复数计算练习题完整版
复数练习题附答案
复数练习题附答案复数是数学中的一个基本概念，它拓展了实数的概念，允许我们处理像-1的平方根这样的数。
复数可以表示为a + bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
下面是一些复数的练习题，以及它们的答案。
练习题1：计算以下复数的加法：\[ (3 + 4i) + (1 - 2i) \]答案1：首先分别将实部和虚部相加：\[ 3 + 1 = 4 \]\[ 4i - 2i = 2i \]所以，结果是 \( 4 + 2i \)。
练习题2：计算以下复数的乘法：\[ (2 + 3i) \times (1 - 4i) \]答案2：使用分配律：\[ 2 \times 1 + 2 \times (-4i) + 3i \times 1 + 3i \times (-4i) \]\[ = 2 - 8i + 3i - 12i^2 \]由于 \( i^2 = -1 \)，所以：\[ = 2 - 5i + 12 \]结果是 \( 14 - 5i \)。
练习题3：求复数 \( z = 3 - 2i \) 的共轭复数。
答案3：共轭复数是将虚部的符号改变得到的数，所以：\[ \bar{z} = 3 + 2i \]练习题4：求复数 \( z = 2 + i \) 的模（magnitude）。
答案4：复数的模定义为：\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中 \( a \) 和 \( b \) 分别是复数的实部和虚部。
所以：\[ |2 + i| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] 练习题5：求复数 \( z = 1 + i \) 的逆。
答案5：复数的逆通过公式 \( \frac{1}{z} =\frac{\bar{z}}{|z|^2} \) 计算。
首先求模：\[ |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]然后求共轭复数：\[ \bar{z} = 1 - i \]最后求逆：\[ \frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{2} \]因为 \( |1 + i|^2 = 2 \)。
(完整版)复数基础练习题附答案
(完整版)复数基础练习题附答案一、单选题1．复数20222i 1iz =+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知复数()1i z a a =-+（a ∈R ），则1a =是1z =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．设复数21iz =-+，则z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．（1，1）B ．（-1，1）C ．（1，-1）D ．（-1，-1）4．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆.5．在复平面内，复数z 满足()1i 3i z -=-+，则复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．已知x ，R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 2y y x ++=-，则x y +的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．47．若复数(32)(1)i ai +-在复平面内对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围为（ ）A ．32,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．23,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭8．已知复数z 满足()1i 1z +=，则z 的虚部为（ ） A ．12- B ．1i 2-C ．12D ．1i 29．已知复数2ii+=a z （a R ∈，i 是虚数单位）的虚部是3-，则复数z 对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限10．2243i 4i a a a a --=+，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．1或4-C ．4-D ．0或4-11．“1x =”是“22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．复数1ii+（其中i 为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 13．集合M ={x |x =i n +1，n ∈N}（i 为虚数单位）的真子集的个数是（ ） A ．1 B ．15 C ．3 D ．16 14．若复数2(1i)-的实部为a ，虚部为b ，则a b +=（ ） A ．3- B ．2- C ．2 D ．3 15．已知12z i =-，则(i)z z -的模长为（ ）A ．4BC ．2D ．1016．已知复数z 满足()21i 68i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．10B ．5 CD．17．已知i 为虚数单位，则复数1i -+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限18．若复数4i1iz =-，则复数z 的模等于（ ） AB ．2C．D ．419．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15-B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-20．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题21i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________．22．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12z z =_______. 23．已知复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，则||z =________.24．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 25．写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数z =__________． 26．计算：3i1i+=-___________.27．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．28．已知复数z =(,a b ∈R 且0,0a b ≠≠)的模等于1，则12b a b++的最小值为______.29．已知复数i 3i z =+（i 为虚数单位），则z =__________．30．已知复数z 满足()()1i 2i z t t +=∈R ，若z =，则t 的值为___________. 31．若复数()()32i z a a R =-+-∈为实数，则2021i 1ia a -+的值为______. 32．已知4cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1z 的辐角主值为________． 33．已知i 是虚数单位，则202220211()1+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭i i i ___________．34．把复数z 的共轭复数记作z ，已知()12i 43i z +=+（其中i 是虚数单位），则z =______．35．i 是虚数单位，则1i1i+-的值为__________. 36．下列命题：①若a R ∈，则()1i a +是纯虚数；②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数，则1x =±；③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________．37．若复数22(9)(23)i z m m m =-++-是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________.38．已知z =，则22022z z z ++⋅⋅⋅+=___________. 39．设i 是虚数单位，复数z =，则z =___________. 40．已知复数z 满足()1i 42i -=+z ，则z =_________. 三、解答题41．设复数3cos isin z θθ=+.求函数()tan arg 02y z πθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的最大值以及对应的θ值.42．实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋（x 2－2x －15）i 的点Z ：(1)位于第三象限； (2)位于第四象限；(3)位于直线x －y －3＝0上．43．（1）解方程()20x x x C +=∈；（2）已知32i -+是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，求实数,p q 的值.44．复数cos isin 33ππ+经过n 次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，求n 的值．45．如图，向量OZ 与复数1i -+对应，把OZ 按逆时针方向旋转120°，得到OZ ．求向量OZ '对应的复数（用代数形式表示）．【参考答案】一、单选题 1．B 2．A 3．D 4．D 5．C 6．B 7．A 8．A 9．D 10．C 11．A 12．D 13．B14．B 15．B 16．B 17．B 18．C 19．B 20．B 二、填空题21．1-1- 22．12i -##2i+1- 23．22425．1i -+（答案不唯一）2627．825i 625- 28．72930．2或2- 31．i - 32．2312π3334．2i +##i 2+ 35．1 36．③ 37．12 38．039．40．13i + 三、解答题41．3πθ=时，函数y【解析】 【分析】由3cos isin z θθ=+求得()1arg 3tg z tg θ=，再由两角差的正切建立关于tg θ的函数，()2arg 3y tg z tg tg θθθ=-=+，再由基本不等式法求解． 【详解】 解：解：由02πθ<<得0tg θ>.由3cos isin z θθ=+得sin 1(arg )3cos 3tg z tg θθθ==. 故213(arg )113tg tg y tg z tg θθθθ-=-=+23tg tg θθ=+∵3tg tg θθ+≥∴23tg tg θθ≤+当且仅当302tg tg πθθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭时，即tg θ=时，上式取等号. 所以当3πθ=时，函数y42．(1)－3<x <2 (2)2<x <5 (3)x ＝－2 【解析】 【分析】根据复数的几何意义即可求解. (1)当实数x 满足22602150x x x x ⎧+-<⎨--<⎩，即－3<x <2时，点Z 位于第三象限； (2)当实数x 满足22602150x x x x ⎧+->⎨--<⎩ ，即2<x <5时，点Z 位于第四象限； (3)当实数x 满足（x 2＋x －6）－（x 2－2x －15）－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上；综上，（1）()3,2x ∈- ，（2）()2,5x ∈ ，（3）2x =- . 43．（1）0x =或i x =±；（2）12,26p q ==. 【解析】 【分析】（1）设出()i ,x a b a b =+∈R ，带入等式，再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案.（2）将32i -+带入()220,x px q p q R ++=∈，化简后再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案. 【详解】（1）设()i ,x a b a b =+∈R ，由20x x +=，得222i 0a b ab -+，所以220,0,a b ab ⎧⎪-=⎨=⎪⎩当0a =时，1,1,0b =-； 当0b =时，0a =. 所以0x =或i x =±.（2）因为32i -+是方程()220,x px q p q ++=∈R 的一个根，所以()22(32i)32i 0p q -++-++=，整理，得()310212i 0q p p -++-=， 即()2120,3100p q p ⎧-=⎨-+=⎩解得12,26p q ==. 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.解本类题型的关键在于利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部. 44．()61Z k k -∈. 【解析】 【分析】用共轭复数的概念，以及复数的三角表示即可. 【详解】由题意：cos isin cos isin cos isin 333333nn n ππππππ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，可得cos cos ,sin sin 3333n n ππππ==-， ∴()2Z 33n k k πππ=-∈，()61Z n k k =-∈. 45．1313i 22-+- 【解析】 【分析】复数的旋转用相应的三角函数公式即可. 【详解】如上图，将Z 逆时针旋转到'Z ，即是向量'OZ 对应的复数：()()()1313131i cos120isin1201i 2︒︒⎛⎫-+-++=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭， 1313-+.。
复数练习题(有答案)
复数练习题(有答案)1.复数选择题1.若复数 $z=1+i$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$z$ 的共轭复数为 $\bar{z}=1-i$。
答案：C2.若复数 $z=1-i$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$z$ 的共轭复数为 $\bar{z}=1+i$。
答案：D3.在复平面内，复数 $z=3+4i$ 对应的点的坐标为（）解析：$z$ 对应的点的坐标为 $(3,4)$。
答案：A4.已知复数 $z=\frac{1}{1+i}$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$\bar{z}=\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{2}$。
