；每小题 1.5 分，满分 22.5 分) 听下面 5 段对话或独白。
辽宁省大连市2021届高三1月(八省联考)双基测试+物理+Word版含答案
2021年大连市高三双基测试卷物理注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
满分100分，考试时间75分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试题卷上无效。
3.回答第II卷时，用黑色笔写在答题卡指定位置上。
写在本试题卷上无效。
4.考试结束后，考生将答题卡交回。
第I卷(选择题共46分)一、选择题(本题共10小题。
在每小题给出的四个选项中，第1～7题只有一项符合题目要求，每个小题4分；第8～10题有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有错选或不答的得0分)1.如图所示，吊环运动员做支撑动作，在使其两胳膊同时缓慢靠近身体且吊绳还未达到竖直的过程中，以下说法中正确的是A.每根吊绳上的作用力都在变小B.每根吊绳上的作用力都在变大C.两根吊绳对人的作用力合力在变小D.两根吊绳对人的作用力合力在变大2.如图甲是某燃气灶点火装置的原理图。
转换器能够将直流电压转换为图乙所示的正弦交流电压，并加在一理想变压器的原线圈上，电压表为交流电表。
当变压器副线圈电压的瞬时值大于5000V时，就会在钢针和金属板间引发电火花进而点燃气体，则A.稳定工作时电压表的示数是5VB.稳定工作时电压表的示数是52VC.变压器原副线圈的匝数比是1：900可满足点火要求D.变压器原副线圈的匝数比是1：1100可满足点火要求3.如图所示，虚线O’O垂直于半圆柱体玻璃砖的截面直径，光线a、b平行虚线O’O从两侧对称入射，从玻璃砖下表面射出后与虚线O’O分别交于P、Q，则下列说法正确的是A.玻璃对两种光的折射率关系为n a<n bB.a光比b光穿过该半圆柱体玻璃砖所需时间长C.a、b光分别从该玻璃砖射向真空时，a光发生全反射的临界角较大D.在相同条件下进行双缝干涉实验，a光的条纹间距比b光宽4.2020年12月4日，我国新一代可控核聚变研究装置“中国环流器二号M”(HL－2M)在成都正式建成放电，标志我国正式跨入全球可控核聚变研究前列，“HL－2M”将进一步加快人类探索未来能源的步伐。
精品解析：辽宁省大连市2021届高三1月(八省联考)双基测试化学试题(解析版)
2021 年大连市高三双基测试卷化学注意事项：1.考试时间为75 分钟，试卷满分100 分。
2.按照要求填写答题纸，答案必须写在答题纸上，写在试卷上不得分。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 N-14 S-32 Cl-35.5 Fe-56第I卷(选择题，共45分)一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分。
在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 化学与生产、生活密切相关。
下列叙述正确的是A. 加碘盐不能使淀粉溶液变蓝色B. 氯碱工业是电解熔融氯化钠，在阳极得到氯气C. 用玉米酿酒的原理是通过蒸馏的方法将玉米中含有的乙醇分离出来D. 纯碱和汽油的去污原理相同【答案】A【解析】【分析】【详解】A．加碘盐中碘元素以KIO3形式存在，不能使淀粉溶液变蓝色，故A正确；B．氯碱工业是电解氯化钠溶液，阳极上Cl-发生氧化反应生成Cl2，故B错误；C．用玉米酿酒的原理是通过酶将淀粉分解为葡萄糖，葡萄糖在酒化酶作用下生成乙醇，故C错误；D．纯碱去污是利用纯碱溶液的碱性，汽油去污是利用相似相溶，二者原理不同，故D错误；故答案为A。
2. 下列实验不宜使用锥形瓶的是A. 蒸馏B. 用高锰酸钾与浓盐酸制Cl2C. 中和滴定D. 配制500mL 0.2 mol·L－1的H2SO4溶液【答案】D【解析】【分析】【详解】A. 蒸馏时尾气接收装置需用锥形瓶，不符合题意，A项不选；B. 用高锰酸钾与浓盐酸制Cl2，采用的发生装置为固液不加热装置，因此可以用锥形瓶，不符合题意，B项不选；C. 中和滴定时，使用锥形瓶盛放待测液，不符合题意，C项不选；D. 配制500mL 0.2 mol·L－1的H2SO4溶液，根据配制步骤可知，使用的玻璃仪器主要有：500mL容量瓶、量筒、烧杯、胶头滴管等，但不需要锥形瓶，D项选；答案选D。
3. 下列化学用语或图示表达正确的是A. 氯离子的结构示意图：B. 基态H的电子排布式为1p1C. CO2的电子式：D. CH4 的空间充填(比例)模型：【答案】D 【解析】【分析】【详解】A．氯离子核内质子数为17，核外电子数为18，其结构示意图为，故A错误；B．基态H的核外电子数为1，电子位于1s能级，其电子排布式为1s1，故B错误；C．CO2中C与O原子之间存在2对共用电子对，其电子式为，故C错误；D．CH4为正四面体结构，C原子半径大于H原子半径，因此其空间充填(比例)模型为，故D正确；综上所述，正确的是D项，故答案为D。
辽宁省大连市2021届高三1月(八省联考)双基测试化学试题(含答案解析)
辽宁省大连市2021届高三1月（八省联考）双基测试化学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．化学与生产、生活密切相关。
下列叙述正确的是 A ．加碘盐不能使淀粉溶液变蓝色B ．氯碱工业是电解熔融氯化钠，在阳极得到氯气C ．用玉米酿酒的原理是通过蒸馏的方法将玉米中含有的乙醇分离出来D ．纯碱和汽油的去污原理相同 2．下列实验不宜使用锥形瓶的是 A ．蒸馏 B ．用高锰酸钾与浓盐酸制Cl 2C ．中和滴定D ．配制500mL 0.2 mol·L －1的H 2SO 4溶液3．下列化学用语或图示表达正确的是 A ．氯离子的结构示意图：B ．基态H 的电子排布式为1p 1C ．CO 2的电子式：D ．CH 4 的空间充填(比例)模型：4．新冠疫情的防控已经成为常态，日常消毒必不可少。
