—矩阵的特征值问题
矩阵特征值问题的数值方法.
矩阵特征值问题的数值方法矩阵特征值设A 是n 阶矩阵，x 是非零列向量. 如果有数λ 存在，满足那么，称x 是矩阵A 关于特征值λ的特征向量. 很显然一般地有主特征值的乘幂迭代法设n 阶矩阵A 的n 个特征值按模从大到小排序为：n 其对应的n 个线性无关的特征向量分别为：设是任意一个非零的n 维向量，则：假设，构造一个向量序列：则：或者：当时：如果是矩阵A 的关于特征值的一个特征向量，特征值个特征那么对于任意一个给定的，也是特征值的特征向量。
所以，是对主特征值对应的特征向量的近似。
如果则会变得很大或者如果，则会变得很大，或者如果，则会变得非常小，在实际计算中，为避免这种情况的出现需对做归一化处理况的出现，需对做归一化处理：由：左乘得：所以主特征值的近似值所以主特征值的近似值：残余误差向量定义为：当迭代次数充分大时，残余误差将充分小。
逆乘幂法：类似地，也可以求模最小特征值和对应的特征向量特征向量。
上述问题的主特征值问题就是矩阵A 的模最小特征值问题。
结果，逆乘幂法的迭代公式为：在实际应用中，无需计算逆矩阵，但需求解线性系统实对称矩阵的基本定理：对实对称矩阵A ，一定存在一个正交相似变换使得为对角矩阵且其对角矩阵P ，使得：为对角矩阵，且其对角的特征值元素为矩阵A 的特征值。
相似变换：相似变换保持矩阵特征值（但不是特征向量）不变不变。
(证明略)正交相似变换：中。
正交相似变换的例子—坐标旋转：叫旋转矩阵。
容易验证：。
适当选择旋转角，可消去xy 项—得到对角阵D 。
矩阵特征值问题的数值方法实对称矩阵的基本定理再看下面的例子：令：O 平面的坐标旋转变换适当同样地有：。
则是在x-O-z 平面的坐标旋转变换。
适当x z —D 。
选择旋转角可消去z 项得到对角阵实对称矩阵的Jacobi 方法：全部特征值和特征向量根据实对称矩阵的基本定理，求得矩阵A 的全部特征值的关键是找到正交相似变换矩阵P 使部特征值的关键，是找到正交相似变换矩阵P ，使得为对角阵。
矩阵特征值问题
§1、特征值的估计
由于工程计算中求矩阵尤其是高阶矩阵的 精确特征值通常比较困难，而许多情况下我们 只需要知道特征值在什么范围内变化或者落在 什么区域内，例如判断方阵的幂级数是否收敛 只要看方阵的特征值的模或谱半径是否小于1， 因此特征值的估计就显得尤其必要，这方面的 理论在特征值问题中相当经典。
由于
实际上是 的
一个
维子空间，因此我们希望将
搜索极值的空间放大到任意
维子空
间 。而增大后的集合的极大值不会比原集
合的小，极小值也不会比原集合大。
58
设有 则
，并假定
，即
59
并且当
时等号成立。因此
60
一般地，我们有
定理4 (Courant-Fischer)设
是
Hermite矩阵，其特征值为
，则
存在Hermite矩阵特征值的极值原理
48
一、 Rayleigh商
二次型
，如果存在
，那么
所以如果
，我们自然也希望
49
定义1 设
是Hermite矩阵，称
为矩阵 的Rayleigh商。 注意到
因此我们可以把对 在单位球面
的极性的讨论限定 上。
50
单位球面 是闭集，又因为
是 的连续
函数，因此根据多元函数的最值定理，
在 上存在最大值和最小值。由于特征值与
对于广义特征值问题
，可以通过
适当选择位移(shift)或极点(pole) ，再通过 求逆，将之转化为SEP：
这种方法的优点是特征向量不变，矩阵 奇 异时也可以使用，并且在求解邻近 的特征 值或绝对值很小的特征值时效率较高。缺点仍 然是 一般不是特殊矩阵。
矩阵的特征值问题求解
矩阵特征值问题求解矩阵在数学和工程领域有着广泛的应用，而研究矩阵的特征值是其中一个重要的问题。
矩阵的特征值对于矩阵的性质和行为具有重要的影响，因此求解矩阵的特征值是一项非常重要的任务。
什么是特征值和特征向量在矩阵理论中，矩阵A的特征值（eigenvalue）是一个数λ，满足方程$A\\mathbf{v} = \\lambda\\mathbf{v}$的向量$\\mathbf{v}$存在且不为零。
其中，$\\mathbf{v}$被称为对应于特征值$\\lambda$的特征向量（eigenvector）。
特征值和特征向量的求解是矩阵理论和线性代数中的重要问题之一。
特征值问题的求解方法1. 特征值分解我们可以通过特征值分解的方法求解矩阵的特征值。