答案：B5.已知复数 $z=\frac{3-2i}{5}$，则 $z$ 的虚部是（）解析：$z$ 的虚部为$\operatorname{Im}(z)=\frac{-2}{5}$。
答案：C6.已知复数 $z$ 满足 $z(1+i)=1-i$，则复数 $z$ 对应的点在直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 上。
解析：将 $z$ 的实部和虚部表示出来，得到 $z=\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}i$，对应的点在直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 上。
答案：A7.已知复数 $z$ 满足 $z^2=2i$，则 $z\cdot\bar{z}$ 的值为$4$。
解析：$z\cdot\bar{z}=|z|^2=2$，$z^2\cdot\bar{z}^2=(2i)(-2i)=-4$，因此 $z\cdot\bar{z}=\sqrt{-4}=2i$，$|z\cdot\bar{z}|=2$，所以 $z\cdot\bar{z}=4$。
答案：B8.已知复数 $z$ 满足 $z(1-i)=2i$，则在复平面内 $z$ 对应的点位于第二象限。
解析：将 $z$ 的实部和虚部表示出来，得到 $z=-\frac{2}{2i}-i=-1-i$，对应的点在第二象限。
答案：B9.满足 $i^3\cdot z=1-3i$ 的复数 $z$ 的共轭复数是 $3+i$。
高考数学《复数》真题练习含答案
高考数学《复数》真题练习含答案一、选择题1．[2024·新课标Ⅰ卷]若z z －1＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由z z －1 ＝1＋i ，可得z －1＋1z －1 ＝1＋i ，即1＋1z －1 ＝1＋i ，所以1z －1＝i ，所以z －1＝1i＝－i ，所以z ＝1－i ，故选C. 2．[2024·新课标Ⅱ卷]已知z ＝－1－i ，则|z |＝( )A ．0B ．1C ．2D ．2答案：C解析：由z ＝－1－i ，得|z |＝（－1）2＋（－1）2 ＝2 .故选C.3．[2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i ＋9i －3i 2＝6＋8i ，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.4．[2023·新课标Ⅰ卷]已知z ＝1－i 2＋2i，则z －z － ＝( ) A ．－i B ．iC ．0D ．1答案：A解析：因为z ＝1－i 2＋2i ＝（1－i ）22（1＋i ）（1－i ） ＝－12 i ，所以z － ＝12 i ，所以z －z － ＝－12 i －12i ＝－i.故选A. 5．|2＋i 2＋2i 3|＝( )A ．1B ．2C ．5D ．5答案：C解析：|2＋i 2＋2i 3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝5 .故选C.6．设z ＝2＋i 1＋i 2＋i5 ，则z － ＝( ) A ．1－2i B ．1＋2iC ．2－iD ．2＋i答案：B解析：z ＝2＋i 1＋i 2＋i 5 ＝2＋i 1－1＋i ＝－i ()2＋i －i 2 ＝1－2i ，所以z － ＝1＋2i.故选B.7．[2022·全国甲卷(理)，1]若z ＝－1＋3 i ，则z z z －－1＝( ) A ．－1＋3 i B ．－1－3 iC ．－13 ＋33 iD ．－13 －33i 答案：C解析：因为z ＝－1＋3 i ，所以z z z －－1＝－1＋3i （－1＋3i ）（－1－3i ）－1 ＝－1＋3i 1＋3－1 ＝－13 ＋33i.故选C. 8．[2023·全国甲卷(文)]5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ）＝( ) A ．－1 B ．1C ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由题意知，5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ） ＝5（1－i ）22－i2 ＝5（1－i ）5 ＝1－i ，故选C. 9．(多选)[2024·山东菏泽期中]已知复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)，下列说法正确的是( )A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．|z |＝cos θC ．z ·z － ＝1D ．z ＋1z为实数 答案：CD解析：复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)， 复数z 在复平面上对应的点(cos θ，sin θ)不可能落在第二象限，所以A 不正确； |z |＝cos 2θ＋sin 2θ ＝1，所以B 不正确；z ·z － ＝(cos θ＋isin θ)(cos θ－isin θ)＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以C 正确；z ＋1z ＝cos θ＋isin θ＋1cos θ＋isin θ＝cos θ＋isin θ＋cos θ－isin θ＝2cos θ为实数，所以D 正确.二、填空题10．若a ＋b i i(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________． 答案：－7解析：a ＋b i i ＝i （a ＋b i ）i 2 ＝b －a i ，(2－i)2＝3－4i ，因为这两个复数互为共轭复数，所以b ＝3，a ＝－4，所以a －b ＝－4－3＝－7.11．i 是虚数单位，复数6＋7i 1＋2i＝________． 答案：4－i解析：6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝6－12i ＋7i ＋145 ＝20－5i 5＝4－i. 12．设复数z 1，z 2 满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3 ＋i ，则|z 1－z 2|＝________． 答案：23解析：设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝4，又z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ＝3 ＋i ，∴a ＋c ＝3 ，b ＋d ＝1，则(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝4，∴8＋2ac ＋2bd ＝4，即2ac ＋2bd ＝－4，∴|z 1－z 2|＝（a －c ）2＋（b －d ）2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2－（2ac ＋2bd ） ＝8－（－4） ＝23 .[能力提升] 13．(多选)[2024·九省联考]已知复数z ，w 均不为0，则( )A ．z 2＝|z |2B ．z z － ＝z 2|z |2C ．z －w ＝z － －w －D ．⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w 答案：BCD解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，w ＝c ＋d i(c ，d ∈R )；对A ：z 2＝(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2＝a 2－b 2＋2ab i ，|z |2＝(a 2＋b 2 )2＝a 2＋b 2，故A 错误；对B: z z － ＝z 2z －·z ，又z － ·z ＝||z 2，即有z z － ＝z 2|z |2 ，故B 正确； 对C ：z －w ＝a ＋b i －c －d i ＝a －c ＋(b －d )i ，则z －w ＝a －c －(b －d )i ，z － ＝a －b i ，w －＝c －d i ，则z － －w － ＝a －b i －c ＋d i ＝a －c －(b －d )i ，即有z －w ＝z － －w － ，故C 正确； 对D ：⎪⎪⎪⎪z w ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b i c ＋d i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ） ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac ＋bd －（ad －bc ）i c 2＋d 2 ＝（ac ＋bd c 2＋d 2）2＋（ad －bc c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＋a 2d 2－2abcd ＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2c 2＋d 2 ，||z ||w ＝a 2＋b 2c 2＋d2 ＝a 2＋b 2×c 2＋d 2c 2＋d 2 ＝（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）c 2＋d 2 ＝a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2c 2＋d 2 ，故⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w ，故D 正确．故选BCD. 14．[2022·全国乙卷(理)，2]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝－1，b ＝2C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2答案：A解析：由z ＝1－2i 可知z － ＝1＋2i.由z ＋a z － ＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＝0，2a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.故选A. 15．[2023·全国甲卷(理)]设a ∈R ，(a ＋i)(1－a i)＝2，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：C解析：∵(a ＋i)(1－a i)＝a ＋i －a 2i －a i 2＝2a ＋(1－a 2)i ＝2，∴2a ＝2且1－a 2＝0，解得a ＝1，故选C.16．已知z (1＋i)＝1＋a i ，i 为虚数单位，若z 为纯虚数，则实数a ＝________． 答案：－1解析：方法一 因为z (1＋i)＝1＋a i ，所以z ＝1＋a i 1＋i ＝（1＋a i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝（1＋a ）＋（a －1）i 2，因为z 为纯虚数， 所以1＋a 2 ＝0且a －12≠0，解得a ＝－1. 方法二 因为z 为纯虚数，所以可设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，则z (1＋i)＝1＋a i ，即b i(1＋i)＝1＋a i ，所以－b ＋b i＝1＋a i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝1b ＝a ，解得a ＝b ＝－1.。
(完整版)复数练习题(有答案)
复数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．复数21−i (i 为虚数单位)的共轭复数是A ． 1+iB ． 1−iC ． −1+iD ． −1−i2．已知a ∈R，i 是虚数单位．若z ＝a ＋√3i ，z ·z ＝4，则a ＝( )A ． 1或－1B ． √7或－√7C ． －√3D ． √33．已知复数1z i =+（i 为虚数单位）给出下列命题：①z =；②1z i =-；③z 的虚部为i . 其中正确命题的个数是A ． 0B ． 1C ． 2D ． 34．（2018兰州模拟）若复数z 满足(3−4i )z =4+3i ，则|z |=（ ）A ． 5B ． 4C ． 3D ． 15．（2018北京大兴区一模）若i 为虚数单位,图中复平面内点Z 表示复数z ,则表示复数z 1+i 的点是( )A ． EB ． FC ． GD ． H6．（2018江西省景德镇联考）若复数z =a−2i 2在复平面内对应的点在直线x +y =0上，则|z |=（ ）A ． 2B ． √2C ． 1D ． 2√27．（福建省三明市2018届高三下学期质量检查测试）已知复数a +bi =(1−i )21+i （i 是虚数单位，a,b ∈R )，则a +b =（ ）A ． −2B ． −1C ． 0D ． 28．（山东K 12联盟2018届高三开年迎春考试）若复数z = 1 + i + i 2 + i 3 +⋯+ i 2018 +|3−4i |3−4i ，则z 的共轭复数z̅的虚部为 A ． −15 B ． −95C．95D．−95i9．（上海市徐汇区2018届高三一模）在复平面内，复数5+4ii（i为虚数单位）对应的点的坐标为_____10．（上海市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控（二模））设m∈R，若复数(1+ mi )(1+i )在复平面内对应的点位于实轴上，则m=______．11．（2018届浙江省杭州市第二中学6月热身）若复数z满足(1−2i)⋅z=3+i（i为虚数单位），则z=__________；|z|=__________．12．已知z=(a+i)2,(a∈R)，i是虚数单位.(1)若z为纯虚数，求a的值；(2)若复数z在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
复数练习题(有答案)
复数练习题(有答案)1.复数选择题1.若复数 $z=\frac{1}{1-i}$，则 $z$ 的共轭复数为（）。
A。
$\frac{1+i}{2}$ B。
$\frac{1-i}{2}$ C。
$\frac{-1+i}{2}$ D。
$\frac{-1-i}{2}$2.已知复数 $z=\frac{11+22i}{1-i(m-m^2i)}$ 为纯虚数，则实数 $m=$（）。
A。
$1$ B。
$-1$ C。
$i$ D。
$-i$3.若复数 $z=(2+i)i$（其中 $i$ 为虚数单位），则复数$z$ 的模为（）。
A。
$5$4.复数 $z=\frac{3i}{5-2i}$ 的虚部是（）。
A。
$\frac{15}{29}$ B。
$\frac{3}{29}$ C。
$-\frac{3}{29}$ D。
$-\frac{15}{29}$5.已知 $2i+1=z\cdot5\left(5-\frac{1}{z}\right)$，则$z=$（）。
A。
$1$ B。
$3$ C。
$2$ D。
$-2$6.复数 $z$ 满足 $i\cdot z=1-2i$，$z$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $z\cdot z=$（）。
A。
$5$ B。
$-5$ C。
