多项式的加减乘

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多项式运算掌握多项式的加减乘除运算技巧

多项式运算掌握多项式的加减乘除运算技巧

多项式运算掌握多项式的加减乘除运算技巧多项式是数学中重要的基础概念之一,它在代数运算中起着核心作用。

掌握多项式的加减乘除运算技巧是我们学习代数的基础,本文将介绍多项式的各种运算技巧。

一、多项式的加法运算多项式的加法运算是非常简单的,只需要把对应项的系数相加即可。

例如,给定两个多项式:P(x) = 3x^3 + 2x^2 + 5x - 4Q(x) = 2x^3 + 4x^2 + 2x + 1我们只需要对应地将各项的系数相加,得到它们的和:P(x) + Q(x) = (3+2)x^3 + (2+4)x^2 + (5+2)x + (-4+1)= 5x^3 + 6x^2 + 7x - 3二、多项式的减法运算多项式的减法运算与加法运算类似,只需要将对应项的系数相减即可。

例如,给定两个多项式:R(x) = 4x^3 + 2x^2 + 3x + 5S(x) = 2x^3 - x^2 + x - 2我们只需要用R(x)的系数减去S(x)的系数,得到它们的差:R(x) - S(x) = (4-2)x^3 + (2-(-1))x^2 + (3-1)x + (5-(-2))= 2x^3 + 3x^2 + 4x + 7三、多项式的乘法运算多项式的乘法运算相对复杂一些,需要将多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,并将结果相加合并同类项。

例如,给定两个多项式:A(x) = x^2 + 2x + 3B(x) = x + 1我们可以按照如下步骤进行乘法运算:A(x) * B(x) = (x^2 * x) + (x^2 * 1) + (2x * x) + (2x * 1) + (3 * x) + (3 * 1)= x^3 + x^2 + 2x^2 + 2x + 3x + 3= x^3 + 3x^2 + 5x + 3四、多项式的除法运算多项式的除法运算需要利用长除法的方法,将被除式逐步除以除式,得到商和余数。

例如,给定两个多项式:C(x) = 2x^3 - x^2 + 3x + 4D(x) = x - 1我们可以进行如下的除法运算:2x^2 + x + 4___________________x - 1 | 2x^3 - x^2 + 3x + 4- (2x^3 - 2x^2)-----------------x^2 + 3x- (x^2 - x)---------------4x + 4- (4x - 4)------------8因此,C(x) 除以 D(x) 的商为 2x^2 + x + 4,余数为 8。

多项式的加减乘除试题

多项式的加减乘除试题

多项式的加减乘除试题在数学中,多项式是一个常见的概念。

它是由一系列由常数和变量的乘积构成的表达式。

多项式的加减乘除是我们在学习多项式的过程中必须掌握的基本运算。

本文将给出一些多项式的加减乘除试题,帮助读者加深对多项式运算的理解。

1. 加法试题题目1:计算多项式的和 3x^2 - 2x + 5 和 -4x^2 + 7x -1。

解题过程:将同类项相加,得到:(3x^2 + (-4x^2)) + (-2x + 7x) + (5 + (-1))。

化简得:-x^2 + 5x + 4。

题目2:计算多项式的和 2x^3 + 4x^2 - 6x + 3 和 -x^3 + 2x^2 + 5x - 2。

解题过程:将同类项相加,得到:(2x^3 + (-x^3)) + (4x^2 + 2x^2) + (-6x + 5x) + (3 + (-2))。

化简得:x^3 + 6x^2 - x + 1。

2. 减法试题题目1:计算多项式的差 5x^2 - 3x + 2 与 -2x^2 + 4x - 1。

解题过程:将同类项相减,得到:(5x^2 - (-2x^2)) + (-3x - 4x) + (2 - (-1))。

化简得:7x^2 - 7x + 3。

题目2:计算多项式的差 4x^3 + 2x^2 - 5x + 1 与 -x^3 + 3x^2 + 4x - 2。

解题过程:将同类项相减,得到:(4x^3 - (-x^3)) + (2x^2 - 3x^2) + (-5x - 4x) + (1 - (-2))。

化简得:5x^3 - x^2 - 9x + 3。

3. 乘法试题题目1:计算多项式的乘积 (3x - 2)(2x + 5)。

解题过程:使用分配律展开,得到:3x * 2x + 3x * 5 + (-2) * 2x + (-2) * 5。

化简得:6x^2 + 15x - 4x - 10。

化简得:6x^2 + 11x - 10。

题目2:计算多项式的乘积 (2x^2 - 3)(x^3 + 4x + 2)。

解析多项式定义

解析多项式定义

解析多项式定义多项式是指由一系列常数和变量的乘积所构成的代数表达式。

通常用字母表示变量,如x、y等,用数字表示常数项,如1、2、3等。

多项式的一般形式为:f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+a0其中f(x)为多项式函数,an、an-1、…、a2、a1和a0为常数项,x 为变量,n为多项式的最高次数。

多项式的分类多项式可以按照变量的个数和常数项的情况进行分类。

1. 单项式单项式指只包含一个项,如3x、4y^2等。

单项式的最高次数即为它所包含变量的次数。

2. 多项式多项式指包含多个项的表达式,如2x+3、x^2+2x-1等。

多项式的最高次数即为其中包含最高次数的项的次数。

3. 齐次多项式齐次多项式指所有包含变量的项的次数都相等的多项式,如3x^2+4xy-2y^2就是一个二次齐次多项式。

齐次多项式的次数即为其中包含变量的项的次数。

4. 非齐次多项式非齐次多项式指所有包含变量的项的次数不相等的多项式,如2x+3、x^2+2x-1等。

多项式的运算多项式的运算包括加减乘除等。

1. 加减运算多项式的加减运算都是将同类项相加减。

例如:(2x^3+3x^2+4x+5)+(3x^3+2x^2-3)=5x^3+5x^2+4x+2 (2x^3+3x^2+4x+5)-(3x^3+2x^2-3)=-x^3+x^2+4x+8 2. 乘法运算多项式的乘法运算可以通过分配律和乘法原理进行计算。

例如:(2x+3)(x-4)=2x^2-5x-12(3x^2+2x-1)(2x+3)=6x^3+13x^2+4x-33. 除法运算多项式的除法运算可以通过长除法法进行计算。

例如:(2x^3+3x^2+4x+5)/(x+2)=2x^2-x+2多项式的应用多项式在数学、物理、经济、化学等领域广泛应用。

1. 在数学中多项式的理论及其应用都是数学的重要分支之一。

多项式可以用于逼近函数、优化运算等领域。

2. 在物理中多项式可以用于描述运动学函数、牛顿运动定律、电动势与电磁感应等物理学问题。

多项式的加减与乘法运算法则

多项式的加减与乘法运算法则

多项式的加减与乘法运算法则多项式是代数学中的重要概念,它由一系列的项组成,每个项包含一个系数和一个指数。

多项式的运算中,加法、减法和乘法是最基本的操作。

本文将详细介绍多项式的加减与乘法运算法则,帮助读者理解和掌握这些运算规则。

一、多项式的加法运算法则多项式的加法运算法则是将相同次幂的项的系数相加,并保留相同次幂的项。

例如,对于两个多项式P(x)和Q(x),其加法运算法则可以表示为:P(x) + Q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x^2 + ...其中,a0、a1、a2...为P(x)的系数,b0、b1、b2...为Q(x)的系数。

二、多项式的减法运算法则多项式的减法运算法则是将相同次幂的项的系数相减,并保留相同次幂的项。

例如,对于两个多项式P(x)和Q(x),其减法运算法则可以表示为:P(x) - Q(x) = (a0 - b0) + (a1 - b1)x + (a2 - b2)x^2 + ...其中,a0、a1、a2...为P(x)的系数,b0、b1、b2...为Q(x)的系数。

三、多项式的乘法运算法则幂的项合并。

例如,对于两个多项式P(x)和Q(x),其乘法运算法则可以表示为:P(x) * Q(x) = (a0 * b0) + (a0 * b1)x + (a0 * b2)x^2 + ... + (a1 * b0)x + (a1 * b1)x^2 + ...其中,a0、a1、a2...为P(x)的系数,b0、b1、b2...为Q(x)的系数。

需要特别注意的是,为了满足乘法运算法则,乘法结果中同次幂的项可能需要合并。

也就是说,如果两个多项式的同次幂的项相乘后得到的结果中存在相同次幂的项,需要将其系数相加并合并为一个项。

四、多项式的加减乘运算综合例题为了更好地理解多项式的加减与乘法运算法则,以下列举了一些例题:例题1:计算多项式 P(x) = 2x^3 + x^2 - 3x + 5 和 Q(x) = 3x^2 - x + 2 的和。

多项式的加减乘除运算

多项式的加减乘除运算

多项式的加减乘除运算多项式是数学中常见的代数表达式形式,由多个项组成。

每个项由系数和指数两部分组成,例如3x^2和5y表示两个多项式的项。

多项式的加减乘除运算是数学中重要的概念,本文将详细介绍多项式的加减乘除运算规则及相应的例子。

一、多项式的加法运算多项式的加法运算是将两个多项式按照相同指数的项进行合并。

在进行加法运算时,只需将对应指数的项的系数相加即可,而不同指数的项则需要保留原样。

例如,考虑以下两个多项式:P(x) = 3x^2 + 2x + 5Q(x) = 4x^2 - x + 3将两个多项式进行加法运算时,我们将对应指数的项的系数相加,不同指数的项保留原样。