给定一个方阵A，我们可以将其表示为$A=Q\\Lambda Q^{-1}$的形式，其中Q是由A的特征向量所组成的矩阵，Λ是由A的特征值所组成的对角矩阵。
2. 特征多项式特征值问题的另一种求解方法是通过矩阵的特征多项式。
特征多项式是关于矩阵A的一个多项式，它的根就是矩阵A的特征值。
通过求解特征多项式的根，我们可以得到矩阵的特征值。
3. 幂法幂法是一种常用的求解特征值问题的迭代方法。
通过不断的迭代计算$A\\mathbf{v}^{(k)}$，其中$\\mathbf{v}^{(k)}$是第k次迭代得到的特征向量，我们可以逐渐逼近矩阵的特征值和特征向量。
应用和意义矩阵的特征值问题求解在计算机图形学、信号处理、物理学等领域都有着重要的应用和意义。
通过求解矩阵的特征值，我们可以分析矩阵的性质、系统的稳定性以及模式识别等问题，为我们深入理解和应用矩阵提供了重要的工具和方法。
综上所述，矩阵的特征值问题求解是一个具有重要意义和广泛应用的问题，通过不同的方法和技术，我们可以有效地求解矩阵的特征值和特征向量，为我们更好地理解和利用矩阵提供了重要的支持。
矩阵函数的特征值问题
矩阵函数的特征值问题矩阵函数的特征值问题是线性代数中一个非常重要的研究方向。
在许多科学和工程问题中，矩阵函数的特征值对于理解系统的动态行为和稳定性具有关键作用。
本文将介绍矩阵函数的特征值问题，并探讨其在不同领域中的应用。
1. 矩阵函数的概念在矩阵理论中，矩阵函数是指将一个矩阵映射到另一个矩阵的函数。
常见的矩阵函数包括指数函数、正弦函数、余弦函数等。
矩阵函数的特征值问题即是研究如何求解给定矩阵函数的特征值及其对应的特征向量。
2. 特征值和特征向量特征值是矩阵的一个重要属性，它可以通过矩阵函数的特征方程来求解。
特征向量是与特征值相关联的，它表示矩阵函数在特定方向上的变化情况。
3. 矩阵函数的计算方法求解矩阵函数的特征值问题可以通过多种方法进行。
一种常见的方法是通过矩阵的特征值分解来获得矩阵函数的特征值和特征向量。
另一种方法是使用数值计算技术，如迭代法和矩阵运算等。
4. 矩阵函数的应用矩阵函数的特征值问题在许多领域中都有着重要的应用。
例如，在物理学中，矩阵函数的特征值问题可以用于描述量子力学中的能级结构和波函数演化。
在工程学中，矩阵函数的特征值问题可以应用于系统的稳定性分析和控制设计。
此外，矩阵函数的特征值问题还在信号处理、图像处理和数据挖掘等领域中得到广泛应用。
5. 矩阵函数的扩展问题除了求解矩阵函数的特征值问题，还存在着许多与之相关的扩展问题。
例如，矩阵函数的奇异值问题、矩阵函数的寻优问题等。
这些问题在实际应用中具有重要的意义，对于深入理解矩阵函数的性质和应用具有重要价值。
总结：矩阵函数的特征值问题是线性代数中一个重要的研究方向，它对于理解系统的动态行为和稳定性具有关键作用。
在实际应用中，矩阵函数的特征值问题被广泛应用于物理学、工程学、信号处理等领域。
未来，随着科学技术的不断发展，矩阵函数的特征值问题仍将继续引起学术界和工程界的关注，并在更多领域中发挥重要作用。
（注：本文所述内容仅为一般性介绍，未对具体的矩阵函数特征值问题及其解法进行详细讨论。
矩阵特征值问题的数值方法
H
x x xCni1且x0
H
由定理9.2.3，xCmnia1且xx0
xH Ax xH x
i
又由定理9.2.2，对任意x≠0，有
1
max
xCni1且x 0
xH Ex xH x
n
从而有 i i 1
另一方面, A=(A+E)-E. 记 1 2 E的特征值，那么， i ni1
为n 矩阵-
重复上面的过程,可得 i i 1
第9章 矩阵特征值问题的数值 方法
9.1 特征值与特征向量 9.2 Hermite矩阵特征值问题 9.3 Jacobi方法 9.4 对分法 9.5 乘幂法 9.6 反幂法 9.7 QR方法
9.1 特征值与特征向量
设A是n阶矩阵，x是非零列向量. 如果有
数λ存在，满足
， (1)
那么，称x是矩阵A关于特征值λ的特征向 量.
f () 0的根. 反之，如果λ是
的根，
f () 0
那么齐次方程组(2)有非零解向量x，使(1)式
成立. 从而，λ是A的一个特征值.
A的特征值也称为A的特征根.
矩阵特征值和特征向量有如下主要性质：
定理9.1.1 n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必要 条件是A有零特征值.
定理9.1.2 设矩阵A与矩阵B相似，那么它们 有相同的特征值.