$5i$ D。
$-5i$7.已知 $i$ 是虚数单位，则复数 $\frac{4i}{1+i}$ 在复平面内对应的点在（）。
A。
第一象限 B。
第二象限 C。
第三象限 D。
第四象限8.已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $z=5+3i$，则$\frac{z}{i}=$（）。
A。
$-3+5i$ B。
$5-3i$ C。
$-5+3i$ D。
$3+5i$9.若复数 $z=\frac{a+i}{1-i}$，$a\in R$，为纯虚数，则$z+a=$（）。
A。
$1+2i$ B。
$2i-1$ C。
$2+2i$ D。
$-2i+1$10.已知复数 $z$ 满足 $\frac{z}{2+i}=2-i$，则复数 $z$ 在复平面内对应的点在（）。
(完整版)复数基础练习题
(完整版)复数基础练习题一、单选题1．若复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，则其共轭复数z 的虚部是（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1- 2．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （ ）A ．32- B ．32 C ．6- D ．63．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四 4．复数 21(1)i 1z a a =+--是实数，则实数a 的值为（ ） A ．1或-1B ．1C ．-1D ．0或-15．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 6．已知复数z 满足()1i 1z +=，则z 的虚部为（ ） A ．12- B ．1i 2- C ．12 D ．1i 27．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为()1,2，则()i z z -的对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为(1,2)，则复数iz 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．已知复数2i i +=a z （a R ∈，i 是虚数单位）的虚部是3-，则复数z 对应的点在复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．复数z 满足(1i)23i z -=-，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．在复平面内O 为坐标原点，复数()1i 43i z =-+，27i z =+对应的点分别为12,Z Z ，则12Z OZ ∠的大小为（ ）A ．3πB ．23πC ．34πD ．56π12．已知复数()()31i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）.A ．()3,1-B ．()1,3-C ．()1,+∞D ．(),3-∞ 13．复数z 满足：23i 3=+-z z ，则z =（ ）A ．5BC ．10 D14．已知复数1i z a =+（a R ∈），则1a =是z = ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 15．若复数4i 1i z =-，则复数z 的模等于（ ） AB ．2C ．D ．4 16．复数5i i 2iz -=-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 17．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（ ） A ．12B ．3C ．D ．9 18．已知z 1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝|z 1|＝2，|z 2|＝2，则|z 1－z 2|等于（ ）A ．1B ．12C ．2D ．19．设O 为原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA 对应的复数为（ ）A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5i 20．已知i 是虚数单位，复数12i i z -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +二、填空题21．已知复数z 为纯虚数且满足1-3z =|z |+3i ，则z =________22．已知i34i z =+，求|z |=___________23．复数2i i 1+-的共轭复数是_______． 24．若复数2i iz -=-，则z =_______． 25．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 26．计算：()()12i 34i 2i -+=+_________．27．设12z i =-，则z =___________ .28．写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数z =__________． 29．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数02i 1ia z +=+ (i 是虚数单位，)a R ∈是纯虚数，其对应的点为0Z ，Z 为曲线1z =上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为________________.30．已知复数z =，则复数z 的虚部为__________. 31．若复数z 满足|z －i|＝3，则复数z 对应的点Z 的轨迹所围成的图形的面积为________.32i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________．33．i 是虚数单位，则1i 1i +-的值为__________. 34．已知复数21i i z +=，则z =______． 35．方程()()2223256i 0x x x x --+-+=的实数解x =________.36．若复数22(9)(23)i z m m m =-++-是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________.37．设复数20211i 1iz -=-（i 为虚数单位），则z 的虚部是_______． 38．已知复数z 满足2i z +∈R ，4z z-是纯虚数，则z 的共轭复数z =______. 39．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.40．已知复数()()211i z a a =-+-()a R ∈是纯虚数，则=a ___________.三、解答题41．在复平面内，若复数()()22232i z m m m m -+-=-+对应的点满足下列条件．分别求实数m 的取值范围．(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上．42．已知复数z 满足：i 1i z +=-．(1)求z ；(2)求1iz +的模． 43．在复平面内指出与复数z 1＝－1，z 2＝2－i ，z 3＝－i ，z 43i 对应的点Z 1，Z 2，Z 3，Z 4，然后在复平面内画出这4个复数对应的向量．44．（1）解方程()20x x x C +=∈；（2）已知32i -+是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，求实数,p q 的值.45．已知复数()21i z a =+，243i z =-，其中a 是实数．(1)若12i z z =，求实数a 的值；(2)若12z z 是纯虚数，a 是正实数，求23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【参考答案】一、单选题1．D2．A3．B4．C5．B6．A7．D8．B9．D10．A11．C12．A 13．D 14．A 15．C 16．C 17．C 18．D 19．D 20．B二、填空题21．i22．15##0.223．13i22-+24．12i-2526．43i-##3i4-+2728．1i-+（答案不唯一）29．130．31．9π32．1-1-33．13435．236．1237．038．22i+##2i2+39．340．1-三、解答题41．(1)m ＝2或m ＝－1；(2)－1＜m ＜1；(3)m ＝2.【解析】【分析】（1）由题可得220m m --=，即求；（2）由题可知2220320m m m m ⎧--<⎨-+>⎩，进而即得； （3）由题可得222=32m m m m --+-，即得.(1)∵复数()()22232i z m m m m -+-=-+对应的点为()222,32m m m m ---+，由题意得220m m --=，解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得2220320m m m m ⎧--<⎨-+>⎩∴1212m m m -<<⎧⎨⎩或， ∴－1＜m ＜1.(3)由题得222=32m m m m --+-，∴m ＝2.42．(1)12i +【解析】【分析】（1）先求出12z i =-，再求出z ；（2）先利用复数除法法则化简得1i 2i 321z --=+，从而求出模长. (1)12z i =-，12i z =+(2)()()()()2212i 1i 12i 13i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 1i 222----+--====--++--，故22119101i 223442z ⎛⎫⎛⎫=-+-=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. 43．答案见解析【解析】【分析】根据复数的几何意义即可求解.【详解】解：由题意知Z 1（－1，2 ），Z 2（2，－1），Z 3（0，－1），Z 4（3 ，3）,如下图所示，在复平面内，复数z 1，z 2，z 3，z 4对应的向量分别为1OZ ，234,,OZ OZ OZ . 44．（1）0x =或i x =±；（2）12,26p q ==.【解析】【分析】（1）设出()i ,x a b a b =+∈R ，带入等式，再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案.（2）将32i -+带入()220,x px q p q R ++=∈，化简后再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案.【详解】（1）设()i ,x a b a b =+∈R ，由20x x +=，得22222i 0a b ab a b -++，所以22220,0,a b a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩当0a =时，1,1,0b =-；当0b =时，0a =.所以0x =或i x =±.（2）因为32i -+是方程()220,x px q p q ++=∈R 的一个根，所以()22(32i)32i 0p q -++-++=，整理，得()310212i 0q p p -++-=，即()2120,3100p q p ⎧-=⎨-+=⎩ 解得12,26p q ==.【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.解本类题型的关键在于利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.45．(1)2(2)1i -+【解析】【分析】（1）利用复数的乘法运算及复数相等的概念求解（2）利用12z z 为纯虚数求a ，从而得12i zz =，然后通过复数的周期性进行求解即可(1)∵()21i z a =+，243i z =-，12i z z =∴()22i 12i 34i a a a +=-+=+从而21324a a ⎧-=⎨=⎩，解得a =2 所以实数a 的值为2．(2) 依题意得：()()()()()2212i i 43i 43i 43i 43i a a z z +++==--+ ()()()()2222222222i i 43i 48i 4i 3i 6i 3i 16943i a a a a a a ++++++++==--- ()()22464383i25a a a a --++-= 因为12z z 是纯虚数，所以：2246403830a a a a ⎧--=⎨+-≠⎩，从而a =2或12a =-； 又因为a 是正实数，所以a =2．当a =2时，22124648i 3i 3i 25z a a a a z --++-=16i 12i 3i i 25+-==， 因为1i i =，2i 1=-，3i i =-，41i =，……，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i 1n =，（n N∈）所以232022 11112222z z z zz z z z⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2342022i i i i i=++++⋅⋅⋅+()()() 23456789102019202020212022 i i i i i i i i i i i i i i=++++++++++⋅⋅⋅++++ 2i i000=++++⋅⋅⋅+1i=-+所以232022111122221i z z z zz z z z⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
