—矩阵的特征值问题
矩阵特征值问题的数值方法.
矩阵特征值问题的数值方法矩阵特征值设A 是n 阶矩阵，x 是非零列向量. 如果有数λ 存在，满足那么，称x 是矩阵A 关于特征值λ的特征向量. 很显然一般地有主特征值的乘幂迭代法设n 阶矩阵A 的n 个特征值按模从大到小排序为：n 其对应的n 个线性无关的特征向量分别为：设是任意一个非零的n 维向量，则：假设，构造一个向量序列：则：或者：当时：如果是矩阵A 的关于特征值的一个特征向量，特征值个特征那么对于任意一个给定的，也是特征值的特征向量。
所以，是对主特征值对应的特征向量的近似。
如果则会变得很大或者如果，则会变得很大，或者如果，则会变得非常小，在实际计算中，为避免这种情况的出现需对做归一化处理况的出现，需对做归一化处理：由：左乘得：所以主特征值的近似值所以主特征值的近似值：残余误差向量定义为：当迭代次数充分大时，残余误差将充分小。
逆乘幂法：类似地，也可以求模最小特征值和对应的特征向量特征向量。
上述问题的主特征值问题就是矩阵A 的模最小特征值问题。
结果，逆乘幂法的迭代公式为：在实际应用中，无需计算逆矩阵，但需求解线性系统实对称矩阵的基本定理：对实对称矩阵A ，一定存在一个正交相似变换使得为对角矩阵且其对角矩阵P ，使得：为对角矩阵，且其对角的特征值元素为矩阵A 的特征值。
相似变换：相似变换保持矩阵特征值（但不是特征向量）不变不变。
(证明略)正交相似变换：中。
正交相似变换的例子—坐标旋转：叫旋转矩阵。
容易验证：。
适当选择旋转角，可消去xy 项—得到对角阵D 。
矩阵特征值问题的数值方法实对称矩阵的基本定理再看下面的例子：令：O 平面的坐标旋转变换适当同样地有：。
则是在x-O-z 平面的坐标旋转变换。
适当x z —D 。
选择旋转角可消去z 项得到对角阵实对称矩阵的Jacobi 方法：全部特征值和特征向量根据实对称矩阵的基本定理，求得矩阵A 的全部特征值的关键是找到正交相似变换矩阵P 使部特征值的关键，是找到正交相似变换矩阵P ，使得为对角阵。
矩阵特征值问题
§1、特征值的估计
由于工程计算中求矩阵尤其是高阶矩阵的 精确特征值通常比较困难，而许多情况下我们 只需要知道特征值在什么范围内变化或者落在 什么区域内，例如判断方阵的幂级数是否收敛 只要看方阵的特征值的模或谱半径是否小于1， 因此特征值的估计就显得尤其必要，这方面的 理论在特征值问题中相当经典。
由于
实际上是 的
一个
维子空间，因此我们希望将
搜索极值的空间放大到任意
维子空
间 。而增大后的集合的极大值不会比原集
合的小，极小值也不会比原集合大。
58
设有 则
，并假定
，即
59
并且当
时等号成立。因此
60
一般地，我们有
定理4 (Courant-Fischer)设
是
Hermite矩阵，其特征值为
，则
存在Hermite矩阵特征值的极值原理
48
一、 Rayleigh商
二次型
，如果存在
，那么
所以如果
，我们自然也希望
49
定义1 设
是Hermite矩阵，称
为矩阵 的Rayleigh商。 注意到
因此我们可以把对 在单位球面
的极性的讨论限定 上。
50
单位球面 是闭集，又因为
是 的连续
函数，因此根据多元函数的最值定理，
在 上存在最大值和最小值。由于特征值与
对于广义特征值问题
，可以通过
适当选择位移(shift)或极点(pole) ，再通过 求逆，将之转化为SEP：
这种方法的优点是特征向量不变，矩阵 奇 异时也可以使用，并且在求解邻近 的特征 值或绝对值很小的特征值时效率较高。缺点仍 然是 一般不是特殊矩阵。
矩阵的特征值问题求解
矩阵特征值问题求解矩阵在数学和工程领域有着广泛的应用，而研究矩阵的特征值是其中一个重要的问题。
矩阵的特征值对于矩阵的性质和行为具有重要的影响，因此求解矩阵的特征值是一项非常重要的任务。
什么是特征值和特征向量在矩阵理论中，矩阵A的特征值（eigenvalue）是一个数λ，满足方程$A\\mathbf{v} = \\lambda\\mathbf{v}$的向量$\\mathbf{v}$存在且不为零。
其中，$\\mathbf{v}$被称为对应于特征值$\\lambda$的特征向量（eigenvector）。