按照这个规则,我们可以将上述两个多项式相加得到:P(x) + Q(x) = (3x^2 + 4x^2) + (2x - x) + (5 + 3)= 7x^2 + x + 8因此,P(x) + Q(x) = 7x^2 + x + 8。

二、多项式的减法运算多项式的减法运算是将两个多项式按照相同指数的项进行合并,并将减数的项的系数取负。

也就是说,我们将第二个多项式的各项的系数取相反数,然后按照相同指数的项进行合并。

考虑以下两个多项式:P(x) = 3x^2 + 2x + 5Q(x) = 4x^2 - x + 3我们将P(x) - Q(x)展开运算:P(x) - Q(x) = (3x^2 - 4x^2) + (2x + x) + (5 - 3)= -x^2 + 3x + 2所以, P(x) - Q(x) = -x^2 + 3x + 2。

三、多项式的乘法运算多项式的乘法运算是将两个多项式的各项进行配对相乘,并将同指数的各项相加。

例如,考虑以下两个多项式:P(x) = 3x^2 + 2x + 5Q(x) = 4x - 1我们将P(x) * Q(x)展开运算:P(x) * Q(x) = (3x^2 * 4x) + (3x^2 * -1) + (2x * 4x) + (2x * -1) + (5 * 4x) + (5 * -1)= 12x^3 - 3x^2 + 8x^2 - 2x + 20x - 5= 12x^3 + 5x^2 + 18x - 5所以,P(x) * Q(x) = 12x^3 + 5x^2 + 18x - 5。

多项式的加减乘除四则运算

多项式的加减乘除四则运算

多項式的加減乘除四則運算班級:座號:姓名:
五、多項式的除法運算
四、十字交乘法(三項式) 班級:座號:姓名:
2
2. x2項的係數「不是1」的十字交乘法
二、完全平方數:背1~20的平方
三、平方根的定義
四、利用方格紙畫圖,作出面積是2 平方單位、5 平方單位、18平方單位的正方形-----介紹無理數
五、非完全平方數的平方根:根號引入的必須
六、利用方格紙畫圖,作出1、2、3、4、5、……. 、n
七、正數、零、負數的平方根
(一)正數:
(二)零:
(三)負數:
八、利用標準分解式計算平方根
九、十分逼近法:求無理數的近似值
十、電算器求平方根
一元二次方程式班級:座號:姓名:
5. a x2+bx+c=0,a和b 和c是常數(、十字交乘法)
6. 綜合題
7. 應用問題。

多项式的加减与乘法

多项式的加减与乘法

多项式的加减与乘法多项式是基础的代数表达式之一,在代数学中有很重要的地位。

它可以用来描述数学问题,并且在实际应用中也有广泛的运用。

本文将介绍多项式的加减与乘法,帮助读者更好地理解和应用多项式。

一、多项式的基本概念多项式由项构成,每一项由系数和指数组成,一般形式为:$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$。

其中,$a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$为实数系数,$x$为变量,$n$为非负整数指数。

例如,$2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$就是一个多项式,其中的各项分别为$2x^3, -3x^2, 4x, -1$。

二、多项式的加法多项式的加法是指将两个或多个多项式进行相加的操作。

加法的规则是将对应项的系数相加,保持指数不变。

例如,考虑多项式$3x^2 + 2x - 1$和$4x^2 - x + 2$,它们的和为$7x^2 + x + 1$。

这里,对应项的系数分别是$3, 2, -1$和$4, -1, 2$,相加后得到$7, 1, 1$。

三、多项式的减法多项式的减法是指将一个多项式减去另一个多项式的操作。

减法的规则是将被减多项式的各项与减数多项式的相应项进行相减,保持指数不变。

例如,考虑多项式$5x^3 - 2x^2 + x$和$2x^3 + 3x^2 - 2x$,它们的差为$3x^3 - 5x^2 + 3x$。

这里,对应项的系数分别是$5, -2, 1$和$2, 3, -2$,相减后得到$3, -5, 3$。

四、多项式的乘法多项式的乘法是指将两个或多个多项式进行相乘的操作。

乘法的规则是将一个多项式中的每一项与另一个多项式的所有项相乘,再将所得的各项进行整合和合并。

例如,考虑多项式$(2x^2 + 3x - 1)(x + 1)$,这里采用分配律展开乘法,依次与被乘多项式的每一项相乘,然后将结果合并得到最终结果。

展开后可得$2x^3 + 5x^2 + 2x - 1$。

人教版数学七年级上册(教案):2.1.2多项式

人教版数学七年级上册(教案):2.1.2多项式
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与多项式相关的实际问题,如计算不同商品的总价。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何用多项式解决实际问题。
3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
(四)学生小组讨论(用时10分钟)
(二)新课讲授(用时10分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解多项式的基本概念。多项式是由若干个单项式相加或相减而成的表达式。它在数学中具有广泛的应用,如解决实际问题、进行代数运算等。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例。这个案例展示了多项式在解决购物问题时如何帮助我们计算总价。
3.重点难点解析:在讲授过程中,我会特别强调多项式的项、次数以及合并同类项这两个重点。对于难点部分,我会通过具体例题和对比分析来帮助大家理解。
1.讨论主题:学生将围绕“多项式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-多项式的定义及其组成要素:使学生理解多项式的概念,掌握多项式的项、次数等基本要素,为后续学习打下基础。
-多项式的加减运算:培养学生掌握合并同类项的法则,熟练进行多项式的加减运算。
-多项式乘单项式的计算法则:使学生掌握多项式乘法的基本法则,能正确进行计算。
-实际问题的解决:通过实例分析,让学生学会将实际问题转化为多项式运算问题,并运用所学知识解决。

多项式的加减与乘法

多项式的加减与乘法

多项式的加减与乘法在代数学中,多项式是由常数和变量的乘积相加而得到的代数表达式。

多项式的加减与乘法是代数学的基础操作之一,理解和掌握多项式的加减与乘法运算是学习代数的重要一步。

本文将详细介绍多项式的加减与乘法,并且给出相应的示例。

1. 多项式的加法多项式的加法是将相同次数的项合并,常数项和相同次数的变量系数相加即可。

下面是一个示例:多项式A: 2x^3 + 4x^2 + 5x + 3多项式B: 3x^3 + 2x^2 + x + 7将相同次数的项合并,得到多项式A和B的和:2x^3 + 4x^2 + 5x + 3+ 3x^3 + 2x^2 + x + 7-----------------------5x^3 + 6x^2 + 6x + 10因此,多项式A和B的和为:5x^3 + 6x^2 + 6x + 10。

2. 多项式的减法多项式的减法是将减数取相反数,再按照多项式的加法规则进行操作。

下面是一个示例:多项式A: 2x^3 + 4x^2 + 5x + 3多项式B: 3x^3 + 2x^2 + x + 7将多项式B的每个项取相反数,得到减数的相反数:-3x^3 - 2x^2 - x - 7接下来,按照多项式的加法规则,将多项式A与减数的相反数相加:2x^3 + 4x^2 + 5x + 3+ (-3x^3) + (-2x^2) + (-x) + (-7)--------------------------------x^3 + 2x^2 + 4x - 4因此,多项式A减去多项式B的等于:-x^3 + 2x^2 + 4x - 4。

3. 多项式的乘法多项式的乘法是将每个项都与另一个多项式的每个项相乘,并将结果合并。

下面是一个示例:多项式A: 2x^3 + 4x^2多项式B: 3x^2 + 2x + 7将多项式B的每一项与多项式A的每一项相乘,并将结果合并:(2x^3 * 3x^2) + (2x^3 * 2x) + (2x^3 * 7) +(4x^2 * 3x^2) + (4x^2 * 2x) + (4x^2 * 7)化简上述乘法表达式得到:6x^5 + 4x^4 + 14x^3 + 12x^3 + 8x^2 + 28x^2将同类项合并,得到多项式A与多项式B的乘积:6x^5 + 4x^4 + 26x^3 + 36x^2因此,多项式A与多项式B的乘积为:6x^5 + 4x^4 + 26x^3 +36x^2。

多项式:多项式的加减

多项式:多项式的加减

多项式:多项式的加减多项式,作为代数学中的重要概念,是数学运算中常见的形式之一。

而多项式的加减运算则是我们在代数学中常常需要处理的一种运算方式。

本文将详细介绍多项式的加减运算规则,并通过例子来帮助读者更好地理解。

1. 多项式的定义在代数学中,多项式是由变量与常数以及加减乘幂运算符号所构成的数学表达式。

它的一般形式可以表示为:P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x + a₀其中,aₙ、aₙ₋₁...a₀是常数系数,x是变量,ⁿ是非负整数。

2. 多项式的加法多项式的加法是将两个或多个多项式相加得到一个更简化的多项式。

加法的规则很简单,即按照同类项相加的原则进行操作,即对应位上的系数相加。

例如:P(x) = 2x² + 3x + 1Q(x) = 4x² - 2x + 5R(x) = P(x) + Q(x) = (2x² + 3x + 1) + (4x² - 2x + 5) = 6x² + x + 6在加法运算中,我们只需将相同次数的项进行系数相加即可。

