高中数学 复数的运算(修改)

复数 z=a+bi 的共轭复数记作
z , 即 z = a − bi
思考： ),那么 思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么 z 另外不难证明: 另外不难证明 z
1
+z =? z−z =?
+ z2 = z1 + z2 , z1 − z2 = z1 − z2
例2、下列命题中正确的是
(2)
(1)如果 Z1 + Z 2是实数，则 Z1、 Z 2 互为共轭复数 (2)纯虚数 Z的共轭复数是 − Z。 (3)两个纯虚数的差还是纯虚数 (4)两个虚数的差还是虚数。
a＝－2y 0 则 b＝2x0
1 x0＝ b 2 ，将 y0＝－1a 2
代入 x2＋(y0－3)2＝4 0
得(a＋6)2＋b2＝16. 故 Q 表示以(－6,0)为圆心，4 为半径的圆．
(2)|z1－z2|表示分别在圆 P，Q 上的两个动点间的距离， 又圆心距|PQ|＝3 5>2＋4，故|z1－z2|最大值为 6＋3 5，最 小值为 3 5－6.
例1
[例 3]
(2010·徐州高二检测)设 P，Q 是复平面上的点
集，P＝{z|z·－＋3i(z－－)＋5＝0}，Q＝{w|w＝2iz，z∈P}． z z (1)P，Q 分别表示什么曲线？ (2)设 z1∈P，z2∈Q，求|z1－z2|的最大值与最小值．
[分析] →
(1) 设z＝x＋yi，(x，y∈R)，即P(x，y) 代入z·－＋3i(z－－)＋5＝0 z z
z1 ⋅ z 2 = z 2 ⋅ z1
,
( z1 ⋅ z 2 ) ⋅ z 3 = z1 ⋅ ( z 2 ⋅ z 3 ),
z1 ( z 2 + z 3 ) = z1 z 2 + z1 z 3 .
复数的乘法与多项 解:原式= (−6+4i −3i +2i )(−1+3i) 原式= 式的乘法是类似的. 式的乘法是类似的. = (−8 + i)(−1 + 3i) 我们知道多项式的乘法用乘法
复数的四则运算
加、减、乘运算
一、学习目标： 学习目标： 类比实数的运算性质，理解、掌握复数的运算性质； 1、类比实数的运算性质，理解、掌握复数的运算性质； 理解复数加减法运算的集合意义，能够借助“数形结合” 2、理解复数加减法运算的集合意义，能够借助“数形结合” 思想解体。 思想解体。
我们知道实数有加、 我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律： 乘等运算，且有运算律： a+b = b+a ab = ba (a + b ) + c = a + (b + c ) (ab)c = a (bc ) a (b + c ) = ab + ac 那么复数应怎样进行 应怎样进行加 乘运算呢？ 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应 怎样定义复数的加、 乘运算呢？运算律仍成立吗？ 怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？
2
+3i) 例2.计算 －2－i )(3－2i)(－1+3i 2.计算(－ － 计算 － i － +3i
公式可迅速展开, 运算,类似地, = 8 − 24i − i + 3i 2 公式可迅速展开, 运算,类似地,复 数的乘法也可大胆运用乘法公式来 = 5 − 25i 展开运算. 展开运算. 计算(a+bi)(a-bi) 例3.计算 计算 2 2 2 2 一步到位! 一步到位! 原式= 解:原式= a − (bi ) = a + b 注意 a+bi 与 a-bi 两复数的特点 - 两复数的特点. 定义:实部相等, 共轭复数. 定义 实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.