从而有 i i n
定理9.2.5通常又称为Hermite矩阵特征值 的扰动定理
பைடு நூலகம்
定理9.2.6 设矩阵A和A′=A+E都是n阶Hermite矩
阵，其特征值分别为 1 2 n 和1 2 ，n 那么 i E 2 2 i E 2
这个定理表明，扰动矩阵E使A的特征值的变化
第七章—矩阵的特征值问题
1 p仍是B的主特征值，且使 2 p 2 1 p 1
对B应用幂法，使得在计算B的主特征值1 p的过程中 得到加速。这种方法通常称为原点平移法。
若A的特征值满足
1 2
希望p
n，
且2，n能估计时，我们就能确定P的近似值。
2 n
2
使得应用幂法计算加速。
a21 an1 n (a11 a22 为A的特征多项式.
a12 a 22 an 2
a1n a2 n
a nn
ann ) n 1 (次级 n 2的项)
A的特征方程
( ) det( I A) 0 (1.1) 的根称为A的特征值. ( A)表示A的所有特征值的集合. 设为A的特征值, 相应的齐次方程组 ( I A )x 0 (1.2) 的非零解x称为A的对应于的特征向量.
x1 [1 -1 1]T , x2 [1 0 -1]T , x3 [1 2 1]T
定理1 设是矩阵A R nn的特征值, x是对应的非零特征 向量，则 (1) c是cA的特征值(常数c 0)； (2) p为A pI的特征值,即 (A pI)x ( p)x； (3) k 是A k的特征值,即 A k x k x； 1 1 1 1 (4) 设A非奇异，则 0且 为A 的特征值,即 A x x.
物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求矩阵 的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物的振动、 机械的振动、电磁震荡等)，结构屈曲，物理学中的某些临界 值的确定。它们都归结为下述数学问题。
定义1 已知A (aij ) nn , 则称
a 11 ( ) det( I A)
矩阵特征问题的计算方法
矩阵特征问题的计算方法首先，我们来定义特征值和特征向量。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X，使得下式成立：AX=λX其中，λ是一个实数常数，称为特征值；X是一个非零向量，称为特征向量。
也可以将上面的等式写成(A-λI)X=0，其中I是n阶单位矩阵。
接下来，我们介绍一些常用的计算特征值和特征向量的方法。
一、特征方程法特征方程法是最常用的求解特征值和特征向量的方法。
对于n阶方阵A，我们可以将特征方程写成：A-λI，=0其中，A-λI，表示A-λI的行列式。
解特征方程即可得到n个特征值λ1,λ2,...,λn。
对于每个特征值λi，我们可以代入(A-λiI)X=0，求解出对应的特征向量Xi。
二、幂法幂法是一种迭代计算特征值和特征向量的方法。
它的基本思想是，假设一个向量X0，然后通过迭代的方式不断计算Xk+1=AXk，直到收敛为止。
此时，Xk就是所求的特征向量，而特征值可以通过计算向量Xk与Xk+1的比值得到。
三、雅可比迭代法雅可比迭代法是一种用于计算对称矩阵特征值和特征向量的方法。
它的基本思想是，通过矩阵的相似变换将对称矩阵转化为对角矩阵。
雅可比迭代法的具体步骤如下：1.初始化一个对称矩阵A，令Q为单位矩阵。
2.找到A的非对角元素中绝对值最大的元素(a,b)。
3.计算旋转矩阵R，使得AR=RD，其中D为对角矩阵，D的对角线元素与A的特征值相等。
4.更新矩阵A=R^TAR，更新矩阵Q=Q×R，重复步骤2和3，直到达到收敛条件。
四、QR分解法QR分解法是一种计算特征值和特征向量的常用方法。
它的基本思想是，将矩阵A分解为QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。
然后，通过对R进行迭代得到对角矩阵D，D的对角线元素与A的特征值相等。
具体步骤如下：1.初始化一个矩阵A。
2.对A进行QR分解，得到矩阵Q和R。
3.计算新矩阵A=RQ，重复步骤2和3，直到达到收敛条件。
特征值和特征向量在实际应用中具有重要的意义。
矩阵特征值问题的数值计算
矩阵特征值问题的计算方法特征值问题：A V=λV¾直接计算：A的阶数较小,且特征值分离得较好 特征值：det(λI-A)=0,特征向量：(λI-A)V=0¾迭代法：幂法与反幂法¾变换法：雅可比方法与QR方法内容：一、 特征值的估计及其误差问题二、 幂法与反幂法三、 雅可比方法四、 QR方法一、 特征值的估计及其误差问题 （一）特征值的估计结论 1.1：n 阶矩阵()ij n n A a ×=的任何一个特征值必属于复平面上的n 个圆盘：1,||||,1,2,ni ii ij j j i D z z a a i n =≠⎧⎫⎪⎪=−≤=⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑"（10.1） 的并集。
结论1.2：若（10.1）中的m个圆盘形成一个连通区域D，且D与其余的n-m个圆盘不相连，则D中恰有A的m个特征值。