3. 多项式的减法多项式的减法是将一个多项式减去另一个多项式,并得到一个更简化的多项式。

减法的规则与加法类似,也是按照同类项相减的原则进行操作,即对应位上的系数相减。

例如:P(x) = 5x² + 2x - 3Q(x) = 3x² - 4x + 1R(x) = P(x) - Q(x) = (5x² + 2x - 3) - (3x² - 4x + 1) = 2x² + 6x - 4在减法运算中,我们只需将相同次数的项进行系数相减即可。

4. 多项式的加减混合运算在实际问题中,我们经常会遇到多项式的加减混合运算。

在进行混合运算时,我们可以先进行加法或减法的步骤,然后再根据需要进行进一步的运算。

例如:P(x) = 3x³ + 2x² + x - 4Q(x) = 2x³ + x² + 3x + 1R(x) = S(x) - (P(x) + Q(x))= (5x³ + 3x² + 4x + 2) - (3x³ + 2x² + x - 4) - (2x³ + x² + 3x + 1)= 0在这个例子中,我们先将P(x)与Q(x)相加,然后再将S(x)减去相加后的结果。

多项式与其加减运算

多项式与其加减运算

x (A). 1322+-x 。

(B). 53+x 。

(C). 12-x 。

(D). 0。

(E).23-+x 。

(F). 12--x 。

(G). 02=+x 。

2 下列何者为二次多项式?_______(A). 32)(-=x x f 。

(B). 1231)(3-+-=x x x f 。

(C). 3)(=x f 。

(D). 0)(=x f 。

(E). 25)(x x f -=。

3 5231)(3+--=x x x f 为几次多项式?又各项系数为何?国(三)1-74 多项式532425-+-x x x 为______次多项式,共有______项,2x 项系数为______,3x 项系数为______,又常数项为______。

5 多项式)5()3()2(2+-++-c x b x a 为x 的零多项式,求c b a ,,?6 设5722)(2323-+++-=x ax x x ax x f 为二次多项式,则2x 项系数为何?7 合并同类项,化简64332-+-+-x x x x 。

8 化简=+++--)73()321(22x x x x ?9 化简=+--++)765()432(22x x x x ?10 化简=---+-+-+)12()724()843(222x x x x x x ?(结果以升幂排列)11 化简=+--+----)532()624(2)832(232x x x x x x ?(结果以降序排列)国(三)1-812 设)(x f 为一多项式,)(x f 减去多项式18932-+-x x 的差为1211102++x x ,则=)(x f ?13 下图是用面积为2x 、x 、1的纸板拼成的长方形,请用x 的多项式表示此长方形的面积。

2~1 习作1 _______若多项式c bx ax ++2为一次多项式,则可断言(A)0≠a (B)0=b (C)0=a ,0=b(D)0=a ,0≠b 。

多项式的四则运算

多项式的四则运算

摘要在算法程序的设计与编写过程中,根据对本题的要求分析,结合设计对象的特点,实现一元多项式的加、减、乘、除以及对多项式求导、求值的相关计算。

根据一元多项式的结构特点和运算规则。

本程序中采用了链表的存储与实现,采用链表可以很方便的对其中的结点进行插入、删除等操作。

通过链表的合并即可完成多项式的四则运算。

1 引言:1.1 待处理问题的问题背景:本题要求对从键盘上输入的任意两个一元多项式,能够分别对每个多项式进行降幂排序并输出,实现对这两个多项式的加、减、乘、除等相关运算。

在具体实现时,可采用链式存储结构将多项式中的每一项连接起来,从而表达出整个多项式,其中每一项是一个一元多项式,通过每一项系数与指数的输入设定,可以实现对整个多项式的设定,再通过建立单链表,结点来存储每一项的系数与指数,通过链表完成多项式的存储,对每个多项式分别建立一个链表,通过链表的加减乘除运算规则实现连标的合并,最终得到计算结果。

2需要完成的任务:根据题目要求,本程序需要实现对两个一元多项式的四则运算以及对多项式进行赋值求值运算、求导运算等相关计算,要求正确输出运算结果,对不满足输入要求的数据有一定的反应。

3设计:3.1核心算法的设计与说明:3.1.1 一元多项式的定义:有多个单项式的代数和就构成了多项式,一元多项式就是只含有一个变元的多项式。

所以由定义可知有n个单项式组成的一元多项式来说,它的运算是满足交换率的,所以可进行降幂排序,只需将它的所有指数相比较,然后将指数大的放前面,小的放后面即可完成排序。

3.1.2本题的核心算法:首先调用建表函数,CreatePolyn建立两个一元多项式,然后对两个一元多项式进行降幂排序,该过程的实现主要由insert()函数实现,然后调用相应的计算函数: 加(AddPolyn)、减(SubtractPolyn)、(MultiplyPolyn)、除(DevicePolyn)、导数(Derivative)、求值(ValuePolyn)。

数学公式知识:多项式的加减乘除及其因式分解

数学公式知识:多项式的加减乘除及其因式分解

数学公式知识:多項式的加减乘除及其因式分解多项式是数学上重要的一类函数形式,由多项式的系数和次数组成。

其中,系数可以是实数、复数或其他某些域中的元素,而次数通常是自然数。

在代数学中,多项式的加减乘除以及因式分解都是非常重要的知识点。

一、多项式的加减多项式的加减是指将两个或多个多项式相加或相减的过程。

同样次数的项可以直接相加和相减,而不同次数的项需要进行配对后再进行运算。

例如,将多项式f(x) = 3x^2 + 5x + 2和g(x) = 2x^2 +3x +1相加,则有:f(x) + g(x) = (3x^2 + 5x + 2) + (2x^2 + 3x + 1)= 5x^2 + 8x + 3将这两个多项式相加后,得到的结果多项式的最高次数为2,其系数为5。

因此,图中的结果多项式可以简化为5x^2 + 8x + 3。

同样的,两个多项式进行减法的步骤也类似,例如,将多项式f(x) = 4x^3 + 2x^2 + 3x - 1和g(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 2相减,则有:f(x) - g(x) = (4x^3 + 2x^2 + 3x - 1) - (2x^3 - x^2 - 4x + 2)= 2x^3 + 3x^2 + 7x - 3通过以上的计算表明,多项式的加减法不难掌握,只需要注意相同次数项的加减运算与不同次数的项配对就可以。

二、多项式的乘法多项式的乘法是指将两个或多个多项式进行相乘的运算。

怎么相乘?这里我给出一个例子:将多项式f(x) = 3x^2 + 2x + 1和g(x) = x + 2相乘,则有:f(x) × g(x) = (3x^2 + 2x + 1)×(x + 2)= 3x^3 + 8x^2 + 7x + 2通过以上计算表明,多项式的乘法是将两个多项式的单项式逐一进行相乘,并将值相加得到的新多项式。

在这个过程中,需要注意每一个项中的系数和指数和进行相乘。

多项式的运算与应用

多项式的运算与应用

又 f (x) 除以 x-2 的余式为 4,故由余式定理知 f (2) = 4
代入 x = 1 及 x = 2


f f
(1) a b 2 ,即 (2) 2a b 4
a b 2

2a

b

4
,可解得
a b

2 0
所以 f ( x) ( x 1)( x 2)q( x) 2x

r

(ax

b)

1 a
q(
x)


r
所以 f (x) 除以 ax-b 的商式是 1 q( x),余式仍然是 r。 a
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5 p.86
若多项式 f ( x) 2x3 x2 3x 4 a( x 1)3 b( x 1)2 c( x 1) d, 其中 a,b,c,d 是常数,试求: (1) a,b,c,d 之值。
(2) 题目条件表示 x4 与 x3 的系数皆为 0
因此 a 2 0,且 b 1 0,故 a 2,b 1
故此多项式为 x2 (2)2 1 3 x2 2 即常数项为 2
多项式的定义 p.76 ~ p.78
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两多项式相等: 当两多项式相对应的每一单项的系数都相同,则称这 两个多项式相等。
将此式改写成
f (x)

2g(
x )
1 2
q(
x)


r(
x)
这表示 f (x) 除以 2g(x) 的商式是 1 q( x) , 2
余式仍然是 r (x)
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多项式教案

多项式教案

多项式教案一、教学目标:1. 理解多项式的概念及相关术语。

2. 能够进行多项式的加减乘除运算。

3. 能够应用多项式解决实际问题。

二、教学重点:1. 多项式的基本概念及相关术语。

2. 多项式的加减乘除运算。

三、教学难点:多项式的加减乘除运算。

四、教学准备:课件、多项式的实例题、练习题。

五、教学过程:Step 1 引入1. 分享一个实际问题:小明在花园里建了一个长方形花坛,其中一条边长是x米,另一条边长是(x+3)米。

问花坛的面积是多少?2. 引导学生思考,如何表示和计算花坛的面积。

Step 2 探究1. 讲解多项式的概念:多项式是由常数项、一次项、二次项等以加法或减法连接而成的代数式。

2. 引导学生观察实例题中的多项式,找出其中的常数项、一次项和二次项,解释其含义。

3. 引导学生观察多项式中的系数和指数的特点,解释其含义。

4. 引导学生观察多项式的运算规律,例如同类项相加得到新的多项式,多项式相减得到新的多项式,多项式相乘得到新的多项式。

Step 3 实践1. 将学生分成小组,进行多项式的加减乘除实践演练。

2. 提供一些实际问题,让学生应用多项式解决,例如:小明和小华一起去商场购物,小明花费了3元购买了一盒饼干,小华花费了2元购买了一瓶果汁,他们一共花费了多少钱?3. 引导学生将实际问题转化为多项式运算,解决问题。