解：因为 4 − 20i 的共轭复数是 4 + 20i 根据复数相等的定义， ，根据复数相等的定义， 可得 x 2 + x − 2 = 4, x = −3或x = 2 解得 2 x = −3或x = 6 x − 3 x + 2 = 20. 所以 x = −3 ．
课外练习: 课外练习:
(x+yi)(x-yi) -
求证： 设 ω = − 1 + 3 i ，求证： 2 2 ；（2） （1） + ω + ω 2 = 0 ；（ ） ω 3 = 1. ） 1 1 3 1 3 2 3 1 + ω ( − 12+= 13 i( − + i ) + (− + i) +ω + )3 ） 证明： （1） 证明：（2） ω = ） 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 + 3 i ) 2 ( −1 + 3 i )1 3 3 2 2 ( = =− + 2 2 2 i + ( − 2 ) −2 × 2 × 2 i + ( 2 i ) 2 2 2 1 3 1 1 3 (1 i ) == − +− 3 i +)( −− +3 i −i3 = ( − 1 ) 2 − ( 3 i ) 2 2 2 2 2 22 4 2 2 2 4 1 = 0; + 3 = 1 = 4 4
例3 、下列命题中的真命题为：
D
( A)若 Z 1 + Z 2 = 0, 则 Z 1与 Z 2 互为共轭复数。 ( B )若 Z 1 + Z 2 = 0, 则 Z 1与 Z 2 互为共轭复数。 (C )若 Z 1 − Z 2 = 0, 则 Z 1与 Z 2 互为共轭复数。 ( D )若 Z 1 − Z 2 = 0, 则 Z 1与 Z 2 互为共轭复数。
复数的减法是加法的逆运算； 注: ⑴复数的减法是加法的逆运算； 易知复数的加法满足交换律 结合律, 复数的加法满足交换律、 ⑵易知复数的加法满足交换律、结合律 , 即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,（交换律） 有 （交换律） (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 结合律） （结合律） ⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行 .
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i i ± i ± ± i
在这里， 看做字母 类比实数多项式运算（合并同类项） 看做字母， 在这里，把i看做字母，类比实数多项式运算（合并同类项）
+9i) 例1、计算(1－3i )+(2+5i) +(-4+9i 计算 － i + i - +9i
我们知道,两个向量的和满足平行四边形 我们知道 两个向量的和满足平行四边形 法则, 复数可以表示平面上的向量， 法则 复数可以表示平面Βιβλιοθήκη Baidu的向量，那么复数 的加法与向量的加法是否具有一致性呢？ 的加法与向量的加法是否具有一致性呢？ 设z1=a+bi z2=c+di,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i 则
[点评]
共轭复数的性质．
(1)在复平面上， 两个共轭复数对应的点关于实轴对称． (2)实数的共轭复数是它本身，即 z＝－⇔z∈R，利用 z 这个性质可证明一个复数为实数． (3)若 z≠0 且 z＋－＝0， z 为纯虚数， z 则 利用这个性质， 可证明一个复数为纯虚数．
复数的四则运算 ——除法 除法
注意到 i = −1 ，虚数单位 i 可以和实数进行运 算且运算律仍成立，所以复数的加 复数的加、 算且运算律仍成立，所以复数的加、减 、乘运算我 们已经是自然而然地在进行着， 们已经是自然而然地在进行着， 只要把这些零散的 操作整理成法则 即可了！ 操作整理成法则 即可了！
2
1.复数加、减法的运算法则： 1.复数加、减法的运算法则： 复数加 已知两复数z 是实数） 已知两复数 1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数） （ 是实数 (1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; 加减法 加法法则： 加法法则 类比向量 (2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i. 减法法则： 减法法则 即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减). 两个复数相加( 就是实部与实部,虚部与虚部分别相加( 实部与实部
→ 化简整理得P的轨迹方程 → 代入法求Q的轨迹方程 (2) → 结论 根据复数的几何意义 → |z1－z2|的几何意义
[解析] (1)设z＝x＋yi(x，y∈R)． 则集合P＝{(x，y)|x2＋y2－6y＋5＝0} ＝{(x，y)|x2＋(y－3)2＝4}， 故P表示以(0,3)为圆心，2为半径的圆． 设w＝a＋bi(a，b∈R)． ＝ ＋ ， ∈ ． z＝x0＋y0i∈P(x0，y0∈R)且w＝2iz. ＝ ∈ 且 ＝
1.计算 计算:(1+2 i )2 计算
−3 + 4i
2.计算 -2)(1-2i)(3+4i) -20+15i 计算(i计算 3.计算 3.计算 (1 + i )3 -2+2i 4.若 4.若 z ∈ C 且 (3 + z )i = 1 ,则 z = -3-i . _____ 3 3 ± 5.已知 5.已知 m ∈ R 且 ( m + i ) ∈ R ,则 m = _____ .