下列物质不适合用来消毒的是 A ．95%的酒精B ．过氧乙酸C ．双氧水D ．84消毒液5．用N A 表示阿伏加德罗常数的值。
下列说法正确的是A ．在O 2参与的反应中，1molO 2作氧化剂时得到的电子数一定是4N AB ．28gC 2H 4中含有4N A 个σ键C ．标准状况下，22.4LSO 3所含氧原子数为3N AD ．向2mL0.5mol·L −1Na 2SiO 3溶液中滴加稀盐酸制硅酸胶体，所含胶体粒子数目小于0.001N A6．下列物质间的转化不能通过一步反应实现的是 A ．2Ca CaO CaCl →→ B ．23NaOH Na CO NaCl →→ C ．223C CO Na CO →→D ．2233O Fe O Fe(OH)→→7．下列离子可以大量共存的是A ．使甲基橙变红色的溶液中：Na +、NH 4+、S 2O 23-、SO 24-B ．c(Fe 2+)=1.0mol/L 的溶液中：K +、NH 4+、MnO 4-、S 2-C ．c(H +)/c(OH −)=1.0×10−12的溶液：K +、Na +、CO 23-、AlO 2-D ．水电离出来的c(OH −)=1.0×10−13mol/L 的溶液：K +、HCO 3-、Br -、Ba 2+8．下列说法正确的是A ．基态钙原子核外有2个未成对电子B ．CaTiO 3晶体中与每个Ti 4+最邻近的O 2−有12个(如图是其晶胞结构模型)C ．分子晶体中都存在共价键D ．金属晶体的熔点都比分子晶体的熔点高9．W 、X 、Y 、Z 是同周期主族元素，Y 的最外层电子数是X 次外层电子数的3倍，四种元素与锂组成的盐是一种新型锂离子电池的电解质，结构如图。
辽宁省大连市2021届高三1月(八省联考)双基测试英语试卷
注意事项：2021 年大连市高三双基测试卷英语1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
第一部分听力（共两节，满分 30 分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5 小题；每小题1.5 分，满分7.5分）听下面 5 段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A.£19.15.B.£9.18.C.£9.15.答案是C。
1.What does the man offer todo?A. Go to7th street.B. Showanothershirt.C. Call anotherbranch.2.What is the cause of the woman’s quietness?A. Theviolentfilm.B.Her tiredness.C. The crowdedtheater.3.How does the man know aboutanimals?A. Frombooks.B.OnTV.C. Through theInternet.4.Where are thespeakers?A. Ata shop.B. Inarestaurant.C. Athome.5.What does the womando?A.Anurse.B.Awaitress.C. Asaleswoman.第二节(共15 小题；每小题 1.5 分，满分22.5 分)听下面5段对话或独白。
辽宁省部分重点高中2021届高三第一学期联考数学试题及答案
高三考试数学试卷考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各大题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、向量、数列、复数、不等式、立体几体、解析几何.第I卷一、选择题1.设集合A = {x∖-2<x≤∖}, B = {x∣-x2-3x + 4>θ},则ACB=（）2. "Λ∈Q"是^XeZ f9的(A. (-4J)B. (-2,1] D. (—2,1)A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件3・复数的虚部为（（1 +万A.4.A.丄2λ C rιl Sin^-2cos^若tan6> = 3> 则-----------3 sin + cos4B. —一110B. C. 1・-I2D.D.1・-Z2310 5.已知向量α = (2,4), b= (l√ι) > 若Clllb则3a - Hb =()A. B.A. /(x)图象的对称中心为(——+ —^-,0∈ Z)7. 朱载境是明太祖朱元璋的九世孙，虽然贵为藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂成为明代著名的 律学家，历学家、音乐家.朱载1育对文艺的最大贡献是他创建下十二平均律，亦称“十二等程律”.十二平 均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半单比例应该是2吉，如果12音阶中第一个音 的频率是F ,那么第二个音的频率就是2⅛F ,第三个单的频率就是2⅛y7 ,第四个音的频率是2⅛f .……， 第十二个音的频率是2詈尸，第十三个音的频率是2罟尸，就是2F.在该问题中，从第二个音到第十三个 音，这十二个音的频率之和为( ).8 •如图，在四而体ABCD 中，AB = CD = 3, AC = BD = 皿 AD = BC = 2® ΛABC 的重心为0, 则 DO=( ).