Step 4 系统总结1. 总结多项式的基本概念及相关术语。

2. 总结多项式的加减乘除运算规律。

3. 引导学生将所学知识进行归纳、总结。

六、课堂练习:1. 计算以下多项式的和:(2x^2 + 3x + 4) + (3x^2 + 2x + 1)2. 计算以下多项式的差:(5x^2 + 7x + 9) - (2x^2 + 3x + 4)3. 计算以下多项式的积:(5x^2 + 3x + 2) * (2x + 4)4. 计算以下多项式的商:(6x^2 + 12x + 8) ÷ (2x + 4)七、作业布置:1. 完成课堂上的练习题。

《高等代数》第一章 多项式

《高等代数》第一章  多项式

§1 数域关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质,这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.定义1 设P 是由一些复数组成的集合,其中包括0与1.如果P 中任意两个数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是中的数,那么P 就称为一个数域.显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q 、R 、C 来代表.全体整数组成的集合就不是数域.如果数的集合P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P 中,就说数集P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成,如果一个包含0,1在内的数集P 对于加法、减法、乘法与除法(除数不为零)是封闭的,那么P 就称为一个数域.例1 所有具有形式2b a +的数(其中b a ,是任何有理数),构成一个数域.通常用)2(Q 来表示这个数域.例2 所有可以表成形式m m nn b b b a a a ππππ++++++ 1010 的数组成一数域,其中m n ,为任意非负整数,),,1,0;,,1,0(,m j n i b a j i ==是整数.例 3 所有奇数组成的数集,对于乘法是封闭的,但对于加、减法不是封闭的.性质:所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.一、一元多项式定义2 设n 是一非负整数,形式表达式111a x a x a x a n n n n ++++-- ,(1) 其中n a a a ,,,10 全属于数域P ,称为系数在数域P 中的一元多项式,或者简称为数域P 上的一元多项式.在多项式(1)以后用 ),(),(x g x f 或 ,,g f 等来表示多项式.注意:这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式.定义3 如果在多项式)(x f 与)(x g 中,除去系数为零的项外,同次项的系数全相等)()(x g x f =.系数全为零的多项式称为零多项式,记为0.在(1)中,如果0≠n a n a 称为首项系数,n 称为多项式(1)的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式)(x f二、多项式的运算设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=--是数域P 上两个多项式,那么可以写成∑==ni i i x a x f 0)(∑==mj j j x b x g 0)(在表示多项式)(x f 与)(x g 的和时,如m n ≥,为了方便起见,在)(x g 中令011====+-m n n b b b ,那么)(x f 与)(x g 的和为∑=---+=++++++++=+n i i i i n n n n n n xb a b a x b a x b a x b a x g x f 00011111)()()()()()()(而)(x f 与)(x g 的乘积为其中s 次项的系数是∑=+--=++++s j i j i s s s sb a b a b a b a b a 011110所以)(x f )(x g 可表成显然,数域P 上的两个多项式经过加、减、乘运算后,所得结果仍然是数域P 上的多项式.对于多项式的加减法,不难看出对于多项式的乘法,可以证明,若0)(,0)(≠≠x g x f ,则0)()(≠x g x f ,并且由以上证明看出,多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积.显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形.多项式的运算满足以下的一些规律:1. 加法交换律:)()()()(x f x g x g x f +=+.2. 加法结合律:))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f ++=++3. 乘法交换律:. )()()()(x f x g x g x f =4. 乘法结合律:))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f =5. 乘法对加法的分配律:)()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f +=+6. 乘法消去律:若)()()()(x h x f x g x f =且0)(≠x f ,则)()(x h x g =.定义4 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体,称为数域P 上的一元多项式环,记为][x P ,P 称为][x P 的系数域.§3 整除的概念在一元多项式环中,可以作加、减、乘三种运算,但是乘法的逆运算—除法—并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系.一、整除的概念带余除法 对于][x P 中任意两个多项式)(x f 与)(x g ,其中0)(≠x g ,一定有][x P 中的多项式)(),(x r x q 存在,使(1))(),(x r x q 是唯一决定的.带余除法中所得的)(x q 通常称为)(x g 除)(x f 的商,)(x r 称为)(x g 除)(x f 的余式.定义5 数域P 上的多项式)(x g 称为整除)(x f ,如果有数域P 上的多项式)(x h 使等式成立.用表示)(x g 整除)(x f ,用“)(|)(x f x g /”表示)(x g 不能整除)(x f .当)(|)(x f x g 时,)(x g 就称为)(x f 的因式,)(x f 称为)(x g 的倍式.当0)(≠x g 时,带余除法给出了整除性的一个判别条件.定理1 对于数域P 上的任意两个多项式)(x f ,)(x g ,其中0)(≠x g ,)(|)(x f x g 的充要条件是)(x g 除)(x f 的余式为零.带余除法中)(x g 必须不为零.但)(|)(x f x g 中,)(x g 可以为零.这时0)(0)()()(=⋅=⋅=x h x h x g x f .当)(|)(x f x g 时,如0)(≠x g ,)(x g 除)(x f 的商)(x q 有时也用)()(x g x f 来表示.二、整除的性质1. 任一多项式)(x f 一定整除它自身.2. 任一多项式)(x f 都能整除零多项式.3. 零次多项式,即非零常数,能整除任一个多项式.4. 若)(|)(),(|)(x f x g x g x f ,则)()(x cg x f =,其中c 为非零常数.5. 若)(|)(),(|)(x h x g x g x f ,则)(|)(x h x f (整除的传递性).6. 若r i x g x f i ,,2,1),(|)( =,则))()()()()()((|)(2211x g x u x g x u x g x u x f r r +++ ,其中)(x u i 是数域P 上任意的多项式.通常,)()()()()()(2211x g x u x g x u x g x u r r +++ 称为)(,),(),(21x g x g x g r 的最后,两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若)(x f ,)(x g 是][x P 中两个多项式,P 是包含P 的一个较大的数域.当然,)(x f ,)(x g 也可以看成是][x P 中的多项式.从带余除法可以看出,不论把)(x f ,)(x g 看成是][x P 中或者是][x P 中的多项式,用)(x g 去除)(x f 所得的商式及余式都是一样的.因此,若在][x P 中)(x g 不能整除)(x f ,则在][x P 中,)(x g 也不能整除)(x f .例1 证明若)()(|)(),()(|)(2121x f x f x g x f x f x g -+,则)(|)(),(|)(21x f x g x f x g例2 求l k ,,使1|32++++kx x l x x .例3 若)(|)(),(|)(x h x g x f x g /,则)()(|)(x h x f x g +/.§4 多项式的最大公因式一 、多项式的最大公因式如果多项式)(x ϕ既是)(x f 的因式,又是)(x g 的因式,那么)(x ϕ就称为)(x f 与)(x g 的一个公因式.定义 6 设)(x f 与)(x g 是][x P 中两个多项式. ][x P 中多项式)(x d 称为)(x f ,)(x g 的一个公因式,如果它满足下面两个条件:1))(x d 是)(x f 与)(x g 的公因式;2))(x f ,)(x g 的公因式全是)(x d 的因式.例如,对于任意多项式)(x f ,)(x f 就是)(x f 与0的一个最大公因式.特别地,根据定义,两个零多项式的最大公因式就是0.引理 如果有等式)()()()(x r x g x q x f += (1)成立,那么)(x f ,)(x g 和)(x g ,)(x r 有相同的公因式.定理2 对于][x P 的任意两个多项式)(x f ,)(x g ,在][x P 中存在一个最大公因式)(x d ,且)(x d 可以表成)(x f ,)(x g 的一个组合,即有][x P 中多项式)(),(x v x u 使由最大公因式的定义不难看出,如果)(),(21x d x d 是)(x f ,)(x g 的两个最大公因式,那么一定有)(|)(21x d x d 与)(|)(12x d x d ,也就是说0),()(21≠=c x cd x d .这就是说,两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.在这个情形,我们约定,用来表示首项系数是1的那个最大公因式.定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法(division algorithm).例 设343)(234---+=x x x x x f32103)(23-++=x x x x g求()(x f ,)(x g ),并求)(),(x v x u 使)()()()()(x g x v x f x u x d +=.注:定理2的逆不成立.例如令1)(,)(+==x x g x x f ,则122)1)(1()2(2-+=-+++x x x x x x .但1222-+x x 显然不是)(x f 与)(x g 的最大公因式.但是当(2)式成立,而)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式,则)(x d 一定是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.二、多项式互素定义7 ][x P 中两个多项式)(x f ,)(x g 称为互素(也称为互质)的,如果显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式,反之亦然.定理3 ][x P 中两个多项式)(x f ,)(x g 互素的充要条件是有][x P 中多项式)(),(x v x u 使推论2 如果1))(),((1=x g x f ,1))(),((2=x g x f ,那么1))(),()((21=x g x f x f 推广:对于任意多个多项式)2)((,),(),(21≥s x f x f x f s ,)(x d 称为)2)((,),(),(21≥s x f x f x f s 的一个最大公因式,如果)(x d 具有下面的性质:1)s i x f x d i ,,2,1),(|)( =;2)如果s i x f x i ,,2,1),(|)( =ϕ,那么)(|)(x d x ϕ.我们仍用))(,),(),((21x f x f x f s 符号来表示首项系数为1的最大公因式.不难证明)(,),(),(21x f x f x f s 的最大公因式存在,而且当)(,),(),(21x f x f x f s 全不为零时,))()),(,),(),(((121x f x f x f x f s s -就是)(,),(),(21x f x f x f s 的最大公因式,即))(,),(),((21x f x f x f s =))()),(,),(),(((121x f x f x f x f s s -同样,利用以上这个关系可以证明,存在多项式s i x u i ,,2,1),( =,使))(,),(),(()()()()()()(212211x f x f x f x f x u x f x u x f x u s s s =+++如果1))(,),(),((21=x f x f x f s ,那么)(,),(),(21x f x f x f s 就称为互素的.同样有类似定理3的结论.注意 1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项式一般不能整除积的因式之一.例如222)1()1(|1-+-x x x ,但22)1(|1+/-x x ,且22)1(|1-/-x x .2) 推论1中没有互素的条件,则不成立.如1)(2-=x x g ,1)(1+=x x f , )1)(1()(2-+=x x x f ,则)(|)(),(|)(21x g x f x g x f ,但)(|)()(21x g x f x f .注意:s )2(≥s 个多项式)(,),(),(21x f x f x f s 互素时,它们并不一定两两互素.例如,多项式34)(,65)(,23)(232221+-=+-=+-=x x x f x x x f x x x f是互素的,但2))(),((21-=x x f x f . 