（二）特征值的误差问题结论1.3：对于n 阶矩阵()ij n n A a ×=，若存在n 阶非奇异矩阵H ，使得11(,,)n H AH diag λλ−=Λ="， （10.2）则11min ||||||||||||||i p p p i nH H A λλ−≤≤−≤∆ （10.3）其中λ是A A +∆的一个特征值，而(1,,)i i n λ="是A 的特征值，1,2,p =∞。
结论1.4：若n 阶矩阵A 是实对称的，则1min ||||||i p i nA λλ≤≤−≤∆。
（10.4）注：（10.4）表明，当A 是实对称时，由矩阵的微小误差所引起的特征值摄动也是微小的。
但是对于非对称矩阵而言，特别是对条件数很大的矩阵，情况未必如此。
二、 幂法与反幂法（一） 幂法：求实矩阵按模最大的特征值与特征向量假设n 阶实矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量,1,iV i n ="，则对于任意的0nX R ∈，有 01ni ii X a V ==∑，从而有01111112((/))n nk k k i i i i ii i nk k i i i i A X a A V a V a V a V λλλλ======+∑∑∑.若A 的特征值分布如下：123||||||||n λλλλ>≥≥≥"，则有01111()k kk A X a V λλ→∞⎯⎯⎯→为对应的特征向量须注意的是，若1||1λ<，则10kλ→，出现“下溢”，若1||1λ>，则1kλ→∞，出现“上溢”，为避免这些现象的发生，须对0kA X 进行规范化。
第五章矩阵特征值问题同步复习
第五章矩阵特征值问题同步复习第五章矩阵特征值问题一、内容提要§5.1 特征值与特征向量1．定义设A 为阶方阵，如果存在数n λ以及一个非零n 维列向量ξ，使得关系式λξξ=A 成立，则称λ为A 的一个特征值，非零向量ξ为A 的属于特征值λ的特征向量。
2．求特征值和特征向量的步骤：（1）计算特征多项式A I -λ；（2）求A 的特征方程A I -λ=0的全部根，它们就是A 的所有特征值；（3）对于A 的每一个特征值λ，求解齐次线性方程组()0=。
设它的一个-X A I λ基础解系为,,,,21r n -ξξξ （其中)(A I r r -=λ），则A 的属于λ的全部特征向量为,2211r n r n k k k --+++ξξξ其中是不全为零的任意数。
r n -21k k k ,,,3．性质● 方阵A 与其转置矩阵T A 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值；● )(21A tr n =+++λλλ , A n =λλλ 21；● 可逆矩阵A 与1-A 的特征值互为倒数；● 设λ是矩阵A 的特征值，)(x g 是一个多项式，则)(λg 是)(A g 的特征值；● 如果n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值，则A 有n 个线性无关的特征向量；● 设s λλλ,,,21 是矩阵A 的s 个互不相同的特征值，而i in i i ααα,,,21 是A 的分别对应于特征值i λ的线性无关的特征向量组，则向量组111211,,,n ααα ; 222221,,,n ααα ; ...; ssn s s ααα,,,21 线性无关.§5.2 矩阵的相似性1．定义设A ，都是阶方阵，如果阶可逆矩阵B n P ，使B AP P =-1，则称矩阵A 与相似，记为B B A ~。
如果P 为正交矩阵，则称A 与B 正交相似。
2．命题相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，相同的行列式和迹。
3．对角化的条件（1）充要条件：n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。
矩阵运算与特征值问题解答
矩阵运算与特征值问题解答矩阵运算与特征值是线性代数中的重要概念，被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍矩阵的基本运算法则，并详细解答特征值问题。
1. 矩阵的基本运算法则矩阵是由元素按照行和列排列而成的矩形阵列。
矩阵的基本运算包括矩阵的加法、减法、数乘和矩阵乘法。
1.1 矩阵的加法和减法设有两个相同大小的矩阵A和B，它们的和记作A + B，差记作A - B。
矩阵的加法和减法满足以下运算法则：•加法法则：若A、B、C是同阶矩阵，则(A + B) + C = A + (B + C)。
•减法法则：若A、B、C是同阶矩阵，则(A - B) - C = A - (B + C)。
•交换律：若A和B是同阶矩阵，则A + B = B + A，A - B ≠ B - A。
1.2 矩阵的数乘设有一个矩阵A，它的数乘记作kA，其中k是一个实数或复数。
矩阵的数乘满足以下运算法则：•结合律：若k和l是任意实数或复数，A是任意矩阵，则(kl)A = k(lA)。
•分配律：若k和l是任意实数或复数，A和B是任意矩阵，则(k + l)A = kA + lA。
•分配律：若k是任意实数或复数，A和B是任意矩阵，则k(A + B) = kA + kB。
1.3 矩阵的乘法设有两个矩阵A和B，它们的乘积记作AB。
两个矩阵的乘法满足以下运算法则：•结合律：若A、B、C是满足乘法要求的矩阵，则(AB)C = A(BC)。