(完整版)复数计算练习题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C 2.10i2－i＝( ) A ．－2＋4i B ．－2－4i C ．2＋4i D ．2－4i答案 A3．若w ＝－12＋32i ，则w 4＋w 2＋1等于( ) A ．1 B ．0 C ．3＋3i D ．－1＋3i答案 B4．在(12＋32i)12的展开式中，所有奇数项的和等于( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．i 答案 B 5．已知z1＋i＝2＋i ，则复数z ＝( ) A ．－1＋3i B ．1－3i C ．3＋i D ．3－i答案 B 解析 ∵z1＋i＝2＋i ，∴z ＝(2＋i)(1＋i)＝2＋3i ＋i 2＝1＋3i.∴z ＝1－3i. 6．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 1＋i 2等于( )A ．4iB ．－4iC．2i D．－2i 答案 C7．复数(2＋2i)4(1－3i)5等于()A．1＋3i B．－1＋3i C．1－3i D．－1－3i 答案 B8．复数1＋2i3＝()A．1＋2i B．1－2i C．－1 D．3答案 A解析1＋2i3＝1＋2－i＝1＋2i，故选A.9．在复数集C内分解因式2x2－4x＋5等于() A．(x－1＋3i)(x－1－3i)B．(2x－2＋3i)(2x－2－3i)C．2(x－1＋i)(x－1－i)D．2(x＋1＋i)(x＋1－i)答案 B10．复数i3(1＋i)2＝()A．2 B．－2 C．2i D．－2i 答案 A解析由题意得i3(1＋i)2＝－i·2i＝－2i2＝2，选A.11．复数z＝11－i的共轭复数是()A.12＋12i B.12－12iC．1－i D．1＋i 答案 B解析 z ＝11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝12＋12i ，z ＝12－12i ，故选B. 12．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知复数z ＝2＋i ，则z 4－4z 3＋6z 2－4z －1＝________. 答案 －6解析 z 4－4z 3＋6z 2－4z －1＝(z 4－4z 3＋6z 2－4z ＋1)－2＝(z －1)4－2＝(1＋i)4－2＝[(1＋i)2]2－2＝(2i)2－2＝－4－2＝－6.14．i4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝________(n 为正整数)． 答案 0 15．已知(1－i )31＋i＝a ＋3i ，则a ＝________. 答案 －2－3i16．设z ∈C ，z ＋|z |＝2＋i ，则z ＝________. 答案 34＋i解析 设z ＝a ＋b i ，则|z |＝a 2＋b 2. ∴a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i. ∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，∴z ＝34＋i.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)若复数z ＝m 2＋m －2＋(2m 2－m －3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．解析 由题意得z ＝m 2＋m －2－(2m 2－m －3)i. ∴⎩⎨⎧ m 2＋m －2>0，－(2m 2－m －3)>0，即⎩⎨⎧m 2＋m －2>0，2m 2－m －3<0， 解得1<m <32.18．(12分)计算(12＋32i)3.解析 方法一 ∵(12＋32i)3＝(12＋32i)2·(12＋32i)＝(－12＋32i)(12＋32i)＝(32i)2－(12)2＝－34－14＝－1.方法二 原式＝(12)3＋3×(12)2×32i ＋3×12×(32i)2＋(32i)3＝18＋338i －98－338i ＝－1.19．(12分)已知复平面内点A 、B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos2θ，其中θ∈(0,2π)，设AB →对应的复数为z .(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值．解析 (1)z ＝z 2－z 1＝－cos 2θ－sin 2θ＋i(cos2θ－1)＝－1－i(2sin 2θ)． (2)点P 的坐标为(－1，－2sin 2θ)． 由点P 在直线y ＝12x ，得－2sin 2θ＝－12.∴sin 2θ＝14，∴sin θ＝±12.又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π6，56π，76π，116π.20．(12分)已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i ，若z 2＋az ＋b ＝1－i ，试求实数a 、b 的值．解析 化简得z ＝1＋i 代入方程，得 a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i.∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1， ∴⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4. 21．(12分)设z ＝(a 2－a －6)＋a 2＋2a －15a 2－4i(a ∈R )，试判断复数z 能否为纯虚数？并说明理由．解析 假设复数z 能为纯虚数，则⎩⎨⎧a 2－a －6＝0，a 2＋2a －15a 2－4≠0.∴⎩⎨⎧a ＝3或a ＝－2，a ≠－5且a ≠3且a ≠±2.∴不存在a 使复数z 为纯虚数．22．(12分)已知a ∈R ，问复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点的轨迹是什么？解析 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3， －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1， 得z 的实部为正数，z 的虚部为负数． ∴复数z 对应的点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎨⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2).消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)． ∴复数z 对应点的轨迹是一条射线， 其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．。
高中复数练习题及讲解及答案
高中复数练习题及讲解及答案### 高中复数练习题及讲解及答案#### 练习题1. 复数的加减法- 计算以下复数的和：\(3 + 4i\) 和 \(1 - 2i\)。
2. 复数的乘法- 求 \((2 + 3i)(1 - i)\) 的乘积。
3. 复数的除法- 计算 \(\frac{2 + i}{1 + i}\)。
4. 复数的共轭- 找出 \(3 - 4i\) 的共轭复数。
5. 复数的模- 求 \(5 + 12i\) 的模。
6. 复数的幂运算- 计算 \((2 + i)^2\)。
7. 复数的指数形式- 将 \(8\) 表示为 \(2\) 的幂次形式。
8. 复数的极坐标形式- 将 \(-3 - 4i\) 转换为极坐标形式。
9. 复数的三角函数- 求 \(\sin(3 + 4i)\)。
10. 复数的对数- 计算 \(\log(-8 + 0i)\)。
#### 讲解复数是实数和虚数的组合，形如 \(a + bi\)，其中 \(a\) 和 \(b\)是实数，\(i\) 是虚数单位，满足 \(i^2 = -1\)。
1. 加减法：直接对实部和虚部分别进行加减。
2. 乘法：使用分配律，然后合并同类项。
3. 除法：将分母的实部和虚部合并，然后乘以共轭复数，简化表达式。
4. 共轭复数：改变虚部的符号。
5. 模：计算 \(\sqrt{a^2 + b^2}\)。
6. 幂运算：使用二项式定理或幂的性质。
7. 指数形式：使用欧拉公式 \(e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\)。
8. 极坐标形式：表示为 \(r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\)，其中 \(r\) 是模，\(\theta\) 是辐角。
9. 三角函数：使用复数的指数形式和欧拉公式。
10. 对数：首先将复数转换为极坐标形式，然后应用对数的性质。
#### 答案1. \(4 + 2i\)2. \(2 + 5i\)3. \(3 - i\)4. \(3 + 4i\)5. \(13\)6. \(3 + 4i\)7. \(2^3\)8. \(5(\cos(-\pi/4) + i\sin(-\pi/4))\)9. 无实数解，因为 \(\sin\) 函数在复数域内没有定义。
高中复数加减法练习题(打印版)
高中复数加减法练习题（打印版）# 高中复数加减法练习题## 一、基础练习题1. 计算以下复数的和：\[ z_1 = 3 + 4i \]\[ z_2 = 1 - 2i \]求 \( z_1 + z_2 \)。
2. 计算以下复数的差：\[ w_1 = 2 - 5i \]\[ w_2 = 1 + 3i \]求 \( w_1 - w_2 \)。
3. 给定复数 \( a = 2 + 6i \) 和 \( b = -1 - 3i \)，求 \( a -b \)。
## 二、进阶练习题4. 计算复数 \( x = 4 - 2i \) 和 \( y = 3 + i \) 的和，并简化结果。
5. 给定复数 \( p = 1 + i \) 和 \( q = -2 - 4i \)，求 \( p - q \) 并将其表示为 \( a + bi \) 的形式。
6. 计算复数 \( r = 5i \) 和 \( s = -3 - 2i \) 的差，并简化结果。
## 三、混合运算练习题7. 计算 \( (2 + 3i) + (1 - 4i) - (3 - 2i) \)。
8. 给定 \( u = 2 - i \) 和 \( v = 3i \)，求 \( u + v - (1 + 2i) \)。
9. 计算 \( (-1 + 2i) - (3 - 4i) + (2 + i) \) 并简化。
## 四、应用题10. 在复平面上，点 \( A \) 表示复数 \( 4 + 3i \)，点 \( B \) 表示复数 \( 1 - 2i \)。
求点 \( A \) 和点 \( B \) 之间的距离。
11. 已知复数 \( z = 3 - 4i \)，求 \( z \) 与原点 \( O \) 之间的距离。
12. 计算复数 \( w = 2 + 5i \) 与 \( x = -1 - 3i \) 的和，并在复平面上表示这个和。
注意：请同学们认真完成以上练习题，掌握复数的加减法运算规则，提高解题能力。
完整版)高中数学复数练习题
完整版)高中数学复数练习题高中数学《复数》练题一、基本知识：复数的基本概念1.形如a+bi的数叫做复数（其中a，b∈R）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即i²=－1.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部。
2.实数：当b=0时复数a+bi为实数；虚数：当b≠0时的复数a+bi为虚数；纯虚数：当a=0且b≠0时的复数a+bi为纯虚数。
3.两个复数相等的定义：a+bi=c+di⟺a=c且b=d（其中，a，b，c，d，∈R）。
特别地a+bi=0⟺a=b=0.4.共轭复数：z=a+bi的共轭记作z=a-bi；5.复平面：z=a+bi，对应点坐标为p(a,b)；（象限的复）6.复数的模：对于复数z=a+bi，把z²=a²+b²叫做复数z的模；二、复数的基本运算：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i1.加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；2.减法：z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i；3.乘法：z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a2b1+a1b2)i。
特别z·z=a²+b²。
4.幂运算：i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1，i⁵=i，i⁶=-1……以此类推。
三、复数的化简把c+di（a,b是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：z=(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)+(ad-bc)i/(c²+d²)四、例题分析例1】已知z=a+1+(b-4)i，求1) 当a,b为何值时z为实数2) 当a,b为何值时z为纯虚数3) 当a,b为何值时z为虚数4) 当a,b满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象限。
变式1】若复数z=(x²-1)+(x-1)i为纯虚数，则实数x的值为A。
-1 B。
1 C。
0 D。
-1或1例2】已知z1=3+4i，z2=(a-3)+(b-4)i，求当a,b为何值时z1=z2例3】已知z=1-i，求z，z·z；变式1】复数z满足z=(2-i)/(1-i)，则求z的共轭z变式2】已知复数z=3+i，则z·z=？例4】已知z1=2-i，z2=-3+2i1) 求z1+z22) 求z1·z22.已知复数 $z$ 满足 $(z-2)i=1+i$，求 $|z|$。
(完整版)复数练习题含答案
(完整版)复数练习题含答案一、单选题1．复数z 满足(2)i z z =+，则z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --2．已知复数z 满足()2i 32i +=+z 则||z =（ ）AB C D 3．设集合A 实数 ，{}B =纯虚数，{}C =复数，若全集SC ，则下列结论正确的是（ ） A ．AB C =B ．A B =C ．()S A B ⋂=∅D ．SSABC4．已知复数5i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．23i +B ．24i -C ．33i +D ．24i +5．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 6．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．若复数i (2i)z m m =++在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(,0)-∞D ．(1,)-+∞8．若复数()()2i ,z a b a b =+-∈R ，在复平面内对应的点在直线20x y --=上，则a b -=（ ）A ．4-B ．0C ．2D ．49．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （ ） A ．32-B ．32C ．6-D ．610．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．2B ．1C ．iD ．1-11．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“ab >0”是“复数a －b i 对应的点位于复平面上第二象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件12．2021i 1i-=（ ）A ．11i 22+ B ．11i 22-- C ．11i 22-+ D ．11i 22-13．设复数53i--的实部与虚部分别为a ，b ，则a b -=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 14．已知i 为虚数单位，则复数1i -+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．已知复数()()31i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）. A ．()3,1- B ．()1,3- C ．()1,+∞D ．(),3-∞16．已知复数1i z a =+（a R ∈），则1a =是z = ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17．