令P 是含P 的一个数域, )(x d 是][x P 的多项式)(x f 与)(x g 在][x P 中的首项系数为1的最大公因式,而)(x d 是)(x f 与)(x g 在][X P 中首项系数为1的最大公因式,那么)()(x d x d =.即从数域P 过渡到数域P 时, )(x f 与)(x g 的最大公因式本质上没有改变. 互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形:1)若多项式),()()(|)(21x f x f x f x h s )(x h 与)(,),(),(,),(111x f x f x f x f s i i +- 互素,则)1)((|)(s i x f x h i ≤≤.2) 若多项式)(,),(),(21x f x f x f s 都整除)(x h ,且)(,),(),(21x f x f x f s 两两互素,则)(|)()()(21x h x f x f x f s .3) 若多项式)(,),(),(21x f x f x f s 都与)(x h 互素,则1))(),()()((21=x h x f x f x f s .§5 因式分解定理一、不可约多项式Con i x i x x x R on x x x Q on x x x )2)(2)(2)(2()2)(2)(2()2)(2(42224+-+-=++-=+-=-. 定义8 数域P 上次数1≥的多项式)(x p 称为域P 上的不可约多项式(irreducible polynomical),如果它不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 的次数低的多项式的乘积.根据定义,一次多项式总是不可约多项式.一个多项式是否可约是依赖于系数域的.显然,不可约多项式)(x p 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍)0)((≠c x cp 这两种,此外就没有了.反过来,具有这个性质的次数1≥的多项式一定是不可约的.推广:如果不可约多项式)(x p 整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积)()()(21x f x f x f s ,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.二、因式分解定理因式分解及唯一性定理 数域P 上次数1≥的多项式)(x f 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==,那么必有t s =,并且适当排列因式的次序后有s i x q c x p i i i ,,2,1,)()( ==.其中),,2,1(s i c i =是一些非零常数.应该指出,因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性,但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上,对于一般的情形,普遍可行的分解多项式的方法是不存在的.在多项式)(x f 的分解式中,可以把每一个不可约因式的首项系数提出来,使它们成为首项系数为1的多项式,再把相同的不可约因式合并.于是)(x f 的分解式成为)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r =,其中c 是)(x f 的首项系数,)(,),(),(21x p x p x p s 是不同的首项系数为1的不可约多项式,而s r r r ,,,21 是正整数.这种分解式称为标准分解式.如果已经有了两个多项式的标准分解,就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式)(x f 与)(x g 的最大公因式)(x d 就是那些同时在)(x f 与)(x g 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积,所带的方幂的指数等于它在)(x f 与)(x g 中所带的方幂中较小的一个.由以上讨论可以看出,带余除法是一元多项式因式分解理论的基础.若)(x f 与)(x g 的标准分解式中没有共同的不可约多项式,则)(x f 与)(x g 互素.注意:上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法,因为在一般情况下,没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法,即使要判断数域P 上一个多项式是否可约一般都是很困难的.例 在有理数域上分解多项式22)(23--+=x x x x f 为不可约多项式的乘积.§6 重因式一、重因式的定义定义9 不可约多项式)(x p 称为多项式)(x f 的k 重因式,如果)(|)(x f x p k ,但)(|)(1x f x p k /+.如果0=k ,那么)(x p 根本不是)(x f 的因式;如果1=k ,那么)(x p 称为)(x f 的单因式;如果1>k ,那么)(x p 称为)(x f 的重因式.注意. k 重因式和重因式是两个不同的概念,不要混淆.显然,如果)(x f 的标准分解式为)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r =,那么)(,),(),(21x p x p x p s 分别是)(x f 的1r 重,2r 重,… ,s r 重因式.指数1=i r 的那些不可约因式是单因式;指数1>i r 的那些不可约因式是重因式.使得)()()(x g x p x f k =,且)(|)(x g x p /.二、重因式的判别设有多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ,规定它的微商(也称导数或一阶导数)是1211)1()(a x n a nx a x f n n n n ++-+='--- .通过直接验证,可以得出关于多项式微商的基本公式:).()()()()()(()())((),()())()((x g x f x g x f x g x f x f c x cf x g x f x g x f '+'=''=''+'='+)))()(())((1x f x f m x f m m '='-同样可以定义高阶微商的概念.微商)(x f '称为)(x f 的一阶微商;)(x f '的微商)(x f ''称为)(x f 的二阶微商;等等. )(x f 的k 阶微商记为)()(x f k .一个)1(≥n n 次多项式的微商是一个1-n 次多项式;它的n 阶微商是一个常数;它的1+n 阶微商等于0.定理6 如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的一个)1(≥k k 重因式,那么)(x p 是微商)(x f '的1-k 重因式.分析: 要证)(x p 是微商)(x f '的1-k 重因式,须证)(|)(1x f x p k '-,但)(|)(x f x p k '/.注意:定理6的逆定理不成立.如333)(23++-=x x x x f , 22)1(3363)(-=+-='x x x x f ,1-x 是)(x f '的2重因式,但根本不是)(x f 是因式.当然更不是三重因式.推论 1 如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的一个)1(≥k k 重因式,那么)(x p 是)(x f ,)(x f ',…,)()1(x f k -的因式,但不是)()(x f k 的因式.)(x f 与)(x f '的公因式.推论3 多项式)(x f 没有重因式1))(),((='⇔x f x f这个推论表明,判别一个多项式有无重因式可以通过代数运算——辗转相除法来解决,这个方法甚至是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由数域P 过渡到含P 的数域P 时都无改变,所以由定理6有以下结论:若多项式)(x f 在][x P 中没有重因式,那么把)(x f 看成含P 的某一数域P 上的多项式时, )(x f 也没有重因式.例1 判断多项式2795)(234+-+-=x x x x x f有无重因式三、去掉重因式的方法设)(x f 有重因式,其标准分解式为s r s r r x p x p x cp x f )()()()(2121 =.那么由定理5),()()()()(1121121x g x p x p x p x f s r s r r ---='此处)(x g 不能被任何),,2,1)((s i x p i =整除.于是11211)()()()())(),((21---=='s r s r r x p x p x p x d x f x f用)(x d 去除)(x f 所得的商为)()()()(21x p x p x cp x h s =这样得到一个没有重因式的多项式)(x h .且若不计重数, )(x h 与)(x f 含有完全相同的不可约因式.把由)(x f 找)(x h 的方法叫做去掉重因式方法.例2 求多项式16566520104)(23456++++--=x x x x x x x f的标准分解式.§7 多项式函数到目前为止,我们始终是纯形式地讨论多项式,也就是把多项式看作形式表达式.在这一节,将从另一个观点,即函数的观点来考察多项式.一、多项式函数设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- (1)是][x P 中的多项式,α是P 中的数,在(1)中用α代x 所得的数0111a a a a n n n n ++++--ααα称为)(x f 当α=x 时的值,记为)(αf .这样,多项式)(x f 就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.因为x 在与数域P 中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律,所以不难看出,如果,)()()(,)()()(21x g x f x h x g x f x h =+=那么.)()()(,)()()(21ααααααg f h g f h =+=定理7(余数定理)用一次多项式去除多项式)(x f ,所得的余式是一个常数,这个常数等于函数值)(αf .如果)(x f 在α=x 时函数值0)(=αf ,那么α就称为)(x f 的一个根或零点. 由余数定理得到根与一次因式的关系.推论 α是)(x f 的根的充要条件是)(|)(x f x α-.由这个关系,可以定义重根的概念. α称为)(x f 的k 重根,如果)(α-x 是)(x f 的k 重因式.当1=k 时,α称为单根;当1>k 时,α称为重根.定理8 ][x P 中n 次多项式)0(≥n 在数域P 中的根不可能多于n 个,重根按重数计算.二、多项式相等与多项式函数相等的关系在上面看到,每个多项式函数都可以由一个多项式来定义.不同的多项式会不会定义出相同的函数呢?这就是问,是否可能有)()(x g x f ≠,而对于P 中所有的数α都有)()(ααg f =?由定理8不难对这个问题给出一个否定的回答.定理9 如果多项式)(x f ,)(x g 的次数都不超过n ,而它们对n+1个不同的数有相同的值即)()(i i g f αα=,1,,2,1+=n i ,那么)(x f =)(x g .因为数域中有无穷多个数,所以定理9说明了,不同的多项式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数,就称为恒等,上面结论表明,多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的.换句话说,数域P 上的多项式既可以作为形式表达式来处理,也可以作为函数来处理.但是应该指出,考虑到今后的应用与推广,多项式看成形式表达式要方便些.三、综合除法根据余数定理,要求)(x f 当c x =时的值,只需用带余除法求出用c x -除)(x f 所得的余式.但是还有一个更简便的方法,叫做综合除法.设n n n n n a x a x a x a x a x f +++++=---122110)(并且设r x q c x x f +-=)()()(. (2)其中.)(12322110-----+++++=n n n n n b x b x b x b x b x q比较等式(2)中两端同次项的系数.得到.,,,,121112201100-----=-=-=-==n n n n n cb r a cb b a cb b a cb b a b a⇒ .,,,,112121210100n n n n n a cb r a cb b a cb b a cb b a b +=+=+=+==---- 这样,欲求系数k b ,只要把前一系数1-k b 乘以c 再加上对应系数k a ,而余式r 也可以按照类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:rb b b b cb cb cb cb a a a a ac n n n n n |)|12101210121---------------------------------+ 表中的加号通常略去不写.例1 用3+x 除94)(24-++=x x x x f .例2 求k 使355)(234+++-=kx x x x x f 能被3-x 整除注意 :若)(x f 缺少某一项,在作综合除法时该项系数的位置要补上零.四、拉格朗日插值公式已知次数n ≤的多项式)(x f 在)1,,2,1(+==n i c x i 的值)1,,,2,1()(+==n i b c f i i .设∑+=++-----=111111)())(()()(n i n i i i c x c x c x c x k x f依次令c x =代入)(x f ,得)())(()(1111++-----=n i i i i i i i i c c c c c c c c b k ∑+=++-++---------=1111111111)())(()()())(()()(n i n i i i i i i n i i i c c c c c c c c c x c x c x c x b x f 这个公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式.例3 求次数小于3的多项式)(x f ,使3)2(,3)1(,1)1(==-=f f f .下面介绍将一个多项式表成一次多项式α-x 的方幂和的方法.