•乘法分配律：若A、B和C是满足乘法要求的矩阵，则A(B + C) = AB + AC。
•乘法分配律：若A、B和C是满足乘法要求的矩阵，则(A + B)C = AC + BC。
•乘法不满足交换律：通常情况下，AB ≠ BA。
2. 特征值与特征向量对于一个n x n的矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得满足以下关系式：Ax = λx其中，λ是一个常数，则称λ为矩阵A的特征值，x为对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量对于矩阵的性质分析和计算具有重要意义。
线性代数中的矩阵特征值问题
线性代数中的矩阵特征值问题矩阵特征值是线性代数中一个重要的概念，广泛应用于科学、工程和经济等领域。
本文将介绍矩阵特征值的概念、性质以及求解方法。
一、特征值的概念与定义在线性代数中，矩阵特征值是一个复数或实数，描述了矩阵在向量空间中的变换特性。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ为常数，则称λ为矩阵A的一个特征值，v为对应的特征向量。
特征值与特征向量的定义表明，矩阵A通过特征向量v的伸缩变换只发生比例的改变，即A对向量v的作用就是将其拉伸或压缩，而不改变其方向，伸缩的比例即为特征值λ。
二、特征值的性质1. 矩阵的特征值个数等于其阶数(n)。
2. 特征值的和等于矩阵的迹(trace)。
3. 特征值的积等于矩阵的行列式(det)。
4. 矩阵与其转置矩阵的特征值相等。
5. 若A是可逆矩阵，则A的特征值存在且不为零。
三、特征值的求解方法求解矩阵的特征值是矩阵理论中的一个核心问题，下面介绍两种常用的求解方法。
1. 特征值的代数法求解对于n阶矩阵A，要求解其特征值，可以通过求解特征方程来实现。
特征方程的形式为|A-λI|=0，其中λ是特征值，I为单位矩阵。
将特征方程展开求解，得到一个关于λ的n次代数方程，称为特征方程。
通过求解特征方程，可以得到所有的特征值。
然后，可以通过代入每个特征值到特征方程中，求解特征向量。
2. 特征值的几何法求解特征值与特征向量的几何解释可以帮助我们更好地理解特征值问题。
对于n阶矩阵A，特征值λ和对应的特征向量v满足方程Av=λv。
这意味着矩阵A对特征向量v的作用相当于将v拉伸或压缩到λ倍。
因此，我们可以通过观察矩阵A对特征向量v的作用，来获得特征值λ的信息。
具体来说，特征值λ的绝对值表示特征向量v的伸缩程度，而特征值的正负号有助于判断变换的方向。
特征值的几何法求解可以通过直观观察特征向量的图形变换，进而推断特征值的性质。
四、应用举例矩阵特征值在实际问题中有着广泛的应用，下面通过一个简单的例子来说明。
矩阵分析与特征值问题
矩阵分析与特征值问题矩阵是线性代数中的重要概念之一，研究矩阵的性质和特征对于解决实际问题以及在科学研究中具有重要意义。
本文将围绕矩阵分析与特征值问题展开讨论。
一、矩阵的定义与基本运算矩阵是一个由m行和n列元素排列所构成的矩形数表，常用大写字母表示。
矩阵的元素可以是实数、复数或者其他数域中的元素。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = [a11, a12;a21, a22;a31, a32]在矩阵中，元素按照行和列的顺序进行编号，a_ij表示位于第i行第j列的元素。
矩阵的基本运算包括矩阵的加法、减法和数乘。
矩阵的加法和减法遵循相同的规则，即对应位置的元素相加或相减。
数乘则是将矩阵的每个元素乘以一个常数。
二、矩阵的转置与共轭矩阵的转置是将矩阵的行变为列，列变为行。
例如，对于矩阵A，其转置记为A^T，即矩阵A的第i行第j列的元素转置后变为第j行第i列的元素。
矩阵的共轭是指将矩阵中每个元素取其共轭复数。
对于实数矩阵而言，其共轭等于自身。
例如，对于复数矩阵A，其共轭记为A^*，即矩阵A的第i行第j列的元素共轭为第j行第i列的元素的共轭。
三、矩阵乘法与特征值问题矩阵乘法是矩阵运算中的重要操作之一。
两个矩阵的乘积是将第一个矩阵的行与第二个矩阵的列进行内积运算得到的。
例如，对于矩阵A和矩阵B的乘积C，其计算公式为：C = AB = [c11, c12, ..., c1n;c21, c22, ..., c2n;...cm1, cm2, ..., cmn]其中，c_ij表示矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的内积。
特征值问题是矩阵分析中的一个重要问题，它涉及到矩阵的特征值和特征向量。
对于矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax = λx，其中λ为实数，则称λ为A的一个特征值，x为对应的特征向量。
特征值问题的求解可以通过矩阵的特征多项式来实现。
首先，根据矩阵A的特征多项式P(λ) = |A - λI|，其中I为单位矩阵，求解方程P(λ) = 0，得到矩阵A的特征值。
求解矩阵特征值问题的算法研究
求解矩阵特征值问题的算法研究求解矩阵特征值问题是线性代数和数值计算中的重要问题。
特征值问题的一般形式为Ax = λx，其中A是一个矩阵，x是一个非零向量，λ是一个标量。