二. 选择题9.已知命题p ：Vx>0, InX>0,贝∣J ( A. rP 是真命题 -n/?:3x>0, lav≤O10.已知函数Z(X) = 2COS 2 6yχ + √3 sin 2ωx(ω > 0),若/⑴ 的最小正周期为G 则下列说法正确的有 B. 函数y = ∕(χ)-2在[O,刃上有且只有两个零点A. 2FC.——2π-lC."是真命题C./(X)的单调递增区间为一£ +炽,? +畑(ZceZ).3 6 」D.将函数y = 2sin2x+1的图象向左平移+个单位长度，可得到/(x)的图彖1厶11.已知正方体ABCD-A^CP X的棱长为2, E, F分别是AA , CCI的中点，过f, F的平而α与该正方体的每条棱所成的角均相等，以平而Q截该正方体得到的截而为底而，以为顶点的棱锥记为棱锥 C，则( )A.正方体ABCD-A I B I C I D I的外接球的体积为4血4B.正方体ABCD-A I B I C i D l的内切球的表而积为一穴C.棱锥Q的体积为33D.棱锥G的体积为=22 212.已知双曲线C：二一二= l(α>O">O)与直线y = d交于A, B两点，点P为C上一动点，记直线Cr ∖yPA, PB的斜率分別为紡…kp li, C的左、右焦点分別为F^F2.若k pλ∙k pii=^t且C的焦点到渐近线的距离为1,则下列说法正确的是( )A. a = 2B.C的离心率为2C.若P斤丄PF2,则斤巧的而积为2D.若片佗的面积为2巧，则济竹为钝角三角形第II卷三、填空题[2v,x≤0. X13.已知函数/U) = 「,则/(6)= ________ .J (x-3),x >0214.已知直线/与直线x-y + 2 = 0平行，且与曲线y = ∖nx一一 + 1相切，则直线/的方程是_____ ・X15.若nι>Of n >0^ m+n = Smn-I > 贝∣J"7+"的最小值为__________16.已知直线x + 3y-7 = O 与椭圆—+ C = 1（O<∕9<3）相交于4〃两点•椭圆的两个焦点分别是F p F., 9 Ir线段AB 的中点为C(l,2),则△(?斤佗的面积为 _________ 四、解答题I — 1 1 /1 λ0_ 17. (1)化简：√82+ Iog 9 8XIog 2 27 + 0.064 3-164 + - 一扬T .7 >(2)已知T = 3 , 2" =5,求Iogi 2 20(用加皿表示)・18・在φa + c = y ∕3b 且 2sir√ B = 3sin AsinC ，® (SinA -SinC)2=sin 2B-SinASinC, (^)ΛABC 的 而积S = W -U这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作答.4问题：在AABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为gb,c,且 _____________ .（1）求 sinB ：（2）若a = 2c,且厶ABC 的而积为2√3>求厶ABC 的周长・ 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 19 •设正项数列｛©｝的前刃项和为a l =l 9且S^=S tt +2y ∣S^ + ∖. （1）证明：数列｛、何］是等差数列并求数列｛©｝的通项公式;⑵已知化=詁「，数列｛$｝的前"项的和为人，若T n <λ LJn 求久的取值范用・20. 如图，在四棱锥P-ABCD 底而ABCD 是正方形，侧而PAD 是边长为2的正三角形，PD 丄CD •点E 为线段PC 的中点，点F 是43上的点.21. 已知函数/（x ） = （x-l ）e r（1）求/（x ）的最值：—+ 一js,）对一切 n ∈ N* 恒成立,（1）当F 为43中点时，证明：平而DEF 丄平而PCD(2)若/(x) +JnInX+ x + "对xw(0,+oo)恒成立，求"的取值范用.22.抛物线C-.x2 =2Py(P >0)的焦点为F ,过F且垂直于，轴的直线交抛物线C于M, N两点，。
辽宁省大连市2021届上学期高三年级1月(八省联考)双基测试英语试卷
【答案】4B 5D 6B 7A
【解析】
【分析】这是一篇说明文。作者通过讲述自己的职业目标的转变及女子足球运动今昔情况的对比，充分说明了社会的进步是与时俱进的。
【详解】1细节理解题。从文章第二段中的“ First, I wanted, in 1999, to be a “farmer”, soon archaeologist, then driving instructor and somewhere along the way, footballer”可知，首先，在1999年，我想成为一个“农民”，很快成为一个考古学家，然后是驾驶教练，在成长过程中，又想做足球运动员。所以可知，作者的职业目标是变化的。选项B与文意相符，故选B。
AIt lowers the quality of artwors
BIt involves common bining technology with art
ARegretfulBObjective
CDisamon goals, teaching one another survival sills, and “babysitting” each other’s idsNow, some researchers at Largo, Florida have discovered another thing the intelligent animals share with humans — a love for the television!