特征值和特征向量的求解是矩阵理论和线性代数中的重要问题之一。
特征值问题的求解方法1. 特征值分解我们可以通过特征值分解的方法求解矩阵的特征值。
给定一个方阵A，我们可以将其表示为$A=Q\\Lambda Q^{-1}$的形式，其中Q是由A的特征向量所组成的矩阵，Λ是由A的特征值所组成的对角矩阵。
2. 特征多项式特征值问题的另一种求解方法是通过矩阵的特征多项式。
特征多项式是关于矩阵A的一个多项式，它的根就是矩阵A的特征值。
通过求解特征多项式的根，我们可以得到矩阵的特征值。
3. 幂法幂法是一种常用的求解特征值问题的迭代方法。
通过不断的迭代计算$A\\mathbf{v}^{(k)}$，其中$\\mathbf{v}^{(k)}$是第k次迭代得到的特征向量，我们可以逐渐逼近矩阵的特征值和特征向量。
应用和意义矩阵的特征值问题求解在计算机图形学、信号处理、物理学等领域都有着重要的应用和意义。
通过求解矩阵的特征值，我们可以分析矩阵的性质、系统的稳定性以及模式识别等问题，为我们深入理解和应用矩阵提供了重要的工具和方法。
综上所述，矩阵的特征值问题求解是一个具有重要意义和广泛应用的问题，通过不同的方法和技术，我们可以有效地求解矩阵的特征值和特征向量，为我们更好地理解和利用矩阵提供了重要的支持。
矩阵函数的特征值问题
矩阵函数的特征值问题矩阵函数的特征值问题是线性代数中一个非常重要的研究方向。
在许多科学和工程问题中，矩阵函数的特征值对于理解系统的动态行为和稳定性具有关键作用。
本文将介绍矩阵函数的特征值问题，并探讨其在不同领域中的应用。
1. 矩阵函数的概念在矩阵理论中，矩阵函数是指将一个矩阵映射到另一个矩阵的函数。
常见的矩阵函数包括指数函数、正弦函数、余弦函数等。
矩阵函数的特征值问题即是研究如何求解给定矩阵函数的特征值及其对应的特征向量。
2. 特征值和特征向量特征值是矩阵的一个重要属性，它可以通过矩阵函数的特征方程来求解。
特征向量是与特征值相关联的，它表示矩阵函数在特定方向上的变化情况。
3. 矩阵函数的计算方法求解矩阵函数的特征值问题可以通过多种方法进行。
一种常见的方法是通过矩阵的特征值分解来获得矩阵函数的特征值和特征向量。
另一种方法是使用数值计算技术，如迭代法和矩阵运算等。
4. 矩阵函数的应用矩阵函数的特征值问题在许多领域中都有着重要的应用。
例如，在物理学中，矩阵函数的特征值问题可以用于描述量子力学中的能级结构和波函数演化。
在工程学中，矩阵函数的特征值问题可以应用于系统的稳定性分析和控制设计。
此外，矩阵函数的特征值问题还在信号处理、图像处理和数据挖掘等领域中得到广泛应用。
5. 矩阵函数的扩展问题除了求解矩阵函数的特征值问题，还存在着许多与之相关的扩展问题。
例如，矩阵函数的奇异值问题、矩阵函数的寻优问题等。
这些问题在实际应用中具有重要的意义，对于深入理解矩阵函数的性质和应用具有重要价值。
总结：矩阵函数的特征值问题是线性代数中一个重要的研究方向，它对于理解系统的动态行为和稳定性具有关键作用。
在实际应用中，矩阵函数的特征值问题被广泛应用于物理学、工程学、信号处理等领域。
未来，随着科学技术的不断发展，矩阵函数的特征值问题仍将继续引起学术界和工程界的关注，并在更多领域中发挥重要作用。
（注：本文所述内容仅为一般性介绍，未对具体的矩阵函数特征值问题及其解法进行详细讨论。
矩阵特征值问题的数值方法
H
x x xCni1且x0
H
由定理9.2.3，xCmnia1且xx0
xH Ax xH x
i
又由定理9.2.2，对任意x≠0，有
1
max
xCni1且x 0
xH Ex xH x
n
从而有 i i 1
另一方面, A=(A+E)-E. 记 1 2 E的特征值，那么， i ni1
为n 矩阵-
重复上面的过程,可得 i i 1
第9章 矩阵特征值问题的数值 方法
9.1 特征值与特征向量 9.2 Hermite矩阵特征值问题 9.3 Jacobi方法 9.4 对分法 9.5 乘幂法 9.6 反幂法 9.7 QR方法
9.1 特征值与特征向量
设A是n阶矩阵，x是非零列向量. 如果有
数λ存在，满足
， (1)
那么，称x是矩阵A关于特征值λ的特征向 量.