求解特征值问题即寻找矩阵A 的特征值λ和对应的特征向量x。
以下是一些常用的求解矩阵特征值问题的算法：1. 幂迭代法：幂迭代法是求解特征值问题的一种迭代方法。
该方法的基本思想是选择一个随机的初始向量x0，通过迭代计算xk+1 = Axk / ||Axk||，其中||.||表示向量的2-范数。
随着迭代的进行，x收敛到矩阵A的主特征向量，而λ则收敛到对应的主特征值。
2. QR迭代法：QR迭代法是求解特征值问题的一种迭代方法。
该方法首先通过QR分解将矩阵A分解为Q和R的乘积，其中Q是一个正交矩阵，R是一个上三角矩阵。
然后，将分解后的矩阵重新相乘得到新的矩阵A'，迭代此过程直到A'的对角线元素收敛到矩阵的特征值。
3. 特征向量分解法：特征向量分解法是求解特征值问题的一种直接方法。
该方法通过对矩阵A 进行特征向量分解得到矩阵V和对角矩阵Λ，其中V的列向量是A的特征向量，Λ的对角线元素是A的特征值。
特征向量分解法在理论上可以得到A的所有特征值和特征向量，但实际计算中对大型矩阵会较为困难。
4. Davidson方法：Davidson方法是求解特征值问题的一种迭代方法。
该方法采用子空间迭代的方式逐步构建特征子空间，并寻找特征值和对应的特征向量。
Davidson方法可以有效地处理大型矩阵，特别适合于求解特征值问题中的一部分特征对。
这些算法都有各自的优点和适用范围，研究者可根据具体问题选择合适的算法进行求解。
矩阵特征值问题的计算方法
det( I A) 0
称之为矩阵A的特征方程，所以特征值也称为特征根。 注2 特征向量不唯一，若x是特征向量，则对任意非零 实数k, kx也是特征向量。但特征值是唯一的。 注3 若为A的一个特征值，相应的特征向量为x，则1/ 为A-1的对应于特征向量x的特征值。
§5.3 幂迭代法和反幂迭代法
| i / 1 | < 1
Av
(k )
作迭代
显然, v Av
(k ) k 1 ( k 1 )
v ( k ) Av ( k 1) , k 1,2
Av
2 1 2 ( k 2 )
A v
k k 2
Ax
k 1 1 (k ) 1
1
(0)
λ λ λ [α x α ( ) x α ( ) x ] λ λ
1
数值分析
1 > 1 … n n 1 1
A的模最小的特征根
(0) 反幂法的迭代格式： v 0 作迭代 k 1,2, z A v , Az ( k ) v ( k 1) , m max( z ), 避免求逆 m ( k ) max( z ( k ) ), z z(k ) v , v(k ) (k ) , m
数值分析
一、 幂法--计算按模最大的特征值及其对应的特征向量
条件：A 有特征根 |1| > |2| … |n| 0， 对应n个线性无关的特征向量 x1 , x2 ,... , xn 思路：从 v ( 0 ) 0 出发，v ( 0) i xi ,
i 1 n
1 0.
xi v ( k ) i 对应的特征向量 。 max( xi )
第四章-矩阵的特征值与特征向量问题讲解
Ax 2 x
1 2 x 0,
则x 0, 与定义矛盾.
12
注记
4. 若λ是矩阵A的r重特征值，对应λ有s个线性 无关的特征向量，则1≤s≤r； 若A为实对称矩阵，则对应特征值λ 恰有r 个线性无 关的特征向量。
5. 实对称矩阵的特征值是实数，属于不同特 征值的特征向量正交。
13
注记
6. 设 n阶方阵 A aij 的特征值为1, 2 ,, n ,记：
定义：设A是n阶方阵, 是一复数，如果方程 Ax x
存在非零解向量,则称 为方阵A的特征值, 相应的非零解向量x 称为与特征值 对应的特征向量, 此特征值与特征向量x称为一特征对, P（A ）＝det(I A)称为矩阵A的特征多项式。
4
注记
1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而 言的. 2. n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组
0.2 0.3 0.1 4
G1 = {z：|z – 1| 0.6}；G2 = {z：|z – 3| 0.8}； G3 = {z：|z + 1| 1.8}；G4 = {z：|z + 4| 0.6}。
G4
G1
G2
G3
注：定理推断A的n个特征值全落在n个盖氏圆
上，但未说明每个圆盘内都有一个特征值。
20
对应的特征值1，2，…，n，满足
|1| > |2| … |n|
(4.1.1)
26
1.基本思想
因为{v1，v2，…，vn}为Cn的一组基，故：
任给x(0) 0，
n
x (0) aivi
所以有:
i 1
n
n
Ak x(0) Ak ( aivi ) ai Akvi
矩阵的特征值问题
{( xi , yi ), i 1, 2, , m}
A 有 n 个线性无关的
特征向量
x1 , x2
xn
, 使得
Axi xi
且假设相应的特征值满足条件
(i 1 , 2,
n)
（8.1）
|1 | |2 |
|n |
第八章 矩阵的特征值问题
8.1 幂法和反幂法 8.2 对称矩阵的雅可比方法
8.3 QR方法
8.4 求实对称三对角阵特征值的二分法
引言
矩阵特征值问题是数值代数的一个重要研究课题. 在自然科学和工程设计中 的许多问题, 如电磁振荡、桥梁或建筑物的振动、机械振动、飞机机翼的振 动等, 均可归结为矩阵的特征值问题.