For their research, Kelly AWinshies a habitThings are going to flash into your head — comes easy, you can move on to more difficult sentences
辽宁省大连市2021届高三1月(八省联考)双基测试英语试题
2021 年大连市高三双基测试卷英语注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
第一部分听力（共两节，满分30 分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5 小题；每小题1.5 分，满分7.5 分）听下面5 段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A. £19.15.B. £9.18.C. £9.15.答案是C。
1. What does the man offer to do?A. Go to 7th street.B. Show another shirt.C. Call another branch.2. What i s the cause of the woman’s quietness?A. The violent film.B. Her tiredness.C. The crowded theater.3. How does the man know about animals?A. From books.B. On TV.C. Through the Internet.4. Where are the speakers?A. At a shop.B. In a restaurant.C. At home.5 What does the woman do?A. A nurse.B. A waitress.C. A saleswoman.第二节(共15 小题；每小题1.5 分，满分22.5 分)听下面5 段对话或独白。
辽宁省大连市2021届高三数学双基测试试题 文(含解析)
辽宁省大连市2021届高三数学双基测试试题 文（含解析）说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题~第23题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2|3100,A x x x =--<{}|22xB x =<，则A B =（ ）A. (2,1)-B. (5,1)-C. ∅D. {0}【答案】A 【解析】 【分析】先分别求得集合A 与集合B ,再根据交集运算即可求解. 【详解】集合{}2|3100,A x x x =--<{}|22xB x =< 即{}|25,A x x =-<<{}|1B x x =<由交集运算可得{}{}{}|25|1|21x x x x x A x B =-<<⋂<=-<<故选:A【点睛】本题考查了一元二次不等式与指数不等式的解法,交集的运算,属于基础题. 2.设1i z =--，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义,可先求得z ,进而得到z 在复平面内对应点所在的象限. 【详解】1i z =--由共轭复数的定义可知1i z =-+z 在复平面内对应点为()1,1-所以z 在复平面内对应点在第二象限 故选:B【点睛】本题考查了共轭复数的定义,复数在复平面内的几何意义,属于基础题. 3.命题“2,40x x ∀∈-≥R ”的否定是（ ） A. ,x ∀∈R 240x -≤ B. ,x ∀∈R 240x -< C. ,x ∃∈R 240x -≥ D. ,x ∃∈R 240x -<【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定形式,即可求解.【详解】由全称命题的否定,“2,40x x ∀∈-≥R ”的否定 为,x ∃∈R 240x -< 故选:D【点睛】本题考查了含有量词的命题的否定,全称量词的否定形式,属于基础题.4.为了解某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）的关系，统计了(),x y 的10组值，并画成散点图如图，则其回归方程可能是（ ）A. 10198ˆyx =-- B. 10198ˆyx =-+ C. 10198ˆyx =+ D. 10198ˆyx =- 【答案】B 【解析】根据图象可知，线性回归系数为负，回归截距为正，故B 满足题意 故选B ．5.已知,,a βγ为不同的平面，m ，n 为不同的直线，则下列命题中真命题是（ ） A. 若,m α⊂,n α⊂,m β⊂/n β⊂/，则αβ∥ B. 若,αβ∥,m α⊂n β⊂，则m n C. 若,αβ∥m β⊂，则m α D. 若,αγ⊥βγ⊥，则αβ∥【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,可判断选项.【详解】对于A,若,m α⊂,n α⊂,m β⊂/n β⊂/,则αβ∥或α与β相交,所以A 错误; 对于B, 若,αβ∥,m α⊂n β⊂,则m n 或m 与n 异面,所以B 错误;对于C, 若,αβ∥m β⊂，根据直线与平面平行的性质可知, m α,所以C 正确; 对于D, 若,αγ⊥βγ⊥则αβ∥或αβ⊥,所以D 错误.综上可知,正确的为C 故选:C【点睛】本题考查了直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判断,属于基础题. 6.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（ ） A. cos y x =B. 2|sin |y x =C. cos 2xy =D.tan y x =【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式,判断出最小正周期,及函数的单调递减区间,即可判断. 【详解】对于A, cos y x =的最小正周期为2π,所以A 错误;对于B,结合函数图像可知2sin y x =的最小正周期为π,在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,所以B 正确; 对于C, cos 2x y =的最小正周期为4π,所以C 错误; 对于D,tan y x =的最小正周期为π,在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,所以D 错误. 