已知复数z 满足()21i 24i z -=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．2B ．1C ．2-D ．i18．下列关于复数的命题中（其中i 为虚数单位），说法正确的是（ ） A ．若复数1z ，2z 的模相等，则1z ，2z 是共轭复数B ．已知复数1z ，2z ，3z ，若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==C ．若关于x 的方程()21i 14i 0x ax +++-=（a ∈R ）有实根，则52a =-D ．12i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，其中,p q 为实数，则5q = 19．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（ ） A ．12 B ．3C ．D ．920．已知m 为实数，则“1m =”是“复数()211i z m m =-++为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题21．已知复数z 满足294i z z +=+，则z =___________.22．若复数31i 2iz a -=-为实数，则实数a 的值为_______.23．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________. 24．已知z 是复数，3i 13i z z z z +-⋅⋅=-，则复数z =_________25．已知复数20202023i i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限．26．若复数()2(2)9i()z m m m R =++-∈是正实数，则实数m 的值为________．27．若()1i 1i z +=-，则z =_______ 28．设12z i =-，则z =___________ .29．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12z z =_______. 30．计算：3i1i+=-___________. 31．设i 为虚数单位，则复数2(1i)1i+-=____．32．若复数()2i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为________.33．若复数1z ，2z 满足112i z =-，234i z =+（i 是虚数单位），则12z z ⋅的虚部为___________．34．已知复数z 为纯虚数且满足1-3z =|z |+3i ，则z =________ 35．已知复数z 满足1z =，则22z i +-的最大值为______. 36．复数121i,22i z z =+=-，则12_________.z z -=37．已知复数cos isin i z θθ=+（为虚数单位），则1z -的最大值为___________ 38．方程()()2223256i 0x x x x --+-+=的实数解x =________.39．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =___________. 40．设i是虚数单位，且12w =-，则21w w ++=______． 三、解答题41．已知复数z满足||z =z 2的虚部为2.(1)求复数z ；(2)设22,,z z z z -在复平面上的对应点分别为A ､B ､C ，求△ABC 的面积. 42．将下列复数表示成三角形式 (1)πtan i,(0,)2θθ+∈； (2)[)1cos isin ,0,2πααα++∈．43．已知复数()2i z a =+，i 43w =-其中a 是实数，(1)若在复平面内表示复数z 的点位于第一象限，求a 的范围； (2)若zw是纯虚数，a 是正实数， ①求a ，②求232023z z z z w w w w ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭44．（1）已知设方程α，β是方程220x x a ++=的两根，其中a R ∈，则||||αβ+的值；（2）关于x 的方程243i 0x ax +++=有实根，其中a C ∈，求||a 的最小值，并求取得最小值时方程的根．45．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式． (1)1ππcos isin 244⎛⎫- ⎪⎝⎭； (2)1ππcos isin 233⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； (3)13π3πsin isin244⎛⎫+ ⎪⎝⎭； (4)7π7πcos isin 55+．【参考答案】一、单选题 1．C 2．A 3．D 4．A 5．B7．A 8．B 9．A 10．D 11．B 12．C 13．A 14．B 15．A 16．A 17．B 18．D 19．C 20．C 二、填空题 21．5 22．2- 23．124．12或12##12-或12 25．四 26．3 27．i 2829．12i -##2i+1-3031．1i -+ 32．1 33．-2 34．i 35．13637．239．2i -+ 40．0 三、解答题41．(1)1i z =+或1i z =-- (2)1 【解析】 【分析】（1）设()i ,R z x y x y =+∈，根据已知条件列方程求得,x y ，由此求得z . （2）求得,,A B C 的坐标，从而求得三角形ABC 的面积. (1)设()i ,R z x y x y =+∈，222x y +=①，2222i z x y xy =-+的虚部为2，所以22,1xy xy ==②，由①②解得11x y =⎧⎨=⎩或11y x =-⎧⎨=-⎩. 所以1i z =+或1i z =--. (2)当1i z =+时，22i z =，21i z z -=-， 所以()()()1,1,0,2,1,1A B C -，2AC =，所以三角形ABC 的面积为11212⨯⨯=. 当1i z =--时，22i z =，213i z z -=--， 所以()()()1,1,0,2,1,3A B C ----，2AC =，所以三角形ABC 的面积为12112⨯⨯=.42．(1)1ππsin icos cos 22θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦； (2)当0πα≤<时,2cos cos isin 222ααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 当π2πα≤<时，2cos cos πisin π222ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【解析】（1）根据同角三角函数的商数关系及诱导公式，再结合复数表示的三角形式 即可求解；（2）根据三角函数的二倍角公式及诱导公式，再结合复数表示的三角形式即可求解； (1)()sin 1tan i i sin icos cos cos θθθθθθ+=+=+， π(0,),cos 02θθ∈∴>，1ππtan i sin icos cos 22θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (2)21cos isin 2cos isincos222ααααα++=+2coscos isin 222ααα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ∵当0πα≤<时，π022α≤<，cos 02α>， ∴1cos isin 2cos cos isin 222ααααα⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭， 当π2πα≤<时，π<π22α≤，cos02α≤，∴1cos isin 2coscos isin 222ααααα⎛⎫++=--- ⎪⎝⎭2coscos πisin π222ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 43．(1)1a > (2)①2； ②1-. 【解析】 【分析】（1）化简复数212i z a a =-+，根据复数z 在第一象限，列出不等式组，即可求解；（2）化简复数()()22464383i25aa a a zω--++-=，由zw是纯虚数，求得2a =，化简得到i zω=，结合虚数单位的性质，即可求解.(1)解：由题意，复数()22i 12i z a a a =+=-+，因为复数z 在第一象限，可得21020a a ⎧->⎨>⎩，解得1a >．(2)解：由题意，复数()()()()()()()()2222222i i 43i i i 43i 43i43i 43i 43i a a a a zω++++++===--+- ()()()2222223464383i 48i 4i 3i 6i 3i 16925a a a a a a a a --++-+++++==--，因为zw 是纯虚数，则2246403830a a a a ⎧--=⎨+-≠⎩，解得2a =或12a =-，又因为a 是正实数，则2a =，当2a =时，复数224648i 3i 3i 16i 12i 3ii 2525za a a a ω--++-+-===， 因为41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i 1n =，n N ∈，所2320232334202i i i i i zz z z ωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()4678202122352023022i i i i i i i i i i i =++++++++⋅⋅⋅+++()00i i 11=+++--=-．44．（1）()()()0201a a a a αβ⎧<⎪+=≤≤⎨⎪>⎩；（2）min ||a =3i)+或3i)+．【解析】 【分析】（1）求出判别式4(1)a ∆=-，对a 分类讨论：当01a 时，当0a <时，当1a >时三种情况，分别求出||||αβ+；（2）设0x 为方程的实根，代入原方程，表示出a ，利用基本不等式求出||a 的最小值，并求取得最小值时方程的根． 【详解】（1）判别式444(1)a a ∆=-=-， ①若0∆，即1a ，则α，β是实根，则2αβ+=-，a αβ=，则2222(||||)2||()22||422||a a αβαβαβαβαβαβ+=++=+-+=-+，故||||αβ+，当01a 时，||||2αβ+=， 当0a <时，||||αβ+=②若∆<0，即1a >，则α，β是虚根，1α=-，1β=-，故||||αβ+==综上：()()()0201a a a a αβ⎧<⎪+=≤≤⎨⎪>⎩.（2）设0x 为方程的实根，则20043i 0x ax +++=， 所以00043i a x x x =---， 则20020004325||2()2()2818a x x xx x =++=++， 当202025x x =即0x =||min a =当0x =3i)+，当0x =3i)+． 45．(1)不是三角形式，化为三角形式为17π7πcos isin 244⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)不是三角形式，化为三角形式为14π4πcos isin 233⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(3)不是三角形式，化为三角形式为1ππcos isin 244⎛⎫+ ⎪⎝⎭； (4)是三角形式. 【解析】 【分析】直接利用复数的三角形式求解即可. (1)1ππcos isin 244⎛⎫- ⎪⎝⎭不是三角形式， 1ππcos isin 244⎛⎫- ⎪⎝⎭12⎫=⎪⎪⎝⎭=，其中12r ==，故三角形式为1222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭17π7πcos isin 244⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； (2)1ππcos isin 233⎛⎫-+ ⎪⎝⎭不是三角形式， 1ππcos isin 233⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1122⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭14=-，其中12r ==，故三角形式为1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭14π4πcos isin 233⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； (3)13π3πsinisin 244⎛⎫+ ⎪⎝⎭不是三角形式，13π3πsin isin 244⎛⎫+ ⎪⎝⎭12⎫=⎪⎪⎝⎭，12r ==，故三角形式为12⎫⎪⎪⎝⎭1ππcos isin 244⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； (4)7π7πcosisin 55+是三角形式.。