4 4 ∴ x1 + x2 = (1 + i )4 + (1 − i )4 = (2i )2 + (−2i )2 = −8.
注:在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用. 在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用. 3.已知复数 x2 + x − 2 + ( x2 − 3x + 2)i( x ∈R) 是 4 − 20i 3.已知复数 的共轭复数， 的值． 的共轭复数，求x的值． 的值
解:原式= (1 + 2 − 4) + (−3 + 5 + 9)i = −1 + 11i 原式=
(a + bi )(c + di ) = ac + adi + bci + bdi
= ac − bd ) + (bc + ad )i （
2.复数的乘法法则： 2.复数的乘法法则： 复数的乘法法则
2
说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数； 说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数； :(1)两个复数的积仍然是一个复数 (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的 复数的乘法与多项式的乘法是类似的， (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在 换成－ 然后实、虚部分别合并. 运算过程中把 i 2 换成－1，然后实、虚部分别合并. 易知复数的乘法满足交换律、 (3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律 即对于任何z 即对于任何 1 , z2 ,z3 ∈C,有 有
如图, 如图, z1 对应向量 OZ1 , z2 对应向量 OZ 2 ,根据向量 加法可知 OZ = OZ1 + OZ 2
y
Z2(c,d)
Z
Z1(a,b)
O
x
∵ OZ1 = (a, b) , OZ2 = (c, d ) 根据向量加法的坐标运算 的坐标运算可知 根据向量加法的坐标运算可知 OZ = OZ1 + OZ2 = (a, b) + (c, d ) = (a + c, b + d ) 一致! 一致!
1 3 6.已知 的值. 6.已知 z = − + i ,求 2 z 3 + 3 z 2 + 3 z + 9 的值. 2 2
7.在复数集 内 7.在复数集C内，你能将 x 2 在复数集
3
+y
2
8
分解因式吗？ 分解因式吗？
[结论] 虚数单位i的周期性． ①i4n＝1,i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，(n∈N)． n也可以推广到整数集．②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．
这就是复数加法的几何意义. 这就是复数加法的几何意义.
类似地,复数减法: 类似地,复数减法: y
Z2(c,d)
OZ1-OZ2
Z1(a,b) O
x Z
复 数 z = z1 − z 2
这就是复数减法的几何意义. 这就是复数减法的几何意义.
练习 1.计算 计算:(1)i+2i2+3i3+…+2004i2004; 计算 解:原式 -2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2001i-2002原式=(i- - 原式 2003i+2004)=501(2-2i)=1002-1002i. 2.已知方程 2-2x+2=0有两虚根为 1, x2, 求x14+x24的值 已知方程x 有两虚根为x 的值. 已知方程 有两虚根为 解: ∵ x1,2 = 1 ± i ,
上节课,我们学习了复数的加、 上节课,我们学习了复数的加、减、乘、运算. 运算. 设 z1 = a + bi，z2 = c + di a，b，c，d ∈ R （ ） 加法法则： 加法法则： (a + bi ) + (c + di ) = (a + c ) + (b + d )i 减法法则： 减法法则： (a + bi ) − (c + di ) = (a − c ) + (b − d )i 减法是加法的逆运算) (减法是加法的逆运算) 乘法法则： 乘法法则： z1 z2 = (a + bi )(c + di ) = (ac − bd ) + (ad + bc )i 上面法则的定义是由虚数单位 上面法则的定义是由虚数单位 i 的意义及其满足的 运算特性自然定义的 自然定义的. 运算特性自然定义的.