复数的运算(一)

课题：4．2复数的运算（一）

教学目的：掌握复数的加法运算及意义

教学重点：复数加法运算．

教学难点：复数加法运算的运算率

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即21

i=-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立

2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i

3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1

4.复数的定义：形如(,)

+∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复

a bi a

b R

数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*

3. 复数的代数形式:复数通常用字母z表示，即(,)

=+∈，把复

z a bi a b R

数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式

4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)

+∈，当

a bi a

b R

且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.

5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.

6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都

是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

7. 复平面、实轴、虚轴：

∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表

示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实

轴，y轴叫做虚轴

实轴上的点都表示实数

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序

实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.

这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法

二、讲解新课：

１．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

2. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

3. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.

证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R).

∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.

z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i.

又∵a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1.

∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律.

4. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

证明：设z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).

∵(z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i)

=［(a1+a2)+(b1+b2)i］+(a3+b3)i

=［(a1+a2)+a3］+［(b1+b2)+b3］i

=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.

z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+［(a2+b2i)+(a3+b3i)］

=(a1+b1i)+［(a2+a3)+(b2+b3)i］

=［a1+(a2+a3)］+［b1+(b2+b3)］i

=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i

∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3).

∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满足结合律

三、讲解范例：

例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)

解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i

例2计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i)

解法一：原式=(1－2+3－4+...－2002+2003)+(－2+3－4+5+ (2003)

2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i.

解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i，

(3－4i)+(－4+5i)=－1+i，

……

(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i.

相加得(共有1001个式子)：

原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)

=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i

四、课堂练习：

1.已知复数z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2－z1在复平面内所表示的点位于

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.在复平面上复数－3－2i,－4+5i,2+i所对应的点分别是A、B、C，则平行四边形ABCD的对角线BD所对应的复数是

A.5－9i

B.－5－3i

C.7－11i

D.－7+11i

3.已知复平面上△AOB的顶点A所对应的复数为1+2i,其重心G所对应的复数为1+i,则以OA、OB为邻边的平行四边形的对角线长为

A.32

B.22

C.2

D.5

4.复平面上三点A、B、C分别对应复数1，2i,5+2i,则由A、B、C所构成的三角形是

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.锐角三角形

D.钝角三角形

5.一个实数与一个虚数的差（）

A.不可能是纯虚数

B.可能是实数

C.不可能是实数

D.无法确定是实数还是虚数

6.计算(－])2

+

i+

i

-

2i

+

+=____.

-

3

-

3

)2

(

3

[(

)

(

3

2

)

7.计算：(2x+3yi)－(3x－2yi)+(y－2xi)－3xi=________(x、y∈R).

8.计算（1－2i)－(2－3i)+(3－4i)－…－(2002－2003i).

答案：1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.－22i7.(y－x)+5(y－x)i

8.解：原式=(1－2+3－4+…+2001－2002）+(－2+3－4+…－2002+2003)i

=－1001+1001i

五、小结：复数的加法法则：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a，b，c，d∈R).

复数的加法，可模仿多项式的加法法则计算，不必死记公式

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：