所谓n 次多项式)(x f 表成α-x 的方幂和,就是把)(x f 表示成0111)()()()(b x b x b x b x f n n n n +-++-+-=--ααα的形式.如何求系数011,,,,b b b b n n -,把上式改写成01211)]()()([)(b x b x b x b x f n n n n +-++-+-=---ααα ,就可看出0b 就是)(x f 被α-x 除所得的余数,而12111)()()(b x b x b x q n n n n ++-+-=--- αα就是)(x f 被α-x 除所得的商式.又因为123121)]()()([)(b x b x b x b x q n n n n +-++-+-=---ααα .又可看出1b 是商式)(1x q 被α-x 除所得的余式,而233122)()()()(b x b x b x b x q n n n n +-++-+-=---ααα .就是)(1x q 被α-x 除所得商式.这样逐次用α-x 除所得的商式,那么所得的余数就是n n b b b b ,,,,110- .例4 将5)2()2(3)2(2)2()(234+-+---+-=x x x x x f 展开成x 的多项式. 解 令2-=x y ,则2+=y x .于是532)2(234++-+=+y y y y y f .问题变为把多项式532234++-+y y y y 表成2+y (即x )的方幂和,-2 | 1 2 -3 1 5+) -2 0 6 -14--------------------------------------------------------2 | 1 0 -3 7 | -9+) -2 4 -2-------------------------------------------------------2 | 1 -2 1 | 5+) -2 8------------------------------------------------2 | 1 -4 | 9+) -2----------------------------------1 | -6所以9596)(234-++-=x x x x x f .注意:将)(x f 表成α-x 的方幂和,把α写在综合除法的左边,将α-x 的方幂和展开成x 的多项式,那么相当于将)(x f 表成c c x +-)(的方幂和,要把c -写在综合除法的左边.§8 复系数和实系数多项式的因式分解一、 复系数多项式因式分解定理代数基本定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一个根.利用根与一次因式的关系,代数基本定理可以等价地叙述为:每个次数1≥的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式.由此可知,在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的.换句话说,不可约多项式只有一次多项式.于是,因式分解定理在复数域上可以叙述成:复系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.因此,复系数多项式具有标准分解式s l s l l n x x x a x f )()()()(2121ααα---=其中s ααα,,,21 是不同的复数,s l l l ,,,21 是正整数.标准分解式说明了每个n 次复系数多项式恰有n 个复根(重根按重数计算).二、实系数多项式因式分解定理对于实系数多项式,以下事实是基本的:如果α是实系数多项式)(x f 的复根,那么α的共轭数α也是)(x f 的根,并且α与α有同一重数.即实系数多项式的非实的复数根两两成对.实系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与含一对非实共轭复数根的二次因式的乘积.实数域上不可约多项式,除一次多项式外,只有含非实共轭复数根的二次多项式.因此,实系数多项式具有标准分解式r s k r r k l s l l n q x p x q x p x c x c x c x a x f )()()()()()(211221121++++---= 其中r r s q q p p c c ,,,,,,,,111 全是实数,s l l l ,,,21 ,r k k ,,1 是正整数,并且),,2,1(2r i q x p x i i =++是不可约的,也就是适合条件r i q p i i ,,2,1,042 =<-..代数基本定理虽然肯定了n 次方程有n 个复根,但是并没有给出根的一个具体的求法.高次方程求根的问题还远远没有解决.特别是应用方面,方程求根是一个重要的问题,这个问题是相当复杂的,它构成了计算数学的一个分支.三、n 次多项式的根与系数的关系.令.)(11n n n a x a x x f +++=- (1)是一个n (>0)次多项式,那么在复数域C 中)(x f 有n 个根,,,,21n ααα 因而在][x C 中)(x f 完全分解为一次因式的乘积:).())(()(21n x x x x f ααα---=展开这一等式右端的括号,合并同次项,然后比较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.,)1(),()1(),(),),(21323112111124213213131212211n n n n n n n n n n n n n n a a a a a αααααααααααααααααααααααααααααα-=+++-=+++-=+++=+++-=------(其中第),,2,1(n k k =个等式的右端是一切可能的k 个根的乘积之和,乘以k )1(-.若多项式 n n n a x a x a x f +++=- 110)(的首项系数,10≠a 那么应用根与系数的关系时须先用0a 除所有的系数,这样做多项式的根并无改变.这时根与系数的关系取以下形式:.)1(,),(21013121022101n n n n n n a a a a a a αααααααααααα-=+++=+++-=-利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.例1 求出有单根5与-2,有二重根3的四次多项式.例2. 分别在复数域和实数域上分解1-n x 为标准分解式.§9 有理系数多项式作为因式分解定理的一个特殊情形,有每个次数≥1的有理系数多项式都能分解成不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何一个给定的多项式,要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题,即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题,这一点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这一节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实:第一,有理系数多项式的因式分解的问题,可以归结为整(数)系数多项式的因式分解问题,并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题.第二,在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式.一、有理系数多项式的有理根设011)(a x a x a x f n n n n +++=--是一个有理系数多项式.选取适当的整数c 乘)(x f ,总可以使)(x cf 是一个整系数多项式.如果)(x cf 的各项系数有公因子,就可以提出来,得到)()(x dg x cf =,也就是)()(x g cd x f = 其中)(x g 是整系数多项式,且各项系数没有异于±1的公因子.如果一个非零的整系数多项式011)(b x b x b x g n n n n +++=-- 的系数01,,,b b b n n -没有异于±1的公因子,也就是说它们是互素的,它就称为一个本原多项式.上面的分析表明,任何一个非零的有理系数多项式)(x f 都可以表示成一个有理数r 与一个本原多项式)(x g 的乘积,即)()(x rg x f =.可以证明,这种表示法除了差一个正负号是唯一的.亦即,如果)()()(11x g r x rg x f ==,其中)(),(1x g x g 都是本原多项式,那么必有)()(,11x g x g r r ±=±=因为)(x f 与)(x g 只差一个常数倍,所以)(x f 的因式分解问题,可以归结为本原多项式)(x g 的因式分解问题.下面进一步指出,一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的.定理10(Gauss 引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积,那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积.以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题.推论 设)(x f ,)(x g 是整系数多项式,且)(x g 是本原多项式,如果)()()(x h x g x f =,其中)(x h 是有理系数多项式,那么)(x h 一定是整系数多项式.这个推论提供了一个求整系数多项式的全部有理根的方法. 定理12 设011)(a x a x a x f n n n n +++=--是一个整系数多项式.而sr是它的一个有理根,其中s r ,互素,那么(1) 0|,|a r a s n ;特别如果)(x f 的首项系数1=n a ,那么)(x f 的有理根都是整根,而且是0a 的因子.(2) ),()()(x q srx x f -= 其中)(x q 是一个整系数多项式.给了一个整系数多项式)(x f ,设它的最高次项系数的因数是k v v v ,,,21 ,常数项的因数是.,,,21l u u u 那么根据定理12,欲求)(x f 的有理根,只需对有限个有理数ji v u 用综合除法来进行试验.当有理数jiv u 的个数很多时,对它们逐个进行试验还是比较麻烦的.下面的讨论能够简化计算.首先,1和-1永远在有理数jiv u 中出现,而计算)1(f 与)1(-f 并不困难.另一方面,若有理数)1(±≠a 是)(x f 的根,那么由定理12,)()()(x q x x f α-=而)(x q 也是一个整系数多项式.因此商)1(1)1(),1(1)1(--=+-=-q af q af 都应该是整数.这样只需对那些使商a f a f +--1)1(1)1(与都是整数的ji v u来进行试验.(我们可以假定)1(f 与)1(-f 都不等于零.否则可以用1-x 或1+x 除)(x f 而考虑所得的商.)例1 求多项式2553)(234-+++=x x x x x f的有理根.例2 证明15)(3+-=x x x f在有理数域上不可约.二、有理数域上多项式的可约性定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设011)(a x a x a x f n n n n +++=--是一个整系数多项式.若有一个素数p ,使得1. n a p |/;2. 021,,,|a a a p n n --;3. 02|a p /.则多项式)(x f 在有理数域上不可约.由艾森斯坦判断法得到:有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如2)(+=n x x f .,其中n 是任意正整数.艾森斯坦判别法的条件只是一个充分条件.有时对于某一个多项式)(x f ,艾森斯坦判断法不能直接应用,但把)(x f 适当变形后,就可以应用这个判断法.例3 设p 是一个素数,多项式1)(21++++=--x x x x f p p叫做一个分圆多项式,证明)(x f 在][x Q 中不可约.证明:令1+=y x ,则由于1)()1(-=-p x x f x ,yCyC y y y yf p pp ppp 1111)1()1(--+++=-+=+ ,令)1()(+=y f y g ,于是1211)(---+++=p p p p p C yC y y g ,由艾森斯坦判断法,)(y g 在有理数域上不可约,)(x f 也在有理数域上不可约.第一章 多项式(小结)一元多项式理论,主要讨论了三个问题:整除性理论(整除,最大公因式,互素);因式分解理论(不可约多项式,典型分解式,重因式);根的理论(多项式函数,根的个数).其中整除性是基础,因式分解是核心.一、基本概念.1.一元多项式(零多项式),多项式的次数.多项式的相等,多项式的运算,一元多项式环.2.基本结论:(1) 多项式的加法,减法和乘法满足一些运算规律.(3) 多项式乘积的常数项(最高次项系数)等于因子的常数项(最高次项系数)的乘积.二、整除性理论1.整除的概念及其基本性质.2.带余除法. (1) 带余除法定理.(2) 设1)()()()(|)(,0)(][)(),(=⇔≠∈x r x f x g x f x g x g x F x g x f 的余式除,. 因此多项式的整除性不因数域的扩大而改变.3. 最大公因式和互素. (1) 最大公因式,互素的概念.(2) 最大公因式的存在性和求法------辗转相除法.(3) 设)(x d 是)(x f 与)(x g 的最大公因式,反之不然.三、 因式分解理论 1.不可约多项式(1) 不可约多项式的概念.(2) 不可约多项式p(x)有下列性质:(4) 艾森斯坦判断法. 2.因式分解的有关结果: (1) 因式分解及唯一性定理.(2) 次数大于零的复系数多项式都可以分解成一次因式的乘积.(3) 次数大于零的实系数多项式都可以分解成一次因式和二次不可约因式的乘积.3.重因式(1) 重因式的概念.(2) 若不可约多项式)(x p 是)(x f 的k 重因式)1(≥k ,则)(x p 是)(x f 的1-k 重因式.(4) 消去重因式的方法:))(),(()(x f x f x f '是一个没有重因式的多项式,它与)(x f 具有完全相同的不可约因式.四、多项式根的理论1.多项式函数,根和重根的概念.2.余数定理.c x -去除)(x f 所得的余式为)(x f ,则.0)()(|=⇔-c f x f c x3.有理系数多项式的有理根的求法.4.实系数多项式虚根成对定理.5.代数基本定理.每个)1(≥n n 次复系数多项式在复数域中至少有一个根.因而n 次复系数多项式恰有n 个复根(重根按重数计算).6.韦达定理.。