f () 0的根. 反之，如果λ是
的根，
f () 0
那么齐次方程组(2)有非零解向量x，使(1)式
成立. 从而，λ是A的一个特征值.
A的特征值也称为A的特征根.
矩阵特征值和特征向量有如下主要性质：
定理9.1.1 n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必要 条件是A有零特征值.
定理9.1.2 设矩阵A与矩阵B相似，那么它们 有相同的特征值.
从而有 i i n
定理9.2.5通常又称为Hermite矩阵特征值 的扰动定理
பைடு நூலகம்
定理9.2.6 设矩阵A和A′=A+E都是n阶Hermite矩
阵，其特征值分别为 1 2 n 和1 2 ，n 那么 i E 2 2 i E 2
这个定理表明，扰动矩阵E使A的特征值的变化
第七章—矩阵的特征值问题
1 p仍是B的主特征值，且使 2 p 2 1 p 1
对B应用幂法，使得在计算B的主特征值1 p的过程中 得到加速。这种方法通常称为原点平移法。
若A的特征值满足
1 2
希望p
n，
且2，n能估计时，我们就能确定P的近似值。
2 n
2
使得应用幂法计算加速。
a21 an1 n (a11 a22 为A的特征多项式.
a12 a 22 an 2
a1n a2 n
a nn
ann ) n 1 (次级 n 2的项)
A的特征方程
( ) det( I A) 0 (1.1) 的根称为A的特征值. ( A)表示A的所有特征值的集合. 设为A的特征值, 相应的齐次方程组 ( I A )x 0 (1.2) 的非零解x称为A的对应于的特征向量.
x1 [1 -1 1]T , x2 [1 0 -1]T , x3 [1 2 1]T
定理1 设是矩阵A R nn的特征值, x是对应的非零特征 向量，则 (1) c是cA的特征值(常数c 0)； (2) p为A pI的特征值,即 (A pI)x ( p)x； (3) k 是A k的特征值,即 A k x k x； 1 1 1 1 (4) 设A非奇异，则 0且 为A 的特征值,即 A x x.
物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求矩阵 的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物的振动、 机械的振动、电磁震荡等)，结构屈曲，物理学中的某些临界 值的确定。它们都归结为下述数学问题。
定义1 已知A (aij ) nn , 则称
a 11 ( ) det( I A)
矩阵特征问题的计算方法
矩阵特征问题的计算方法首先，我们来定义特征值和特征向量。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X，使得下式成立：AX=λX其中，λ是一个实数常数，称为特征值；X是一个非零向量，称为特征向量。
也可以将上面的等式写成(A-λI)X=0，其中I是n阶单位矩阵。
接下来，我们介绍一些常用的计算特征值和特征向量的方法。
一、特征方程法特征方程法是最常用的求解特征值和特征向量的方法。
对于n阶方阵A，我们可以将特征方程写成：A-λI，=0其中，A-λI，表示A-λI的行列式。
解特征方程即可得到n个特征值λ1,λ2,...,λn。
对于每个特征值λi，我们可以代入(A-λiI)X=0，求解出对应的特征向量Xi。
二、幂法幂法是一种迭代计算特征值和特征向量的方法。
它的基本思想是，假设一个向量X0，然后通过迭代的方式不断计算Xk+1=AXk，直到收敛为止。
此时，Xk就是所求的特征向量，而特征值可以通过计算向量Xk与Xk+1的比值得到。
三、雅可比迭代法雅可比迭代法是一种用于计算对称矩阵特征值和特征向量的方法。
它的基本思想是，通过矩阵的相似变换将对称矩阵转化为对角矩阵。
雅可比迭代法的具体步骤如下：1.初始化一个对称矩阵A，令Q为单位矩阵。
2.找到A的非对角元素中绝对值最大的元素(a,b)。
3.计算旋转矩阵R，使得AR=RD，其中D为对角矩阵，D的对角线元素与A的特征值相等。
4.更新矩阵A=R^TAR，更新矩阵Q=Q×R，重复步骤2和3，直到达到收敛条件。
四、QR分解法QR分解法是一种计算特征值和特征向量的常用方法。
它的基本思想是，将矩阵A分解为QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。
然后，通过对R进行迭代得到对角矩阵D，D的对角线元素与A的特征值相等。