综上可知,B 为正确选项. 故选:B【点睛】本题考查了函数的周期性与单调性的应用,根据解析式及函数的图像即可判断,属于基础题.7.“剑桥学派”创始人之一数学家哈代说过：“数学家的造型，同画家和诗人一样，也应当是美丽的”；古希腊数学家毕达哥拉斯创造的“黄金分割”给我们的生活处处带来美；我国古代数学家赵爽创造了优美“弦图”.“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则sin 2α等于（ ）A.35B.45C.725D.2425【答案】D 【解析】 【分析】设直角三角形的两条直角边中较短的边为a ,较长的边为b .根据两个正方形的面积,结合勾股定理求得a 与b 的关系,进而求得sin α和cos α, 再由正弦的二倍角公式即可求得sin 2α. 【详解】设直角三角形的两条直角边中较短的边为a ,较长的边为b ,即a b < 因为大正方形的面积为25,小正方形的面积为1 所以大正方形的边长为5 由勾股定理可知2225a b +=每个直角三角形的面积为()125164⨯-= 所以162ab = 则2225162a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解方程组可得34a b =⎧⎨=⎩所以34sin ,cos 55αα== 由正弦的二倍角公式可知3424sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯= 故选:D【点睛】本题考查了三角形中三角函数值的求法,正弦的二倍角公式应用,属于基础题. 8.已知直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点，并交抛物线C 于A 、B 两点，|16|AB =，则弦AB 中点M 的横坐标是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线方程画出图像,结合抛物线定义及梯形中位线性质,即可求得AB 中点M 的横坐标. 【详解】直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点, 交抛物线C 于A 、B 两点 则其焦点坐标为()2,0F ,准线方程为2x =-过A 向准线作垂直交准线于P 点,过B 向准线作垂直交准线于Q 点,过M 向准线作垂直交准线于N ,交y 轴于H ,如下图所示:设()()1122,,,A x y B x y由抛物线定义可知,,AF AP BF BQ ==由16AB =,可知16AB AF BF AP BQ =+=+= 因为M 为AB 的中点, 由梯形的中位线性质可知()1116822MN AP BQ =+=⨯= 则826MH MN NH =-=-= 即M 的横坐标是6 故选:C【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,过焦点的直线与弦长关系,中点坐标公式及梯形中位线性质的应用,属于基础题.9.一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体.已知文物近似于塔形，高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1000元，则气体费用最少为（ ）元A. 4500B. 4000C. 2880D. 2380【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,先求得正四棱柱的底面棱长和高,由体积公式即可求得正四棱柱的体积.减去文物的体积,即可求得罩内的气体体积,进而求得所需费用.【详解】由题意可知, 文物底部是直径为0.9米的圆形,文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米所以由正方形与圆的位置关系可知,底面正方形的边长为0.920.3 1.5m +⨯= 文物高1.8米,文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米 所以正四棱柱的高为1.80.22m += 则正四棱柱的体积为231.52 4.5V m =⨯= 因为文物体积为30.5m所以罩内空气的体积为34.50.54m -= 气体每立方米1000元所以共需费用为410004000⨯=元 故选:B【点睛】本题考查了棱柱的结构特征与体积求法,由空间位置关系求得棱柱的棱长,属于基础题.10.设1,F 2F 是双曲线2222,1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若126PF PF a +=，且12F PF ∠为120︒，则双曲线C 的离心率为（ ）【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线定义及126PF PF a +=,可用a 分别表示出12PF PF 、,在12F PF ∆中应用余弦定理可得a c 、的关系,进而求得双曲线的离心率.【详解】设1,F 2F 分别是双曲线2222,1x y C a b-=的左右两个焦点,P 为双曲线右支上一点由双曲线定义可知122PF PF a -= 而126PF PF a +=所以121262PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩,解得1242PF aPF a ⎧=⎪⎨=⎪⎩因为12120F PF ∠=,122F F c = 所以在12F PF ∆中由余弦定理可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠代入可得222416442122c s 0o c a a a a =⨯⨯⨯+- 化简可得227c a =所以双曲线的离心率为e ==故选:D【点睛】本题考查了双曲线的定义及简单应用,双曲线中焦点三角形中余弦定理的应用,双曲线离心率的求法,属于基础题.11.若点()11,,A x y ()22,B x y ()12x x <是函数1,1()ln ,1x e x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩的图象上任意两，且函数()f x 在点A 和点B 处的切线互相垂直，则下列结论正确的是（ ）A. 10x <B. 101x <<C. 21x x 最大值为eD. 