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(完整版)复数练习题一、单选题 1．已知复数12i1iz -=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．筹四象限2．已知复数z 满足()2i 32i +=+z 则||z =（ ） ABCD3．复数(2i 的虚部为（ ） A ．2 B．C．2-D ．04．向量1OZ ，2OZ ，分别对应非零复数z 1，z 2，若1OZ ⊥2OZ ，则12Z Z 是（ ）A ．负实数B ．纯虚数C ．正实数D ．虚数a ＋b i(a ，b ∈R ，a ≠0)5．设||(12i)34i z -=+，则z 的共轭复数对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．在复平面内，复数z 满足()1i 3i z -=-+，则复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知复数z 满足()1i 1z +=，则z 的虚部为（ ） A ．12-B ．1i 2-C ．12D ．1i 28．下列命题：①若i 0a b +=，则0a b ；②i 22i 2x y x y +=+⇔==；③若y R ∈，且()()211i 0y y ---=，则1y =.其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．设复数21iz =-+，则z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．（1，1） B ．（-1，1） C ．（1，-1） D ．（-1，-1）10．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为(1,2)，则复数iz 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知复数324i 1iz +=-，则z =（ ）AB C ．D ．12．设复数z 满足i 4i 0z ++=，则||z =（ ）AB ．4C D 13．若复数z 满足()13i 17i -=-z ，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．复数20222i 1iz =+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 15．若复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，则其共轭复数z 的虚部是（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 16．若复数2(1i)-的实部为a ，虚部为b ，则a b +=（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．3 17．已知i 为虚数单位，则复数1i -+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限18．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15-B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-19．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（ ） A ．z ＝1＋2i B ．z ＝1－2i C ．z ＝－1＋2i D ．z ＝－2＋i20．2243i 4i a a a a --=+，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．1或4-C ．4-D ．0或4-二、填空题21．设z C ∈，且1i 0z z +--=，则i z +的最小值为________.22．设i 为虚数单位，若复数(1i)(i)a -+的实部与虚部相等，其中a 是实数，则|1i |-+=a ________.23．设(3i)i 6i a a b +=-，其中a ，b 是实数，则i a b +=____________．24．已知复数2z =+i ，其中i 为虚数单位，那么复数()2z ·z 所对应的复平面内的点在第________象限25．复数2i z a =+，a ∈R ，若13i i+-z 为实数，则=a ________． 26．若复数z 满足i 3i=iz -+，则z =________. 27．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______．28．若复数()2(2)9i()z m m m R =++-∈是正实数，则实数m 的值为________．29．已知复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，则||z =________.30．设m ∈R ，复数z ＝（2＋i ）m 2－3（1＋i ）m －2（1－i ），若z 为非零实数，则m ＝________．31．设i 为虚数单位，则复数2(1i)1i+-=____．32．设复数z 满足()1i 22i z +=-（i 为虚数单位），则z =______． 33．已知复数z 为纯虚数且满足1-3z =|z |+3i ，则z =________ 34．复数121i,22i z z =+=-，则12_________.z z -=35．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为________．36．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2zz-＝________． 37．i 是虚数单位，则1i1i+-的值为__________. 38．若复数22(9)(23)i z m m m =-++-是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 39．计算：112i2i-=+___________. 40．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 三、解答题41．（1）解方程()20x x x C +=∈；（2）已知32i -+是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，求实数,p q 的值.42．已知O 为直线AB 外一点．(1)若4155OC OA OB =+，求证：、、A B C 三点共线；(2)若O 为坐标原点，i为虚数单位，31,tan ,14i A B π⎛⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，求△OAB 的面积．43．根据要求完成下列问题：(1)已知复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，1||1z =，且111z z +=，求1z ；(2)已知复数225(15i)3(2i)12im z m =-+-+-为纯虚数，求实数m 的值.44．设复数11i z =-，2cos isin z θθ=+，其中[]0,θπ∈. (1)若复数12z z z =⋅为实数，求θ的值； (2)求12z z +的取值范围．45．如图，向量OZ 与复数1i -+对应，把OZ 按逆时针方向旋转120°，得到OZ ．求向量OZ '对应的复数（用代数形式表示）．【参考答案】一、单选题 1．C 2．A 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．B 9．D 10．B 11．B 12．A 13．D 14．B 15．D 16．B17．B 18．B 19．D 20．C 二、填空题21. 2223．24．四 25．3-2627．1i -##i+1- 28．3 29．2 30．1 31．1i -+ 32．2 33．i3435．8336．－1＋2i##2i －1 37．1 38．1239．43i -##3i 4-+40三、解答题41．（1）0x =或i x =±；（2）12,26p q ==. 【解析】 【分析】（1）设出()i ,x a b a b =+∈R ，带入等式，再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案.（2）将32i -+带入()220,x px q p q R ++=∈，化简后再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案. 【详解】（1）设()i ,x a b a b =+∈R ，由20x x +=，得222i 0a b ab -+，所以220,0,a b ab ⎧⎪-=⎨=⎪⎩当0a =时，1,1,0b =-； 当0b =时，0a =. 所以0x =或i x =±.（2）因为32i -+是方程()220,x px q p q ++=∈R 的一个根，所以()22(32i)32i 0p q -++-++=，整理，得()310212i 0q p p -++-=，即()2120,3100p q p ⎧-=⎨-+=⎩解得12,26p q ==. 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.解本类题型的关键在于利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部. 42．(1)证明见解析；【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，结合已知条件，求得BC AC ，的关系，即可证明； （2）根据特殊角的三角函数，以及复数的运算，求得,OA OB 的坐标，通过数量积判断△OAB 的形状，再求其面积即可. (1)4155OC OA OB =+，4411410,0555555OC OA OC OB AC BC ∴-+-=∴+= 得：4BC AC =-．又BC 与AC 有公共点C ，所以、、A B C 三点共线． (2)21,,(2OA OB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭110,OA OB ∴⋅=-+=∴三角形OAB 中OA OB ⊥而63,2OA OB ==∴，三角形OAB 的面积为：12=.43．(1)112z = (2)2m =- 【解析】 【分析】（1）设1i z a b =+，由题设可得关于,a b 的方程组，求出其解后可得1z . （2）根据复数的四则运算可求2z ，根据其为纯虚数可求实数m 的值. (1)设1i z a b =+（a b R ∈、），由题意得22121a b a ⎧+=⎨=⎩，解得12a =，b =∵复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，∴b =112z =； (2)()()()()2222515i 32i 6253i 12im z m m m m m =-+-+=--+---，依题意得260m m --=，解得3m =或2m =-， 又∵22530m m --≠，∴3m ≠且12m ≠-， ∴2m =-. 44．(1)34π(2) 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法运算法则计算可得(cos sin )(cos sin )i z θθθθ=-++，再列出等量关系cos sin 0θθ+=，求解即可；（2）先计算12z z +=[]0,θπ∈和余弦函数的性质，分析即得解 (1)由题意，12cos isin )(cos sin )(cos sin )i (1i)(z z z θθθθθθ=+++⋅=⋅+=-若复数12z z z =⋅为实数，则cos sin 0θθ+= 故tan 1θ=-，[]0,θπ∈ 解得：34πθ=(2)由题意，11i z =-，2cos isin z θθ=+12|(1)cos sin |||(1cos )(1i s )i i in z z θθθθ=-++=+-+++2232cos 2(1cos )(1sin )sin θθθθ=++--+=+322cos()4πθ=++由于[]0,θπ∈，故5,444πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故21cos()42πθ-≤+≤故12213225z z -=-+≤≤ 故12z z +的取值范围是[21,5]- 45．1313i 22-+- 【解析】 【分析】复数的旋转用相应的三角函数公式即可. 【详解】如上图，将Z 逆时针旋转到'Z ，即是向量'OZ 对应的复数：()()()1313131i cos120isin1201i 2︒︒⎛⎫-+-++=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭， 1313-+.。
(完整版)复数基础练习题附答案
(完整版)复数基础练习题附答案一、单选题1．2243i 4i a a a a --=+，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．1或4-C ．4-D ．0或4-2．已知复数1i z =-，则2i z z -=（ ）A ．2B ．3C ．D ．3．复数(2i 的虚部为（ ）A ．2B ．C ．2-D ．04．已知复数113i z =+的实部与复数21i z a =--的虚部相等，则实数a 等于（ ） A ．-3 B ．3 C ．-1D ．15．已知a R ∈，“实系数一元二次方程2904x ax ++=的两根都是虚数”是“存在复数z 同时满足2z =且1z a +=”的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要 D ．既非充分又非必要 6．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（ ）A ．sin 30°＋icos 30°B ．cos 160°＋isin 160°C ．cos 30°＋isin 30°D ．sin 160°＋icos 160° 7．设||(12i)34i z -=+，则z 的共轭复数对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．复数z 满足()12i z =，i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ）A ．BC ．D 9．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四10．下列命题：①若i 0a b +=，则0a b ；②i 22i 2x y x y +=+⇔==；③若y R ∈，且()()211i 0y y ---=，则1y =.其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11．设向量OP ，PQ ，OQ 对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么（ ）A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝012．3i3i-+=+（ ） A ．43i 55+B ．43i 55-+C ．43i 55D ．43i 55--13．已知复数23i z =-，则()1i z +=（ ） A ．3i -B ．3+3i -C ．3i +D ．3i -+14．设i 为虚数单位，()1i 2i z -+=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．12-B ．1i 2C ．32-D ．3i 2-15．若复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，则其共轭复数z 的虚部是（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1-16．2021i 1i-=（ ）A ．11i 22+ B ．11i 22-- C ．11i 22-+D ．11i 22-17．已知复数z 满足()21i 68i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．10B ．5 CD．18．已知复数()()31i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）. A ．()3,1- B ．()1,3- C ．()1,+∞D ．(),3-∞19．已知复数1i z a =+（a R ∈），则1a =是z = ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件20．已知复数z 满足()1i 1z +=，则z 的虚部为（ ） A ．12- B ．1i 2-C ．12D ．1i 2二、填空题21．化简：i 是虚数单位，复数()2021i34i z =+=_________.22．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12zz=_______. 23．已知复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，则||z =________.24．若复数31i 2iz a -=-为实数，则实数a 的值为_______.25．