具体步骤如下：1.初始化一个矩阵A。
2.对A进行QR分解，得到矩阵Q和R。
3.计算新矩阵A=RQ，重复步骤2和3，直到达到收敛条件。
特征值和特征向量在实际应用中具有重要的意义。
矩阵特征值问题的数值计算
矩阵特征值问题的计算方法特征值问题：A V=λV¾直接计算：A的阶数较小,且特征值分离得较好 特征值：det(λI-A)=0,特征向量：(λI-A)V=0¾迭代法：幂法与反幂法¾变换法：雅可比方法与QR方法内容：一、 特征值的估计及其误差问题二、 幂法与反幂法三、 雅可比方法四、 QR方法一、 特征值的估计及其误差问题 （一）特征值的估计结论 1.1：n 阶矩阵()ij n n A a ×=的任何一个特征值必属于复平面上的n 个圆盘：1,||||,1,2,ni ii ij j j i D z z a a i n =≠⎧⎫⎪⎪=−≤=⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑"（10.1） 的并集。
结论1.2：若（10.1）中的m个圆盘形成一个连通区域D，且D与其余的n-m个圆盘不相连，则D中恰有A的m个特征值。
（二）特征值的误差问题结论1.3：对于n 阶矩阵()ij n n A a ×=，若存在n 阶非奇异矩阵H ，使得11(,,)n H AH diag λλ−=Λ="， （10.2）则11min ||||||||||||||i p p p i nH H A λλ−≤≤−≤∆ （10.3）其中λ是A A +∆的一个特征值，而(1,,)i i n λ="是A 的特征值，1,2,p =∞。
结论1.4：若n 阶矩阵A 是实对称的，则1min ||||||i p i nA λλ≤≤−≤∆。
（10.4）注：（10.4）表明，当A 是实对称时，由矩阵的微小误差所引起的特征值摄动也是微小的。
但是对于非对称矩阵而言，特别是对条件数很大的矩阵，情况未必如此。
二、 幂法与反幂法（一） 幂法：求实矩阵按模最大的特征值与特征向量假设n 阶实矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量,1,iV i n ="，则对于任意的0nX R ∈，有 01ni ii X a V ==∑，从而有01111112((/))n nk k k i i i i ii i nk k i i i i A X a A V a V a V a V λλλλ======+∑∑∑.若A 的特征值分布如下：123||||||||n λλλλ>≥≥≥"，则有01111()k kk A X a V λλ→∞⎯⎯⎯→为对应的特征向量须注意的是，若1||1λ<，则10kλ→，出现“下溢”，若1||1λ>，则1kλ→∞，出现“上溢”，为避免这些现象的发生，须对0kA X 进行规范化。
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a1x1
a2
2 1
k
x2
an
n 1
k
xn
max
a1x1
a2
2 1
k
x2
an
n 1
k
xn
x1 (k ) max( x1 )
max(
vk( Ak1
v
0
)
1 max a1x1
a2
2 1
k x2
an
n 1
k
xn
max
a1x1
a2
(2.1)
现在讨论求1及x1的基本方法.
第7页/共29页
v0 a1x1 a2x2 anxn , (设a1 0) v1 Av 0 a11x1 a2 2x2 annxn ,
vk
Av k1
k1 a1x1
a2
2 1
k
x2
an
n 1
k
xn .
当k很大时，vk 1k a1 x1 (vk 1 1vk , Avk 1vk )，
(1) A的特征值均为实数； (2) A有n个线性无关的特征向量；
第5页/共29页
(3) 存在正交矩阵P使得
1
P1AP
2
，
n
且i (i 1, 2, , n)为A的特征值,而P (u1,u2 ,
向量u j为对应于j的特征向量.
,un )的列
对称正定矩阵——特征值均大于零
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7.2 幂法及反幂法
(4) 设A非奇异，则 0且 1 为A1的特征值,即 A1x 1 x.
第4页/共29页
定理2 若i (i 1, , n)是矩阵A的特征值, 则
n
n
(1) i aii tr(A),
i 1 i 1
(2) det(A) 1 n.