12x x 最大值为e 【答案】D 【解析】 【分析】根据12x x <,分三种情况讨论: 121x x <≤,121x x ≤<或121x x ≤<.对函数()f x 求导,由导数的几何意义及函数()f x 在点A 和点B 处的切线互相垂直,即可得12x x 、的关系,进而判断选项即可.【详解】因为1,1()ln ,1x e x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩,点()11,,A x y ()22,B x y ()12x x <所以,1'()1,1x e x f x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩因为()f x 在点A 和点B 处的切线互相垂直由导数几何意义可知, ()f x 在点A 和点B 处的切线的斜率之积为1- 当121x x <≤时,满足()()121x xe e -⨯-=-,即12121x x x x e e e +⨯==-因为120x x e +>,所以方程无解.即不存在121x x <≤时使得()f x 在点A 和点B 处的切线互相垂直当121x x ≤<时,满足()1211xe x -⨯=-,即12x e x =.因为21>x ,所以11x e >所以1>0x ,所以A 、B 错误;对于C,可知1211x x e x x =,令()xe g x x=,()1x ≤ 所以()()221''x xx x e x e xe e g x xx x ⎛⎫--=== ⎪ ⎪⎝⎭令()'0g x =,得1x =所以当1x <时, ()'0g x <,则()xe g x x=在1x <时单调递减所以()x e g x x =在1x =时取得极小值,即最小值为()1min 11e g e ==,无最大值,所以C 错误;对于D,可知1121xx x x e =⋅ 令()xh x xe =,()1x ≤则()'xxh x e xe =+令()()'10xh x e x =+=,解得1x =-所以当1x <-时, ()'0h x <,则()xh x xe =在1x <-时单调递减当11x -<≤时, ()'0h x >,则()xh x xe =在11x -<≤时单调递增所以()xh x xe =在1x =-时取得极小值,即最小值为()min 11h e-=-.当1x =时取得最大值, ()max 1h e =,所以D 正确.当121x x ≤<时,满足12111x x ⨯=-,即121x x ⋅=- 此方程无解,所以不成立. 综上可知,D 为正确选项. 故选:D【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性与最值中的综合应用,分类讨论思想的综合应用,属于难题.12.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：总体平均数为3，中位数为4； 乙地：总体平均数为1，总体方差大于0； 丙地：总体平均数为2，总体方差为3； 丁地：中位数为2，众数为3；则甲、乙、两、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ） A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地【答案】C【解析】 【分析】平均数与中位数,不能限制极端值的出现,因而可能会出现超过7人的情况;方差体现的是数据的离散情况,不知道方差的具体值,不能判断是否出现超过7人的情况;众数是出现次数多的数据,不能限制极端值的大小.【详解】对于甲地, 总体平均数为3,中位数为4.平均数与中位数,不能限制极端值的出现,因而可能会出现超过7人的情况,所以甲地不符合要求;对于乙地, 总体平均数为1,总体方差大于0.没有给出方差具体的大小,如果方差很大,有可能出现超过7人的情况,所以乙地不符合要求;对于丁地：中位数为2,众数为3. 中位数与众数不能限制极端值的大小,因而可能出现超过7人的情况,所以丁地不符合要求; 对于丙地,根据方差公式()()()2222123110s x x x x x x ⎡⎤=-+-+-+⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦.若出现大于7的数值m ,则()()()22222312 3.610s m x x x x ⎡⎤=-+-+-+⋅⋅⋅>⎢⎥⎣⎦,与总体方差为3矛盾,因而不会出现超过7人的情况出现. 综上可知,丙地符合要求. 故选:C【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数与方差表示数据的特征,对数据整体进行估算,属于中档题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答。
辽宁省大连市2021届高三数学双基测试试题 文 新人教A版
2021年双基测试数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：标准差s =x 为12,,,n x x x 的平均数．用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．第I 卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1复数i z +=1的虚部是（） A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．已知集合{}{}0)3lg(|,034|2>-=<+-=x x N x x x M ，则M N =A ．}31|{<<x xB ．}21|{<<x xC ．φD ．}32|{<<x x 3．函数2)cos (sin )(x x x f +=的最小正周期为（） A 4πB 2πC πD π24已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则实数m 的值为（ ）0．8-2105则输出的s 的值是（）76．87 65546．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，682=+a a ，则=9S （） A ．227B ．27C ．54D ．1087．右图是Ⅰ，Ⅱ两组各7名同学体重（单位：kg ）第数据的茎叶图．设Ⅰ，Ⅱ两组数据的平均数依次为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（）A ．12x x >，12s s >B ．