多项式的解法公式

多项式的解法公式

多项式的解法公式一、一元一次多项式(形如ax + b = 0,a≠0)1. 解法公式。

- 移项:将含x的项移到等号一边,常数项移到等号另一边,得到ax=-b。

- 求解x:x =-(b)/(a)。

二、一元二次多项式(形如ax^2+bx + c = 0,a≠0)1. 解法公式。

- 求根公式:x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

- 当b^2-4ac>0时,方程有两个不同的实数根。

- 当b^2-4ac = 0时,方程有两个相同的实数根(即一个实数根)。

- 当b^2-4ac<0时,方程没有实数根,在复数范围内有两个共轭复数根。

三、二元一次多项式方程组(形如a_1x + b_1y=c_1 a_2x + b_2y=c_2)1. 解法公式。

- 代入消元法。

- 由第一个方程a_1x + b_1y=c_1解出x(或y),例如x=(c_1 - b_1y)/(a_1)(a_1≠0)。

- 将x=(c_1 - b_1y)/(a_1)代入第二个方程a_2x + b_2y=c_2,得到关于y的一元一次方程,然后求解y。

- 把求出的y值代入x=(c_1 - b_1y)/(a_1)求出x。

- 加减消元法。

- 若要消去x,则给第一个方程乘以a_2,给第二个方程乘以a_1,得到a_1a_2x + a_2b_1y=a_2c_1 a_1a_2x + a_1b_2y=a_1c_2。

- 两式相减(a_1a_2x + a_2b_1y)-(a_1a_2x + a_1b_2y)=a_2c_1 - a_1c_2,即(a_2b_1 - a_1b_2)y=a_2c_1 - a_1c_2,然后求解y。

- 将y的值代入原方程组中的一个方程求解x。

多项式的加减法与乘法

多项式的加减法与乘法

多项式的加减法与乘法在代数学中,多项式是由单项式相加或相减而得到的一个表达式。

它在数学和科学的各个领域中扮演着重要的角色,因为它能描述和解决许多实际问题。

本文将讨论多项式的加减法与乘法,介绍相应的规则和方法。

一、多项式的加法多项式的加法是将同类项相加得到一个新的多项式。

同类项是具有相同变量的相同幂次的项。

例如,下面是一个多项式的示例:P(x) = 3x^2 + 2x - 5Q(x) = 2x^2 - 4x + 7要将这两个多项式相加,我们只需将同类项的系数相加。

即:P(x) + Q(x) = (3x^2 + 2x - 5) + (2x^2 - 4x + 7)= 3x^2 + 2x - 5 + 2x^2 - 4x + 7= (3x^2 + 2x^2) + (2x - 4x) + (-5 + 7)= 5x^2 - 2x + 2所以,P(x) + Q(x) = 5x^2 - 2x + 2二、多项式的减法多项式的减法与加法类似,只需将减数取相反数,再进行加法运算。

例如:R(x) = P(x) - Q(x)= (3x^2 + 2x - 5) - (2x^2 - 4x + 7)= 3x^2 + 2x - 5 - 2x^2 + 4x - 7= (3x^2 - 2x^2) + (2x + 4x) + (-5 - 7)= x^2 + 6x - 12所以,R(x) = x^2 + 6x - 12三、多项式的乘法多项式的乘法是将两个多项式的每一项两两相乘,并将同类项合并得到一个新的多项式。

例如:S(x) = P(x) * Q(x)= (3x^2 + 2x - 5) * (2x^2 - 4x + 7)= 3x^2 * 2x^2 + 3x^2 * (-4x) + 3x^2 * 7 + 2x * 2x^2 + 2x * (-4x) + 2x * 7 + (-5) * 2x^2 + (-5) * (-4x) + (-5) * 7= 6x^4 - 12x^3 + 21x^2 + 4x^3 - 8x^2 + 14x - 10x^2 + 20x - 35= 6x^4 - 8x^3 - 3x^2 + 34x - 35所以,S(x) = 6x^4 - 8x^3 - 3x^2 + 34x - 35通过以上的讨论,我们可以总结出多项式的加减法与乘法的基本规则:1. 加法:将同类项的系数相加,保留相同的变量和幂次。

多项式的加减乘除运算

多项式的加减乘除运算

多项式的加减乘除运算在代数学中,多项式是由常数和变量通过加法、减法和乘法运算而得到的一种表达式。

多项式的加减乘除运算是基本的代数运算规则,本文将从加法、减法、乘法和除法四个方面来探讨多项式的运算方法。

一、多项式的加法运算多项式的加法运算是指将两个或多个多项式按照相同项的系数进行相加。

例如,给定两个多项式:P(x) = 2x^2 + 3x - 5 和 Q(x) = x^2 + 2x + 1,我们可以将它们相加得到:P(x) + Q(x) = (2x^2 + 3x - 5) + (x^2 + 2x + 1) = 3x^2 + 5x - 4。