设i 为虚数单位，若复数(1i)(i)a -+的实部与虚部相等，其中a 是实数，则|1i |-+=a ________.26．已知复数z 满足211iz -=+，则z 的最小值为___________； 27．若i 为虚数单位，复数3i z =+，则表示复数1iz+的点在第_______象限. 28．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 29．已知复数i 3i z =+（i 为虚数单位），则z =__________． 30．写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数z =__________．31．已知关于x 的方程，()()()221i i 0,,R x x ab a b a b ++++++=∈总有实数解，则a b +的取值范围是__________.32．已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根，则b a -=________.33．计算：3i1i+=-___________. 34．已知复数z 满足294i z z +=+，则z =___________.35．定义12,C z z ∈，221212121(||||)4z z z z z z ⊕=+--，121212i(i )z z z z z z ⊗=⊕+⊕.若134i z =+，21z =+，则12||z z ⊗=___________.36．已知复数z =，则复数z 的虚部为__________. 37．若i 为虚数单位，复数z 满足42ii 12iz --=+，则z =___________. 38．若复数1z ，2z 满足112i z =-，234i z =+（i 是虚数单位），则12z z ⋅的虚部为___________．39．已知复数z 满足()()1i 2i z t t +=∈R ，若z =，则t 的值为___________. 40．计算：()()12i 34i 2i-+=+_________．三、解答题41．已知i 为虚数单位，实数m 分别取什么数值时，复数()22(1)iz m m m =+-+-满足下列条件： (1)纯虚数；(2)复平面内对应的点在直线y x =上.42．在①z 为虚数，②z 为纯虚数，这两个条件中任选一个作为（1）中的已知条件.已知复数()22284i z m m m =--+-(1)若___________，求满足条件的实数m ；(2)若复数()21i 8z m -++的模为m 的值43．（1）若复数22(56)(3)i z m m m m =-++-表示实数，求实数m 的值 ；（2）若复数22(56)(3)i z m m m m =-++-表示纯虚数，求实数m 的值. 44．设222215(6)i 4a a z a a a +-=--+-（R a ∈），试判断复数z 能否为纯虚数？并说明理由.45．复数()()11i z m m =++-对应的点在直线40x y +-=上，求实数m 的值．【参考答案】一、单选题 1．C 2．D 3．C 4．C 5．D 6．B 7．D 8．D 9．B 10．B 11．D 12．B 13．B 14．C 15．D 16．C 17．B 18．A 19．A20．A二、填空题21．－4＋3i##3i-422．12i-##2i+1-23．224．2-25261##1-27．四282930．1i-+（答案不唯一）31．[)2,+∞32．93334．535．3536．37．138．-239．2或2-40．43i-##3i4-+三、解答题41．(1)2m=-(2)1m=±【解析】【分析】（1）实部为0，虚部不为0即可；（2）实部等于虚部即可得解. (1)由已知22010m mm⎧+-=⎨-≠⎩解得211m m m =-=⎧⎨≠⎩或2m =-所以(2)由已知212m m m -=+-21m =1m =±42．(1)若选择①，则 2.m ≠±；若选择②，则4m =. (2) 1.m =± 【解析】 【分析】（1）根据虚数和纯虚数的概念可求出结果； （2）根据复数的模长公式列式可求出结果. (1)若选择①，因为z 为虚数，则240m -≠，解得 2.m ≠±若选择②，因为z 为纯虚数，则2280m m --=且240m -≠，解得4m =. (2)因为()22284i z m m m =--+-，所以2222(1i)828(4)i (1i)824i,z m m m m m m -++=--+--++=--=，解得 1.m =± 43．（1）0m =或3；（2）2m = 【解析】 【分析】（1）由虚部为0直接求解即可；（2）由实部为0，虚部不为0直接求解即可. 【详解】（1）由复数22(56)(3)i z m m m m =-++-表示实数，可得230m m -=，解得0m =或3；（2）由复数22(56)(3)i z m m m m =-++-表示纯虚数，可得2256030m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得2m =.44．不存在a 使复数z 为纯虚数，理由见解析 【解析】 【分析】先假设复数z 能为纯虚数，则可得260a a --=且2221504a a a +-≠-，然后求解，若a 存在，则复数z 能为纯虚数，否则不能 【详解】假设复数z 能为纯虚数，则2222602150440a a a a a a ⎧--=⎪+-⎪≠⎨-⎪-≠⎪⎩， 所以325,3,2,2a a a a a a ==-⎧⎨≠-≠≠≠-⎩或且且且，解得a ∈∅，所以不存在a 使复数z 为纯虚数. 45．2m = 【解析】 【分析】求得z 对应的点的坐标并代入直线40x y +-=，由此求得m 的值. 【详解】z 对应点为()1,1m m +-，将()1,1m m +-代入直线40x y +-=得1140,2m m m ++--==.。
(完整版)复数练习题
(完整版)复数练习题一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为( )A ．15- B ．15 C ．1i 5- D ．1i 52．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （ ）A ．32- B ．32 C ．6- D ．63．已知复数()1i z a a =-+（a ∈R ），则1a =是1z =的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若0a <，则a 的三角形式为（ ）A ．()cos0isin0a +B ．()cos isin a ππ+C ．()cos isin a ππ-+D ．()cos isin a ππ-- 5．向量1OZ ，2OZ ，分别对应非零复数z 1，z 2，若1OZ ⊥2OZ ，则12Z Z 是（ ）A ．负实数B ．纯虚数C ．正实数D ．虚数a ＋b i(a ，b ∈R ，a ≠0) 6．已知x ，R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 2y y x ++=-，则x y +的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知复数12i 1i z -=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．筹四象限 8．已知i 是虚数单位，复数12i i z -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i + 9．已知复数2i i +=a z （a R ∈，i 是虚数单位）的虚部是3-，则复数z 对应的点在复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．复数1i i+（其中i 为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．复数1i 1i +-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i - 12．已知复数()()31i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）.A ．()3,1-B ．()1,3-C ．()1,+∞D ．(),3-∞13． 设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 14．已知复数z 满足()43i 5i z +=，则z =（ ）A ．1BC ．15 D ．515．“1x =”是“22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 16．设向量OP ，PQ ，OQ 对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么（ ） A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝0 17．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（ ） A ．z ＝1＋2iB ．z ＝1－2iC ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i 18．设O 为原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA 对应的复数为（ ） A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5i 19．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“ab >0”是“复数a －b i 对应的点位于复平面上第二象限”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件20．已知复数z 满足(1i)32i +=+z ，则z 的虚部为（ ）A ．12B ．1i 2- C ．12-D ．1i 2 二、填空题21．若复数2(1i)34i z +=+，则z =__________．22．已知复数z i =，i 为虚数单位，则z =______ 23．已知z 是复数，3i 13i z z z z +-⋅⋅=-，则复数z =_________24．复数2i z a =+，a ∈R ，若13i i +-z 为实数，则=a ________．25．若复数z 满足i 3i=i z -+，则z =________. 26．已知复数ππsin i cos 33z =+，则z =________．27．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______．28．设i 是虚数单位，且12w =-，则21w w ++=______． 29．已知复数z 满足()1i 42i z -=+，则z =_________（用代数式表示）. 30．已知复数z 满足294i z z +=+，则z =___________.31．已知i 是虚数单位，复数z 满足322i z =+，则z =___________.32．已知复数z 满足()()1i 2i z t t +=∈R ，若z =，则t 的值为___________. 33．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2z z-＝________． 34．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________．35．已知i 是虚数单位，则202220211()1+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭i i i ___________．36．已知复数cos isin i z θθ=+（为虚数单位），则1z -的最大值为___________37．已知z =22022z z z ++⋅⋅⋅+=___________. 38．设复数20211i 1iz -=-（i 为虚数单位），则z 的虚部是_______． 39．设i 是虚数单位，复数z =，则z =___________.40．已知复数()3i R i b z b -=∈的实部和虚部相等，则z =___________． 三、解答题 41．在复平面内，复数()22234i z a a a a =--+--（其中i 为虚数单位，R a ∈）．(1)若复数z 为纯虚数，求a 的值；(2)若复数z >0，求a 的值．42．（1）设复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，求复数z ；（2）若复数z 满足(2i)(1i)1z z ⋅+=⋅-+，求复数z ；（3）已知复数()2256215i m m m m +++--z=，当实数m 为何值时，复数z 对应的点Z 在第四象限.43．如图，向量OZ 与复数1i -+对应，把OZ 按逆时针方向旋转120°，得到OZ ．求向量OZ '对应的复数（用代数形式表示）．44．已知复平面内正方形的三个顶点所对应的复数分别是12i +，2i -+，12i --，求第四个顶点所对应的复数．45．根据复数的几何意义证明：121212z z z z z z -≤+≤+．【参考答案】一、单选题1．A2．A3．A4．C5．B6．B8．B9．D10．D11．B12．A13．D14．A15．A16．D17．D18．D19．B20．A二、填空题21．825i 625- 22．123．12或12##12-或12 24．3-2526．127．1i -##i+1-28．029．13i +##3i+130．53132．2或2-33．－1＋2i##2i －1343536．237．039．40．三、解答题41．(1)2a =(2)4a =【解析】【分析】（1）根据纯虚数的知识列式，从而求得a 的值.（2）根据复数能比较大小列式，从而求得a 的值.(1)由于z 为纯虚数，所以2220340a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，可得2a =． (2)由于z 与0可以比较大小，所以z 为实数，且0z >，所以2220340a a a a ⎧-->⎨--=⎩，可得4a =． 42．（1）2；（2）21i 3z =-；（3）25m -<<.【解析】【分析】（1）根据复数的四则运算及复数的摸公式即可求解；（2）利用复数的四则运算、两个复数相等及共轭复数即可求解；（3）复数的几何意义得出点Z 的坐标，再根据点在第四象限的特点即可求解.【详解】（1）()()()()242i 42i 12i 4(1i)10i 2i 12i 12i 12i 12i 5z +++--=====---+，∴2z =（2）设i z a b =+()R a ∈、b ，则()()()i 2i i (1i)1a b a b +⋅+=-⋅-+，化简得(2)(2)i (1)()i a b a b a b a b -++=-+-+，根据对应相等得：212a b a b a b a b-=-+⎧⎨+=--⎩，解得1a =，23b =-，所以21i 3z =-.（3）由()2256215i m m m m +++--z=，得 ()2256,215m m m m ++--Z ， 因为Z 对应的点在第四象限，所以225602150m m m m ⎧++>⎨--<⎩，解得：25m -<<， 故而当25m -<<时，复数Z 对应的点在第四象限.43．1313i 22-+- 【解析】【分析】复数的旋转用相应的三角函数公式即可.【详解】如上图，将Z 逆时针旋转到'Z ，即是向量'OZ 对应的复数：()()()1313131i cos120isin1201i 2︒︒⎛⎫-+-++=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭， 1313-+. 44．2i -【解析】【分析】 根据复数的几何意义以及正方形的性质进行求解即可．【详解】设复数12i +，2i -+，12i --对应的点分别为,,A B C则(1,2)A ，(2,1)B -，(1,2)C --，所以()()3,1,1,3AB BC =--=-，所以033·AB BC =-+=，所以90ABC ∠=︒ 设第四个点为(,)D x y ，则按照,,,A B C D 的顺序才能构成正方形，所以AB DC =，即(3-，1)(1x -=--，2)y --即1321x y --=-⎧⎨--=-⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩， 则(2,1)D -，对应的复数为2i -，故答案为：2i -45．证明详见解析【解析】【分析】结合三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边来证得不等式成立.【详解】当12,z z 方向相同时，121212z z z z z z -<+=+；当12,z z 方向相反时，121212z z z z z z -=+<+；当12,z z 不共线时，1212,,z z z z +满足三角形的三边，根据三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边可知： 121212z z z z z z -<+<+. 综上所述，不等式121212z z z z z z -≤+≤+成立.。