定理3 设A Rnn , 则
(AT ) (A).
定理4(对称矩阵的正交约化) 设A Rnn为对称矩阵,则
一、幂法 幂法是一种求实矩阵A的按模最大的特征值λ1及其对应的特 征向量x1的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。
基本思想 设A (aij )nn Rnn有一个完全特征向量组, 其特征值
为1, 2, , n , 对应的特征向量为x1, x2, , xn.
已知A的主特征值是实根，且满足
1 2 n ,
(k
1,2,
)
uk vk / k .
则
lim
k
uk
x1 , max(x1 )
lim
k
k
1.
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(2.9)
事 实 上 ，对于任给 非 零 向 量u 0
v
，
0
v1 Au 0 Av 0 ,
u1
v1 max( v1 )
Av 0 max( Av 0 )
,
v2
Au1
A2v0 , max( Av 0 )
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7.1 引言 物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求矩阵 的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物的振动、 机械的振动、电磁震荡等)，结构屈曲，物理学中的某些临界 值的确定。它们都归结为下述数学问题。
定义1 已知A (aij )nn , 则称
a 11 a12
a1n
设为A的特征值, 相应的齐次方程组
(I A)x 0
(1.2)
的非零解x称为A的对应于的特征向量.
2 1 0 例如 求A 1 3 1的特征值及其特征向量.
0 1 2
() 3 7 2 14 8 0
1 1, 2 2, 3 4
第3页/共29页
(1I A) x1 0 (2I A) x2 0 (3I A) x3 0
2 1
k 1
x2
an
n 1
k 1
xn
1 (k )
第12页/共29页
例8-1 用 幂法求
1 1 0.5
A
1
1 0.25
0.5 0.25 2
的按模最大特征值及其特征向量.
v0 u0 [1 1 1]T v1 Au0 [2.5 2.25 2.75]T
即 (vk1)i (vk )i
1
(或1
1 n
n
(vk1) j
j 1 (vk ) j
).
这种由已知非零向量v0及矩阵A的乘幂Ak构造向量序列
vk 以计算A的主特征值1及相应特征向量的方法称为幂法。
收敛速度由比值r 2 来确定，r越小收敛速度越快，但当 1
r 2 1时收敛可能就很慢。
1
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x1 [1 -1 1]T , x2 [1 0 -1]T , x3 [1 2 1]T
定理1 设是矩阵A Rnn的特征值, x是对应的非零特征
向量，则
(1) c是cA的特征值(常数c 0)；
(2) p为A pI的特征值,即 (A pI)x ( p)x；
(3) k是Ak的特征值,即 Akx kx；
() det(I A) a21 a 22
a2n
an1
an2
a nn
n (a11 a22 ann ) n1 (次级 n 2的项)
为A的特征多项式.
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A的特征方程
() det(I A) 0
(1.1)
的根称为A的特征值. (A)表示A的所有特征值的集合.
为了避免“溢出”，做改进. 记 max(v)为向量v的绝对
值最大的分量，规范化得 u v (v 0). 就有 max(v)
定理 设A Rnn有n个线性无关的特征向量, 其特征值
1 2 n ,
对任何非零初始向量v0 (a1 0)，计算
u0 v0 ,
vk
k
Auk1, max(vk ),
k
u1 k
u2 k
u3 k
MU + KU 0 U u1 u2 u3 T
m
1
M
m
m
1
m
1
2 1 0 K k 1 2 1
0 1 2
设 k/m=1，求固有频率的特征方程
1
2 1 0
1
2
1
2
1 0
1 0 1 2
2 1 0 A 1 2 1
0 1 2
特征值与特征向量
,
u2
v2 max( v 2 )
A2v0 max( A 2 v0 )
,
vk
Ak v0 max( A k1
v
0
)
,
uk
vk max( v k )
Ak v0 max( A k v0 )
Ak v0
1k
a1x1
a
2
2 1
k x2
an
n 1
k
x
n
,
第11页/共29页
uk
Ak v0 max( Ak v0 )
lim
k
vk
1k
a1 x1.
这说明序列 vk
1k
越来越接近A的对应于1的特征向量，
当k从分大时
vk 1k a1 x1 即vk是1的特征向量的近似向量.
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主特征值1的计算，用(vk )i 表示vk的第i个分量，
则
lim (vk1)i k (vk )i
1，
也就是说两相邻迭代分量的比值收敛到主特征值。