12x x >，12s s <C ．12x x <，12s s <D ．12x x <，12s s >8下列说法中，正确的是（） A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题C ．命题“∈∃x R ，02>-x x ”的否定是：“∈∀x R ，02≤-x x ”D ．已知∈x R ，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件9．已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ，则y x z +=3的最大值为（）.11 C 下列函数中，与函数3x y =-的奇偶性相同且在)0,(-∞上单调性也相同的是（）A ．1y x=- B ．2log y x = C ．21y x =- D ．31y x =- 11ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，=++AC AB OA 0且||||AB OA =，则向量在方向上的投影为（）A ．3B ．3C ．3-D ．3-12球O 的直径=4SC ，B A ,是该球球面上的两点，4,2π=∠=∠=BSC ASC AB ，则棱锥SBC A -的体积为（） A 43B 83第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13．一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm ）：则该几何体的表面积为cm 2．左俯第1314已知下列表格所示的数据的回归直线方程为a x y+=8.3ˆ，则a 的值为_______15．已知双曲线的两条渐近线均和圆C :51)1(22=+-y x 相切，且双曲线的右焦点为抛物线2y =的焦点，则该双曲线的标准方程为16数列{}n a 满足：33)1()12(531321+⋅-=⋅-+⋅⋅⋅++++n n n a n a a a ，则数列{}n a 的通项公式n a =三解答题：本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．本小题满分12分已知C B A ,,是ABC ∆的三个内角，(sin A sin B)(sin A sin B)sin A sin C)+-=-（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若53sin =A ，求C cos 的值18．本小题满分12分某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生的视力，将调查结果分组，分组区间为（，]，（，]，…，（，]．经过数据处理，得到如下频率分布表：（Ⅰ）求频率分布表中未知量z y x n ,,,的值；（Ⅱ）从样本中视力在（，]和（，]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于的概率．19．本小题满分12分如图四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，090ACB ∠=，AB =，1PA BC ==，F是BC 的中点Ⅰ求证：DA ⊥平面PAC ；Ⅱ试在线段PD 上确定一点G ，使CG ∥平面PAF ，并求三棱ADCFPB锥A -CDG 的体积20（本小题满分12分） 函数2ln )(ax x x f -=（∈a R ） （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当81=a 时，证明：存在),2(0+∞∈x ，使)1()(0f x f =21（本小题满分12分）已知椭圆M ：)0(12222>>=+b a b y a x ，直线)0(≠=k kx y 与椭圆M交于B A 、两点，直线x ky 1-=与椭圆M 交于D C 、两点，P 点坐标为(,0)a ，直线PA 和PB 斜率乘积为21-．（Ⅰ）求椭圆M 离心率；（Ⅱ）若弦AC 的最小值为362，求椭圆M 的方程．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB ，第⊙O 交直线OB 于E 、D ，连结EC 、CD ． （Ⅰ）求证：直线AB 是⊙O 的切线； （Ⅱ）若tan ∠CED=21,⊙O 的半径为3，求OA 的长23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，以原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知射线:l 4πθ=与曲线:C ⎩⎨⎧-=+=,)1(,12t y t x （t 为参数）,相交于B A ,两点（Ⅰ）写出射线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标系方程； （Ⅱ）求线段AB 的中点极坐标24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知实数t ，若存在]3,21[∈t 使得不等式21521-+-≥---x x t t 成立，求实数x 的取值范围． ．2021年大连市高三双基测试 数学（文科）参考答案与评分标准OABCD E第说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题 ；；；；；；；；；；； 二、填空题13．π24；14．；15．2214x y -=；16．n 3三解答题17解：（Ⅰ）依题意得22sinA sinB -2AsinC sin C -， ·· 2分由正弦定理得：222a b c -=-． ········· 4分 ∴222a c b +-=．由余弦定理知：222cos 2a c b B ac +-==4B π= ···· 6分（Ⅱ）∵3sin 5A =,∴sin A <∴A B < ········ 8分又4B π=,∴4A π<,∴4cos 5A =， ·········· 10分∴333cos cos()coscos sin sin 444C A A A πππ=-=+= ··· 12分18．解：（Ⅰ）由频率分布表可知，样本容量为n ，由2n＝，得n ＝50． ····················· 2分∴250.550x ==，503625214y =----=，140.2850y z n ===． · 4分（Ⅱ）记样本中视力在（，]的3人为,,a b c ，在（，]的2人为,d e ．