矩阵特征值问题的计算方法本质上都是迭代法.
引言
矩阵特征值问题按照所求特征值个数的不同可分为部分特征值问题和 全部特征值问题. 针对所求特征值个数的不同，分别给出有效的求解方法. （1）部分特征值的求解：幂法和反幂法. 特点：利用矩阵产生迭代向量， 而不破坏原始矩阵. （2）全部特征值的求解：雅可比方法、QR方法和求解三对角矩阵的二 分法. 特点：对矩阵逐次进行特殊的相似变换，从而破坏了原始矩阵.
(vk )i 1 ( x1 )i (εk )i 1 1 (vk 1 )i 1 ( x1 )i (εk 1 )i
(k )
(8.8)
这说明两相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征值 1 .
(v k )i 1 的收敛速度由比值 此外， ( v k 1 ) i
r | 2 1 |
=(1 , 2 ,
n ) T ,
用 max 表示向量
矩阵分析与特征值问题的求解方法
矩阵分析与特征值问题的求解方法矩阵分析与特征值问题是线性代数中的核心内容，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
本文将介绍矩阵分析的基本概念，并探讨特征值问题的求解方法。
一、矩阵分析的基本概念矩阵是由一些数按矩阵的形式排列而成的数表。
在矩阵分析中，我们常将矩阵表示为一个大写字母，如A、B等。
一个矩阵由行和列组成，行数和列数分别称为矩阵的维度。
例如，一个3×3的矩阵表示为：A = 【a11 a12 a13】【a21 a22 a23】【a31 a32 a33】特征值是矩阵分析中一个重要的概念，它描述了矩阵变换的特征。
对于一个n×n的矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ是一个标量，则称λ为矩阵A的特征值，v称为特征值对应的特征向量。
二、特征值问题的求解方法特征值问题是求解矩阵特征值和特征向量的问题。
它在许多实际应用中具有重要意义。
下面将介绍两种常见的特征值问题的求解方法。
1. 特征值问题的数值解法数值解法是通过数值计算的方法求解特征值问题。
其中，最常用的是幂法（Power Method）和QR方法。
幂法是一种简单而有效的数值解法，它通过多次迭代来逼近特征值和特征向量。
QR方法则通过正交变换将矩阵转化为上三角形矩阵，从而求解特征值和特征向量。
2. 特征值问题的解析解法解析解法是通过数学分析的方法求解特征值问题。
对于一些特殊的矩阵，我们可以利用特征方程求解特征值和特征向量。
特征方程的形式为|A-λI|=0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。
通过求解特征方程得到特征值λ，再将λ代入A-λI得到特征向量。
三、矩阵分析与特征值问题的应用举例矩阵分析与特征值问题在实际应用中具有广泛的应用价值。
以下是两个常见的应用举例。
1. 主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）主成分分析是一种常用的数据降维技术。
它通过计算协方差矩阵的特征值和特征向量，找出数据中最重要的成分，从而实现数据的降维和信息提取。
数值分析——矩阵特征值问题计算
17
vk 1k a1x1
即为矩阵 A 的对应特征值 1 的近似特征向量。
且
vk 1 Avk 1k 1a1x1 1vk
用 (vk)i 表示 vk 的第 i 个分量,则当k充分大时,有
vk1 i
vk
i
1
即为主特征值的近似值。
18
定理 设 A Rnn 有 n 个线性无关的特征向量，
主特征值 1 满足
a11k x1 a2k2 x2 ankn xn
1k
a1
x1
a2
2 1
k
x2
an
n 1k Fra bibliotek xn 1k a1x1 k
16
其中
k
a2
2 1
k
x2
an
n 1
k
xn
由假设条件 从而
j 1
1 j 2, ,n, 所以
lim
k
vk
1k
a1x1
lim
k
k
0
所以当k充分大时，有
vk 1k a1x1
9
0.5, 1, 0.8611
3 5.7222, 11.4444, 8.361 4 5.4621, 10.9223, 8.2306 5 5.5075, 11.0142, 8.2576
11.4444 10.9223 11.0142
0.5, 1, 0.7360 0.5, 1, 0.7536 0.5, 1, 0.7494
n
( Ax, x) (x, x)
1
（2）
n
min x0
( Ax, x) (x, x)
（3）
1
max x0
( Ax, x) (x, x)
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a1x1
a2
2 1
k
x2
an
n 1
k
xn
max
a1x1
a2
2 1
k
x2
an
n 1
k
xn
x1 (k ) max( x1 )
max(
vk( Ak1
v
0
)
1 max a1x1
a2
2 1
k x2
an
n 1
k
xn
max
a1x1
a2
(2.1)
现在讨论求1及x1的基本方法.
第7页/共29页
v0 a1x1 a2x2 anxn , (设a1 0) v1 Av 0 a11x1 a2 2x2 annxn ,
vk
Av k1
k1 a1x1
a2
2 1
k
x2
an
n 1
k
xn .