二、多项式的减法运算多项式的减法运算是指将两个多项式相互抵消得到的结果。

与加法类似,减法运算也是将多项式按照相同项的系数进行运算。

例如,给定两个多项式:R(x) = 3x^2 + 2x + 1 和 S(x) = 2x^2 + x - 3,我们可以将它们相减得到:R(x) - S(x) = (3x^2 + 2x + 1) - (2x^2 + x - 3) = x^2 + x + 4。

三、多项式的乘法运算多项式的乘法运算是指将两个多项式按照相应项的系数和指数进行相乘,然后将所有结果相加。

例如,给定两个多项式:A(x) = 2x^2 + 3 和 B(x) = x + 1,我们可以将它们相乘得到:A(x) * B(x) = (2x^2 + 3) * (x + 1) = 2x^3 + 5x^2 + 3x + 3。

四、多项式的除法运算多项式的除法运算是指将一个多项式除以另一个多项式得到商和余数的过程。

例如,给定两个多项式:C(x) = 3x^2 + 2x + 1 和 D(x) = x + 1,我们可以将C(x)除以D(x)得到商和余数:C(x) ÷ D(x) = (3x^2 + 2x + 1) ÷ (x + 1) = 3x + 1,余数为0。

总结多项式的加减乘除运算是代数学中基本的运算方式,通过对多项式的各个项进行相应的运算,我们可以得到各种多项式表达式的结果。

数学-多项式的加减与乘除

数学-多项式的加减与乘除

数学-多项式的加减与乘除一、多项式的定义与性质1.多项式的概念:若干个单项式的和称为多项式。

2.单项式的概念:数与字母的乘积称为单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式。

3.多项式的项:组成多项式的各个单项式称为多项式的项。

4.多项式的系数:多项式中,数与字母相乘前面的数称为系数。

5.多项式的度:多项式中,最高次单项式的次数称为多项式的度。

6.多项式的系数与度:一个多项式的系数有有限个,次数也有界限。

二、多项式的加减法1.同类项的概念:字母相同且相同字母的指数也相同的项称为同类项。

2.多项式加减法的原则:同类项相加(减)时,只把系数相加(减),字母与字母的指数不变。

3.多项式加减法的步骤:a.找出同类项b.合并同类项c.化简结果三、多项式的乘法1.多项式乘以单项式:将单项式的系数与多项式的每一项相乘,字母与字母的指数相加。

2.多项式乘以多项式:a.先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项b.合并同类项c.化简结果四、多项式的除法1.多项式除以单项式:将多项式的每一项除以单项式的系数,字母与字母的指数不变。

2.多项式除以多项式:a.用多项式的每一项除以另一个多项式的每一项b.求商和余数c.化简结果五、多项式的应用1.解一元二次方程:利用因式分解法将方程化为两个一元一次方程,求解得到方程的解。

2.解二元一次方程组:利用加减消元法、代入消元法或矩阵法求解方程组的解。

3.函数的图像:利用多项式函数的表达式,绘制函数的图像,分析函数的性质。

六、多项式的恒等变形1.合并同类项:将多项式中的同类项合并,化简结果。

2.因式分解:将多项式分解为几个单项式的乘积,提取公因式,化简结果。

3.展开与简化:将多项式展开,化简结果,使其更简洁。

七、多项式的实际应用1.物理问题:利用多项式表示物体运动的速度、加速度等物理量,解决物理问题。

2.化学问题:利用多项式表示化学反应的平衡常数、反应速率等,解决化学问题。

3.经济问题:利用多项式表示成本、利润等经济指标,解决经济问题。

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p3=p3->next;
}
cout<<endl;
}
void multiplication(NODE T1,NODE T2,int n)//多项式的乘法
{
NODE *head1,*head2,*head3,*head4,*p1,*p2,*p3,*p4,*q4,*q1,*q2,T3,a[50];
head1=&T1;head2=&T2;head3=&T3;head4=a;
cout<<p3->a<<p3->c<<p3->b;
p3=p3->next;
for(;p3!=NULL;)
{
if(p3->a==0){p3=p3->next;continue;}
if(p3->a>0) cout<<"+";
cout<<p3->a<<p3->c<<p3->b;
p3=p3->next;
}
char a;
cin>>a;
if(a=='+') add(T1,T2);
else if(a=='-') subtract(T1,T2);
else if(a=='*') multiplication(T1,T2,n);
else cerr<<"无法进行此操作!"<<endl;
return 0;
}
指导老师对实验设计方案的意见:
q1->c=p1->c;
q1->b=p1->b+p2->b;
p2=p2->next;
p4->next=q1;
p4=p4->next;
}
p4->next=NULL;
p2=head2->next;
p1=p1->next;
}
for(i=1;i<n-1;i++)
{
p4=head4->next;
q4=head4;
q2=&a[i];
q2=q2->next;
for(;p4!=NULL&&q2!=NULL;)
{
if(p4->b<q2->b)
{
p4=p4->next;
q4=q4->next;
}
else if(p4->b==q2->b)
{
p4->a=p4->a+q2->a;
p4=p4->next;
q4=q4->next;
指导老师签名:年月日
二、实验结果与分析
1、实验目的、场地及仪器、设备和材料、实验思路等见实验设计方案
2、实验现象、数据及结果
3、对实验现象、数据及观察结果的分析与讨论:
由于乘法方面我都是用指针来进行数据的改动,因此前期指针的指向必须考虑周全,运算都只针对整数,如果要用本程序来计算小数的多项式,则只需要改变结构体中的数据类型;
}
}
void add(NODE T1,NODE T2)//多项式的加法
{
NODE *head1,*head2,*head3,*p1,*p2,*p3,T3;
head1=&T1;head2=&T2;head3=&T3;
p1=head1->next;p2=head2->next;p3=head3;
for(;p1!=NULL&&p2!=NULL;)
②若重做本实验,为实现预期效果,仪器操作和实验步骤应如何改善:
实验步骤应该再加一点,由于本实验的外观显示对用户不太友善,因此之后应该再把用户角度的观点考虑进去,即改善输入输出的语句。
⑶对实验的自我评价:
通过本程序,我深刻体会到团队合作的重要性,没有组织是难以在较短时间内完成比较大型程序的。
指导老师评语及得分:
一、实验设计方案
实验名称:多项式求值
小组合作:是○否○
1、实验目的:实现对多项式的加、减、乘运算
3、实验思路(实验内容、数据处理方法及实验步骤等):
利用指针进行多项式的基本运算(加,减,乘),用链表来储存多项式各项及计算结果
#include <iostream>//头文件
#define NULL 0
}
else
{
p3->next=p1;
p1=p1->next;
p3=p3->next;
}
}
if(p1!=NULL)
{
p3->next=p1;
}
if(p2!=NULL)
{
p3->next=p2;
}
p3=head3;
p3=p3->next;
cout<<"两式相加:"<<endl;
cout<<"P=";
if(p3->a==0){p3=p3->next;}
cout<<"P=";
if(p3->a==0){p3=p3->next;}
cout<<p3->a<<p3->c<<p3->b;
p3=p3->next;
for(;p3!=NULL;)
{
if(p3->a==0){p3=p3->next;continue;}
if(p3->a>0) cout<<"+";
cout<<p3->a<<p3->c<<p3->b;
p1=head1->next;p2=head2->next;p3=head3;
int i,j;
if(n>50)cerr<<"多项式超过计算范围!"<<endl;
for(i=0;p1!=NULL;i++)
{
p4=&a[i];
for(;p2!=NULL;)
{
q1=new NODE;
q1->a=p1->a*p2->a;
cout<<endl;
}
void subtract(NODE T1,NODE T2)//多项式的减法
{
NODE *head1,*head2,*head3,*p1,*p2,*p3,T3;
head1=&T1;head2=&T2;head3=&T3;
p1=head1->next;p2=head2->next;p3=head3;
cout<<p4->a<<p4->c<<p4->b;
p4=p4->next;
for(;p4!=NULL;)
{
if(p4->a==0){p4=p4->next;continue;}
if(p4->a>0) cout<<"+";
cout<<p4->a<<p4->c<<p4->b;
p4=p4->next;
}
p1=p1->next;
for(;p1!=NULL;)
{
if(p1->a>0) cout<<"+";
cout<<p1->a<<p1->c<<p1->b;
p1=p1->next;
}
cout<<endl;
creatnode(T2);
p2=p2->next;
cout<<"P2=";
cout<<p2->a;
cout<<p2->c;
cout<<p2->b;
p2=p2->next;
for(;p2!=NULL;)
{
if(p2->a>0) cout<<"+";
cout<<p2->a<<p2->c<<p2->b;
p2=p2->next;
}
cout<<endl;
cout<<"请输入要进行的操作,如:+、-、*"<<endl;
签名:年月日
using namespace std;
struct NODE
{
int a;
char c;
int b;
struct NODE *next;
};
int n;
void creatnode( NODE &T)//多项式的输入
{
NODE *head,*p1,*p2;
int a,b,x,z;char y;
cout<<"请输入多项式的项数"<<endl;
for(;p1!=NULL&&p2!=NULL;)
{
if(p1->b>p2->b)
{
p3->next=p2;
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