计算机图形学(Hermite curve)

第1讲二维图形—抛物线样条曲线和Hermite 曲线基本点：自由曲线（曲面）；曲线拟合；曲线插值；抛物线样条曲线；Hermite 曲线。

重点：Hermite 曲线。

难点：向量和矩阵运算。

疑点：形状比较复杂、不能用二次方程来表示的曲线（曲面）称为自由曲线（曲面），也称为复杂曲线(曲面)，通常以三次参数方程来表示。

给定一个点列，用该点列来构造曲线的方法称为曲线拟合。

已知曲线上的一个点列，求曲线上的其他点的方法称为曲线插值。

所谓齐次坐标表示法就是用n ＋１维向量表示一个n 维向量，即n 维空间中的点的位置向量(P1，P2，…Pn)被表示为具有n ＋１个坐标分量的向量(hP1,hP2,…，hPn ，h)。

例如三维空间坐标（x, y, z ）的齐次坐标可表示为[X, Y, Z, w]，其中x=X/w, y=Y/w, z=Z/w 。

w=0实际上表示了一个三维无穷远点。

齐次坐标表示的优点是可方便地用变换矩阵实现对图形的变换和表达无穷远点。

1．抛物线参数样条曲线样条是一根富有弹性的细木条或类似物，其两端连接着起固定作用的压铁。

通过调整样条两端的压铁可以改变样条的形态，它是手工绘制自由曲线的一种工具。

沿着样条绘制的曲线称为样条曲线。

样条曲线可以表示为参数多项式曲线或分段参数多项式曲线。

给定一个点列P 1,P 2,…,P n ，对相邻三个点用抛物线来拟合，相邻抛物线在公共区间内用权函数t 进行调配，所得到的曲线称为抛物线参数样条曲线。

该曲线向量形式可表示为：],)1[(121+-=+-=∑i in i tS St S ]1,0[∈t其中，S i 为P i ,P i+1,P i+2三个点决定的抛物线。

2．Hermite 曲线Hermite 曲线是以曲线的两个端点P 0、P 1和端点处的切向矢量R 0、R 1为边界条件的三次参数曲线。

空间自由曲线三次参数方程的一般形式可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=+++=z z z z y y y y x x x x d t c t b t a t z d t c t b t a t y d t c t b t a t x 232323)()()( 或[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++=d c b a t t t d ct bt at t Q 1)(2323其中Q(t)=(x(t),y(t),z(t)),a=(a x ,a y ,a z ),b=(b x ,b y ,b z ),c=(c x ,c y ,c z ), d=(d x ,d y ,d z )。

令T=[t 3 t 2 t 1],⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1010R R P P G h ,那么Q （t ）可以表示为Q （t ）=TM h G h 。

M h 是由初始条件确定的一个矩阵，该矩阵不唯一，通常取⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=0001010012331122h M 。

F h (t)=TM h 确定的一组函数称为调和（或基）函数。

对于端点处坐标和切线方向都相同的Hermite 曲线，它们的形状随着切向矢量的长度的变化而变化。

此外，如果取与z 相关的系数为0，则得到平面上的Hermite 曲线。

Hermite 曲线通过端点和端点处的切向矢量来控制曲线的形状，一条单独的Hermite 曲线不适合于用来拟合一个空间点列，它主要用在样条曲线中用来表示其中的某一段曲线。

第2讲 二维图形—三次参数样条曲线基本点：三次参数样条曲线；约束条件。

重点：三次参数样条曲线。

难点：三次参数样条曲线。

疑点：给定参数节点{t i }(i=0,1,…,n)和相应的点列{P i }(i=0,1,…,n),求二阶导数连续的分段三次参数多项式曲线P(t)( ],[0n t t t ∈)，使得该曲线能够拟合已知的点列，即P （t i ）=P i (i=0,1,…,n)。

P(t)称为三次样条曲线。

三次样条曲线P(t)在每一个区间[t i ,t i+1](10-<≤n i )上的分段曲线记为P i (t)。

如果用Hermite 曲线表示P i (t)，则可以用Hermite 三次参数曲线来描述传统的样条曲线。

1．Hermite 曲线的二阶导数形式由前一讲可知，Hermite 曲线可以表示为：Q(t)=F h1(t)Q(0)+F h2(t)Q(1)+F h3(t)Q ’(0)+F h4(t)Q ’(1) 如果Hermite 曲线在端点处二阶导数已知，则端点处的一阶导数可以用端点处的二阶导数来表示，最后可以把Hermite 曲线用二阶导数形式表示为：)1()(61)0()23(61)1()0()1()(323Q t t Q t t t tQ Q t t Q ''-+''-+-++-= 2．三次参数样条曲线设有点列{P i }(i=0,1,…,n)，用Hermite 三次参数曲线将相邻点连接起来，使得最终的曲线在已知点处具有连续的二阶导数，该曲线是一条三次样条曲线。

P i+1是前后两条Hermite 曲线的端点，根据这两曲线的方程分别求该点处的二阶导数得到⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=0001010012331122h M()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=''++1100010100123311220026)(i i i i P P P P tt P 1114266+++'+'+-=''i i i i i P P P P P (t=1)()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=''++++212100010100123311220026)(i i i i P P P P tt P 212112466+++++'-'-+-=''i i i i i P P P P P (t=0)由于曲线具有二阶连续导数，由上面两式得到)(34221i i i i i P P P P P -='+'+'+++对于已知的点列，可以得到n-2个类似于上式的方程，其中未知的一阶导数有n 个。

如果再给定三次样条曲线在起点和终点处的切向矢量或二阶导数，则可以求出各一阶导数和分段Hermite 曲线，进而可以确定三次样条曲线。

三次样条曲线在两端点处的边界条件是根据问题的物理要求来确定的。

常用的端点约束条件有如下三种：（1）自由端在两端点处的二阶导数为零，由此得到)(321221P P P P -='+')(3211---='+'n n n n P P P P （2）夹持端在端点处的切向矢量已知，即111E k P ='，n n n E k P ='，其中E 1，E n 为单位切向矢量。

（3）抛物端假定分段曲线的最初和最未段为抛物线，即三次项的系数为0，则在这两段曲线上二阶导数为常数，由此可以得到)(21221P P P P -='+')(211---='+'n n n n P P P P例：已知平面上三点P1(0,0)，P2(1,1)和P2(2,0)，用自由端约束条件计算三次Hermite 样条曲线Q(t)使得它拟合点列{P1，P2，P3}，并将Q(t)表示为参数序列{0，1，2}上的分段参数多项式函数。

解：由Hermite 样条曲线二阶导数的连续性及自由端约束条件得到)(3413321P P P P P -='+'+' )(321221P P P P -='+')(322332P P P P -='+' 解方程组得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-='+-='-+-=' )56(41)(21)65(4132133123211P P P P P P P P P P P 由控制点的坐标得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛=' 231 2121231321P P P 由Hermite 曲线方程())10( 00010100123311221)(1123≤≤⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=++t P P P P t t tt Q i i i i 得到())10( 5.05.1105.011000010100123311221)(231≤≤⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=t t t t t Q ())10( 5.15.00115.02100010100123311221)(232≤≤⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=t t t t t Q所求曲线方程为：⎩⎨⎧≤≤-<≤=2)t (1 )1( )10()()(21t Q t t Q t Q。