由题意，从5人中随机抽取两人，所有可能的结果有：{},a b ，{},a c ，{},a d ，{},a e ，{},b c ，{},b d ，{},b e ，{},c d ，{},c e ，{},d e ，共10种． ················· 7分设事件A 表示“两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A 包含的可能的结果有：{},a b ，{},a c ，{},b c ，{},d e ，共4种． ······················ 9分 ∴42()105P A ==．故两人的视力差的绝对值低于的概率为25．12分19．解:Ⅰ证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，090ACB ∠=，∴090DAC ∠=∵PA ⊥平面ABCD ,DA ABCD ⊂平面,∴PA DA ⊥， 又AC DA ⊥，AC PA A =，∴DA ⊥平面PAC ················· 6分 Ⅱ设PD 的中点为G ，在平面PAD 内作GH PA ⊥于H ，则GH 平行且等于12AD ·············· 8分连接FH ，则四边形FCGH 为平行四边形， ∴GC ∥FH ，∵FH⊂平面PAE ，CG ⊄平面PAE ，∴CG ∥平面PAE ，∴G 为PD 中点时，CG ∥平面PAE 10分 设S 为AD 的中点，连结GS ，则GS 平行且等于1122PA =，∵PA ⊥平面ABCD ，∴GS ⊥平面ABCD ，∴11312A CDG G ACD ACD V V SGS --===··········· 12分20解：（Ⅰ）函数2ln )(ax x x f -=的定义域为),0(+∞，xax ax x x f 1221)(2+-=-='， ··········· 1分∴①当0≤a 时，0)(>'x f ，所以函数2ln )(ax x x f -=的增区间为),0(+∞， ···················· 3分②当0>a 时，若0)(>'x f 有,220a a x <<若0)(<'x f 有,22a ax > 所以函数2ln )(ax x x f -=的减区间为),22(+∞aa，增区间为)22,0(aa， 由①②得当0≤a 时，函数)(x f 的增区间为),0(+∞，当0>a 时，函数)(x f 的减区间为),22(+∞a a ，增区间为)22,0(aa． ··· 6分证明（Ⅱ）当81=a 时，x x x f 44)(2+-='，∴)2,0(∈x 时函数)(x f 是增函数，),2(+∞∈x 时函数)(x f 是减函数， ······················· 8分∴函数)(x f 的最大值为212ln )2(-=f ，81)1(-=f ， 在),2(+∞取4e x =， 计算得8842()4428(1)88e f e f =-<-=-<，····· 10分（也可以选取其它有效值）． ∴)2()1()(4f f e f <<，)2,0(∈x 时函数)(x f 是增函数，),2(+∞∈x 时函数)(x f 是减函数，∴存在),2(40e x ∈，使)1()(0f x f =，∴存在),2(0+∞∈x ，使)1()(0f x f =． ······· 12分 21解（Ⅰ）设),(11y x A ，由对称性可得),(11y x B --将),(11y x A 带入椭圆可得2211221x y a b+=，直线PA 和PB 斜率乘积221222111222221111(1)x b y y y b a x a x a x a x a a--⨯===------．2分由直线PA 和PB 斜率乘积为21-，所以2122=a b ，所以2122=ac ，所以椭圆M 离心率为22． ············ 5分（Ⅱ）椭圆方程可化为2222a y x =+，联立⎩⎨⎧==+kx y a y x 2222，可得22221k a x +=，222221k a k y +=， ·· 7分设O 为坐标原点，则2222211k k a OA ++=)(||，同理可得22222111kk a OC ++=)(||． 所以22222221(1)(1)||2121a a k k AC k k++=+++ 4222242223633412523212k k a a a k k k k++=⨯=⨯≥+++++． ······ 10分当且仅当1±=k 时取等号，所以38342=a ，即22=a ，所以椭圆M 的方程为2212x y +=．···· 12分另解：所以22222221(1)(1)||2121a a k k AC k k++=+++ 2222222222223(1)3(1)4212(21)(2)3()2k k a a a k k k k ++=⨯≥⨯≥+++++）22．解:Ⅰ连结OC ，因为,OA OB CA CB ==,则OC AB ⊥．2分 所以直线AB 是⊙O 的切线． ········· 4分 Ⅱ因为AB 是⊙O 的切线，所以BCD E ∠=∠,又B B ∠=∠, 所以△BCD ∽△BCE ,所以BC BECEBDBCCD==, 所以2()BEEC BD CD=, (8)因为1tan 2CED ∠=,所以4BE BD=,因为⊙O 的半径为3,所以2BD =,所以5OA =． ············ 10分 23．解：（Ⅰ）射线l 的直角坐标方程：(0)y x x =≥，则射线l 的参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥==为参数t t t y t x ,0(,22,22） ····· 2分曲线C 的直角坐标系方程：2)2(-=x y ········ 4分 （Ⅱ）联立⎩⎨⎧-==,)2(,2x y x y 得⎩⎨⎧⎩⎨⎧====,4,4,1,1y x y x 和， ∴),4,4(),1,1(B A ·················· 6分 ∴线段AB 的中点直角坐标为),25,25(∴线段AB 的中点极坐标为)4,225(π ········10分24．解：∵]3,21[∈t ，∴54,25|1||25|36,124,1t t t t t t t t ⎧-+≥⎪⎪⎪---=-<<⎨⎪-≤⎪⎪⎩， ·· 4分可得其最大值为32． ··············· 6分 解不等式3|1||2|2x x -+-≤，当2x ≥可得924x ≤≤，当12x <<可得恒成立，当1x <可得314x ≤<，综上可得解集为39[,]44． 10分。