当k很大时，vk 1k a1 x1 (vk 1 1vk , Avk 1vk )，
(1) A的特征值均为实数； (2) A有n个线性无关的特征向量；
第5页/共29页
(3) 存在正交矩阵P使得
1
P1AP
2
，
n
且i (i 1, 2, , n)为A的特征值,而P (u1,u2 ,
向量u j为对应于j的特征向量.
,un )的列
对称正定矩阵——特征值均大于零
第6页/共29页
7.2 幂法及反幂法
(4) 设A非奇异，则 0且 1 为A1的特征值,即 A1x 1 x.
第4页/共29页
定理2 若i (i 1, , n)是矩阵A的特征值, 则
n
n
(1) i aii tr(A),
i 1 i 1
(2) det(A) 1 n.
定理3 设A Rnn , 则
(AT ) (A).
定理4(对称矩阵的正交约化) 设A Rnn为对称矩阵,则
一、幂法 幂法是一种求实矩阵A的按模最大的特征值λ1及其对应的特 征向量x1的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。
基本思想 设A (aij )nn Rnn有一个完全特征向量组, 其特征值
为1, 2, , n , 对应的特征向量为x1, x2, , xn.
已知A的主特征值是实根，且满足
1 2 n ,
(k
1,2,
)
uk vk / k .
则
lim
k
uk
x1 , max(x1 )
lim
k
k
1.
第10页/共29页
(2.9)
事 实 上 ，对于任给 非 零 向 量u 0
v
，
0
v1 Au 0 Av 0 ,
u1
v1 max( v1 )
Av 0 max( Av 0 )
,
v2
Au1
A2v0 , max( Av 0 )
第1页/共29页
7.1 引言 物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求矩阵 的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物的振动、 机械的振动、电磁震荡等)，结构屈曲，物理学中的某些临界 值的确定。它们都归结为下述数学问题。
定义1 已知A (aij )nn , 则称
a 11 a12
a1n
设为A的特征值, 相应的齐次方程组
(I A)x 0
(1.2)
的非零解x称为A的对应于的特征向量.
2 1 0 例如 求A 1 3 1的特征值及其特征向量.
0 1 2
() 3 7 2 14 8 0
1 1, 2 2, 3 4
第3页/共29页
(1I A) x1 0 (2I A) x2 0 (3I A) x3 0
2 1
k 1
x2
an
n 1
k 1
xn
1 (k )
第12页/共29页
例8-1 用 幂法求
1 1 0.5
A
1
1 0.25
0.5 0.25 2
的按模最大特征值及其特征向量.
v0 u0 [1 1 1]T v1 Au0 [2.5 2.25 2.75]T
即 (vk1)i (vk )i
1
(或1
1 n
n
(vk1) j
j 1 (vk ) j
).
这种由已知非零向量v0及矩阵A的乘幂Ak构造向量序列
vk 以计算A的主特征值1及相应特征向量的方法称为幂法。
收敛速度由比值r 2 来确定，r越小收敛速度越快，但当 1
r 2 1时收敛可能就很慢。
1
第9页/共29页
x1 [1 -1 1]T , x2 [1 0 -1]T , x3 [1 2 1]T
定理1 设是矩阵A Rnn的特征值, x是对应的非零特征
向量，则
(1) c是cA的特征值(常数c 0)；
(2) p为A pI的特征值,即 (A pI)x ( p)x；
(3) k是Ak的特征值,即 Akx kx；
() det(I A) a21 a 22
a2n
an1
an2
a nn
n (a11 a22 ann ) n1 (次级 n 2的项)
为A的特征多项式.
第2页/共29页
A的特征方程
() det(I A) 0
(1.1)
的根称为A的特征值. (A)表示A的所有特征值的集合.
为了避免“溢出”，做改进. 记 max(v)为向量v的绝对
值最大的分量，规范化得 u v (v 0). 就有 max(v)
定理 设A Rnn有n个线性无关的特征向量, 其特征值
1 2 n ,
对任何非零初始向量v0 (a1 0)，计算
u0 v0 ,
vk
k
Auk1, max(vk ),
k
u1 k
u2 k
u3 k
MU + KU 0 U u1 u2 u3 T
m
1
M
m
m
1
m
1
2 1 0 K k 1 2 1
0 1 2
设 k/m=1，求固有频率的特征方程
1
2 1 0
1
2
1
2
1 0
1 0 1 2
2 1 0 A 1 2 1
0 1 2
特征值与特征向量
,
u2
v2 max( v 2 )
A2v0 max( A 2 v0 )
,
vk
Ak v0 max( A k1
v
0
)
,
uk
vk max( v k )
Ak v0 max( A k v0 )
Ak v0
1k
a1x1
a
2
2 1
k x2
an
n 1
k
x
n
,
第11页/共29页
uk
Ak v0 max( Ak v0 )
lim
k
vk
1k
a1 x1.
这说明序列 vk
1k
越来越接近A的对应于1的特征向量，
当k从分大时
vk 1k a1 x1 即vk是1的特征向量的近似向量.
第8页/共29页
主特征值1的计算，用(vk )i 表示vk的第i个分量，
则
lim (vk1)i k (vk )i
1，
也就是说两相邻迭代分量的比值收敛到主特征值。