(完整版)复数计算练习题
、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知a ，b € R ，贝U a = b 是（a — b ）+（a + b ）i 为纯虚数的（ ） B. 充分不必要条件答案 CA2 + 4i B . — 2 — 4iC . 2 + 4iD . 2— 4i答案 A3 .若 w = — 2 + 2 i ，贝U w 4+ w 2+ 1 等于( )A . 1B . 0C . 3+V 3iD . — 1 +V 3i答案 B4.在（2+当） 12的展开式中，所有奇数项的和等于（ A . — 1 B . 1C . 0D . i答案 Bz5 .已知1+ i = 2+ i ，则复数z =（ ）A . — 1 + 3iB . 1 — 3iC . 3+ iD . 3— i答案 Bz解析 1 + =2+ i ，二 7 = (2 + i)(1 + i) = 2 + 3i + i 2= 2i . 6 .复数［+ j ■ 2等于（）A . 4iB . — 4i )1 + 3i.A z= 1—3i.10i2.2—i -()C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件A .充要条件C. 2iD. -2i 答案 C7.复数1寫；等于（）B.C.1-V3iD.答案 B&复数 1 + ()A. 1 + 2iB. 1-2iC.- 1D.答案 A2 2解析1+討1+士 = 1+ 2i，故选A.9.在复数集C内分解因式2x2- 4x+ 5等于（）B.（x-1 + 佝（X-1-V3i）C. 2(x— 1 + i)(x—1-i)D. 2(x+1 + i)(x + 1-i)答案 B10.复数i3(1 + i)2=( )B.- 2C. 2iD.- 2i 答案 A解析由题意得i3(1 +『=-i 2i = - 2i2= 2,选A.111.复数z=厂一的共轭复数是（C. 1-iD. 1 + i 答案 BC . 2 答案 B13.已知复数 z = 2+ i ，则 z 4— 4z 3+ 6z 2—4z — 1 =答案 —6解析 z 4 — 4z 3 + 6z 2 — 4z — 1 = (z 4 — 4z 3 + 6z 2 — 4z + 1) — 2= (z — 1)4 — 2= (1 + i)4—2= [(1 + i)2]2 — 2=(2i)2 — 2= — 4 — 2= — 6.14. i4n + i4n + 1+ i4n +2+i4n + 3= 答案 01 — i 315. 已知-1—+^= a + 3i ，则 a =答案 —2 — 3i16. 设 z € C ， z + I z \= 2 + i ，则 z =解析 设 z = a + bi ，则 I z \=7a 2+ b 2.••• a + bi + 7 a 2+ b 2 = 2 + i.a + p a 2+b 2 = 2,b = 1.3吐4，• 3丄. 4 •-z= 4+i b= 1,三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或 演算步骤）卄 1 1+i 1 1解析 z = 1—i = 1 — i 1 + i = —1 1z = 2—刁，故选B.12. 已知复数z = 1 — i ，则z2—^=(z — IB . -2iD .、填空题（本大题共4小题，每小题 5 分, 共20分.把答案填在题中横线（n 为正整数）.17. (10分)若复数z = m 2+ m -2+ (2m 2-m -3)i(m € R)的共轭复数7对应的 点在第一象限，求实数 m 的集合.解析 由题意得 z = m 2+ m - 2- (2m 2- m - 3)i.m + :- 2>0,即 -2m 2- m -3 >0, 3 解得1<m<2.18. (12分)计算g +爭i)3解析 方法一 •••（舟+爭i ）3=（舟+爭i ）2（2 +誓i ） = （-1+爭i ）c2 +爭）= 窗2 - (2)2=-4-1=-1.方法二 原式=（2）3 + 3X 勺冬 当i + 3X 1X （当）2 + （爭i ）3= 2 + 普i -9 存-1.19. （12分）已知复平面内点 A 、B 对应的复数分别是z i = sin 2B+ i ,z 2=- cos 2 0+ icos2 0,其中0€ （0,2 n ）设AB 对应的复数为z.（1）求复数z ;（2）若复数z 对应的点P 在直线 y =*上 ,求0的值.解析 (1)z= Z 2 -z i = — cos 2 0- sin 2 0+ i(cos2 0-1)=— 1 — i(2sin 20. ⑵点P 的坐标为(一1,- 2sin 2 0.1 1由点P 在直线y= 2x ，得—2sin 2 0=- q2 1 1••• sin 0=4，- sin 0= ±2. 又••• 0€ (0,2 0= n ，6n 6n ^n.1 _ i 2+ 3 1 + i20.(12分)已知复数z = ；—: ,若z2 + az + b = 1 - i ，试求实数a 、 b 的值.m 2 + m -2>0, 2m - m - 3<0,解析 化简得z = 1 + i 代入方程，得a +b +(2+ a)i = 1 — i.a2 + 2a — 1521. (12分)设z = (a2 — a — 6) + — i(a € R),试判断复数z 能否为纯 虚数？并说明理由.解析假设复数z 能为纯虚数，则a2— a — 6 = 0,a = 3 或 a = — 2,a2 + 2a — 15 ---—■, 工 0. aM — 5且aM3且a^ 坛a2 — 4•••不存在a 使复数z 为纯虚数.22. (12分)已知a € R ，问复数z = (a2 — 2a + 4)—(a2 — 2a + 2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点的轨迹是什么?解析 由 a2 — 2a + 4= (a — 1)2 + 3>3,—(a2 — 2a + 2)=— (a — 1)2— K — 1,得z 的实部为正数，z 的虚部为负数.•复数z 对应的点在第四象限.Y — oQ 一 Qo -L A设 z = x + yi(x , y e R)，则 y ：— a2 —2a +2.消去 a2 — 2a ,得 y = — x + 2(x 》3).•复数z 对应点的轨迹是一条射线,其方程为y = — x + 2(x > 3). a + b = 1,2+ a =— 1,a = — 3,b =。
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复数计算练习题
HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a，b∈R，则a＝b是(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数的( )
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
答案C
2.10i
2－i
＝( )
A．－2＋4i B．－2－4i C．2＋4i D．2－4i 答案A
3．若w＝－1
2
＋
3
2
i，则w4＋w2＋1等于( )
A．1 B．0
C．3＋3i D．－1＋3i 答案B
4．在(1
2
＋
3
2
i)12的展开式中，所有奇数项的和等于( )
A ．－1
B ．1
C ．0
D ．i
答案 B
5．已知z
1＋i ＝2＋i ，则复数z ＝( ) A ．－1＋3i B ．1－3i
C ．3＋i
D ．3－i
答案 B
解析 ∵z
1＋i ＝2＋i ，∴z ＝(2＋i)(1＋i)＝2＋3i ＋i 2＝1＋3i.∴z ＝1－3i. 6．复数⎝ ⎛⎭
⎪⎫2i 1＋i 2等于( ) A ．4i B ．－4i
C ．2i
D ．－2i
答案 C
7．复数2＋2i41－3i5
等于( ) A ．1＋3i B ．－1＋3i
C．1－3i D．－1－3i 答案B
8．复数1＋2
i3
＝( )
A．1＋2i B．1－2i C．－1 D．3
答案A
解析1＋2
i3
＝1＋
2
－i
＝1＋2i，故选A.
9．在复数集C内分解因式2x2－4x＋5等于( ) A．(x－1＋3i)(x－1－3i)
B．(2x－2＋3i)(2x－2－3i)
C．2(x－1＋i)(x－1－i)
D．2(x＋1＋i)(x＋1－i)
答案B
10．复数i3(1＋i)2＝( )
A．2 B．－2
C．2i D．－2i
答案A
解析由题意得i3(1＋i)2＝－i·2i＝－2i2＝2，选A.
11．复数z＝
1
1－i
的共轭复数是( )
A.1
2
＋
1
2
i B.
1
2
－
1
2
i
C．1－i D．1＋i 答案B
解析z＝
1
1－i
＝
1＋i
1－i1＋i
＝
1
2
＋
1
2
i，z＝
1
2
－
1
2
i，故选B.
12．已知复数z＝1－i，则z2－2z
z－1
＝( )
A．2i B．－2i
C．2 D．－2
答案B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知复数z＝2＋i，则z4－4z3＋6z2－4z－1＝________.
答案－6
解析 z 4－4z 3＋6z 2－4z －1＝(z 4－4z 3＋6z 2－4z ＋1)－2＝(z －1)4－2＝(1＋i)4－2＝
[(1＋i)2]2－2
＝(2i)2－2＝－4－2＝－6.
14．i4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝________(n 为正整数)．
答案 0
15．已知1－i31＋i
＝a ＋3i ，则a ＝________. 答案 －2－3i
16．设z ∈C ，z ＋|z |＝2＋i ，则z ＝________.
答案 34
＋i 解析 设z ＝a ＋b i ，则|z |＝a 2＋b 2.
∴a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i.
∴⎩⎨⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1.
∴⎩⎨⎧ a ＝34
，b ＝1，∴z ＝34
＋i. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)若复数z ＝m 2＋m －2＋(2m 2－m －3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．
解析 由题意得z ＝m 2＋m －2－(2m 2－m －3)i.
∴⎩⎨⎧ m 2＋m －2>0，－2m 2－m －3>0，即⎩⎨⎧ m 2＋m －2>0，2m 2－m －3<0，
解得1<m <32
. 18．(12分)计算(12＋32
i)3. 解析 方法一 ∵(12＋32i)3＝(12＋32i)2·(12＋32i)＝(－12＋32i)(12＋32i)＝(32
i)2－(12)2＝－34－14
＝－1. 方法二 原式＝(12)3＋3×(12)2×32i ＋3×12×(32i)2＋(32i)3＝18＋338i －98－338
i ＝－1.
19．(12分)已知复平面内点A 、B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋
icos2θ，其中θ∈(0,2π)，设AB →
对应的复数为z .
(1)求复数z ；
(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12
x 上，求θ的值．
解析 (1)z ＝z 2－z 1＝－cos 2θ－sin 2θ＋i(cos2θ－1)＝－1－i(2sin 2θ)．
(2)点P 的坐标为(－1，－2sin 2θ)．
由点P 在直线y ＝12x ，得－2sin 2θ＝－12
. ∴sin 2θ＝14，∴sin θ＝±12
. 又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π6，56π，76π，116
π. 20．(12分)已知复数z ＝1－i2＋31＋i 2－i
，若z 2＋az ＋b ＝1－i ，试求实数a 、b 的值．
解析 化简得z ＝1＋i 代入方程，得
a ＋
b ＋(2＋a )i ＝1－i.
∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1， ∴⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝4.
21．(12分)设z ＝(a 2－a －6)＋
a 2＋2a －15a 2－4
i(a ∈R )，试判断复数z 能否为纯虚数？并说明理由．
解析 假设复数z 能为纯虚数，则
⎩⎨⎧ a 2－a －6＝0，
a 2＋2a －15a 2－4≠0.∴⎩⎨⎧ a ＝3或a ＝－2，a ≠－5且a ≠3且a ≠±2.
∴不存在a 使复数z 为纯虚数．
22．(12分)已知a ∈R ，问复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象
限？复数z 对应点的轨迹是什么？
解析 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，
－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，
得z 的实部为正数，z 的虚部为负数．
∴复数z 对应的点在第四象限．
设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎨⎧
x ＝a 2－2a ＋4，
y ＝－a 2－2a ＋2.
消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)．
∴复数z 对应点的轨迹是一条射线，
其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．。